Derivati dhe diferenciali i një funksioni kompleks të disa ndryshoreve. Derivatet e pjesshme Derivatet e pjesshme të një funksioni kompleks shembuj me zgjidhje

1°

1°. Rasti i një ndryshoreje të pavarur. Nëse z=f(x,y) është një funksion i diferencueshëm i argumenteve x dhe y, të cilët nga ana tjetër janë funksione të diferencueshme të ndryshores së pavarur t: , pastaj derivati i funksionit kompleks mund të llogaritet duke përdorur formulën

Shembull. Gjeni nëse, ku.

Zgjidhje. Sipas formulës (1) kemi:

Shembull. Gjeni derivatin e pjesshëm dhe derivatin total nëse .

Zgjidhje. .

Bazuar në formulën (2) marrim .

2°. Rasti i disa variablave të pavarur.

Le z =f (x ;y) - funksioni i dy variablave X Dhe y, secila prej të cilave është funksion i ndryshores së pavarur t : x =x (t), y =y (t). Në këtë rast funksioni z =f (x (t);y (t ))është një funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur t; variablave x dhe y janë variabla të ndërmjetëm.

Teorema. Nëse z == f(x; y) - të diferencueshme në një pikë M(x;y)D funksionin dhe x =x (t) Dhe në =y (t) - funksionet e diferencueshme të ndryshores së pavarur t, atëherë derivati i një funksioni kompleks z (t) == f(x (t);y (t )) llogaritur me formulë

Rast i veçantë:z = f (x ; y), ku y = y (x), ato. z = f (x ;y (x)) - funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur X. Ky rast redukton në atë të mëparshëm, dhe rolin e ndryshores t luan X. Sipas formulës (3) kemi:

Formula e fundit quhet formulat totale të derivateve.

Rasti i përgjithshëm:z = f (x ;y), Ku x =x (u ;v),y=y (u ;v). Pastaj z = f (x (u ;v);y (u ;v)) - funksion kompleks i variablave të pavarur Dhe Dhe v. Derivatet e tij të pjesshme mund të gjenden duke përdorur formulën (3) si më poshtë. Duke u rregulluar v, ne zëvendësojmë në të , derivatet përkatëse të pjesshme

Kështu, derivati i një funksioni kompleks (z) në lidhje me çdo ndryshore të pavarur (Dhe Dhe v)është e barabartë me shumën e produkteve të derivateve të pjesshëm të këtij funksioni (z) në lidhje me variablat e ndërmjetëm të tij (x dhe y) ndaj derivateve të tyre në lidhje me variablin e pavarur përkatës (u dhe v).

Në të gjitha rastet e konsideruara, formula është e vlefshme

(vetia e pandryshueshmërisë së një diferenciali total).

Shembull. Gjeni dhe nëse z = f(x ,y ), ku x =uv , .

Zgjidhje. Duke zbatuar formulat (4) dhe (5), marrim:

Shembull. Tregoni se funksioni plotëson ekuacionin .

Zgjidhje. Funksioni varet nga x dhe y përmes një argumenti të ndërmjetëm, pra

Duke zëvendësuar derivatet e pjesshëm në anën e majtë të ekuacionit, kemi:

Domethënë, funksioni z e plotëson këtë ekuacion.

Derivat në një drejtim dhe gradient të caktuar të funksionit

1°. Derivat i një funksioni në një drejtim të caktuar. Derivat funksionet z= f(x,y) në këtë drejtim thirrur , ku dhe janë vlerat e funksionit në pikat dhe . Nëse funksioni z është i diferencueshëm, atëherë formula është e vlefshme

ku janë këndet ndërmjet drejtimeve l dhe boshtet koordinative përkatëse. Derivati në një drejtim të caktuar karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në atë drejtim.

Shembull. Gjeni derivatin e funksionit z = 2x 2 - 3 2 në pikën P (1; 0) në drejtim duke bërë një kënd prej 120° me boshtin OX.

Zgjidhje. Le të gjejmë derivatet e pjesshme të këtij funksioni dhe vlerat e tyre në pikën P.

Është dhënë një vërtetim i formulës për derivatin e një funksioni kompleks. Shqyrtohen në detaje rastet kur një funksion kompleks varet nga një ose dy ndryshore. Bëhet një përgjithësim për rastin e një numri arbitrar të variablave.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Shembuj të përdorimit të formulës për derivatin e një funksioni kompleks

Formulat bazë

Këtu ofrojmë derivimin e formulave të mëposhtme për derivatin e një funksioni kompleks.
Nese atehere
.
Nese atehere
.
Nese atehere
.

Derivat i një funksioni kompleks nga një ndryshore

Le të paraqitet një funksion i ndryshores x si një funksion kompleks në formën e mëposhtme:
,
ku ka disa funksione. Funksioni është i diferencueshëm për disa vlera të ndryshores x. Funksioni është i diferencueshëm në vlerën e ndryshores.
Atëherë funksioni kompleks (i përbërë) është i diferencueshëm në pikën x dhe derivati i tij përcaktohet nga formula:
(1) .

Formula (1) mund të shkruhet edhe si më poshtë:
;
.

Dëshmi

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm.
;
.
Këtu ekziston një funksion i variablave dhe , ekziston një funksion i variablave dhe . Por ne do të heqim argumentet e këtyre funksioneve në mënyrë që të mos rrëmbejmë llogaritjet.

Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikat x dhe , përkatësisht, atëherë në këto pika ka derivate të këtyre funksioneve, të cilat janë kufijtë e mëposhtëm:
;
.

Merrni parasysh funksionin e mëposhtëm:
.
Për një vlerë fikse të ndryshores u, është një funksion i . Është e qartë se
.
Pastaj
.

Meqenëse funksioni është një funksion i diferencueshëm në atë pikë, ai është i vazhdueshëm në atë pikë. Kjo është arsyeja pse
.
Pastaj
.

Tani gjejmë derivatin.

.

Formula është e vërtetuar.

Pasoja

Nëse një funksion i një ndryshoreje x mund të përfaqësohet si një funksion kompleks i një funksioni kompleks
,
atëherë derivati i tij përcaktohet me formulë
.
Këtu , dhe ka disa funksione të diferencueshme.

Për të vërtetuar këtë formulë, ne llogarisim në mënyrë sekuenciale derivatin duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks.
Merrni parasysh funksionin kompleks
.
Derivati i tij
.
Konsideroni funksionin origjinal
.
Derivati i tij
.

Derivat i një funksioni kompleks nga dy ndryshore

Tani le të varet funksioni kompleks nga disa ndryshore. Së pari le të shohim rasti i një funksioni kompleks të dy ndryshoreve.

Le të paraqitet një funksion në varësi të ndryshores x si një funksion kompleks i dy variablave në formën e mëposhtme:
,
Ku
dhe ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- një funksion i dy variablave, të diferencueshëm në pikën , . Atëherë funksioni kompleks përcaktohet në një lagje të caktuar të pikës dhe ka një derivat, i cili përcaktohet nga formula:
(2) .

Dëshmi

Meqenëse funksionet dhe janë të diferencueshëm në pikë, ato përcaktohen në një fqinjësi të caktuar të kësaj pike, janë të vazhdueshme në pikë dhe derivatet e tyre ekzistojnë në pikë, që janë kufijtë e mëposhtëm:
;
.
Këtu
;
.
Për shkak të vazhdimësisë së këtyre funksioneve në një pikë, kemi:
;
.

Meqenëse funksioni është i diferencueshëm në pikë, ai përcaktohet në një lagje të caktuar të kësaj pike, është i vazhdueshëm në këtë pikë dhe rritja e tij mund të shkruhet në formën e mëposhtme:
(3) .
Këtu

- rritja e një funksioni kur argumentet e tij rriten me vlera dhe ;
;

- derivatet e pjesshme të funksionit në lidhje me variablat dhe .
Për vlerat fikse të dhe, dhe janë funksione të variablave dhe . Ata priren në zero në dhe:
;
.
Që atëherë dhe atëherë
;
.

Rritja e funksionit:

. :
.
Le të zëvendësojmë (3):

.

Formula është e vërtetuar.

Derivat i një funksioni kompleks nga disa ndryshore

Përfundimi i mësipërm mund të përgjithësohet lehtësisht në rastin kur numri i variablave të një funksioni kompleks është më shumë se dy.

Për shembull, nëse f është funksioni i tre variablave, Kjo
,
Ku
, dhe ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- funksioni i diferencueshëm i tre variablave në pikën , , .
Pastaj, nga përkufizimi i diferencibilitetit të funksionit, kemi:
(4)
.
Sepse, për shkak të vazhdimësisë,
; ; ,
Se
;
;
.

Duke e ndarë (4) me dhe duke kaluar në kufi, marrim:
.

Dhe së fundi, le të shqyrtojmë rasti më i përgjithshëm.
Le të përfaqësohet një funksion i ndryshores x si një funksion kompleks i n variablave në formën e mëposhtme:
,
Ku
ka funksione të diferencueshme për disa vlera të ndryshores x;
- funksioni i diferencueshëm i n variablave në një pikë
, , ... , .
Pastaj
.

Shiko gjithashtu:

§ 5. Derivatet e pjesshme të funksioneve komplekse. diferenciale të funksioneve komplekse

1. Derivatet e pjesshme të një funksioni kompleks.

Le të jetë një funksion i dy ndryshoreve, argumentet e të cilave Dhe , janë vetë funksione të dy ose më shumë ndryshoreve. Për shembull, le
,
.

Pastaj do funksion kompleks variablat e pavarur Dhe , variablat do të jenë për të variablat e ndërmjetëm. Në këtë rast, si të gjejmë derivatet e pjesshme të një funksioni në lidhje me Dhe ?

Ju, sigurisht, mund ta shprehni atë drejtpërdrejt në termat dhe:

dhe kërkoni për derivate të pjesshëm të funksionit që rezulton. Por shprehja mund të jetë shumë komplekse, dhe gjetja e derivateve të pjesshme , atëherë do të kërkojë shumë përpjekje.

Nëse funksionet
,
,
janë të diferencueshme, pastaj gjeni dhe është e mundur pa iu drejtuar shprehjes së drejtpërdrejtë përmes dhe . Në këtë rast, formulat do të jenë të vlefshme

(5.1)

Në të vërtetë, le të japim argumentin rritje
, – konst. Pastaj funksionet
Dhe do të marrin rritje

dhe funksioni do të rritet

Ku , – pafundësisht i vogël në
,
. Le t'i ndajmë të gjithë termat e barazisë së fundit me . Ne marrim:

Meqenëse sipas kushteve funksionet dhe janë të diferencueshëm, ato janë të vazhdueshme. Prandaj, nëse
, pastaj dhe . Kjo do të thotë se duke kaluar në kufirin në barazinë e fundit marrim:

(meqenëse , janë infinitimale për , ).

Barazia e dytë nga (5.1) vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

SHEMBULL. Le
, Ku
,
. Pastaj është një funksion kompleks i variablave të pavarur dhe . Për të gjetur derivatet e tij të pjesshme, përdorim formulën (5.1). Ne kemi

Duke zëvendësuar në (5.1), marrim

Formulat (5.1) përgjithësohen natyrshëm në rastin e një funksioni me një numër më të madh argumentesh të pavarura dhe të ndërmjetme. Domethënë, nëse

………………………

dhe të gjitha funksionet në shqyrtim janë të diferencueshme, atëherë për cilindo
ka barazi

Është gjithashtu e mundur që argumentet e funksionit të jenë funksione të vetëm një ndryshoreje, d.m.th.

,
.

Atëherë do të jetë një funksion kompleks i vetëm një ndryshoreje dhe mund të shtrojmë çështjen e gjetjes së derivatit . Nëse funksionet
,
janë të diferencueshme, atëherë mund të gjendet me formulë
(5.2)

SHEMBULL. Le
, Ku
,
. Këtu është një funksion kompleks i një ndryshoreje të pavarur. Duke përdorur formulën (5.2) marrim

Dhe së fundi, është e mundur që roli i ndryshores së pavarur të luhet nga , d.m.th. ,

Ku
.

Nga formula (5.2) më pas marrim

(5.3)

(sepse
). Derivat , që qëndron në formulën (5.3) në të djathtë është derivati i pjesshëm i funksionit në lidhje me . Ai llogaritet me një vlerë fikse. Derivat në anën e majtë të formulës (5.3) quhet derivat i plotë i funksionit . Gjatë llogaritjes së tij, është marrë parasysh se varet në dy mënyra: drejtpërdrejt dhe përmes argumentit të dytë.

SHEMBULL. Gjeni dhe për funksionin
, Ku
.

Ne kemi
.

Për të gjetur, ne përdorim formulën (5.3). marrim

Dhe në përfundim të këtij paragrafi, vërejmë se formula (5.2) dhe (5.3) janë të lehta për t'u përgjithësuar në rastin e funksioneve me një numër të madh argumentesh të ndërmjetme.

2. Diferencial i një funksioni kompleks.

Le të kujtojmë se nëse

është një funksion i diferencueshëm i dy ndryshoreve të pavarura, pastaj sipas përkufizimit

, (5.4)

ose në një formë tjetër
. (5.5)

Avantazhi i formulës (5.5) është se ajo mbetet e vërtetë edhe kur është një funksion kompleks.

Në të vërtetë, le , ku , . Le të supozojmë se funksionet , , janë të diferencueshëm. Atëherë funksioni kompleks do të jetë gjithashtu i diferencueshëm dhe diferenciali i tij total sipas formulës (5.5) do të jetë i barabartë me

Duke aplikuar formulën (5.1) për të llogaritur derivatet e pjesshme të një funksioni kompleks, marrim

Meqenëse diferencat e plota të funksioneve dhe janë në kllapa, më në fund kemi

Pra, jemi të bindur se si në rastin kur dhe janë ndryshore të pavarura, ashtu edhe në rastin kur dhe janë variabla të varur, diferenciali i funksionit mund të shkruhet në formën (5.5). Në këtë drejtim, kjo formë e regjistrimit të diferencialit total quhet e pandryshueshme . Forma e shkrimit të diferencialit të propozuar në (5.4) nuk do të jetë e pandryshueshme; mund të përdoret vetëm në rastin kur dhe janë variabla të pavarur. Nuk do të jetë e pandryshueshme as forma e shkrimit të diferencialit - urdhri. Kujtojmë që më herët treguam se një diferencial i rendit funksioni i dy variablave mund të gjendet me formulë

. (4.12)

Por nëse nuk janë variabla të pavarur, atëherë formula (4.12) me
pushon së qeni i vërtetë.

Natyrisht, i gjithë arsyetimi i kryer në këtë seksion për një funksion të dy variablave mund të përsëritet në rastin e një funksioni me një numër më të madh argumentesh. Prandaj, për një funksion diferenciali mund të shkruhet edhe në dy forma:

dhe forma e dytë e shënimit do të jetë e pandryshueshme, d.m.th. i drejtë edhe në rastin kur
nuk janë variabla të pavarur, por argumente të ndërmjetme.

§ 6. Diferencimi i funksioneve implicite

Duke folur për mënyrat për të përcaktuar një funksion të një ose disa ndryshoreve, vumë re se përkufizimi analitik i një funksioni mund të jetë i qartë ose i nënkuptuar. Në rastin e parë, vlera e funksionit gjendet nga vlerat e njohura të argumenteve; në të dytën, vlera e funksionit dhe argumentet e tij lidhen me një ekuacion. Megjithatë, ne nuk specifikuam se kur janë ekuacionet

Dhe

definojnë funksionet e specifikuara në mënyrë implicite dhe përkatësisht. Kushte të mjaftueshme për t'u përdorur për ekzistencën e një funksioni të nënkuptuar variablat (
) përmbahen në teoremën e mëposhtme.

TEOREMA6.1 . (ekzistenca e një funksioni të nënkuptuar) Le të funksionojë
dhe derivatet e tij të pjesshme
janë të përcaktuara dhe të vazhdueshme në ndonjë lagje të pikës. Nëse
Dhe
, atëherë ka një lagje të tillë pika në të cilën ekuacioni

përcakton një funksion të vazhdueshëm dhe

1) Merrni parasysh ekuacionin
. Kushtet e teoremës plotësohen, për shembull, në çdo lagje të pikës
. Prandaj, në ndonjë lagje të pikës
ky ekuacion përcakton si funksion të nënkuptuar të dy ndryshoreve dhe . Një shprehje e qartë e këtij funksioni mund të merret lehtësisht duke zgjidhur ekuacionin për:

2) Merrni parasysh ekuacionin
. Ai përcakton dy funksione të dy variablave dhe . Në të vërtetë, kushtet e teoremës plotësohen, për shembull, në çdo lagje të pikës

, në të cilin ekuacioni i dhënë përcakton një funksion të vazhdueshëm që merr vlerën
.

Nga ana tjetër, kushtet e teoremës plotësohen në çdo fqinjësi të pikës
. Rrjedhimisht, në një lagje të caktuar të pikës ekuacioni përcakton një funksion të vazhdueshëm që merr vlerën në pikën
.

Meqenëse një funksion nuk mund të marrë dy vlera në një pikë, kjo do të thotë se po flasim për dy funksione të ndryshme
dhe përkatësisht. Le të gjejmë shprehjet e tyre të qarta. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim ekuacionin origjinal për . marrim

3) Merrni parasysh ekuacionin
. Është e qartë se kushtet e teoremës janë të kënaqura në çdo fqinjësi të pikës
. Rrjedhimisht, ekziston një lagje e tillë e pikës
, në të cilën ekuacioni përcakton si një funksion të nënkuptuar të ndryshores. Është e pamundur të merret një shprehje e qartë për këtë funksion, pasi ekuacioni nuk mund të zgjidhet në lidhje me .

4) Ekuacioni
nuk përcakton asnjë funksion të nënkuptuar, pasi nuk ka çifte numrash realë dhe që e plotësojnë atë.

Funksioni
, dhënë nga ekuacioni
, sipas Teoremës 6.1, ka derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me të gjitha argumentet në afërsi të pikës. Le të zbulojmë se si t'i gjejmë ato pa specifikuar në mënyrë eksplicite funksionin.

Lëreni funksionin
plotëson kushtet e teoremës 6.1. Pastaj ekuacioni
funksion të vazhdueshëm
. Merrni parasysh funksionin kompleks
, Ku. Funksioni është një funksion kompleks i një ndryshoreje, dhe nëse
, Kjo

(6.1)

Nga ana tjetër, sipas formulës (5.3) për të llogaritur derivatin total
(6.2)

Nga (6.1) dhe (6.2) marrim se nëse , atëherë

(6.3)

Komentoni. Ndani sipas është e mundur, pasi sipas teoremës 6.1
kudo në afërsi.

SHEMBULL. Gjeni derivatin e funksionit të nënkuptuar të dhënë nga ekuacioni dhe llogaritni vlerën e tij në
.

,
.

Duke zëvendësuar derivatet e pjesshëm në formulën (6.3), marrim

Më pas, duke zëvendësuar në ekuacionin origjinal, gjejmë dy vlera:
Dhe
.

Rrjedhimisht, në afërsi të pikës ekuacioni përcakton dy funksione:
Dhe
, Ku
,
. Derivatet e tyre në do të jenë të barabarta

Dhe
.

Le tashti ekuacionin
përcakton në ndonjë lagje të një pike
funksionin Le ta gjejmë. Le të kujtojmë se në fakt ky është derivati i zakonshëm i një funksioni të konsideruar si funksion i një ndryshoreje me një vlerë konstante. Prandaj, ne mund të aplikojmë formulën (6.3) për ta gjetur atë, duke e konsideruar atë një funksion, një argument, një konstante. marrim

. (6.4)

Në mënyrë të ngjashme, duke marrë parasysh një funksion, një argument, një konstante, duke përdorur formulën (6.3) gjejmë

. (6.5)

SHEMBULL. Gjeni derivatet e pjesshme të funksionit të dhënë nga ekuacioni
.

,
,
.

Duke përdorur formulat (6.4) dhe (6.5), marrim

,
.

Së fundi, merrni parasysh rastin e përgjithshëm kur ekuacioni

përcakton një funksion të ndryshoreve në një lagje të caktuar të një pike. Duke përsëritur argumentet e kryera për një funksion të dhënë në mënyrë implicite të dy variablave, marrim

,
, …,
.

§ 7. Derivati i drejtimit

1. Derivat i drejtimit.

Le të përcaktohet një funksion i dy variablave në një fushë
aeroplan
, – pika e rajonit, – vektor i çdo drejtimi. Le të lëvizim nga pika
në një pikë në drejtim të vektorit. Funksioni do të marrë një rritje

Le të ndajmë rritjen e funksionit
nga gjatësia e segmentit të kompensuar
. Raporti që rezulton
jep normën mesatare të ndryshimit të funksionit në zonë
. Atëherë kufiri i këtij raporti në
(nëse ekziston dhe është i fundëm) do të jetë shkalla e ndryshimit të funksionit në pikë
në drejtim të vektorit. Ai quhet derivat i një funksioni në një pikë në drejtim të vektorit dhe shënojnë
ose
.

Përveç shkallës së ndryshimit të funksionit, ai gjithashtu ju lejon të përcaktoni natyrën e ndryshimit të funksionit në një pikë në drejtimin e vektorit (në rritje ose në rënie):

Këto pohime vërtetohen në të njëjtën mënyrë si ato të ngjashme për një funksion të një ndryshoreje.

Vini re se derivatet e pjesshëm të një funksioni janë një rast i veçantë i derivatit të drejtuar. Domethënë,
ky është derivati i funksionit në drejtim të vektorit (drejtimi i boshtit
), është derivat i funksionit në drejtim të vektorit (drejtimi i boshtit
).