Kur nxjerrim formulën e parë të tabelës, do të vazhdojmë nga përkufizimi i funksionit derivat në një pikë. Le të marrim ku x- çdo numër real, domethënë, x– çdo numër nga fusha e përcaktimit të funksionit. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit në:

Duhet të theksohet se nën shenjën e kufirit fitohet shprehja, e cila nuk është pasiguria e zeros pjesëtuar me zero, pasi numëruesi nuk përmban një vlerë pafundësisht të vogël, por saktësisht zero. Me fjalë të tjera, rritja e një funksioni konstant është gjithmonë zero.

Kështu, derivat i një funksioni konstantështë e barabartë me zero në të gjithë fushën e përkufizimit.

Derivat i një funksioni fuqie.

Formula për derivatin e një funksioni fuqie ka formën , ku eksponenti fq- çdo numër real.

Le të provojmë së pari formulën për eksponentin natyror, domethënë për p = 1, 2, 3, …

Ne do të përdorim përkufizimin e derivatit. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni fuqie me rritjen e argumentit:

Për të thjeshtuar shprehjen në numërues, i drejtohemi formulës binomiale të Njutonit:

Prandaj,

Kjo vërteton formulën për derivatin e një funksioni fuqie për një eksponent natyror.

Derivat i një funksioni eksponencial.

Ne paraqesim derivimin e formulës së derivatit bazuar në përkufizimin:

Kemi arritur në pasiguri. Për ta zgjeruar atë, ne prezantojmë një ndryshore të re, dhe në . Pastaj . Në tranzicionin e fundit, ne përdorëm formulën për kalimin në një bazë të re logaritmike.

Le të zëvendësojmë në kufirin origjinal:

Nëse kujtojmë kufirin e dytë të shquar, arrijmë në formulën për derivatin e funksionit eksponencial:

Derivat i një funksioni logaritmik.

Le të vërtetojmë formulën për derivatin e një funksioni logaritmik për të gjithë x nga fusha e përkufizimit dhe të gjitha vlerat e vlefshme të bazës a logaritmi Nga përkufizimi i derivatit kemi:

Siç e keni vënë re, gjatë vërtetimit transformimet janë kryer duke përdorur vetitë e logaritmit. Barazia është e vërtetë për shkak të kufirit të dytë të shquar.

Derivatet e funksioneve trigonometrike.

Për të nxjerrë formulat për derivatet e funksioneve trigonometrike, do të duhet të kujtojmë disa formula trigonometrike, si dhe kufirin e parë të shquar.

Me përcaktimin e derivatit për funksionin sinus kemi .

Le të përdorim formulën e diferencës së sinuseve:

Mbetet të kthehemi në kufirin e parë të shquar:

Kështu, derivati ​​i funksionit mëkat x ka cos x.

Formula për derivatin e kosinusit vërtetohet saktësisht në të njëjtën mënyrë.

Prandaj, derivati ​​i funksionit cos x ka – mëkat x.

Ne do të nxjerrim formula për tabelën e derivateve për tangjenten dhe kotangjenten duke përdorur rregullat e vërtetuara të diferencimit (derivati ​​i një thyese).

Derivatet e funksioneve hiperbolike.

Rregullat e diferencimit dhe formula për derivatin e funksionit eksponencial nga tabela e derivateve na lejojnë të nxjerrim formula për derivatet e sinusit hiperbolik, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit.

Derivat i funksionit të anasjelltë.

Për të shmangur konfuzionin gjatë prezantimit, le të shënojmë në subscript argumentin e funksionit me të cilin kryhet diferencimi, domethënë është derivat i funksionit. f(x) Nga x.

Tani le të formulojmë rregull për gjetjen e derivatit të një funksioni të anasjelltë.

Lërini funksionet y = f(x) Dhe x = g(y) reciprokisht anasjelltas, të përcaktuara në intervale dhe përkatësisht. Nëse në një pikë ka një derivat të fundëm jozero të funksionit f(x), atëherë në pikë ka një derivat të fundëm të funksionit të anasjelltë g(y), dhe . Në një postim tjetër .

Ky rregull mund të riformulohet për cilindo x nga intervali , atëherë marrim .

Le të kontrollojmë vlefshmërinë e këtyre formulave.

Le të gjejmë funksionin e anasjelltë për logaritmin natyror (Këtu yështë një funksion, dhe x- argument). Duke zgjidhur këtë ekuacion për x, marrim (këtu xështë një funksion, dhe y– argumenti i saj). Kjo eshte, dhe funksionet reciproke të anasjellta.

Nga tabela e derivateve shohim se Dhe .

Le të sigurohemi që formulat për gjetjen e derivateve të funksionit të anasjelltë na çojnë në të njëjtat rezultate:

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka gracka në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim.

Si rezultat i zgjidhjes së problemeve të gjetjes së derivateve të funksioneve më të thjeshta (dhe jo shumë të thjeshta) duke përcaktuar derivatin si kufi të raportit të rritjes me rritjen e argumentit, u shfaq një tabelë e derivateve dhe rregulla të përcaktuara saktësisht të diferencimit. . Të parët që punuan në fushën e gjetjes së derivateve ishin Isak Njutoni (1643-1727) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prandaj, në kohën tonë, për të gjetur derivatin e ndonjë funksioni, nuk keni nevojë të llogaritni kufirin e lartpërmendur të raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, por duhet të përdorni vetëm tabelën e derivatet dhe rregullat e diferencimit. Algoritmi i mëposhtëm është i përshtatshëm për gjetjen e derivatit.

Për të gjetur derivatin, ju duhet një shprehje nën shenjën kryesore zbërthejnë funksionet e thjeshta në komponentë dhe përcaktoni se çfarë veprimesh (produkti, shuma, koeficienti) këto funksione janë të lidhura. Më pas, derivatet e funksioneve elementare i gjejmë në tabelën e derivateve, dhe formulat për derivatet e produktit, shumës dhe koeficientit - në rregullat e diferencimit. Tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit jepen pas dy shembujve të parë.

Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Nga rregullat e diferencimit zbulojmë se derivati ​​i një shume funksionesh është shuma e derivateve të funksioneve, d.m.th.

Nga tabela e derivateve zbulojmë se derivati ​​i "x" është i barabartë me një, dhe derivati ​​i sinusit është i barabartë me kosinusin. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shumën e derivateve dhe gjejmë derivatin e kërkuar nga kushti i problemit:

Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Dallojmë si derivat të një shume në të cilën termi i dytë ka një faktor konstant; ai mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Nëse ende lindin pyetje se nga vjen diçka, ato zakonisht zgjidhen pasi të njiheni me tabelën e derivateve dhe rregullat më të thjeshta të diferencimit. Ne po kalojmë drejt tyre tani.

Tabela e derivateve të funksioneve të thjeshta

1. Derivat i një konstante (numri). Çdo numër (1, 2, 5, 200...) që është në shprehjen e funksionit. Gjithmonë e barabartë me zero. Kjo është shumë e rëndësishme të mbahet mend, pasi kërkohet shumë shpesh
2. Derivat i ndryshores së pavarur. Më shpesh "X". Gjithmonë e barabartë me një. Kjo është gjithashtu e rëndësishme të mbahet mend për një kohë të gjatë
3. Derivat i gradës. Kur zgjidhni problemet, duhet të shndërroni rrënjët jo katrore në fuqi.
4. Derivati ​​i një ndryshoreje në fuqinë -1
5. Derivat i rrënjës katrore
6. Derivat i sinusit
7. Derivat i kosinusit
8. Derivat i tangjentes
9. Derivat i kotangjentes
10. Derivat i arksinës
11. Derivat i arkkosinës
12. Derivat i arktangjentit
13. Derivat i kotangjentes harkore
14. Derivat i logaritmit natyror
15. Derivat i një funksioni logaritmik
16. Derivati ​​i eksponentit
17. Derivat i një funksioni eksponencial

Rregullat e diferencimit

1. Derivat i një shume ose ndryshimi
2. Derivat i produktit
2a. Derivat i një shprehjeje të shumëzuar me një faktor konstant
3. Derivati ​​i herësit
4. Derivat i një funksioni kompleks

Rregulli 1.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë funksionet janë të diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. derivati ​​i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve.

Pasoja. Nëse dy funksione të diferencueshëm ndryshojnë nga një term konstant, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë, d.m.th.

Rregulli 2.Nëse funksionet

janë të diferencueshëm në një moment, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë

dhe

ato. Derivati ​​i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve dhe derivatin e tjetrit.

Përfundimi 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:

Përfundimi 2. Derivati ​​i produktit të disa funksioneve të diferencueshëm është i barabartë me shumën e produkteve të derivatit të secilit faktor dhe të gjithë të tjerëve.

Për shembull, për tre shumëzues:

Rregulli 3.Nëse funksionet

të diferencueshme në një moment Dhe , atëherë në këtë pikë herësi i tyre është gjithashtu i diferencueshëmu/v , dhe

ato. derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i numëruesi i mëparshëm.

Ku të kërkoni gjëra në faqet e tjera

Kur gjeni derivatin e një produkti dhe një herës në problemet reale, është gjithmonë e nevojshme të zbatohen disa rregulla diferencimi në të njëjtën kohë, kështu që ka më shumë shembuj për këto derivate në artikull."Derivati ​​i produktit dhe koeficienti i funksioneve".

Koment. Ju nuk duhet të ngatërroni një konstante (domethënë një numër) si një term në një shumë dhe si një faktor konstant! Në rastin e një termi, derivati ​​i tij është i barabartë me zero, dhe në rastin e një faktori konstant, ai hiqet nga shenja e derivateve. Ky është një gabim tipik që ndodh në fazën fillestare të studimit të derivateve, por ndërsa studenti mesatar zgjidh disa shembuj një dhe dypjesësh, ai nuk e bën më këtë gabim.

Dhe nëse, kur diferenconi një produkt ose koeficient, keni një term u"v, në të cilën u- një numër, për shembull, 2 ose 5, domethënë një konstante, atëherë derivati ​​i këtij numri do të jetë i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, i gjithë termi do të jetë i barabartë me zero (ky rast diskutohet në shembullin 10).

Një gabim tjetër i zakonshëm është zgjidhja mekanike e derivatit të një funksioni kompleks si derivat i një funksioni të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse derivat i një funksioni kompleks i kushtohet një artikull i veçantë. Por së pari do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të thjeshta.

Gjatë rrugës, nuk mund të bësh pa transformuar shprehjet. Për ta bërë këtë, mund t'ju duhet të hapni manualin në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë Dhe Veprimet me thyesa .

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për derivatet e thyesave me fuqi dhe rrënjë, domethënë kur funksioni duket si , më pas ndiqni mësimin “Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë”.

Nëse keni një detyrë si , më pas do të merrni mësimin “Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike”.

Shembuj hap pas hapi - si të gjeni derivatin

Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Përcaktojmë pjesët e shprehjes së funksionit: e gjithë shprehja përfaqëson një produkt, dhe faktorët e saj janë shuma, në të dytin prej të cilëve njëri prej termave përmban një faktor konstant. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit: derivati ​​i produktit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve nga derivati ​​i tjetrit:

Më pas, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës: derivati ​​i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve. Në rastin tonë, në çdo shumë, termi i dytë ka një shenjë minus. Në çdo shumë shohim një variabël të pavarur, derivati ​​i së cilës është i barabartë me një, dhe një konstante (numër), derivati ​​i së cilës është i barabartë me zero. Pra, "X" kthehet në një, dhe minus 5 kthehet në zero. Në shprehjen e dytë, "x" shumëzohet me 2, kështu që ne shumëzojmë dy me të njëjtën njësi si derivati ​​i "x". Ne marrim vlerat e derivateve të mëposhtme:

Ne i zëvendësojmë derivatet e gjetura në shumën e produkteve dhe marrim derivatin e të gjithë funksionit të kërkuar nga kushti i problemit:

Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Na kërkohet të gjejmë derivatin e herësit. Zbatojmë formulën për diferencimin e herësit: derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emërues, dhe emëruesi është katrori i numëruesit të mëparshëm. Ne marrim:

Ne kemi gjetur tashmë derivatin e faktorëve në numërues në shembullin 2. Le të mos harrojmë gjithashtu se produkti, i cili është faktori i dytë në numërues në shembullin aktual, merret me një shenjë minus:

Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për problemet në të cilat ju duhet të gjeni derivatin e një funksioni, ku ka një grumbull të vazhdueshëm rrënjësh dhe fuqish, si p.sh. , atëherë mirë se vini në klasë "Derivati ​​i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë" .

Nëse keni nevojë të mësoni më shumë rreth derivateve të sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe funksioneve të tjera trigonometrike, domethënë kur funksioni duket si , pastaj një mësim për ju "Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike" .

Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një produkt, një nga faktorët e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur, derivatin e së cilës e kemi njohur në tabelën e derivateve. Duke përdorur rregullin për diferencimin e produktit dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Shembulli 6. Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një herës, dividenda e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur. Duke përdorur rregullin e diferencimit të herësve, të cilin e kemi përsëritur dhe zbatuar në shembullin 4, dhe vlerën në tabelë të derivatit të rrënjës katrore, marrim:

Për të hequr qafe një thyesë në numërues, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me .

Çfarë është një derivat?

Tabela e derivateve.

Derivati ​​është një nga konceptet kryesore të matematikës së lartë. Në këtë mësim do të prezantojmë këtë koncept. Le të njihemi, pa formulime dhe prova të rrepta matematikore.

Ky njohje do t'ju lejojë të:

Të kuptojë thelbin e detyrave të thjeshta me derivate;

Zgjidhini me sukses këto detyra më të thjeshta;

Përgatituni për mësime më serioze mbi derivatet.

Së pari - një surprizë e këndshme.)

Përkufizimi i rreptë i derivatit bazohet në teorinë e kufijve dhe gjëja është mjaft e ndërlikuar. Kjo është shqetësuese. Por zbatimi praktik i derivateve, si rregull, nuk kërkon njohuri kaq të gjera dhe të thella!

Për të përfunduar me sukses shumicën e detyrave në shkollë dhe universitet, mjafton të dihet vetëm disa terma- për të kuptuar detyrën, dhe vetëm disa rregulla- për ta zgjidhur atë. Kjo eshte e gjitha. Kjo më bën të lumtur.

Le të fillojmë të njihemi?)

Termat dhe emërtimet.

Ka shumë operacione të ndryshme matematikore në matematikën elementare. Mbledhja, zbritja, shumëzimi, fuqizimi, logaritmi etj. Nëse këtyre veprimeve u shtoni edhe një operacion, matematika elementare bëhet më e lartë. Ky operacion i ri quhet diferencimi. Përkufizimi dhe kuptimi i këtij operacioni do të diskutohet në mësime të veçanta.

Është e rëndësishme të kuptohet këtu se diferencimi është thjesht një veprim matematikor mbi një funksion. Ne marrim çdo funksion dhe, sipas rregullave të caktuara, e transformojmë atë. Rezultati do të jetë një funksion i ri. Ky funksion i ri quhet: derivatore.

Diferencimi- veprim në një funksion.

Derivat- rezultati i këtij veprimi.

Ashtu si, për shembull, shuma- rezultati i shtimit. Ose private- rezultati i ndarjes.

Duke ditur termat, të paktën mund t'i kuptoni detyrat.) Formulimet janë si më poshtë: gjeni derivatin e një funksioni; merr derivatin; të dallojë funksionin; llogarit derivatin e kështu me radhë. Kjo është e gjitha njëjtë. Sigurisht që ka edhe detyra më komplekse, ku gjetja e derivatit (diferencimit) do të jetë vetëm një nga hapat në zgjidhjen e problemit.

Derivati ​​tregohet me një vizë në krye të djathtë të funksionit. Si kjo: y" ose f"(x) ose S"(t) e kështu me radhë.

Leximi igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te, Epo, ju e kuptoni ...)

Një i thjeshtë mund të tregojë gjithashtu derivatin e një funksioni të caktuar, për shembull: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etj. Shpesh derivatet shënohen duke përdorur diferenciale, por ne nuk do ta konsiderojmë një shënim të tillë në këtë mësim.

Le të supozojmë se kemi mësuar të kuptojmë detyrat. Gjithçka që mbetet është të mësoni se si t'i zgjidhni ato.) Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë: gjetja e derivatit është transformimi i një funksioni sipas rregullave të caktuara.Çuditërisht, ka shumë pak nga këto rregulla.

Për të gjetur derivatin e një funksioni, duhet të dini vetëm tre gjëra. Tre shtylla mbi të cilat qëndron i gjithë diferencimi. Këtu janë këto tre shtylla:

1. Tabela e derivateve (formula e diferencimit).

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Le të fillojmë me radhë. Në këtë mësim do të shikojmë tabelën e derivateve.

Tabela e derivateve.

Ka një numër të pafund funksionesh në botë. Midis këtij grupi ka funksione që janë më të rëndësishmet për përdorim praktik. Këto funksione gjenden në të gjitha ligjet e natyrës. Nga këto funksione, si nga tullat, mund të ndërtoni të gjitha të tjerat. Kjo klasë funksionesh quhet funksionet elementare. Janë këto funksione që studiohen në shkollë - lineare, kuadratike, hiperbola, etj.

Diferencimi i funksioneve "nga e para", d.m.th. Bazuar në përkufizimin e derivatit dhe teorinë e kufijve, kjo është një gjë mjaft punë intensive. Dhe matematikanët janë gjithashtu njerëz, po, po!) Kështu ata thjeshtuan jetën e tyre (dhe neve). Ata llogaritën derivatet e funksioneve elementare para nesh. Rezultati është një tabelë e derivateve, ku gjithçka është gati.)

Këtu është, kjo pjatë për funksionet më të njohura. Në të majtë është një funksion elementar, në të djathtë është derivati ​​i tij.

	Funksioni y	Derivati ​​i funksionit y y"
1	C (vlera konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - çdo numër)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	mëkat x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - mëkat x
	tg x
	ctg x
5	harku x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	n x ( a = e)

Unë rekomandoj t'i kushtoni vëmendje grupit të tretë të funksioneve në këtë tabelë të derivateve. Derivati ​​i një funksioni fuqie është një nga formulat më të zakonshme, nëse jo më e zakonshme! E kuptoni sugjerimin?) Po, këshillohet të njihni përmendësh tabelën e derivateve. Nga rruga, kjo nuk është aq e vështirë sa mund të duket. Mundohuni të zgjidhni më shumë shembuj, vetë tabela do të mbahet mend!)

Gjetja e vlerës së tabelës së derivatit, siç e kuptoni, nuk është detyra më e vështirë. Prandaj, shumë shpesh në detyra të tilla ka çipa shtesë. Ose në formulimin e detyrës, ose në funksionin origjinal, i cili nuk duket të jetë në tabelë...

Le të shohim disa shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit y = x 3

Nuk ka një funksion të tillë në tabelë. Por ekziston një derivat i një funksioni fuqie në formë të përgjithshme (grupi i tretë). Në rastin tonë n=3. Pra, ne zëvendësojmë tre në vend të n dhe shkruajmë me kujdes rezultatin:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Kjo eshte.

Përgjigje: y" = 3x 2

2. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = sinx në pikën x = 0.

Kjo detyrë do të thotë që së pari duhet të gjeni derivatin e sinusit dhe më pas të zëvendësoni vlerën x = 0 në të njëjtin derivat. Pikërisht në atë rend! Përndryshe, ndodh që ata të zëvendësojnë menjëherë zeron në funksionin origjinal... Na kërkohet të gjejmë jo vlerën e funksionit origjinal, por vlerën. derivati ​​i tij. Derivati, më lejoni t'ju kujtoj, është një funksion i ri.

Duke përdorur tabletën gjejmë sinusin dhe derivatin përkatës:

y" = (mëkat x)" = cosx

Ne e zëvendësojmë zeron në derivatin:

y"(0) = cos 0 = 1

Kjo do të jetë përgjigja.

3. Diferenconi funksionin:

Çfarë, a frymëzon?) Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve.

Më lejoni t'ju kujtoj se të diferencosh një funksion do të thotë thjesht të gjesh derivatin e këtij funksioni. Nëse harroni trigonometrinë elementare, kërkimi i derivatit të funksionit tonë është mjaft i mundimshëm. Tabela nuk ndihmon...

Por nëse shohim se funksioni ynë është kosinus me kënd të dyfishtë, atëherë gjithçka bëhet më mirë menjëherë!

Po Po! Mos harroni se transformimi i funksionit origjinal para diferencimit mjaft e pranueshme! Dhe ndodh që ta bëjë jetën shumë më të lehtë. Duke përdorur formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

Ato. funksioni ynë i ndërlikuar nuk është gjë tjetër veçse y = cosx. Dhe ky është një funksion i tabelës. Ne marrim menjëherë:

Përgjigje: y" = - mëkat x.

Shembull për të diplomuarit dhe studentët e avancuar:

4. Gjeni derivatin e funksionit:

Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve, natyrisht. Por nëse ju kujtohet matematika elementare, veprimet me fuqi... Atëherë është mjaft e mundur ta thjeshtoni këtë funksion. Si kjo:

Dhe x në fuqinë e një të dhjetës është tashmë një funksion tabelor! Grupi i tretë, n=1/10. Ne shkruajmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Kjo eshte e gjitha. Kjo do të jetë përgjigja.

Shpresoj që gjithçka të jetë e qartë me shtyllën e parë të diferencimit - tabelën e derivateve. Mbetet të merremi me dy balenat e mbetura. Në mësimin e ardhshëm do të mësojmë rregullat e diferencimit.

Derivati ​​i një eksponenti është i barabartë me vetë eksponentin (derivati ​​i e në fuqinë x është i barabartë me e me fuqinë x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivati ​​i një funksioni eksponencial me bazë a është i barabartë me vetë funksionin e shumëzuar me logaritmin natyror të a:
(2) .

Nxjerrja e formulës për derivatin e eksponencialit, e në fuqinë x

Një eksponencial është një funksion eksponencial, baza e të cilit është e barabartë me numrin e, i cili është kufiri i mëposhtëm:
.
Këtu mund të jetë ose një numër natyror ose një numër real. Më pas, nxjerrim formulën (1) për derivatin e eksponencialit.

Nxjerrja e formulës së derivatit eksponencial

Konsideroni eksponencialin, e ndaj fuqisë x:
y = e x.
Ky funksion është i përcaktuar për të gjithë. Le të gjejmë derivatin e tij në lidhje me ndryshoren x. Sipas përkufizimit, derivati ​​është kufiri i mëposhtëm:
(3) .

Le ta transformojmë këtë shprehje për ta reduktuar në vetitë dhe rregullat e njohura matematikore. Për ta bërë këtë na duhen faktet e mëposhtme:
A) Vetia e eksponentit:
(4) ;
B) Vetia e logaritmit:
(5) ;
NË) Vazhdimësia e logaritmit dhe vetia e kufijve për një funksion të vazhdueshëm:
(6) .
Këtu është një funksion që ka një kufi dhe ky kufi është pozitiv.
G) Kuptimi i kufirit të dytë të shquar:
(7) .

Le t'i zbatojmë këto fakte në kufirin tonë (3). Ne përdorim pronën (4):
;
.

Le të bëjmë një zëvendësim. Pastaj; .
Për shkak të vazhdimësisë së eksponencialit,
.
Prandaj, kur ,. Si rezultat marrim:
.

Le të bëjmë një zëvendësim. Pastaj . Në , . Dhe ne kemi:
.

Le të zbatojmë vetinë e logaritmit (5):
. Pastaj
.

Le të aplikojmë pronën (6). Meqenëse ekziston një kufi pozitiv dhe logaritmi është i vazhdueshëm, atëherë:
.
Këtu kemi përdorur edhe kufirin e dytë të shquar (7). Pastaj
.

Kështu, kemi marrë formulën (1) për derivatin e eksponencialit.

Nxjerrja e formulës për derivatin e një funksioni eksponencial

Tani nxjerrim formulën (2) për derivatin e funksionit eksponencial me një bazë të shkallës a. Ne besojmë se dhe. Pastaj funksioni eksponencial
(8)
Përcaktuar për të gjithë.

Le të transformojmë formulën (8). Për ta bërë këtë, ne do të përdorim vetitë e funksionit eksponencial dhe logaritmit.
;
.
Pra, ne e transformuam formulën (8) në formën e mëposhtme:
.

Derivatet e rendit më të lartë të e në fuqinë x

Tani le të gjejmë derivatet e rendit më të lartë. Le të shohim së pari eksponentin:
(14) .
(1) .

Shohim që derivati ​​i funksionit (14) është i barabartë me vetë funksionin (14). Duke diferencuar (1), marrim derivate të rendit të dytë dhe të tretë:
;
.

Kjo tregon se derivati ​​i rendit n është gjithashtu i barabartë me funksionin origjinal:
.

Derivatet e rendit më të lartë të funksionit eksponencial

Tani merrni parasysh një funksion eksponencial me një bazë të shkallës a:
.
Ne gjetëm derivatin e tij të rendit të parë:
(15) .

Duke diferencuar (15), marrim derivate të rendit të dytë dhe të tretë:
;
.

Shohim se çdo diferencim çon në shumëzimin e funksionit origjinal me . Prandaj, derivati ​​i rendit të n-të ka formën e mëposhtme:
.