Funksioni i anasjelltë y 3x. Funksione reciproke të anasjellta, përkufizime bazë, veti, grafikë. Vërtetimi i teoremës mbi ekzistencën dhe vazhdimësinë e funksionit të anasjelltë në një interval

Funksioniështë varësia e një ndryshoreje nga një tjetër. Funksionet mund të specifikohen duke përdorur një metodë tabele, një metodë verbale, një metodë grafike ose një formulë.

Funksionet ndahen në llojet e mëposhtme:

Funksioni linear
Funksioni kuadratik
Funksioni kub
Funksioni trigonometrik
Funksioni i fuqisë
Funksioni eksponencial
Funksioni logaritmik

Funksioni Domain D(y)është bashkësia e të gjitha vlerave të lejuara të argumentit x (ndryshore e pavarur x), për të cilën shprehja në anën e djathtë të ekuacionit të funksionit y = f(x) ka kuptim. Me fjalë të tjera, ky është diapazoni i vlerave të pranueshme të shprehjes f(x).

Për të gjetur domenin e tij të përkufizimit nga grafiku i funksionit y = f(x), ju duhet, duke lëvizur nga e majta në të djathtë përgjatë boshtit OX, të shkruani të gjitha intervalet e vlerave x në të cilat grafiku i funksionit ekziston.

Bashkësia e vlerave të funksionit E(y) është bashkësia e të gjitha vlerave që mund të marrë ndryshorja e varur y.

Për të gjetur grupin e vlerave të tij nga grafiku i një funksioni y = f(x), ju duhet, duke lëvizur nga poshtë lart përgjatë boshtit OY, të shkruani të gjitha intervalet e vlerave y në të cilat ekziston grafiku i funksionit.

Funksioni i anasjelltë- funksioni y=g(x), i cili fitohet nga funksioni i dhënë y = f(x), nëse nga relacioni x = f(y) shprehim y përmes x.

Për të gjetur inversin për një funksion të caktuar y = f(x), ju duhet:

Në relacionin y = f(x), zëvendësoni x me y dhe y me x: x = f(y).
Në shprehjen që rezulton x=f(y), shprehni y në terma x.

Funksionet f(x) dhe g(x) janë reciprokisht të anasjellta. Le ta shohim këtë me një shembull

Shembuj të gjetjes së funksioneve të anasjellta:

Fusha dhe domeni i funksioneve f dhe g janë këmbyer: domeni i f është domeni i g dhe fusha e f është domeni i g.

Jo për çdo funksion mund të specifikoni të kundërtën. Kushti për kthyeshmërinë e një funksioni është monotonia e tij, domethënë, funksioni duhet vetëm të rritet ose vetëm të ulet. Nëse një funksion nuk është monoton në të gjithë domenin e përkufizimit, por monoton në një interval të caktuar, atëherë është e mundur të përcaktohet funksioni i tij i kundërt vetëm në këtë interval.

Vetitë e funksioneve reciproke të anasjellta Le të vëmë re disa veti të funksioneve reciproke të anasjellta. 1) Identitetet.

Le f Dhe g– reciprokisht funksionet e anasjellta. Pastaj: f(g(y)) = y Dhe g(f(x)) = x. 2) Domeni.

Le f Dhe g– funksione reciproke të anasjellta. Funksioni Domain f përkon me diapazonin e funksionit g, dhe anasjelltas, diapazoni i funksionit f përkon me domenin e përcaktimit të funksionit g. 3) Monotone.

Nëse një nga funksionet reciprokisht të anasjellta rritet, atëherë rritet edhe tjetri. Një deklaratë e ngjashme është e vërtetë për funksionet në rënie. 4) Grafikët.

Grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta të ndërtuara në të njëjtin sistem koordinativ janë simetrik me njëri-tjetrin në lidhje me një vijë të drejtë y = x.

Transformimet e grafikëve të funksionit janë shndërrime lineare të një funksioni y = f(x) ose argumenti i tij x në mendje y = af(kx + b) + m, si dhe konvertimi duke përdorur modulin.

Të dish se si të grafikosh një funksion y = f(x), Ku

ju mund ta grafikoni funksionin y = af(kx + b) + m.

Pyetje për shënime

Y = 0,5x - 4

Gjeni domenin e funksionit:

Përcaktoni nëse një funksion është çift apo tek:

Zgjidheni ekuacionin racional thyesor:

Gjeni inversin e këtij funksioni:

Gjeni vlerën e shprehjes 6f(-1) +3f(5), nëse

Tashmë e kemi hasur problemin kur funksioni i dhënë f dhe vlerën e dhënë të argumentit të tij, ishte e nevojshme të llogaritet vlera e funksionit në këtë pikë. Por ndonjëherë ju duhet të përballeni me problemin e kundërt: për të gjetur, duke pasur parasysh një funksion të njohur f dhe vlerën e tij të caktuar y, vlerën e argumentit në të cilin funksioni merr një vlerë të caktuar y.

Një funksion që merr secilën nga vlerat e tij në një pikë të vetme në domenin e tij të përkufizimit quhet funksion i kthyeshëm. Për shembull, një funksion linear do të ishte funksioni i kthyeshëm. A funksion kuadratik ose funksioni sinus nuk do të jetë funksione të kthyeshme. Meqenëse një funksion mund të marrë të njëjtën vlerë me argumente të ndryshëm.

Funksioni i anasjelltë

Le të supozojmë se f është një funksion arbitrar i kthyeshëm. Çdo numër nga domeni i vlerave të tij y0 korrespondon me vetëm një numër nga domeni i përkufizimit x0, i tillë që f(x0) = y0.

Nëse tani e lidhim çdo vlerë x0 me një vlerë y0, do të marrim një funksion të ri. Për shembull, për një funksion linear f(x) = k * x + b, funksioni g(x) = (x - b)/k do të jetë i anasjelltë i tij.

Nëse ndonjë funksion g në çdo pikë X diapazoni i vlerave të funksionit të kthyeshëm f merr një vlerë të tillë që f(y) = x, atëherë themi se funksioni g- ka një funksion të anasjelltë ndaj f.

Nëse na jepet një grafik i ndonjë funksioni të kthyeshëm f, atëherë për të ndërtuar një grafik të funksionit të anasjelltë, mund të përdorim pohimin e mëposhtëm: grafiku i funksionit f dhe funksioni i tij i anasjelltë g do të jenë simetrik në lidhje me të drejtën. vijë e specifikuar nga ekuacioni y = x.

Nëse një funksion g është inversi i një funksioni f, atëherë funksioni g do të jetë një funksion i kthyeshëm. Dhe funksioni f do të jetë inversi i funksionit g. Zakonisht thuhet se dy funksione f dhe g janë reciprokisht të anasjellta me njëri-tjetrin.

Figura e mëposhtme tregon grafikët e funksioneve f dhe g në mënyrë reciproke të anasjellta me njëri-tjetrin.

Le të nxjerrim teoremën e mëposhtme: nëse një funksion f rritet (ose zvogëlohet) në një interval A, atëherë ai është i kthyeshëm. Funksioni i anasjelltë g, i përcaktuar në rangun e vlerave të funksionit f, është gjithashtu një funksion në rritje (ose përkatësisht në rënie). Kjo teoremë quhet teorema e funksionit të anasjelltë.

Shprehje përkatëse që përmbysin njëra-tjetrën. Për të kuptuar se çfarë do të thotë kjo, ia vlen të merret parasysh shembull specifik. Le të themi se kemi y = cos(x). Nëse merrni kosinusin nga argumenti, mund të gjeni vlerën e y. Natyrisht, për këtë ju duhet të keni X. Po sikur loja të jepej fillimisht? Këtu bëhet fjalë për thelbin e çështjes. Për të zgjidhur problemin, duhet të përdorni funksionin e kundërt. Në rastin tonë është arkozina.

Pas të gjitha transformimeve marrim: x = arccos(y).

Kjo do të thotë, për të gjetur një funksion të kundërt me një të dhënë, mjafton thjesht të shprehni një argument prej tij. Por kjo funksionon vetëm nëse rezultati që rezulton ka një kuptim të vetëm (më shumë për këtë më vonë).

Në terma të përgjithshëm, ky fakt mund të shkruhet si më poshtë: f(x) = y, g(y) = x.

Përkufizimi

Le të jetë f një funksion domeni i të cilit është bashkësia X dhe domeni i të cilit është bashkësia Y. Atëherë, nëse ekziston një g, domenet e të cilit kryejnë detyra të kundërta, atëherë f është e kthyeshme.

Për më tepër, në këtë rast g është unik, që do të thotë se ekziston saktësisht një funksion që e plotëson këtë veti (as më shumë, as më pak). Atëherë quhet funksion i anasjelltë dhe me shkrim shënohet si më poshtë: g(x) = f -1 (x).

Me fjalë të tjera, ato mund të mendohen si një lidhje binare. Kthyeshmëria ndodh vetëm kur një element i grupit korrespondon me një vlerë nga një tjetër.

Funksioni i anasjelltë nuk ekziston gjithmonë. Për ta bërë këtë, çdo element y є Y duhet të korrespondojë më së shumti me një x є X. Atëherë f quhet një me një ose injeksion. Nëse f -1 i përket Y, atëherë çdo element i kësaj bashkësie duhet t'i korrespondojë disa x ∈ X. Funksionet me këtë veti quhen surjeksione. Vlen sipas përkufizimit nëse Y është një imazh i f, por nuk është gjithmonë kështu. Për të qenë i anasjelltë, një funksion duhet të jetë njëkohësisht një injeksion dhe një surjeksion. Shprehje të tilla quhen bijeksione.

Shembull: funksionet katrore dhe rrënjësore

Funksioni është përcaktuar në )