Mësime mbi programin COMPASS.

Mësimi #12. Ndërtimi i rrathëve në Compass 3D.
Rrethe tangente me kthesat, një rreth i bazuar në dy pika.

Compass 3D ka disa mënyra për të ndërtuar rrathë tangjentë:

• rrethi tangjent me kurbën e 1-rë;
• rrethi tangjent me 2 kthesa;
• rrethi tangjent me 3 kthesa;

Për të ndërtuar një rreth tangjent me kurbën, shtypni butonin "Rrethi tangjent me 1 kurbë" në panelin kompakt ose në menynë e sipërme, shtypni komandat në mënyrë sekuenciale "Mjetet" - "Gjeometria" - "Rrathët" - "Rrethi tangjent me 1 kurbë."

Duke përdorur kursorin, fillimisht tregojmë lakoren nëpër të cilën do të kalojë rrethi, më pas specifikojmë pikat 1 dhe 2 të këtij rrethi (koordinatat e pikave mund të futen në panelin e vetive).

Fantazmat e të gjitha opsioneve të mundshme të rrethit do të shfaqen në ekran. Duke përdorur kursorin, zgjidhni ato që na duhen dhe rregulloni ato duke klikuar butonin "Krijo objekt". Ne e përfundojmë ndërtimin duke klikuar butonin "Aborto komanda".

Përpara se të specifikoni pikën e dytë, mund të vendosni një vlerë të rrezes ose diametrit në fushën përkatëse në panelin e vetive. Një rreth i tillë nuk do të ndërtohet gjithmonë. Kjo varet nga rrezja ose diametri i dhënë. Pamundësia e ndërtimit do të tregohet nga zhdukja e fantazmës pas futjes së vlerës së rrezes.

Nëse pika qendrore e rrethit dihet, ajo mund të vendoset edhe në panelin e vetive.

Për të ndërtuar një rreth tangjent me dy kthesa, shtypni butonin "Rrethi tangjent me 2 kthesa" në një panel kompakt. Ose në menynë e sipërme, shtypni komandat në mënyrë sekuenciale "Mjetet" - "Gjeometria" - "Rrathët" - "Rrethi tangjent me 2 kthesa".

Duke përdorur kursorin, ne tregojmë objektet që rrethi duhet të prekë. Fantazmat e të gjitha opsioneve të mundshme të ndërtimit do të shfaqen në ekran.

Nëse pozicioni i një pike që i përket rrethit dihet, atëherë duhet të specifikohet duke përdorur kursorin, ose koordinatat duhet të futen në panelin e vetive. Ju gjithashtu mund të vendosni vlerat e rrezes ose diametrit në panelin e vetive. Për të përfunduar ndërtimin, zgjidhni fantazmën e dëshiruar dhe shtypni butonat me radhë "Krijoni një objekt" Dhe "Abort komandën".

Për të ndërtuar një rreth tangjent me tre kthesa, shtypni butonin "Rrethi tangjent me 3 kthesa" në një panel kompakt. Ose në menynë e sipërme, shtypni komandat në mënyrë sekuenciale "Mjetet" - "Gjeometria" - "Rrathët" - "Rrethi tangjent me 3 kthesa."

Ndërtimet janë të ngjashme me ato të mëparshme, kështu që bëjeni vetë, rezultati tregohet në figurën më poshtë.

Një mënyrë tjetër për të gjetur qendrën (për shembull, të produkteve të kthyera) - duke përdorur një mjet të veçantë, një "gjetës qendror" - bazohet në vetitë e të ashtuquajturave. vijat tangjente. Një tangjente me një rreth është çdo drejtëz që, në pikën e takimit me rrethin, është pingul me rrezen e tërhequr në këtë pikë. Për shembull, në ferr. 174 drejt AB, CD Dhe E.F.- tangjentet në një rreth ACE. Pikat A, C, E quhen “pikat e prekjes”. E veçanta e një drejtëze tangjente është se ajo ka një rreth me vetëm një pikë të përbashkët. Në të vërtetë, nëse tangjentja AB(Fig. 175) ishte me një rreth, përveç kësaj ka një pikë tjetër të përbashkët, për shembull, ME, më pas, duke e lidhur me qendrën, do të merrnim një trekëndësh dykëndësh SOA me dy kënde të drejta SA, dhe kjo, ne e dimë, është e pamundur (pse?).

Shpesh hasim linja tangjente me një rreth jetën praktike. Një litar i hedhur mbi një bllok merr në pjesët e tensionuara pozicionin e vijave tangjente me rrethin e bllokut. Rripat e ngritësve (kombinimet e disa blloqeve, Fig. 176) janë të vendosura përgjatë vijës së tangjentëve të përbashkët me perimetrin e rrotave. Rripat e transmisionit të rrotullave gjithashtu zënë pozicionin e tangjentave të përbashkëta në rrathët e rrotullave të tangjentave "të jashtme" në të ashtuquajturat. transmetim i hapur dhe "i brendshëm" - në transmetim të mbyllur.

Si të vizatoni një tangjente me të përmes një pike të caktuar jashtë rrethit? Me fjalë të tjera: si përmes një pike A(vizatimi 177) vizatoni një vijë të drejtë AB në kënd ABO ishte e drejtë? Kjo bëhet si më poshtë. Lidheni A me qendër RRETH(vizatimi 178). Vija e drejtë ndahet në gjysmë dhe rreth mesit të saj NË, si qendër, përshkruani një rreth me rreze NË. Me fjalë të tjera, në OA ndërtoni një rreth si në një diametër. Pikat e kryqëzimit ME Dhe D të dy rrathët janë të lidhur me A vija të drejta: këto do të jenë tangjente.

Për ta verifikuar këtë, le të vizatojmë nga qendra te pikat ME Dhe D linjat ndihmëse OS Dhe OD. Kënde GREZA Dhe ODA- drejt, meqenëse janë të gdhendura në një gjysmërreth. Dhe kjo do të thotë se OS Dhe O.D.– tangjentet me rrethin.

Duke marrë parasysh ndërtimin tonë, ne shohim, ndër të tjera, se nga çdo pikë jashtë rrethit ne mund të tërheqim dy tangjente me të. Është e lehtë të verifikohet që të dyja këto tangjente janë të së njëjtës gjatësi, d.m.th A.C.= pas Krishtit. Në të vërtetë, periudhë RRETH po aq larg nga anët e këndit A; Do të thotë OAështë një barazpjesëtues, dhe për rrjedhojë trekëndëshat OAS Dhe OAD e barabartë ( SUS).

Gjatë rrugës, ne konstatuam se vija e drejtë që përgjysmon këndin midis të dy tangjentave kalon përmes qendrës së rrethit. Kjo është baza për hartimin e pajisjes për gjetjen e qendrës së produkteve të kthyera - qendrën e gjetësit (Fig. 179). Ai përbëhet nga dy rreshta AB Dhe AC, fiksuar në një kënd, dhe sundimtari i tretë BD, buza e së cilës BD përgjysmon këndin ndërmjet skajeve

dy rreshtat e parë. Pajisja aplikohet në produktin e rrumbullakët në mënyrë që skajet e sundimtarëve ngjitur me të AB Dhe dielli ranë në kontakt me perimetrin e produktit. Në këtë rast, skajet do të kenë vetëm një pikë të përbashkët me rrethin, kështu që skaji i vizores duhet, sipas veçorisë së treguar tani të tangjenteve, të kalojë nëpër qendrën e rrethit. Pasi të keni vizatuar diametrin e një rrethi në produkt duke përdorur një vizore, aplikoni gjetësin qendror në produkt në një pozicion tjetër dhe vizatoni një diametër të ndryshëm. Qendra e dëshiruar do të jetë në kryqëzimin e të dy diametrave.

Nëse duhet të vizatoni një tangjente të përbashkët me dy rrathë, domethënë, vizatoni një vijë të drejtë që do të prekë dy rrathë në të njëjtën kohë, atëherë veproni si më poshtë. Pranë qendrës së një rrethi, për shembull, rreth NË(Fig. 180), përshkruani një rreth ndihmës me një rreze të barabartë me diferencën midis rrezeve të të dy rrathëve. Pastaj nga pika A vizatoni tangjentet AC Dhe pas Krishtit në këtë rreth ndihmës. Nga pikat A Dhe NË vizatoni vija të drejta pingul me AC Dhe pas Krishtit, derisa të kryqëzohen me rrathët e dhënë në pika E, F, H Dhe G. Linjat e drejta që lidhen E Me F, G Me H, do të ketë tangjente të përbashkëta në këto rrathë, pasi ato janë pingul me rrezet AE, CF, AG Dhe D.H..

Përveç dy tangjentave që sapo janë vizatuar dhe që quhen të jashtme, është e mundur të vizatohen edhe dy tangjente të tjera, të vendosura si ferr. 181 (tangjentet e brendshme). Për të kryer këtë ndërtim, përshkruani rreth qendrës së një prej këtyre rrathëve - për shembull, rreth NË– një rreth ndihmës me rreze të barabartë me shumën e rrezeve të të dy rrathëve. Nga pika A vizatoni tangjentet në këtë rreth ndihmës. Lexuesit do të jenë në gjendje të zbulojnë vetë rrjedhën e mëtejshme të ndërtimit.

Përsëritni pyetjet

Si quhet një tangjente? Sa pika të përbashkëta kanë tangjentja dhe rrethi? – Si të vizatoni një tangjente me një rreth përmes një pike që ndodhet jashtë rrethit? – Sa tangjente të tilla mund të vizatohen? – Çfarë është një centrifugë? – Në çfarë bazohet pajisja e tij? – Si të vizatoni një tangjente të përbashkët me dy rrathë? - Sa tangjente ka?

Ndërtime gjeometrike

Ndërtimi i tangjentëve në rrathë

Le të shqyrtojmë problemin që qëndron në themel të zgjidhjes së problemeve të tjera që përfshijnë vizatimin e tangjentëve në rrathë.

Lëreni nga pikaA(Fig. 1) është e nevojshme të vizatohen tangjentet në rreth me qendër në pikëRRETH.

Për të ndërtuar me saktësi tangjentet, është e nevojshme të përcaktohen pikat e tangjencës së vijave me rrethin. Për këtë pikëAduhet të lidhet me një thurjeRRETHdhe ndaje segmentinOAnë gjysmë. Nga mesi i këtij segmenti - pikëME, si nga qendra, përshkruani një rreth, diametri i të cilit duhet të jetë i barabartë me segmentinOA. PikatTE1 DheTE2 kryqëzimi i rrathëve të përqendruar në një pikëMEdhe me qendër në pikëRRETHjanë pikat e tangjencës së drejtëzaveAK1 DheAK2 në një rreth të caktuar.

Korrektësia e zgjidhjes së problemit konfirmohet nga fakti se rrezja e rrethit të tërhequr në pikën e kontaktit është pingul me tangjenten me rrethin. KëndeNe rregull1 ADheNe rregull2 Ajanë të drejta sepse mbështeten në diametërSHArrethi me qendër në pikëME.

Oriz. 1.

Kur ndërtohen tangjentet në dy rrathë, dallohen tangjentete brendshmeDhee jashtme. Nëse qendrat e rrathëve të dhënë ndodhen në njërën anë të tangjentes, atëherë ajo konsiderohet e jashtme, dhe nëse qendrat e rrathëve janë në anët e kundërta të tangjentes, ajo konsiderohet e brendshme.

RRETH1 DheRRETH2 R1 DheR2 . Kërkohet të vizatohen tangjentet e jashtme në rrathët e dhënë.

Për ndërtim të saktë, është e nevojshme të përcaktohen pikat tangjente të drejtëzave dhe rrathëve të dhënë. Nëse rrezet e rrathëve me qendraRRETH1 DheRRETH2 filloni të zvogëloheni me të njëjtën vlerë, atëherë mund të merrni një seri rrathësh koncentrikë me diametra më të vegjël. Për më tepër, në çdo rast të zvogëlimit të rrezes, tangjentet me rrathët më të vegjël do të jenë paralele me ato të dëshiruara. Pas zvogëlimit të të dy rrezeve me madhësinë e rrezes më të vogëlR2 rreth me qendërRRETH2 kthehet në një pikë, dhe rrethi me qendërRRETH1 do të shndërrohet në një rreth koncentrik me rrezeR3 , e barabartë me diferencën ndërmjet rrezeveR1 DheR2 .

Duke përdorur metodën e përshkruar më parë, nga pikaRRETH2 vizatoni tangjentet e jashtme në një rreth me rrezeR3 , lidhni pikatRRETH1 DheRRETH2 , pjesëtojeni me një pikëMEsegmenti i linjësRRETH1 RRETH2 në gjysmë dhe vizatoni një rrezeCO1 një hark, kryqëzimi i të cilit me një rreth të caktuar do të përcaktojë pikat e tangjences së drejtëzaveRRETH2 TE1 DheRRETH2 TE2 .

PikaA1 DheA2 tangjenca e drejtëzave të kërkuara me rrethin më të madh është e vendosur në vazhdim të vijave të drejtaRRETH1 TE1 DheRRETH1 TE2 . PikatNË1 DheNË2 vijat tangjente të rrethit më të vogël janë pingul me bazënRRETH2 respektivisht te tangjentet ndihmëseRRETH2 TE1 DheRRETH2 TE2 . Duke vendosur pikat e kontaktit, mund të vizatoni linjat e drejta të dëshiruaraA1 NË1 DheA2 NË2 .

Oriz. 2.

Le të jepen dy rrathë me qendra në pikaRRETH1 DheRRETH2 (Fig. 2), duke pasur respektivisht rrezeR1 DheR2 . Kërkohet të vizatohen tangjentet e brendshme në rrathët e dhënë.

Për të përcaktuar pikat e tangjencës së drejtëzave dhe rrathëve, përdorim arsyetim të ngjashëm me atë të dhënë kur zgjidhim problemin e mëparshëm. Nëse zvogëloni rrezenR2 në zero, pastaj rrethi me qendërRRETH2 shkoni në pikën. Megjithatë, në këtë rast, për të ruajtur paralelizmin e tangjentave ndihmëse me rrezen e dëshiruarR1 duhet të rritet me një madhësiR2 dhe vizatoni një rreth me rrezeR3 , e barabartë me shumën rrezetR1 DheR2 .

Nga pikaRRETH2 vizatoni tangjentet në një rreth me rrezeR3 , pse lidhni pikatRRETH1 DheRRETH2 , pjesëtojeni me një pikëMEsegmenti i linjësRRETH1 RRETH2 në gjysmë dhe vizatoni një hark rrethi me qendër në pikënMEdhe rrezeCO1 . Kryqëzimi i një harku me një rreth me rrezeR3 do të përcaktojë pozicionin e pikaveTE1 DheTE2 tangjenca e linjave ndihmëseRRETH2 TE1 DheRRETH2 TE2 .

PikaA1 DheA2 R1 është në kryqëzimin e këtij rrethi me segmentinRRETH1 TE1 DheRRETH1 TE2 . Për të përcaktuar pikatNË 1DheNË 2tangjenca e vijave të drejta të kërkuara me një rreth me rrezeR2 rrjedh nga pikaO2rivendosni pingulet në vija ndihmëseO2K1DheO2K2derisa të kryqëzohet me një rreth të caktuar. Duke pasur pikat e tangjencës ndërmjet vijave të dëshiruara dhe rrathëve të dhënë, vizatojmë vija të drejtaA1B1DheA2B2.

Oriz. 3.

Në këtë kapitull i kthehemi një prej kryesoreve forma gjeometrike- në rreth. Do të vërtetohen teorema të ndryshme që lidhen me rrathët, duke përfshirë teorema rreth rrathëve të gdhendur në një trekëndësh, katërkëndësh dhe rrathë të rrethuar rreth këtyre figurave. Për më tepër, tre pohime do të vërtetohen për pikat e jashtëzakonshme të një trekëndëshi - pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të trekëndëshit, pika e kryqëzimit të lartësive të tij dhe pika e kryqëzimit të përgjysmuesve pingul me brinjët e trekëndëshit. Dy thëniet e para u formuluan në klasën e 7-të, dhe tani ne mund t'i vërtetojmë ato.

Le të zbulojmë se sa pika të përbashkëta mund të ketë një drejtëz dhe një rreth, në varësi të pozicionit të tyre relativ. Është e qartë se nëse një vijë kalon nëpër qendrën e një rrethi, atëherë ajo kryqëzon rrethin në dy pika - skajet e diametrit që shtrihen në këtë vijë.

Le të mos kalojë drejtëza p nga qendra O e një rrethi me rreze r. Le të vizatojmë një pingul OH me drejtëzën p dhe të shënojmë me shkronjën d gjatësinë e kësaj pingule, domethënë distancën nga qendra e ky rreth në vijën e drejtë (Fig. 211).

Oriz. 211

Le të eksplorojmë marrëveshje reciproke drejtëza dhe rrethi në varësi të marrëdhënies ndërmjet d dhe r. Janë tre raste të mundshme.

1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Rrjedhimisht, pikat A dhe B shtrihen në rreth dhe, për rrjedhojë, janë pika të përbashkëta të drejtëzës p dhe rrethit të dhënë.

Le të vërtetojmë se drejtëza p dhe rrethi i dhënë nuk kanë pika të tjera të përbashkëta. Le të supozojmë se ata kanë një pikë më shumë të përbashkët C. Atëherë OD mediana e trekëndëshit dykëndësh O AC e tërhequr në bazën AC është lartësia e këtij trekëndëshi, prandaj OD ⊥ p. Segmentet OD dhe OH nuk përkojnë, pasi mesi D i segmentit AC nuk përkon me pikën H - mesi i segmentit AB. Ne zbuluam se nga pika O dy pingule (segmentet OH dhe OD) janë tërhequr në drejtëzën p, gjë që është e pamundur.

Kështu që, nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e vogël se rrezja e rrethit (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . Në këtë rast, vija e drejtë quhet sekant në lidhje me rrethin.

2) d = r. Në këtë rast OH = r, d.m.th. pika H shtrihet në rreth dhe, për rrjedhojë, është pika e përbashkët e drejtëzës dhe rrethit (Fig. 211.6). Drejtëza p dhe rrethi nuk kanë pika të tjera të përbashkëta, pasi për çdo pikë M të drejtëzës p, të ndryshme nga pika H, ​​OM > OH = r (OM e prirur është më e madhe se OH pingul), dhe, për rrjedhojë, , pika M nuk shtrihet në rreth.

Pra, nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është e barabartë me rrezen e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët.

3) d > r. Në këtë rast, OH > r, pra, për çdo pikë M të drejtëzës r OM ≥ OH > r (Fig. 211, c). Prandaj, pika M nuk shtrihet në rreth.

Pra, nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e madhe se rrezja e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta.

Tangjent në një rreth

Kemi vërtetuar se një drejtëz dhe një rreth mund të kenë një ose dy pika të përbashkëta dhe mund të mos kenë asnjë pikë të përbashkët.

Drejtëza që ka vetëm një pikë të përbashkët me rrethin quhet tangjente me rrethin dhe pika e përbashkët e tyre quhet pika tangjente e drejtëzës dhe rrethit. Në figurën 212, drejtëza p është tangjente me një rreth me qendër O, A është pika e tangjences.

Le të provojmë një teoremë për vetinë e një tangjente me një rreth.

Teorema

Dëshmi

Le të jetë p tangjentja me rrethin me qendër O, A pika e tangjences (shih Fig. 212). Le të vërtetojmë se tangjentja p është pingul me rrezen OA.

Oriz. 212

Le të supozojmë se nuk është kështu. Atëherë rrezja OA është e prirur në drejtëzën r. Meqenëse pingulja e tërhequr nga pika O në drejtëzën p është më e vogël se OA e pjerrët, distanca nga qendra O e rrethit në drejtëzën p është më e vogël se rrezja. Rrjedhimisht, drejtëza p dhe rrethi kanë dy pika të përbashkëta. Por kjo bie ndesh me kushtin: drejtëza p është tangjente.

Kështu, drejtëza p është pingul me rrezen OA. Teorema është vërtetuar.

Konsideroni dy tangjente të një rrethi me qendër O, duke kaluar nëpër pikën A dhe duke prekur rrethin në pikat B dhe C (Fig. 213). Le t'i quajmë segmentet AB dhe AC segmentet tangjente të tërhequra nga një pikë A. Ata kanë pronën e mëposhtme:

Oriz. 213

Për të vërtetuar këtë pohim, le t'i drejtohemi figurës 213. Sipas teoremës për vetinë tangjente, këndet 1 dhe 2 janë kënde të drejta, prandaj trekëndëshat ABO dhe ACO janë kënddrejtë. Ato janë të barabarta sepse kanë një hipotenuzë të përbashkët OA dhe këmbë të barabarta OB dhe OS. Prandaj, AB = AC dhe ∠3 = ∠4, që është ajo që duhej vërtetuar.

Le të provojmë tani teoremën në të kundërt me teoremën për vetinë tangjente (vetia tangjente).

Teorema

Dëshmi

Nga kushtet e teoremës del se kjo rreze është një pingul e tërhequr nga qendra e rrethit në drejtëzën e dhënë. Prandaj, distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është e barabartë me rrezen, dhe, për rrjedhojë, vija e drejtë dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Por kjo do të thotë se kjo vijë është tangjente me rrethin. Teorema është vërtetuar.

Zgjidhja e problemeve që përfshijnë ndërtimin e një linje tangjente bazohet në këtë teoremë. Le të zgjidhim një nga këto probleme.

Detyrë

Nëpër një pikë të dhënë A të një rrethi me qendër O, vizatoni një tangjente me këtë rreth.

Zgjidhje

Të vizatojmë një drejtëz O A dhe më pas të ndërtojmë një drejtëz p që kalon në pikën A pingul me drejtëzën O A. Sipas kriterit të tangjentës, drejtëza p është tangjentja e dëshiruar.

Detyrat

631. Le të jetë d distanca nga qendra e një rrethi me rreze r në një drejtëz r. Sa është pozicioni relativ i drejtëzës r dhe rrethit nëse: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?

632. Largësia nga pika A deri në qendrën e rrethit është më e vogël se rrezja e rrethit. Vërtetoni se çdo drejtëz që kalon në pikën A është sekant në lidhje me rrethin e dhënë.

633. Jepet një katror O ABC, brinja e të cilit është 6 cm dhe një rreth me qendër në pikën O me rreze 5 cm. Cilat nga drejtëzat OA, AB, BC dhe AC janë sekante në lidhje me këtë rreth?

634. Rrezja OM e një rrethi me qendër O e ndan përgjysmë kordën AB. Vërtetoni se tangjentja e tërhequr nëpër pikën M është paralele me kordën AB.

635. Në pikën A të rrethit vizatohen një tangjente dhe një kordë e barabartë me rrezen e rrethit. Gjeni këndin midis tyre.

636. Në skajet e kordës AB tërhiqen dy tangjente, të barabarta me rrezen e rrethit, që priten në pikën C. Gjeni këndin AC B.

637. Këndi ndërmjet diametrit AB dhe kordës AC është 30°. Në pikën C tërhiqet një tangjente dhe e pret drejtëzën AB në pikën D. Vërtetoni se trekëndëshi ACD është dykëndësh.

638. Drejtëza AB prek një rreth me qendër O me rreze r në pikën B. Gjeni AB nëse OA = 2 cm dhe r = 1,5 cm.

639. Drejtëza AB prek një rreth me qendër O me rreze r në pikën B. Gjeni AB nëse ∠AOB = 60° dhe r = 12 cm.

640. Jepet rrethi me qendër O me rreze 4,5 cm dhe pika A. Në pikën A tërhiqen dy tangjente të rrethit. Gjeni këndin ndërmjet tyre nëse OA = 9 cm.

641. Segmentet AB dhe AC janë segmente tangjente në një rreth me qendër O, të tërhequr nga pika A. Gjeni këndin BAC nëse mesi i segmentit AO shtrihet në rreth.

642. Në figurën 213 OB = 3cm, CM. = 6 cm Gjeni AB, AC, ∠3 dhe ∠4.

643. Drejtëzat AB dhe AC prekin një rreth me qendër O në pikat B dhe C. Gjeni BC nëse ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.

644. Drejtëzat MA dhe MB prekin një rreth me qendër O në pikat A dhe B. Pika C është simetrike me pikën O në raport me pikën B. Vërtetoni se ∠AMC = 3∠BMC.

645. Nga skajet e diametrit AB të një rrethi të caktuar, pingulet AA 1 dhe BB 1 tërhiqen me tangjenten, e cila nuk është pingul me diametrin AB. Vërtetoni se pika e tangjencës është mesi i segmentit A 1 B 1 .

646. Në trekëndëshin ABC, këndi B është i drejtë. Vërtetoni se: a) drejtëza BC është tangjente me një rreth me qendër A me rreze AB; b) drejtëza AB është tangjente me një rreth me qendër C me rreze CB; c) drejtëza AC nuk është tangjente me rrathët me qendër B dhe rreze BA dhe BC.

647. Segmenti AN është një pingul i tërhequr nga pika A në një drejtëz që kalon nga qendra O e një rrethi me rreze 3 cm. Është drejtëza AN tangjente me rrethin nëse: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?

648. Ndërtoni një tangjente me një rreth me qendër O: a) paralel me drejtëzën e dhënë; b) pingul me një drejtëz të caktuar.

Përgjigjet për problemet

Direkt ( MN), duke pasur vetëm një pikë të përbashkët me rrethin ( A), thirri tangjente te rrethi.

Pika e përbashkët quhet në këtë rast pikë kontakti.

Mundësia e ekzistencës tangjente, dhe, për më tepër, të tërhequr nëpër çdo pikë rrethi, si pikë tangjence, vërtetohet si më poshtë teorema.

Le të kërkohet të kryhet rrethi me qendër O tangjente përmes pikës A. Për ta bërë këtë nga pika A, si nga qendra, ne përshkruajmë hark rreze A.O., dhe nga pika O, si qendër, ne e kryqëzojmë këtë hark në pikat B Dhe ME një zgjidhje busull e barabartë me diametrin e rrethit të dhënë.

Pas shpenzimeve pastaj akorde O.B. Dhe OS, lidhni pikën A me pika D Dhe E, në të cilën këto korda kryqëzohen me një rreth të caktuar. Direkt pas Krishtit Dhe A.E. - tangjentet në një rreth O. Në të vërtetë, nga ndërtimi është e qartë se trekëndëshat AOB Dhe AOC izosceles(AO = AB = AC) me baza O.B. Dhe OS, e barabartë me diametrin e rrethit O.

Sepse O.D. Dhe O.E.- rreze, atëherë D - e mesme O.B., A E- mes OS, Do të thotë pas Krishtit Dhe A.E. - mesataret, të tërhequr në bazat e trekëndëshave dykëndësh, dhe për këtë arsye pingul me këto baza. Nëse drejt D.A. Dhe E.A. pingul me rrezet O.D. Dhe O.E., më pas ata - tangjentet.

Pasoja.

Dy tangjente të tërhequra nga një pikë në një rreth janë të barabarta dhe formojnë kënde të barabarta me vijën e drejtë që lidh këtë pikë me qendrën.

Kështu që AD=AE dhe ∠ OAD = ∠OAE sepse trekëndëshat kënddrejtë AOD Dhe AOE, duke pasur një të përbashkët hipotenuzë A.O. dhe të barabartë këmbët O.D. Dhe O.E.(si rreze), janë të barabarta. Vini re se këtu fjala "tangjente" në të vërtetë do të thotë " segment tangjent” nga një pikë e caktuar në pikën e kontaktit.