Veprimet me derivate. Çfarë është derivati Përkufizimi dhe kuptimi i një funksioni derivat. Shënime të zakonshme për derivatin e një funksioni në një pikë
Koncepti i derivatit
Lëreni funksionin f(x) përcaktohet në një interval X. Le të japim vlerën e argumentit në pikën x 0 X rritje arbitrare Δ x në mënyrë që pika x 0 + Δ x gjithashtu i përkiste X. Pastaj përkatëse rritja e funksionit f(x) do të jetë Δ në = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).
Përkufizimi 1. Derivati i funksionit f(x) në pikën x 0 quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen e argumentit në Δ x 0 (nëse ky kufi ekziston).
Për të treguar derivatin e një funksioni, ne përdorim simbolet y" (x 0) ose f"(x 0):
Nëse në një moment x 0 kufiri (4.1) është i pafund:
atëherë ata thonë se në pikë x 0 funksionin f(x) Ka derivat i pafund.
Nëse funksioni f(x) ka një derivat në çdo pikë të grupit X, pastaj derivati f"(x)është gjithashtu një funksion i argumentit X, përcaktuar më X.
Kuptimi gjeometrik i derivatit
Për të sqaruar kuptimin gjeometrik të derivatit, duhet të përcaktojmë tangjenten me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.
Përkufizimi 2. Tangjente në grafikun e funksionit y = f(x) në pikë M quhet pozicioni kufitar i sekantit MN, kur është pika N priret në një pikë M përgjatë kurbës f(x).
Lëreni pikën M në kurbë f(x) korrespondon me vlerën e argumentit x 0, dhe pikë N- vlera e argumentit x 0 + Δ x(Fig. 4.1). Nga përkufizimi i një tangjente rrjedh se për ekzistencën e saj në një pikë x 0është e nevojshme që të ketë një kufi, i cili është i barabartë me këndin e prirjes së tangjentes ndaj boshtit Oh. Nga një trekëndësh M.N.A. vijon se
Nëse derivati i funksionit f(x) në pikë x 0 ekziston, atëherë sipas (4.1), marrim
Nga kjo del një përfundim i qartë se derivat f"(x 0) i barabartë me koeficientin këndor (tangjenten e këndit të prirjes në drejtimin pozitiv të boshtit Ox) të tangjentës me grafikun e funksionit y = f(x) V pika M(x 0, f(x 0)). Në këtë rast, këndi i tangjentës përcaktohet nga formula (4.2):
Kuptimi fizik i derivatit
Le të supozojmë se funksioni l = f(t) përshkruan ligjin e lëvizjes së një pike materiale në një vijë të drejtë si një varësi e rrugës l nga koha t. Atëherë diferenca Δ l = f(t +Δ t) - f (t) -është rruga e përshkuar gjatë intervalit kohor Δ t, dhe raporti Δ l/Δ t- shpejtësia mesatare me kalimin e kohës Δ t. Pastaj kufiri përcakton shpejtësi pikë e menjëhershme në një moment në kohë t si derivat i rrugës në lidhje me kohën.
Në një kuptim të caktuar, derivati i funksionit në = f(x) mund të interpretohet edhe si shpejtësia e ndryshimit të një funksioni: aq më e madhe është vlera f"(x), sa më i madh të jetë këndi i prirjes së tangjentes ndaj kurbës, aq më i pjerrët është grafiku f(x) dhe funksioni rritet më shpejt.
Derivatet e djathta dhe të majta
Në analogji me konceptet e kufijve të njëanshëm të një funksioni, futen konceptet e derivateve të djathta dhe të majta të një funksioni në një pikë.
Përkufizimi 3. Djathtas majtas) derivat i një funksioni në = f(x) në pikën x 0 quhet kufiri i djathtë (majtas) i relacionit (4.1) për Δ x 0 nëse ky kufi ekziston.
Simbolika e mëposhtme përdoret për të treguar derivatet e njëanshme:
Nëse funksioni f(x) ka në pikë x 0 derivat, atëherë ka derivatet majtas dhe djathtas në këtë pikë, të cilat përkojnë.
Le të japim një shembull të një funksioni që ka derivate të njëanshme në një pikë që nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Kjo f(x) = |x|. Në të vërtetë, në pikën x = 0 ne kemi f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (Fig. 4.2) dhe f' +(0) ≠ f' -(0), d.m.th. funksioni nuk ka derivat në X = 0.
Operacioni i gjetjes së derivatit të një funksioni quhet ai diferencimi; quhet një funksion që ka një derivat në një pikë të diferencueshme.
Lidhja midis diferencimit dhe vazhdimësisë së një funksioni në një pikë përcaktohet nga teorema e mëposhtme.
TEOREMA 1 . Nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë x 0, atëherë ai është i vazhdueshëm në këtë pikë.
E kundërta nuk është e vërtetë: funksioni f(x), e vazhdueshme në një pikë, mund të mos ketë një derivat në atë pikë. Një shembull i tillë është funksioni në = |x| është e vazhdueshme në një pikë x= 0, por nuk ka derivat në këtë pikë.
Kështu, kërkesa e diferencimit të një funksioni është më e fortë se kërkesa e vazhdimësisë, pasi e dyta vjen automatikisht nga e para.
Ekuacioni i tangjentes me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar
Siç thuhet në seksionin 3.9, ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë M(x 0, y 0) me pjerrësi k duket si
Le të jepet funksioni në = f(x). Pastaj që nga derivati i tij në një moment M(x 0, y 0) është pjerrësia e tangjentes në grafikun e këtij funksioni në pikë M, atëherë rrjedh se ekuacioni i tangjentes në grafikun e funksionit f(x) në këtë pikë ka formën
Derivati i një funksioni $y = f(x)$ në një pikë të caktuar $x_0$ është kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen përkatëse të argumentit të tij, me kusht që ky i fundit të tentojë në zero:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
Diferencimi është operacioni i gjetjes së derivatit.
Tabela e derivateve të disa funksioneve elementare
| Funksioni | Derivat |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
Rregullat themelore të diferencimit
1. Derivati i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Gjeni derivatin e funksionit $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$
Derivati i një shume (diferencë) është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. Derivat i produktit
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Gjeni derivatin $f(x)=4x cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Derivati i herësit
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Gjeni derivatin $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të jashtëm dhe derivatin e funksionit të brendshëm.
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Kuptimi fizik i derivatit
Nëse një pikë materiale lëviz drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit $x(t)$, atëherë shpejtësia e menjëhershme e kësaj pike është e barabartë me derivatin e funksionit.
Pika lëviz përgjatë vijës së koordinatave sipas ligjit $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, ku $x(t)$ është koordinata në kohën $t$. Në cilën pikë kohore shpejtësia e pikës do të jetë e barabartë me 12$?
1. Shpejtësia është derivati i $x(t)$, kështu që le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$
2. Për të gjetur se në cilën pikë të kohës $t$ shpejtësia ishte e barabartë me $12$, ne krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:
Kuptimi gjeometrik i derivatit
Kujtojmë se ekuacioni i një drejtëze që nuk është paralele me boshtet e koordinatave mund të shkruhet në formën $y = kx + b$, ku $k$ është pjerrësia e drejtëzës. Koeficienti $k$ është i barabartë me tangjenten e këndit të prirjes ndërmjet drejtëzës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$.
Derivati i funksionit $f(x)$ në pikën $х_0$ është i barabartë me pjerrësinë $k$ të tangjentes me grafikun në këtë pikë:
Prandaj, ne mund të krijojmë një barazi të përgjithshme:
$f"(x_0) = k = tanα$
Në figurë rritet tangjentja e funksionit $f(x)$, pra koeficienti $k > 0$. Meqenëse $k > 0$, atëherë $f"(x_0) = tanα > 0$. Këndi $α$ ndërmjet tangjentes dhe drejtimit pozitiv $Ox$ është akut.
Në figurë, tangjentja e funksionit $f(x)$ zvogëlohet, pra koeficienti $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Në figurë, tangjentja e funksionit $f(x)$ është paralele me boshtin $Ox$, pra koeficienti $k = 0$, pra, $f"(x_0) = tan α = 0$. pika $x_0$ në të cilën thirret $f "(x_0) = 0$ ekstreme.
Figura tregon një grafik të funksionit $y=f(x)$ dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën me abshisën $x_0$. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$.
Tangjentja e grafikut rritet, prandaj, $f"(x_0) = tan α > 0$
Për të gjetur $f"(x_0)$, gjejmë tangjentën e këndit të prirjes ndërmjet tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$. Për ta bërë këtë, ndërtojmë tangjenten me trekëndëshin $ABC$.
Le të gjejmë tangjenten e këndit $BAC$. (Tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4) = 0,25$
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$
Përgjigje: 0,25 $
Derivati përdoret gjithashtu për të gjetur intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese:
Nëse $f"(x) > 0$ në një interval, atëherë funksioni $f(x)$ po rritet në këtë interval.
Nëse $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Figura tregon grafikun e funksionit $y = f(x)$. Gjeni midis pikave $х_1,х_2,х_3...х_7$ ato pika në të cilat derivati i funksionit është negativ.
Si përgjigje, shkruani numrin e këtyre pikave.
Plani:
1. Derivat i një funksioni
2. Funksioni diferencial
3. Zbatimi i njehsimit diferencial në studimin e funksioneve
Derivat i një funksioni të një ndryshoreje
Lëreni funksionin të përcaktohet në një interval të caktuar. I japim argumentit një rritje: , atëherë funksioni do të marrë një rritje. Le të gjejmë kufirin e këtij raporti në Nëse ky kufi ekziston, atëherë ai quhet derivat i funksionit. Derivati i një funksioni ka disa shënime: . Ndonjëherë në shënimin e një derivati, përdoret një indeks, që tregon se me cilën variabël merret derivati.
Përkufizimi. Derivati i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit kur rritja e argumentit tenton në zero (nëse ky kufi ekziston):
Përkufizimi. Një funksion që ka një derivat në çdo pikë të intervalit quhet të diferencueshme në këtë interval.
Përkufizimi. Operacioni i gjetjes së derivatit të një funksioni quhet diferencimi.
Vlera e derivatit të një funksioni në një pikë tregohet me një nga simbolet: .
Shembull. Gjeni derivatin e një funksioni në një pikë arbitrare.
Zgjidhje. Ne i japim vlerën një rritje. Të gjejmë shtimin e funksionit në pikën: . Le të krijojmë një marrëdhënie. Le të kalojmë në kufirin: . Kështu,.
Kuptimi mekanik i derivatit. Meqenëse ose, d.m.th. shpejtësia e lëvizjes drejtvizore të një pike materiale në një çast kohor është derivati i shtegut në lidhje me kohën. Kjo është kuptimi mekanik i derivatit .
Nëse një funksion përshkruan ndonjë proces fizik, atëherë derivati është shpejtësia e shfaqjes së këtij procesi. Kjo është kuptimi fizik i derivatit .
Kuptimi gjeometrik i derivatit. Konsideroni një grafik të një lakore të vazhdueshme që ka një tangjente jo vertikale në një pikë. Le të gjejmë koeficientin këndor të tij, ku është këndi tangjent me boshtin. Për ta bërë këtë, vizatoni një vijë sekante përmes pikës dhe grafikut (Figura 1).
Le të shënojmë me - këndin ndërmjet sekantit dhe boshtit. Figura tregon se koeficienti këndor i sekantit është i barabartë me
Kur, për shkak të vazhdimësisë së funksionit, edhe rritja tenton në zero; prandaj, pika i afrohet në mënyrë të pacaktuar pikës përgjatë kurbës dhe sekanti, duke u kthyer rreth pikës, bëhet një tangjente. Këndi, d.m.th. . Prandaj, , Prandaj pjerrësia e tangjentes është e barabartë me .
Pjerrësia e një tangjente në një kurbë
Këtë barazi e rishkruajmë në formën: , d.m.th. derivati në një pikë është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit në pikën abshisa e së cilës është e barabartë me . Kjo është kuptimi gjeometrik i derivatit .
Nëse pika e tangjences ka koordinata (Figura 2), koeficienti këndor i tangjentes është i barabartë me: .
Ekuacioni i drejtëzës që kalon në një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar ka formën: .
Pastaj ekuacioni tangjent shkruhet në formën: .
Përkufizimi. Një drejtëz pingul me tangjenten në pikën e kontaktit quhet normale në kurbë.
Koeficienti këndor i normales është i barabartë me: (pasi normalja është pingul me tangjenten).
Ekuacioni normal ka formën:, Nëse .
Duke zëvendësuar vlerat e gjetura, marrim ekuacionet tangjente, d.m.th. .
Ekuacioni normal: ose .
Nëse një funksion ka një derivat të fundëm në një pikë, atëherë ai është i diferencueshëm në atë pikë. Nëse një funksion është i diferencueshëm në çdo pikë të një intervali, atëherë ai është i diferencueshëm në atë interval.
Teorema 6.1 Nëse një funksion është i diferencueshëm në një moment, atëherë ai është i vazhdueshëm atje.
Teorema e kundërt nuk është e vërtetë. Një funksion i vazhdueshëm mund të mos ketë një derivat.
Shembull. Funksioni është i vazhdueshëm gjatë intervalit (Figura 3).
Zgjidhje.
Derivati i këtij funksioni është i barabartë me:
Në një pikë - funksioni nuk është i diferencueshëm.
Koment. Në praktikë, më shpesh ju duhet të gjeni derivate të funksioneve komplekse. Prandaj, në tabelën e formulave të diferencimit, argumenti zëvendësohet me një argument të ndërmjetëm.
Tabela e derivateve
Konstante
Funksioni i fuqisë:
2) në veçanti;
Funksioni eksponencial:
3) në veçanti;
Funksioni logaritmik:
4) në veçanti;
Funksionet trigonometrike:
Funksionet trigonometrike të anasjellta , , , :
Të diferencosh një funksion do të thotë të gjesh derivatin e tij, pra të llogaritësh kufirin: . Megjithatë, përcaktimi i kufirit në shumicën e rasteve është një detyrë e rëndë.
Nëse i njihni derivatet e funksioneve themelore elementare dhe i njihni rregullat për diferencimin e rezultateve të veprimeve aritmetike në këto funksione, atëherë mund të gjeni lehtësisht derivatet e çdo funksioni elementar, sipas rregullave për përcaktimin e derivateve, të njohura mirë nga kursi shkollor. .
Lërini funksionet dhe të jenë dy funksione të diferencueshme në një interval të caktuar.
Teorema 6.2 Derivati i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve të këtyre funksioneve: .
Teorema është e vlefshme për çdo numër të kufizuar termash.
Shembull. Gjeni derivatin e funksionit.
Zgjidhje.
Teorema 6.3 Derivati i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me produktin e derivatit të faktorit të parë dhe të dytit plus produktin e faktorit të parë dhe derivatin e të dytit: .
Shembull. Gjeni derivatin e një funksioni .
Zgjidhje.
Teorema 6.4 Derivati i herësit të dy funksioneve, nëse është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis prodhimeve të emëruesit të thyesës dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit të thyesës dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i emëruesit të mëparshëm: .
Shembull. Gjeni derivatin e një funksioni .
Zgjidhje. .
Për të gjetur derivatin e një funksioni kompleks, duhet të shumëzoni derivatin e këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm me derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me argumentin e pavarur.
Ky rregull mbetet në fuqi nëse ka disa argumente të ndërmjetme. Pra, nëse , , , atëherë
Le dhe, pastaj - një funksion kompleks me një argument të ndërmjetëm dhe një argument të pavarur.
Teorema 6.5 Nëse një funksion ka një derivat në një pikë, dhe një funksion ka një derivat në pikën përkatëse, atëherë një funksion kompleks ka një derivat në një pikë, i cili gjendet me formula. , Gjeni derivatin e funksionit të dhënë nga ekuacioni: .
Zgjidhje. Funksioni është specifikuar në mënyrë implicite. Të dallojmë ekuacionin në lidhje me , duke kujtuar se: . Më pas gjejmë: .
Lëreni funksionin të përcaktohet në një pikë dhe disa nga fqinjësia e saj. Le t'i japim argumentit një rritje të tillë që pika të bjerë në domenin e përkufizimit të funksionit. Funksioni më pas do të rritet.
PËRKUFIZIM. Derivat i një funksioni në një pikë quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit në këtë pikë me rritjen e argumentit, në (nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm), d.m.th.
Shënoni: ,,,.
Derivati i një funksioni në një pikë në të djathtë (majtas) thirrur
(nëse ky kufi ekziston dhe është i kufizuar).
Përcaktuar nga: , – derivati në pikën në të djathtë,
, është derivati në pikën në të majtë.
Natyrisht, teorema e mëposhtme është e vërtetë.
TEOREMA. Një funksion ka një derivat në një pikë nëse dhe vetëm nëse në këtë pikë ekzistojnë derivatet e funksionit djathtas dhe majtas dhe janë të barabartë me njëri-tjetrin. Për më tepër
Teorema e mëposhtme vendos një lidhje midis ekzistencës së një derivati të një funksioni në një pikë dhe vazhdimësisë së funksionit në atë pikë.
TEOREMA (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një derivati të një funksioni në një pikë). Nëse një funksion ka një derivat në një pikë, atëherë funksioni në atë pikë është i vazhdueshëm.
DËSHMI
Lëreni të ekzistojë. Pastaj
,
ku është infinite vogël në.
Koment
derivat i një funksioni dhe shënojnë
diferencimi i funksionit .
KUPTIMI GJEOMETRIK DHE FIZIK
1) Kuptimi fizik i derivatit. Nëse një funksion dhe argumenti i tij janë sasi fizike, atëherë derivati është shkalla e ndryshimit të një ndryshoreje në lidhje me ndryshoren në një pikë. Për shembull, nëse është distanca e përshkuar nga një pikë në kohë, atëherë derivati i saj është shpejtësia në momentin e kohës. Nëse është sasia e energjisë elektrike që rrjedh nëpër seksionin kryq të përcjellësit në një moment të caktuar, atëherë është shkalla e ndryshimit të sasisë së energjisë elektrike në një çast kohor, d.m.th. fuqia aktuale në një moment në kohë.
2) Kuptimi gjeometrik i derivatit.
Le të jetë një kurbë, të jetë një pikë në kurbë. 
Çdo drejtëz që kryqëzon të paktën dy pika quhet sekant .
Tangjente me një kurbë në një pikë quhet pozicioni kufitar i një sekanti nëse pika tenton të lëvizë përgjatë një kurbë.
Nga përkufizimi është e qartë se nëse një tangjente me një kurbë ekziston në një pikë, atëherë ajo është e vetmja
Konsideroni një kurbë (d.m.th. një grafik të një funksioni). Le të ketë një tangjente jo vertikale në një pikë. Ekuacioni i tij: (ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë dhe ka një koeficient këndor). 
Sipas përcaktimit të pjerrësisë
ku është këndi i prirjes së drejtëzës ndaj boshtit.
Le të jetë këndi i prirjes së sekantit ndaj boshtit, ku. Që është një tangjente, atëherë kur
Prandaj,
Kështu, ne e morëm atë – koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit në pikë(kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni në një pikë). Prandaj, ekuacioni i tangjentes me lakoren në një pikë mund të shkruhet në formë
Koment . Një vijë e drejtë që kalon nëpër një pikë pingul me tangjenten e tërhequr në kurbë në atë pikë quhet normale ndaj kurbës në pikë . Meqenëse koeficientët këndorë të drejtëzave pingule lidhen me relacionin, ekuacioni i normales me lakoren në një pikë do të ketë formën
, Nëse .
Nëse , atëherë tangjentja me lakoren në pikë do të ketë formën
dhe normale.
EKUACIONET TANGENTE DHE NORMAL
Ekuacioni tangjent
Le të jepet funksioni nga ekuacioni y=f(x), duhet të shkruani ekuacionin tangjente në pikën x 0. Nga përkufizimi i derivatit:
y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x
Δ y=f(x+Δ x)−f(x).
Ekuacioni tangjente në grafikun e funksionit: y=kx+b (k,b=konst). Nga kuptimi gjeometrik i derivatit: f/(x 0)=tgα= k Sepse x 0 dhe f(x 0)∈ drejtëza, pastaj ekuacioni tangjente shkruhet si: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0), ose
y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.
Ekuacioni normal
Normale- është pingul me tangjente(shih foton). Bazuar në këtë:
tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)
Sepse këndi i prirjes së normales është këndi β1, atëherë kemi:
tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).
Pika ( x 0,f(x 0))∈ normale, ekuacioni merr formën:
y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).
DËSHMI
Lëreni të ekzistojë. Pastaj
,
ku është infinite vogël në.
Por kjo do të thotë se është e vazhdueshme në një pikë (shih përkufizimin gjeometrik të vazhdimësisë). ∎
Koment . Vazhdimësia e një funksioni në një pikë nuk është kusht i mjaftueshëm për ekzistencën e një derivati të këtij funksioni në një pikë. Për shembull, një funksion është i vazhdueshëm, por nuk ka derivat në një pikë. Vërtet,
dhe për këtë arsye nuk ekziston.
Natyrisht, korrespondenca është një funksion i përcaktuar në një grup. Ata e thërrasin atë derivat i një funksioni dhe shënojnë
Operacioni i gjetjes së funksionit të funksionit derivat të tij quhet diferencimi i funksionit .
Derivati i shumës dhe diferencës
Le të jepen funksionet f(x) dhe g(x), derivatet e të cilëve janë të njohur për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:
(f + g)' = f ' + g'
(f − g)' = f ' − g'
Pra, derivati i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, (f + g + h)' = f' + g' + h'.
Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj, ndryshimi f − g mund të rishkruhet si shuma f + (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati i shumës.
Në planin koordinativ xOy merrni parasysh grafikun e funksionit y=f(x). Le të rregullojmë pikën M(x 0 ; f (x 0)). Le të shtojmë një abshisë x 0 rritje Δх. Do të marrim një abscisë të re x 0 +Δx. Kjo është abscisa e pikës N, dhe ordinata do të jetë e barabartë f (x 0 +Δx). Ndryshimi në abscissa solli një ndryshim në ordinate. Ky ndryshim quhet rritje e funksionit dhe shënohet Δy.
Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Përmes pikave M Dhe N le të vizatojmë një sekant MN, e cila formon një kënd φ me drejtim të boshtit pozitiv Oh. Le të përcaktojmë tangjenten e këndit φ nga një trekëndësh kënddrejtë MPN.
Le Δх priret në zero. Pastaj sekanti MN do të priren të marrin një pozicion tangjent MT, dhe këndin φ do të bëhet një kënd α . Pra, tangjentja e këndit α është vlera kufizuese e tangjentes së këndit φ :
Kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit, kur ky i fundit tenton në zero, quhet derivat i funksionit në një pikë të caktuar:
Kuptimi gjeometrik i derivatit qëndron në faktin se derivati numerik i funksionit në një pikë të caktuar është i barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja e tërhequr përmes kësaj pike me lakoren e dhënë dhe drejtimin pozitiv të boshtit. Oh:
Shembuj.
1. Gjeni shtimin e argumentit dhe shtimin e funksionit y= x 2, nëse vlera fillestare e argumentit ishte e barabartë me 4 , dhe e re - 4,01 .
Zgjidhje.
Vlera e re e argumentit x=x 0 +Δx. Le të zëvendësojmë të dhënat: 4.01=4+Δх, pra rritja e argumentit Δх=4,01-4=0,01. Rritja e një funksioni, sipas përkufizimit, është e barabartë me diferencën midis vlerave të reja dhe të mëparshme të funksionit, d.m.th. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Meqenëse kemi një funksion y=x2, Kjo Dy=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Përgjigje: rritje argumenti Δх=0,01; rritja e funksionit Dy=0,0801.
Rritja e funksionit mund të gjendet ndryshe: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. Gjeni këndin e prirjes së tangjentes me grafikun e funksionit y=f(x) në pikën x 0, Nëse f "(x 0) = 1.
Zgjidhje.
Vlera e derivatit në pikën e tangjences x 0 dhe është vlera e tangjentës së këndit tangjent (kuptimi gjeometrik i derivatit). Ne kemi: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sepse tg45°=1.
Përgjigje: tangjentja me grafikun e këtij funksioni formon një kënd me drejtim pozitiv të boshtit Ox të barabartë me 45°.
3. Nxjerr formulën për derivatin e funksionit y=x n.
Diferencimiështë veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni.
Kur gjeni derivatet, përdorni formulat që janë nxjerrë bazuar në përkufizimin e një derivati, në të njëjtën mënyrë siç kemi nxjerrë formulën për shkallën e derivatit: (x n)" = nx n-1.
Këto janë formulat.
Tabela e derivateve Do të jetë më e lehtë të mësosh përmendësh duke shqiptuar formulime verbale:
1. Derivati i një sasie konstante është zero.
2. X i thjeshtë është i barabartë me një.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit.
4. Derivati i një shkalle është i barabartë me prodhimin e eksponentit të kësaj shkalle me një shkallë me të njëjtën bazë, por eksponenti është një më pak.
5. Derivati i rrënjës është i barabartë me një të ndarë me dy rrënjë të barabarta.
6. Derivati i një pjesëtuar me x është i barabartë me minus një pjesëtuar me x në katror.
7. Derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin.
8. Derivati i kosinusit është i barabartë me minus sinus.
9. Derivati i tangjentes është i barabartë me një pjesëtuar me katrorin e kosinusit.
10. Derivati i kotangjentës është i barabartë me minus një pjesëtuar me katrorin e sinusit.
Ne mësojmë rregullat e diferencimit.
1.
Derivati i një shume algjebrike është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të termave.
2. Derivati i një produkti është i barabartë me produktin e derivatit të faktorit të parë dhe të dytit plus produktin e faktorit të parë dhe derivatin e të dytit.
3. Derivati i "y" i pjesëtuar me "ve" është i barabartë me një thyesë në të cilën numëruesi është "y i thjeshtë shumëzuar me "ve" minus "y i shumëzuar me ve të thjeshtë", dhe emëruesi është "ve në katror".
4. Një rast i veçantë i formulës 3.
Po ngarkohet...