Matricë homogjene. Tretësirë e farave homogjene. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare
Sistemi linear quhet homogjene , nëse të gjitha kushtet e tij të lira janë të barabarta me 0.
Në formën e matricës, një sistem homogjen shkruhet: 
.
Sistemi homogjen (2) është gjithmonë konsistent
. Natyrisht, grupi i numrave 
,
,
…,
plotëson çdo ekuacion të sistemit. Zgjidhje 
thirrur zero
ose i parëndësishëm
vendim. Kështu, një sistem homogjen ka gjithmonë një zgjidhje zero.
Në cilat kushte sistemi homogjen (2) do të ketë zgjidhje jo zero (jo triviale)?
Teorema 1.3
Sistemi homogjen (2) ka zgjidhje jo zero
nëse dhe vetëm nëse grada r
matricën e saj kryesore 
më pak të panjohura n
.
Sistemi (2) - i pasigurt 
.
Përfundimi 1.
Nëse numri i ekuacioneve m
sistemi homogjen ka më pak variabla 
, atëherë sistemi është i pasigurt dhe ka shumë zgjidhje jo zero.
Përfundimi 2.
Sistemi homogjen katror 
ka zgjidhje jo zero nëse dhe kur matrica kryesore e këtij sistemi 
i degjeneruar, d.m.th. përcaktues 
.
Përndryshe, nëse përcaktorja 
, një sistem homogjen katror ka e vetmja gjë
zgjidhje zero
.
Le të renditet sistemi (2) 
pra, sistemi (2) ka zgjidhje jo të parëndësishme.
Le 
Dhe 
- zgjidhjet e veçanta të këtij sistemi, d.m.th. 
Dhe 
.
Vetitë e tretësirave të një sistemi homogjen
Vërtet,.
Vërtet,.
Duke kombinuar vetitë 1) dhe 2), mund të themi se nëse 
…,
- zgjidhjet e një sistemi homogjen (2), atëherë çdo kombinim linear i tyre është edhe zgjidhje e tij. Këtu 
- numra realë arbitrarë.
Mund te gjendet 
zgjidhjet e pjesshme të pavarura në mënyrë lineare
sistem homogjen (2), me ndihmën e të cilit mund të përftohet ndonjë zgjidhje tjetër e veçantë e këtij sistemi, d.m.th. merrni një zgjidhje të përgjithshme për sistemin (2).
Përkufizimi 2.2
Tërësia 
zgjidhjet e pjesshme të pavarura në mënyrë lineare 
…,
sistemi homogjen (2) i tillë që çdo zgjidhje e sistemit (2) mund të përfaqësohet si një kombinim linear i tyre quhet sistemi themelor i zgjidhjeve
(FSR) të një sistemi homogjen (2).
Le 
…,
është një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen (2) mund të përfaqësohet si:
Ku 
.
Komentoni.
Për të marrë FSR, ju duhet të gjeni zgjidhje private 
…,
, duke i dhënë një ndryshoreje të lirë vlerën “1” me radhë, dhe të gjithë variablave të tjerë të lirë vlerën “0”.
marrim 
,,
…,
- FSR.
Shembull. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme dhe sistemin themelor të zgjidhjeve të sistemit homogjen të ekuacioneve:
Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën e zgjeruar të sistemit, pasi kemi vendosur më parë ekuacionin e fundit të sistemit në radhë të parë dhe ta sjellim atë në një formë hap pas hapi. Meqenëse anët e djathta të ekuacioneve nuk ndryshojnë si rezultat i transformimeve elementare, duke mbetur zero, kolona 
mund të mos shkruhet.
̴ 
̴ 
̴ 
Renditja e sistemit ku 
- numri i variablave. Sistemi është i pasigurt dhe ka shumë zgjidhje.
Minor bazë për variablat 
jo zero: 
zgjidhni 
si variabla bazë, pjesa tjetër 
- variabla të lirë (merrni çdo vlerë reale).
Matrica e fundit në zinxhir korrespondon me një sistem hap pas hapi të ekuacioneve:
(3)
Le të shprehim variablat bazë 
përmes variablave të lirë 
(e kundërta e metodës Gaussian).
Nga ekuacioni i fundit që shprehim 
:
dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin e parë. Do ta marrim. Le të hapim kllapat, të japim të ngjashme dhe të shprehim 
:
.
Duke besuar 
,
,
, Ku 
, le të shkruajmë
- zgjidhje e përgjithshme e sistemit.
Le të gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh
,
,
.
Atëherë zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen mund të shkruhet si:
Komentoni.
FSR mund të ishte gjetur në një mënyrë tjetër, pa gjetur më parë një zgjidhje të përgjithshme për sistemin. Për ta bërë këtë, sistemi i hapave që rezulton (3) duhej të zgjidhej tre herë, duke supozuar për 
:
; Për 
:
; Për 
:
.
Sistemi m ekuacionet lineare c n quhen të panjohura sistemi i homogjenit linear ekuacionet nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero. Një sistem i tillë duket si ky:
Ku dhe ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numrat e dhënë; x i– e panjohur.
Një sistem ekuacionesh homogjene lineare është gjithmonë konsistent, pasi r(A) = r(). Gjithmonë ka të paktën zero ( i parëndësishëm) zgjidhje (0; 0; …; 0).
Le të shqyrtojmë se në cilat kushte sistemet homogjene kanë zgjidhje jo zero.
Teorema 1. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij kryesore është r më pak të panjohura n, d.m.th. r < n.
□
1). Le të ketë një sistem ekuacionesh homogjene lineare një zgjidhje jozero. Meqenëse grada nuk mund të tejkalojë madhësinë e matricës, atëherë, padyshim, r ≤ n. Le r = n. Pastaj një nga madhësitë e vogla n n të ndryshme nga zero. Prandaj, sistemi përkatës i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike: 
. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje të tjera përveç atyre të parëndësishme. Pra, nëse ka një zgjidhje jo të parëndësishme, atëherë r < n.
2). Le r < n. Atëherë sistemi homogjen, duke qenë konsistent, është i pasigurt. Kjo do të thotë se ka një numër të pafund zgjidhjesh, d.m.th. ka zgjidhje jo zero. ■
Konsideroni një sistem homogjen n ekuacionet lineare c n i panjohur:
(2)
Teorema 2. Sistemi homogjen n ekuacionet lineare c n e panjohura (2) ka zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e saj është e barabartë me zero: = 0.
□ Nëse sistemi (2) ka një zgjidhje jo zero, atëherë = 0. Sepse kur sistemi ka vetëm një zgjidhje të vetme zero. Nëse = 0, atëherë renditja r matrica kryesore e sistemit është më e vogël se numri i të panjohurave, d.m.th. r < n. Dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, d.m.th. ka zgjidhje jo zero. ■
Le të shënojmë zgjidhjen e sistemit (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n si një varg 
.
Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh homogjene lineare kanë këto veti:
1.
Nëse linja është një zgjidhje për sistemin (1), atëherë vija është një zgjidhje për sistemin (1).
2.
Nëse linjat 
dhe janë zgjidhje të sistemit (1), pastaj për çdo vlerë Me 1 dhe Me 2 kombinimi i tyre linear është gjithashtu një zgjidhje për sistemin (1).
Vlefshmëria e këtyre vetive mund të verifikohet duke i zëvendësuar drejtpërdrejt në ekuacionet e sistemit.
Nga vetitë e formuluara rezulton se çdo kombinim linear i zgjidhjeve në një sistem ekuacionesh homogjene lineare është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.
Sistemi i zgjidhjeve lineare të pavarura e 1 , e 2 , …, e r thirrur themelore, nëse çdo zgjidhje e sistemit (1) është një kombinim linear i këtyre zgjidhjeve e 1 , e 2 , …, e r.
Teorema 3. Nëse renditet r matricat e koeficientëve për variablat e sistemit të ekuacioneve homogjene lineare (1) janë më të vogla se numri i variablave n, atëherë çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit (1) përbëhet nga n–r vendimet.
Kjo është arsyeja pse vendim të përbashkët sistemi i ekuacioneve homogjene lineare (1) ka formën:
Ku e 1 , e 2 , …, e r- çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit (9), Me 1 , Me 2 , …, me f- numra arbitrar, R = n–r.
Teorema 4. Zgjidhja e përgjithshme e sistemit m ekuacionet lineare c n e panjohura është e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit përkatës të ekuacioneve homogjene lineare (1) dhe një zgjidhje të veçantë arbitrare të këtij sistemi (1).
Shembull. Zgjidheni sistemin
Zgjidhje. Për këtë sistem m = n= 3. Përcaktor
nga Teorema 2, sistemi ka vetëm një zgjidhje të parëndësishme: x = y = z = 0.
Shembull. 1) Gjeni zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta të sistemit
2) Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve.
Zgjidhje. 1) Për këtë sistem m = n= 3. Përcaktor
sipas Teoremës 2, sistemi ka zgjidhje jozero.
Meqenëse ekziston vetëm një ekuacion i pavarur në sistem
x + y – 4z = 0,
atëherë prej saj do të shprehemi x =4z- y. Ku marrim një numër të pafund zgjidhjesh: (4 z- y, y, z) – kjo është zgjidhja e përgjithshme e sistemit.
Në z= 1, y= -1, marrim një zgjidhje të veçantë: (5, -1, 1). Duke vënë z= 3, y= 2, marrim zgjidhjen e dytë të veçantë: (10, 2, 3), etj.
2) Në zgjidhjen e përgjithshme (4 z- y, y, z) variablat y Dhe z janë të lira, dhe ndryshorja X- varur prej tyre. Për të gjetur sistemin themelor të zgjidhjeve, le t'u caktojmë vlera variablave të lirë: së pari y = 1, z= 0, atëherë y = 0, z= 1. Përftojmë zgjidhje të pjesshme (-1, 1, 0), (4, 0, 1), të cilat formojnë sistemin themelor të zgjidhjeve.
Ilustrime:
Oriz. 1 Klasifikimi i sistemeve të ekuacioneve lineare
Oriz. 2 Studimi i sistemeve të ekuacioneve lineare
Prezantimet:
· Metoda SLAE_matrice e zgjidhjes
· Zgjidhja e metodës SLAE_Cramer
· Zgjidhje Metoda SLAE_Gauss
· Paketa për zgjidhjen e problemave matematikore Mathematica, MathCad: kërkimi i zgjidhjeve analitike dhe numerike të sistemeve të ekuacioneve lineare
Pyetje kontrolli:
1. Përcaktoni një ekuacion linear
2. Çfarë lloj sistemi duket si? m ekuacionet lineare me n i panjohur?
3. Çfarë quhet zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare?
4. Cilat sisteme quhen ekuivalente?
5. Cili sistem quhet i papajtueshëm?
6. Cili sistem quhet nyje?
7. Cili sistem quhet i caktuar?
8. Cili sistem quhet i pacaktuar
9. Listoni shndërrimet elementare të sistemeve të ekuacioneve lineare
10. Listoni shndërrimet elementare të matricave
11. Formuloni një teoremë për zbatimin e shndërrimeve elementare në një sistem ekuacionesh lineare
12. Cilat sisteme mund të zgjidhen duke përdorur metodën e matricës?
13. Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën e Cramer-it?
14. Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën e Gausit?
15. Listoni 3 raste të mundshme që lindin gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit
16. Përshkruani metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
17. Përshkruani metodën e Cramer-it për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
18. Përshkruani metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
19. Cilat sisteme mund të zgjidhen duke përdorur një matricë inverse?
20. Listoni 3 raste të mundshme që lindin gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer
Letërsia:
1. Matematika e lartë për ekonomistët: Libër mësuesi për universitetet / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITET, 2005. – 471 f.
2. Lëndë e përgjithshme e matematikës së lartë për ekonomistë: Libër mësuesi. / Ed. NË DHE. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 f.
3. Përmbledhje problemash në matematikën e lartë për ekonomistët: Libër mësuesi / Redaktuar nga V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 f.
4. Gmurman V. E. Udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat magmatike. - M.: Shkolla e lartë, 2005. – 400 f.
5. Gmurman. V.E Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore. - M.: Shkolla e Lartë, 2005.
6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematikë e lartë në ushtrime dhe probleme. Pjesa 1, 2. – M.: Onyx shekulli 21: Peace and Education, 2005. – 304 f. Pjesa 1; – 416 f. Pjesa 2.
7. Matematika në ekonomi: Teksti mësimor: Në 2 pjesë / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Financa dhe Statistikat, 2006.
8. Shipaçev V.S. Matematika e lartë: Libër mësuesi për nxënës. universitetet - M.: Shkolla e Lartë, 2007. - 479 f.
Informacione të lidhura.
Sistemet homogjene të ekuacioneve algjebrike lineare
Si pjesë e mësimeve Metoda Gaussian Dhe Sisteme/sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përbashkët kemi konsideruar sistemet johomogjene të ekuacioneve lineare, Ku anëtar i lirë(që zakonisht është në të djathtë) të paktën një nga ekuacionet ishte ndryshe nga zero.
Dhe tani, pas një ngrohjeje të mirë me renditja e matricës, ne do të vazhdojmë të lustrojmë teknikën transformimet elementare në sistemi homogjen i ekuacioneve lineare.
Bazuar në paragrafët e parë, materiali mund të duket i mërzitshëm dhe mediokër, por kjo përshtypje është mashtruese. Përveç zhvillimit të mëtejshëm të teknikave, do të ketë shumë informacione të reja, kështu që ju lutemi përpiquni të mos lini pas dore shembujt në këtë artikull.
Çfarë është një sistem homogjen ekuacionesh lineare?
Përgjigja sugjeron vetë. Një sistem ekuacionesh lineare është homogjen nëse termi i lirë të gjithë ekuacioni i sistemit është zero. Për shembull:
Është absolutisht e qartë se një sistem homogjen është gjithmonë konsistent dmth ka gjithmone nje zgjidhje. Dhe, para së gjithash, ajo që ju bie në sy është e ashtuquajtura i parëndësishëm zgjidhje 
. Trivial, për ata që nuk e kuptojnë fare kuptimin e mbiemrit, do të thotë pa shfaqje. Jo akademikisht, sigurisht, por në mënyrë të kuptueshme =) ...Pse të rrahim rreth shkurret, le të zbulojmë nëse ky sistem ka ndonjë zgjidhje tjetër:
Shembulli 1
Zgjidhje: për të zgjidhur një sistem homogjen është e nevojshme të shkruhet matrica e sistemit dhe me ndihmën e shndërrimeve elementare e sjellin atë në një formë hap pas hapi. Ju lutemi vini re se këtu nuk ka nevojë të shkruani shiritin vertikal dhe kolonën zero të termave të lirë - në fund të fundit, pavarësisht se çfarë bëni me zero, ato do të mbeten zero: 
(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –3.
(2) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.
Pjesëtimi i vijës së tretë me 3 nuk ka shumë kuptim.
Si rezultat i transformimeve elementare, fitohet një sistem homogjen ekuivalent 
, dhe, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, është e lehtë të verifikohet se zgjidhja është unike.
Përgjigju:
Le të formulojmë një kriter të qartë: një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka thjesht një zgjidhje e parëndësishme, Nëse renditja e matricës së sistemit(në këtë rast 3) është e barabartë me numrin e variablave (në këtë rast - 3 copë).
Le të ngrohemi dhe të akordojmë radion tonë me valën e transformimeve elementare:
Shembulli 2
Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare 
Nga artikulli Si të gjeni gradën e një matrice? Le të kujtojmë teknikën racionale të zvogëlimit të njëkohshëm të numrave të matricës. Përndryshe, do t'ju duhet të prisni peshq të mëdhenj dhe shpesh kafshues. Një shembull i përafërt i një detyre në fund të mësimit.
Zerot janë të mira dhe të përshtatshme, por në praktikë rasti është shumë më i zakonshëm kur rreshtat e matricës së sistemit varur në mënyrë lineare. Dhe atëherë shfaqja e një zgjidhjeje të përgjithshme është e pashmangshme:
Shembulli 3
Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare 
Zgjidhje: le të shkruajmë matricën e sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi. Veprimi i parë synon jo vetëm marrjen e një vlere të vetme, por edhe zvogëlimin e numrave në kolonën e parë:
(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i tretë, shumëzuar me –1. Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me –2. Në krye të majtë mora një njësi me një "minus", i cili shpesh është shumë më i përshtatshëm për transformime të mëtejshme.
(2) Dy rreshtat e parë janë të njëjtë, njëri prej tyre u fshi. Sinqerisht, unë nuk e shtyva zgjidhjen - doli kështu. Nëse kryeni transformime në një mënyrë shabllon, atëherë varësia lineare rreshtat do të ishin zbuluar pak më vonë.
(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 3.
(4) Shenja e rreshtit të parë u ndryshua.
Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent: 
Algoritmi funksionon saktësisht njësoj si për sisteme heterogjene. Variablat "ulur në shkallë" janë ato kryesore, ndryshorja që nuk ka marrë "hap" është falas.
Le të shprehim variablat bazë përmes një ndryshoreje të lirë: 
Përgjigju: vendim i përbashkët: 
Zgjidhja e parëndësishme përfshihet në formulën e përgjithshme dhe është e panevojshme ta shkruajmë veçmas.
Kontrolli kryhet gjithashtu sipas skemës së zakonshme: zgjidhja e përgjithshme që rezulton duhet të zëvendësohet në anën e majtë të secilit ekuacion të sistemit dhe duhet të merret një zero ligjore për të gjitha zëvendësimet.
Do të ishte e mundur të përfundonte këtë në heshtje dhe paqësi, por zgjidhja për një sistem homogjen ekuacionesh shpesh duhet të përfaqësohet në formë vektoriale duke përdorur sistemi themelor i zgjidhjeve. Ju lutemi harroni atë për momentin gjeometria analitike, pasi tani do të flasim për vektorët në kuptimin e përgjithshëm algjebrik, të cilin e hapa pak në artikullin rreth renditja e matricës. Nuk ka nevojë të fshihet terminologjia, gjithçka është mjaft e thjeshtë.
Le të shqyrtojmë sistem homogjen m ekuacione lineare me n ndryshore:
(15)
Një sistem ekuacionesh lineare homogjene është gjithmonë konsistent, sepse gjithmonë ka një zgjidhje zero (të parëndësishme) (0,0,…,0).
Nëse në sistemin (15) m=n dhe , atëherë sistemi ka vetëm një zgjidhje zero, e cila rrjedh nga teorema dhe formula e Cramer-it.
Teorema 1. Sistemi homogjen (15) ka një zgjidhje jo të parëndësishme nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij është më i vogël se numri i ndryshoreve, d.m.th. . r(A)< n.
Dëshmi. Ekzistenca e një zgjidhjeje jo të parëndësishme për sistemin (15) është ekuivalente me një varësi lineare të kolonave të matricës së sistemit (d.m.th., ka numra x 1, x 2,..., x n, jo të gjithë të barabartë me zero, të tillë që barazitë (15) janë të vërteta).
Sipas teoremës bazë minore, kolonat e një matrice varen në mënyrë lineare kur jo të gjitha kolonat e kësaj matrice janë bazë, d.m.th. kur rendi r i bazës minore të matricës është më i vogël se numri n i kolonave të saj. etj.
Pasoja. Një sistem homogjen katror ka zgjidhje jo të parëndësishme kur |A|=0.
Teorema 2. Nëse kolonat x (1), x (2),..., x (s) janë zgjidhje për një sistem homogjen AX = 0, atëherë çdo kombinim linear i tyre është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.
Dëshmi. Merrni parasysh çdo kombinim zgjidhjesh:
Pastaj AX=A()===0. etj.
Përfundimi 1. Nëse një sistem homogjen ka një zgjidhje jo të parëndësishme, atëherë ai ka pafundësisht shumë zgjidhje.
Se. është e nevojshme të gjenden zgjidhje të tilla x (1), x (2),..., x (s) të sistemit Ax = 0, në mënyrë që çdo zgjidhje tjetër e këtij sistemi të paraqitet në formën e kombinimit të tyre linear dhe , për më tepër, në një mënyrë unike.
Përkufizimi. Sistemi k=n-r (n është numri i të panjohurave në sistem, r=rg A) i zgjidhjeve lineare të pavarura x (1), x (2),…, x (k) të sistemit Ах=0 quhet sistemi themelor i zgjidhjeve këtë sistem.
Teorema 3. Le të jepet një sistem homogjen Ах=0 me n të panjohura dhe r=rg A. Pastaj është një grup k=n-r zgjidhjesh x (1), x (2),…, x (k) të këtij sistemi, duke formuar një sistemi themelor i zgjidhjeve.
Dëshmi. Pa humbur përgjithësimin, mund të supozojmë se baza minore e matricës A ndodhet në këndin e sipërm të majtë. Pastaj, sipas teoremës së vogël bazë, rreshtat e mbetur të matricës A janë kombinime lineare të rreshtave bazë. Kjo do të thotë që nëse vlerat x 1, x 2,…, x n plotësojnë ekuacionet e para r, d.m.th. ekuacionet që korrespondojnë me rreshtat e bazës minor), atëherë ato plotësojnë edhe ekuacione të tjera. Rrjedhimisht, grupi i zgjidhjeve të sistemit nuk do të ndryshojë nëse i hedhim poshtë të gjitha ekuacionet duke filluar nga ai (r+1). Ne marrim sistemin:
Le t'i zhvendosim të panjohurat e lira x r +1 , x r +2 ,…, x n në anën e djathtë dhe t'i lëmë ato themelore x 1 , x 2 ,…, x r në të majtë:
(16)
Sepse në këtë rast të gjithë b i =0, atëherë në vend të formulave
c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), marrim:
c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)
Nëse i vendosim të panjohurat e lira x r +1 , x r +2 ,…, x n në vlera arbitrare, atëherë në lidhje me të panjohurat bazë marrim një SLAE katrore me një matricë jo njëjës për të cilën ekziston një zgjidhje unike. Kështu, çdo zgjidhje e një SLAE homogjene përcaktohet në mënyrë unike nga vlerat e të panjohurave të lira x r +1, x r +2,…, x n. Konsideroni serinë e mëposhtme k=n-r të vlerave të të panjohurave të lira:
1, =0, ….,=0,
1, =0, ….,=0, (17)
………………………………………………
1, =0, ….,=0,
(Numri i serisë tregohet me një mbishkrim në kllapa, dhe seria e vlerave shkruhen në formën e kolonave. Në secilën seri =1 nëse i=j dhe =0 nëse ij.
Seria e i-të e vlerave të të panjohurave të lira korrespondon në mënyrë unike me vlerat e ,,..., të panjohurave bazë. Vlerat e të panjohurave të lira dhe themelore së bashku i japin zgjidhje sistemit (17).
Le të tregojmë se kolonat e i =,i=1,2,…,k (18)
formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
Sepse Këto kolona, për nga ndërtimi, janë zgjidhje të sistemit homogjen Ax=0 dhe numri i tyre është i barabartë me k, atëherë mbetet të vërtetohet pavarësia lineare e zgjidhjeve (16). Le të ketë një kombinim linear zgjidhjesh e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), e barabartë me kolonën zero:
1 e 1 + 2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)
Atëherë ana e majtë e kësaj barazie është një kolonë përbërësit e së cilës me numrat r+1,r+2,…,n janë të barabartë me zero. Por komponenti (r+1)-të është i barabartë me 1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Në mënyrë të ngjashme, komponenti (r+2)-të është i barabartë me 2 ,…, komponenti i kth është i barabartë me k. Prandaj 1 = 2 = …= k =0, që do të thotë pavarësi lineare e zgjidhjeve e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).
Sistemi themelor i ndërtuar i zgjidhjeve (18) quhet normale. Në bazë të formulës (13), ajo ka formën e mëposhtme:
(20)
Përfundimi 2. Le e 1 , e 2 ,…, e k-Sistemi themelor normal i zgjidhjeve të një sistemi homogjen, atëherë grupi i të gjitha zgjidhjeve mund të përshkruhet me formulën:
x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)
ku с 1,с 2,…,с k – merrni vlera arbitrare.
Dëshmi. Nga teorema 2, kolona (19) është zgjidhje e sistemit homogjen Ax=0. Mbetet të vërtetohet se çdo zgjidhje për këtë sistem mund të paraqitet në formën (17). Konsideroni kolonën X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Kjo kolonë përkon me kolonën y në elementet me numra r+1,...,n dhe është zgjidhje e (16). Prandaj kolonat X Dhe në përkojnë, sepse zgjidhjet e sistemit (16) përcaktohen në mënyrë unike nga grupi i vlerave të të panjohurave të tij të lira x r +1,…,x n, dhe kolonat në Dhe X këto grupe janë të njëjta. Prandaj, në=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, d.m.th. zgjidhje nëështë një kombinim linear i kolonave e 1 ,…,y n FSR normale. etj.
Deklarata e provuar është e vërtetë jo vetëm për një FSR normal, por edhe për një FSR arbitrare të një SLAE homogjene.
X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - vendim i përbashkët sistemet e ekuacioneve lineare homogjene
Ku X 1, X 2,…, X n - r – çdo sistem themelor zgjidhjesh,
c 1 ,c 2 ,…,c n - r janë numra arbitrar.
Shembull. (fq. 78)
Le të vendosim një lidhje midis zgjidhjeve të SLAE johomogjene 
(1) dhe SLAE homogjene përkatëse 
(15)
Teorema 4. Shuma e çdo zgjidhjeje të sistemit johomogjen (1) dhe sistemit përkatës homogjen (15) është një zgjidhje për sistemin (1).
Dëshmi. Nëse c 1 ,…,c n është një zgjidhje për sistemin (1), dhe d 1 ,…,d n është një zgjidhje për sistemin (15), atëherë duke zëvendësuar numrat e panjohur c në çdo (për shembull, i-të) ekuacion të sistemi (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , marrim:
B i +0=b i h.t.d.
Teorema 5. Dallimi midis dy zgjidhjeve arbitrare të sistemit johomogjen (1) është një zgjidhje për sistemin homogjen (15).
Dëshmi. Nëse c 1 ,…,c n dhe c 1 ,…,c n janë zgjidhje të sistemit (1), atëherë duke zëvendësuar numrat e panjohur c në çdo (për shembull, i-të) ekuacion të sistemit (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , marrim:
B i -b i =0 p.t.d.
Nga teoremat e provuara rezulton se zgjidhja e përgjithshme e një sistemi me m ekuacione homogjene lineare me n ndryshore është e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit përkatës të ekuacioneve lineare homogjene (15) dhe një numër arbitrar të një zgjidhjeje të veçantë të ky sistem (15).
X neod. =X total një +X të shpeshta më shumë se një herë (22)
Si zgjidhje e veçantë për një sistem johomogjen, është e natyrshme të merret tretësira që përftohet nëse në formulat c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) vendosi të gjithë numrat c r +1 ,…,c n të barabartë me zero, d.m.th.
X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)
Shtimi i kësaj zgjidhjeje të veçantë në zgjidhjen e përgjithshme X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r sistemin përkatës homogjen, marrim:
X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)
Konsideroni një sistem prej dy ekuacionesh me dy ndryshore:
në të cilin të paktën një nga koeficientët a ij 0.
Për ta zgjidhur, eliminojmë x 2 duke shumëzuar ekuacionin e parë me një 22, dhe të dytin me (-a 12) dhe duke i mbledhur ato: Eliminoni x 1 duke shumëzuar ekuacionin e parë me (-a 21), dhe të dytin me 11 dhe duke i shtuar ato: 
Shprehja në kllapa është përcaktor
Duke caktuar 
,
, atëherë sistemi do të marrë formën:, d.m.th., nëse, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike:,.
Nëse Δ=0, dhe (ose), atëherë sistemi është jokonsistent, sepse reduktohet në formën Nëse Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, atëherë sistemi është i pasigurt, sepse reduktuar në formë
Shembulli 1. Gjeni një zgjidhje të përgjithshme dhe disa sistem themelor zgjidhjesh për sisteminZgjidhje gjeni duke përdorur një kalkulator. Algoritmi i zgjidhjes është i njëjtë si për sistemet e ekuacioneve johomogjene lineare.
Duke vepruar vetëm me rreshta, gjejmë rangun e matricës, bazë minor; Ne deklarojmë të panjohura të varura dhe të lira dhe gjejmë një zgjidhje të përgjithshme.
Linjat e para dhe të dyta janë proporcionale, le të kalojmë njërën prej tyre:
.
Variablat e varur – x 2, x 3, x 5, falas – x 1, x 4. Nga ekuacioni i parë 10x 5 = 0 gjejmë x 5 = 0, atëherë
; .
Zgjidhja e përgjithshme është:
Gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, i cili përbëhet nga (n-r) zgjidhje. Në rastin tonë, n=5, r=3, pra, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga dy zgjidhje dhe këto zgjidhje duhet të jenë linearisht të pavarura. Që rreshtat të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së përbërë nga elementët e rreshtave të jetë i barabartë me numrin e rreshtave, pra 2. Mjafton të jepen të panjohurat e lira x 1 dhe x 4 vlera nga rreshtat e përcaktorit të rendit të dytë, jozero, dhe llogaritni x 2 , x 3 , x 5 . Përcaktori më i thjeshtë jozero është .
Pra, zgjidhja e parë është:
, e dyta - 
.
Këto dy vendime përbëjnë një sistem vendimtar themelor. Vini re se sistemi themelor nuk është unik (mund të krijoni sa më shumë përcaktues jozero të doni).
Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme dhe sistemin themelor të zgjidhjeve të sistemit 
Zgjidhje.
,
rrjedh se rangu i matricës është 3 dhe i barabartë me numrin e të panjohurave. Kjo do të thotë që sistemi nuk ka të panjohura të lira, dhe për këtë arsye ka një zgjidhje unike - një të parëndësishme.
Ushtrimi . Eksploroni dhe zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare.
Shembulli 4
Ushtrimi . Gjeni zgjidhjet e përgjithshme dhe të veçanta të secilit sistem.
Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën kryesore të sistemit:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Le ta zvogëlojmë matricën në formë trekëndore. Ne do të punojmë vetëm me rreshta, pasi shumëzimi i një rreshti matricë me një numër të ndryshëm nga zero dhe shtimi i tij në një rresht tjetër për sistemin do të thotë shumëzimi i ekuacionit me të njëjtin numër dhe shtimi i tij me një ekuacion tjetër, i cili nuk ndryshon zgjidhjen e sistemi.
Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-5). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (6). Shumëzojeni rreshtin e tretë me (-1). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:
Le të gjejmë gradën e matricës.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Minorja e zgjedhur ka renditjen më të lartë (të minorave të mundshëm) dhe është jo zero (është e barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen e kundërt), prandaj rangu (A) = 2.
Ky minor është bazë. Ai përfshin koeficientët për të panjohurat x 1 , x 2 , që do të thotë se të panjohurat x 1 , x 2 janë të varura (bazë) dhe x 3 , x 4 , x 5 janë të lira.
Le të transformojmë matricën, duke lënë vetëm bazën minore në të majtë.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Duke përdorur metodën e eliminimit të të panjohurave, gjejmë zgjidhje jo e parëndësishme:
Marrim relacione që shprehin variablat e varur x 1 , x 2 me ato të lira x 3 , x 4 , x 5 , pra gjetëm vendim të përbashkët:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, i cili përbëhet nga (n-r) zgjidhje.
Në rastin tonë, n=5, r=2, pra, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga 3 zgjidhje, dhe këto zgjidhje duhet të jenë linearisht të pavarura.
Që rreshtat të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së përbërë nga elementët e rreshtit të jetë i barabartë me numrin e rreshtave, domethënë 3.
Mjafton të jepni vlerat e të panjohurave të lira x 3, x 4, x 5 nga rreshtat e përcaktorit të rendit të tretë, jo zero dhe të llogaritni x 1, x 2.
Përcaktori më i thjeshtë jo zero është matrica e identitetit.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Detyrë . Gjeni një grup themelor zgjidhjesh për një sistem homogjen ekuacionesh lineare.
Po ngarkohet...