Funksionet trigonometrike të anasjellta dhe vetitë e tyre. Le ta shprehim atë në terma të të gjitha funksioneve trigonometrike të anasjellta. Marrëdhëniet themelore të funksioneve trigonometrike të anasjellta

TE funksionet e anasjellta trigonometrike 6 funksionet e mëposhtme përfshijnë: arksine , arkozina , arktangjent , arkotangjente , harkore Dhe arkosekant .

Meqenëse funksionet origjinale trigonometrike janë periodike, atëherë funksionet e anasjellta, në përgjithësi, janë polisemantike . Për të siguruar një korrespodencë një-për-një ndërmjet dy variablave, domenet e përkufizimit të funksioneve origjinale trigonometrike janë të kufizuara duke marrë parasysh vetëm ato. degët kryesore . Për shembull, funksioni \(y = \sin x\) konsiderohet vetëm në intervalin \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \djathtas]\). Në këtë interval, funksioni i harkut të kundërt përcaktohet në mënyrë unike.

Funksioni i arksinës
Harku i numrit \(a\) (i shënuar me \(\arcsin a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin \(\majtas[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), për të cilën \(\sin x = a\). Funksioni invers \(y = \arcsin x\) përcaktohet në \(x \in \left[ ( -1,1) \djathtas]\), diapazoni i tij i vlerave është \(y \in \majtas[ ( - \pi / 2,\pi /2) \djathtas]\).

Funksioni i kosinusit të harkut
Arkkosina e numrit \(a\) (e shënuar \(\arccos a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin \(\majtas[ (0,\pi) \djathtas]\) , në të cilën \(\cos x = a\). Funksioni invers \(y = \arccos x\) përcaktohet në \(x \in \majtas[ ( -1,1) \djathtas]\), diapazoni i vlerave të tij i përket segmentit \(y \in \majtas[ (0,\ pi)\djathtas]\).

Funksioni arktangjent
Arktangjenti i numrit a(shënohet me \(\arctan a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin e hapur \(\left((-\pi/2, \pi/2) \djathtas)\), në e cila \(\tan x = a\). Funksioni invers \(y = \arctan x\) është përcaktuar për të gjitha \(x \in \mathbb(R)\), diapazoni i arktangjentit është i barabartë me \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2)\djathtas)\).

Funksioni tangjent i harkut
Arkotangjentja e numrit \(a\) (e shënuar me \(\text(arccot) a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin e hapur \(\majtas[ (0,\ pi) \djathtas]\), në të cilën \(\cot x = a\). Funksioni invers \(y = \text(arccot) x\) përcaktohet për të gjitha \(x \in \mathbb(R)\), diapazoni i vlerave të tij është në intervalin \(y \in \ majtas[ (0,\pi) \djathtas]\).

Funksioni arksekant
Harku i numrit \(a\) (i shënuar me \(\text(arcsec ) a\)) është vlera e këndit \(x\) në të cilin \(\sec x = a\). Funksioni i anasjelltë \(y = \text(arcsec) x\) përcaktohet në \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \djathtas )\ ), diapazoni i vlerave të tij i përket grupit \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi) \djathtas] \).

Funksioni arkosekant
Arccosekanti i numrit \(a\) (e shënuar \(\text(arccsc ) a\) ose \(\text(arccosec ) a\)) është vlera e këndit \(x\) në të cilin \(\ csc x = a\ ). Funksioni i anasjelltë \(y = \text(arccsc) x\) përcaktohet në \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \djathtas )\ ), diapazoni i vlerave të tij i përket grupit \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

Vlerat kryesore të funksioneve të arksinës dhe arkosinës (në gradë)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Vlerat kryesore të funksioneve arktangjente dhe arkotangjente (në gradë)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\tekst(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)

Mësimet 32-33. Funksionet trigonometrike të anasjellta

09.07.2015 8495 0

Synimi: marrin parasysh funksionet trigonometrike të anasjellta dhe përdorimin e tyre për të shkruar zgjidhje të ekuacioneve trigonometrike.

I. Komunikimi i temës dhe qëllimit të mësimit

II. Mësimi i materialit të ri

1. Funksionet trigonometrike të anasjellta

Le të fillojmë diskutimin tonë për këtë temë me shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 1

Le të zgjidhim ekuacionin: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Në boshtin e ordinatave vizatojmë vlerën 1/2 dhe ndërtojmë këndet x 1 dhe x2, për të cilat mëkat x = 1/2. Në këtë rast x1 + x2 = π, prej nga x2 = π - x 1 . Duke përdorur tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike, gjejmë vlerën x1 = π/6, më pasLe të marrim parasysh periodicitetin e funksionit të sinusit dhe të shkruajmë zgjidhjet e këtij ekuacioni:ku k ∈ Z.

b) Natyrisht, algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit mëkat x = a është e njëjtë si në paragrafin e mëparshëm. Sigurisht, tani vlera a paraqitet përgjatë boshtit të ordinatave. Ekziston nevoja për të përcaktuar disi këndin x1. Ne ramë dakord ta shënojmë këtë kënd me simbolin harku A. Pastaj zgjidhjet e këtij ekuacioni mund të shkruhen në formëKëto dy formula mund të kombinohen në një: ku

Funksionet e mbetura trigonometrike inverse paraqiten në mënyrë të ngjashme.

Shumë shpesh është e nevojshme të përcaktohet madhësia e një këndi nga vlera e njohur e funksionit të tij trigonometrik. Një problem i tillë është me shumë vlera - ka kënde të panumërta, funksionet trigonometrike të të cilëve janë të barabartë me të njëjtën vlerë. Prandaj, bazuar në monotoninë e funksioneve trigonometrike, funksionet e mëposhtme trigonometrike inverse janë paraqitur për të përcaktuar në mënyrë unike këndet.

Arksina e numrit a (arcsin , sinusi i të cilit është i barabartë me a, d.m.th.

Harku kosinus i një numri a (arkos a) është një kënd a nga intervali kosinusi i të cilit është i barabartë me a, d.m.th.

Arktangjent i një numri a (arctg a) - një kënd i tillë a nga intervalitangjenta e së cilës është e barabartë me a, d.m.th.tg a = a.

Arkotangjent i një numri a (arkctg a) është një kënd a nga intervali (0; π), kotangjentja e të cilit është e barabartë me a, d.m.th. ctg a = a.

Shembulli 2

Le të gjejmë:

Duke marrë parasysh përkufizimet e funksioneve trigonometrike të anasjellta, marrim:

Shembulli 3

Le të llogarisim

Le të jetë këndi a = harksin 3/5, pastaj sipas përkufizimit sin a = 3/5 dhe . Prandaj, ne duhet të gjejmë cos A. Duke përdorur identitetin bazë trigonometrik, marrim:Është marrë parasysh se cos a ≥ 0. Pra,

Karakteristikat e funksionit	Funksioni
Karakteristikat e funksionit	y = harksin x	y = arccos x	y = arktan x	y = arcctg x
Domeni	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Gama e vlerave	y ∈ [-π/2; π / 2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2; π /2)	y ∈ (0;π)
Barazi	E çuditshme	As çift dhe as tek	E çuditshme	As çift dhe as tek
Funksioni zero (y = 0)	Në x = 0	Në x = 1	Në x = 0	y ≠ 0
Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave	y > 0 për x ∈ (0; 1], në< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 për x ∈ [-1; 1)	y > 0 për x ∈ (0; +∞), në< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 për x ∈ (-∞; +∞)
Monotone	Në rritje	Duke zbritur	Në rritje	Duke zbritur
Lidhja me funksionin trigonometrik	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Orari

Le të japim një numër shembujsh më tipikë që lidhen me përkufizimet dhe vetitë themelore të funksioneve trigonometrike të anasjellta.

Shembulli 4

Le të gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit

Në mënyrë që funksioni y të përcaktohet, është e nevojshme të plotësohet pabaraziaqë është ekuivalente me sistemin e pabaraziveZgjidhja e pabarazisë së parë është intervali x∈ (-∞; +∞), e dyta - Ky interval dhe është një zgjidhje për sistemin e pabarazive, dhe për rrjedhojë domenin e përkufizimit të funksionit

Shembulli 5

Le të gjejmë zonën e ndryshimit të funksionit

Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit z = 2x - x2 (shih foton).

Është e qartë se z ∈ (-∞; 1]. Duke marrë parasysh se argumenti z funksioni kotangjent i harkut ndryshon brenda kufijve të specifikuar, nga të dhënat e tabelës e marrim atëPra, zona e ndryshimit

Shembulli 6

Le të vërtetojmë se funksioni y = arctg x tek. LePastaj tg a = -x ose x = - tg a = tg (- a), dhe Prandaj, - a = arctg x ose a = - arctg X. Kështu, ne e shohim atëdmth y(x) është një funksion tek.

Shembulli 7

Le të shprehemi përmes të gjitha funksioneve trigonometrike të anasjellta

Le Është e qartë se Pastaj që

Le të prezantojmë këndin Sepse Se

Kështu pra Dhe

Kështu që,

Shembulli 8

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = cos(arcsin x).

Le të shënojmë a = arcsin x, atëherë Le të marrim parasysh se x = sin a dhe y = cos a, d.m.th. x 2 + y2 = 1 dhe kufizimet në x (x∈ [-1; 1]) dhe y (y ≥ 0). Pastaj grafiku i funksionit y = cos(arcsin x) është një gjysmërreth.

Shembulli 9

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = arccos (cos x).

Që nga funksioni cos x ndryshon në intervalin [-1; 1], atëherë funksioni y përcaktohet në të gjithë boshtin numerik dhe ndryshon në segmentin . Le të kemi parasysh se y = arccos (cosx) = x në segment; funksioni y është çift dhe periodik me periodë 2π. Duke marrë parasysh që funksioni ka këto veti cos x Tani është e lehtë të krijosh një grafik.

Le të vërejmë disa barazi të dobishme:

Shembulli 10

Le të gjejmë vlerat më të vogla dhe më të mëdha të funksionit Le të shënojmë Pastaj Le të marrim funksionin Ky funksion ka një minimum në pikë z = π/4, dhe është e barabartë me Vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikë z = -π/2, dhe është e barabartë Kështu, dhe

Shembulli 11

Le të zgjidhim ekuacionin

Le ta kemi parasysh atë Atëherë ekuacioni duket si ky:ose ku Nga përkufizimi i arktangjentit marrim:

2. Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike

Ngjashëm me shembullin 1, ju mund të merrni zgjidhje për ekuacionet më të thjeshta trigonometrike.

Ekuacioni	Zgjidhje


tgx = a
ctg x = a

Shembulli 12

Le të zgjidhim ekuacionin

Meqenëse funksioni i sinusit është tek, e shkruajmë ekuacionin në formëZgjidhjet e këtij ekuacioni:nga e gjejmë?

Shembulli 13

Le të zgjidhim ekuacionin

Duke përdorur formulën e dhënë, shkruajmë zgjidhjet e ekuacionit:dhe ne do të gjejmë

Vini re se në raste të veçanta (a = 0; ±1) gjatë zgjidhjes së ekuacioneve sin x = a dhe cos x = por është më e lehtë dhe më e përshtatshme të mos përdoret formulat e përgjithshme, dhe shkruani zgjidhjet bazuar në rrethin e njësisë:

për ekuacionin sin x = 1 zgjidhje

për ekuacionin sin x = 0 zgjidhje x = π k;

për ekuacionin sin x = -1 zgjidhje

për ekuacionin cos x = 1 zgjidhje x = 2π k ;

për ekuacionin cos x = 0 zgjidhje

për ekuacionin cos x = -1 zgjidhje

Shembulli 14

Le të zgjidhim ekuacionin

Meqenëse në këtë shembull ekziston një rast i veçantë i ekuacionit, ne do ta shkruajmë zgjidhjen duke përdorur formulën e duhur:nga mund ta gjejme?

III. Pyetje kontrolli (anketimi frontal)

1. Përcaktoni dhe listoni vetitë kryesore të funksioneve trigonometrike të anasjellta.

2. Jepni grafikët e funksioneve trigonometrike të anasjellta.

3. Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.

IV. Detyrë mësimi

§ 15, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7 (a); 8 (a); 12 (b); 13 (a); 15 (c); 16 (a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nr. 4 (a, b); 7 (a); 8 (b); 16 (a, b); 18 (a); 19 (c, d);

§ 17, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Detyrë shtëpie

§ 15, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12 (a); 13 (b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, nr. 4 (c, d); 7 (b); 8 (a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Detyra krijuese

1. Gjeni domenin e funksionit:

Përgjigjet:

2. Gjeni gamën e funksionit:

Përgjigjet:

3. Vizatoni një grafik të funksionit:

VII. Duke përmbledhur mësimet

Funksionet trigonometrike të anasjellta- këto janë arksina, arkozina, arktangjenti dhe arkotangjenti.

Së pari le të japim disa përkufizime.

Arksina Ose, mund të themi se ky është një kënd që i përket një segmenti, sinusi i të cilit është i barabartë me numrin a.

kosinusi i harkut numri a quhet një numër i tillë që

Arktangjent numri a quhet një numër i tillë që

Arkotangjent numri a quhet një numër i tillë që

Le të flasim në detaje për këto katër funksione të reja për ne - ato trigonometrike inverse.

Mos harroni, ne jemi takuar tashmë.

Për shembull, aritmetika Rrenja katrore nga një numër a është një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me a.

Logaritmi i një numri b në bazën a është një numër c i tillë që

Ne e kuptojmë pse matematikanët duhej të "shpiknin" funksione të reja. Për shembull, zgjidhjet e një ekuacioni janë dhe Ne nuk mund t'i shkruanim ato pa simbolin e veçantë aritmetik të rrënjës katrore.

Koncepti i një logaritmi doli të ishte i nevojshëm për të shkruar zgjidhjet, për shembull, për një ekuacion të tillë: Zgjidhja e këtij ekuacioni është një numër irracional. Ky është një eksponent i fuqisë në të cilën duhet të rritet 2 për të marrë 7.

Është e njëjta gjë me ekuacionet trigonometrike. Për shembull, ne duam të zgjidhim ekuacionin

Është e qartë se zgjidhjet e tij korrespondojnë me pikat në rrethin trigonometrik, ordinata e të cilave është e barabartë me Dhe është e qartë se kjo nuk është vlera tabelare e sinusit. Si të shkruani zgjidhjet?

Këtu nuk mund të bëjmë pa një funksion të ri, duke treguar këndin sinusi i të cilit është i barabartë me një numër të caktuar a. Po, të gjithë tashmë e kanë marrë me mend. Kjo është arksina.

Këndi që i përket segmentit me sinusin e të cilit është i barabartë është harku i një të katërtës. Dhe kjo do të thotë se seria e zgjidhjeve të ekuacionit tonë që korrespondon me pikën e duhur në rrethin trigonometrik është

Dhe seria e dytë e zgjidhjeve për ekuacionin tonë është

Mësoni më shumë rreth zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike -.

Mbetet për t'u zbuluar - pse përkufizimi i arksinës tregon se ky është një kënd që i përket segmentit?

Fakti është se ka pafundësisht shumë kënde, sinusi i të cilëve është i barabartë me, për shembull, . Duhet të zgjedhim njërën prej tyre. Ne zgjedhim atë që shtrihet në segment.

Hidhini një sy rrethit trigonometrik. Do të shihni se në segment çdo kënd korrespondon me një vlerë të caktuar sinus, dhe vetëm një. Dhe anasjelltas, çdo vlerë e sinusit nga segmenti korrespondon me një vlerë të vetme të këndit në segment. Kjo do të thotë që në një segment mund të përcaktoni një funksion duke marrë vlerat nga në

Le të përsërisim përsëri përkufizimin:

Harku i një numri është numri , sikurse

Përcaktimi: Zona e përkufizimit të harkut është një segment. Gama e vlerave është një segment.

Ju mund të mbani mend frazën "arcsines jetojnë në të djathtë". Vetëm mos harroni se nuk është vetëm në të djathtë, por edhe në segment.

Jemi gati të grafikojmë funksionin

Si zakonisht, ne vizatojmë vlerat x në boshtin horizontal dhe vlerat y në boshtin vertikal.

Sepse, pra, x shtrihet në rangun nga -1 në 1.

Kjo do të thotë se domeni i përcaktimit të funksionit y = harksin x është segmenti

Thamë se y i përket segmentit . Kjo do të thotë që diapazoni i vlerave të funksionit y = arcsin x është segmenti.

Vini re se grafiku i funksionit y=arcsinx përshtatet tërësisht brenda zonës së kufizuar nga vijat dhe

Si gjithmonë kur vizatojmë një grafik të një funksioni të panjohur, le të fillojmë me një tabelë.

Sipas përkufizimit, harku i zeros është një numër nga segmenti, sinusi i të cilit është i barabartë me zero. Cili është ky numër? - Është e qartë se kjo është zero.

Në mënyrë të ngjashme, harku i një është një numër nga segmenti, sinusi i të cilit është i barabartë me një. Natyrisht kjo

Vazhdojmë: - ky është një numër nga segmenti sinusi i të cilit është i barabartë me . Po ajo

			0
			0

Ndërtimi i grafikut të një funksioni

Karakteristikat e funksionit

1. Fusha e përkufizimit

2. Gama e vlerave

3., domethënë, ky funksion është tek. Grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën.

4. Funksioni rritet në mënyrë monotonike. Vlera e saj minimale, e barabartë me - , arrihet në , dhe vlera e saj më e madhe, e barabartë me , në

5. Çfarë bëjnë grafikët e funksioneve dhe ? A nuk mendoni se ato janë "bërë sipas të njëjtit model" - ashtu si dega e djathtë e një funksioni dhe grafiku i një funksioni, apo si grafikët e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike?

Imagjinoni që ne kemi prerë një fragment të vogël nga tek tek nga një valë e zakonshme sinus, dhe më pas e kthejmë atë vertikalisht - dhe do të marrim një grafik arksine.

Çfarë për një funksion në këtë interval janë vlerat e argumentit, atëherë për harkun do të ketë vlerat e funksionit. Kështu duhet të jetë! Në fund të fundit, sinusi dhe arksina - funksionet reciproke. Shembuj të tjerë të çifteve të funksioneve reciprokisht të anasjellta janë në dhe , si dhe funksionet eksponenciale dhe logaritmike.

Kujtoni se grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta janë simetrike në lidhje me vijën e drejtë

Në mënyrë të ngjashme, ne përcaktojmë funksionin.Ne kemi nevojë vetëm për një segment në të cilin çdo vlerë këndi korrespondon me vlerën e vet të kosinusit dhe duke ditur kosinusin, ne mund ta gjejmë në mënyrë unike këndin. Një segment do të na përshtatet

Kosinusi i harkut të një numri është numri , sikurse

Është e lehtë të mbahet mend: "kosinuset e harkut jetojnë nga lart", dhe jo vetëm nga lart, por në segment

Përcaktimi: Zona e përcaktimit të kosinusit të harkut është një segment. Gama e vlerave është një segment.

Natyrisht, segmenti u zgjodh sepse mbi të çdo vlerë kosinus merret vetëm një herë. Me fjalë të tjera, çdo vlerë kosinusi, nga -1 në 1, korrespondon me një vlerë të vetme këndi nga intervali

Kosinusi i harkut nuk është as edhe as funksion tek. Por ne mund të përdorim marrëdhënien e mëposhtme të dukshme:

Le të vizatojmë funksionin

Ne kemi nevojë për një seksion të funksionit ku ai është monoton, d.m.th., ai merr çdo vlerë saktësisht një herë.

Le të zgjedhim një segment. Në këtë segment funksioni zvogëlohet në mënyrë monotonike, domethënë, korrespondenca midis grupeve është një me një. Çdo vlerë x ka një vlerë y përkatëse. Në këtë segment ekziston një funksion i kundërt me kosinusin, domethënë funksioni y = arccosx.

Le të plotësojmë tabelën duke përdorur përkufizimin e kosinusit të harkut.

Kosinusi i harkut të një numri x që i përket intervalit do të jetë një numër y që i përket intervalit të tillë që

Kjo do të thotë, pasi;

Sepse;

Sepse,

			0
					0

Këtu është grafiku i kosinusit të harkut:

Karakteristikat e funksionit

1. Fusha e përkufizimit

2. Gama e vlerave

Ky funksion është i një forme të përgjithshme - nuk është as çift dhe as tek.

4. Funksioni është rreptësisht në rënie. Funksioni y = arccosx merr vlerën e tij më të madhe, të barabartë me , në , dhe vlerën e tij më të vogël, të barabartë me zero, merr në

5. Funksionet dhe janë reciprokisht të anasjellta.

Të tjerat janë arktangjente dhe arkotangjente.

Arktangjenti i një numri është numri , sikurse

Emërtimi: . Zona e përcaktimit të arktangjentit është intervali. Zona e vlerave është intervali.

Pse skajet e intervalit - pikat - përjashtohen në përkufizimin e arktangjentes? Sigurisht, sepse tangjentja në këto pika nuk është e përcaktuar. Nuk ka numër a të barabartë me tangjenten e asnjërit prej këtyre këndeve.

Le të ndërtojmë një grafik të arktangjentes. Sipas përkufizimit, arktangjentja e një numri x është një numër y që i përket intervalit të tillë që

Si të ndërtohet një grafik është tashmë e qartë. Meqenëse arktangjenti është një funksion reciproke e tangjentes, ne vazhdojmë si më poshtë:

Ne zgjedhim një pjesë të grafikut të funksionit ku korrespondenca midis x dhe y është një me një. Ky është intervali C. Në këtë seksion funksioni merr vlerat nga deri në

Pastaj keni funksioni i anasjelltë, domethënë, funksioni, domeni, përkufizimi do të jetë e gjithë rreshti numerik, nga deri dhe diapazoni i vlerave do të jetë intervali

Do të thotë,

Por çfarë ndodh për vlerat pafundësisht të mëdha të x? Me fjalë të tjera, si sillet ky funksion kur x tenton në plus pafundësinë?

Mund t'i bëjmë vetes pyetjen: për cilin numër në interval vlera tangjente priret në pafundësi? - Është e qartë se kjo

Kjo do të thotë që për vlera pafundësisht të mëdha të x, grafiku arktangjent i afrohet asimptotës horizontale

Në mënyrë të ngjashme, nëse x i afrohet minus pafundësisë, grafiku arktangjent i afrohet asimptotës horizontale

Figura tregon një grafik të funksionit

Karakteristikat e funksionit

1. Fusha e përkufizimit

2. Gama e vlerave

3. Funksioni është tek.

4. Funksioni është rreptësisht në rritje.

6. Funksionon dhe janë reciprokisht të anasjellta - sigurisht, kur funksioni merret parasysh në interval

Në mënyrë të ngjashme, ne përcaktojmë funksionin tangjentë të anasjelltë dhe vizatojmë grafikun e tij.

Arkotangjentja e një numri është numri , sikurse

Grafiku i funksionit:

Karakteristikat e funksionit

1. Fusha e përkufizimit

2. Gama e vlerave

3. Funksioni është i formës së përgjithshme, pra as çift e as tek.

4. Funksioni është rreptësisht në rënie.

5. Asimptota direkte dhe - horizontale të këtij funksioni.

6. Funksionet dhe janë reciprokisht të anasjellta nëse merren parasysh në interval

Përkufizimi dhe shënimi

Arksine (y = harku x) është funksioni i anasjelltë i sinusit (x = mëkatar -1 ≤ x ≤ 1 dhe grupi i vlerave -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
harksin(sin x) = x .

Arksina nganjëherë shënohet si më poshtë:
.

Grafiku i funksionit të arksinës

Grafiku i funksionit y = harku x

Grafiku i harkut fitohet nga grafiku sinus nëse këmbehen boshtet e abshisave dhe të ordinatave. Për të eliminuar paqartësinë, diapazoni i vlerave është i kufizuar në intervalin mbi të cilin funksioni është monoton. Ky përkufizim quhet vlera kryesore e arksinës.

Arccosine, arccos

Përkufizimi dhe shënimi

Kosinusi i harkut (y = arccos x) është funksioni i anasjelltë i kosinusit (x = cos y). Ka një shtrirje -1 ≤ x ≤ 1 dhe shumë kuptime 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arkcozina nganjëherë shënohet si më poshtë:
.

Grafiku i funksionit të kosinusit të harkut

Grafiku i funksionit y = arccos x

Grafiku i kosinusit të harkut merret nga grafiku i kosinusit nëse këmbehen boshtet e abshisave dhe të ordinatave. Për të eliminuar paqartësinë, diapazoni i vlerave është i kufizuar në intervalin mbi të cilin funksioni është monoton. Ky përkufizim quhet vlera kryesore e kosinusit të harkut.

Barazi

Funksioni i harkut është i çuditshëm:
harksin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - harku x

Funksioni i kosinusit të harkut nuk është çift ose tek:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Vetitë - ekstreme, rritje, ulje

Funksionet arksina dhe arkozina janë të vazhdueshme në fushën e tyre të përkufizimit (shih vërtetimin e vazhdimësisë). Vetitë kryesore të arksinës dhe arkkosinës janë paraqitur në tabelë.

	y= harku x	y= arccos x
Shtrirja dhe vazhdimësia	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Gama e vlerave
Duke u ngjitur, duke zbritur	rritet në mënyrë monotone	zvogëlohet në mënyrë monotone
Lartësitë
Minimumet
Zero, y = 0	x = 0	x = 1
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabela e arksineve dhe arkosinave

Kjo tabelë paraqet vlerat e arksineve dhe arkosinave, në gradë dhe radianë, për vlera të caktuara të argumentit.

x	harku x		arccos x
	breshër	i gëzuar.	breshër	i gëzuar.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulat

Shiko gjithashtu: Nxjerrja e formulave për funksionet trigonometrike të anasjellta

Formulat e shumës dhe diferencës

në ose

në dhe

në dhe

në

në

Shprehjet përmes logaritmeve, numrave kompleksë

Shiko gjithashtu: Nxjerrja e formulave

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

Derivatet

;
.
Shihni Derivimi i arksinës dhe derivateve të arkosinës > > >

Derivatet e rendit më të lartë:
,
ku është një polinom i shkallës . Përcaktohet nga formula:
;
;
.

Shihni Derivimi i derivateve të rendit më të lartë të arksinës dhe arkosinës > > >

Integrale

Bëjmë zëvendësimin x = mëkat t. Ne integrojmë me pjesë, duke marrë parasysh që -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, kosto t ≥ 0:
.

Le të shprehim kosinusin e harkut përmes sinusit të harkut:
.

Zgjerimi i serisë

Kur |x|< 1 ndodh dekompozimi i mëposhtëm:
;
.

Funksionet e anasjellta

Anasjellta e arksinës dhe arkkosinës janë përkatësisht sinusi dhe kosinusi.

Formulat e mëposhtme e vlefshme në të gjithë fushën e përkufizimit:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Formulat e mëposhtme janë të vlefshme vetëm për grupin e vlerave të arksinës dhe arkosinës:
harksin(sin x) = x në
arccos(cos x) = x në .

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Shiko gjithashtu:

Funksioni kosinus i anasjelltë

Gama e vlerave të funksionit y=cos x (shih Fig. 2) është një segment. Në segment funksioni është i vazhdueshëm dhe monotonikisht në rënie.

Oriz. 2

Kjo do të thotë se funksioni i anasjelltë me funksionin y=cos x është përcaktuar në segment. Ky funksion i anasjelltë quhet kosinus i harkut dhe shënohet y=arccos x.

Përkufizimi

Arkozina e një numri a, nëse |a|1, është këndi kosinusi i të cilit i përket segmentit; shënohet me arccos a.

Pra, arccos a është një kënd që plotëson dy kushtet e mëposhtme: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Për shembull, arccos, pasi cos dhe; arccos, pasi cos dhe.

Funksioni y = arccos x (Fig. 3) përcaktohet në një segment; diapazoni i vlerave të tij është segmenti. Në segment, funksioni y=arccos x është i vazhdueshëm dhe në mënyrë monotonike zvogëlohet nga p në 0 (pasi y=cos x është një funksion i vazhdueshëm dhe monoton në rënie në segment); në skajet e segmentit arrin vlerat e tij ekstreme: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Vini re se arccos 0 = . Grafiku i funksionit y = arccos x (shih Fig. 3) është simetrik me grafikun e funksionit y = cos x në raport me drejtëzën y=x.

Oriz. 3

Le të tregojmë se barazia arccos(-x) = p-arccos x vlen.

Në fakt, sipas përkufizimit 0? arccos x? R. Duke shumëzuar me (-1) të gjitha pjesët e kësaj të fundit pabarazi e dyfishtë, marrim - p? arccos x? 0. Duke i shtuar p të gjitha pjesët e mosbarazimit të fundit, gjejmë se 0? p-arccos x? R.

Kështu, vlerat e këndeve arccos(-x) dhe p - arccos x i përkasin të njëjtit segment. Meqenëse kosinusi zvogëlohet në mënyrë monotonike në një segment, nuk mund të ketë dy kënde të ndryshme në të që kanë kosinus të barabartë. Le të gjejmë kosinuset e këndeve arccos(-x) dhe p-arccos x. Me përkufizim cos (arccos x) = - x, sipas formulave të reduktimit dhe me përkufizim kemi: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Pra, kosinuset e këndeve janë të barabartë, që do të thotë se vetë këndet janë të barabartë.

Funksioni i sinusit invers

Le të shqyrtojmë funksionin y=sin x (Fig. 6), i cili në segmentin [-р/2;р/2] është në rritje, i vazhdueshëm dhe merr vlera nga segmenti [-1; 1]. Kjo do të thotë se në segmentin [- p/2; p/2] është përcaktuar funksioni i anasjelltë i funksionit y=sin x.

Oriz. 6

Ky funksion i anasjelltë quhet arksin dhe shënohet y=arcsin x. Le të prezantojmë përkufizimin e harkut të një numri.

Harku i një numri është një kënd (ose hark) sinusi i të cilit është i barabartë me numrin a dhe që i përket segmentit [-р/2; p/2]; shënohet me arcsin a.

Pra, harku a është një kënd që plotëson kushtet e mëposhtme: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin a? r/2. Për shembull, që nga mëkati dhe [- p/2; p/2]; arcsin, meqë sin = u [- p/2; p/2].

Funksioni y=arcsin x (Fig. 7) është përcaktuar në segmentin [- 1; 1], diapazoni i vlerave të tij është segmenti [-р/2;р/2]. Në segmentin [- 1; 1] funksioni y=arcsin x është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotonike nga -p/2 në p/2 (kjo rrjedh nga fakti se funksioni y=sin x në segmentin [-p/2; p/2] është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotone). Merr vlerën më të madhe në x = 1: harksin 1 = p/2, dhe më të vogël në x = -1: harksin (-1) = -p/2. Në x = 0 funksioni është zero: harku 0 = 0.

Le të tregojmë se funksioni y = arcsin x është tek, d.m.th. harksin(-x) = - arcsin x për çdo x [ - 1; 1].

Në të vërtetë, sipas përkufizimit, nëse |x| ?1, kemi: - p/2 ? harku x ? ? r/2. Kështu, këndet e harkut (-x) dhe - harku x i përkasin të njëjtit segment [ - p/2; p/2].

Le të gjejmë sinuset e këtyre kënde: sin (arcsin(-x)) = - x (sipas përkufizimit); meqenëse funksioni y=sin x është tek, atëherë sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Pra, sinuset e këndeve që i përkasin të njëjtit interval [-р/2; p/2], janë të barabarta, që do të thotë se vetë këndet janë të barabartë, d.m.th. harksin (-x)= - harksin x. Kjo do të thotë se funksioni y=arcsin x është tek. Grafiku i funksionit y=arcsin x është simetrik në lidhje me origjinën.

Le të tregojmë se arcsin (sin x) = x për çdo x [-р/2; p/2].

Në të vërtetë, sipas përkufizimit -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, dhe sipas kushtit -p/2? x? r/2. Kjo do të thotë se këndet x dhe harku (sin x) i përkasin të njëjtit interval të monotonitetit të funksionit y=sin x. Nëse sinuset e këndeve të tilla janë të barabarta, atëherë vetë këndet janë të barabarta. Le të gjejmë sinuset e këtyre këndeve: për këndin x kemi sin x, për këndin arcsin (sin x) kemi sin (arcsin(sin x)) = sin x. Kemi gjetur se sinuset e këndeve janë të barabarta, prandaj, këndet janë të barabarta, d.m.th. arcsin(sin x) = x. .

Oriz. 7

Oriz. 8

Grafiku i funksionit arcsin (sin|x|) fitohet nga transformimet e zakonshme të shoqëruara me modulin nga grafiku y=arcsin (sin x) (treguar me vijën e ndërprerë në figurën 8). Grafiku i dëshiruar y=arcsin (sin |x-/4|) merret prej tij duke u zhvendosur me /4 djathtas përgjatë boshtit x (treguar si një vijë e fortë në Fig. 8)

Funksioni i anasjelltë i tangjentes

Funksioni y=tg x në interval pranon gjithçka vlerat numerike: E (tg x)=. Gjatë këtij intervali është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotone. Kjo do të thotë se një funksion i kundërt me funksionin y = tan x është përcaktuar në interval. Ky funksion i anasjelltë quhet arktangjent dhe shënohet y = arctan x.

Arktangjentja e a-së është një kënd nga një interval tangjentja e të cilit është e barabartë me a. Kështu, arctg a është një kënd që plotëson kushtet e mëposhtme: tg (arctg a) = a dhe 0? arctg a ? R.

Pra, çdo numër x korrespondon gjithmonë me një vlerë të vetme të funksionit y = arctan x (Fig. 9).

Është e qartë se D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funksioni y = arctan x po rritet sepse funksioni y = tan x po rritet në interval. Nuk është e vështirë të vërtetohet se arctg(-x) = - arctgx, d.m.th. ai arktangjent është një funksion tek.

Oriz. 9

Grafiku i funksionit y = arctan x është simetrik me grafikun e funksionit y = tan x në lidhje me drejtëzën y = x, grafiku y = arctan x kalon nga origjina e koordinatave (pasi arktani 0 = 0) dhe është simetrik në lidhje me origjinën (si grafiku i një funksioni tek).

Mund të vërtetohet se arctan (tan x) = x nëse x.

Funksioni i anasjelltë i kotangjentit

Funksioni y = ctg x në një interval merr të gjitha vlerat numerike nga intervali. Gama e vlerave të saj përkon me grupin e të gjithë numrave realë. Në interval, funksioni y = cot x është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotonike. Kjo do të thotë se në këtë interval përcaktohet një funksion që është i anasjelltë me funksionin y = cot x. Funksioni i anasjelltë i kotangjentës quhet arkotangjent dhe shënohet y = arcctg x.

Kotangjentja e harkut të a është një kënd që i përket një intervali kotangjentja e të cilit është e barabartë me a.

Kështu, аrcctg a është një kënd që plotëson kushtet e mëposhtme: ctg (arcctg a)=a dhe 0? arcctg a ? R.

Nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë dhe përkufizimi i arktangjentes del se D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangjentja e harkut është një funksion në rënie sepse funksioni y = ctg x zvogëlohet në interval.

Grafiku i funksionit y = arcctg x nuk e pret boshtin Ox, pasi y > 0 R. Për x = 0 y = arcctg 0 =.

Grafiku i funksionit y = arcctg x është paraqitur në figurën 11.

Oriz. 11

Vini re se për të gjitha vlerat reale të x identiteti është i vërtetë: arcctg(-x) = p-arcctg x.