Sistemet më të famshme të numrave. Sistemet e numrave. Sistemet e numrave jopozicionalë. Sistemet alfabetike të numrave

E gjitha varet nga sistemi specifik i numrave.

Sistemi i numrave dhjetorë përdoret padyshim pothuajse kudo.

Sistemi romak i numrave në bota moderne përdoret më shpesh kur dëshironi të tregoni një numër sipas renditjes. Për shembull, "10" do të thotë sasi (dhjetë copë), dhe romake "X" do të thotë "e dhjeta".

Sistemi i numrave binar është më i përdoruri në kompjuter, pasi një shifër e një numri binar korrespondon me një bit - njësia minimale e informacionit në teknologjinë kompjuterike.

Gjithashtu, sistemi binar i numrave përdoret tradicionalisht kur tregohen dimensionet lineare në inç, për shembull, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″. E para përdorim i njohur Sistemi binar i numrave i përket, ndoshta, matematikanit të lashtë indian Pingala (afërsisht shekujt 2-5 para Krishtit).

Sistemi heksadecimal i numrave përdoret gjerësisht në programimin e nivelit të ulët si dhe në dokumentacionin kompjuterik. Në kompjuterët modernë, njësia minimale e memories është një bajt 8-bit, vlerat e të cilave shkruhen me lehtësi në dy shifra heksadecimal. Ky përdorim filloi me sistemin IBM/360, ku i gjithë dokumentacioni përdorte sistemin e numrave heksadecimal.

Gjithçka është interesante me sistemin e numrave oktal. Ajo u përdor, për shembull, nga disa indianë amerikanë, pasi ata besonin se sasitë duhet të numërohen jo nga numri i gishtërinjve, por nga numri i hapësirave midis gishtërinjve.

Në Evropë në 1716, Mbreti Charles XII i Suedisë i kërkoi Emmanuel Swedenborg të zhvillonte një sistem numrash 64-shifror, për të cilin Emmanuel Swedenborg vuri në dukje se njerëzit e zakonshëm jo me një inteligjencë kaq të lartë si mbreti do të kishin vështirësi të kuptonin një sistem numrash me një sistem kaq të madh. bazë dhe propozohet të përdoret, pra, sistemi i numrave oktal. Do të ishte interesante të dinim pse Charles XII zgjodhi këtë fondacion të veçantë.

Gjithashtu, sistemi i numrave oktal përdoret ndonjëherë në kompjuterë - me sa duket më shpesh kur përcaktohen lejet në Unix-like sistemet operative. Njëherë e një kohë kishte kompjuterë që përdornin fjalë 24 dhe 36 bit. Në kompjuterë të tillë ishte shumë i përshtatshëm për të përdorur sistemin e numrave oktal, pasi të gjitha pjesët e një fjale mund të përfaqësoheshin nga një numër i plotë shifrash oktal dhe nuk kishte nevojë të shtonin gjithmonë bit zero të parëndësishëm në fillim. Për shembull, një fjalë 36-bit kërkon saktësisht 12 shifra oktale.

Në kursin tonë diskrete të matematikës, ne studiojmë sistemin oktal sepse është një nga sistemet në të cilin ne mund të shndërrohemi drejtpërdrejt nga sistemi i numrave binar, duke anashkaluar sistemin e numrave dhjetorë.

Sistemi i numrave sexagesimal përdoret gjerësisht në llogaritjen e minutave dhe sekondave. Origjina e sistemit seksagesimal është e paqartë. Ndoshta lidhet me sistemin e numrave duodecimal (60 = 5 × 12, ku 5 është numri i gishtërinjve në dorë). Ekziston gjithashtu një hipotezë nga O. Neugebauer (1927) se pas pushtimit akadian të shtetit sumerian, dy njësi monetare ekzistonin njëkohësisht për një kohë të gjatë: shekli (shekli) dhe mina, dhe raporti i tyre u vendos si 1 min. = 60 sikla. Më vonë, kjo ndarje u bë zakon dhe solli një sistem përkatës për regjistrimin e çdo numri.

A është e mundur të shtohen zero në fillim të një numri në sistemin e numrave heksadecimal?

Të gjitha rregullat për të gjitha sistemet e numrave pozicional janë të njëjta. Në sistemin e numrave dhjetorë lejohet të shtohen zero të parëndësishme në fillim dhe pas presjes dhjetore në fund. Në të njëjtën mënyrë, zero të parëndësishme mund të shtohen në çdo sistem tjetër numrash pozicional.

Cilat simbole përdoren për të shkruar një numër në sistemin e numrave 25-arësh?

Sistemi heksadecimal i numrave është një sistem numrash mjaft i zakonshëm. Ekziston një standard për këtë sistem numrash - numrat më të mëdhenj se 9 shkruhen me shkronja të alfabetit latin nga A në F.

Të gjitha sistemet e tjera të numrave pozicional me bazë më të madhe se 10 nuk janë të zakonshme dhe nuk ka asnjë standard regjistrimi për to. Por, për analogji, do të ishte e përshtatshme të përdoreshin edhe shkronjat e alfabetit latin në këto sisteme numrash.

Në veçanti, në sistemin e numrave 25-ar, 10 shifrat e para përkojnë me numrat në sistemin e numrave dhjetorë - nga 0 në 9, dhe 15 të mbetur janë të koduar me shkronja të alfabetit latin nga A në O. Të njëjtat rregulla zbatohen për sistemet e tjera të numrave pozicional.

Po një sistem numrash për të cilin nuk ka mjaft shkronja të alfabetit latin?

Nuk ka asnjë standard universal në këtë fushë. Me përjashtim të rasteve të sistemeve numerike pak a shumë të përdorura.

Nëse ju duhet të operoni me një sistem të tillë numrash, atëherë ose respektoni rregullat që kanë nxjerrë të tjerët (nëse dikush tjetër përdor një sistem të tillë numrash), ose dilni me rregullat tuaja.

Në praktikë, një shembull i një sistemi të tillë numrash me bazë të madhe është sistemi i numrave 60-shifror për numërimin e sekondave dhe minutave. Të gjithë e dimë se si regjistrohet koha. Për shembull, hyrja "34:17", që do të thotë "34 minuta 17 sekonda", është në të vërtetë një numër i shkruar me dy shifra.

Si të lexoni saktë numrat në sistemet e numrave përveç dhjetorit?

Në përgjithësi, nuk ka asnjë standard se si të lexoni saktë numra të tillë.

Në mënyrë të rreptë, të quash 20 8 fjalën "njëzet" nuk është plotësisht e saktë, pasi të gjithë e dinë që "njëzet" do të thotë "dhjetëra", dhe në sistemin e numrave oktal kjo dy nuk nënkupton numrin e dhjetësheve, por numrin e tetëve. Ky numër ndoshta do të lexohej saktë si "dy zero", por ky nuk është standardi.

Kur përdorni sistemin heksadecimal të numrave, shkronjat shqiptohen siç shqiptohen zakonisht në alfabetin latin: "A", "Be", "Tse", "De", "E", "Ef". Numri 1E3.F 16 zakonisht shqiptohet kështu: "një e tre pika ef".

Megjithatë, nëse një numër përdor vetëm shifra dhjetore, numrat shpesh lexohen sikur të ishin shkruar me shënime dhjetore. Për shembull, "517.5 8" mund të shqiptohet si "pesëqind e shtatëmbëdhjetë pikë pesë në shënimin oktal". Ndoshta do të ishte më e saktë të thuash "pesëqind e shtatëmbëdhjetë pikë pesë të tetat në sistemin e numrave oktal", por në këtë rast disa mund të jenë të hutuar se si të shkruajnë "pesë të tetat".

Ndonjëherë pjesët e një numri emërtohen sipas rregullave të ndryshme. Për shembull, si kjo: "pesëqind e shtatëmbëdhjetë pikë pesë në sistemin e numrave oktal". Duket se ende nuk ka standarde në këtë fushë.

Mendoj se gjëja më e rëndësishme në shqiptimin e numrave është që të tjerët të kuptojnë se çfarë do të thuash.

Si të mbani mend tabelën e korrespondencës midis numrave binarë dhe numrave oktal dhe heksadecimal?

Ju mund ta mbani mend këtë tabelë vetëm me përvojë - referojuni asaj shumë herë dhe pas një kohe do ta dini përmendësh.

Por nuk keni nevojë ta mësoni përmendësh këtë tabelë! Është kaq e lehtë të përcaktosh korrespondencën sa nuk mund të jem i sigurt nëse e mbaj mend këtë tabelë përmendësh apo e llogaris atë çdo herë? Për të përcaktuar pajtueshmërinë, duhet të dini vetëm disa gjëra shumë të thjeshta:

Një shifër heksadecimal korrespondon me 4 shifra binare, dhe një shifër oktale korrespondon me 3 shifra binare. Kjo është e lehtë për t'u mbajtur mend, pasi 2 4 = 16, dhe 2 3 = 8.

Ju duhet të mësoni të konvertoni mendërisht numrat nga 0 në 7 nga sistemi i numrave oktal në sistemin e numrave dhjetorë dhe anasjelltas. Ky është një operacion shumë i vështirë, vetëm mrekullitë mund ta bëjnë atë në mendjet e tyre. Nëse nuk jeni një mrekulli, thjesht mund të mbani mend se 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6 dhe 7 është e barabartë me 7.

Ju duhet të mësoni të konvertoni mendërisht numrat nga 0 në 15 nga sistemi i numrave dhjetorë në heksadecimal. Kjo është shumë e thjeshtë, pasi numrat nga 0 në 9 përkojnë, dhe numrat nga 10 në 15 korrespondojnë me shkronjat e alfabetit latin nga A në F. Mund të numëroni çdo herë në kokën tuaj (10 është A, 11 është B , 12 është C dhe etj.)

Gjëja më e vështirë është të mësosh. Por vetëm kjo aftësi mbulon një pjesë të konsiderueshme të tabelës.

Tani mund të konvertoni lehtësisht çdo numër nga 0 në 15 nga binar në dhjetor, dhe më pas në heksadecimal ose oktal. Ose mund të bëni të kundërtën.

Për të kthyer numrat, duhet të jeni në gjendje të bëni pjesëtim të gjatë. Po sikur të mos di të bëj ndarje të gjatë?

Materiali teorik i paraqitur këtu supozon se ju keni disa aftësi. Nëse nuk i keni tashmë këto aftësi minimale, atëherë për të kuptuar se çfarë shkruhet këtu, ka kuptim që së pari të merrni këto aftësi të thjeshta.

Për të kuptuar të gjithë materialin teorik të paraqitur këtu, do t'ju duhet:

Kuptoni se çfarë është një numër në parim.

Le të shohim një nga temat më të rëndësishme në shkencën kompjuterike -. NË kurrikula shkollore zbulohet mjaft "modestisht", me shumë gjasa për shkak të mungesës së orëve të caktuara për të. Njohuri mbi këtë temë, veçanërisht për përkthimi i sistemeve të numrave, janë parakusht për të pasur sukses dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe pranimi në universitete në fakultetet përkatëse. Më poshtë diskutojmë në detaje koncepte të tilla si sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional, jepen shembuj të këtyre sistemeve numerike, rregullat për përkthimin e numrave dhjetorë të plotë, të sakta dhjetore dhe numrat dhjetorë të përzier në çdo sistem tjetër numrash, shndërrimi i numrave nga çdo sistem numrash në dhjetor, shndërrimi nga sistemet e numrave oktal dhe heksadecimal në sistem numrash binar. Ka shumë probleme për këtë temë në provime. Aftësia për t'i zgjidhur ato është një nga kërkesat për aplikantët. Së shpejti: Për secilën temë të seksionit, përveç materialit të detajuar teorik, do të prezantohen pothuajse të gjitha opsionet e mundshme detyrat Për vete studim. Përveç kësaj, do të keni mundësinë të shkarkoni të gatshme nga një shërbim i mbajtjes së skedarëve plotësisht falas. zgjidhje të detajuara për këto detyra, duke ilustruar mënyra të ndryshme duke marrë përgjigjen e saktë.

sistemet e numrave pozicional.

Sistemet e numrave jopozicionalë- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre nuk varet nga vendndodhja e saj në numër.

Sistemet e numrave jo-pozicionalë përfshijnë, për shembull, romake, ku në vend të numrave ka shkronja latine.

I	1 (një)
V	5 (pesë)
X	10 (dhjetë)
L	50 (pesëdhjetë)
C	100 (njëqind)
D	500 (pesëqind)
M	1000 (mijë)

Këtu shkronja V qëndron për 5, pavarësisht nga vendndodhja e saj. Megjithatë, vlen të përmendet se megjithëse sistemi romak i numrave është një shembull klasik i një sistemi numrash jopozicional, ai nuk është plotësisht jopozicional, sepse Numri më i vogël përpara atij më të madhi zbritet prej tij:

IL	49 (50-1=49)
VI	6 (5+1=6)
XXI	21 (10+10+1=21)
MI	1001 (1000+1=1001)

sistemet e numrave pozicional.

Sistemet e numrave pozicional- sistemet e numrave në të cilat vlera sasiore e një shifre varet nga vendndodhja e saj në numër.

Për shembull, nëse flasim për sistemin e numrave dhjetorë, atëherë në numrin 700 numri 7 do të thotë "shtatëqind", por i njëjti numër në numrin 71 do të thotë "shtatë dhjetëra", dhe në numrin 7020 - "shtatë mijë". .

Secili sistemi i numrave pozicional ka të vetin bazë. Si bazë zgjidhet një numër natyror më i madh ose i barabartë me dy. Është e barabartë me numrin e shifrave të përdorura në një sistem numrash të caktuar.

Binar- sistemi i numrave pozicional me bazën 2.
Kuaternare- sistemi i numrave pozicional me bazën 4.
Pesëfish- sistemi i numrave pozicional me bazën 5.
oktal- sistemi i numrave pozicional me bazën 8.
Heksadecimal- sistemi i numrave pozicional me bazën 16.

Për të zgjidhur me sukses problemet në temën "Sistemet e numrave", studenti duhet të dijë përmendësh korrespondencën e numrave binar, dhjetorë, oktalë dhe heksadecimal deri në 16 10:

10 s/s	2 s/s	8 s/s	16 s/s
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Është e dobishme të dihet se si fitohen numrat në këto sisteme numrash. Ju mund ta merrni me mend se në oktal, heksadecimal, tresh dhe të tjerë sistemet e numrave pozicional gjithçka ndodh në të njëjtën mënyrë si sistemi dhjetor me të cilin jemi mësuar:

Një i shtohet numrit dhe fitohet një numër i ri. Nëse vendi i njësive bëhet i barabartë me bazën e sistemit të numrave, ne e rrisim numrin e dhjetësheve me 1, etj.

Ky "kalim i një" është ajo që frikëson shumicën e studentëve. Në fakt, gjithçka është mjaft e thjeshtë. Kalimi ndodh nëse shifra e njësive bëhet e barabartë me bazën e numrave, e rrisim numrin e dhjetësheve me 1. Shumë, duke kujtuar sistemin e mirë të vjetër dhjetor, ngatërrohen menjëherë për shifrat në këtë tranzicion, sepse dhjetëshja dhe, për shembull, dhjetëshja binare janë gjëra të ndryshme.

Prandaj, studentët e shkathët zhvillojnë "metodat e tyre" (çuditërisht... duke punuar) kur plotësojnë, për shembull, tabela të së vërtetës, kolonat e para (vlerat e ndryshueshme) të të cilave, në fakt, janë të mbushura me numra binarë në rend rritës.

Për shembull, le të shohim futjen e numrave sistemi oktal: Numrit të parë (0) i shtojmë 1, marrim 1. Më pas i shtojmë 1 në 1, marrim 2 etj. në 7. Nëse i shtojmë një me 7, fitojmë një numër të barabartë me bazën e sistemit të numrave, d.m.th. 8. Pastaj ju duhet të rrisni vendin e dhjetëra me një (marrim dhjetën oktal - 10). Më tej, padyshim, janë numrat 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Rregullat për konvertimin nga një sistem numrash në tjetrin.

1 Konvertimi i numrave dhjetorë me numra të plotë në çdo sistem tjetër numrash.

Numri duhet të ndahet me baza e re e sistemit të numrave. Pjesa e parë e mbetur e pjesëtimit është shifra e parë e vogël e numrit të ri. Nëse herësi i pjesëtimit është më i vogël ose i barabartë me bazën e re, atëherë ai (herësi) duhet të ndahet përsëri me bazën e re. Ndarja duhet të vazhdohet derisa të marrim një herës më të vogël se baza e re. Kjo është shifra më e lartë e numrit të ri (duhet të mbani mend se, për shembull, në sistemin heksadecimal, pas 9 ka shkronja, d.m.th. nëse pjesa e mbetur është 11, duhet ta shkruani si B).

Shembull ("pjestimi sipas këndit"): Le ta kthejmë numrin 173 10 në sistemin e numrave oktal.

Kështu, 173 10 = 255 8

2 Shndërrimi i thyesave dhjetore të rregullta në çdo sistem tjetër numrash.

Numri duhet të shumëzohet me bazën e sistemit të ri të numrave. Shifra që është bërë pjesë e plotë është shifra më e lartë e pjesës thyesore të numrit të ri. për të marrë shifrën tjetër, pjesa thyesore e produktit që rezulton duhet përsëri të shumëzohet me një bazë të re të sistemit të numrave derisa të ndodhë kalimi në të gjithë pjesën. Ne vazhdojmë shumëzimin derisa pjesa thyesore të jetë e barabartë me zero, ose derisa të arrijmë saktësinë e specifikuar në problem (“...llogaritni me një saktësi, për shembull, dy shifra dhjetore”).

Shembull: Le ta kthejmë numrin 0.65625 10 në sistemin e numrave oktal.

Shënimi është një mënyrë për të shkruar numrat. Zakonisht, numrat shkruhen duke përdorur karaktere speciale - numra (megjithëse jo gjithmonë). Nëse nuk keni studiuar kurrë kjo pyetje, atëherë të paktën duhet të dini dy sisteme numrash - arabisht dhe romak. I pari përdor numrat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dhe është një sistem numrash pozicional. Dhe në të dytën - I, V, X, L, C, D, M dhe ky është një sistem numrash jo-pozicional.

Në sistemet e numrave pozicional, sasia e shënuar me një shifër në një numër varet nga pozicioni i tij, por në sistemet e numrave jopozicional nuk varet. Për shembull:

11 - këtu njësia e parë tregon dhjetë, dhe e dyta - 1.
II - këtu të dyja njësitë tregojnë një.

345, 259, 521 - këtu numri 5 në rastin e parë do të thotë 5, në të dytën - 50, dhe në të tretën - 500.

XXV, XVI, VII - këtu, kudo që të jetë numri V, gjithmonë nënkupton pesë njësi. Me fjalë të tjera, sasia e shënuar me shenjën V nuk varet nga pozicioni i saj.

Mbledhja, shumëzimi dhe veprimet e tjera matematikore janë më të lehta për t'u kryer në sistemet e numrave pozicional sesa në ato jopozicionale, sepse operacionet matematikore kryhen duke përdorur algoritme të thjeshta (për shembull, shumëzimi me një kolonë, krahasimi i dy numrave).

Sistemet e numrave pozicional janë më të zakonshmet në botë. Përveç sistemit dhjetor, i cili është i njohur për të gjithë që nga fëmijëria (i cili përdor dhjetë shifra nga 0 në 9), sisteme të tilla numrash si binar (përdoren numrat 0 dhe 1), oktal dhe heksadecimal përdoren gjerësisht në teknologji.

Duhet të theksohet roli i rëndësishëm i zeros. "Zbulimi" i këtij numri në historinë e njerëzimit luajti një rol të madh në formimin e sistemeve të numrave pozicional.

Baza e një sistemi numrash është numri i shifrave që përdoren për të shkruar numrat.

Vendi është pozicioni i një shifre në një numër. Kapaciteti shifror i një numri është numri i shifrave që përbëjnë numrin (për shembull, 264 është një numër treshifror, 00010101 është një numër tetëshifror). Shifrat numërohen nga e djathta në të majtë (për shembull, në numrin 598, tetë zë shifrën e parë dhe pesë zë të tretën).

Pra, në sistemin e numrave pozicional, numrat shkruhen në atë mënyrë që çdo shifër tjetër (lëvizje nga e djathta në të majtë) të jetë më e madhe se tjetra për nga fuqia e bazës së sistemit të numrave. (shfaq një diagram)

I njëjti numër (vlerë) mund të përfaqësohet në sisteme të ndryshme numrash. Përfaqësimi i numrit është i ndryshëm, por kuptimi mbetet i pandryshuar.

Sistemi binar i numrave

NË sistemi binar numërimi përdor vetëm dy shifra 0 dhe 1. Me fjalë të tjera, dy është baza e sistemit binar të numrave. (Në mënyrë të ngjashme, sistemi dhjetor ka një bazë prej 10.)

Për të mësuar të kuptoni numrat në sistemin e numrave binar, së pari merrni parasysh se si formohen numrat në sistemin e numrave dhjetorë të njohur për ne.

Në sistemin e numrave dhjetorë kemi dhjetë shifra (nga 0 në 9). Kur numërimi arrin 9, futet një shifër e re (dhjetëshe), ato rivendosen në zero dhe numërimi fillon përsëri. Pas 19, shifra e dhjetësheve rritet me 1, dhe ato rivendosen përsëri në zero. Dhe kështu me radhë. Kur dhjetëshja arrijnë në 9, atëherë shfaqet shifra e tretë - qindra.

Sistemi i numrave binar është i ngjashëm me sistemin e numrave dhjetorë, me përjashtim të faktit se vetëm dy shifra përfshihen në formimin e numrit: 0 dhe 1. Sapo shifra arrin kufirin e saj (d.m.th., një), shfaqet një shifër e re dhe e vjetra është rivendosur në zero.

Le të përpiqemi të numërojmë në sistemin binar:
0 është zero
1 është një (dhe ky është kufiri i shkarkimit)
10 është dy
11 është tre (dhe ky është përsëri kufiri)
100 është katër
101 - pesë
110 - gjashtë
111 - shtatë, etj.
Shndërrimi i numrave nga binar në dhjetor

Nuk është e vështirë të vërehet se në sistemin e numrave binar, gjatësitë e numrave rriten me shpejtësi ndërsa vlerat rriten. Si të përcaktoni se çfarë do të thotë: 10001001? I pamësuar me këtë formë të shkrimit të numrave, truri i njeriut zakonisht nuk mund ta kuptojë se sa është. Do të ishte mirë të ishim në gjendje të konvertonim numrat binarë në dhjetorë.

Në sistemin e numrave dhjetorë, çdo numër mund të paraqitet si shumë njësish, dhjetëshe, qindëshe etj. Për shembull:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Shikoni me kujdes këtë hyrje. Këtu numrat 1, 4, 7 dhe 6 janë një grup numrash që përbëjnë numrin 1476. Të gjithë këta numra shumëzohen me radhë me dhjetë të ngritur në një shkallë ose në një tjetër. Dhjetë është baza e sistemit të numrave dhjetorë. Fuqia në të cilën është ngritur dhjetë është shifra e shifrës minus një.

Çdo numër binar mund të zgjerohet në mënyrë të ngjashme. Vetëm baza këtu do të jetë 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Ato. Numri 10001001 në bazën 2 është i barabartë me numrin 137 në bazën 10. Mund ta shkruani kështu:

10001001 2 = 13710
Pse sistemi i numrave binar është kaq i zakonshëm?

Fakti është se sistemi binar i numrave është gjuha e teknologjisë kompjuterike. Çdo numër duhet të përfaqësohet disi në një medium fizik. Nëse ky është një sistem dhjetor, atëherë do t'ju duhet të krijoni një pajisje që mund të ketë dhjetë gjendje. Eshte e komplikuar. Është më e lehtë të prodhohet një element fizik që mund të jetë vetëm në dy gjendje (për shembull, ka rrymë ose nuk ka rrymë). Kjo është një nga arsyet kryesore pse i kushtohet kaq shumë vëmendje sistemit të numrave binar.
Shndërrimi i një numri dhjetor në binar

Mund t'ju duhet të konvertoni numrin dhjetor në binar. Një mënyrë është pjesëtimi me dy dhe formimi i një numri binar nga pjesa e mbetur. Për shembull, ju duhet të merrni shënimin e tij binar nga numri 77:

77 / 2 = 38 (1 mbetur)
38 / 2 = 19 (0 mbetur)
19 / 2 = 9 (1 mbetur)
9 / 2 = 4 (1 mbetur)
4 / 2 = 2 (0 mbetur)
2 / 2 = 1 (0 mbetur)
1 / 2 = 0 (1 mbetur)

Ne mbledhim mbetjet së bashku, duke filluar nga fundi: 1001101. Ky është numri 77 në paraqitjen binar. Le të kontrollojmë:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Sistemi i numrave oktal

Pra, "hardueri" modern kupton vetëm sistemin e numrave binar. Sidoqoftë, është e vështirë për një person të perceptojë regjistrime të gjata të zerave dhe njëshit nga njëra anë, dhe nga ana tjetër, konvertimi i numrave nga sistemi binar në sistemin dhjetor dhe mbrapa është mjaft kohë dhe punë intensive. Si rezultat, programuesit shpesh përdorin sisteme të tjera numrash: oktal dhe heksadecimal. Të dy 8 dhe 16 janë fuqitë e dy, dhe konvertimi i një numri binar në to (si dhe të bësh të kundërtën) është shumë i lehtë.

Sistemi i numrave oktal përdor tetë shifra (nga 0 në 7). Çdo shifër korrespondon me një grup prej tre shifrash në sistemin e numrave binar:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Për të kthyer një numër binar në oktal, mjafton ta ndani atë në treshe dhe t'i zëvendësoni me shifrat e tyre përkatëse nga sistemi i numrave oktal. Ju duhet të filloni të ndani në treshe nga fundi dhe të zëvendësoni numrat që mungojnë në fillim me zero. Për shembull:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Kjo do të thotë, numri 1011101 në sistemin e numrave binar është i barabartë me numrin 135 në sistemin e numrave oktal. Ose 1011101 2 = 1358.

Përkthimi i kundërt. Le të themi se dëshironi të konvertoni numrin 1008 (mos u gaboni! 100 në oktal nuk është 100 në dhjetor) në sistemin e numrave binar.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Shndërrimi i një numri oktal në një numër dhjetor mund të bëhet duke përdorur skemën tashmë të njohur:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Sistemi i numrave heksadecimal

Sistemi i numrave heksadecimal, si sistemi i numrave oktal, përdoret gjerësisht në shkencën kompjuterike për shkak të lehtësisë së konvertimit të numrave binarë në të. Shënimi heksadecimal i bën numrat më kompakt.

Sistemi heksadecimal i numrave përdor numrat nga 0 në 9 dhe gjashtë shkronjat e para latine - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Kur konvertohet një numër binar në heksadecimal, i pari ndahet në grupe me katër shifra, duke filluar nga fundi. Nëse numri i shifrave nuk është i pjesëtueshëm me një numër të plotë, atëherë katër të parët bashkohen me zero përpara. Çdo katër korrespondon me një shifër në sistemin heksadecimal të numrave:

Për shembull:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Nëse është e nevojshme, numri 4C5 mund të shndërrohet në sistemin e numrave dhjetorë si më poshtë (C duhet të zëvendësohet me numrin që korrespondon me këtë simbol në sistemin e numrave dhjetorë - ky është 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Numri maksimal dyshifror që mund të merret duke përdorur shënimin heksadecimal është FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 është vlera maksimale e një bajt, e barabartë me 8 bit: 1111 1111 = FF. Prandaj, duke përdorur sistemin e numrave heksadecimal është shumë i përshtatshëm për të shkruar shkurtimisht vlerat e bajtit (duke përdorur dy shifra). Kujdes! Një bajt 8-bit mund të ketë 256 gjendje, por vlera maksimale është 255. Mos harroni për 0 - kjo është pikërisht gjendja e 256-të

Leksioni 1. Sistemet e numrave

1. Historia e shfaqjes së sistemeve të numrave.

2. Sistemet e numrave pozicional dhe jopozicional.

3. Sistemi i numrave dhjetorë, duke shkruar numra në të.

4. Renditja

Një person vazhdimisht duhet të merret me numra, kështu që ju duhet të jeni në gjendje të emërtoni dhe shkruani saktë çdo numër dhe të kryeni veprime me numra. Si rregull, të gjithë e përballojnë këtë me sukses. Këtu ndihmon metoda e shkrimit të numrave që aktualisht përdoret kudo dhe quhet sistemi i numrave dhjetorë.

Studimi i këtij sistemi fillon në Shkolla fillore, dhe, natyrisht, mësuesi ka nevojë për njohuri të caktuara në këtë fushë. Ai duhet të dijë mënyra të ndryshme të shkrimit të numrave, algoritmeve veprimet aritmetike dhe arsyetimin e tyre. Materiali në këtë leksion ofron minimumin pa të cilin është e pamundur të kuptohen qasje të ndryshme metodologjike të mësimdhënies. nxënës të shkollave të vogla mënyrat e shkrimit të numrave dhe kryerjes së veprimeve mbi to.

Historia e shfaqjes së sistemeve të numrave.

Koncepti i numrit u ngrit në kohët e lashta. Më pas lindi nevoja për të emërtuar dhe shkruar numra. Quhet gjuha për emërtimin, shkrimin e numrave dhe kryerjen e veprimeve mbi to sistemi i numrave.

Sistemi më i thjeshtë rekorde numrat natyrorë kërkon vetëm një numër, si p.sh. "shkopinj" (ose pika në dru, si p.sh njeri primitiv, ose një nyjë në një litar, si indianët e Amerikës), që përfaqëson një njësi. Duke përsëritur këtë shenjë, mund të shkruani çdo numër: çdo numër n e shkruar thjesht n"shkopinj". Në një sistem të tillë numrash është i përshtatshëm për të kryer veprime aritmetike. Por kjo metodë e regjistrimit është shumë joekonomike dhe për një numër të madh në mënyrë të pashmangshme çon në gabime në numërim.

Prandaj, me kalimin e kohës, u shfaqën mënyra të tjera, më ekonomike dhe më të përshtatshme për të shkruar numra. Le të shohim disa prej tyre.

NË Greqia e lashte i ashtuquajturi numërimi i papafingo. Numrat 1, 2, 3, 4 u treguan me viza:

Numri 5 shkruhej me shenjën G (forma e lashtë e shkronjës "pi", me të cilën fillon fjala "pente" - pesë). Numrat 6, 7, 8, 9 u caktuan si më poshtë:

Numri 10 shënohej me Δ (gërma fillestare e fjalës "deca" është dhjetë). Numrat 100, 1000 dhe 10,000 u caktuan H, X, M - shkronjat fillestare të fjalëve përkatëse.

Numra të tjerë shkruheshin me kombinime të ndryshme të këtyre shenjave.

Në shekullin e tretë para Krishtit, numërimi atik u zëvendësua nga të ashtuquajturat Sistemi Jon. Në të, numrat 1 - 9 tregohen nga nëntë shkronjat e para të alfabetit: α (alfa), β (beta), γ (gama), δ (delta), ε (epsilon), ς (Uau) ζ (zeta),
η (eta), (theta).

Numrat 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 - në nëntë shkronjat e mëposhtme: i(jotë),
κ (kapa), λ (lambda), μ (mu), ν (lakuriq), ξ (xi), ο (omicron), π (pi), Me(polic).

Numrat 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 janë nëntë shkronjat e fundit të alfabetit grek.

Në kohët e lashta, hebrenjtë, arabët dhe shumë popuj të tjerë të Lindjes së Mesme kishin numërim alfabetik të ngjashëm me atë grek të lashtë. Nuk dihet se në mesin e njerëzve u shfaq për herë të parë.

NË Roma e lashtë numrat "kyç" ishin 1, 5, 10, 50, 100, 500 dhe 1000. Ata u caktuan përkatësisht me shkronjat I, V, X, L, C, D dhe M.

Të gjithë numrat e plotë (deri në 5000) u shkruan duke përsëritur numrat e mësipërm. Në të njëjtën kohë, nëse një numër më i madh është para një numri më të vogël, atëherë ato shtohen, por nëse më i vogli është para një më të madh (në këtë rast nuk mund të përsëritet), atëherë më i vogli zbritet. nga më i madhi: VI = 6, d.m.th. 5 + 1; IV = 4, d.m.th. 5 – 1;
XL = 40, d.m.th. 50 – 10; LX = 60, d.m.th. 50 + 10. I njëjti numër vendoset jo më shumë se tre herë radhazi: LXX = 70, LXXX = 80, numri 90 shkruhet XC (jo LXX).

Për shembull: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Kryerja e veprimeve aritmetike në numra shumëshifrorë në këtë shënim është shumë e vështirë. Sidoqoftë, numërimi romak ka mbijetuar deri më sot. Përdoret për të shënuar përvjetorë, emra konferencash, kapituj në libra etj.

Në kohët e lashta, numrat caktoheshin me shkronja në Rusisht. Për të treguar se shenja nuk është një shkronjë, por një numër, sipër tyre u vendos një shenjë e veçantë e quajtur "titlo". Nëntë shifrat e para u shkruan kështu:

Dhjetrat janë caktuar si më poshtë:

Qindra janë caktuar si më poshtë:

Mijera u caktuan me të njëjtat shkronja me "tituj" si nëntë shifrat e para, por ata kishin një shenjë "≠" në të majtë: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

Dhjetëra mijëra u quajtën " errët", ato u caktuan duke rrethuar shenjat e njësisë:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Nga këtu vjen shprehja “Errësirë për njerëzit”, d.m.th. ka shumë njerëz.

Qindra mijëra u quajtën " legjionet", ato u caktuan duke rrethuar shenjat e njësisë me rrathë pikash:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Miliona u quajtën " leodra" Ato u caktuan duke rrethuar shenjat e njësisë me rrathë rrezesh ose presje:

1 000 000, = 2 000 000.

Dhjetëra miliona u quajtën " sorrat"ose "corvids" dhe ato u caktuan duke rrethuar shenjat e njësisë me rrathë kryqesh ose duke vendosur shkronjën K në të dy anët:

Qindra miliona u quajtën " kuvertën" "Kuverta" kishte një përcaktim të veçantë - kllapa katrore u vendosën sipër dhe poshtë shkronjës:

Hieroglifet e banorëve Babilonia e lashtë përbëheshin nga pyka të ngushta vertikale dhe horizontale; këto dy ikona përdoreshin gjithashtu për të regjistruar numra. Një pykë vertikale nënkuptonte një, dhe një horizontale nënkuptonte dhjetë. Në Babiloninë e Lashtë ata numëroheshin në grupe prej 60 njësive. Për shembull, numri 185 përfaqësohej si 3 herë 60 dhe 5 më shumë. Një numër i tillë ishte shkruar duke përdorur vetëm dy shenja, njëra prej të cilave tregonte sa herë ishin marrë 60 dhe tjetra - sa njësi ishin marrë.

Ka shumë hipoteza se kur dhe si u ngrit sistemi seksagesimal midis babilonasve, por asnjë nuk është provuar ende. Një nga hipotezat është se ekzistonte një përzierje e dy fiseve, njëri prej të cilëve përdorte sistemin e gjashtëfishtë, dhe tjetri përdorte sistemin dhjetor. Sistemi sexagesimal u ngrit si një kompromis midis këtyre dy sistemeve. Një hipotezë tjetër është se babilonasit e konsideronin gjatësinë e vitit si 360 ditë, që natyrisht lidhet me numrin 60.

Sistemi seksagesimal, deri diku, ka mbijetuar deri më sot, për shembull, në ndarjen e orës në 60 minuta, dhe minutën në 60 sekonda, dhe në një sistem të ngjashëm për matjen e këndeve: 1 shkallë është e barabartë me 60 minuta, 1. minuta është 60 sekonda.

Sistemi binar Shënimi u përdor nga disa fise primitive gjatë numërimit; ishte i njohur për matematikanët e lashtë kinezë, por ishte matematikani i madh gjerman Leibniz që zhvilloi dhe ndërtoi me të vërtetë sistemin binar, i cili pa në të personifikimin e një të vërtete të thellë metafizike.

Sistemi binar i numrave përdoret nga disa kultura (lokale) në Afrikë, Australi dhe Amerika Jugore.

Për të paraqitur numrat në sistemin e numrave binar, kërkohen vetëm dy shifra: 0 dhe 1. Për këtë arsye, shënimi binar i një numri është i lehtë të përfaqësohet duke përdorur elementë fizikë që kanë dy gjendje të ndryshme të qëndrueshme. Kjo është pikërisht ajo që shërbeu si një nga arsyet e rëndësishme për përdorimin e gjerë të sistemit binar në kompjuterët elektronikë modernë.

Më ekonomike nga të gjitha sistemet e numrave është treshe. Sistemi binar dhe sistemi kuaternar, i cili është i barabartë me të për nga efikasiteti, janë disi inferiorë në këtë drejtim ndaj sistemit tresh, por janë superiorë ndaj të gjitha sistemeve kryesore të mundshme. Nëse shkrimi i numrave nga 1 në 10 në sistemin dhjetor kërkon 90 gjendje të ndryshme, dhe në sistemin binar - 60, atëherë në sistemin tresh mjaftojnë 57 gjendje.

Situata më e zakonshme në të cilën shfaqet nevoja për analiza treshe është, ndoshta, peshimi në një peshore filxhani. Këtu mund të lindin tre raste të ndryshme: ose njëra nga kupat do të jetë më e madhe se tjetra, ose anasjelltas, ose kupat do të balancojnë njëra-tjetrën.

Sistemi i numrave kuaternar përdoret kryesisht nga fiset indiane të Amerikës së Jugut dhe Indianët Yucca të Kalifornisë, të cilët numërojnë hapësirat midis gishtërinjve të tyre.

Sistemi i numrave pesëfish ishte shumë më i përhapur se të gjithë të tjerët. Indianët Tamanacos të Amerikës së Jugut përdorin të njëjtën fjalë për numrin 5 si për "dorën e tërë". Fjala "gjashtë" në Tamanak do të thotë "një gisht në anën tjetër", shtatë do të thotë "dy gishta nga ana tjetër", etj. për tetë dhe nëntë. Dhjetë quhet "dy duar". Duke dashur të emërtojnë një numër nga 11 në 14, Tamanakos shtrijnë të dyja duart përpara dhe numërojnë: "një në këmbë, dy në këmbë", etj. derisa të arrijnë 15 - "e gjithë këmbën". Kjo pasohet nga "njëri në këmbën tjetër" (numri 16), etj. në 19. Numri 20 në Tamanak do të thotë "një indian", 21 do të thotë "një në dorën e një indiani tjetër". "Dy Indians" do të thotë 40, "tre Indians" do të thotë 60.

Banorët e Java antike dhe Aztecs kishin një javë prej 5 ditësh.

Disa historianë besojnë se numri romak X (dhjetë) përbëhej nga dy romake 5 V (njëra prej tyre e përmbysur), dhe numri V nga ana e tij lindi nga një imazh i stilizuar i një dore njerëzore.

Ishte e përhapur në kohët e lashta sistemi i numrave duodecimal. Origjina e saj lidhet edhe me numërimin me gishta. Domethënë, meqenëse katër gishtat e dorës (përveç gishtit të madh) kanë gjithsej 12 falangazhe, atëherë përgjatë këtyre falangave, duke i kthyer me radhë me gishtin e madh, numërohen nga 1 në 12. Më pas 12 merret si njësi e shifra tjetër.

Avantazhi kryesor i sistemit duodecimal është se baza e tij është e pjestueshme me 2, 3 dhe 4. Përkrahësit e sistemit duodecimal u shfaqën në shekullin e 16-të. Në një kohë të mëvonshme, këto përfshinin: njerëz të shquar, si Herbert Spencer, John Quincy Adams dhe George Bernard Shaw. Ekziston edhe një Shoqëri Duodecimal Amerikane, e cila boton dy periodikë: Buletinin Duodecimal dhe Manualin e Sistemit Duodecimal. Shoqëria i siguron të gjitha "duodenumet" me një vizore të veçantë numërimi, në të cilin 12 përdoret si bazë.

Në të folurit gojor, mbetjet e sistemit duodecimal kanë mbijetuar deri më sot: në vend që të thonë "dymbëdhjetë", disa thonë "duzinë". Është ruajtur zakoni i numërimit të shumë artikujve jo me dhjetëra, por me dhjetëra, për shembull, takëm në një shërbim (një komplet për 12 persona) ose karrige në një grup mobiljesh.

Emri i njësisë së tretë shifrore në sistemin e numrave duodecimal është bruto- është e rrallë tani, por në praktikën tregtare në fillim të shekullit të 20-të ekzistonte dhe, edhe njëqind vjet më parë, mund të gjendej lehtësisht. Për shembull, në poezinë "Plyushkin" të shkruar në 1928 nga V.V. Mayakovsky, duke u tallur me banorët e qytetit që blejnë gjithçka që u nevojitet dhe nuk u nevojitet, shkroi:

Duke shikuar përreth

një shpërndarje mallrash,

Sistemi i numrave binar përdor vetëm dy shifra, 0 dhe 1. Me fjalë të tjera, dy është baza e sistemit të numrave binar. (Në mënyrë të ngjashme, sistemi dhjetor ka një bazë prej 10.)

Për të mësuar të kuptoni numrat në sistemin e numrave binar, së pari merrni parasysh se si formohen numrat në sistemin e numrave dhjetorë të njohur për ne.

Shndërrimi i numrave nga binar në dhjetor

Në sistemin e numrave dhjetorë, çdo numër mund të paraqitet si shumë njësish, dhjetëshe, qindëshe etj. Për shembull:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0