Rendi i një ekuacioni diferencial dhe zgjidhja e tij, problemi Cauchy. Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve lineare të ekuacioneve diferenciale të rendit të tretë Ekuacione lineare johomogjene me koeficientë konstante
Për këtë ekuacion kemi:
; (5.22)
. (5.23)
Përcaktori i fundit jep kushtin a 3 > 0. Kushti Δ 2 > 0, për një 0 > 0, a 1 > 0 dhe një 3 > 0, mund të plotësohet vetëm për një 2 > 0.
Rrjedhimisht, për një ekuacion të rendit të tretë, pozitiviteti i të gjithë koeficientëve të ekuacionit karakteristik nuk është më i mjaftueshëm. Kërkohet gjithashtu të plotësohet një marrëdhënie e caktuar midis koeficientëve a 1 a 2 > a 0 a 3.
4. Ekuacioni i rendit të katërt
Ngjashëm me atë që u bë më lart, mund të marrim se për një ekuacion të rendit të katërt, përveç pozitivitetit të të gjithë koeficientëve, duhet të plotësohet kushti i mëposhtëm:
Një pengesë e rëndësishme e kritereve algjebrike, duke përfshirë kriteret Hurwitz, është gjithashtu se për ekuacionet e rendit të lartë, në rastin më të mirë, mund të merret një përgjigje nëse sistemi i kontrollit automatik është i qëndrueshëm apo i paqëndrueshëm. Për më tepër, në rastin e një sistemi të paqëndrueshëm, kriteri nuk përgjigjet se si duhet të ndryshohen parametrat e sistemit për ta bërë atë të qëndrueshëm. Kjo rrethanë çoi në kërkimin e kritereve të tjera që do të ishin më të përshtatshme në praktikën inxhinierike.
5.3. Kriteri i stabilitetit të Mikhailov
Le të shqyrtojmë veçmas anën e majtë të ekuacionit karakteristik (5.7), që është polinomi karakteristik
Le të zëvendësojmë në këtë polinom vlerën thjesht imagjinare p = j, ku përfaqëson frekuencën këndore të lëkundjeve që korrespondojnë me rrënjën thjesht imagjinare të zgjidhjes karakteristike. Në këtë rast marrim kompleksin karakteristik
ku pjesa reale do të përmbajë edhe fuqi të frekuencës
dhe ajo imagjinare - shkallë tek frekuencave
E
Oriz. 5.4. Hodografi i Mikhailov
Në praktikë, kurba e Mikhailov ndërtohet pikë për pikë, dhe vlera të ndryshme të frekuencës janë specifikuar dhe U() dhe V() llogariten duke përdorur formulat (5.28), (5.29). Rezultatet e llogaritjes janë përmbledhur në tabelë. 5.1.
Tabela 5.1
Ndërtimi i kurbës së Mikhailov
Duke përdorur këtë tabelë, ndërtohet vetë kurba (Fig. 5.4).
Le të përcaktojmë se sa duhet të jetë i barabartë këndi i rrotullimit i vektorit D(j) kur frekuenca ndryshon nga zero në pafundësi. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë polinomin karakteristik si produkt faktorësh
ku 1 – n janë rrënjët e ekuacionit karakteristik.
Vektori karakteristik atëherë mund të përfaqësohet si më poshtë:
Çdo kllapa përfaqëson një numër kompleks. Prandaj, D(j) është prodhimi numra komplekse. Gjatë shumëzimit shtohen argumentet e numrave kompleksë. Prandaj, këndi që rezulton i rrotullimit të vektorit D(j) do të jetë e barabartë me shumën këndet e rrotullimit të faktorëve individualë (5.31) kur frekuenca ndryshonnga zero në pafundësi
Le të përcaktojmë secilin term në (5.31) veç e veç. Për të përgjithësuar problemin, merrni parasysh lloje te ndryshme rrënjët.
1. Le të jetë një rrënjë, për shembull 1 reale dhe negative , pra 1 = – 1 . Faktori në shprehjen (5.31), i përcaktuar nga kjo rrënjë, do të ketë formën ( 1 + j). Le të ndërtojmë një hodograf të këtij vektori në planin kompleks ndërsa frekuenca ndryshon nga zero në pafundësi (Fig. 5.5, A). Kur= 0, pjesa reale është U= 1, dhe pjesa imagjinare është V= 0. Kjo i përgjigjet pikës A, e shtrirë në boshtin real. Në0, vektori do të ndryshojë në atë mënyrë që pjesa reale e tij do të jetë ende e barabartë me, dhe pjesa imagjinare V = (pika B në grafik). Ndërsa frekuenca rritet në pafundësi, vektori shkon në pafundësi, dhe fundi i vektorit mbetet gjithmonë në vijën e drejtë vertikale që kalon nëpër pikën A, dhe vektori rrotullohet në të kundërt të akrepave të orës.
Oriz. 5.5. Rrënjët e vërteta
Këndi i rrotullimit që rezulton i vektorit 1 = +( / 2).
2. Le të jetë tani rrënja 1 reale dhe pozitive , pra 1 = + 1.Atëherë faktori në (5.31) i përcaktuar nga kjo rrënjë do të ketë formën (– 1 + j). Ndërtime të ngjashme (Fig. 5.5, b) tregojnë se këndi i rrotullimit që rezulton do të jetë 1 = –( / 2). Shenja minus tregon se vektori rrotullohet në drejtim të akrepave të orës.
3. Le të jenë dy rrënjë të konjuguara, për shembull 2 dhe 3, kompleks me pjesën reale negative , pra 2;3 = –±j. Në mënyrë të ngjashme, faktorët në shprehjen (5.31), të përcaktuar nga këto rrënjë, do të kenë formën (–j + j)( + j + j).
Kur = 0, pozicionet fillestare të dy vektorëve përcaktohen nga pikat A 1 dhe A 2 (Fig. 5.6, A). Vektori i parë rrotullohet në drejtim të akrepave të orës në lidhje me boshtin real me një kënd të barabartë me arctg( / ), dhe vektori i dytë rrotullohet nga i njëjti kënd në të kundërt të akrepave të orës. Me një rritje graduale të nga zero në pafundësi, skajet e të dy vektorëve shkojnë deri në pafundësi dhe të dy vektorët përfundimisht bashkohen me boshtin imagjinar.
Këndi i rrotullimit që rezulton i vektorit të parë është 2 = ( / 2) + . Këndi i rrotullimit që rezulton i vektorit të dytë 3 = ( / 2) –. Vektori që i korrespondon prodhimit (–j + j)( + j + j) do të rrotullohet nëpër këndin 2 + 3 = 2 / 2 =.
Oriz. 5.6. Rrënjët komplekse
4. Le të jenë të njëjta rrënjët komplekse kanë një pjesë reale pozitive , që është 2;3 = +±j.
Kryerja e ndërtimit në mënyrë të ngjashme me rastin e shqyrtuar më parë (Fig. 5.6, b), fitojmë këndin e rrotullimit që rezulton 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Kështu, nëse ekuacioni karakteristik ka f rrënjë me një pjesë reale pozitive, atëherë çfarëdo që të jenë këto rrënjë (reale ose komplekse), ato do t'i korrespondojnë shumës së këndeve të rrotullimit të barabartë me –f ( / 2). Të gjitha rrënjët e tjera (n – f) të ekuacionit karakteristik që kanë pjesë reale negative do të korrespondojnë me shumën e këndeve të rrotullimit të barabartë me +(n – f)( / 2). Si rezultat, këndi i përgjithshëm i rrotullimit të vektorit D(j) kur frekuenca ndryshon nga zero në pafundësi sipas formulës (5.32) do të ketë formën
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)
Kjo shprehje përcakton lidhjen e dëshiruar midis formës së kurbës së Mikhailov dhe shenjave të pjesëve reale të rrënjëve të ekuacionit karakteristik. Në vitin 1936 A.V. Mikhailov formuloi kriterin e mëposhtëm të stabilitetit për sistemet lineare ndonjë porosi.
Për qëndrueshmërinë e një sistemi të rendit të n-të është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektori D(j ), duke përshkruar kurbën e Mikhailov, kur ndryshon kishte një kënd rrotullimi nga zero në pafundësi = n ( / 2).
Ky formulim vjen drejtpërdrejt nga (5.33). Që sistemi të jetë i qëndrueshëm, është e nevojshme që të gjitha rrënjët të shtrihen në gjysmën e majtë. Nga këtu përcaktohet këndi i kërkuar i rrotullimit të vektorit që rezulton.
Kriteri i stabilitetit Mikhailov formulohet si më poshtë: për qëndrueshmërinë e një ACS lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që hodografi Mikhailov, kur frekuenca ndryshon nga zero në pafundësi, duke filluar në gjysmëplanin pozitiv dhe pa kapërcyer origjinën e koordinatave, të presë në mënyrë sekuenciale po aq kuadrante të kompleksit. rrafshi si rendi i polinomit të ekuacionit karakteristik të sistemit.
RRETH
Oriz. 5.7. ATS rezistente
Për një sistem të qëndrueshëm, kurba e Mikhailov kalon nëpër n kuadrante të njëpasnjëshme të planit kompleks.
Prania e kufijve të stabilitetit të të tre llojeve mund të përcaktohet nga kurba e Mikhailov si më poshtë.
Në prani të një kufiri stabiliteti lloji i parë (rrënja zero) nuk ka term të lirë të polinomit karakteristik n = 0, dhe kurba e Mikhailov e lë origjinën (Fig. 5.9, kurba 1)
|
Oriz. 5.8. ATS e paqëndrueshme |
Oriz. 5.9. Kufijtë e stabilitetit |
Në kufirin e qëndrueshmërisë lloji i dytë (kufiri i stabilitetit oshilator) ana e majtë e ekuacionit karakteristik, domethënë polinomi karakteristik, zhduket kur zëvendësohet p = j 0
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
Kjo nënkupton dy barazi: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Kjo do të thotë se pika = 0 në lakoren e Mikhailov bie në origjinën e koordinatave (Fig. 5.9, kurba 2). Në këtë rast, vlera 0 është frekuenca e lëkundjeve të pamposhtura të sistemit.
Për kufirin e stabilitetit lloji i tretë (rrënja e pafundme) fundi i kurbës së Mikhailovit hidhet (Fig. 5.9, kurba 3) nga një kuadrant në tjetrin përmes pafundësisë. Në këtë rast, koeficienti a 0 i polinomit karakteristik (5.7) do të kalojë në vlerën zero, duke ndryshuar shenjën nga plus në minus.
Janë renditur llojet kryesore të ekuacioneve diferenciale të zakonshme të rendit më të lartë (DE) që mund të zgjidhen. Metodat për zgjidhjen e tyre janë përshkruar shkurtimisht. Janë dhënë lidhje me faqet me përshkrime të hollësishme të metodave dhe shembujve të zgjidhjes.
përmbajtjaShiko gjithashtu: Ekuacionet diferenciale të rendit të parë
Ekuacionet diferenciale të pjesshme lineare të rendit të parë
Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë, duke lejuar reduktimin e rendit
Ekuacione të zgjidhura me integrim të drejtpërdrejtë
Merrni parasysh ekuacionin diferencial të mëposhtëm:
.
Ne integrojmë n herë.
;
;
e kështu me radhë. Ju gjithashtu mund të përdorni formulën:
.
Shih Ekuacionet diferenciale që mund të zgjidhen drejtpërdrejt integrim > > >
Ekuacionet që nuk përmbajnë në mënyrë eksplicite variablin e varur y
Zëvendësimi ul rendin e ekuacionit me një. Këtu është një funksion nga .
Shihni Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që nuk përmbajnë një funksion në mënyrë eksplicite > > >
Ekuacionet që nuk përfshijnë në mënyrë eksplicite variablin e pavarur x
.
Ne konsiderojmë se është një funksion i . Pastaj
.
Në mënyrë të ngjashme për derivatet e tjerë. Si rezultat, rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
Shihni Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që nuk përmbajnë një ndryshore eksplicite > > >
Ekuacionet homogjene në lidhje me y, y′, y′′, ...
Për të zgjidhur këtë ekuacion, bëjmë zëvendësimin
,
ku është një funksion i . Pastaj
.
Ne në mënyrë të ngjashme transformojmë derivatet, etj. Si rezultat, rendi i ekuacionit zvogëlohet me një.
Shih ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë që janë homogjene në lidhje me një funksion dhe derivatet e tij >>
Ekuacionet diferenciale lineare të rendit më të lartë
Le të shqyrtojmë ekuacioni diferencial linear homogjen i rendit të n-të:
(1)
,
ku janë funksionet e ndryshores së pavarur. Le të ketë n zgjidhje lineare të pavarura për këtë ekuacion. Pastaj vendim të përbashkët ekuacioni (1) ka formën:
(2)
,
ku janë konstante arbitrare. Vetë funksionet formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
Sistemi i zgjidhjes themelore të një ekuacioni linear homogjen të rendit të n-të janë n zgjidhje të pavarura lineare të këtij ekuacioni.
Le të shqyrtojmë ekuacioni diferencial johomogjen linear i rendit të n-të:
.
Le të ketë një zgjidhje të veçantë (ndonjë) për këtë ekuacion. Atëherë zgjidhja e përgjithshme ka formën:
,
ku është zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen (1).
Ekuacione diferenciale lineare me koeficientë konstante dhe të reduktueshme në to
Ekuacione lineare homogjene me koeficientë konstante
Këto janë ekuacionet e formës:
(3)
.
Këtu janë numrat realë. Për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme për këtë ekuacion, duhet të gjejmë n zgjidhje të pavarura në mënyrë lineare që formojnë një sistem themelor zgjidhjesh. Pastaj zgjidhja e përgjithshme përcaktohet me formulën (2):
(2)
.
Ne po kërkojmë një zgjidhje në formë. marrim ekuacioni karakteristik:
(4)
.
Nëse ky ekuacion ka rrënjë të ndryshme, atëherë sistemi themelor i zgjidhjeve ka formën:
.
Nëse në dispozicion rrënjë komplekse
,
atëherë ekziston edhe një rrënjë komplekse e konjuguar. Këto dy rrënjë korrespondojnë me zgjidhjet dhe , të cilat i përfshijmë në sistemin themelor në vend të zgjidhjeve komplekse dhe .
Shumë rrënjë shumëfishimet i përgjigjen zgjidhjeve lineare të pavarura: .
Shumë rrënjë komplekse shumëfishimet dhe vlerat e tyre komplekse të konjuguara korrespondojnë me zgjidhjet lineare të pavarura:
.
Ekuacione lineare johomogjene me një pjesë të veçantë johomogjene
Le të shqyrtojmë ekuacioni i formës
,
ku janë polinomet e shkallëve s 1
dhe s 2
; - e përhershme.
Së pari ne kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin homogjen (3). Nëse ekuacioni karakteristik (4) nuk përmban rrënjë, atëherë ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën:
,
Ku
;
;
s - më i madhi i s 1
dhe s 2
.
Nëse ekuacioni karakteristik (4) ka një rrënjë shumëfishim, atëherë ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë në formën:
.
Pas kësaj marrim zgjidhjen e përgjithshme:
.
Ekuacione lineare johomogjene me koeficientë konstante
Këtu ka tre zgjidhje të mundshme.
1)
Metoda Bernoulli.
Së pari, gjejmë ndonjë zgjidhje jozero të ekuacionit homogjen
.
Më pas bëjmë zëvendësimin
,
ku është një funksion i ndryshores x. Ne marrim një ekuacion diferencial për u, i cili përmban vetëm derivate të u në lidhje me x. Duke kryer zëvendësimin, marrim ekuacionin n - 1
- urdhri.
2)
Metoda lineare e zëvendësimit.
Le të bëjmë një zëvendësim
,
ku është një nga rrënjët e ekuacionit karakteristik (4). Si rezultat, marrim një ekuacion linear johomogjen me koeficientë konstante të rendit. Duke aplikuar vazhdimisht këtë zëvendësim, ne e reduktojmë ekuacionin origjinal në një ekuacion të rendit të parë.
3)
Metoda e variacionit të konstantave të Lagranzhit.
Në këtë metodë, së pari zgjidhim ekuacionin homogjen (3). Zgjidhja e tij duket si kjo:
(2)
.
Më tej supozojmë se konstantet janë funksione të ndryshores x. Atëherë zgjidhja e ekuacionit origjinal ka formën:
,
ku janë funksionet e panjohura. Duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal dhe duke vendosur disa kufizime, marrim ekuacione nga të cilat mund të gjejmë llojin e funksioneve.
ekuacioni i Euler-it
Bëhet fjalë për ekuacioni linear me koeficientë konstante zëvendësimi:
.
Megjithatë, për të zgjidhur ekuacionin e Euler-it, nuk ka nevojë të bëhet një zëvendësim i tillë. Ju mund të kërkoni menjëherë një zgjidhje për ekuacionin homogjen në formë
.
Si rezultat, marrim të njëjtat rregulla si për një ekuacion me koeficientë konstante, në të cilin në vend të një ndryshoreje ju duhet të zëvendësoni .
Referencat:
V.V. Stepanov, Kursi i ekuacioneve diferenciale, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksioni i problemeve në matematikën e lartë, "Lan", 2003.
Ekuacioni diferencial i zakonshëm është një ekuacion që lidh një variabël të pavarur, një funksion të panjohur të kësaj ndryshoreje dhe derivatet (ose diferencialet) e saj të renditjeve të ndryshme.
Në rregull ekuacioni diferencial quhet rendi i derivatit më të lartë që gjendet në të.
Përveç atyre të zakonshme, studiohen edhe ekuacionet diferenciale të pjesshme. Këto janë ekuacione që lidhen me variabla të pavarur, një funksion i panjohur i këtyre variablave dhe derivateve të tij të pjesshme në lidhje me të njëjtat variabla. Por ne vetëm do të shqyrtojmë ekuacionet diferenciale të zakonshme prandaj, për hir të shkurtësisë, do ta lëmë fjalën "i zakonshëm".
Shembuj të ekuacioneve diferenciale:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Ekuacioni (1) është i rendit të katërt, ekuacioni (2) është i rendit të tretë, ekuacionet (3) dhe (4) janë të rendit të dytë, ekuacioni (5) është i rendit të parë.
Ekuacioni diferencial n Rendi i th nuk duhet domosdoshmërisht të përmbajë një funksion të qartë, të gjithë derivatet e tij nga i pari në n-rendi i th dhe ndryshore e pavarur. Mund të mos përmbajë në mënyrë eksplicite derivate të urdhrave të caktuar, një funksion ose një ndryshore të pavarur.
Për shembull, në ekuacionin (1) nuk ka qartë derivate të rendit të tretë dhe të dytë, si dhe një funksion; në ekuacionin (2) - derivati i rendit të dytë dhe funksioni; në ekuacionin (4) - ndryshorja e pavarur; në ekuacionin (5) - funksionet. Vetëm ekuacioni (3) përmban në mënyrë eksplicite të gjitha derivatet, funksionin dhe variablin e pavarur.
Zgjidhja e një ekuacioni diferencial thirret çdo funksion y = f(x), kur zëvendësohet në ekuacion ai kthehet në një identitet.
Procesi i gjetjes së një zgjidhjeje për një ekuacion diferencial quhet i tij integrimin.
Shembulli 1. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit diferencial.
Zgjidhje. Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formën . Zgjidhja është gjetja e funksionit nga derivati i tij. Funksioni origjinal, siç dihet nga llogaritja integrale, është një antiderivativ për, d.m.th.
Kjo është ajo që është zgjidhje për këtë ekuacion diferencial . Duke ndryshuar në të C, do të marrim zgjidhje të ndryshme. Zbuluam se ka një numër të pafund zgjidhjesh për një ekuacion diferencial të rendit të parë.
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial n Rendi i saj është zgjidhja e tij, e shprehur në mënyrë eksplicite në lidhje me funksionin e panjohur dhe përmban n konstante arbitrare të pavarura, d.m.th.
Zgjidhja e ekuacionit diferencial në shembullin 1 është e përgjithshme.
Zgjidhja e pjesshme e ekuacionit diferencial quhet një zgjidhje në të cilën konstantave arbitrare u jepen vlera numerike specifike.
Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial dhe një zgjidhje të veçantë për 
.
Zgjidhje. Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit një numër herë të barabartë me rendin e ekuacionit diferencial.
,
.
Si rezultat, ne morëm një zgjidhje të përgjithshme -
të një ekuacioni diferencial të rendit të tretë të dhënë.
Tani le të gjejmë një zgjidhje të veçantë në kushtet e specifikuara. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat e tyre në vend të koeficientëve arbitrarë dhe merrni
.
Nëse, përveç ekuacionit diferencial, kushti fillestar jepet në formën , atëherë një problem i tillë quhet Problem cauchy . Zëvendësoni vlerat dhe në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit dhe gjeni vlerën e një konstante arbitrare C, dhe pastaj një zgjidhje të veçantë të ekuacionit për vlerën e gjetur C. Kjo është zgjidhja e problemit Cauchy.
Shembulli 3. Zgjidh problemin e Cauchy-t për ekuacionin diferencial nga Shembulli 1 subjekti te .
Zgjidhje. Le të zëvendësojmë vlerat nga gjendja fillestare në zgjidhjen e përgjithshme y = 3, x= 1. Ne marrim
Ne shkruajmë zgjidhjen e problemit Cauchy për këtë ekuacion diferencial të rendit të parë:
Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale, edhe ato më të thjeshta, kërkon aftësi të mira integrimi dhe derivati, duke përfshirë funksionet komplekse. Kjo mund të shihet në shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 4. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial.
Zgjidhje. Ekuacioni është shkruar në një formë të tillë që ju mund të integroni menjëherë të dyja palët.
.
Ne aplikojmë metodën e integrimit me ndryshim të ndryshores (zëvendësim). Le të jetë atëherë.
Kërkohet të merret dx dhe tani - vëmendje - ne e bëjmë këtë sipas rregullave të diferencimit të një funksioni kompleks, pasi x dhe ka funksion kompleks("mollë" - nxjerrje rrenja katrore ose, çfarë është e njëjta gjë - ngritja në fuqi "një e gjysmë" dhe "mishi i grirë" është vetë shprehja nën rrënjë):
Ne gjejmë integralin:
Kthimi te ndryshorja x, marrim:
.
Kjo është zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial të shkallës së parë.
Jo vetëm aftësitë nga seksionet e mëparshme matematikë e lartë do të kërkohen në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale, por edhe aftësi nga matematika fillore, pra nga shkolla. Siç është përmendur tashmë, në një ekuacion diferencial të çdo rendi mund të mos ketë një ndryshore të pavarur, domethënë një ndryshore x. Njohuritë për përmasat nga shkolla që nuk janë harruar (megjithatë, në varësi të kujt) nga shkolla do të ndihmojnë në zgjidhjen e këtij problemi. Ky është shembulli tjetër.
Për një kuptim më të thellë të asaj që po ndodh në këtë artikull, mund të lexoni.Konsideroni një sistem homogjen të ekuacioneve diferenciale të rendit të tretë
Këtu x(t), y(t), z(t) janë funksionet e kërkuara në intervalin (a, b), dhe ij (i, j =1, 2, 3) janë numra realë.
Le të shkruajmë sistemin origjinal në formë matrice
,
Ku 
Ne do të kërkojmë një zgjidhje për sistemin origjinal në formë
,
Ku 
, C 1 , C 2 , C 3 janë konstante arbitrare.
Për të gjetur sistemin themelor të zgjidhjeve, duhet të zgjidhni të ashtuquajturin ekuacion karakteristik 
Ky ekuacion është një ekuacion algjebrik i rendit të tretë, prandaj ka 3 rrënjë. Rastet e mëposhtme janë të mundshme:
1. Rrënjët (eigenvlerat) janë reale dhe të dallueshme.
2. Ndër rrënjët (eigenvlerat) ka të ndërlikuara të konjuguara, le
- rrënjë e vërtetë
=
3. Rrënjët (eigenvlerat) janë reale. Një nga rrënjët është një shumëfish.
Për të kuptuar se si të veprojmë në secilin prej këtyre rasteve, do të na duhen:
Teorema 1.
Le të jenë eigenvlerat e dallueshme në çift të matricës A, dhe le të jenë eigenvektorët e tyre përkatës. Pastaj
formojnë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal.
Komentoni
.
Le të jetë eigenvlera reale e matricës A (rrënja reale e ekuacionit karakteristik) dhe le të jetë eigenvektori përkatës.
= - eigenvlerat komplekse të matricës A, - eigenvektori përkatës. Pastaj
(Re - pjesa reale, Im - pjesa imagjinare)
formojnë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal. (d.m.th. dhe = konsiderohen së bashku)
Teorema 3.
Le të jetë rrënja e ekuacionit karakteristik të shumëfishimit 2. Atëherë sistemi origjinal ka 2 zgjidhje lineare të pavarura të formës 
,
ku , janë konstante vektoriale. Nëse shumëfishimi është 3, atëherë ekzistojnë 3 zgjidhje linearisht të pavarura të formës
.
Vektorët gjenden duke zëvendësuar zgjidhjet (*) dhe (**) në sistemin origjinal.
Për të kuptuar më mirë metodën për gjetjen e zgjidhjeve të formës (*) dhe (**), shihni shembujt tipikë më poshtë.
Tani le të shohim më në detaje secilin nga rastet e mësipërme.
1. Algoritmi i zgjidhjes sisteme homogjene ekuacionet diferenciale të rendit të tretë në rastin e rrënjëve reale të ndryshme të ekuacionit karakteristik.
Duke pasur parasysh sistemin
1) Ne hartojmë një ekuacion karakteristik
- vlerat vetjake reale dhe të dallueshme të 9 rrënjëve të këtij ekuacioni).
2) Ne ndërtojmë ku 
3) Ne ndërtojmë ku
- eigenvektor i matricës A, që korrespondon me , d.m.th. - çdo zgjidhje sistemi 
4) Ne ndërtojmë ku
- eigenvektor i matricës A, që korrespondon me , d.m.th. - çdo zgjidhje sistemi 
5)
përbëjnë një sistem themelor zgjidhjesh. Më pas shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal në formë
,
këtu C 1, C 2, C 3 janë konstante arbitrare,
,
ose në formë koordinative 
Le të shohim disa shembuj:
Shembulli 1.
2) Gjeni 
3) Ne gjejmë 
4) Funksionet vektoriale 
ose në shënimin koordinativ 
Shembulli 2.
1) Ne hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik: 
2) Gjeni 
3) Ne gjejmë 
4) Gjeni 
5) Funksionet vektoriale 
formojnë një sistem themelor. Zgjidhja e përgjithshme ka formën 
ose në shënimin koordinativ 
2. Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve homogjene të ekuacioneve diferenciale të rendit të tretë në rastin e rrënjëve komplekse të konjuguara të ekuacionit karakteristik.
- rrënjë e vërtetë,
2) Ne ndërtojmë ku
 |
3) Ne ndërtojmë
| - eigenvektor i matricës A, që korrespondon me , d.m.th. kënaq sistemin |  |
Këtu Re është pjesa e vërtetë
Im - pjesë imagjinare
4) përbëjnë një sistem themelor zgjidhjesh. Më pas shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal:
, Ku
C 1, C 2, C 3 janë konstante arbitrare.
Shembulli 1.
1) Hartoni dhe zgjidhni ekuacionin karakteristik 
2) Ne po ndërtojmë
3) Ne ndërtojmë
, Ku
Le të zvogëlojmë ekuacionin e parë me 2. Më pas ekuacionin e dytë i shtojmë ekuacionin e parë të shumëzuar me 2i dhe ekuacionit të tretë zbresim të parin shumëzuar me 2. 
Me tutje 
Prandaj, 
4) - sistemi themelor i zgjidhjeve. Le të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal: 
Shembulli 2.
1) Hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik 
2) Ne po ndërtojmë
(d.m.th. dhe të konsideruara së bashku), ku
Shumëzoni ekuacionin e dytë me (1-i) dhe zvogëloni me 2. 
Prandaj, 
3)
Zgjidhja e përgjithshme e sistemit origjinal
ose 
2. Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve homogjene të ekuacioneve diferenciale të rendit të tretë në rastin e rrënjëve të shumëfishta të ekuacionit karakteristik.
Hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik
Ka dy raste të mundshme: 
Shqyrtoni rastin a) 1), ku
| - Eigenvektori i matricës A, që korrespondon me , d.m.th. kënaq sistemin | |
2) Le t'i referohemi Teoremës 3, nga e cila rezulton se ekzistojnë dy zgjidhje linearisht të pavarura të formës 
,
ku , janë vektorë konstante. Le t'i marrim për .
3) - sistemi themelor i zgjidhjeve. Më pas shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal:
Shqyrtoni rastin b):
1) Le t'i referohemi Teoremës 3, nga e cila rezulton se ekzistojnë tre zgjidhje linearisht të pavarura të formës
,
ku , , janë vektorë konstante. Le t'i marrim për .
2) - sistemi themelor i zgjidhjeve. Më pas shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal.
Për të kuptuar më mirë se si të gjeni zgjidhje të formës (*), merrni parasysh disa shembuj tipikë.
Shembulli 1.
Ne hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik: 
Kemi rastin a)
1) Ne ndërtojmë 
, Ku
Nga ekuacioni i dytë zbresim të parin:
? Rreshti i tretë është i ngjashëm me të dytin, ne e kalojmë atë. Zbrisni të dytën nga ekuacioni i parë: 
2) = 1 (shumë nga 2)
Sipas T.3, kjo rrënjë duhet të korrespondojë me dy zgjidhje të pavarura lineare të formës .
Le të përpiqemi të gjejmë të gjitha zgjidhjet lineare të pavarura për të cilat, d.m.th. zgjidhjet e formës
.
Një vektor i tillë do të jetë zgjidhje nëse dhe vetëm nëse eigenvektori i korrespondon =1, d.m.th.
, ose 
, rreshtat e dytë dhe të tretë janë të ngjashëm me të parën, hidhini jashtë. 
Sistemi është reduktuar në një ekuacion. Rrjedhimisht, ekzistojnë dy të panjohura të lira, për shembull, dhe . Le t'u japim atyre fillimisht vlerat 1, 0; atëherë vlerat 0, 1. Marrim zgjidhjet e mëposhtme: 
.
Prandaj, 
.
3) - sistemi themelor i zgjidhjeve. Mbetet për të shkruar zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal: 
. .. Kështu, ka vetëm një zgjidhje të formës Le të zëvendësojmë X 3 në këtë sistem: Kaloni rreshtin e tretë (është i ngjashëm me të dytin). Sistemi është konsistent (ka zgjidhje) për çdo c. Le të jetë c=1. 
ose 
Po ngarkohet...