Derivatet e rendit më të lartë

Në këtë mësim do të mësojmë se si të gjejmë derivate të rendit më të lartë, si dhe të shkruajmë formulë e përgjithshme derivati ​​"n-të". Për më tepër, formula e Leibniz për një derivat të tillë dhe, sipas kërkesës popullore, derivatet e rendit më të lartë të funksioni i nënkuptuar. Unë ju sugjeroj të bëni një mini-test menjëherë:

Këtu është funksioni: dhe këtu është derivati ​​i tij i parë:

Në rast se keni ndonjë vështirësi/konfuzion në lidhje me këtë shembull, ju lutemi filloni me dy artikujt bazë të kursit tim: Si të gjeni derivatin? Dhe Derivat i një funksioni kompleks. Pasi të keni zotëruar derivatet elementare, ju rekomandoj të lexoni mësimin Problemet më të thjeshta me derivatet, me të cilat trajtuam, në veçanti derivati ​​i dytë.

Nuk është e vështirë të merret me mend se derivati ​​i dytë është derivati ​​i derivatit të parë:

Në parim, derivati ​​i dytë konsiderohet tashmë një derivat i rendit më të lartë.

Në mënyrë të ngjashme: derivati ​​i tretë është derivati ​​i derivatit të dytë:

Derivati ​​i katërt është derivati ​​i derivatit të tretë:

Derivati ​​i pestë: , dhe është e qartë se të gjitha derivatet e rendit më të lartë do të jenë gjithashtu të barabarta me zero:

Përveç numërimit romak, shënimet e mëposhtme përdoren shpesh në praktikë:
, derivati ​​i rendit “n-të” shënohet me . Në këtë rast, mbishkrimi duhet të vendoset në kllapa– të dallojë derivatin nga “y” në shkallë.

Ndonjëherë ju shihni diçka si kjo: – përkatësisht derivatet e tretë, të katërt, të pestë, ..., “ntë”.

Përpara pa frikë dhe dyshim:

Shembulli 1

Funksioni është dhënë. Gjej .

Zgjidhje: çfarë mund të thuash... - vazhdo për derivatin e katërt :)

Nuk është më e zakonshme të vendosni katër goditje, kështu që kalojmë në indekset numerike:

Përgjigju:

Mirë, tani le të mendojmë për këtë pyetje: çfarë të bëjmë nëse kushti kërkon të gjesh jo derivatin e 4-të, por për shembull, derivatin e 20-të? Nëse për derivatin 3-4-5-të (maksimumi 6-7) rendi i madhësisë, zgjidhja zyrtarizohet mjaft shpejt, atëherë nuk do të "arrijme" shumë shpejt te derivatet e rendit më të lartë. Në fakt, mos i shkruani 20 rreshta! Në një situatë të tillë, ju duhet të analizoni disa derivate të gjetur, të shihni modelin dhe të krijoni një formulë për derivatin "n-të". Pra, në shembullin nr. 1 është e lehtë të kuptohet se me çdo diferencim pasues një "tre" shtesë do të "shfaqet" përpara eksponentit, dhe në çdo hap shkalla e "tre" është e barabartë me numrin e derivati, pra:

Ku është një numër natyror arbitrar.

Dhe në të vërtetë, nëse , atëherë merret saktësisht derivati ​​i parë: , nëse – atëherë 2: etj. Kështu, derivati ​​i njëzetë përcaktohet në çast: – dhe pa “fletë kilometërshe”!

Ngrohja vetë:

Shembulli 2

Gjeni funksione. Shkruani derivatin e rendit

Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Pas një ngrohjeje gjallëruese, do të shohim më shumë shembuj kompleks, në të cilën do të përpunojmë algoritmin e mësipërm të zgjidhjes. Për ata që arritën të njiheshin me mësimin Kufiri i sekuencës, do të jetë pak më e lehtë:

Shembulli 3

Gjeni për funksion.

Zgjidhje: për të sqaruar situatën, le të gjejmë disa derivate:

Ne nuk po nxitojmë të shumëzojmë numrat që rezultojnë! ;-)


Ndoshta kaq mjafton. ...E teprova edhe pak.

Hapi tjetër është më i miri për të krijuar formulën për derivatin "n-të". (nëse gjendja nuk e kërkon këtë, atëherë mund të kaloni me një draft). Për ta bërë këtë, ne shikojmë rezultatet e marra dhe identifikojmë modelet me të cilat merret çdo derivat pasues.

Së pari, ato alternohen. Shtrirja siguron "dritë ndezëse", dhe meqenëse derivati ​​i parë është pozitiv, faktori i mëposhtëm do të hyjë në formulën e përgjithshme: . Një opsion ekuivalent do të funksiononte gjithashtu, por personalisht, si optimist, më pëlqen shenja plus =)

Së dyti, në numëruesin "përfundon" faktorial, dhe "ngel" pas numrit derivat me një njësi:

Dhe së treti, fuqia e "dy" në numërues rritet, e cila është e barabartë me numrin e derivatit. E njëjta gjë mund të thuhet për shkallën e emëruesit. Së fundi:

Për të kontrolluar, le të zëvendësojmë disa vlera "en", për shembull, dhe :

E shkëlqyeshme, tani të bësh një gabim është thjesht një mëkat:

Përgjigju:

Një funksion më i thjeshtë për vendim i pavarur:

Shembulli 4

Gjeni funksione.

Dhe një problem më interesant:

Shembulli 5

Gjeni funksione.

Le të përsërisim procedurën edhe një herë:

1) Së pari gjejmë disa derivate. Për të kapur modelet, zakonisht mjaftojnë tre ose katër.

2) Atëherë unë rekomandoj fuqimisht të bëni (të paktën në formë drafti) Derivati ​​"n" - është i garantuar t'ju mbrojë nga gabimet. Por ju mund të bëni pa të, d.m.th. vlerësoni mendërisht dhe shkruani menjëherë, për shembull, derivatin e njëzetë ose të tetë. Për më tepër, disa njerëz në përgjithësi janë në gjendje t'i zgjidhin problemet në fjalë gojarisht. Sidoqoftë, duhet të mbani mend se metodat "të shpejta" janë të mbushura, dhe është më mirë të jeni të sigurt.

3) Në fazën përfundimtare, ne kontrollojmë derivatin "n-të" - marrim një palë vlerash "n-të" (mundësisht ato fqinje) dhe kryejmë zëvendësimin. Dhe është edhe më e besueshme të kontrolloni të gjitha derivatet e gjetura më parë. Pastaj e zëvendësojmë atë në vlerën e dëshiruar, për shembull, ose dhe e krehim me kujdes rezultatin.

Zgjidhje e Shpejtë 4 dhe 5 shembuj në fund të mësimit.

Në disa detyra, për të shmangur problemet, duhet të bëni pak magji në funksion:

Shembulli 6

Zgjidhje: Nuk dua të diferencoj fare funksionin e propozuar, pasi do të rezultojë në një fraksion "të keq", i cili do ta komplikojë shumë gjetjen e derivateve të mëvonshme.

Në këtë drejtim, këshillohet të kryhen transformime paraprake: ne përdorim formula e diferencës katrore Dhe veti e logaritmit :

Është një çështje krejtësisht tjetër:

Dhe miqtë e vjetër:

Unë mendoj se gjithçka po shikohet. Ju lutemi vini re se fraksioni i dytë alternon, por fraksioni i parë jo. Ne ndërtojmë derivatin e rendit:

Kontrolli:

Epo, për hir të bukurisë, le të heqim faktorialin nga kllapat:

Përgjigju:

Detyrë interesante për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 7

Shkruani formulën e derivatit të rendit për funksionin

Dhe tani për garancinë reciproke të palëkundur që do ta kishte zili edhe mafia italiane:

Shembulli 8

Funksioni është dhënë. Gjej

Derivati ​​i tetëmbëdhjetë në pikë. Vetëm.

Zgjidhje: së pari, natyrisht, ju duhet të gjeni . Shko:

Filluam me sinusin dhe përfunduam me sinusin. Është e qartë se me diferencim të mëtejshëm ky cikël do të vazhdojë pafundësisht dhe lind pyetja e mëposhtme: cila është mënyra më e mirë për të "arritur" në derivatin e tetëmbëdhjetë?

Metoda "amatore": shkruani shpejt numrat e derivateve pasues në kolonën në të djathtë:

Kështu:

Por kjo funksionon nëse rendi i derivatit nuk është shumë i madh. Nëse ju duhet të gjeni, të themi, derivatin e qindtë, atëherë duhet të përdorni pjesëtueshmërinë me 4. Njëqindja është e pjesëtueshme me 4 pa mbetje, dhe është e lehtë të shihet se numra të tillë janë të vendosur në vijën fundore, prandaj: .

Nga rruga, derivati ​​i 18-të mund të përcaktohet gjithashtu nga konsiderata të ngjashme:
Rreshti i dytë përmban numra që pjesëtohen me 4 me një mbetje prej 2.

Një metodë tjetër, më akademike bazohet në periodiciteti sinus Dhe formulat e reduktimit. Ne përdorim formulën e gatshme për derivatin "n" të sinusit , në të cilën thjesht zëvendësohet numri i dëshiruar. Për shembull:
(formula e reduktimit ) ;
(formula e reduktimit )

Në rastin tonë:

(1) Meqenëse sinusi është funksion periodik me periodë, atëherë argumenti mund të "zhvidhos" pa dhimbje 4 perioda (d.m.th.).

Derivati ​​i rendit të produktit të dy funksioneve mund të gjendet duke përdorur formulën:

Veçanërisht:

Nuk ka nevojë të mbani mend asgjë konkretisht, sepse sa më shumë formula të dini, aq më pak kuptoni. Është shumë më e dobishme të njiheni me të Binomi i Njutonit, pasi formula e Leibniz-it është shumë, shumë e ngjashme me të. Epo, ata me fat që do të marrin një derivat të rendit të 7-të ose më të lartë (gjë që ka shumë pak gjasa), do të detyrohet ta bëjë këtë. Megjithatë, kur të vijë radha kombinatorika- atëherë ju ende duhet =)

Le të gjejmë derivatin e tretë të funksionit. Ne përdorim formulën e Leibniz:

NË në këtë rast: . Derivatet janë të lehta për t'u recituar me gojë:

Tani kryeni me kujdes dhe me kujdes zëvendësimin dhe thjeshtoni rezultatin:

Përgjigju:

Një detyrë e ngjashme për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 11

Gjeni veçori

Nëse në shembullin e mëparshëm zgjidhja "kokë më parë" ende konkurronte me formulën e Leibniz, atëherë këtu do të jetë vërtet e pakëndshme. Dhe edhe më e pakëndshme - në rastin e një derivati ​​të rendit më të lartë:

Shembulli 12

Gjeni derivatin e rendit të specifikuar

Zgjidhje: vërejtja e parë dhe domethënëse është se ndoshta nuk keni nevojë të vendosni kështu =) =)

Le të shkruajmë funksionet dhe të gjejmë derivatet e tyre deri në renditjen e 5-të përfshirëse. Unë supozoj se derivatet e kolonës së djathtë janë bërë gojore për ju:

Në kolonën e majtë, derivatet "e gjallë" "përfunduan" shpejt dhe kjo është shumë mirë - tre terma në formulën e Leibniz do të rivendosen në zero:

Më lejoni të ndalem përsëri në dilemën që u shfaq në artikullin rreth derivatet komplekse: A duhet ta thjeshtoj rezultatin? Në parim, ju mund ta lini atë në këtë mënyrë - do të jetë edhe më e lehtë për mësuesin të kontrollojë. Por ai mund të kërkojë që vendimi të finalizohet. Nga ana tjetër, thjeshtimi me iniciativën e dikujt është i mbushur me gabime algjebrike. Megjithatë, ne kemi një përgjigje të marrë në një mënyrë "primitive" =) (shih lidhjen në fillim) dhe shpresoj se është e saktë:

E shkëlqyeshme, gjithçka u bashkua.

Përgjigju:

Detyrë e lumtur për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 13

Për funksionin:
a) gjeni me diferencim të drejtpërdrejtë;
b) gjeni duke përdorur formulën e Leibniz-it;
c) llogarit .

Jo, nuk jam fare sadist - pika "a" këtu është mjaft e thjeshtë =)

Por seriozisht, zgjidhja "e drejtpërdrejtë" me diferencim të njëpasnjëshëm ka gjithashtu "të drejtën e jetës" - në disa raste kompleksiteti i saj është i krahasueshëm me kompleksitetin e aplikimit të formulës Leibniz. Përdoreni nëse e shihni të përshtatshme - kjo nuk ka gjasa të jetë një arsye për dështimin e detyrës.

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Për të ngritur paragrafin e fundit duhet të jeni në gjendje dallojnë funksionet e nënkuptuara:

Derivatet e rendit më të lartë të funksioneve të specifikuara në mënyrë implicite

Shumë prej nesh kanë kaluar orë, ditë dhe javë të gjata të jetës sonë duke studiuar rrathët, parabolat, hiperbolë– dhe ndonjëherë dukej edhe si një dënim i vërtetë. Pra, hakmerremi dhe i diferencojmë siç duhet!

Le të fillojmë me parabolën "shkollë" në të pozicioni kanonik:

Shembulli 14

Ekuacioni është dhënë. Gjej .

Zgjidhje: Hapi i parë është i njohur:

Fakti që funksioni dhe derivati ​​i tij shprehen në mënyrë implicite nuk e ndryshon thelbin e çështjes; derivati ​​i dytë është derivati ​​i derivatit të parë:

Sidoqoftë, ekzistojnë rregulla të lojës: zakonisht shprehen derivatet e rendit të dytë dhe më të lartë vetëm përmes "X" dhe "Y". Prandaj, ne zëvendësojmë : në derivatin e dytë që rezulton:

Derivati ​​i tretë është derivati ​​i derivatit të dytë:

Në mënyrë të ngjashme, le të zëvendësojmë:

Përgjigju:

Hiperbola "Shkolla" në pozicioni kanonik- Për punë e pavarur:

Shembulli 15

Ekuacioni është dhënë. Gjej .

E përsëris që derivati ​​i dytë dhe rezultati duhet të shprehen vetëm përmes "x"/"y"!

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Pas shakave të fëmijëve, le të shohim pornografinë gjermane, le të shohim më shumë shembuj të të rriturve, nga të cilët do të mësojmë një zgjidhje tjetër të rëndësishme:

Shembulli 16

Elipsa vetë.

Zgjidhje: le të gjejmë derivatin e parë:

Tani le të ndalemi dhe të analizojmë pikën tjetër: tani duhet të dallojmë thyesën, e cila nuk është aspak e këndshme. Në këtë rast, natyrisht, është e thjeshtë, por në problemet e jetës reale, dhurata të tilla janë shumë të pakta. A ka ndonjë mënyrë për të shmangur gjetjen e derivatit të rëndë? Ekziston! Ne marrim ekuacionin dhe përdorim të njëjtën teknikë si kur gjejmë derivatin e parë - ne "varim" goditje në të dy anët:

Derivati ​​i dytë duhet të shprehet vetëm në terma dhe , kështu që tani (tani per momentin)Është i përshtatshëm për të hequr qafe derivatin e 1-të. Për ta bërë këtë, zëvendësoni në ekuacionin që rezulton:

Për të shmangur vështirësitë teknike të panevojshme, le t'i shumëzojmë të dyja pjesët me:

Dhe vetëm në fazën përfundimtare ne formulojmë thyesën:

Tani shikojmë ekuacionin origjinal dhe vërejmë se rezultati i marrë mund të thjeshtohet:

Përgjigju:

Si të gjeni vlerën e derivatit të dytë në çdo pikë (e cila, natyrisht, i përket elipsit), për shembull, në pikën ? Shumë e lehtë! Ky motiv tashmë është hasur në mësimin rreth ekuacioni normal: duhet të zëvendësoni derivatin e dytë në shprehje :

Natyrisht, në të tre rastet mund të merret në mënyrë eksplicite funksionet e specifikuara dhe t'i diferenconi ato, por më pas përgatituni mendërisht për të punuar me dy funksione që përmbajnë rrënjë. Për mendimin tim, është më e përshtatshme për të kryer zgjidhjen në një "mënyrë të nënkuptuar".

Një shembull i fundit për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 17

Gjeni një funksion të specifikuar në mënyrë implicite

Është dhënë formula e Leibniz-it për llogaritjet e n-të derivat i prodhimit të dy funksioneve. Vërtetimi i tij jepet në dy mënyra. Është shqyrtuar një shembull i llogaritjes së derivatit të rendit të n-të.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Derivat i prodhimit të dy funksioneve

Formula e Leibniz-it

Duke përdorur formulën e Leibniz-it, mund të llogarisni derivatin e rendit të n-të të produktit të dy funksioneve. Duket kështu:
(1) ,
Ku
- koeficientët binomialë.

Koeficientët binomial janë koeficientët e zgjerimit të një binomi në fuqi dhe:
.
Gjithashtu numri është numri i kombinimeve të n deri në k.

Vërtetim i formulës së Leibniz-it

Le të zbatojmë formulën për derivatin e produktit të dy funksioneve:
(2) .
Le të rishkruajmë formulën (2) në formën e mëposhtme:
.
Kjo do të thotë, ne konsiderojmë se një funksion varet nga ndryshorja x, dhe tjetri nga ndryshorja y. Në fund të llogaritjes supozojmë . Atëherë formula e mëparshme mund të shkruhet si më poshtë:
(3) .
Meqenëse derivati ​​është i barabartë me shumën e termave, dhe çdo term është produkt i dy funksioneve, atëherë për të llogaritur derivatet e rendit më të lartë, rregulli (3) mund të zbatohet në mënyrë konsistente.

Atëherë për derivatin e rendit të n-të kemi:

.
Duke marrë parasysh atë dhe , marrim formulën e Leibniz:
(1) .

Vërtetimi me induksion

Le të paraqesim një provë të formulës së Leibniz duke përdorur metodën e induksionit matematik.

Le të shkruajmë edhe një herë formulën e Leibniz:
(4) .
Për n = 1 kemi:
.
Kjo është formula për derivatin e produktit të dy funksioneve. Ajo është e drejtë.

Le të supozojmë se formula (4) është e vlefshme për derivatin e rendit të n-të. Le të vërtetojmë se është e vlefshme për derivatin n + 1 - urdhri.

Le të dallojmë (4):
;



.
Kështu gjetëm:
(5) .

Le të zëvendësojmë në (5) dhe të marrim parasysh se:

.
Kjo tregon se formula (4) ka të njëjtën formë për derivatin n + 1 - urdhri.

Pra, formula (4) është e vlefshme për n = 1 . Nga supozimi se vlen për një numër n = m rrjedh se vlen për n = m + 1 .
Formula e Leibniz-it është vërtetuar.

Shembull

Llogaritni derivatin e n-të të një funksioni
.

Le të zbatojmë formulën e Leibniz-it
(2) .
Në rastin tonë
;
.

Nga tabela e derivateve kemi:
.
Zbatojmë vetitë e funksioneve trigonometrike:
.
Pastaj
.
Kjo tregon se diferencimi i funksionit sinus çon në zhvendosjen e tij nga . Pastaj
.

Gjetja e derivateve të funksionit.
;
;
;
, .

Meqenëse për , atëherë në formulën e Leibniz-it vetëm tre termat e parë janë jozero. Gjetja e koeficientëve binomialë.
;
.

Sipas formulës së Leibniz-it kemi:

.

Shiko gjithashtu:

Zgjidhja e problemeve të aplikuara zbret në llogaritjen e integralit, por nuk është gjithmonë e mundur të bëhet kjo me saktësi. Ndonjëherë është e nevojshme të dihet vlera e një integrali të caktuar me një shkallë të caktuar saktësie, për shembull, në të mijtën.

Ka probleme kur do të ishte e nevojshme të gjendej vlera e përafërt e një integrali të caktuar me saktësinë e kërkuar, atëherë përdoret integrimi numerik si metoda Simposny, trapezoidët dhe drejtkëndëshat. Jo të gjitha rastet na lejojnë ta llogarisim atë me një saktësi të caktuar.

Ky artikull shqyrton zbatimin e formulës Njuton-Leibniz. Kjo është e nevojshme për llogaritjen e saktë të integralit të caktuar. Do të jepet shembuj të detajuar, merren parasysh ndryshimet e ndryshores në integralin e caktuar dhe vlerat e integralit të caktuar i gjejmë kur integrohen sipas pjesëve.

Formula Njuton-Leibniz

Përkufizimi 1

Kur funksioni y = y (x) është i vazhdueshëm nga intervali [ a ; b ] , dhe F (x) është një nga antiderivativët e funksionit të këtij segmenti, atëherë Formula Njuton-Leibniz konsiderohet e drejtë. Le ta shkruajmë kështu: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Kjo formulë konsideroni formula themelore e njehsimit integral.

Për të prodhuar një provë të kësaj formule, është e nevojshme të përdoret koncepti i një integrali me një kufi të sipërm variabli të disponueshëm.

Kur funksioni y = f (x) është i vazhdueshëm nga intervali [ a ; b ], pastaj vlera e argumentit x ∈ a; b , dhe integrali ka formën ∫ a x f (t) d t dhe konsiderohet funksion i kufirit të sipërm. Është e nevojshme të merret shënimi i funksionit do të marrë formën ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , është i vazhdueshëm, dhe një pabarazi e formës ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) është e vlefshme për të.

Le të rregullojmë se rritja e funksionit Φ (x) korrespondon me rritjen e argumentit ∆ x, është e nevojshme të përdoret vetia e pestë kryesore e integralit të caktuar dhe marrim

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

ku vlera c ∈ x; x + ∆ x.

Le ta rregullojmë barazinë në formën Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Me përcaktimin e derivatit të një funksioni, është e nevojshme të shkojmë në kufi si ∆ x → 0, pastaj marrim një formulë të formës Φ " (x) = f (x). Gjejmë se Φ (x) është një nga antiderivativët për një funksion të formës y = f (x), i vendosur në [a;b]. Përndryshe shprehja mund të shkruhet

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, ku vlera e C është konstante.

Le të llogarisim F (a) duke përdorur vetinë e parë të integralit të caktuar. Pastaj e marrim atë

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, prandaj marrim se C = F (a). Rezultati është i zbatueshëm kur llogaritet F (b) dhe marrim:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), me fjalë të tjera, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Barazia vërtetohet me formulën e Njuton-Leibnizit ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Rritjen e funksionit e marrim si F x a b = F (b) - F (a) . Duke përdorur shënimin, formula e Njuton-Leibniz merr formën ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Për të zbatuar formulën, është e nevojshme të dihet një nga antiderivativët y = F (x) të funksionit të integrandit y = f (x) nga segmenti [ a ; b ], llogaritni rritjen e antiderivativit nga ky segment. Le të shohim disa shembuj të llogaritjeve duke përdorur formulën Newton-Leibniz.

Shembulli 1

Njehso integralin e caktuar ∫ 1 3 x 2 d x duke përdorur formulën Njuton-Leibniz.

Zgjidhje

Konsideroni se integrandi i formës y = x 2 është i vazhdueshëm nga intervali [1; 3 ], atëherë është i integrueshëm në këtë interval. Sipas tabelës integrale të pacaktuara shohim se funksioni y = x 2 ka një grup antiderivativësh për të gjitha vlerat reale të x, që do të thotë x ∈ 1; 3 do të shkruhet si F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Është e nevojshme të marrim antiderivativin me C = 0, atëherë marrim që F (x) = x 3 3.

Ne përdorim formulën Njuton-Leibniz dhe gjejmë se llogaritja e integralit të caktuar merr formën ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Përgjigje:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Shembulli 2

Njehso integralin e caktuar ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x duke përdorur formulën Njuton-Leibniz.

Zgjidhje

Funksioni i dhënë është i vazhdueshëm nga intervali [-1; 2 ], që do të thotë se është i integrueshëm në të. Është e nevojshme të gjejmë vlerën e integralit të pacaktuar ∫ x · e x 2 + 1 d x duke përdorur metodën e nënshtrimit nën shenjën diferenciale, atëherë marrim ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Prandaj kemi një grup antiderivativësh të funksionit y = x · e x 2 + 1, të cilat janë të vlefshme për të gjitha x, x ∈ - 1; 2.

Është e nevojshme të merret antiderivati ​​në C = 0 dhe të zbatohet formula Njuton-Leibniz. Pastaj marrim një shprehje të formës

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Përgjigje:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Shembulli 3

Njehsoni integralet ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x dhe ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Zgjidhje

Segmenti - 4; - 1 2 thotë se funksioni nën shenjën integrale është i vazhdueshëm, që do të thotë se është i integrueshëm. Nga këtu gjejmë bashkësinë e antiderivativëve të funksionit y = 4 x 3 + 2 x 2. Ne e kuptojmë atë

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Është e nevojshme të merret antiderivativi F (x) = 2 x 2 - 2 x, pastaj, duke zbatuar formulën Newton-Leibniz, marrim integralin, të cilin e llogarisim:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Ne vazhdojmë me llogaritjen e integralit të dytë.

Nga segmenti [-1; 1 ] kemi që funksioni integrand konsiderohet i pakufizuar, sepse lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , atëherë rrjedh se një kusht i domosdoshëm integrueshmëria nga një segment. Atëherë F (x) = 2 x 2 - 2 x nuk është antiderivativ për y = 4 x 3 + 2 x 2 nga intervali [ - 1 ; 1 ], pasi pika O i përket segmentit, por nuk përfshihet në domenin e përkufizimit. Kjo do të thotë se ekziston një integral i caktuar Riemann dhe Newton-Leibniz për funksionin y = 4 x 3 + 2 x 2 nga intervali [ - 1 ; 1 ] .

Përgjigje: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , ekziston një integral i caktuar Riemann dhe Njuton-Leibniz për funksionin y = 4 x 3 + 2 x 2 nga intervali [ - 1 ; 1 ] .

Përpara se të përdorni formulën Newton-Leibniz, duhet të dini saktësisht për ekzistencën e një integrali të caktuar.

Ndryshimi i një ndryshoreje në një integral të caktuar

Kur funksioni y = f (x) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm nga intervali [ a ; b], pastaj grupi i disponueshëm [a; b] konsiderohet të jetë diapazoni i vlerave të funksionit x = g (z), i përcaktuar në segmentin α; β me derivatin ekzistues të vazhdueshëm, ku g (α) = a dhe g β = b, marrim nga kjo se ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Kjo formulë përdoret kur duhet të llogarisni integralin ∫ a b f (x) d x, ku integrali i pacaktuar ka formën ∫ f (x) d x, ne llogarisim duke përdorur metodën e zëvendësimit.

Shembulli 4

Njehsoni një integral të caktuar të formës ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Zgjidhje

Funksioni integrand konsiderohet i vazhdueshëm në intervalin e integrimit, që do të thotë se ekziston një integral i caktuar. Le të japim shënimin se 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Vlera x = 9 do të thotë se z = 2 9 - 9 = 9 = 3, dhe për x = 18 marrim se z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, pastaj g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Kur i zëvendësojmë vlerat e marra në formulën ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z marrim atë

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Sipas tabelës së integraleve të pacaktuar, kemi që një nga antiderivativët e funksionit 2 z 2 + 9 merr vlerën 2 3 a r c t g z 3 . Pastaj, kur aplikojmë formulën Njuton-Leibniz, marrim atë

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 π4

Gjetja mund të bëhet pa përdorur formulën ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z.

Nëse duke përdorur metodën e zëvendësimit përdorim një integral të formës ∫ 1 x 2 x - 9 d x, atëherë mund të arrijmë në rezultatin ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Nga këtu do të bëjmë llogaritjet duke përdorur formulën Newton-Leibniz dhe do të llogarisim integralin e caktuar. Ne e kuptojmë atë

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = = π 18

Rezultatet ishin të njëjta.

Përgjigje: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrimi sipas pjesëve gjatë llogaritjes së një integrali të caktuar

Nëse në segmentin [a; b ] funksionet u (x) dhe v (x) janë të përcaktuar dhe të vazhdueshëm, atëherë derivatet e tyre të rendit të parë v " (x) · u (x) janë të integrueshëm, pra nga ky segment për funksionin e integrueshëm u " (x) · v ( x) barazia ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x është e vërtetë.

Formula mund të përdoret atëherë, është e nevojshme të llogaritet integrali ∫ a b f (x) d x, dhe ∫ f (x) d x ishte e nevojshme të kërkohej duke përdorur integrimin sipas pjesëve.

Shembulli 5

Njehsoni integralin e caktuar ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x.

Zgjidhje

Funksioni x · sin x 3 + π 6 është i integrueshëm në intervalin - π 2 ; 3 π 2, që do të thotë se është i vazhdueshëm.

Le të u (x) = x, pastaj d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, dhe d (u (x)) = u " (x) d x = d x, dhe v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Nga formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x ne marrim se

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - mëkat - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Shembulli mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër.

Gjeni grupin e antiderivativëve të funksionit x · sin x 3 + π 6 duke përdorur integrimin sipas pjesëve duke përdorur formulën Njuton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Përgjigje: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter