Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dy numrave të plotë. Çfarë është një nyje? Divizioni. dividend: pjesëtues = herës
Lancinova Aisa
Shkarko:
Pamja paraprake:
Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjes:
Probleme në GCD dhe LCM të numrave Puna e një nxënësi të klasës së 6-të të MCOU "Shkolla e mesme Kamyshovskaya" Lantsinova Aisa Mbikëqyrësja Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, mësuese matematike f. Kamyshevo, 2013
Një shembull i gjetjes së gcd-së së numrave 50, 75 dhe 325. 1) Le të faktorizojmë numrat 50, 75 dhe 325 në faktorë të thjeshtë. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Nga faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej këtyre numrave, kryqëzojmë ata që nuk përfshihen në zgjerimin e të tjerëve. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Gjeni prodhimin e faktorëve të mbetur 5 ∙ 5 = 25 Përgjigje: GCD (50, 75 dhe 25 më e madhja natyrore) numër me të cilin Kur numrat a dhe b pjesëtohen pa mbetje, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave.
Një shembull i gjetjes së LCM të numrave 72, 99 dhe 117. 1) Le të faktorizojmë numrat 72, 99 dhe 117 në faktorë të thjeshtë. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 11 ∙ 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Shkruani faktorët e përfshirë në zgjerimin e njërit prej numrave 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 dhe shtoni atyre faktorët që mungojnë të numrave të mbetur. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Gjeni produktin e faktorëve që rezultojnë. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Përgjigje: LCM (72, 99 dhe 117) = 10296 Shumëfishi më i vogël i zakonshëm numrat natyrorë a dhe b emërtojnë numrin më të vogël natyror që është shumëfish i a dhe b.
Fleta e kartonit ka formën e një drejtkëndëshi, gjatësia e së cilës është 48 cm dhe gjerësia 40 cm.Kjo fletë duhet të pritet në katrorë të barabartë pa mbeturina. Cilat janë katrorët më të mëdhenj që mund të merren nga kjo fletë pune dhe sa? Zgjidhja: 1) S = a ∙ b - zona e drejtkëndëshit. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². - zona e kartonit. 2) a – ana e katrorit 48: a – numri i katrorëve që mund të vendosen përgjatë gjatësisë së kartonit. 40: a – numri i katrorëve që mund të vendosen në të gjithë gjerësinë e kartonit. 3) GCD (40 dhe 48) = 8 (cm) - ana e katrorit. 4) S = a² - sipërfaqja e një katrori. S = 8² = 64 (cm²) - sipërfaqja e një katrori. 5) 1960: 64 = 30 (numri i katrorëve). Përgjigje: 30 katrorë me brinjë 8 cm secili. Problemet e GCD
Oxhaku në dhomë duhet të jetë i shtruar me pllaka në formën e një katrori. Sa pllaka do të nevojiten për një oxhak me përmasa 195 ͯ 156 cm dhe cilat janë përmasat më të mëdha të pllakave? Zgjidhje: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S e sipërfaqes së oxhakut. 2) GCD (195 dhe 156) = 39 (cm) - ana e pllakës. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - sipërfaqja prej 1 pllake. 4) 30420: = 20 (copë). Përgjigje: 20 pllaka me përmasa 39 ͯ 39 (cm). Problemet e GCD
Një parcelë kopshti me përmasa 54 ͯ 48 m rreth perimetrit duhet të jetë e rrethuar; për ta bërë këtë, duhet të vendosen shtylla betoni në intervale të rregullta. Sa shtylla duhet të sillen për vendin dhe në cilën distancë maksimale nga njëra-tjetra do të vendosen shtyllat? Zgjidhje: 1) P = 2(a + b) – perimetri i vendit. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 dhe 48) = 6 (m) - distanca midis shtyllave. 3) 204: 6 = 34 (shtyllat). Përgjigje: 34 shtylla, në një distancë prej 6 m Problemet e GCD
Buqeta u mblodhën nga 210 trëndafila burgundy, 126 të bardhë dhe 294 trëndafila të kuq, me çdo buqetë që përmban një numër të barabartë trëndafilash të së njëjtës ngjyrë. Cili është numri më i madh i buqetave të bëra nga këto trëndafila dhe sa trëndafila të secilës ngjyrë janë në një buqetë? Zgjidhja: 1) GCD (210, 126 dhe 294) = 42 (buqeta). 2) 210: 42 = 5 (trëndafila burgundy). 3) 126: 42 = 3 (trëndafila të bardhë). 4) 294: 42 = 7 (trëndafila të kuq). Përgjigje: 42 buqeta: 5 bordo, 3 të bardhë, 7 trëndafila të kuq në secilën buqetë. Problemet e GCD
Tanya dhe Masha blenë të njëjtin numër komplete postare. Tanya pagoi 90 rubla, dhe Masha pagoi 5 rubla. më shumë. Sa kushton një set? Sa komplete bleu secili person? Zgjidhja: 1) 90 + 5 = 95 (fshij.) Masha pagoi. 2) GCD (90 dhe 95) = 5 (fshij.) - çmimi i 1 grupi. 3) 980: 5 = 18 (grupe) - blerë nga Tanya. 4) 95: 5 = 19 (grupe) - blerë nga Masha. Përgjigje: 5 rubla, 18 grupe, 19 grupe. Problemet e GCD
Në qytetin port nisin tre udhëtime turistike me varkë, nga të cilët i pari zgjat 15 ditë, i dyti 20 dhe i treti 12 ditë. Pasi u kthyen në port, anijet u nisën përsëri në të njëjtën ditë. Sot, anijet u larguan nga porti në të tre rrugët. Pas sa ditësh do të lundrojnë sërish bashkë për herë të parë? Sa udhëtime do të bëjë çdo anije? Zgjidhja: 1) NOC (15,20 dhe 12) = 60 (ditë) – koha e takimit. 2) 60: 15 = 4 (lundrime) – 1 anije. 3) 60: 20 = 3 (udhëtime) – 2 anije. 4) 60: 12 = 5 (fluturime) - 3 anije. Përgjigje: 60 ditë, 4 fluturime, 3 fluturime, 5 fluturime. Detyrat e NOC
Masha bleu vezë për Ariu në dyqan. Rrugës për në pyll, ajo kuptoi se numri i vezëve është i pjesëtueshëm me 2,3,5,10 dhe 15. Sa vezë bleu Masha? Zgjidhja: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (vezë) Përgjigje: Masha bleu 30 vezë. detyrat e NOC
Kërkohet të bëhet një kuti me fund katror për të vendosur kuti me përmasa 16 ͯ 20 cm. Cila është gjatësia më e shkurtër e anës së fundit katrore për t'i vendosur kutitë fort në kuti? Zgjidhje: 1) LCM (16 dhe 20) = 80 (kuti). 2) S = a ∙ b - sipërfaqe prej 1 kutie. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) - sipërfaqja e poshtme prej 1 kutie. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - sipërfaqja e pjesës së poshtme katrore. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – dimensionet e kutisë. Përgjigje: 160 cm është ana e pjesës së poshtme katrore. detyrat e NOC
Përgjatë rrugës nga pika K ka shtylla elektrike çdo 45 m. Ata vendosën t'i zëvendësojnë këto shtylla me të tjera, duke i vendosur në një distancë prej 60 m nga njëra-tjetra. Sa shtylla ishin dhe sa do të jenë? Zgjidhje: 1) LCM (45 dhe 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - kishte shtylla. 3) 180: 60 = 3 - u bënë shtylla. Përgjigje: 4 shtylla, 3 shtylla. detyrat e NOC
Sa ushtarë marshojnë në terrenin e parakalimit nëse marshojnë në formacion prej 12 personash në një rresht dhe shndërrohen në një kolonë prej 18 vetësh në një rresht? Zgjidhja: 1) NOC (12 dhe 18) = 36 (njerëz) - marshim. Përgjigje: 36 persona. detyrat e NOC
Le të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të GCD (36; 24)
Hapat e zgjidhjes
Metoda nr. 1
36
- numri i përbërë
24
- numri i përbërë
Le të zgjerojmë numrin 36
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 2
9:
3
=
3
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 3.
Le të zbërthejmë numrin 24 në faktorët kryesorë dhe theksojini me të gjelbër. Fillojmë të zgjedhim një pjesëtues nga numrat e thjeshtë, duke filluar me numrin më të vogël të thjeshtë 2, derisa herësi të rezultojë të jetë një numër i thjeshtë
24:
2
= 12
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 2
12:
2
= 6
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 2
6:
2
=
3
Plotësojmë pjesëtimin pasi 3 është numër i thjeshtë
2) Theksojeni me blu dhe shkruani faktorët e përbashkët
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Faktorët e zakonshëm (36; 24): 2, 2, 3
3) Tani, për të gjetur GCD, duhet të shumëzoni faktorët e përbashkët
Përgjigje: GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Metoda nr. 2
1) Gjeni të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të numrave (36; 24). Për ta bërë këtë, ne do ta ndajmë në mënyrë alternative numrin 36 në pjesëtues nga 1 në 36, dhe numrin 24 në pjesëtues nga 1 në 24. Nëse numri është i pjesëtueshëm pa mbetje, atëherë pjesëtuesin e shkruajmë në listën e pjesëtuesve.
Për numrin 36
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
Për numrin 24 Le të shkruajmë të gjitha rastet kur është i pjesëtueshëm pa mbetje:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) Le të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e përbashkët të numrave (36; 24) dhe të theksojmë më të madhin me të gjelbër, ky do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i gcd-së së numrave (36; 24)
Faktorët e zakonshëm të numrave (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Përgjigje: GCD (36 ; 24) = 12
Le të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të LCM (52; 49)
Hapat e zgjidhjes
Metoda nr. 1
1) Le të faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse secili nga numrat është i thjeshtë (nëse një numër është i thjeshtë, atëherë ai nuk mund të zbërthehet në faktorë të thjeshtë, dhe ai vetë është një zbërthim)
52
- numri i përbërë
49
- numri i përbërë
Le të zgjerojmë numrin 52 në faktorët kryesorë dhe theksojini me të gjelbër. Fillojmë të zgjedhim një pjesëtues nga numrat e thjeshtë, duke filluar me numrin më të vogël të thjeshtë 2, derisa herësi të rezultojë të jetë një numër i thjeshtë
52:
2
= 26
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 2
26:
2
=
13
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 2.
Plotësojmë ndarjen pasi 13 është numër i thjeshtë
Le të zgjerojmë numrin 49 në faktorët kryesorë dhe theksojini me të gjelbër. Fillojmë të zgjedhim një pjesëtues nga numrat e thjeshtë, duke filluar me numrin më të vogël të thjeshtë 2, derisa herësi të rezultojë të jetë një numër i thjeshtë
49:
7
=
7
- pjesëtueshëm me numrin e thjeshtë 7.
Plotësojmë pjesëtimin pasi 7 është numër i thjeshtë
2) Para së gjithash, shkruani faktorët e numrit më të madh, dhe më pas numrin më të vogël. Le të gjejmë faktorët që mungojnë, të theksojmë me blu në zgjerimin e numrit më të vogël faktorët që nuk janë përfshirë në zgjerimin e numrit më të madh.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) Tani, për të gjetur LCM-në, duhet të shumëzoni faktorët e numrit më të madh me faktorët që mungojnë, të cilët janë theksuar me blu.
LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Metoda nr. 2
1) Gjeni të gjithë shumëfishat e mundshëm të numrave (52; 49). Për ta bërë këtë, ne do të shumëzojmë në mënyrë alternative numrin 52 me numrat nga 1 në 49 dhe numrin 49 me numrat nga 1 në 52.
Zgjidhni të gjitha shumëfishat 52 në të gjelbër:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Zgjidhni të gjitha shumëfishat 49 në të gjelbër:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) Le të shkruajmë të gjithë shumëfishat e përbashkët të numrave (52; 49) dhe të theksojmë me të gjelbër më të voglin, ky do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave (52; 49).
Shumëfisha të përbashkët të numrave (52; 49): 2548
Përgjigje: LCM (52; 49) = 2548
Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.
Për shembull:
Numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;
Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.
Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtuesit e numrave. Pjesëtues i një numri natyror a- është një numër natyror që pjesëton një numër të caktuar a pa lënë gjurmë. Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet të përbëra .
Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12. Pjesëtuesi i përbashkët i këtyre dy numrave a Dhe b- ky është numri me të cilin të dy numrat e dhënë ndahen pa mbetje a Dhe b.
Shumëfisha të përbashkët disa numra është një numër që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Për shembull, numrat 9, 18 dhe 45 kanë një shumëfish të përbashkët të 180. Por 90 dhe 360 janë gjithashtu shumëfishat e tyre të përbashkët. Midis të gjithë shumëfishave të përbashkët ka gjithmonë një më të vogël, in në këtë rast ky është 90. Ky numër quhet më i voglishumëfish i përbashkët (CMM).
LCM është gjithmonë një numër natyror që duhet të jetë më i madh se më i madhi i numrave për të cilët është përcaktuar.
Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM). Vetitë.
Komutativiteti:
Asociacioni:
Në veçanti, nëse dhe janë numra të dyfishtë, atëherë:
Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë m Dhe nështë pjesëtues i të gjithë shumëfishave të tjerë të përbashkët m Dhe n. Për më tepër, grupi i shumëfishave të përbashkët m, n përkon me grupin e shumëfishave të LCM( m, n).
Asimptotika për mund të shprehet në terma të disa funksioneve teorike të numrave.
Kështu që, Funksioni i Chebyshev. Dhe:
Kjo rrjedh nga përkufizimi dhe vetitë e funksionit Landau g(n).
Çfarë rrjedh nga ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë.
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM).
NOC( a, b) mund të llogaritet në disa mënyra:
1. Nëse dihet pjesëtuesi më i madh i përbashkët, mund të përdorni lidhjen e tij me LCM:
2. Le të dihet zbërthimi kanonik i të dy numrave në faktorë të thjeshtë:
Ku p 1 ,...,p k- numra të thjeshtë të ndryshëm dhe d 1 ,...,d k Dhe e 1 ,...,e k- numra të plotë jo negativë (ato mund të jenë zero nëse numri i thjeshtë përkatës nuk është në zgjerim).
Pastaj NOC ( a,b) llogaritet me formulën:
Me fjalë të tjera, zbërthimi LCM përmban të gjithë faktorët kryesorë të përfshirë në të paktën një nga zbërthimet e numrave a, b, dhe merret më i madhi nga dy eksponentët e këtij shumëzuesi.
Shembull:
Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të disa numrave mund të reduktohet në disa llogaritje sekuenciale të LCM të dy numrave:
Rregulli. Për të gjetur LCM-në e një serie numrash, ju nevojiten:
- të zbërthejë numrat në faktorë të thjeshtë;
- transferoni zbërthimin më të madh (prodhimin e faktorëve të numrit më të madh të atyre të dhënë) në faktorët e produktit të dëshiruar dhe më pas shtoni faktorët nga zbërthimi i numrave të tjerë që nuk figurojnë në numrin e parë ose që shfaqen në të. më pak herë;
— produkti rezultues i faktorëve të thjeshtë do të jetë LCM e numrave të dhënë.
Çdo dy ose më shumë numra natyrorë kanë LCM-në e tyre. Nëse numrat nuk janë shumëfish të njëri-tjetrit ose nuk kanë faktorë të njëjtë në zgjerim, atëherë LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e këtyre numrave.
Faktorët kryesorë të numrit 28 (2, 2, 7) plotësohen me një faktor 3 (numri 21), produkti që rezulton (84) do të jetë numri më i vogël që pjesëtohet me 21 dhe 28.
Faktorët kryesorë të numrit më të madh 30 plotësohen me faktorin 5 të numrit 25, produkti që rezulton 150 është më i madh se numri më i madh 30 dhe është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë pa mbetje. Kjo më pak produkt të mundshme (150, 250, 300...), të cilave të gjithë numrat e dhënë janë shumëfish.
Numrat 2,3,11,37 janë numra të thjeshtë, kështu që LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e numrave të dhënë.
Rregulli. Për të llogaritur LCM-në e numrave të thjeshtë, duhet të shumëzoni të gjithë këta numra së bashku.
Një tjetër opsion:
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave ju nevojiten:
1) përfaqësoni çdo numër si produkt i faktorëve të tij të thjeshtë, për shembull:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) shkruani fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) shkruani të gjithë pjesëtuesit (shumëzuesit) e thjeshtë të secilit prej këtyre numrave;
4) zgjidhni shkallën më të madhe të secilit prej tyre, që gjendet në të gjitha zgjerimet e këtyre numrave;
5) shumëzojini këto fuqi.
Shembull. Gjeni LCM-në e numrave: 168, 180 dhe 3024.
Zgjidhje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Ne shkruajmë fuqitë më të mëdha të të gjithë pjesëtuesve kryesorë dhe i shumëzojmë ato:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Quhet numri më i madh natyror me të cilin numrat a dhe b pjesëtohen pa mbetje pjesëtuesi më i madh i përbashkët këta numra. Shënoni GCD(a, b).
Le të shqyrtojmë gjetjen e GCD duke përdorur shembullin e dy numrave natyrorë 18 dhe 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Dhe 432
Le të faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Duke kaluar nga numri i parë faktorët e të cilit nuk janë në numrin e dytë dhe të tretë, marrim:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Si rezultat, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Gjetja e GCD duke përdorur algoritmin Euklidian
Mënyra e dytë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët është përdorimi Algoritmi Euklidian. Algoritmi i Euklidit është më i madhi mënyrë efektive gjetjen GCD, duke e përdorur atë ju duhet të gjeni vazhdimisht pjesën e mbetur të numrave të pjesëtimit dhe të aplikoni formula e përsëritjes.
Formula e përsëritjes për GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), ku një mod b është pjesa e mbetur e një pjesëtuar me b.
Algoritmi i Euklidit
Shembull Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 7920 Dhe 594
Le të gjejmë GCD ( 7920 , 594 ) duke përdorur algoritmin Euklidian, ne do të llogarisim pjesën e mbetur të pjesëtimit duke përdorur një kalkulator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Si rezultat, marrim GCD( 7920 , 594 ) = 198
Shumëfishi më pak i zakonshëm
Për të gjetur një emërues të përbashkët gjatë mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të ndryshëm, duhet të dini dhe të jeni në gjendje të llogaritni shumëfishi më pak i zakonshëm(NOK).
Një shumëfish i numrit "a" është një numër që në vetvete është i pjesëtueshëm me numrin "a" pa mbetje.
Numrat që janë shumëfish të 8 (d.m.th., këta numra pjesëtohen me 8 pa mbetje): këta janë numrat 16, 24, 32...
Shumëfishat e 9: 18, 27, 36, 45…
Ka pafundësisht shumëfisha të një numri të dhënë a, në ndryshim nga pjesëtuesit e të njëjtit numër. Ekziston një numër i kufizuar pjesëtuesish.
Shumëfishi i përbashkët i dy numrave natyrorë është një numër që pjesëtohet me të dy këta numra..
Shumëfishi më pak i zakonshëm(LCM) i dy ose më shumë numrave natyrorë është numri më i vogël natyror që është në vetvete i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave.
Si të gjeni NOC
LCM mund të gjendet dhe shkruhet në dy mënyra.
Mënyra e parë për të gjetur LOC
Kjo metodë përdoret zakonisht për numra të vegjël.
- Ne shkruajmë shumëfishat për çdo numër në një rresht derisa të gjejmë një shumëfish që është i njëjtë për të dy numrat.
- Ne shënojmë një shumëfish të numrit "a" shkronje e madhe"TO".
Shembull. Gjeni LCM 6 dhe 8.
Mënyra e dytë për të gjetur LOC
Kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur për të gjetur LCM për tre ose më shumë numra.
Numri i faktorëve identikë në zbërthimin e numrave mund të jetë i ndryshëm.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Përgjigje: LCM (24, 60) = 120
Ju gjithashtu mund të zyrtarizoni gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM) si më poshtë. Le të gjejmë LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Siç shohim nga zbërthimi i numrave, të gjithë faktorët e 12 përfshihen në zbërthimin e 24 (më i madhi i numrave), kështu që LCM-së i shtojmë vetëm një 2 nga zbërthimi i numrit 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Përgjigje: LCM (12, 16, 24) = 48
Raste të veçanta të gjetjes së një NOC
Për shembull, LCM (60, 15) = 60
Meqenëse numrat e përbashkët nuk kanë faktorë të thjeshtë të përbashkët, shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është i barabartë me produktin e këtyre numrave.
Në faqen tonë të internetit mund të përdorni gjithashtu një kalkulator të veçantë për të gjetur shumëfishin më pak të zakonshëm në internet për të kontrolluar llogaritjet tuaja.
Nëse një numër natyror plotpjesëtohet vetëm me 1 dhe me vetveten, atëherë ai quhet i thjeshtë.
Çdo numër natyror është gjithmonë i pjesëtueshëm me 1 dhe me vetveten.
Numri 2 është numri më i vogël i thjeshtë. Ky është i vetmi numër i thjeshtë çift, pjesa tjetër e numrave të thjeshtë janë tek.
Ka shumë numra të thjeshtë, dhe i pari prej tyre është numri 2. Megjithatë, nuk ka një numër të thjeshtë të fundit. Në seksionin "Për studim" mund të shkarkoni një tabelë me numra të thjeshtë deri në 997.
Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.
- numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;
- Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.
- të zbërthejë pjesëtuesit e numrave në faktorë të thjeshtë;
Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtues të numrit.
Pjesëtuesi i një numri natyror a është një numër natyror që e pjesëton numrin e dhënë "a" pa mbetje.
Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet i përbërë.
Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12.
Pjesëtuesi i përbashkët i dy numrave të dhënë "a" dhe "b" është numri me të cilin të dy numrat e dhënë "a" dhe "b" ndahen pa mbetje.
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) i dy numrave të dhënë "a" dhe "b" është numri më i madh, me të cilin të dy numrat "a" dhe "b" ndahen pa mbetje.
Shkurtimisht, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave "a" dhe "b" shkruhet si më poshtë::
Shembull: gcd (12; 36) = 12.
Pjesëtuesit e numrave në rekordin e zgjidhjes shënohen me shkronjën e madhe "D".
Numrat 7 dhe 9 kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Numra të tillë quhen numrat koprim.
Numrat e dyfishtë- këta janë numra natyrorë që kanë vetëm një pjesëtues të përbashkët - numrin 1. Gcd-ja e tyre është 1.
Si të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët
Për të gjetur gcd-në e dy ose më shumë numrave natyrorë ju nevojitet:
Është i përshtatshëm për të shkruar llogaritjet duke përdorur një shirit vertikal. Në të majtë të rreshtit fillimisht shkruajmë dividentin, në të djathtë - pjesëtuesin. Më pas, në kolonën e majtë shkruajmë vlerat e koeficientëve.
Le ta shpjegojmë menjëherë me një shembull. Le të faktorizojmë numrat 28 dhe 64 në faktorë të thjeshtë.
- Theksojmë të njëjtët faktorë kryesorë në të dy numrat.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Gjeni produktin e faktorëve të thjeshtë identikë dhe shkruani përgjigjen;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Përgjigje: GCD (28; 64) = 4
Ju mund të zyrtarizoni vendndodhjen e GCD në dy mënyra: në një kolonë (siç është bërë më lart) ose "me një rresht".
Mënyra e parë për të shkruar gcd
Gjeni gcd 48 dhe 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Mënyra e dytë për të shkruar gcd
Tani le të shkruajmë zgjidhjen për kërkimin GCD në një rresht. Gjeni gcd 10 dhe 15.
Në faqen tonë të informacionit mund të përdorni gjithashtu ndihmësin online Greatest Common Divisor për të kontrolluar llogaritjet tuaja.
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët, metodat, shembujt e gjetjes së LCM.
Materiali i paraqitur më poshtë është një vazhdim logjik i teorisë nga artikulli me titull LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj, lidhja midis LCM dhe GCD. Këtu do të flasim për gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM), dhe vëmendje të veçantë do t'i kushtojmë zgjidhjes së shembujve. Së pari, ne do të tregojmë se si llogaritet LCM e dy numrave duke përdorur GCD të këtyre numrave. Më pas, do të shqyrtojmë gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në gjetjen e LCM të tre ose më shumë numrave, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje llogaritjes së LCM të numrave negativë.
Navigimi i faqes.
Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD
Një mënyrë për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në marrëdhënien midis LCM dhe GCD. Marrëdhënia ekzistuese midis LCM dhe GCD ju lejon të llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të plotë numra pozitiv përmes pjesëtuesit të përbashkët më të madh të njohur. Formula përkatëse është LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Le të shohim shembuj të gjetjes së LCM duke përdorur formulën e dhënë.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave 126 dhe 70.
Në këtë shembull a=126 , b=70 . Le të përdorim lidhjen ndërmjet LCM dhe GCD, të shprehur me formulën LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Kjo do të thotë, së pari duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 70 dhe 126, pas së cilës mund të llogarisim LCM-në e këtyre numrave duke përdorur formulën e shkruar.
Le të gjejmë GCD(126, 70) duke përdorur algoritmin Euklidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, pra, GCD(126, 70)=14.
Tani gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të kërkuar: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Me çfarë është e barabartë LCM(68, 34)?
Meqenëse 68 pjesëtohet me 34, atëherë GCD(68, 34)=34. Tani llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Vini re se shembulli i mëparshëm i përshtatet rregullit të mëposhtëm për gjetjen e LCM për numrat e plotë pozitivë a dhe b: nëse a është i pjesëtueshëm me b, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është a.
Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë
Një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Nëse kompozoni një produkt nga të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë, dhe më pas përjashtoni nga ky produkt të gjithë faktorët e thjeshtë të zakonshëm të pranishëm në zbërthimin e numrave të dhënë, atëherë produkti që rezulton do të jetë i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë. .
Rregulli i deklaruar për gjetjen e LCM rrjedh nga barazia LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Në të vërtetë, prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e numrave a dhe b. Nga ana tjetër, GCD(a, b) është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të pranishëm në të njëjtën kohë në zgjerimet e numrave a dhe b (siç përshkruhet në seksionin për gjetjen e GCD duke përdorur zgjerimin e numrave në faktorë të thjeshtë).
Le të japim një shembull. Na tregoni se 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Të përpilojmë prodhimin nga të gjithë faktorët e këtyre zgjerimeve: 2·3·3·5·5·5·7 . Tani nga ky produkt përjashtojmë të gjithë faktorët e pranishëm si në zgjerimin e numrit 75 ashtu edhe në zgjerimin e numrit 210 (këta faktorë janë 3 dhe 5), atëherë prodhimi do të marrë formën 2·3·5·5·7. . Vlera e këtij produkti është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 75 dhe 210, pra LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Faktoroni numrat 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë dhe gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.
Le të faktorizojmë numrat 441 dhe 700 në faktorët kryesorë: 
Marrim 441=3·3·7·7 dhe 700=2·2·5·5·7.
Tani le të krijojmë një produkt nga të gjithë faktorët e përfshirë në zgjerimin e këtyre numrave: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Le të përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë njëkohësisht të pranishëm në të dy zgjerimet (ka vetëm një faktor i tillë - ky është numri 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Kështu, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Rregulli për gjetjen e LCM duke përdorur faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë mund të formulohet pak më ndryshe. Nëse faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit b u shtohen faktorëve nga zgjerimi i numrit a, atëherë vlera e produktit që rezulton do të jetë e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a dhe b.
Për shembull, le të marrim të njëjtët numra 75 dhe 210, zbërthimet e tyre në faktorë të thjeshtë janë si më poshtë: 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Faktorëve 3, 5 dhe 5 nga zgjerimi i numrit 75 u shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zgjerimi i numrit 210, fitojmë prodhimin 2·3·5·5·7, vlera e të cilit është e barabartë me LCM(75, 210).
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 84 dhe 648.
Fillimisht marrim zbërthimin e numrave 84 dhe 648 në faktorë të thjeshtë. Ato duken si 84=2·2·3·7 dhe 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 nga zgjerimi i numrit 84 u shtojmë faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe 3 nga zgjerimi i numrit 648, fitojmë prodhimin 2 2 2 3 3 3 3 7, që është e barabartë me 4 536 . Kështu, shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar i 84 dhe 648 është 4,536.
Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave
Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave mund të gjendet duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Le të kujtojmë teoremën përkatëse, e cila jep një mënyrë për të gjetur LCM të tre ose më shumë numrave.
Le të jepen numrat e plotë pozitiv a 1 , a 2 , …, a k, shumëfishi më i vogël i përbashkët m k i këtyre numrave gjendet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2, a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembullin e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët të katër numrave.
Gjeni LCM-në e katër numrave 140, 9, 54 dhe 250.
Së pari gjejmë m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . Për ta bërë këtë, duke përdorur algoritmin Euklidian, përcaktojmë GCD(140, 9), kemi 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prandaj, GCD(140, 9)=1, nga e cila LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Kjo është, m 2 = 1 260.
Tani gjejmë m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54). Le ta llogarisim atë përmes GCD(1 260, 54), të cilin e përcaktojmë gjithashtu duke përdorur algoritmin Euklidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pastaj gcd(1,260, 54)=18, nga e cila gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Kjo do të thotë, m 3 = 3 780.
Mbetet për të gjetur m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250). Për ta bërë këtë, gjejmë GCD(3,780, 250) duke përdorur algoritmin Euklidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prandaj, GCD(3,780, 250)=10, nga e cila GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Domethënë m 4 =94.500.
Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave origjinalë është 94,500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .
Në shumë raste, është e përshtatshme të gjesh shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave duke përdorur faktorizimin e thjeshtë të numrave të dhënë. Në këtë rast, duhet t'i përmbaheni rregullit të mëposhtëm. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave është i barabartë me produktin, i cili përbëhet si më poshtë: faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë u shtohen të gjithë faktorëve nga zgjerimi i numrit të parë, faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numri i tretë u shtohet faktorëve që rezultojnë, e kështu me radhë.
Le të shohim një shembull të gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.
Së pari, marrim zbërthimin e këtyre numrave në faktorë të thjeshtë: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 është numër i thjeshtë, përkon me zbërthimin e tij në faktorë të thjeshtë) dhe 143=11·13.
Për të gjetur LCM-në e këtyre numrave, në faktorët e numrit të parë 84 (ata janë 2, 2, 3 dhe 7), duhet të shtoni faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë 6. Zbërthimi i numrit 6 nuk përmban faktorë që mungojnë, pasi edhe 2 edhe 3 janë tashmë të pranishëm në zbërthimin e numrit të parë 84. Më tej, faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 shtojmë faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të tretë 48, marrim një grup faktorësh 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7. Nuk do të ketë nevojë të shtoni shumëzues në këtë grup në hapin tjetër, pasi 7 është tashmë i përfshirë në të. Së fundi, faktorëve 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7 u shtojmë faktorët që mungojnë 11 dhe 13 nga zgjerimi i numrit 143. Marrim produktin 2·2·2·2·3·7·11·13, i cili është i barabartë me 48,048.
Prandaj, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .
Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave negativë
Ndonjëherë ka detyra në të cilat ju duhet të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave, ndër të cilët një, disa ose të gjithë numrat janë negativë. Në këto raste gjithçka numrat negativë ju duhet t'i zëvendësoni me numrat e tyre të kundërt dhe më pas të gjeni LCM-në e numrave pozitivë. Kjo është mënyra për të gjetur LCM të numrave negativë. Për shembull, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) dhe LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Ne mund ta bëjmë këtë sepse bashkësia e shumëfishave të a është e njëjtë me bashkësinë e shumëfishave të −a (a dhe −a janë numra të kundërt). Në të vërtetë, le të jetë b një shumëfish i a-së, atëherë b është i pjesëtueshëm me a, dhe koncepti i pjesëtueshmërisë deklaron ekzistencën e një numri të plotë q të tillë që b=a·q. Por do të jetë e vërtetë edhe barazia b=(−a)·(−q), e cila, për shkak të të njëjtit koncept të pjesëtueshmërisë, do të thotë se b është i pjesëtueshëm me −a, pra, b është shumëfish i −a. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse b është një shumëfish i −a, atëherë b është gjithashtu një shumëfish i a.
Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave negativë −145 dhe −45.
Le të zëvendësojmë numrat negativë −145 dhe −45 me numrat e tyre të kundërt 145 dhe 45. Kemi LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Pasi kemi përcaktuar GCD(145, 45)=5 (për shembull, duke përdorur algoritmin Euklidian), ne llogarisim GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Kështu, shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të plotë negativ −145 dhe −45 është 1,305.
www.cleverstudents.ru
Ne vazhdojmë të studiojmë ndarjen. Në këtë mësim do të shikojmë koncepte të tilla si GCD Dhe NOC.
GCDështë pjesëtuesi më i madh i përbashkët.
NOCështë shumëfishi më i vogël i përbashkët.
Tema është mjaft e mërzitshme, por patjetër që duhet ta kuptoni. Pa e kuptuar këtë temë, nuk do të mund të punoni efektivisht me thyesat, të cilat janë një pengesë e vërtetë në matematikë.
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët
Përkufizimi. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a Dhe b a Dhe b ndahet pa mbetje.
Për të kuptuar mirë këtë përkufizim, le të zëvendësojmë variablat a Dhe bçdo dy numra, për shembull, në vend të një ndryshoreje a Le të zëvendësojmë numrin 12, dhe në vend të ndryshores b numri 9. Tani le të përpiqemi të lexojmë këtë përkufizim:
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12 Dhe 9 quhet numri më i madh me të cilin 12 Dhe 9 ndahet pa mbetje.
Nga përkufizimi është e qartë se bëhet fjalë për pjesëtuesin e përbashkët të numrave 12 dhe 9, dhe ky pjesëtues është më i madhi nga të gjithë pjesëtuesit ekzistues. Ky pjesëtues më i madh i përbashkët (GCD) duhet të gjendet.
Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave, përdoren tre metoda. Metoda e parë është mjaft punë intensive, por ju lejon të kuptoni qartë thelbin e temës dhe të ndjeni kuptimin e plotë të saj.
Metodat e dyta dhe të treta janë mjaft të thjeshta dhe bëjnë të mundur gjetjen e shpejtë të një GCD. Ne do të shqyrtojmë të tre metodat. Dhe cili do të përdoret në praktikë varet nga ju që të zgjidhni.
Metoda e parë është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të dy numrave dhe të zgjedhësh atë më të madhin. Le të shohim këtë metodë duke përdorur shembullin e mëposhtëm: gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 12 dhe 9.
Së pari, do të gjejmë të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të numrit 12. Për ta bërë këtë, ne do të ndajmë 12 me të gjithë pjesëtuesit në rangun nga 1 në 12. Nëse pjesëtuesi na lejon të ndajmë 12 pa mbetje, atëherë do ta theksojmë në blu dhe bëni një shpjegim të përshtatshëm në kllapa.
12: 1 = 12
(12 pjesëtohet me 1 pa mbetje, që do të thotë 1 është pjesëtues i numrit 12)
12: 2 = 6
(12 pjesëtohet me 2 pa mbetje, që do të thotë se 2 është pjesëtues i numrit 12)
12: 3 = 4
(12 pjesëtohet me 3 pa mbetje, që do të thotë se 3 është pjesëtues i numrit 12)
12: 4 = 3
(12 pjesëtohet me 4 pa mbetje, që do të thotë 4 është pjesëtues i numrit 12)
12: 5 = 2 (2 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje, që do të thotë se 5 nuk është pjesëtues i numrit 12)
12: 6 = 2
(12 pjesëtohet me 6 pa mbetje, që do të thotë se 6 është pjesëtues i numrit 12)
12: 7 = 1 (5 të mbetura)
(12 nuk ndahet me 7 pa mbetje, që do të thotë se 7 nuk është pjesëtues i numrit 12)
12: 8 = 1 (4 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 8 pa mbetje, që do të thotë 8 nuk është pjesëtues i 12)
12: 9 = 1 (3 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 9 pa mbetje, që do të thotë se 9 nuk është pjesëtues i numrit 12)
12: 10 = 1 (2 të mbetura)
(12 nuk pjesëtohet me 10 pa mbetje, që do të thotë se 10 nuk është pjesëtues i numrit 12)
12: 11 = 1 (1 e mbetur)
(12 nuk pjesëtohet me 11 pa mbetje, që do të thotë 11 nuk është pjesëtues i 12)
12: 12 = 1
(12 pjesëtohet me 12 pa mbetje, që do të thotë se 12 është pjesëtues i numrit 12)
Tani le të gjejmë pjesëtuesit e numrit 9. Për ta bërë këtë, kontrolloni të gjithë pjesëtuesit nga 1 në 9
9: 1 = 9
(9 pjesëtohet me 1 pa mbetje, që do të thotë se 1 është pjesëtues i numrit 9)
9: 2 = 4 (1 e mbetur)
(9 nuk ndahet me 2 pa mbetje, që do të thotë se 2 nuk është pjesëtues i numrit 9)
9: 3 = 3
(9 pjesëtohet me 3 pa mbetje, që do të thotë se 3 është pjesëtues i numrit 9)
9: 4 = 2 (1 e mbetur)
(9 nuk ndahet me 4 pa mbetje, që do të thotë se 4 nuk është pjesëtues i numrit 9)
9: 5 = 1 (4 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje, që do të thotë se 5 nuk është pjesëtues i numrit 9)
9: 6 = 1 (3 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 6 pa mbetje, që do të thotë se 6 nuk është pjesëtues i numrit 9)
9: 7 = 1 (2 të mbetura)
(9 nuk pjesëtohet me 7 pa mbetje, që do të thotë se 7 nuk është pjesëtues i numrit 9)
9: 8 = 1 (1 e mbetur)
(9 nuk pjesëtohet me 8 pa mbetje, që do të thotë se 8 nuk është pjesëtues i numrit 9)
9: 9 = 1
(9 pjesëtohet me 9 pa mbetje, që do të thotë se 9 është pjesëtues i numrit 9)
Tani le të shkruajmë pjesëtuesit e të dy numrave. Numrat e theksuar me blu janë pjesëtues. Le t'i shkruajmë ato:
Pasi të keni shkruar pjesëtuesit, mund të përcaktoni menjëherë se cili është më i madhi dhe më i zakonshmi.
Sipas përkufizimit, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12 dhe 9 është numri që ndan 12 dhe 9 pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh dhe i përbashkët i numrave 12 dhe 9 është numri 3
Si numri 12 ashtu edhe numri 9 pjesëtohen me 3 pa mbetje:
Pra gcd (12 dhe 9) = 3
Mënyra e dytë për të gjetur GCD
Tani le të shohim metodën e dytë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Thelbi i kësaj metode është zbërthimi i të dy numrave në faktorë të thjeshtë dhe shumëzimi i atyre të zakonshëm.
Shembulli 1. Gjeni gcd-në e numrave 24 dhe 18
Së pari, le të faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë:
Tani le të shumëzojmë faktorët e tyre të përbashkët. Për të shmangur konfuzionin, mund të theksohen faktorët e zakonshëm.
Ne shikojmë zgjerimin e numrit 24. Faktori i parë i tij është 2. Ne kërkojmë të njëjtin faktor në zgjerimin e numrit 18 dhe shohim që edhe ai është aty. Theksojmë të dyja:
Shikojmë përsëri zgjerimin e numrit 24. Faktori i dytë i tij është gjithashtu 2. Kërkojmë të njëjtin faktor në zgjerimin e numrit 18 dhe shohim që për herë të dytë nuk është më. Atëherë ne nuk theksojmë asgjë.
Dy të tjerat në zgjerimin e numrit 24 mungojnë edhe në zgjerimin e numrit 18.
Le të kalojmë te faktori i fundit në zgjerimin e numrit 24. Ky është faktori 3. Ne kërkojmë të njëjtin faktor në zgjerimin e numrit 18 dhe shohim se edhe ai është aty. Theksojmë të dyja të treja:
Pra, faktorët e përbashkët të numrave 24 dhe 18 janë faktorët 2 dhe 3. Për të marrë GCD, këta faktorë duhet të shumëzohen:
Pra gcd (24 dhe 18) = 6
Mënyra e tretë për të gjetur GCD
Tani le të shohim mënyrën e tretë për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët. Thelbi i kësaj metode është se numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë. Më pas, nga zgjerimi i numrit të parë, kalohen faktorë që nuk përfshihen në zgjerimin e numrit të dytë. Numrat e mbetur në zgjerimin e parë shumëzohen dhe fitohen GCD.
Për shembull, le të gjejmë GCD për numrat 28 dhe 16 duke përdorur këtë metodë. Para së gjithash, ne i zbërthejmë këta numra në faktorët kryesorë:
Ne morëm dy zgjerime: dhe
Tani nga zbërthimi i numrit të parë do të fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin shtatë. Le ta kalojmë atë nga zgjerimi i parë:
Tani ne shumëzojmë faktorët e mbetur dhe marrim GCD:
Numri 4 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 16. Të dy këta numra janë të pjesëtueshëm me 4 pa mbetje:
Shembulli 2. Gjeni gcd-në e numrave 100 dhe 40
Faktorizimi i numrit 100
Faktorimi i numrit 40
Ne kemi dy zgjerime:
Tani nga zbërthimi i numrit të parë do të fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin një pesë (ka vetëm një pesë). Le ta kalojmë atë nga zgjerimi i parë
Le të shumëzojmë numrat e mbetur:
Morëm përgjigjen 20. Kjo do të thotë se numri 20 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 100 dhe 40. Këta dy numra pjesëtohen me 20 pa mbetje:
GCD (100 dhe 40) = 20.
Shembulli 3. Gjeni gcd-në e numrave 72 dhe 128
Faktorimi i numrit 72
Faktorimi i numrit 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Tani nga zbërthimi i numrit të parë do të fshijmë faktorët që nuk përfshihen në zbërthimin e numrit të dytë. Zgjerimi i numrit të dytë nuk përfshin dy treshe (ata nuk janë fare aty). Le t'i kalojmë ato nga zgjerimi i parë:
Morëm përgjigjen 8. Kjo do të thotë se numri 8 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 72 dhe 128. Këta dy numra pjesëtohen me 8 pa mbetje:
GCD (72 dhe 128) = 8
Gjetja e GCD për disa numra
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, jo vetëm për dy. Për ta bërë këtë, numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të këtyre numrave.
Për shembull, le të gjejmë GCD për numrat 18, 24 dhe 36
Le të faktorizojmë numrin 18
Le të faktorizojmë numrin 24
Le të faktorizojmë numrin 36
Ne morëm tre zgjerime:
Tani le të theksojmë dhe nënvizojmë faktorët e përbashkët në këto numra. Faktorët e përbashkët duhet të shfaqen në të tre numrat:
Shohim se faktorët e përbashkët për numrat 18, 24 dhe 36 janë faktorët 2 dhe 3. Duke shumëzuar këta faktorë, marrim gcd që kërkojmë:
Morëm përgjigjen 6. Kjo do të thotë se numri 6 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 18, 24 dhe 36. Këta tre numra pjesëtohen me 6 pa mbetje:
GCD (18, 24 dhe 36) = 6
Shembulli 2. Gjeni GCD për numrat 12, 24, 36 dhe 42
Le të faktorizojmë çdo numër në faktorë të thjeshtë. Pastaj gjejmë prodhimin e faktorëve të përbashkët të këtyre numrave.
Le të faktorizojmë numrin 12
Le të faktorizojmë numrin 42
Ne morëm katër zgjerime:
Tani le të theksojmë dhe nënvizojmë faktorët e përbashkët në këto numra. Faktorët e përbashkët duhet të shfaqen në të katër numrat:
Shohim që faktorët e përbashkët për numrat 12, 24, 36 dhe 42 janë faktorët e 2 dhe 3. Duke shumëzuar këta faktorë së bashku, marrim gcd që kërkojmë:
Morëm përgjigjen 6. Kjo do të thotë se numri 6 është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 12, 24, 36 dhe 42. Këta numra pjesëtohen me 6 pa mbetje:
GCD (12, 24, 36 dhe 42) = 6
Nga mësimi i mëparshëm e dimë se nëse një numër pjesëtohet me një tjetër pa mbetje, ai quhet shumëfish i këtij numri.
Rezulton se disa numra mund të kenë një shumëfish të përbashkët. Dhe tani do të na interesojë shumëfishi i dy numrave, dhe ai duhet të jetë sa më i vogël që të jetë e mundur.
Përkufizimi. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave a Dhe b- a Dhe b a dhe numri b.
Përkufizimi përmban dy variabla a Dhe b. Le të zëvendësojmë çdo dy numra në vend të këtyre variablave. Për shembull, në vend të një ndryshoreje a Le të zëvendësojmë numrin 9, dhe në vend të ndryshores b Le të zëvendësojmë numrin 12. Tani le të përpiqemi të lexojmë përkufizimin:
Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i numrave 9 Dhe 12 - Kjo numri më i vogël, që është një shumëfish 9 Dhe 12 . Me fjalë të tjera, ky është një numër kaq i vogël që pjesëtohet pa mbetje me numrin 9 dhe sipas numrit 12 .
Nga përkufizimi del qartë se LCM është numri më i vogël që pjesëtohet me 9 dhe 12 pa mbetje.Kjo LCM duhet gjetur.
Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM), mund të përdorni dy metoda. Mënyra e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave dhe më pas të zgjidhni midis këtyre shumëfishave një numër që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe i vogël. Le të zbatojmë këtë metodë.
Para së gjithash, le të gjejmë shumëfishat e parë të numrit 9. Për të gjetur shumëfishat e 9, duhet ta shumëzoni këtë nëntë një nga një me numrat nga 1 në 9. Përgjigjet që rezultojnë do të jenë shumëfisha të numrit 9. Pra, le të fillojmë. Ne do të theksojmë shumëfishat me të kuqe:
Tani gjejmë shumëfishat e numrit 12. Për ta bërë këtë, ne shumëzojmë 12 një nga një me të gjithë numrat 1 deri në 12.
Ne i quajmë numra që janë të pjesëtueshëm me 10 shumëfisha të 10. Për shembull, 30 ose 50 janë shumëfish të 10. 28 është shumëfish i 14. Numrat që pjesëtohen si me 10 ashtu edhe me 14 quhen natyrshëm shumëfisha të përbashkët të 10 dhe 14.
Mund të gjejmë shumëfisha të përbashkët sa të duam. Për shembull, 140, 280, etj.
Një pyetje e natyrshme është: si të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët, shumëfishin më të vogël të përbashkët?
Nga shumëfishat e gjetur për 10 dhe 14, më i vogli deri tani është 140. Por a është shumëfishi më pak i zakonshëm?
Le të faktorizojmë numrat tanë:
Le të ndërtojmë një numër që është i plotpjesëtueshëm me 10 dhe 14. Për të pjesëtueshëm me 10, duhet të kesh faktorët 2 dhe 5. Për të qenë i pjesëtueshëm me 14, duhet të kesh faktorët 2 dhe 7. Por 2 është tashmë aty. gjithçka që duhet të bëni është të shtoni 7. Numri që rezulton 70 është shumëfishi i përbashkët i 10 dhe 14. Megjithatë, nuk do të jetë e mundur të ndërtohet një numër më i vogël se ky në mënyrë që ai të jetë gjithashtu një shumëfish i përbashkët.
Pra, kjo është ajo shumëfishi më pak i zakonshëm. Për këtë përdorim shënimin NOC.
Le të gjejmë GCD dhe LCM për numrat 182 dhe 70.
Llogaritni vetë:
3. 
Ne kontrollojmë:
Për të kuptuar se çfarë janë GCD dhe LCM, nuk mund të bësh pa faktorizim. Por, kur tashmë e kuptojmë se çfarë është, nuk është më e nevojshme ta faktorizojmë çdo herë.
Për shembull:
Mund të verifikoni lehtësisht se për dy numra, ku njëri është i pjesëtueshëm me tjetrin, më i vogli është GCD e tyre dhe më i madhi është LCM e tyre. Mundohuni të shpjegoni veten pse është kështu.
Gjatësia e hapit të babait është 70 cm dhe e një vajze të vogël është 15 cm. Ata fillojnë të ecin me këmbët e tyre në të njëjtën shenjë. Sa larg do të ecin para se këmbët e tyre të jenë përsëri në nivel?
Babi dhe vajza fillojnë të lëvizin. Në fillim, këmbët janë në të njëjtën shenjë. Pasi ecën disa hapa, këmbët e tyre u kthyen në të njëjtin nivel. Kjo do të thotë që edhe babai edhe vajza morën një numër të plotë hapash për të arritur këtë pikë. Kjo do të thotë që distanca nga ajo duhet të ndahet me gjatësinë e hapit të babait dhe vajzës.
Kjo do të thotë, ne duhet të gjejmë:
Kjo do të thotë, kjo do të ndodhë në 210 cm = 2 m 10 cm.
Nuk është e vështirë të kuptosh se babai do të bëjë 3 hapa, dhe vajza do të bëjë 14 (Fig. 1).
Oriz. 1. Ilustrim për problemin
Problemi 1
Petya ka 100 miq në rrjetin VKontakte dhe Vanya ka 200. Sa miq kanë Petya dhe Vanya së bashku, nëse ka 30 miq të përbashkët?
Përgjigjja 300 është e pasaktë sepse mund të kenë miq të përbashkët.
Le ta zgjidhim këtë problem kështu. Le të përshkruajmë një grup të të gjithë miqve të Petya përreth. Le të përshkruajmë miqtë e shumtë të Vanyas në një rreth tjetër, më të madh.
Këto rrathë kanë një pjesë të përbashkët. Aty ka miq të përbashkët. Kjo pjesë e përbashkët quhet "kryqëzimi" i dy grupeve. Kjo do të thotë, grupi i miqve të përbashkët është kryqëzimi i grupeve të miqve të të gjithëve.
Oriz. 2. Rrethet e shumë miqve
Nëse ka 30 miq të përbashkët, atëherë 70 në të majtë janë vetëm miq të Petinës, dhe 170 janë miq vetëm të Vaninës (shih Fig. 2).
Sa në total?
I gjithë grupi i madh i përbërë nga dy rrathë quhet bashkim i dy grupeve.
Në fakt, vetë VK zgjidh problemin e kryqëzimit të dy grupeve për ne; menjëherë tregon shumë miq të ndërsjellë kur vizitoni faqen e një personi tjetër.
Situata me GCD dhe LCM të dy numrave është shumë e ngjashme.
Problemi 2
Konsideroni dy numra: 126 dhe 132.
Ne i përshkruajmë faktorët e tyre kryesorë në rrathë (shih Fig. 3).
Oriz. 3. Rrathët me faktorë të thjeshtë
Prerja e bashkësive është pjesëtuesit e tyre të përbashkët. GCD përbëhet prej tyre.
Bashkimi i dy grupeve na jep LCM.
Bibliografi
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikë klasa e 6-të. - Gjimnazi. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. - M.: Arsimi, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Detyrat për lëndën e matematikës për klasat 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Një manual për nxënësit e klasave të 6-ta në shkollën me korrespondencë MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Teksti mësimor-bashkëbisedues për klasat 5-6 gjimnaz. - M.: Edukimi, Biblioteka e mësuesve të matematikës, 1989.
3. Faqja e internetit "Asistent shkollor" ()
Detyre shtepie
1. Në qytetin port fillojnë tre lundrime me varka turistike, nga të cilat i pari zgjat 15 ditë, i dyti 20 dhe i treti 12 ditë. Pasi u kthyen në port, anijet u nisën përsëri në të njëjtën ditë. Sot, anijet u larguan nga porti në të tre rrugët. Pas sa ditësh do të lundrojnë sërish bashkë për herë të parë? Sa udhëtime do të bëjë çdo anije?
2. Gjeni LCM-në e numrave:
3. Gjeni faktorët kryesorë të shumëfishit më të vogël të përbashkët:
Dhe nëse: 
, , .
Po ngarkohet...