Si një sistem ekuacionesh, ose marrëdhënie aritmetike, ose forma gjeometrike, ose një kombinim i të dyjave, studimi i të cilave me anë të matematikës duhet t'u përgjigjet pyetjeve të parashtruara në lidhje me vetitë e një grupi të caktuar vetive të një objekti të botës reale, si një grup marrëdhëniesh matematikore, ekuacionesh, pabarazish që përshkruajnë modelet bazë. të qenësishme në procesin, objektin ose sistemin që studiohet.

Në sistemet e automatizuara të kontrollit, përdoret një model matematikor për të përcaktuar algoritmin e funksionimit të kontrolluesit. Ky algoritëm përcakton se si duhet të ndryshohet veprimi i kontrollit në varësi të ndryshimit në master në mënyrë që të arrihet qëllimi i kontrollit.

Klasifikimi i modelit

Klasifikimi formal i modeleve

Klasifikimi formal i modeleve bazohet në klasifikimin e mjeteve matematikore të përdorura. Shpesh ndërtohet në formën e dikotomive. Për shembull, një nga grupet e njohura të dikotomive:

e kështu me radhë. Çdo model i ndërtuar është linear ose jolinear, përcaktues ose stokastik, ... Natyrisht janë të mundshme edhe tipe të përziera: të përqendruara në një aspekt (përsa i përket parametrave), të shpërndara në një tjetër etj.

Klasifikimi sipas mënyrës së paraqitjes së objektit

Së bashku me klasifikimin formal, modelet ndryshojnë në mënyrën se si përfaqësojnë një objekt:

• Modele strukturore ose funksionale

Hipotezat modele në shkencë nuk mund të vërtetohen një herë e mirë, mund të flasim vetëm për përgënjeshtrimin ose mospërgënjeshtrimin e tyre si rezultat i eksperimentit.

Nëse ndërtohet një model i tipit të parë, kjo do të thotë se ai pranohet përkohësisht si e vërtetë dhe mund të përqendrohet në probleme të tjera. Megjithatë, kjo nuk mund të jetë një pikë në kërkim, por vetëm një pauzë e përkohshme: statusi i një modeli të llojit të parë mund të jetë vetëm i përkohshëm.

Modeli fenomenologjik

Lloji i dytë është modeli fenomenologjik ( "Ne sillemi sikur..."), përmban një mekanizëm për të përshkruar fenomenin, megjithëse ky mekanizëm nuk është mjaft bindës, nuk mund të konfirmohet mjaftueshëm nga të dhënat e disponueshme ose nuk përshtatet mirë me teoritë ekzistuese dhe njohuritë e akumuluara për objektin. Prandaj, modelet fenomenologjike kanë statusin e zgjidhjeve të përkohshme. Besohet se përgjigja është ende e panjohur, dhe kërkimi për "mekanizmat e vërtetë" duhet të vazhdojë. Peierls përfshin, për shembull, modelin kalorik dhe modelin e kuarkut të grimcave elementare si llojin e dytë.

Roli i modelit në kërkime mund të ndryshojë me kalimin e kohës dhe mund të ndodhë që të dhënat dhe teoritë e reja të konfirmojnë modelet fenomenologjike dhe ato të promovohen në statusin e një hipoteze. Në mënyrë të ngjashme, njohuritë e reja gradualisht mund të bien në konflikt me modelet e hipotezave të llojit të parë dhe ato mund të përkthehen në të dytin. Kështu, modeli i kuarkut po kalon gradualisht në kategorinë e hipotezave; atomizmi në fizikë u ngrit si një zgjidhje e përkohshme, por me rrjedhën e historisë u bë lloji i parë. Por modelet eterike kanë bërë rrugën e tyre nga tipi 1 në tipin 2, dhe tani janë jashtë shkencës.

Ideja e thjeshtimit është shumë e popullarizuar gjatë ndërtimit të modeleve. Por thjeshtimi vjen në forma të ndryshme. Peierls identifikon tre lloje të thjeshtimeve në modelim.

Përafrim

Lloji i tretë i modeleve janë përafrimet ( "Ne konsiderojmë diçka shumë të madhe ose shumë të vogël"). Nëse është e mundur të ndërtohen ekuacione që përshkruajnë sistemin në studim, kjo nuk do të thotë se ato mund të zgjidhen edhe me ndihmën e një kompjuteri. Një teknikë e pranuar përgjithësisht në këtë rast është përdorimi i përafrimeve (modele të tipit 3). Midis tyre modelet e reagimit linear. Ekuacionet zëvendësohen me ato lineare. Një shembull standard është ligji i Ohm-it.

Eksperiment mendimi

m x ¨ = − k x (\stil ekrani m(\ddot (x))=-kx),

Ku x ¨ (\style ekrani (\ddot (x))) do të thotë derivati ​​i dytë i x (\displaystyle x) sipas kohës: x ¨ = d 2 x d t 2 (\style ekrani (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Ekuacioni që rezulton përshkruan modelin matematikor të sistemit fizik të konsideruar. Ky model quhet "oshilator harmonik".

Sipas klasifikimit formal, ky model është linear, determinist, dinamik, i përqendruar, i vazhdueshëm. Në procesin e ndërtimit të tij kemi bërë shumë supozime (për mungesën e forcave të jashtme, mungesën e fërkimit, vogëlsinë e devijimeve etj.), të cilat në realitet mund të mos plotësohen.

Në lidhje me realitetin, ky është më shpesh një model i tipit 4 thjeshtimi("do të heqim disa detaje për qartësi"), pasi disa veçori thelbësore universale (për shembull, shpërndarja) janë hequr. Me një përafrim (të themi, ndërsa devijimi i ngarkesës nga ekuilibri është i vogël, me fërkim të ulët, për jo shumë kohë dhe i nënshtrohet disa kushteve të tjera), një model i tillë përshkruan mjaft mirë një sistem mekanik të vërtetë, pasi faktorët e hedhur një efekt të papërfillshëm në sjelljen e tij. Megjithatë, modeli mund të rafinohet duke marrë parasysh disa nga këta faktorë. Kjo do të çojë në një model të ri, me një shtrirje më të gjerë (megjithëse përsëri të kufizuar) të zbatueshmërisë.

Megjithatë, kur përpunohet modeli, kompleksiteti i kërkimit të tij matematikor mund të rritet ndjeshëm dhe ta bëjë modelin praktikisht të padobishëm. Shpesh, një model më i thjeshtë lejon një eksplorim më të mirë dhe më të thellë të një sistemi real sesa një më kompleks (dhe, zyrtarisht, "më i saktë").

Nëse aplikojmë modelin e oshilatorit harmonik për objekte larg fizikës, statusi i tij thelbësor mund të jetë i ndryshëm. Për shembull, kur zbatohet ky model për popullatat biologjike, ai ka shumë të ngjarë të klasifikohet si tipi 6 analogji("le të marrim parasysh vetëm disa veçori").

Modele të forta dhe të buta

Oscilatori harmonik është një shembull i të ashtuquajturit modeli "i fortë". Përftohet si rezultat i një idealizimi të fortë të një sistemi fizik të vërtetë. Vetitë e një oshilatori harmonik ndryshohen në mënyrë cilësore nga shqetësime të vogla. Për shembull, nëse shtoni një term të vogël në anën e djathtë − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(fërkim) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- ndonjë parametër i vogël), atëherë marrim lëkundje të amortizuara në mënyrë eksponenciale nëse ndryshojmë shenjën e termit shtesë (ε x ˙) (\style ekrani (\varepsilon (\pika (x)))) atëherë fërkimi do të kthehet në pompim dhe amplituda e lëkundjeve do të rritet në mënyrë eksponenciale.

Për të zgjidhur çështjen e zbatueshmërisë së një modeli të ngurtë, është e nevojshme të kuptojmë se sa të rëndësishëm janë faktorët që ne kemi lënë pas dore. Është e nevojshme të studiohen modelet e buta të marra nga një shqetësim i vogël i atij të fortë. Për një oshilator harmonik ato mund të jepen, për shembull, nga ekuacioni i mëposhtëm:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\shfaqja e stilit m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\pika (x)))).

Këtu f (x , x ˙) (\style ekrani f(x,(\pika (x))))- disa funksione që mund të marrin parasysh forcën e fërkimit ose varësinë e koeficientit të ngurtësisë së sustës nga shkalla e shtrirjes së saj. Forma e qartë e funksionit f (\displaystyle f) Ne nuk jemi të interesuar për momentin.

Nëse vërtetojmë se sjellja e modelit të butë nuk është thelbësisht e ndryshme nga sjellja e atij të fortë (pavarësisht nga lloji i qartë i faktorëve shqetësues, nëse janë mjaft të vegjël), problemi do të reduktohet në studimin e modelit të fortë. Përndryshe, aplikimi i rezultateve të marra nga studimi i modelit të ngurtë do të kërkojë kërkime shtesë.

Nëse një sistem ruan sjelljen e tij cilësore nën shqetësime të vogla, thuhet se është strukturor i qëndrueshëm. Një oshilator harmonik është një shembull i një sistemi strukturor të paqëndrueshëm (jo i përafërt). Megjithatë, ky model mund të përdoret për të studiuar proceset për periudha të kufizuara kohore.

Shkathtësia e modeleve

Modelet më të rëndësishme matematikore zakonisht kanë veti të rëndësishme shkathtësi: Dukuritë reale thelbësisht të ndryshme mund të përshkruhen nga i njëjti model matematikor. Për shembull, një oshilator harmonik përshkruan jo vetëm sjelljen e një ngarkese në një burim, por edhe procese të tjera lëkundëse, shpesh të një natyre krejtësisht të ndryshme: lëkundje të vogla të një lavjerrës, luhatje në nivelin e një lëngu në U (\displaystyle U)-enë në formë ose një ndryshim në forcën e rrymës në një qark oscilues. Kështu, duke studiuar një model matematikor, ne studiojmë menjëherë një klasë të tërë fenomenesh të përshkruara prej tij. Është ky izomorfizëm i ligjeve i shprehur nga modelet matematikore në segmente të ndryshme të njohurive shkencore që frymëzoi Ludwig von Bertalanffy për të krijuar një "teori të përgjithshme të sistemeve".

Probleme të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të modelimit matematik

Ka shumë probleme që lidhen me modelimin matematik. Së pari, ju duhet të dilni me një diagram bazë të objektit të modeluar, ta riprodhoni atë brenda kornizës së idealizimeve të kësaj shkence. Kështu, një vagon treni shndërrohet në një sistem pllakash dhe trupash më komplekse nga materiale të ndryshme, secili material specifikohet si idealizimi i tij mekanik standard (dendësia, moduli elastik, karakteristikat standarde të forcës), pas së cilës hartohen ekuacione, gjatë rrugës disa detajet hidhen si të parëndësishme, bëhen llogaritjet, krahasohen me matjet, modeli rafinohet, etj. Sidoqoftë, për të zhvilluar teknologjitë e modelimit matematik, është e dobishme që ky proces të çmontohet në përbërësit e tij kryesorë.

Tradicionalisht, ekzistojnë dy klasa kryesore të problemeve që lidhen me modelet matematikore: të drejtpërdrejta dhe të anasjellta.

Detyrë e drejtpërdrejtë: struktura e modelit dhe të gjithë parametrat e tij konsiderohen të njohura, detyra kryesore është të kryhet një studim i modelit për të nxjerrë njohuri të dobishme për objektin. Çfarë ngarkese statike do të përballojë ura? Si do të reagojë ndaj një ngarkese dinamike (për shembull, në marshimin e një kompanie ushtarësh, ose në kalimin e një treni me shpejtësi të ndryshme), si do të kapërcejë avioni barrierën e zërit, nëse do të ndahet nga valëvitja - këta janë shembuj tipikë të një problemi të drejtpërdrejtë. Vendosja e problemit të drejtë direkt (bërja e pyetjes së duhur) kërkon aftësi të veçanta. Nëse nuk bëhen pyetjet e duhura, një urë mund të shembet, edhe nëse është ndërtuar një model i mirë për sjelljen e saj. Kështu, në vitin 1879, ura hekurudhore metalike mbi Firth of Tay u shemb në Britaninë e Madhe, projektuesit e së cilës ndërtuan një model të urës, e llogaritën atë për një faktor sigurie 20-fish për veprimin e ngarkesës, por harruan erërat që fryjnë vazhdimisht në ato vende. Dhe pas një viti e gjysmë u shemb.

Në rastin më të thjeshtë (për shembull, një ekuacion oshilator), problemi i drejtpërdrejtë është shumë i thjeshtë dhe reduktohet në një zgjidhje të qartë të këtij ekuacioni.

Problem i anasjelltë: janë të njohura shumë modele të mundshme, duhet zgjedhur një model specifik bazuar në të dhëna shtesë rreth objektit. Më shpesh, struktura e modelit është e njohur dhe duhet të përcaktohen disa parametra të panjohur. Informacioni shtesë mund të përbëhet nga të dhëna empirike shtesë ose kërkesa për objektin ( problemi i projektimit). Të dhëna shtesë mund të vijnë pavarësisht nga procesi i zgjidhjes së problemit të kundërt ( vëzhgimi pasiv) ose të jetë rezultat i një eksperimenti të planifikuar posaçërisht gjatë zgjidhjes ( mbikëqyrje aktive).

Një nga shembujt e parë të një zgjidhjeje mjeshtërore të një problemi të anasjelltë me përdorimin më të plotë të të dhënave të disponueshme ishte metoda e Njutonit për rindërtimin e forcave të fërkimit nga lëkundjet e shuarjes së vëzhguar.

Një shembull tjetër është statistika matematikore. Detyra e kësaj shkence është të zhvillojë metoda për regjistrimin, përshkrimin dhe analizimin e të dhënave vëzhguese dhe eksperimentale në mënyrë që të ndërtojë modele probabilistike të dukurive të rastësishme masive. Kjo do të thotë, grupi i modeleve të mundshme është i kufizuar në modele probabiliste. Në detyra specifike, grupi i modeleve është më i kufizuar.

Sistemet e simulimit kompjuterik

Për të mbështetur modelimin matematikor, janë zhvilluar sisteme kompjuterike matematikore, për shembull, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, etj. Ato ju lejojnë të krijoni modele formale dhe bllokuese të proceseve dhe pajisjeve të thjeshta dhe komplekse dhe të ndryshoni lehtësisht parametrat e modelit gjatë modelimi. Modelet e bllokut përfaqësohen me blloqe (më së shpeshti grafike), grupi dhe lidhja e të cilave specifikohen nga diagrami i modelit.

Shembuj shtesë

Modeli i Malthus-it

Sipas modelit të propozuar nga Malthus, shkalla e rritjes është proporcionale me madhësinë aktuale të popullsisë, domethënë e përshkruar nga ekuacioni diferencial:

x ˙ = α x (\stili i shfaqjes (\pika (x))=\alfa x),

Ku α (\displaystyle \alfa)- një parametër i caktuar i përcaktuar nga ndryshimi midis fertilitetit dhe vdekshmërisë. Zgjidhja e këtij ekuacioni është funksioni eksponencial x (t) = x 0 e α t (\stil ekrani x(t)=x_(0)e^(\alfa t)). Nëse lindshmëria e kalon shkallën e vdekshmërisë ( α > 0 (\displaystyle \alfa >0)), numri i popullsisë është i pakufizuar dhe po rritet shumë shpejt. Në realitet kjo nuk mund të ndodhë për shkak të burimeve të kufizuara. Kur arrihet një madhësi e caktuar kritike e popullsisë, modeli pushon së qeni adekuat, pasi nuk merr parasysh burimet e kufizuara. Një përsosje e modelit Malthus mund të jetë një model logjistik, i cili përshkruhet nga ekuacioni diferencial i Verhulst:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alfa \majtas(1-(\frac (x)(x_(s)))\djathtas)x),

ku është madhësia “ekuilibër” e popullsisë, në të cilën lindshmëria kompensohet saktësisht nga shkalla e vdekshmërisë. Madhësia e popullsisë në një model të tillë priret në një vlerë ekuilibri x s (\displaystyle x_(s)), dhe kjo sjellje është strukturore e qëndrueshme.

Sistemi grabitqar-pre

Le të themi se në një zonë të caktuar jetojnë dy lloje kafshësh: lepujt (duke ngrënë bimë) dhe dhelpra (lepurushë që hanë). Le numrin e lepujve x (\displaystyle x), numri i dhelprave y (\displaystyle y). Duke përdorur modelin Malthus me ndryshimet e nevojshme për të marrë parasysh ngrënien e lepujve nga dhelpra, arrijmë në sistemin e mëposhtëm, të quajtur modele Tabaka - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\fillimi(rastet)(\pika (x))=(\alfa -cy)x\\(\pika (y ))=(-\beta +dx)y\fund(rastet)))

Sjellja e këtij sistemi nuk është strukturore e qëndrueshme: një ndryshim i vogël në parametrat e modelit (për shembull, duke marrë parasysh burimet e kufizuara të nevojshme për lepujt) mund të çojë në një ndryshim cilësor në sjellje.

Për vlera të caktuara të parametrave, ky sistem ka një gjendje ekuilibri kur numri i lepujve dhe dhelprave është konstant. Devijimi nga kjo gjendje çon në zbehje graduale të luhatjeve të numrit të lepujve dhe dhelprave.

Është e mundur edhe situata e kundërt, kur çdo devijim i vogël nga pozicioni i ekuilibrit do të çojë në pasoja katastrofike, deri në zhdukjen e plotë të një prej specieve. Modeli Volterra - Trats nuk i përgjigjet pyetjes se cili prej këtyre skenarëve është duke u realizuar: këtu kërkohen kërkime shtesë.

Shiko gjithashtu

Shënime

1. “Një paraqitje matematikore e realitetit” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Mbi çështjet filozofike të modelimit kibernetik. M., Dituria, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelimi i sistemeve: Proc. për universitetet - botimi i 3-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 2001. - 343 f. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelimi i matematikës. Idetë. Metodat. Shembuj. - Botimi i 2-të, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A. D., Elemente të teorisë së modeleve matematikore. - Botimi i 3-të, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 me ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A. G. Modelimi i proceseve teknologjike: tekst shkollor / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Dritë dhe Industria ushqimore, 1984. - 344 f.
7. Rotach V.Ya. Teoria e kontrollit automatik. - 1. - M.: ZAO "Shtëpia Botuese MPEI", 2008. - F. 333. - 9 f. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Modelet e reduktimit dhe qasjet me kokrrizë të trashë për dukuritë me shumë shkallë(anglisht) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4. Marrë më 18 qershor 2013. Arkivuar më 18 qershor 2013.
9. "Një teori konsiderohet lineare ose jolineare në varësi të llojit të aparatit matematikor - linear apo jolinear - dhe çfarë modelesh matematikore lineare ose jolineare përdor. ...pa e mohuar këtë të fundit. Një fizikan modern, nëse do t'i duhej të rikrijonte përkufizimin e një entiteti kaq të rëndësishëm si jolineariteti, ka shumë të ngjarë të vepronte ndryshe dhe, duke i dhënë përparësi jolinearitetit si më i rëndësishmi dhe më i përhapuri nga dy të kundërtat, do ta përkufizonte linearitetin si "jo jolineariteti." Danilov Yu. A., Ligjërata mbi dinamikën jolineare. Hyrje elementare. Seria "Sinergjia: nga e kaluara në të ardhmen". Botimi 2. - M.: URSS, 2006. - 208 f. ISBN 5-484-00183-8
10. “Sistemet dinamike të modeluara nga një numër i kufizuar ekuacionesh diferenciale të zakonshme quhen sisteme të përqendruara ose pikësore. Ato përshkruhen duke përdorur një hapësirë ​​fazore me dimensione të fundme dhe karakterizohen nga një numër i kufizuar shkallësh lirie. I njëjti sistem në kushte të ndryshme mund të konsiderohet ose i përqendruar ose i shpërndarë. Modelet matematikore të sistemeve të shpërndara janë ekuacionet diferenciale në derivatet e pjesshme, ekuacionet integrale ose ekuacionet e zakonshme me një argument të vonuar. Numri i shkallëve të lirisë së një sistemi të shpërndarë është i pafund, dhe një numër i pafund të dhënash kërkohen për të përcaktuar gjendjen e tij.”
    Anishchenko V. S., Sistemet dinamike, Revista arsimore Soros, 1997, nr. 11, f. 77-84.
11. “Në varësi të natyrës së proceseve që studiohen në sistemin S, të gjitha llojet e modelimit mund të ndahen në përcaktues dhe stokastikë, statikë dhe dinamikë, diskrete, të vazhdueshme dhe diskrete-vazhduese. Modelimi përcaktues pasqyron procese deterministe, domethënë procese në të cilat supozohet mungesa e ndonjë ndikimi të rastësishëm; modelimi stokastik përshkruan procese dhe ngjarje probabilistike. ... Modelimi statik shërben për të përshkruar sjelljen e një objekti në çdo moment në kohë, dhe modelimi dinamik pasqyron sjelljen e një objekti me kalimin e kohës. Modelimi diskret përdoret për të përshkruar procese që supozohen se janë diskrete, përkatësisht, modelimi i vazhdueshëm na lejon të pasqyrojmë proceset e vazhdueshme në sisteme, dhe modelimi diskrete-vazhdues përdoret për rastet kur ata duan të vënë në pah praninë e proceseve diskrete dhe të vazhdueshme. ”
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelimi i sistemeve: Proc. për universitetet - botimi i 3-të, i rishikuar. dhe shtesë - M.: Më e lartë. shkollë, 2001. - 343 f. ISBN 5-06-003860-2
12. Në mënyrë tipike, një model matematikor pasqyron strukturën (pajisjen) e objektit të modeluar, vetitë dhe marrëdhëniet e përbërësve të këtij objekti që janë thelbësore për qëllimet e kërkimit; një model i tillë quhet strukturor. Nëse modeli pasqyron vetëm mënyrën se si funksionon objekti - për shembull, si reagon ndaj ndikimeve të jashtme - atëherë ai quhet funksional ose, në mënyrë figurative, një kuti e zezë. Modelet e kombinuara janë gjithashtu të mundshme. Myshkis A. D., Elemente të teorisë së modeleve matematikore. - Botimi i 3-të, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 f.

Për teorinë e modelimit matematik, është e nevojshme të dihet qëllimi i modelimit dhe të paraqitet objekti i modelimit në formë matematikore. Fjala "model" vjen nga latinishtja modus (kopje, imazh, skicë). Shembulli më i thjeshtë dhe më i dukshëm i modelimit janë hartat gjeografike dhe topografike. Modelet janë formula strukturore në kimi. Modeli si mjet njohjeje qëndron ndërmjet të menduarit logjik dhe procesi ose dukuria që studiohet.

Modelimi është zëvendësimi i një objekti A me një objekt tjetër B. Objekti i zëvendësuar quhet origjinal, ai zëvendësues quhet model. Kështu, modeli është një zëvendësim për origjinalin. Në varësi të qëllimit të zëvendësimit, modeli i të njëjtit origjinal mund të jetë i ndryshëm. Në shkencë dhe teknologji, qëllimi kryesor i modelimit është të studiojë origjinalin duke përdorur një model më të thjeshtë të tij. Zëvendësimi i një objekti me një tjetër ka kuptim vetëm nëse ka një ngjashmëri ose analogji të caktuar midis tyre.

Një model matematikor është një paraqitje e përafërt, e shprehur në terma matematikorë, e objekteve, koncepteve, sistemeve ose proceseve. Objektet, konceptet, sistemet ose proceset që do të modelohen quhen objekte të modelimit (OM).

Të gjitha objektet dhe dukuritë janë të ndërlidhura në një masë më të madhe ose më të vogël, por gjatë modelimit shumica e ndërlidhjeve neglizhohen dhe objekti modelues konsiderohet si një sistem i veçantë. Nëse objekti i modelimit përcaktohet si një sistem i veçantë, atëherë është e nevojshme të futet parimi i selektivitetit, duke siguruar zgjedhjen e lidhjeve të kërkuara me mjedisin e jashtëm. Për shembull, gjatë modelimit të qarqeve elektronike, ndërveprimet termike, akustike, optike dhe mekanike me mjedisin e jashtëm neglizhohen dhe merren parasysh vetëm variablat elektrike. Parimi i selektivitetit paraqet një gabim në sistem, d.m.th., një ndryshim në sjelljen e modelit dhe objektit të modeluar. Faktori tjetër i rëndësishëm i modelimit është parimi i shkakësisë, i cili lidh variablat hyrëse dhe dalëse në sistem.

Për të përcaktuar sasinë e sistemit, është prezantuar koncepti i "shtetit". Për shembull, gjendja e një qarku elektronik i referohet vlerave të tensioneve dhe rrymave në një qark elektronik në një kohë të caktuar.

Gjatë nxjerrjes analitike të një modeli matematikor, më së shpeshti përdoren kategoritë e njohura: ligjet, strukturat dhe parametrat.

Nëse ndonjë variabël y varet nga një variabël tjetër x, atëherë sasia e parë është funksion i së dytës. Kjo varësi shkruhet në formën y = f(x) ose y = y(x). Në këtë shënim, ndryshorja x quhet argument. Një karakteristikë e rëndësishme e një funksioni është derivati ​​i tij, procesi i gjetjes që quhet diferencim. Ekuacionet që, sipas rregullave matematikore, lidhin një funksion të panjohur, derivatet dhe argumentet e tij quhen diferenciale. Procesi i kundërt ndaj diferencimit, i cili lejon që njeriu të gjejë vetë funksionin nga një derivat i caktuar, quhet integrim.

Le të shqyrtojmë një rast të veçantë kur funksioni është një shteg që varet nga argumenti - koha. Atëherë derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është shpejtësia, dhe derivati ​​i shpejtësisë (ose derivati ​​i dytë i shtegut) është nxitimi. Nëse, për shembull, dihet shpejtësia, atëherë integrimi përdoret për të gjetur rrugën e përshkuar nga trupi kur lëviz në një kohë të caktuar. Nëse dihet vetëm nxitimi, atëherë operacioni i integrimit kryhet dy herë për të gjetur shtegun. Në këtë rast, pas llogaritjes së integralit të parë, shpejtësia bëhet e njohur.

Qëllimi përfundimtar i krijimit të modeleve matematikore është krijimi i varësive funksionale midis variablave. Varësia funksionale për çdo model specifik mund të marrë një formë të përcaktuar rreptësisht. Kur simulohet një pajisje, hyrja e së cilës merr një sinjal x y dhe sinjali dalës y shfaqet, lidhja mund të shkruhet në formën e një tabele. Për ta bërë këtë, i gjithë diapazoni i ndryshimeve në sinjalet hyrëse dhe dalëse ndahet në një numër të caktuar seksionesh. Çdo seksion i diapazonit të variacionit të sinjalit hyrës do të korrespondojë me një seksion të caktuar të diapazonit të variacionit të sinjalit të daljes. Në sistemet komplekse, ku ka disa hyrje dhe disa dalje, varësitë analitike shprehen me sisteme ekuacionesh diferenciale.

* Ligjet zakonisht formulohen për fusha të veçanta, si ligjet e Kirchhoff-it dhe të Njutonit. Zbatimi i këtyre ligjeve në një sistem zakonisht e përqendron vëmendjen tonë në një fushë të vetme të shkencës dhe teknologjisë. Duke përdorur ligjet e Kirchhoff dhe ekuacionet e Maxwell për të analizuar një sistem elektrik, studiuesi injoron procese të tjera (për shembull, termike) në sistem.

Krijimi i një modeli matematik kërkon njohuri për elementët e pranishëm në sistem dhe marrëdhëniet e tyre. Parametrat e modelit matematik (MM) janë ato që përfshihen në sistemin e ekuacioneve shanse të ndryshme. Këta koeficientë, së bashku me ekuacionet dhe kushtet kufitare, formojnë një MM të plotë.

Çdo model matematik mund të merret si rezultat i: 1) vëzhgimit të drejtpërdrejtë të një dukurie, studimit dhe të kuptuarit të drejtpërdrejtë të tij (modelet janë fenomenologjike); 2) disa procese deduksioni, kur një model i ri merret si rast i veçantë nga ndonjë model më i përgjithshëm (modele të tilla quhen asimptotike); 3) disa procese induksioni, kur modeli i ri është një përgjithësim i natyrshëm i modeleve elementare (modele të tilla quhen modele të përbëra ose ansamble).

Të gjitha sistemet ekzistojnë në kohë dhe hapësirë. Matematikisht, kjo do të thotë se koha dhe tre variablat hapësinorë mund të konsiderohen si variabla të pavarur.

Ka shumë shenja të klasifikimit të modeleve matematikore bazuar në përdorimin e disa variablave si të pavarur, të paraqitur në formë të vazhdueshme ose diskrete; MM klasifikohet si më poshtë:

1) modele me parametra të shpërndarë (të gjitha variablat e pavarur merren në formë të vazhdueshme);

2) modele me parametra të grumbulluar (të gjitha variablat e pavarur hapësinorë janë diskrete, dhe ndryshorja e kohës është e vazhdueshme);

3) modele me parametra diskrete (të gjitha variablat e pavarur merren në formë diskrete).

Në Fig. 3.10 a... tregon një klasifikim të përafërt të modeleve. Të gjitha modelet mund të ndahen në reale dhe ideale (Fig. 3.10, a). Ky kapitull trajton vetëm modele ideale, të cilat janë objektive në përmbajtjen e tyre (që pasqyrojnë realitetin real), por subjektive në formë dhe nuk mund të ekzistojnë jashtë tij. Modelet ideale ekzistojnë vetëm në njohuritë njerëzore dhe funksionojnë sipas ligjeve të logjikës. Modelet logjike përfshijnë modele të ndryshme të nënshkruara. Një pikë thelbësore në krijimin e çdo modeli simbolik është procedura e formalizimit (formulat, alfabeti, sistemet e numrave).

Aktualisht, në një numër fushash të shkencës dhe teknologjisë, koncepti i një modeli interpretohet jo në frymën e fizikës klasike, si një sistem vizual, për shembull, sistemi mekanik, por në frymën skenë moderne njohuritë si strukturë abstrakte logjiko-matematikore.

Në modelimin modern, së bashku me rritjen e rolit të modeleve logjike abstrakte në njohje, ekziston një prirje tjetër që lidhet me përdorimin e gjerë të modeleve të informacionit funksional kibernetik.

E veçanta e modelimit kibernetik është se ngjashmëria objektive e modelit dhe objektit të simuluar ka të bëjë vetëm me funksionet e tyre, fushat e aplikimit dhe lidhjen me mjedisin e jashtëm. Baza e qasjes së informacionit për studimin e proceseve kibernetike është abstraksioni.

Le të shqyrtojmë modelet që zhvillohen në CAD LSI: strukturore, funksionale, gjeometrike, simbolike, mendore, analitike, numerike dhe simuluese.

Modelet strukturore riprodhojnë përbërjen e elementeve të një objekti ose sistemi, vendndodhjen e tyre në hapësirë ​​dhe marrëdhëniet, d.m.th. strukturën e sistemit. Modelet strukturore mund të jenë edhe reale (paraqitjet) dhe ideale (për shembull, vizatimet e inxhinierisë mekanike, topologjia e bordit të qarkut të printuar dhe topologjia IC).

Modelet funksionale imitojnë vetëm mënyrën se si sillet origjinali, varësinë e tij funksionale nga mjedisi i jashtëm. Shembulli më tipik janë modelet e ndërtuara mbi konceptin e "kutisë së zezë".

Në këto modele, është e mundur të riprodhohet funksionimi i origjinalit, duke abstraguar plotësisht nga përmbajtja dhe struktura e tij, duke lidhur sasi të ndryshme hyrëse dhe dalëse duke përdorur një marrëdhënie matematikore.

Oriz. 3.10. Klasifikimi i përgjithshëm i modeleve (a), si dhe modeleve të shkallës së plotë (b), fizike (c), matematikore reale (d), vizuale (e), simbolike (f), ideale matematikore (g)

Modelet gjeometrike pasqyrojnë vetëm strukturën e një objekti dhe kanë një rëndësi të madhe në lidhje me dizajnin sistemet elektronike. Këto modele, të ndërtuara në bazë të ngjashmërisë gjeometrike, lejojnë zgjidhjen e problemeve që lidhen me vendosjen optimale të objekteve, vendosjen e gjurmëve në bordet e qarkut të printuar dhe qarqet e integruara.

Modelet e shenjave janë një regjistrim i renditur i simboleve (shenjave). Shenjat ndërveprojnë me njëra-tjetrën jo sipas ligjeve fizike, por sipas rregullave të vendosura në një fushë të caktuar të njohurive, ose, siç thonë ata, sipas natyrës së shenjave. Modelet ikonike tani janë jashtëzakonisht të përhapura. Pothuajse çdo fushë e njohurive - gjuhësia, programimi, elektronika dhe shumë të tjera - ka zhvilluar simbolikën e vet për të përshkruar modelet. Këto janë programe, skema, etj.

Modelet mendore janë produkt i perceptimit ndijor dhe aktivitetit të të menduarit abstrakt. Modelet mendore përfshijnë modelin e njohur planetar të atomit Bohr. Për të përcjellë këto modele, ato paraqiten në formën e një përshkrimi verbal ose simbolik, domethënë, modelet mendore mund të regjistrohen në formën e sistemeve të ndryshme të shenjave.

Modelet analitike bëjnë të mundur marrjen e varësive të qarta të sasive të kërkuara nga parametrat dhe variablat që karakterizojnë fenomenin që studiohet. Zgjidhja analitike e një marrëdhënieje matematikore është një përshkrim i përgjithësuar i objektit

Modelet numerike karakterizohen nga fakti se vlerat e sasive të kërkuara mund të merren si rezultat i aplikimit të duhur. metodat numerike. Të gjitha metodat numerike lejojnë që dikush të marrë vetëm informacion privat në lidhje me sasitë e dëshiruara, pasi për zbatimin e tyre ato kërkojnë specifikimin e vlerave specifike të të gjithë parametrave të përfshirë në marrëdhënien matematikore. Për çdo vlerë të dëshiruar, duhet të transformohet modeli matematik në mënyrën e vet dhe të zbatohet procedura numerike përkatëse.

Modelet e simulimit zbatohen në një kompjuter në formën e algoritmeve (programeve) të modelimit që lejojnë llogaritjen e vlerave të variablave të daljes dhe përcaktimin e gjendjes së re në të cilën shkon modeli për vlerat e dhëna të variablave hyrëse, parametrave dhe gjendja fillestare e modelit. Modelimi simulues, ndryshe nga modelimi numerik, karakterizohet nga pavarësia e algoritmit të modelimit nga lloji i informacionit që duhet të merret si rezultat i modelimit. Një model matematikor që përfaqësohet në një formë matematikore abstrakte përmes variablave, parametrave, ekuacioneve dhe pabarazive është mjaft universal, fleksibël dhe efektiv.

MM përfshin elementët e mëposhtëm: variabla (të varur dhe të pavarur); konstante ose parametra fikse (përcaktimi i shkallës së lidhjes ndërmjet variablave); shprehjet matematikore (ekuacione dhe/ose pabarazi që kombinojnë variabla dhe parametra); shprehjet logjike (përcaktimi i kufizimeve të ndryshme në modelin matematikor); informacion (alfanumerik dhe grafik).

Modelet matematikore klasifikohen sipas kritereve të mëposhtme: 1) sjellja e modeleve në kohë; 2) llojet e informacionit hyrës, parametrat dhe shprehjet që përbëjnë modelin matematik; 3) struktura e modelit matematik; 4) llojin e aparatit matematikor të përdorur.

Në lidhje me qarqet e integruara, mund të propozohet klasifikimi i mëposhtëm.

Në varësi të natyrës së vetive të qarkut të integruar, modelet matematikore ndahen në funksionale dhe strukturore.

Modelet funksionale pasqyrojnë proceset e funksionimit të një objekti; këto modele kanë formën e sistemeve të ekuacioneve.

Gjatë zgjidhjes së një numri problemesh të projektimit, përdoren gjerësisht modelet matematikore që pasqyrojnë vetëm vetitë strukturore të objektit të projektuar; modele të tilla strukturore mund të marrin formën e matricave, grafikëve, listave të vektorëve dhe shprehin marrëveshje reciproke elementet në hapësirë, prania e një lidhjeje të drejtpërdrejtë në formën e përcjellësve etj. Modelet strukturore përdoren në rastin kur problemet e sintezës strukturore mund të formalizohen dhe zgjidhen, duke u abstraguar nga veçoritë e proceseve fizike në objekt.

Oriz. 3.11. Modeli strukturor i inverterit = it. d.)

Sipas metodës së marrjes, modelet funksionale matematikore ndahen në teorike dhe formale.

Modelet teorike janë marrë në bazë të studimit të ligjeve fizike, dhe struktura e ekuacioneve dhe parametrave të modeleve kanë një bazë të qartë fizike.

Modelet formale përftohen duke marrë parasysh vetitë e një objekti real si një kuti e zezë.

Qasja teorike na lejon të marrim modele më universale që janë të vlefshme për mënyra të ndryshme funksionimi dhe për një gamë të gjerë ndryshimesh në parametrat e jashtëm.

Një sërë veçorish në klasifikim shoqërohen me veçoritë e ekuacioneve që përbëjnë modelin matematik; Në varësi të linearitetit ose jolinearitetit të ekuacioneve, modelet ndahen në lineare dhe jolineare.

Në varësi të fuqisë së grupit të vlerave të ndryshueshme, modelet ndahen në të vazhdueshme dhe diskrete (Fig. 3.12).

Në modelet e vazhdueshme, ndryshorja që shfaqet në to është e vazhdueshme ose pjesë-pjesë e vazhdueshme.

Variablat në modelet diskrete janë sasi diskrete, grupi i të cilave është i numërueshëm.

Oriz. 3.12. Variabla të vazhdueshme dhe diskrete

Bazuar në formën e lidhjes midis parametrave të prodhimit, të brendshëm dhe të jashtëm, dallohen modelet në formën e sistemeve të ekuacioneve dhe modeleve në formën e një varësie të qartë të parametrave të daljes nga parametrat e brendshëm dhe të jashtëm. E para prej tyre quhet algoritmike, dhe e dyta - analitike.

Në varësi të faktit nëse ekuacionet e modelit marrin parasysh inercinë e proceseve në objektin e projektimit, dallohen modelet dinamike dhe statike.

Koncepti i modelit dhe simulimit.

Modeli në një kuptim të gjerë- ky është çdo imazh, analog mendor ose imazh i vendosur, përshkrim, diagram, vizatim, hartë, etj. i çdo vëllimi, procesi ose dukurie, i përdorur si zëvendësues ose përfaqësues i tij. Vetë objekti, procesi ose fenomeni quhet origjinali i këtij modeli.

Modelimi - ky është studimi i çdo objekti ose sistemi objektesh duke ndërtuar dhe studiuar modelet e tyre. Ky është përdorimi i modeleve për të përcaktuar ose sqaruar karakteristikat dhe për të racionalizuar metodat e ndërtimit të objekteve të reja të ndërtuara.

Çdo metodë e kërkimit shkencor bazohet në idenë e modelimit, ndërsa metodat teorike përdorin lloje të ndryshme modelesh simbolike, abstrakte dhe metodat eksperimentale përdorin modele lëndore.

Gjatë hulumtimit, një fenomen kompleks real zëvendësohet nga një kopje ose diagramë e thjeshtuar; ndonjëherë një kopje e tillë shërben vetëm për të kujtuar dhe njohur fenomenin e dëshiruar në takimin e ardhshëm. Ndonjëherë diagrami i ndërtuar pasqyron disa veçori thelbësore, lejon dikë të kuptojë mekanizmin e një fenomeni dhe bën të mundur parashikimin e ndryshimit të tij. Modele të ndryshme mund të korrespondojnë me të njëjtin fenomen.

Detyra e studiuesit është të parashikojë natyrën e fenomenit dhe rrjedhën e procesit.

Ndonjëherë, ndodh që një objekt është i disponueshëm, por eksperimentet me të janë të shtrenjta ose çojnë në pasoja të rënda mjedisore. Njohuritë për procese të tilla merren duke përdorur modele.

Një pikë e rëndësishme është se vetë natyra e shkencës përfshin studimin e jo një fenomeni specifik, por një klase të gjerë fenomenesh të lidhura. Ai supozon nevojën për të formuluar disa pohime të përgjithshme kategorike, të cilat quhen ligje. Natyrisht, me një formulim të tillë neglizhohen shumë detaje. Për të identifikuar më qartë një model, ata me vetëdije shkojnë drejt ashpërsimit, idealizimit dhe skicimit, domethënë nuk studiojnë vetë fenomenin, por një kopje ose model pak a shumë të saktë të tij. Të gjitha ligjet janë ligje për modelet, dhe për këtë arsye nuk është për t'u habitur që me kalimin e kohës disa teoritë shkencore konsiderohen të papërshtatshme. Kjo nuk çon në kolaps të shkencës, pasi një model është zëvendësuar nga një tjetër më moderne.

Një rol të veçantë në shkencë luajnë modelet matematikore, materialet e ndërtimit dhe mjetet e këtyre modeleve - konceptet matematikore. Ata u grumbulluan dhe u përmirësuan gjatë mijëra viteve. Matematika moderne ofron mjete jashtëzakonisht të fuqishme dhe universale të kërkimit. Pothuajse çdo koncept në matematikë, çdo objekt matematikor, duke u nisur nga koncepti numër, është një model matematikor. Kur ndërtohet një model matematikor i objektit ose dukurisë që studiohet, identifikohen ato veçori, veçori dhe detaje të tij që, nga njëra anë, përmbajnë informacion pak a shumë të plotë për objektin dhe nga ana tjetër, lejojnë formalizimin matematikor. Formalizimi matematik do të thotë që veçoritë dhe detajet e një objekti mund të shoqërohen me koncepte të përshtatshme adekuate matematikore: numra, funksione, matrica, e kështu me radhë. Pastaj lidhjet dhe marrëdhëniet e zbuluara dhe të supozuara në objektin në studim midis pjesëve dhe përbërësve të tij individualë mund të shkruhen duke përdorur marrëdhënie matematikore: barazi, pabarazi, ekuacione. Rezultati është një përshkrim matematik i procesit ose fenomenit që studiohet, domethënë modeli i tij matematikor.

Studimi i një modeli matematikor shoqërohet gjithmonë me rregulla të caktuara veprimi në objektet që studiohen. Këto rregulla pasqyrojnë marrëdhëniet midis shkaqeve dhe efekteve.

Ndërtimi i një modeli matematikor është faza qendrore e kërkimit ose projektimit të çdo sistemi. E gjithë analiza e mëvonshme e objektit varet nga cilësia e modelit. Ndërtimi i një modeli nuk është një procedurë formale. Varet fuqishëm nga studiuesi, përvoja dhe shija e tij dhe bazohet gjithmonë në materiale të caktuara eksperimentale. Modeli duhet të jetë mjaft i saktë, i përshtatshëm dhe i përshtatshëm për t'u përdorur.

Modelimi i matematikës.

Klasifikimi i modeleve matematikore.

Modelet matematikore mund të jenëpërcaktuese Dhe stokastike .

Përcaktoni model dhe janë modele në të cilat krijohet një korrespondencë një-për-një ndërmjet variablave që përshkruajnë një objekt ose fenomen.

Kjo qasje bazohet në njohjen e mekanizmit të funksionimit të objekteve. Shpesh objekti që modelohet është kompleks dhe deshifrimi i mekanizmit të tij mund të jetë shumë i mundimshëm dhe kërkon kohë. Në këtë rast, veproni si më poshtë: eksperimentet kryhen në origjinal, rezultatet përpunohen dhe, pa u thelluar në mekanizmin dhe teorinë e objektit të simuluar, duke përdorur metoda statistika matematikore dhe teoritë e probabilitetit, vendosin lidhje midis variablave që përshkruajnë një objekt. Në këtë rast ju merrnistokastike model . NË stokastike modeli, marrëdhënia ndërmjet variablave është e rastësishme, ndonjëherë është themelore. Ndikimi i një numri të madh faktorësh, kombinimi i tyre çon në një grup të rastësishëm të ndryshoreve që përshkruajnë një objekt ose fenomen. Sipas natyrës së mënyrave, modeli ështëstatistikore Dhe dinamike.

Statistikoremodelpërfshin një përshkrim të marrëdhënieve midis variablave kryesore të objektit të modeluar në një gjendje të qëndrueshme pa marrë parasysh ndryshimet në parametra me kalimin e kohës.

NË dinamikemodelepërshkruhen marrëdhëniet ndërmjet variablave kryesore të objektit të modeluar gjatë kalimit nga një mënyrë në tjetrën.

Ka modele diskrete Dhe të vazhdueshme, dhe të përziera lloji. NË të vazhdueshme variablat marrin vlera nga një interval i caktuar, nëdiskretevariablat marrin vlera të izoluara.

Modele lineare- të gjitha funksionet dhe relacionet që përshkruajnë modelin në mënyrë lineare varen nga variablat dhejo linearendryshe.

Modelimi i matematikës.

Kërkesat ,p paraqitur tek modelet.

1. Shkathtësi- karakterizon tërësinë e paraqitjes së modelit të vetive të studiuara të një objekti real.

1. Përshtatshmëria është aftësia për të pasqyruar vetitë e dëshiruara të një objekti me një gabim jo më të lartë se një i dhënë.
2. Saktësia vlerësohet nga shkalla e marrëveshjes midis vlerave të karakteristikave të një objekti real dhe vlerave të këtyre karakteristikave të marra duke përdorur modele.
3. Ekonomik - përcaktohet nga shpenzimi i burimeve të memories kompjuterike dhe koha për zbatimin dhe funksionimin e saj.

Modelimi i matematikës.

Fazat kryesore të modelimit.

1. Deklarata e problemit.

Përcaktimi i qëllimit të analizës dhe mënyra për ta arritur atë dhe zhvillimi i një qasjeje të përgjithshme ndaj problemit në studim. Në këtë fazë, kërkohet një kuptim i thellë i thelbit të detyrës. Ndonjëherë, vendosja e saktë e një problemi nuk është më pak e vështirë sesa zgjidhja e tij. Inskenimi nuk është një proces formal; nuk ka rregulla të përgjithshme.

2. Studimi i bazave teorike dhe mbledhja e informacionit për objektin origjinal.

Në këtë fazë, zgjidhet ose zhvillohet një teori e përshtatshme. Nëse nuk është aty, vendosen marrëdhënie shkak-pasojë midis variablave që përshkruajnë objektin. Përcaktohen të dhënat hyrëse dhe dalëse dhe bëhen supozime thjeshtuese.

3. Formalizimi.

Ai konsiston në zgjedhjen e një sistemi simbolesh dhe përdorimin e tyre për të shkruar marrëdhëniet midis përbërësve të një objekti në formën e shprehjeve matematikore. Përcaktohet klasa e problemeve në të cilat mund të klasifikohet modeli matematikor që rezulton i objektit. Vlerat e disa parametrave mund të mos specifikohen ende në këtë fazë.

4. Zgjedhja e një metode zgjidhjeje.

Në këtë fazë, parametrat përfundimtarë të modeleve përcaktohen duke marrë parasysh kushtet e funksionimit të objektit. Për problemin matematikor që rezulton, zgjidhet një metodë zgjidhjeje ose zhvillohet një metodë e veçantë. Kur zgjedh një metodë, merren parasysh njohuritë e përdoruesit, preferencat e tij dhe preferencat e zhvilluesit.

5. Zbatimi i modelit.

Pas zhvillimit të një algoritmi, shkruhet një program, i cili korrigjohet, testohet dhe merret një zgjidhje për problemin e dëshiruar.

6. Analiza e informacionit të marrë.

Krahasohen zgjidhjet e marra dhe ato të pritura dhe monitorohet gabimi i modelimit.

7. Kontrollimi i përshtatshmërisë së objektit real.

Rezultatet e marra nga modeli krahasohenose me informacionin e disponueshëm për objektin, ose kryhet një eksperiment dhe rezultatet e tij krahasohen me ato të llogaritura.

Procesi i modelimit është përsëritës. Në rast të rezultateve të pakënaqshme të fazave 6. ose 7. është bërë një kthim në një nga fazat e mëparshme, e cila mund të kishte çuar në zhvillimin e një modeli të pasuksesshëm. Kjo fazë dhe të gjitha fazat e mëvonshme rafinohen dhe një përsosje e tillë e modelit ndodh derisa të merren rezultate të pranueshme.

Një model matematikor është një përshkrim i përafërt i çdo klase fenomenesh ose objektesh të botës reale në gjuhën e matematikës. Qëllimi kryesor i modelimit është të eksplorojë këto objekte dhe të parashikojë rezultatet e vëzhgimeve të ardhshme. Megjithatë, modelimi është gjithashtu një metodë për të kuptuar botën përreth nesh, duke bërë të mundur kontrollin e saj.

Modelimi matematik dhe eksperimenti kompjuterik shoqërues janë të domosdoshëm në rastet kur një eksperiment në shkallë të plotë është i pamundur ose i vështirë për një arsye ose një tjetër. Për shembull, është e pamundur të vendosësh një eksperiment natyror në histori për të kontrolluar "çfarë do të kishte ndodhur nëse..." Është e pamundur të kontrollosh korrektësinë e një ose një tjetër teorie kozmologjike. Është e mundur, por nuk ka gjasa të jetë e arsyeshme, të eksperimentosh me përhapjen e një sëmundjeje, siç është murtaja, ose të kryesh një shpërthim bërthamor për të studiuar pasojat e saj. Megjithatë, e gjithë kjo mund të bëhet në një kompjuter duke ndërtuar fillimisht modele matematikore të dukurive që studiohen.

1.1.2 2. Fazat kryesore të modelimit matematik

1) Model ndërtimi. Në këtë fazë, specifikohet një objekt "jo matematikor" - një fenomen natyror, dizajn, plan ekonomik, proces prodhimi etj. Në këtë rast, si rregull, një përshkrim i qartë i situatës është i vështirë. Së pari, identifikohen tiparet kryesore të fenomenit dhe lidhjet ndërmjet tyre në nivel cilësor. Pastaj varësitë e gjetura cilësore formulohen në gjuhën e matematikës, domethënë ndërtohet një model matematikor. Kjo është faza më e vështirë e modelimit.

2) Zgjidhja e problemës matematikore në të cilën të çon modeli. Në këtë fazë i kushtohet shumë vëmendje zhvillimit të algoritmeve dhe metodave numerike për zgjidhjen e problemit në kompjuter, me ndihmën e të cilave mund të gjendet rezultati me saktësinë e kërkuar dhe brenda një kohe të pranueshme.

3) Interpretimi i pasojave të fituara nga modeli matematik.Pasojat e nxjerra nga modeli në gjuhën e matematikës interpretohen në gjuhën e pranuar në terren.

4) Kontrollimi i përshtatshmërisë së modelit.Në këtë fazë, përcaktohet nëse rezultatet eksperimentale përputhen me pasojat teorike të modelit brenda një saktësie të caktuar.

5) Modifikimi i modelit.Në këtë fazë, ose modeli është i ndërlikuar në mënyrë që të jetë më i përshtatshëm me realitetin, ose thjeshtohet për të arritur një zgjidhje praktikisht të pranueshme.

1.1.3 3. Klasifikimi i modelit

Modelet mund të klasifikohen sipas kritereve të ndryshme. Për shembull, sipas natyrës së problemeve që zgjidhen, modelet mund të ndahen në funksionale dhe strukturore. Në rastin e parë, të gjitha sasitë që karakterizojnë një fenomen ose objekt shprehen në mënyrë sasiore. Për më tepër, disa prej tyre konsiderohen si variabla të pavarur, ndërsa të tjerët konsiderohen si funksione të këtyre sasive. Një model matematikor është zakonisht një sistem ekuacionesh të llojeve të ndryshme (diferenciale, algjebrike, etj.) që vendosin marrëdhënie sasiore midis sasive në shqyrtim. Në rastin e dytë, modeli karakterizon strukturën e një objekti kompleks të përbërë nga pjesë individuale, midis të cilave ka lidhje të caktuara. Në mënyrë tipike, këto lidhje nuk janë të matshme. Për të ndërtuar modele të tilla, është e përshtatshme të përdoret teoria e grafikut. Grafiku është një objekt matematikor që përfaqëson një grup pikash (kulme) në një rrafsh ose në hapësirë, disa prej të cilave janë të lidhura me vija (skajet).

Në bazë të natyrës së të dhënave dhe rezultateve fillestare, modelet e parashikimit mund të ndahen në përcaktuese dhe probabiliste-statistikore. Modelet e tipit të parë bëjnë parashikime të caktuara, të paqarta. Modelet e llojit të dytë bazohen në informacion statistikor, dhe parashikimet e marra me ndihmën e tyre kanë natyrë probabiliste.

MODELIMI MATEMATIK DHE KOMPJUTERIZIMI I PËRGJITHSHËM APO MODELET SIMULIMI

Tani, kur në vend po bëhet kompjuterizimi pothuajse universal, dëgjojmë deklarata nga specialistë të profesioneve të ndryshme: “Nëse futim një kompjuter, atëherë të gjitha problemet do të zgjidhen menjëherë”. Ky këndvështrim është plotësisht i pasaktë; vetë kompjuterët, pa modele matematikore të proceseve të caktuara, nuk do të jenë në gjendje të bëjnë asgjë, dhe mund të ëndërrohet vetëm kompjuterizimi universal.

Në mbështetje të sa më sipër, ne do të përpiqemi të vërtetojmë nevojën për modelim, duke përfshirë modelimin matematik, dhe të zbulojmë avantazhet e tij në njohjen dhe transformimin njerëzor. Bota e jashtme, le të identifikojmë mangësitë ekzistuese dhe të shkojmë... në modelimin simulues, d.m.th. modelimi duke përdorur një kompjuter. Por gjithçka është në rregull.

Para së gjithash, le t'i përgjigjemi pyetjes: çfarë është një model?

Modeli është një objekt material ose i përfaqësuar mendërisht, i cili në procesin e njohjes (studimit) zëvendëson origjinalin, duke ruajtur disa veti tipike që janë të rëndësishme për këtë studim.

Një model i ndërtuar mirë është më i arritshëm për kërkime sesa një objekt real. Për shembull, eksperimentet me ekonominë e vendit në qëllime arsimore, këtu nuk mund të bëni pa një model.

Duke përmbledhur atë që u tha, mund t'i përgjigjemi pyetjes: për çfarë shërbejnë modelet? Në mënyrë që

• të kuptojë se si funksionon një objekt (struktura e tij, vetitë, ligjet e zhvillimit, ndërveprimi me botën e jashtme).
• mësoni të menaxhoni një objekt (proces) dhe të përcaktoni strategjitë më të mira
• parashikojnë pasojat e ndikimit në objekt.

Çfarë është pozitive për çdo model? Kjo ju lejon të fitoni njohuri të reja për objektin, por, për fat të keq, ato janë të paplota në një shkallë ose në një tjetër.

Modeli formuluar në gjuhën e matematikës duke përdorur metoda matematikore quhet model matematik.

Pika e fillimit për ndërtimin e tij është zakonisht ndonjë problem, për shembull një problem ekonomik. Si ato matematikore përshkruese ashtu edhe ato optimizuese janë të përhapura, duke karakterizuar të ndryshme proceset ekonomike dhe dukuritë, për shembull:

• Alokimi i burimeve
• prerje racionale
• transporti
• konsolidimi i ndërmarrjeve
• planifikimi i rrjetit.

Si ndërtohet një model matematikor?

• Së pari, formulohet qëllimi dhe lënda e studimit.
• Së dyti, theksohen karakteristikat më të rëndësishme që korrespondojnë me këtë qëllim.
• Së treti, marrëdhëniet midis elementeve të modelit përshkruhen verbalisht.
• Më pas, marrëdhënia zyrtarizohet.
• Dhe bëhet një llogaritje duke përdorur një model matematikor dhe zgjidhja që rezulton analizohet.

Duke përdorur këtë algoritëm, ju mund të zgjidhni çdo problem optimizimi, duke përfshirë multikriteret, d.m.th. një në të cilin ndiqen jo një, por disa qëllime, duke përfshirë edhe ato kontradiktore.

Le të japim një shembull. Teoria në radhë– problemi i radhës. Është e nevojshme të balancohen dy faktorë - kostoja e mirëmbajtjes së pajisjeve të shërbimit dhe kostoja e qëndrimit në linjë. Duke ndërtuar një përshkrim formal të modelit, llogaritjet bëhen duke përdorur metoda analitike dhe llogaritëse. Nëse modeli është i mirë, atëherë përgjigjet e gjetura me ndihmën e tij janë adekuate për sistemin e modelimit; nëse është i keq, atëherë duhet të përmirësohet dhe të zëvendësohet. Kriteri i përshtatshmërisë është praktika.

Modelet e optimizimit, duke përfshirë ato me shumë kritere, kanë një veti të përbashkët - dihet një qëllim (ose disa qëllime), për të arritur të cilin shpesh duhet të merret me sisteme komplekse, ku nuk ka të bëjë aq shumë me zgjidhjen e problemeve të optimizimit, por me studimin dhe parashikimin. shtetet në varësi të strategjive të zgjedhura të menaxhimit. Dhe këtu jemi përballur me vështirësitë e zbatimit të planit të mëparshëm. Ato janë si më poshtë:

• një sistem kompleks përmban shumë lidhje ndërmjet elementeve
• një sistem real ndikohet nga faktorë të rastësishëm, marrja e tyre në konsideratë analitike është e pamundur
• mundësia e krahasimit të origjinalit me modelin ekziston vetëm në fillim dhe pas përdorimit të aparatit matematik, sepse rezultatet e ndërmjetme mund të mos kenë analoge në sistemin real.

Në lidhje me vështirësitë e listuara që lindin gjatë studimit të sistemeve komplekse, praktika kërkonte një metodë më fleksibël dhe u shfaq - "Modelimi i simujimit".

Në mënyrë tipike, një model simulimi kuptohet si një grup programesh kompjuterike që përshkruan funksionimin e blloqeve individuale të sistemit dhe rregullat e ndërveprimit midis tyre. Përdorimi variablat e rastësishëm bën të nevojshme kryerjen e eksperimenteve të përsëritura me sistemin e simulimit (në kompjuter) dhe në vijim Analiza statistikore rezultatet e marra. Një shembull shumë i zakonshëm i përdorimit të modeleve të simulimit është zgjidhja e problemit të radhës duke përdorur metodën MONTE CARLO.

Kështu, puna me një sistem simulimi është një eksperiment i kryer në një kompjuter. Cilat janë avantazhet?

– Afërsi më e madhe me sistemin real sesa modelet matematikore;

–Parimi i bllokut bën të mundur verifikimin e çdo blloku përpara përfshirjes së tij në sistemin e përgjithshëm;

– Përdorimi i varësive të një natyre më komplekse që nuk mund të përshkruhen me marrëdhënie të thjeshta matematikore.

Përparësitë e listuara përcaktojnë disavantazhet

– ndërtimi i një modeli simulimi zgjat më shumë, është më i vështirë dhe më i shtrenjtë;

– për të punuar me sistemin e simulimit, duhet të keni një kompjuter të përshtatshëm për klasën;

– ndërveprimi ndërmjet përdoruesit dhe modelit të simulimit (ndërfaqes) nuk duhet të jetë shumë kompleks, i përshtatshëm dhe i njohur;

-ndërtimi i një modeli simulimi kërkon një studim më të thelluar të procesit real sesa modelimi matematik.

Shtrohet pyetja: a mund të zëvendësojë modelimi simulues metodat e optimizimit? Jo, por i plotëson ato në mënyrë të përshtatshme. Një model simulimi është një program që zbaton një algoritëm të caktuar, për të optimizuar kontrollin e të cilit fillimisht zgjidhet një problem optimizimi.

Pra, as një kompjuter, as një model matematikor, as një algoritëm për studimin e tij vetëm nuk mund të zgjidhë një problem mjaft kompleks. Por së bashku ato përfaqësojnë forcën që na lejon të kuptojmë botën përreth nesh dhe ta menaxhojmë atë në interes të njeriut.

1.2 Klasifikimi i modelit

1.2.1 Klasifikimi duke marrë parasysh faktorin kohor dhe zonën e përdorimit (Makarova N.A.) Modeli statik -është si një fotografi e njëhershme e informacionit mbi një objekt (rezultati i një sondazhi) Dinamik model-lejon shikoni ndryshimet në një objekt me kalimin e kohës (Karta në klinikë) Modelet gjithashtu mund të klasifikohen sipas cilës fushë të njohurive i përkasin?(biologjike, historike, mjedisore, etj.) Kthehu në krye

1.2.2 Klasifikimi sipas zonës së përdorimit (Makarova N.A.) arsimore- vizuale manuale, simulatorë oh, ulëritës programet Me eksperiencë modele-reduktuar kopje (makinë në një tunel me erë) Shkencor dhe teknik sinkrofazotron, qëndrim për testimin e pajisjeve elektronike Lojëra - ekonomike, sport, lojëra biznesi Imitim - Jo Ata thjesht pasqyrojnë realitetin, por e imitojnë atë (ilaçet testohen në minj, eksperimentet kryhen në shkolla etj. Kjo metodë modelimi quhet gjykim dhe gabim Kthehu në krye

1.2.3 Klasifikimi sipas metodës së paraqitjes Makarov N.A.) Materiali modele- ndryshe mund të quhet subjekt. Ata perceptojnë gjeometrike dhe vetitë fizike origjinale dhe gjithmonë kanë një mishërim të vërtetë Informacion modelet nuk lejohen prek ose shiko. Ato bazohen vetëm në informacion .Dhe informative modeli është një grup informacioni që karakterizon vetitë dhe gjendjet e një objekti, procesi, fenomeni, si dhe marrëdhëniet me botën e jashtme. Modeli verbal - model informacioni në formë mendore ose të folur. Ikonike model-informacion model i shprehur me shenja , d.m.th.. me anë të ndonjë gjuhe formale. Modeli kompjuterik - m Një model i zbatuar me anë të një mjedisi softuerësh.

1.2.4 Klasifikimi i modeleve të dhëna në librin "Informatika e Tokës" (Gein A.G.)) “...ja një detyrë në dukje e thjeshtë: sa kohë do të duhet për të kaluar shkretëtirën e Karakumit? Përgjigja është sigurisht varet nga mënyra e transportit. Nëse udhëtojnë në deve, atëherë do të duhet një mandat, një tjetër nëse shkoni me makinë, një i tretë nëse fluturoni me aeroplan. Dhe më e rëndësishmja, modele të ndryshme kërkohen për të planifikuar një udhëtim. Për rastin e parë, modeli i kërkuar gjendet në kujtime eksplorues të famshëm shkretëtira: në fund të fundit, këtu nuk mund të bëni pa informacione për oazet dhe shtigjet e deveve. Në rastin e dytë, informacioni që përmban atlasi rrugor është i pazëvendësueshëm. Në të tretën, mund të përdorni orarin e fluturimit. Këto tre modele ndryshojnë - kujtimet, atlasi dhe orari - dhe natyra e prezantimit të informacionit. Në rastin e parë, modeli përfaqësohet nga një përshkrim verbal i informacionit (modeli përshkrues), në të dytën - sikur një fotografi nga jeta (modeli në shkallë të plotë), në të tretën - një tabelë që përmban simbole: oraret e nisjes dhe mbërritjes, dita e javës, çmimi i biletës (i ashtuquajturi model i shenjës) Sidoqoftë, kjo ndarje është shumë arbitrare - në kujtime mund të gjeni harta dhe diagrame (elemente të një modeli në shkallë të plotë), në harta ka simbole (elemente të një modeli simbolik), në orar ka një dekodim të simboleve (elemente të një modeli përshkrues). Pra, ky klasifikim i modeleve...për mendimin tonë është joproduktiv" Sipas mendimit tim, ky fragment tregon stilin përshkrues (gjuhën e mrekullueshme dhe stilin e prezantimit) dhe, si të thuash, stilin e mësimdhënies sokratike të përbashkët për të gjithë librat e Heinit (Të gjithë mendojnë se është kështu. Jam plotësisht dakord me ty, por nëse e shikon nga afër...). Në libra të tillë është mjaft e vështirë të gjesh një sistem të qartë përkufizimesh (ajo nuk është menduar nga autori). Në tekstin shkollor të redaktuar nga N.A. Makarova demonstron një qasje të ndryshme - përkufizimet e koncepteve janë theksuar qartë dhe disi statike.

1.2.5 Klasifikimi i modeleve të dhëna në manual nga A.I. Bochkin Ekziston një numër jashtëzakonisht i madh i metodave të klasifikimit .P sjell vetëm disa nga bazat më të njohura dhe shenjat: diskrete Dhe vazhdimësi, matricë dhe modele skalare, modele statike dhe dinamike, modele analitike dhe informative, modele subjekti dhe shenjash figurative, në shkallë të gjerë dhe jo... Çdo shenjë jep një të caktuar njohuri për vetitë e modelit dhe realitetit të simuluar. Shenja mund të shërbejë si një aluzion për metodën e modelimit të përfunduar ose të ardhshëm. Diskretiteti dhe vazhdimësi Diskretiteti - një tipar karakteristik i modeleve kompjuterike .Pas te gjithave një kompjuter mund të jetë në një numër të kufizuar, megjithëse shumë të madh gjendjesh. Prandaj, edhe nëse objekti është i vazhdueshëm (koha), në model ai do të ndryshojë në kërcime. Mund të konsiderohet vazhdimësi një shenjë e modeleve të tipit jo kompjuterik. Shansi dhe determinizmi . Pasiguria, aksident kundërshtoi fillimisht bota kompjuterike: Algoritmi i nisur përsëri duhet të përsëritet dhe të japë të njëjtat rezultate. Por për të simuluar procese të rastësishme, përdoren sensorë të numrave pseudorandom. Futja e rastësisë në problemet deterministe çon në modele të fuqishme dhe interesante (Llogaritja e sipërfaqes me hedhje të rastësishme). Matriciteti - skalaritet. Disponueshmëria e parametrave matricë modeli tregon kompleksitetin e tij dhe, ndoshta, saktësinë më të madhe në krahasim me skalar. Për shembull, nëse nuk identifikojmë të gjitha grupmoshat në popullsinë e vendit, duke marrë parasysh ndryshimin e tij në tërësi, do të marrim një model skalar (për shembull, modeli Malthus); nëse e izolojmë, do të marrim një matricë (gjini -mosha) model. Ishte modeli i matricës që bëri të mundur shpjegimin e luhatjeve të lindshmërisë pas luftës. Dinamik statik. Këto veti të modelit zakonisht paracaktohen nga vetitë e objektit real. Këtu nuk ka liri zgjedhjeje. Vetëm statike modeli mund të jetë një hap drejt dinamike, ose disa nga variablat e modelit mund të konsiderohen të pandryshuara për momentin. Për shembull, një satelit lëviz rreth Tokës, lëvizja e tij ndikohet nga Hëna. Nëse e konsiderojmë Hënën të palëvizshme gjatë revolucionit të satelitit, marrim një model më të thjeshtë. Modele analitike. Përshkrimi i proceseve në mënyrë analitike, formulat dhe ekuacionet. Por kur përpiqeni të ndërtoni një grafik, është më e përshtatshme të keni tabela të vlerave dhe argumenteve të funksionit. Modelet e simulimit. Imitim modelet janë shfaqur shumë kohë më parë në formën e kopjeve në shkallë të anijeve, urave etj. janë shfaqur shumë kohë më parë, por po konsiderohen së fundmi në lidhje me kompjuterët. Duke ditur se sa të lidhur elementet e modelit në mënyrë analitike dhe logjike, është më e lehtë të mos zgjidhet një sistem i marrëdhënieve dhe ekuacioneve të caktuara, por të shfaqet sistemi real në kujtesën e kompjuterit, duke marrë parasysh lidhjet midis elementeve të memories. Modelet e informacionit. Informacion Modelet zakonisht janë në kontrast me ato matematikore, ose më mirë ato algoritmike. Raporti i vëllimeve të të dhënave me algoritmet është i rëndësishëm këtu. Nëse ka më shumë të dhëna ose është më e rëndësishme, ne kemi një model informacioni, përndryshe - matematikore. Modelet e lëndëve. Ky është kryesisht një model për fëmijë - një lodër. Modele ikonike. Ky është kryesisht një model në mendjen e njeriut: figurative, nëse mbizotërojnë imazhet grafike, dhe ikonike, nëse ka më shumë fjalë dhe/ose numra. Modelet e shenjave figurative janë ndërtuar në një kompjuter. Modele në shkallë. TE në shkallë të gjerë modele janë ato të modeleve lëndore ose figurative që përsërisin formën e një objekti (hartë).

Është e mundur të gjurmohet dinamika e zhvillimit të një objekti, thelbi i brendshëm i marrëdhënieve të elementeve të tij dhe gjendjeve të ndryshme në procesin e projektimit vetëm me ndihmën e modeleve që përdorin parimin e analogjisë dinamike, d.m.th. me ndihmën e matematikës. modele.

Modeli matematikështë një sistem i marrëdhënieve matematikore që përshkruajnë procesin ose fenomenin që studiohet. Për të përpiluar një model matematikor, mund të përdorni çdo mjet matematikor - teorinë e grupeve, logjikën matematikore, gjuhën e ekuacioneve diferenciale ose integrale. Procesi i përpilimit të një modeli matematik quhet modelimi matematik. Ashtu si llojet e tjera të modeleve, një model matematik paraqet një problem në një formë të thjeshtuar dhe përshkruan vetëm vetitë dhe modelet që janë më të rëndësishme për një objekt ose proces të caktuar. Modeli matematik lejon shumëpalësh analiza sasiore. Duke ndryshuar të dhënat fillestare, kriteret, kufizimet, çdo herë mund të merrni një zgjidhje optimale në kushte të caktuara dhe të përcaktoni drejtim të mëtejshëm kërkimi.

Krijimi i modeleve matematikore kërkon nga zhvilluesit e tyre, përveç njohurive të metodave logjike formale, një analizë të plotë të objektit që studiohet për të formuluar në mënyrë rigoroze idetë dhe rregullat kryesore, si dhe për të identifikuar një sasi të mjaftueshme të fakteve të besueshme, të dhëna statistikore dhe rregullatore.

Duhet të theksohet se të gjitha modelet matematikore të përdorura aktualisht lidhen me urdhëruese. Qëllimi i zhvillimit të modeleve përshkruese është të tregojë drejtimin e gjetjes së një zgjidhjeje, ndërsa qëllimi i zhvillimit duke përshkruar modelet janë një pasqyrim i proceseve aktuale të të menduarit njerëzor.

Ekziston një këndvështrim mjaft i përhapur se me ndihmën e matematikës është e mundur të merren vetëm disa të dhëna numerike për objektin ose procesin që studiohet. “Sigurisht, shumë disiplina matematikore synojnë të marrin një rezultat numerik përfundimtar. Por të reduktosh metodat matematikore vetëm në problemin e marrjes së një numri do të thotë të varfërosh pafundësisht matematikën, të varfërosh mundësinë e asaj arme të fuqishme që sot është në duart e studiuesve...

Një model matematikor i shkruar në një ose një gjuhë tjetër private (për shembull, ekuacione diferenciale) reflekton veti të caktuara proceset fizike reale. Si rezultat i analizës së modeleve matematikore, ne marrim, para së gjithash, ide cilësore për veçoritë e proceseve në studim, vendosim modele që përcaktojnë serinë dinamike të gjendjeve të njëpasnjëshme dhe fitojmë mundësinë për të parashikuar rrjedhën e procesit. dhe të përcaktojë karakteristikat e tij sasiore.”

Modelet matematikore përdoren në shumë metoda të njohura të modelimit. Midis tyre janë zhvillimi i modeleve që përshkruajnë gjendjen statike dhe dinamike të një objekti, modele optimizimi.

Një shembull i modeleve matematikore që përshkruajnë gjendjen statike dhe dinamike të një objekti mund të jenë metoda të ndryshme të llogaritjeve strukturore tradicionale. Procesi i llogaritjes, i paraqitur në formën e një sekuence veprimesh matematikore (algoritmi), na lejon të themi se është përpiluar një model matematikor për llogaritjen e një strukture të caktuar.

NË optimizimi Modelet përmbajnë tre elementë:

Funksioni objektiv që pasqyron kriterin e pranuar të cilësisë;

Parametrat e rregullueshëm;

Kufizimet e vendosura.

Të gjithë këta elementë duhet të përshkruhen matematikisht në formën e ekuacioneve, kushteve logjike etj. Zgjidhja e një problemi optimizimi është procesi i gjetjes së vlerës minimale (maksimale) të funksionit objektiv duke respektuar kufizimet e specifikuara. Rezultati i zgjidhjes konsiderohet optimale nëse funksioni objektiv arrin vlerën e tij ekstreme.

Një shembull i një modeli optimizimi është një përshkrim matematikor i kriterit të "gjatësisë së lidhjes" në metodën e projektimit alternativ të ndërtesave industriale.

Funksioni objektiv pasqyron gjatësinë totale të ponderuar të të gjitha lidhjeve funksionale, e cila duhet të priret në minimum:

ku është vlera e peshës së lidhjes së elementit me ;

– gjatësia e lidhjes ndërmjet dhe elementeve;

– numri i përgjithshëm i elementeve të vendosura.

Meqenëse zonat e elementeve të vendosura të ambienteve janë të barabarta në të gjitha variantet e zgjidhjes së projektimit, variantet ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në distancat e ndryshme midis elementeve dhe vendndodhjes së tyre në raport me njëri-tjetrin. Rrjedhimisht, parametrat e rregullueshëm në këtë rast janë koordinatat e elementeve të vendosura në planet.

Kufizime të vendosura në vendndodhjen e elementeve (në një vend të fiksuar paraprakisht në plan, në perimetrin e jashtëm, mbi njëri-tjetrin, etj.) dhe në gjatësinë e lidhjeve (gjatësitë e lidhjeve ndërmjet elementeve janë të specifikuara në mënyrë të ngurtë, minimale ose përcaktohen kufijtë maksimalë të vlerave, kufijtë e ndryshimit janë vlerat e specifikuara) shkruhen zyrtarisht.

Një opsion konsiderohet optimal (sipas këtij kriteri) nëse vlera e funksionit objektiv të llogaritur për këtë opsion është minimale.

Një shumëllojshmëri modelesh matematikore - modeli ekonomiko-matematik– paraqet një model komunikimi karakteristikat ekonomike dhe parametrat e sistemit.

Një shembull i modeleve ekonomiko-matematikore është përshkrimi matematik i kritereve të kostos në metodën e lartpërmendur të projektimit alternativ të ndërtesave industriale. Modelet matematikore të marra bazuar në përdorimin e metodave statistikore matematikore pasqyrojnë varësinë e kostos së kornizës, themeleve, punimeve tokësore të ndërtesave industriale njëkatëshe dhe shumëkatëshe dhe lartësinë, hapësirën dhe hapin e tyre të strukturave mbajtëse.

Në bazë të metodës së marrjes parasysh të ndikimit të faktorëve të rastësishëm në vendimmarrje, modelet matematikore ndahen në deterministe dhe probabiliste. Deterministe modeli nuk merr parasysh ndikimin e faktorëve të rastësishëm në procesin e funksionimit të sistemit dhe bazohet në një paraqitje analitike të modeleve të funksionimit. Probabilistik (stokastik) modeli merr parasysh ndikimin e faktorëve të rastësishëm gjatë funksionimit të sistemit dhe bazohet në statistikore, d.m.th. Vlerësimi sasior i fenomeneve masive, duke lejuar të merret parasysh jolineariteti i tyre, dinamika, shqetësimet e rastësishme të përshkruara nga ligje të ndryshme të shpërndarjes.

Duke përdorur shembujt e mësipërm, mund të themi se modeli matematik që përshkruan kriterin "gjatësia e lidhjeve" i referohet modeleve përcaktuese, dhe modelet matematikore që përshkruajnë grupin e kritereve "kosto" u referohen modeleve probabiliste.

Modele gjuhësore, semantike dhe informative

Modelet matematikore kanë avantazhe të dukshme sepse kuantifikimi i aspekteve të një problemi ofron një pamje të qartë të prioriteteve të qëllimeve. Është e rëndësishme që një specialist të mund të justifikojë gjithmonë miratimin e një vendimi të caktuar duke paraqitur të dhënat numerike përkatëse. Megjithatë, përshkrimi i plotë matematik aktivitetet e projektit e pamundur, prandaj shumica e problemeve të zgjidhura në fazën fillestare të projektimit arkitektonik dhe ndërtimor lidhen me i strukturuar keq.

Një nga veçoritë e problemeve gjysmë të strukturuara është përshkrimi verbal i kritereve të përdorura në to. Futja e kritereve të përshkruara në gjuhën natyrore (kritere të tilla quhen gjuhësor), ju lejon të përdorni metoda më pak komplekse për të gjetur zgjidhje optimale të projektimit. Duke pasur parasysh kritere të tilla, projektuesi merr një vendim bazuar në shprehje të njohura, të padiskutueshme të qëllimeve.

Një përshkrim kuptimplotë i të gjitha aspekteve të problemit fut sistematizimin në procesin e zgjidhjes së tij, nga njëra anë, dhe nga ana tjetër, lehtëson shumë punën e specialistëve të cilët, pa studiuar degët përkatëse të matematikës, mund të zgjidhin më shumë problemet e tyre profesionale. në mënyrë racionale. Në Fig. 5.2 është dhënë modeli gjuhësor, duke përshkruar mundësitë e krijimit të kushteve për ventilim natyror në opsione të ndryshme të paraqitjes për një furrë buke.

Përfitime të tjera të përshkrimeve kuptimplote të problemeve përfshijnë:

Aftësia për të përshkruar të gjitha kriteret që përcaktojnë efektivitetin e një zgjidhjeje të projektimit. Në të njëjtën kohë, është e rëndësishme që konceptet komplekse të mund të futen në përshkrim dhe fusha e shikimit të specialistit, së bashku me faktorët sasiorë, të matshëm, të përfshijë edhe ata cilësorë, të pamatshëm. Kështu, në momentin e marrjes së vendimit, do të përdoret i gjithë informacioni subjektiv dhe objektiv;

Oriz. 5.2 Përshkrimi i përmbajtjes së kriterit të “ventilimit” në formën e një modeli gjuhësor

Aftësia për të vlerësuar në mënyrë të paqartë shkallën e arritjes së qëllimit në opsionet për këtë kriter bazuar në formulimet e pranuara nga specialistët, gjë që siguron besueshmërinë e informacionit të marrë;

Aftësia për të marrë parasysh pasigurinë që lidhet me njohuritë jo të plota të të gjitha pasojave të vendimeve të marra, si dhe informacionin parashikues.

Modelet që përdorin gjuhën natyrore për të përshkruar objektin e studimit përfshijnë edhe modelet semantike.

Modeli semantik- ekziston një paraqitje e tillë e një objekti që pasqyron shkallën e ndërlidhjes (afërsisë) midis përbërësve, aspekteve, vetive të ndryshme të objektit. Ndërlidhja nuk do të thotë një rregullim relativ hapësinor, por një lidhje në kuptim.

Kështu, në një kuptim semantik, marrëdhënia midis koeficientit të ndriçimit natyror dhe zonës së dritës së gardheve transparente do të paraqitet si më e afërt sesa marrëdhënia midis hapjeve të dritareve dhe pjesëve ngjitur të verbër të murit.

Grupi i marrëdhënieve të lidhjes tregon se çfarë përfaqëson çdo element i zgjedhur në një objekt dhe objekti në tërësi. Në të njëjtën kohë, modeli semantik pasqyron, përveç shkallës së lidhjes së aspekteve të ndryshme në një objekt, edhe përmbajtjen e koncepteve. Modelet elementare janë koncepte të shprehura në gjuhën natyrore.

Ndërtimi i modeleve semantike bazohet në parimet sipas të cilave konceptet dhe lidhjet nuk ndryshojnë gjatë gjithë kohës kur përdoret modeli; përmbajtja e një koncepti nuk kalon në një tjetër; lidhjet ndërmjet dy koncepteve kanë një ndërveprim të barabartë dhe të paorientuar në raport me to.

Çdo analizë modeli synon të përzgjedhë elementë të modelit që kanë një cilësi të caktuar të përbashkët. Kjo jep bazën për ndërtimin e një algoritmi që merr parasysh vetëm lidhjet direkte. Kur konvertohet një model në një grafik të padrejtuar, gjendet një shteg midis dy elementeve që gjurmon lëvizjen nga një element në tjetrin, duke përdorur çdo element vetëm një herë. Rendi në të cilin shfaqen elementet quhet sekuencë e dy elementeve. Sekuencat mund të kenë gjatësi të ndryshme. Më e shkurtra prej tyre quhen marrëdhënie elementare. Një sekuencë e dy elementeve ekziston edhe nëse ka një lidhje të drejtpërdrejtë midis tyre, por në këtë rast nuk ka asnjë lidhje.

Si shembull i një modeli semantik, ne japim një përshkrim të paraqitjes së një apartamenti së bashku me lidhjet e komunikimit. Koncepti është ambienti i një apartamenti. Lidhja direkte nënkupton lidhjen funksionale të dy dhomave, për shembull nga një derë (shih Tabelën 5.1).

Transformimi i modelit në formën e një grafi të padrejtuar na lejon të marrim një sekuencë elementësh (Fig. 5.3).

Shembuj të sekuencës së formuar midis elementit 2 (banjo) dhe elementit 6 (qilar) janë dhënë në tabelë. 5.2. Siç mund të shihet nga tabela, sekuenca 3 paraqet marrëdhënien e këtyre dy elementeve.

Tabela 5.1

Përshkrimi i paraqitjes së apartamentit

Oriz. 5.3 Përshkrimi i zgjidhjes së planifikimit në formën e një grafiku të padrejtuar

Çfarë është një model matematikor?

Koncepti i një modeli matematikor.

Një model matematikor është një koncept shumë i thjeshtë. Dhe shumë e rëndësishme. Janë modelet matematikore që lidhin matematikën dhe jetën reale.

Duke folur në gjuhë të thjeshtë, një model matematikor është një përshkrim matematikor i çdo situate. Kjo eshte e gjitha. Modeli mund të jetë primitiv, ose mund të jetë super kompleks. Sido që të jetë situata, i tillë është modeli.)

Në çdo (e përsëris - ne cdo!) në një rast kur duhet të numëroni dhe llogaritni diçka - ne jemi të angazhuar në modelimin matematik. Edhe nëse nuk e dyshojmë.)

P = 2 CB + 3 CM

Kjo hyrje do të jetë një model matematikor i kostove të blerjeve tona. Modeli nuk merr parasysh ngjyrën e paketimit, datën e skadencës, mirësjelljen e arkëtarëve etj. Kjo është arsyeja pse ajo model, jo një blerje reale. Por shpenzimet, d.m.th. çfarë kemi nevojë- do ta zbulojmë me siguri. Nëse modeli është i saktë, sigurisht.

Është e dobishme të imagjinohet se çfarë është një model matematikor, por nuk mjafton. Gjëja më e rëndësishme është të jeni në gjendje të ndërtoni këto modele.

Hartimi (ndërtimi) i një modeli matematikor të problemës.

Të krijosh një model matematikor do të thotë të përkthesh kushtet e problemit në formë matematikore. ato. kthejnë fjalët në ekuacion, formulë, pabarazi etj. Për më tepër, transformojeni atë në mënyrë që kjo matematikë të korrespondojë rreptësisht teksti origjinal. Përndryshe, do të përfundojmë me një model matematikor të një problemi tjetër të panjohur për ne.)

Më konkretisht, keni nevojë

Ka një numër të pafund detyrash në botë. Prandaj, ofroni udhëzime të qarta hap pas hapi për hartimin e një modeli matematikor ndonjë detyrat janë të pamundura.

Por ka tre pika kryesore që duhet t'i kushtoni vëmendje.

1. Çdo problem përmban tekst, çuditërisht.) Ky tekst, si rregull, përmban informacion i qartë, i hapur. Numrat, vlerat, etj.

2. Çdo problem ka informacione të fshehura. Ky është një tekst që supozon njohuri shtesë në kokën tuaj. Nuk ka rrugë pa to. Përveç kësaj, informacioni matematikor shpesh fshihet pas fjalëve të thjeshta dhe... rrëshqet vëmendjen.

3. Çdo detyrë duhet dhënë lidhja e të dhënave me njëra-tjetrën. Kjo lidhje mund të jepet në tekst të thjeshtë (diçka është e barabartë me diçka), ose mund të fshihet pas fjalëve të thjeshta. Por faktet e thjeshta dhe të qarta shpesh anashkalohen. Dhe modeli nuk është përpiluar në asnjë mënyrë.

Unë do të them menjëherë: për të zbatuar këto tre pika, duhet ta lexoni problemin (dhe me kujdes!) disa herë. Gjëja e zakonshme.

Dhe tani - shembuj.

Le të fillojmë me një problem të thjeshtë:

Petrovich u kthye nga peshkimi dhe me krenari prezantoi kapjen e tij para familjes. Pas ekzaminimit më të afërt, rezultoi se 8 peshq vinin nga detet veriore, 20% e të gjithë peshqve vinin nga detet jugore dhe asnjë i vetëm nuk vinte nga lumi lokal ku Petrovich po peshkonte. Sa peshq bleu Petrovich në dyqanin e detit?

Të gjitha këto fjalë duhet të kthehen në një lloj ekuacioni. Për ta bërë këtë ju duhet, e përsëris, vendos një lidhje matematikore midis të gjitha të dhënave në problem.

Ku të fillojë? Së pari, le të nxjerrim të gjitha të dhënat nga detyra. Le të fillojmë me radhë:

Le t'i kushtojmë vëmendje pikës së parë.

Cili është këtu? eksplicite informacion matematikor? 8 peshq dhe 20%. Jo shumë, por nuk na duhen shumë.)

Le t'i kushtojmë vëmendje pikës së dytë.

Kërkojnë i fshehur informacion. Eshte ketu. Këto janë fjalët: “20% e të gjithë peshqve Këtu ju duhet të kuptoni se sa janë përqindjet dhe si llogariten. Përndryshe, problemi nuk mund të zgjidhet. Pikërisht kjo është ajo që informacion shtese, e cila duhet të jetë në kokën tuaj.

Ka edhe matematikore informacion që është plotësisht i padukshëm. Kjo pyetje detyre: "Sa peshk bleva..." Ky është gjithashtu një numër. Dhe pa të, nuk do të formohet asnjë model. Prandaj, le ta shënojmë këtë numër me shkronjë "X". Ne ende nuk e dimë se çfarë është e barabartë me x, por ky përcaktim do të jetë shumë i dobishëm për ne. Më shumë detaje se çfarë duhet marrë për X dhe si ta trajtojmë atë janë shkruar në mësimin Si të zgjidhim problemet në matematikë? Le ta shkruajmë menjëherë:

x copa - numri i përgjithshëm i peshkut.

Në problemin tonë, peshqit e jugut janë dhënë në përqindje. Ne duhet t'i kthejmë ato në copa. Per cfare? Pastaj çfarë në ndonjë duhet hartuar problemi i modelit në të njëjtat lloj sasish. Copa - kështu që gjithçka është në copa. Nëse jepen, le të themi, orë dhe minuta, ne përkthejmë gjithçka në një gjë - ose vetëm orë, ose vetëm minuta. Nuk ka rëndësi se çfarë është. Është e rëndësishme që të gjitha vlerat ishin të të njëjtit lloj.

Le të kthehemi te zbulimi i informacionit. Kush nuk e di se çfarë është interesi nuk do ta zbulojë kurrë, po... Por kush e di do të thotë menjëherë se interesi këtu është nga numri total jepen peshqit. Dhe ne nuk e dimë këtë numër. Asgjë nuk do të funksionojë!

Nuk është më kot që shënojmë numrin e përgjithshëm të peshkut (në copa!) "X" caktuar. Nuk do të jetë e mundur të numërohet numri i peshqve të jugut, por ne mund t'i shkruajmë ato? Si kjo:

0,2 x copa - numri i peshqve nga detet jugore.

Tani kemi shkarkuar të gjithë informacionin nga detyra. Edhe e dukshme edhe e fshehur.

Le t'i kushtojmë vëmendje pikës së tretë.

Kërkojnë lidhje matematikore ndërmjet të dhënave të detyrës. Kjo lidhje është aq e thjeshtë sa shumë nuk e vënë re... Kjo ndodh shpesh. Këtu është e dobishme thjesht të shkruani të dhënat e mbledhura në një grumbull dhe të shihni se çfarë është.

Çfarë kemi ne? Hani 8 copë peshku verior, 0,2 x copa- peshku jugor dhe x peshk- shuma totale. A është e mundur që këto të dhëna të lidhen disi? Po Lehtë! Numri i përgjithshëm i peshqve barazohet shuma e jugut dhe veriut! Epo, kush do ta kishte menduar...) Pra, ne e shkruajmë atë:

x = 8 + 0,2x

Ky është ekuacioni modeli matematikor i problemit tonë.

Ju lutemi vini re se në këtë problem Nuk na kërkohet të palosim asgjë! Ishim ne vetë, pa kokë, që kuptuam se shuma e peshqve të jugut dhe të veriut do të na jepte numrin total. Gjëja është aq e qartë sa kalon pa u vënë re. Por pa këto dëshmi, nuk mund të krijohet një model matematikor. Si kjo.

Tani mund të përdorni fuqinë e plotë të matematikës për të zgjidhur këtë ekuacion). Pikërisht për këtë u përpilua modeli matematik. Ne e zgjidhim këtë ekuacion linear dhe marrim përgjigjen.

Përgjigje: x=10

Le të krijojmë një model matematikor të një problemi tjetër:

Ata e pyetën Petroviçin: "A keni shumë para?" Petrovich filloi të qajë dhe u përgjigj: "Po, vetëm pak. Nëse shpenzoj gjysmën e të gjitha parave dhe gjysmën e pjesës tjetër, atëherë do të më mbetet vetëm një thes me para..." Sa para ka Petrovich ?

Përsëri punojmë pikë për pikë.

1. Ne jemi duke kërkuar për informacion të qartë. Nuk do ta gjeni menjëherë! Informacioni i qartë është njëçantë me para. Ka disa gjysma të tjera... Epo, do ta shqyrtojmë këtë në pikën e dytë.

2. Ne jemi në kërkim të informacionit të fshehur. Këto janë gjysma. Çfarë? Jo shumë e qartë. Ne jemi duke kërkuar më tej. Ka edhe një pyetje: "Sa para ka Petrovich?" Le ta shënojmë shumën e parave me shkronjë "X":

X- të gjitha paratë

Dhe përsëri lexojmë problemin. Tashmë duke e ditur atë Petrovich X paratë. Këtu do të funksionojnë gjysmat! Ne shkruajmë:

0,5 x- gjysma e të gjitha parave.

Pjesa e mbetur do të jetë gjithashtu gjysma, d.m.th. 0,5 x. Dhe gjysma e gjysmës mund të shkruhet kështu:

0,5 0,5 x = 0,25x- gjysma e pjesës së mbetur.

Tani të gjitha informacionet e fshehura janë zbuluar dhe regjistruar.

3. Ne jemi duke kërkuar për një lidhje midis të dhënave të regjistruara. Këtu thjesht mund të lexoni vuajtjet e Petrovich dhe t'i shkruani matematikisht):

Nëse shpenzoj gjysmën e të gjitha parave...

Le ta regjistrojmë këtë proces. Të gjitha paratë - X. gjysma - 0,5 x. Të shpenzosh është të heqësh. Fraza kthehet në një regjistrim:

x - 0,5 x

po gjysma e pjesës tjetër...

Le të zbresim një gjysmë tjetër të pjesës së mbetur:

x - 0,5 x - 0,25x

atëherë do të më mbetet vetëm një thes me para...

Dhe këtu kemi gjetur barazi! Pas të gjitha zbritjeve, mbetet një thes me para:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Këtu është një model matematikor! Ky është përsëri një ekuacion linear, ne e zgjidhim atë, marrim:

Pyetje për shqyrtim. Çfarë është katër? Rubla, dollar, juan? Dhe në cilat njësi janë shkruar paratë në modelin tonë matematikor? Në çanta! Kjo do të thotë katër çantë para nga Petrovich. Mire gjithashtu.)

Detyrat janë, natyrisht, elementare. Kjo është veçanërisht për të kapur thelbin e hartimit të një modeli matematikor. Disa detyra mund të përmbajnë shumë më tepër të dhëna, të cilat mund të jenë të lehta për t'u humbur. Kjo ndodh shpesh në të ashtuquajturat. detyrat e kompetencës. Mënyra e nxjerrjes së përmbajtjes matematikore nga një grumbull fjalësh dhe numrash tregohet me shembuj

Një shënim më shumë. Në problemet klasike të shkollës (gypat që mbushin një pishinë, varkat që notojnë diku, etj.), Të gjitha të dhënat, si rregull, zgjidhen me shumë kujdes. Ka dy rregulla:
- ka informacion të mjaftueshëm në problem për ta zgjidhur atë,
- Nuk ka informacion të panevojshëm në një problem.

Kjo është një aluzion. Nëse ka mbetur ndonjë vlerë e papërdorur në modelin matematikor, mendoni nëse ka ndonjë gabim. Nëse nuk ka të dhëna të mjaftueshme, ka shumë të ngjarë, jo të gjitha informacionet e fshehura janë identifikuar dhe regjistruar.

Në kompetencë dhe të tjera detyrat e jetës këto rregulla nuk respektohen rreptësisht. Asnjë e dhënë. Por edhe probleme të tilla mund të zgjidhen. Nëse, sigurisht, praktikoni në ato klasike.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.