Tangjentja e kundërt. Funksionet trigonometrike të anasjellta. Marrëdhëniet themelore të funksioneve trigonometrike të anasjellta

Përkufizimi dhe shënimi

Arksine (y = harku x) është funksioni i anasjelltë i sinusit (x = mëkatar -1 ≤ x ≤ 1 dhe grupi i vlerave -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
harksin(sin x) = x .

Arksina nganjëherë shënohet si më poshtë:
.

Grafiku i funksionit të arksinës

Grafiku i funksionit y = harku x

Grafiku i harkut fitohet nga grafiku sinus nëse këmbehen boshtet e abshisave dhe të ordinatave. Për të eliminuar paqartësinë, diapazoni i vlerave është i kufizuar në intervalin mbi të cilin funksioni është monoton. Ky përkufizim quhet vlera kryesore e arksinës.

Arccosine, arccos

Përkufizimi dhe shënimi

Kosinusi i harkut (y = arccos x) është funksioni i anasjelltë i kosinusit (x = cos y). Ka një shtrirje -1 ≤ x ≤ 1 dhe shumë kuptime 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arkcozina nganjëherë shënohet si më poshtë:
.

Grafiku i funksionit të kosinusit të harkut

Grafiku i funksionit y = arccos x

Grafiku i kosinusit të harkut merret nga grafiku i kosinusit nëse këmbehen boshtet e abshisave dhe të ordinatave. Për të eliminuar paqartësinë, diapazoni i vlerave është i kufizuar në intervalin mbi të cilin funksioni është monoton. Ky përkufizim quhet vlera kryesore e kosinusit të harkut.

Barazi

Funksioni i harkut është i çuditshëm:
harksin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - harku x

Funksioni i kosinusit të harkut nuk është çift ose tek:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Vetitë - ekstreme, rritje, ulje

Funksionet arksina dhe arkozina janë të vazhdueshme në fushën e tyre të përkufizimit (shih vërtetimin e vazhdimësisë). Vetitë kryesore të arksinës dhe arkkosinës janë paraqitur në tabelë.

	y= harku x	y= arccos x
Shtrirja dhe vazhdimësia	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Gama e vlerave
Duke u ngjitur, duke zbritur	rritet në mënyrë monotone	zvogëlohet në mënyrë monotone
Lartësitë
Minimumet
Zero, y = 0	x = 0	x = 1
Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabela e arksineve dhe arkosinave

Kjo tabelë paraqet vlerat e arksineve dhe arkosinave, në gradë dhe radianë, për vlera të caktuara të argumentit.

x	harku x		arccos x
	breshër	i gëzuar.	breshër	i gëzuar.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulat

Shiko gjithashtu: Nxjerrja e formulave për funksionet trigonometrike të anasjellta

Formulat e shumës dhe diferencës

në ose

në dhe

në dhe

në

në

Shprehjet përmes logaritmeve, numrave kompleksë

Shiko gjithashtu: Nxjerrja e formulave

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

Derivatet

;
.
Shihni Derivimi i arksinës dhe derivateve të arkosinës > > >

Derivatet e rendit më të lartë:
,
ku është një polinom i shkallës . Përcaktohet nga formula:
;
;
.

Shihni Derivimi i derivateve të rendit më të lartë të arksinës dhe arkosinës > > >

Integrale

Bëjmë zëvendësimin x = mëkat t. Ne integrojmë me pjesë, duke marrë parasysh që -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, kosto t ≥ 0:
.

Le të shprehim kosinusin e harkut përmes sinusit të harkut:
.

Zgjerimi i serisë

Kur |x|< 1 ndodh dekompozimi i mëposhtëm:
;
.

Funksionet e anasjellta

Anasjellta e arksinës dhe arkkosinës janë përkatësisht sinusi dhe kosinusi.

Formulat e mëposhtme e vlefshme në të gjithë fushën e përkufizimit:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Formulat e mëposhtme janë të vlefshme vetëm për grupin e vlerave të arksinës dhe arkosinës:
harksin(sin x) = x në
arccos(cos x) = x në .

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Shiko gjithashtu:

Funksioni kosinus i anasjelltë

Gama e vlerave të funksionit y=cos x (shih Fig. 2) është një segment. Në segment funksioni është i vazhdueshëm dhe monotonikisht në rënie.

Oriz. 2

Kjo do të thotë se funksioni i anasjelltë me funksionin y=cos x është përcaktuar në segment. Ky funksion i anasjelltë quhet kosinus i harkut dhe shënohet y=arccos x.

Përkufizimi

Arkozina e një numri a, nëse |a|1, është këndi kosinusi i të cilit i përket segmentit; shënohet me arccos a.

Pra, arccos a është një kënd që plotëson dy kushtet e mëposhtme: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Për shembull, arccos, pasi cos dhe; arccos, pasi cos dhe.

Funksioni y = arccos x (Fig. 3) përcaktohet në një segment; diapazoni i vlerave të tij është segmenti. Në segment, funksioni y=arccos x është i vazhdueshëm dhe në mënyrë monotonike zvogëlohet nga p në 0 (pasi y=cos x është një funksion i vazhdueshëm dhe monoton në rënie në segment); në skajet e segmentit arrin vlerat e tij ekstreme: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Vini re se arccos 0 = . Grafiku i funksionit y = arccos x (shih Fig. 3) është simetrik me grafikun e funksionit y = cos x në raport me drejtëzën y=x.

Oriz. 3

Le të tregojmë se barazia arccos(-x) = p-arccos x vlen.

Në fakt, sipas përkufizimit 0? arccos x? R. Duke shumëzuar me (-1) të gjitha pjesët e kësaj të fundit pabarazi e dyfishtë, marrim - p? arccos x? 0. Duke i shtuar p të gjitha pjesët e mosbarazimit të fundit, gjejmë se 0? p-arccos x? R.

Kështu, vlerat e këndeve arccos(-x) dhe p - arccos x i përkasin të njëjtit segment. Meqenëse kosinusi zvogëlohet në mënyrë monotonike në një segment, nuk mund të ketë dy kënde të ndryshme në të që kanë kosinus të barabartë. Le të gjejmë kosinuset e këndeve arccos(-x) dhe p-arccos x. Me përkufizim cos (arccos x) = - x, sipas formulave të reduktimit dhe me përkufizim kemi: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Pra, kosinuset e këndeve janë të barabartë, që do të thotë se vetë këndet janë të barabartë.

Funksioni i sinusit invers

Le të shqyrtojmë funksionin y=sin x (Fig. 6), i cili në segmentin [-р/2;р/2] është në rritje, i vazhdueshëm dhe merr vlera nga segmenti [-1; 1]. Kjo do të thotë se në segmentin [- p/2; p/2] është përcaktuar funksioni i anasjelltë i funksionit y=sin x.

Oriz. 6

Ky funksion i anasjelltë quhet arksin dhe shënohet y=arcsin x. Le të prezantojmë përkufizimin e harkut të një numri.

Harku i një numri është një kënd (ose hark) sinusi i të cilit është i barabartë me numrin a dhe që i përket segmentit [-р/2; p/2]; shënohet me arcsin a.

Pra, harku a është një kënd që plotëson kushtet e mëposhtme: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin a? r/2. Për shembull, që nga mëkati dhe [- p/2; p/2]; arcsin, meqë sin = u [- p/2; p/2].

Funksioni y=arcsin x (Fig. 7) është përcaktuar në segmentin [- 1; 1], diapazoni i vlerave të tij është segmenti [-р/2;р/2]. Në segmentin [- 1; 1] funksioni y=arcsin x është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotonike nga -p/2 në p/2 (kjo rrjedh nga fakti se funksioni y=sin x në segmentin [-p/2; p/2] është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotone). Merr vlerën më të madhe në x = 1: harksin 1 = p/2, dhe më të vogël në x = -1: harksin (-1) = -p/2. Në x = 0 funksioni është zero: harku 0 = 0.

Le të tregojmë se funksioni y = arcsin x është tek, d.m.th. harksin(-x) = - arcsin x për çdo x [ - 1; 1].

Në të vërtetë, sipas përkufizimit, nëse |x| ?1, kemi: - p/2 ? harku x ? ? r/2. Kështu, këndet e harkut (-x) dhe - harku x i përkasin të njëjtit segment [ - p/2; p/2].

Le të gjejmë sinuset e këtyre kënde: sin (arcsin(-x)) = - x (sipas përkufizimit); meqenëse funksioni y=sin x është tek, atëherë sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Pra, sinuset e këndeve që i përkasin të njëjtit interval [-р/2; p/2], janë të barabarta, që do të thotë se vetë këndet janë të barabartë, d.m.th. harksin (-x)= - harksin x. Kjo do të thotë se funksioni y=arcsin x është tek. Grafiku i funksionit y=arcsin x është simetrik në lidhje me origjinën.

Le të tregojmë se arcsin (sin x) = x për çdo x [-р/2; p/2].

Në të vërtetë, sipas përkufizimit -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, dhe sipas kushtit -p/2? x? r/2. Kjo do të thotë se këndet x dhe harku (sin x) i përkasin të njëjtit interval të monotonitetit të funksionit y=sin x. Nëse sinuset e këndeve të tilla janë të barabarta, atëherë vetë këndet janë të barabarta. Le të gjejmë sinuset e këtyre këndeve: për këndin x kemi sin x, për këndin arcsin (sin x) kemi sin (arcsin(sin x)) = sin x. Kemi gjetur se sinuset e këndeve janë të barabarta, prandaj, këndet janë të barabarta, d.m.th. arcsin(sin x) = x. .

Oriz. 7

Oriz. 8

Grafiku i funksionit arcsin (sin|x|) fitohet nga transformimet e zakonshme të shoqëruara me modulin nga grafiku y=arcsin (sin x) (treguar me vijën e ndërprerë në figurën 8). Grafiku i dëshiruar y=arcsin (sin |x-/4|) merret prej tij duke u zhvendosur me /4 djathtas përgjatë boshtit x (treguar si një vijë e fortë në Fig. 8)

Funksioni i anasjelltë i tangjentes

Funksioni y=tg x në interval pranon gjithçka vlerat numerike: E (tg x)=. Gjatë këtij intervali është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotone. Kjo do të thotë se një funksion i kundërt me funksionin y = tan x është përcaktuar në interval. Ky funksion i anasjelltë quhet arktangjent dhe shënohet y = arctan x.

Arktangjentja e a-së është një kënd nga një interval tangjentja e të cilit është e barabartë me a. Kështu, arctg a është një kënd që plotëson kushtet e mëposhtme: tg (arctg a) = a dhe 0? arctg a ? R.

Pra, çdo numër x korrespondon gjithmonë me një vlerë të vetme të funksionit y = arctan x (Fig. 9).

Është e qartë se D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funksioni y = arctan x po rritet sepse funksioni y = tan x po rritet në interval. Nuk është e vështirë të vërtetohet se arctg(-x) = - arctgx, d.m.th. ai arktangjent është një funksion tek.

Oriz. 9

Grafiku i funksionit y = arctan x është simetrik me grafikun e funksionit y = tan x në lidhje me drejtëzën y = x, grafiku y = arctan x kalon nga origjina e koordinatave (pasi arktani 0 = 0) dhe është simetrik në lidhje me origjinën (si grafiku i një funksioni tek).

Mund të vërtetohet se arctan (tan x) = x nëse x.

Funksioni i anasjelltë i kotangjentit

Funksioni y = ctg x në një interval merr të gjitha vlerat numerike nga intervali. Gama e vlerave të saj përkon me grupin e të gjithë numrave realë. Në interval, funksioni y = cot x është i vazhdueshëm dhe rritet në mënyrë monotonike. Kjo do të thotë se në këtë interval përcaktohet një funksion që është i anasjelltë me funksionin y = cot x. Funksioni i anasjelltë i kotangjentës quhet arkotangjent dhe shënohet y = arcctg x.

Kotangjentja e harkut të a është një kënd që i përket një intervali kotangjentja e të cilit është e barabartë me a.

Kështu, аrcctg a është një kënd që plotëson kushtet e mëposhtme: ctg (arcctg a)=a dhe 0? arcctg a ? R.

Nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë dhe përkufizimi i arktangjentes del se D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangjentja e harkut është një funksion në rënie sepse funksioni y = ctg x zvogëlohet në interval.

Grafiku i funksionit y = arcctg x nuk e pret boshtin Ox, pasi y > 0 R. Për x = 0 y = arcctg 0 =.

Grafiku i funksionit y = arcctg x është paraqitur në figurën 11.

Oriz. 11

Vini re se për të gjitha vlerat reale të x identiteti është i vërtetë: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Funksionet trigonometrike të anasjellta janë funksionet matematikore, të cilat janë inverse të funksioneve trigonometrike.

Funksioni y=arcsin(x)

Harku i një numri α është një numër α nga intervali [-π/2;π/2] sinusi i të cilit është i barabartë me α.
Grafiku i një funksioni
Funksioni у= sin⁡(x) në intervalin [-π/2;π/2], është rreptësisht rritës dhe i vazhdueshëm; prandaj ka funksion të anasjelltë, rreptësisht rritës dhe i vazhdueshëm.
Funksioni i anasjelltë për funksionin y= sin⁡(x), ku x ∈[-π/2;π/2], quhet harksine dhe shënohet y=arcsin(x), ku x∈[-1;1 ].
Pra, sipas përkufizimit të funksionit të kundërt, domeni i përcaktimit të harkut është segmenti [-1;1], dhe grupi i vlerave është segmenti [-π/2;π/2].
Vini re se grafiku i funksionit y=arcsin(x), ku x ∈[-1;1], është simetrik me grafikun e funksionit y= sin(⁡x), ku x∈[-π/2;π /2], në lidhje me përgjysmuesin e këndeve koordinative të çerekut të parë dhe të tretë.

Gama e funksionit y=arcsin(x).

Shembulli nr. 1.

Gjeni harkun (1/2)?

Meqenëse diapazoni i vlerave të funksionit arcsin(x) i përket intervalit [-π/2;π/2], atëherë është e përshtatshme vetëm vlera π/6. Prandaj, arcsin(1/2) =π/ 6.
Përgjigje: π/6

Shembulli nr. 2.
Gjeni arcsin(-(√3)/2)?

Meqenëse diapazoni i vlerave Arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], atëherë është e përshtatshme vetëm vlera -π/3. Prandaj, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funksioni y=arccos(x)

Kosinusi i harkut të një numri α është një numër α nga intervali kosinusi i të cilit është i barabartë me α.

Grafiku i një funksioni

Funksioni y= cos(⁡x) në segment është rreptësisht zvogëlues dhe i vazhdueshëm; prandaj ka funksion të anasjelltë, rreptësisht në rënie dhe të vazhdueshme.
Funksioni i anasjelltë për funksionin y= cos⁡x, ku x ∈, quhet kosinusi i harkut dhe shënohet me y=arccos(x), ku x ∈[-1;1].
Pra, sipas përkufizimit të funksionit të kundërt, domeni i përcaktimit të kosinusit të harkut është segmenti [-1;1], dhe grupi i vlerave është segmenti.
Vini re se grafiku i funksionit y=arccos(x), ku x ∈[-1;1] është simetrik me grafikun e funksionit y= cos(⁡x), ku x ∈, në lidhje me përgjysmuesin e kënde koordinative të çerekut të parë dhe të tretë.

Gama e funksionit y=arccos(x).

Shembulli nr. 3.

Gjeni arccos (1/2)?

Meqenëse diapazoni i vlerave është arccos(x) x∈, atëherë është e përshtatshme vetëm vlera π/3. Prandaj, arccos(1/2) =π/3.
Shembulli nr. 4.
Gjeni arccos(-(√2)/2)?

Meqenëse diapazoni i vlerave të funksionit arccos(x) i përket intervalit, atëherë është e përshtatshme vetëm vlera 3π/4. Prandaj, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Përgjigje: 3π/4

Funksioni y=arctg(x)

Arktangjentja e një numri α është një numër α nga intervali [-π/2;π/2] tangjentja e të cilit është e barabartë me α.

Grafiku i një funksioni

Funksioni tangjent është i vazhdueshëm dhe rreptësisht në rritje në intervalin (-π/2;π/2); prandaj ka një funksion të anasjelltë që është i vazhdueshëm dhe rreptësisht në rritje.
Funksioni i anasjelltë për funksionin y= tan⁡(x), ku x∈(-π/2;π/2); quhet arktangjente dhe shënohet me y=arctg(x), ku x∈R.
Pra, sipas përcaktimit të funksionit të anasjelltë, domeni i përcaktimit të arktangjentit është intervali (-∞;+∞), dhe grupi i vlerave është intervali
(-π/2;π/2).
Vini re se grafiku i funksionit y=arctg(x), ku x∈R, është simetrik me grafikun e funksionit y= tan⁡x, ku x ∈ (-π/2;π/2), në lidhje me përgjysmues i këndeve koordinative të çerekut të parë dhe të tretë.

Gama e funksionit y=arctg(x).

Shembulli nr. 5?

Gjeni arctan((√3)/3).

Meqenëse diapazoni i vlerave arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atëherë është e përshtatshme vetëm vlera π/6. Prandaj, arctg((√3)/3) =π/6.
Shembulli nr. 6.
Gjeni arctg(-1)?

Meqenëse diapazoni i vlerave arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atëherë është i përshtatshëm vetëm vlera -π/4. Prandaj, arctg(-1) = - π/4.

Funksioni y=arcctg(x)

Kotangjentja e harkut të një numri α është një numër α nga intervali (0;π) kotangjentja e të cilit është e barabartë me α.

Grafiku i një funksioni

Në intervalin (0;π), funksioni kotangjent zvogëlohet rreptësisht; përveç kësaj, është i vazhdueshëm në çdo pikë të këtij intervali; pra, në intervalin (0;π), ky funksion ka një funksion të anasjelltë, i cili është rreptësisht në rënie dhe i vazhdueshëm.
Funksioni i anasjelltë për funksionin y=ctg(x), ku x ∈(0;π), quhet arkotangjent dhe shënohet y=arcctg(x), ku x∈R.
Pra, sipas përkufizimit të funksionit të anasjelltë, domeni i përcaktimit të kotangjentit të harkut do të jetë R, dhe nga një grup vlerat – intervali (0;π). Grafiku i funksionit y=arcctg(x), ku x∈R është simetrik me grafikun e funksionit y=ctg(x) x∈(0;π),relativ te përgjysmuesja e këndeve koordinative të çerekut të parë dhe të tretë.

Gama e funksionit y=arcctg(x).

Shembulli nr. 7.
Gjeni arcctg((√3)/3)?

Meqenëse diapazoni i vlerave arcctg(x) x ∈(0;π), atëherë është e përshtatshme vetëm vlera π/3. Prandaj arccos((√3)/3) =π/3.

Shembulli nr. 8.
Gjeni arcctg(-(√3)/3)?

Meqenëse diapazoni i vlerave është arcctg(x) x∈(0;π), atëherë është e përshtatshme vetëm vlera 2π/3. Prandaj, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redaktorët: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Funksionet trigonometrike të anasjellta(funksionet rrethore, funksionet e harkut) - funksionet matematikore që janë të anasjellta me funksionet trigonometrike.

Këto zakonisht përfshijnë 6 funksione:

arksine(emërtimi: harku x; harku x- ky është këndi mëkat e cila është e barabartë me x),
arkozina(emërtimi: arccos x; arccos xështë këndi kosinusi i të cilit është i barabartë me x dhe kështu me radhë),
arktangjent(emërtimi: arktan x ose arktan x),
arkotangjente(emërtimi: arcctg x ose arccot x ose arccotan x),
harkore(emërtimi: hark x),
arkosekant(emërtimi: arccosec x ose arccsc x).

arksine (y = harksin x) - funksion i anasjelltë ndaj mëkat (x = mëkat y . Me fjalë të tjera, kthen këndin sipas vlerës së tij mëkat.

kosinusi i harkut (y = arccos x) - funksion i anasjelltë ndaj cos (x = cos y cos.

Arktangjent (y = arktan x) - funksion i anasjelltë ndaj tg (x = tan y), i cili ka një domen dhe një grup vlerash . Me fjalë të tjera, kthen këndin sipas vlerës së tij tg.

Arkotangjent (y = arcctg x) - funksion i anasjelltë ndaj ctg (x = cotg y), i cili ka një fushë përkufizimi dhe një grup vlerash. Me fjalë të tjera, kthen këndin sipas vlerës së tij ctg.

hark- harkore, kthen këndin sipas vlerës së sekantit të tij.

arccosec- arccosecant, kthen një kënd bazuar në vlerën e kosekantës së tij.

Kur funksioni trigonometrik i anasjelltë nuk përcaktohet në një pikë të caktuar, atëherë vlera e tij nuk do të shfaqet në tabelën përfundimtare. Funksione hark Dhe arccosec nuk përcaktohen në segmentin (-1,1), por harku Dhe harqe përcaktohen vetëm në intervalin [-1,1].

Emri i funksionit trigonometrik të anasjelltë formohet nga emri i funksionit trigonometrik përkatës duke shtuar parashtesën "arc-" (nga lat. hark ne- hark). Kjo për faktin se gjeometrikisht, vlera e funksionit trigonometrik të anasjelltë shoqërohet me gjatësinë e harkut të rrethit të njësisë (ose këndit që nënshtron këtë hark), i cili korrespondon me një ose një segment tjetër.

Ndonjëherë në literaturën e huaj, si dhe në llogaritëset shkencore/inxhinierike, ata përdorin shënime si p.sh mëkat−1, cos−1 për arksinën, arkozinën dhe të ngjashme, kjo konsiderohet jo plotësisht e saktë, sepse ka gjasa të ketë konfuzion me ngritjen e një funksioni në një fuqi −1 (« −1 » (minus fuqinë e parë) përcakton funksionin x = f -1 (y), anasjellta e funksionit y = f(x)).

Marrëdhëniet themelore të funksioneve trigonometrike të anasjellta.

Këtu është e rëndësishme t'i kushtohet vëmendje intervaleve për të cilat formulat janë të vlefshme.

Formulat që lidhen me funksionet trigonometrike të anasjellta.

Le të shënojmë ndonjë nga vlerat e anasjellta funksionet trigonometrike përmes Arcsin x, Arccos x, Arktan x, Arccot x dhe mbani shënimin: harku x, arcos x, arktan x, arccot x për vlerat e tyre kryesore, atëherë lidhja ndërmjet tyre shprehet me marrëdhënie të tilla.

TE funksionet e anasjellta trigonometrike 6 funksionet e mëposhtme përfshijnë: arksine , arkozina , arktangjent , arkotangjente , harkore Dhe arkosekant .

Meqenëse funksionet origjinale trigonometrike janë periodike, atëherë funksionet e anasjellta, në përgjithësi, janë polisemantike . Për të siguruar një korrespodencë një-për-një ndërmjet dy variablave, domenet e përkufizimit të funksioneve origjinale trigonometrike janë të kufizuara duke marrë parasysh vetëm ato. degët kryesore . Për shembull, funksioni \(y = \sin x\) konsiderohet vetëm në intervalin \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \djathtas]\). Në këtë interval, funksioni i harkut të kundërt përcaktohet në mënyrë unike.

Funksioni i arksinës
Harku i numrit \(a\) (i shënuar me \(\arcsin a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin \(\majtas[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), për të cilën \(\sin x = a\). Funksioni i anasjelltë\(y = \arcsin x\) përcaktohet në \(x \in \majtas[ ( -1,1) \djathtas]\), diapazoni i vlerave të tij është i barabartë me \(y \në \majtas[ ( - \pi /2, \pi /2) \djathtas]\).

Funksioni i kosinusit të harkut
Arkkosina e numrit \(a\) (e shënuar \(\arccos a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin \(\majtas[ (0,\pi) \djathtas]\) , në të cilën \(\cos x = a\). Funksioni invers \(y = \arccos x\) përcaktohet në \(x \in \majtas[ ( -1,1) \djathtas]\), diapazoni i vlerave të tij i përket segmentit \(y \in \majtas[ (0,\ pi)\djathtas]\).

Funksioni arktangjent
Arktangjenti i numrit a(shënohet me \(\arctan a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin e hapur \(\left((-\pi/2, \pi/2) \djathtas)\), në e cila \(\tan x = a\). Funksioni invers \(y = \arctan x\) është përcaktuar për të gjitha \(x \in \mathbb(R)\), diapazoni i arktangjentit është i barabartë me \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2)\djathtas)\).

Funksioni tangjent i harkut
Arkotangjentja e numrit \(a\) (e shënuar me \(\text(arccot) a\)) është vlera e këndit \(x\) në intervalin e hapur \(\majtas[ (0,\ pi) \djathtas]\), në të cilën \(\cot x = a\). Funksioni invers \(y = \text(arccot) x\) përcaktohet për të gjitha \(x \in \mathbb(R)\), diapazoni i vlerave të tij është në intervalin \(y \in \ majtas[ (0,\pi) \djathtas]\).

Funksioni arksekant
Harku i numrit \(a\) (i shënuar me \(\text(arcsec ) a\)) është vlera e këndit \(x\) në të cilin \(\sec x = a\). Funksioni i anasjelltë \(y = \text(arcsec) x\) përcaktohet në \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \djathtas )\ ), diapazoni i vlerave të tij i përket grupit \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi) \djathtas] \).

Funksioni arkosekant
Arccosekanti i numrit \(a\) (e shënuar \(\text(arccsc ) a\) ose \(\text(arccosec ) a\)) është vlera e këndit \(x\) në të cilin \(\ csc x = a\ ). Funksioni i anasjelltë \(y = \text(arccsc) x\) përcaktohet në \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \djathtas )\ ), diapazoni i vlerave të tij i përket grupit \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).

Vlerat kryesore të funksioneve të arksinës dhe arkosinës (në gradë)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Vlerat kryesore të funksioneve arktangjente dhe arkotangjente (në gradë)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\tekst(arccot) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)