Derivatet e funksioneve të vërtetimit elementar. Derivat i një funksioni. Teori e detajuar me shembuj. Koncepti i funksionit të anasjelltë
Veprimi i gjetjes së derivatit quhet diferencim.
Si rezultat i zgjidhjes së problemeve të gjetjes së derivateve të funksioneve më të thjeshta (dhe jo shumë të thjeshta) duke përcaktuar derivatin si kufi të raportit të rritjes me rritjen e argumentit, u shfaq një tabelë e derivateve dhe rregulla të përcaktuara saktësisht të diferencimit. . Të parët që punuan në fushën e gjetjes së derivateve ishin Isak Njutoni (1643-1727) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Prandaj, në kohën tonë, për të gjetur derivatin e ndonjë funksioni, nuk keni nevojë të llogaritni kufirin e lartpërmendur të raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, por duhet të përdorni vetëm tabelën e derivatet dhe rregullat e diferencimit. Algoritmi i mëposhtëm është i përshtatshëm për gjetjen e derivatit.
Për të gjetur derivatin, ju duhet një shprehje nën shenjën kryesore zbërthejnë funksionet e thjeshta në komponentë dhe përcaktoni se çfarë veprimesh (produkti, shuma, koeficienti) këto funksione janë të lidhura. Më pas, derivatet e funksioneve elementare i gjejmë në tabelën e derivateve, dhe formulat për derivatet e produktit, shumës dhe koeficientit - në rregullat e diferencimit. Tabela e derivateve dhe rregullat e diferencimit jepen pas dy shembujve të parë.
Shembulli 1. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Nga rregullat e diferencimit zbulojmë se derivati i një shume funksionesh është shuma e derivateve të funksioneve, d.m.th.
Nga tabela e derivateve zbulojmë se derivati i "x" është i barabartë me një, dhe derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin. Ne i zëvendësojmë këto vlera në shumën e derivateve dhe gjejmë derivatin e kërkuar nga kushti i problemit:
Shembulli 2. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Dallojmë si derivat të një shume në të cilën termi i dytë ka një faktor konstant; ai mund të hiqet nga shenja e derivatit:
Nëse ende lindin pyetje se nga vjen diçka, ato zakonisht zgjidhen pasi të njiheni me tabelën e derivateve dhe rregullat më të thjeshta të diferencimit. Ne po kalojmë drejt tyre tani.
Tabela e derivateve të funksioneve të thjeshta
| 1. Derivat i një konstante (numri). Çdo numër (1, 2, 5, 200...) që është në shprehjen e funksionit. Gjithmonë e barabartë me zero. Kjo është shumë e rëndësishme të mbahet mend, pasi kërkohet shumë shpesh | |
| 2. Derivat i ndryshores së pavarur. Më shpesh "X". Gjithmonë e barabartë me një. Kjo është gjithashtu e rëndësishme të mbahet mend për një kohë të gjatë | |
| 3. Derivat i gradës. Kur zgjidhni problemet, duhet të shndërroni rrënjët jo katrore në fuqi. | |
| 4. Derivati i një ndryshoreje në fuqinë -1 | |
| 5. Derivat i rrënjës katrore | |
| 6. Derivat i sinusit | |
| 7. Derivat i kosinusit |  |
| 8. Derivat i tangjentes |  |
| 9. Derivat i kotangjentes |  |
| 10. Derivat i arksinës |  |
| 11. Derivat i arkkosinës |  |
| 12. Derivat i arktangjentit |  |
| 13. Derivat i kotangjentes harkore |  |
| 14. Derivat i logaritmit natyror | |
| 15. Derivat i një funksioni logaritmik |  |
| 16. Derivati i eksponentit | |
| 17. Derivat i një funksioni eksponencial |
Rregullat e diferencimit
| 1. Derivat i një shume ose ndryshimi |  |
| 2. Derivat i produktit |  |
| 2a. Derivat i një shprehjeje të shumëzuar me një faktor konstant | |
| 3. Derivati i herësit |  |
| 4. Derivat i një funksioni kompleks |  |
Rregulli 1.Nëse funksionet
janë të diferencueshëm në një moment, atëherë funksionet janë të diferencueshëm në të njëjtën pikë
dhe
ato. derivati i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve.
Pasoja. Nëse dy funksione të diferencueshëm ndryshojnë nga një term konstant, atëherë derivatet e tyre janë të barabartë, d.m.th.
Rregulli 2.Nëse funksionet
janë të diferencueshëm në një moment, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë
dhe
ato. Derivati i prodhimit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve dhe derivatin e tjetrit.
Përfundimi 1. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e derivatit:
Përfundimi 2. Derivati i produktit të disa funksioneve të diferencueshëm është i barabartë me shumën e produkteve të derivatit të secilit faktor dhe të gjithë të tjerëve.
Për shembull, për tre shumëzues:
Rregulli 3.Nëse funksionet
të diferencueshme në një moment Dhe , atëherë në këtë pikë herësi i tyre është gjithashtu i diferencueshëmu/v , dhe
ato. derivati i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një thyesë, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emëruesit, dhe emëruesi është katrori i numëruesi i mëparshëm.
Ku të kërkoni gjëra në faqet e tjera
Kur gjeni derivatin e një produkti dhe një herës në problemet reale, është gjithmonë e nevojshme të zbatohen disa rregulla diferencimi në të njëjtën kohë, kështu që ka më shumë shembuj për këto derivate në artikull."Derivati i produktit dhe koeficienti i funksioneve".
Komentoni. Ju nuk duhet të ngatërroni një konstante (domethënë një numër) si një term në një shumë dhe si një faktor konstant! Në rastin e një termi, derivati i tij është i barabartë me zero, dhe në rastin e një faktori konstant, ai hiqet nga shenja e derivateve. Ky është një gabim tipik që ndodh në fazën fillestare të studimit të derivateve, por ndërsa studenti mesatar zgjidh disa shembuj një dhe dypjesësh, ai nuk e bën më këtë gabim.
Dhe nëse, kur diferenconi një produkt ose koeficient, keni një term u"v, në të cilën u- një numër, për shembull, 2 ose 5, domethënë një konstante, atëherë derivati i këtij numri do të jetë i barabartë me zero dhe, për rrjedhojë, i gjithë termi do të jetë i barabartë me zero (ky rast diskutohet në shembullin 10).
Një gabim tjetër i zakonshëm është zgjidhja mekanike e derivatit të një funksioni kompleks si derivat i një funksioni të thjeshtë. Kjo është arsyeja pse derivat i një funksioni kompleks i kushtohet një artikull i veçantë. Por së pari do të mësojmë të gjejmë derivate të funksioneve të thjeshta.
Gjatë rrugës, nuk mund të bësh pa transformuar shprehjet. Për ta bërë këtë, mund t'ju duhet të hapni manualin në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë Dhe Veprimet me thyesa .
Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për derivatet e thyesave me fuqi dhe rrënjë, domethënë kur funksioni duket si 
, më pas ndiqni mësimin “Derivati i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë”.
Nëse keni një detyrë si 
, më pas do të merrni mësimin “Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike”.
Shembuj hap pas hapi - si të gjeni derivatin
Shembulli 3. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Përcaktojmë pjesët e shprehjes së funksionit: e gjithë shprehja përfaqëson një produkt, dhe faktorët e saj janë shuma, në të dytin prej të cilëve njëri prej termave përmban një faktor konstant. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit: derivati i produktit të dy funksioneve është i barabartë me shumën e produkteve të secilit prej këtyre funksioneve nga derivati i tjetrit:
Më pas, zbatojmë rregullin e diferencimit të shumës: derivati i shumës algjebrike të funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të këtyre funksioneve. Në rastin tonë, në çdo shumë, termi i dytë ka një shenjë minus. Në çdo shumë shohim një variabël të pavarur, derivati i së cilës është i barabartë me një, dhe një konstante (numër), derivati i së cilës është i barabartë me zero. Pra, "X" kthehet në një, dhe minus 5 kthehet në zero. Në shprehjen e dytë, "x" shumëzohet me 2, kështu që ne shumëzojmë dy me të njëjtën njësi si derivati i "x". Ne marrim vlerat e derivateve të mëposhtme:
Ne i zëvendësojmë derivatet e gjetura në shumën e produkteve dhe marrim derivatin e të gjithë funksionit të kërkuar nga kushti i problemit:
Dhe ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemit të derivateve në.
Shembulli 4. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Na kërkohet të gjejmë derivatin e herësit. Zbatojmë formulën për diferencimin e herësit: derivati i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një fraksion, numëruesi i së cilës është diferenca midis produkteve të emëruesit dhe derivatit të numëruesit dhe numëruesit dhe derivatit të emërues, dhe emëruesi është katrori i numëruesit të mëparshëm. Ne marrim:
Ne kemi gjetur tashmë derivatin e faktorëve në numërues në shembullin 2. Le të mos harrojmë gjithashtu se produkti, i cili është faktori i dytë në numërues në shembullin aktual, merret me një shenjë minus:
Nëse jeni duke kërkuar zgjidhje për problemet në të cilat ju duhet të gjeni derivatin e një funksioni, ku ka një grumbull të vazhdueshëm rrënjësh dhe fuqish, si p.sh. 
, atëherë mirë se vini në klasë "Derivati i shumave të thyesave me fuqi dhe rrënjë" .
Nëse keni nevojë të mësoni më shumë rreth derivateve të sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe funksioneve të tjera trigonometrike, domethënë kur funksioni duket si , pastaj një mësim për ju "Derivatet e funksioneve të thjeshta trigonometrike" .
Shembulli 5. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një produkt, një nga faktorët e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur, derivatin e së cilës e kemi njohur në tabelën e derivateve. Duke përdorur rregullin për diferencimin e produktit dhe vlerën tabelare të derivatit të rrënjës katrore, marrim:
Zgjidhjen e problemit të derivatit mund ta kontrolloni në Llogaritësi i derivateve në internet .
Shembulli 6. Gjeni derivatin e një funksioni
Zgjidhje. Në këtë funksion shohim një herës, dividenda e të cilit është rrënja katrore e ndryshores së pavarur. Duke përdorur rregullin e diferencimit të herësve, të cilin e përsëritëm dhe e zbatuam në shembullin 4, dhe vlerën në tabelë të derivatit të rrënjës katrore, marrim:
Për të hequr qafe një thyesë në numërues, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin me .
Provoni vetë formulat 3 dhe 5.
RREGULLAT THEMELORE TË DIFERENCIIMIT
Duke përdorur metodën e përgjithshme të gjetjes së derivatit duke përdorur kufirin, mund të merren formulat më të thjeshta të diferencimit. Le u=u(x),v=v(x)– dy funksione të diferencueshme të një ndryshoreje x.
Provoni vetë formulat 1 dhe 2.
Dëshmi e Formulës 3.
Le y = u(x) + v(x). Për vlerën e argumentit x+Δ x ne kemi y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).
Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.
Prandaj,
Dëshmi e Formulës 4.
Le y=u(x)·v(x). Pastaj y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Kjo është arsyeja pse
Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).
Vini re se meqenëse secili prej funksioneve u Dhe v të diferencueshme në pikë x, atëherë ato janë të vazhdueshme në këtë pikë, që do të thotë u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), në Δ x→0.
Prandaj mund të shkruajmë
Bazuar në këtë veti, mund të merret një rregull për diferencimin e produktit të çdo numri funksionesh.
Le, për shembull, y=u·v·w. Pastaj,
y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w ") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w".
Vërtetimi i formulës 5.
Le . Pastaj
Në provë kemi përdorur faktin se v(x+Δ x)→v(x) në Δ x→0.
Shembuj.
TEOREMA MBI DERIVATIN E FUNKSIONIT KOMPLEKS
Le y = f(u), A u= u(x). Ne marrim funksionin y në varësi të argumentit x: y = f(u(x)). Funksioni i fundit quhet funksion i një funksioni ose funksion kompleks.
Domeni i përkufizimit të funksionit y = f(u(x))është ose i gjithë domeni i përkufizimit të funksionit u=u(x) ose ajo pjesë në të cilën përcaktohen vlerat u, duke mos lënë domenin e përcaktimit të funksionit y= f(u).
Operacioni funksion-nga-funksion mund të kryhet jo vetëm një herë, por çdo numër herë.
Le të vendosim një rregull për diferencimin e një funksioni kompleks.
Teorema. Nëse funksioni u= u(x) ka në një moment x 0 derivat dhe merr vlerën në këtë pikë u 0 = u(x 0), dhe funksionin y=f(u) ka në pikën u 0 derivatore y"u = f "(u 0), pastaj një funksion kompleks y = f(u(x)) në pikën e caktuar x 0 gjithashtu ka një derivat, i cili është i barabartë me y"x = f "(u 0)· u "(x 0), ku në vend të u shprehja duhet të zëvendësohet u= u(x).
Kështu, derivati i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të një funksioni të caktuar në lidhje me argumentin e ndërmjetëm u ndaj derivatit të argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.
Dëshmi. Për një vlerë fikse X 0 do të kemi u 0 =u(x 0), në 0 =f(u 0 ). Për një vlerë të re argumenti x 0+Δ x:
Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).
Sepse u– i diferencueshëm në një pikë x 0, Kjo u– është e vazhdueshme në këtë pikë. Prandaj, në Δ x→0 Δ u→0. Në mënyrë të ngjashme për Δ u→0 Δ y→0.
Sipas kushteve 
. Nga kjo lidhje, duke përdorur përkufizimin e kufirit, marrim (në Δ u→0)
ku α→0 në Δ u→0, dhe, rrjedhimisht, në Δ x→0.
Le ta rishkruajmë këtë barazi si:
Δ y=y" uΔ u+α·Δ u.
Barazia që rezulton është gjithashtu e vlefshme për Δ u=0 për α arbitrare, pasi kthehet në identitet 0=0. Në Δ u=0 do të supozojmë α=0. Le të ndajmë të gjithë termat e barazisë që rezulton me Δ x
.
Sipas kushteve 
. Prandaj, duke kaluar në kufirin në Δ x→0, marrim y"x = y"u·u" x. Teorema është vërtetuar.
Pra, për të dalluar një funksion kompleks y = f(u(x)), ju duhet të merrni derivatin e funksionit "të jashtëm". f, duke e trajtuar argumentin e tij thjesht si një ndryshore dhe shumëzuar me derivatin e funksionit "të brendshëm" në lidhje me variablin e pavarur.
Nëse funksioni y=f(x) mund të paraqitet në formë y=f(u), u=u(v), v=v(x), atëherë gjetja e derivatit y " x kryhet me zbatimin sekuencial të teoremës së mëparshme.
Sipas rregullit të provuar, ne kemi y"x = y"u u"x. Zbatimi i së njëjtës teoremë për u"x marrim, d.m.th.
y"x = y"x u"v v"x = f"u( u)· u"v ( v)· v"x ( x).
Shembuj.
KONCEPTI I FUNKSIONIT TË INVERSIT
Le të fillojmë me një shembull. Merrni parasysh funksionin y= x 3. Ne do të konsiderojmë barazinë y= x 3 si një ekuacion relativ x. Ky është ekuacioni për secilën vlerë në përcakton një vlerë të vetme x: . Gjeometrikisht, kjo do të thotë se çdo vijë e drejtë është paralele me boshtin kau pret grafikun e një funksioni y= x 3 vetëm në një moment. Prandaj mund të konsiderojmë x në funksion të y. Një funksion quhet inversi i një funksioni y= x 3.
Para se të kalojmë në rastin e përgjithshëm, ne prezantojmë përkufizimet.
Funksioni y = f(x) thirrur në rritje në një segment të caktuar, nëse vlera më e madhe e argumentit x nga ky segment i përgjigjet një vlerë më e madhe e funksionit, d.m.th. Nëse x 2 >x 1, atëherë f(x 2 ) > f(x 1 ).
Funksioni thirret në mënyrë të ngjashme në rënie, nëse një vlerë më e vogël e argumentit i përgjigjet një vlere më të madhe të funksionit, d.m.th. Nëse X 2 < X 1, atëherë f(x 2 ) > f(x 1 ).
Pra, le të jepet një funksion rritës ose zvogëlues y=f(x), e përcaktuar në një interval të caktuar [ a; b]. Për definicion, ne do të konsiderojmë një funksion në rritje (për një në rënie gjithçka është e ngjashme).
Konsideroni dy vlera të ndryshme X 1 dhe X 2. Le y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Nga përkufizimi i një funksioni rritës del se nëse x 1 <x 2, atëherë në 1 <në 2. Prandaj, dy vlera të ndryshme X 1 dhe X 2 korrespondon me dy vlera të ndryshme funksioni në 1 dhe në 2. Është e vërtetë edhe e kundërta, d.m.th. Nëse në 1 <në 2, atëherë nga përkufizimi i një funksioni rritës rrjedh se x 1 <x 2. ato. përsëri dy vlera të ndryshme në 1 dhe në 2 korrespondon me dy vlera të ndryshme x 1 dhe x 2. Kështu, midis vlerave x dhe vlerat e tyre përkatëse y krijohet një korrespondencë një me një, d.m.th. ekuacionin y=f(x) per secilin y(marrë nga diapazoni i funksionit y=f(x)) përcakton një vlerë të vetme x, dhe mund të themi se x ka disa funksione argumenti y: x= g(y).
Ky funksion quhet e kundërta për funksion y=f(x). Natyrisht, funksioni y=f(x)është anasjellta e funksionit x=g(y).
Vini re se funksioni i anasjelltë x=g(y) gjetur duke zgjidhur ekuacionin y=f(x) relativisht X.
Shembull. Le të jepet funksioni y= e x. Ky funksion rritet në –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= log y. Domeni i funksionit të anasjelltë 0< y < + ∞.
Le të bëjmë disa komente.
Shënim 1. Nëse një funksion në rritje (ose në rënie). y=f(x)është e vazhdueshme në intervalin [ a; b], dhe f(a)=c, f(b)=d, atëherë funksioni i anasjelltë është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në intervalin [ c; d].
Shënim 2. Nëse funksioni y=f(x) nuk është as në rritje e as në rënie në një interval të caktuar, atëherë mund të ketë disa funksione të anasjellta.
Shembull. Funksioni y=x2 përcaktuar në –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x Funksioni ≤ 0 – zvogëlohet dhe anasjelltas i tij.
Shënim 3. Nëse funksionet y=f(x) Dhe x=g(y) janë reciprokisht të anasjellta, atëherë shprehin të njëjtën marrëdhënie midis variablave x Dhe y. Prandaj, grafiku i të dyve është e njëjta kurbë. Por nëse argumentin e funksionit të anasjelltë e shënojmë sërish me x, dhe funksioni përmes y dhe i vizatojmë në të njëjtin sistem koordinativ, do të marrim dy grafikë të ndryshëm. Është e lehtë të vërehet se grafikët do të jenë simetrik në lidhje me përgjysmuesin e këndit të koordinatës së parë.
TEOREMA MBI FUNKSIONIN E INVERSIT DERIVATIV
Le të vërtetojmë një teoremë që na lejon të gjejmë derivatin e funksionit y=f(x), duke ditur derivatin e funksionit të anasjelltë.
Teorema. Nëse për funksionin y=f(x) ka një funksion të anasjelltë x=g(y), i cili në një moment në 0 ka një derivat g "(v 0), jo zero, pastaj në pikën përkatëse x 0=g(x 0) funksion y=f(x) ka një derivat f "(x 0), e barabartë me , d.m.th. formula është e saktë.
Dëshmi. Sepse x=g(y) të diferencueshme në pikë y 0, Kjo x=g(y)është i vazhdueshëm në këtë pikë, pra funksioni y=f(x) e vazhdueshme në një pikë x 0=g(y 0). Prandaj, në Δ x→0 Δ y→0.
Le ta tregojmë atë 
.
Le . Pastaj, nga vetia e limitit 
. Le të kalojmë në këtë barazi në kufirin në Δ y→0. Pastaj Δ x→0 dhe α(Δx)→0, d.m.th. .
Prandaj,
,
Q.E.D.
Kjo formulë mund të shkruhet në formën .
Le të shohim zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembuj.
Ne paraqesim pa prova formulat për derivatet e funksioneve elementare bazë:
1. Funksioni i fuqisë: (x n)` =nx n -1 .
2. Funksioni eksponencial: (a x)` =a x lna(në veçanti, (e x)` = e x).
3. Funksioni logaritmik: (në veçanti, (lnx)` = 1/x).
4. Funksionet trigonometrike:
(cosх)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sin 2 x
5. Funksionet trigonometrike të anasjellta:
Mund të vërtetohet se për të diferencuar një funksion eksponencial të fuqisë, është e nevojshme të përdoret formula për derivatin e një funksioni kompleks dy herë, domethënë, të diferencohet si funksion kompleks i fuqisë dhe si funksion kompleks eksponencial, dhe të shtohen rezultatet. : (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
Derivatet e rendit më të lartë
Meqenëse derivati i një funksioni është në vetvete një funksion, ai gjithashtu mund të ketë një derivat. Koncepti i një derivati, i cili u diskutua më lart, i referohet një derivati të rendit të parë.
Derivatn- urdhri quhet derivat i derivatit të rendit (n- 1). Për shembull, f``(x) = (f`(x))` - derivat i rendit të dytë (ose derivat i dytë), f```(x) = (f``(x))` - derivat i rendit të tretë ( ose derivat i tretë), etj. Ndonjëherë numrat arabë romakë në kllapa përdoren për të treguar derivatet e rendit më të lartë, për shembull, f (5) (x) ose f (V) (x) për një derivat të rendit të pestë.
Kuptimi fizik i derivateve të rendit më të lartë përcaktohet në të njëjtën mënyrë si për derivatin e parë: secili prej tyre përfaqëson shkallën e ndryshimit të derivatit të rendit të mëparshëm. Për shembull, derivati i dytë paraqet shkallën e ndryshimit të të parit, d.m.th. shpejtësia e shpejtësisë. Për lëvizjen drejtvizore, do të thotë nxitimi i një pike në një moment në kohë.
Funksioni i elasticitetit
Funksioni i elasticitetit E x (y) është kufiri i raportit të rritjes relative të funksionit y ndaj rritjes relative të argumentit x pasi ky i fundit tenton në zero: 
.
Elasticiteti i një funksioni tregon afërsisht sa për qind do të ndryshojë funksioni y = f(x) kur ndryshorja e pavarur x ndryshon me 1%.
Në kuptimin ekonomik, ndryshimi midis këtij treguesi dhe derivatit është se derivati ka njësi matëse, dhe për këtë arsye vlera e tij varet nga njësitë në të cilat maten variablat. Për shembull, nëse varësia e vëllimit të prodhimit nga koha shprehet përkatësisht në ton dhe muaj, atëherë derivati do të tregojë rritjen margjinale të vëllimit në ton në muaj; nëse i matim këta tregues, të themi, në kilogramë dhe ditë, atëherë si vetë funksioni ashtu edhe derivati i tij do të jenë të ndryshëm. Elasticiteti është në thelb një sasi pa dimension (e matur në përqindje ose pjesë) dhe për këtë arsye nuk varet nga shkalla e treguesve.
Teorema themelore mbi funksionet e diferencishme dhe aplikimet e tyre
Teorema e Fermatit. Nëse një funksion i diferencueshëm në një interval arrin vlerën e tij më të madhe ose minimale në një pikë të brendshme të këtij intervali, atëherë derivati i funksionit në këtë pikë është zero.
Asnjë provë.
Kuptimi gjeometrik i teoremës së Fermatit është se në pikën e vlerës më të madhe ose më të vogël të arritur brenda intervalit, tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin e abshisës (Figura 3.3).
Teorema e Rolit. Le të plotësojmë funksionin y =f(x) kushtet e mëposhtme:
2) i diferencueshëm në intervalin (a, b);
3) në skajet e segmentit merr vlera të barabarta, d.m.th. f(a) =f(b).
Atëherë ka të paktën një pikë brenda segmentit në të cilin derivati i funksionit është i barabartë me zero.
Asnjë provë.
Kuptimi gjeometrik i teoremës së Rolle është se ekziston të paktën një pikë në të cilën tangjentja me grafikun e funksionit do të jetë paralele me boshtin e abshisës (për shembull, në figurën 3.4 ka dy pika të tilla).
Nëse f(a) =f(b) = 0, atëherë teorema e Rolle-s mund të formulohet ndryshe: midis dy zerove të njëpasnjëshme të funksionit të diferencueshëm ka të paktën një zero të derivatit.
Teorema e Rolit është një rast i veçantë i teoremës së Lagranzhit.
Teorema e Lagranzhit. Le të plotësojmë funksionin y =f(x) kushtet e mëposhtme:
1) e vazhdueshme në intervalin [a, b];
2) i diferencueshëm në intervalin (a, b).
Pastaj brenda segmentit ka të paktën një pikë të tillë c, në të cilën derivati është i barabartë me herësin e rritjes së funksionit të ndarë me rritjen e argumentit në këtë segment: 
.
Asnjë provë.
Për të kuptuar kuptimin fizik të teoremës së Lagranzhit, vërejmë se 
nuk është asgjë më shumë se shkalla mesatare e ndryshimit të funksionit gjatë gjithë intervalit [a, b]. Kështu, teorema thotë se brenda segmentit ekziston të paktën një pikë në të cilën shkalla "e menjëhershme" e ndryshimit të funksionit është e barabartë me shkallën mesatare të ndryshimit të tij në të gjithë segmentin.
Kuptimi gjeometrik i teoremës së Lagranzhit është ilustruar në figurën 3.5. Vini re se shprehja 
paraqet koeficientin këndor të drejtëzës në të cilën shtrihet korda AB. Teorema thotë se në grafikun e një funksioni do të ketë të paktën një pikë në të cilën tangjentja ndaj tij do të jetë paralele me këtë kordë (d.m.th., pjerrësia e tangjentes - derivati - do të jetë e njëjtë).
Përfundim: nëse derivati i një funksioni është i barabartë me zero në një interval të caktuar, atëherë funksioni është identikisht konstant në këtë interval.
Në fakt, le të marrim intervalin. Sipas teoremës së Lagranzhit, në këtë interval ka një pikë c për të cilën 
. Prandaj f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = konst.
Rregulli i L'Hopital. Kufiri i raportit të dy funksioneve pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha është i barabartë me kufirin e raportit të derivateve të tyre (i fundëm ose i pafund), nëse ky i fundit ekziston në kuptimin e treguar.
Me fjalë të tjera, nëse ka pasiguri të formës 
, Kjo 
.
Asnjë provë.
Zbatimi i rregullit të L'Hopital për të gjetur kufij do të diskutohet në klasa praktike.
Kusht i mjaftueshëm për një rritje (ulje) të një funksioni. Nëse derivati i një funksioni të diferencueshëm është pozitiv (negativ) brenda një intervali të caktuar, atëherë funksioni rritet (zvogëlohet) në këtë interval.
Dëshmi. Konsideroni dy vlera x 1 dhe x 2 nga ky interval (le x 2 > x 1). Nga teorema e Lagrandit në [x 1, x 2] ekziston një pikë c në të cilën Teorema është vërtetuar. Interpretimi gjeometrik i kushtit për monotoninë e një funksioni: nëse tangjentet në kurbë në një interval të caktuar drejtohen në kënde akute ndaj boshtit të abshisës, atëherë funksioni rritet, dhe nëse në kënde të mprehta, atëherë zvogëlohet (shih Figurën 3.6 ). Shënim: kushti i nevojshëm për monotoni është më i dobët. Nëse një funksion rritet (zvogëlohet) gjatë një intervali të caktuar, atëherë derivati është jo-negativ (jo pozitiv) në këtë interval (d.m.th., në pika të veçanta derivati i një funksioni monoton mund të jetë i barabartë me zero). Llogaritja e derivatit gjendet shpesh në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Kjo faqe përmban një listë formulash për gjetjen e derivateve. Ne paraqesim një tabelë përmbledhëse për lehtësi dhe qartësi gjatë studimit të temës. Konstantey = C Funksioni i fuqisë y = x p (x p) " = p x p - 1 Funksioni eksponencialy = a x (a x) " = a x ln a Në veçanti, kura = ene kemi y = e x (e x) " = e x Funksioni logaritmik (log a x) " = 1 x ln a Në veçanti, kura = ene kemi y = logx (ln x) " = 1 x Funksionet trigonometrike (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 mëkat 2 x Funksionet trigonometrike të anasjellta (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Funksionet hiperbolike (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Le të analizojmë se si janë marrë formulat e tabelës së specifikuar ose, me fjalë të tjera, do të vërtetojmë derivimin e formulave të derivateve për çdo lloj funksioni. Për të nxjerrë këtë formulë, marrim si bazë përkufizimin e derivatit të një funksioni në një pikë. Ne përdorim x 0 = x, ku x merr vlerën e çdo numri real, ose, me fjalë të tjera, xështë çdo numër nga fusha e funksionit f (x) = C. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit si ∆ x → 0: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Ju lutemi vini re se shprehja 0 ∆ x bie nën shenjën e kufirit. Nuk është pasiguria "zero pjesëtuar me zero", pasi numëruesi nuk përmban një vlerë pafundësisht të vogël, por saktësisht zero. Me fjalë të tjera, rritja e një funksioni konstant është gjithmonë zero. Pra, derivati i funksionit konstant f (x) = C është i barabartë me zero në të gjithë fushën e përkufizimit. Shembulli 1 Janë dhënë funksionet konstante: f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Zgjidhje
Le të përshkruajmë kushtet e dhëna. Në funksionin e parë shohim derivatin e numrit natyror 3. Në shembullin e mëposhtëm, ju duhet të merrni derivatin e A, Ku A- çdo numër real. Shembulli i tretë na jep derivatin e numrit irracional 4. 13 7 22, i katërti është derivati i zeros (zero është një numër i plotë). Së fundi, në rastin e pestë kemi derivatin e thyesës racionale - 8 7. Përgjigje: derivatet e funksioneve të dhëna janë zero për çdo real x(në të gjithë zonën e përkufizimit) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0" = 0, f 5" (x) = - 8 7" = 0 Le të kalojmë te funksioni i fuqisë dhe formula për derivatin e tij, e cila ka formën: (x p) " = p x p - 1, ku eksponenti fqështë çdo numër real. Dëshmia 2 Këtu është vërtetimi i formulës kur eksponenti është një numër natyror: p = 1, 2, 3,… Ne përsëri mbështetemi në përkufizimin e një derivati. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni fuqie me rritjen e argumentit: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Për të thjeshtuar shprehjen në numërues, ne përdorim formulën binomiale të Njutonit: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Kështu: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1 Kështu, ne kemi vërtetuar formulën për derivatin e një funksioni fuqie kur eksponenti është një numër natyror. Dëshmia 3 Të sigurojë prova për rastin kur p-çdo numër real përveç zeros, ne përdorim derivatin logaritmik (këtu duhet të kuptojmë ndryshimin nga derivati i një funksioni logaritmik). Për të pasur një kuptim më të plotë, këshillohet të studiohet derivati i një funksioni logaritmik dhe gjithashtu të kuptohet derivati i një funksioni të nënkuptuar dhe derivati i një funksioni kompleks. Le të shqyrtojmë dy raste: kur x pozitive dhe kur x negativ. Pra x > 0. Pastaj: x p > 0 . Le të logaritmojmë barazinë y = x p në bazën e dhe të zbatojmë vetinë e logaritmit: y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x Në këtë fazë, ne kemi marrë një funksion të specifikuar në mënyrë implicite. Le të përcaktojmë derivatin e tij: (ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1 Tani shqyrtojmë rastin kur x - një numër negativ. Nëse treguesi fqështë një numër çift, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Pastaj x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Nëse fqështë një numër tek, atëherë funksioni i fuqisë përcaktohet për x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1 Tranzicioni i fundit është i mundur për faktin se nëse fqështë një numër tek, atëherë p - 1 ose një numër çift ose zero (për p = 1), pra, për negativ x barazia (- x) p - 1 = x p - 1 është e vërtetë. Pra, ne kemi vërtetuar formulën për derivatin e një funksioni fuqie për çdo p real. Shembulli 2 Funksionet e dhëna: f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12 Përcaktoni derivatet e tyre. Zgjidhje
Ne transformojmë disa nga funksionet e dhëna në formën tabelare y = x p, bazuar në vetitë e shkallës, dhe më pas përdorim formulën: f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84 Le të nxjerrim formulën e derivatit duke përdorur përkufizimin si bazë: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Kemi paqartësi. Për ta zgjeruar atë, le të shkruajmë një ndryshore të re z = a ∆ x - 1 (z → 0 si ∆ x → 0). Në këtë rast, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Për tranzicionin e fundit, u përdor formula për kalimin në një bazë të re logaritmi. Le të zëvendësojmë në kufirin origjinal: (a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Le të kujtojmë kufirin e dytë të shquar dhe më pas marrim formulën për derivatin e funksionit eksponencial: (a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a Shembulli 3 Janë dhënë funksionet eksponenciale: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Është e nevojshme të gjenden derivatet e tyre. Zgjidhje
Ne përdorim formulën për derivatin e funksionit eksponencial dhe vetitë e logaritmit: f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Le të japim një vërtetim të formulës për derivatin e një funksioni logaritmik për cilindo x në fushën e përkufizimit dhe çdo vlerë të lejuar të bazës a të logaritmit. Bazuar në përkufizimin e derivatit, marrim: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a Nga zinxhiri i treguar i barazive është e qartë se shndërrimet janë bazuar në vetinë e logaritmit. Kufiri i barazisë ∆ x → 0 1 + ∆ x x ∆ x = e është i vërtetë në përputhje me kufirin e dytë të shquar. Shembulli 4 Janë dhënë funksionet logaritmike: f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x Është e nevojshme të llogariten derivatet e tyre. Zgjidhje
Le të zbatojmë formulën e nxjerrë: f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x Pra, derivati i logaritmit natyror është një pjesëtuar me x. Le të përdorim disa formula trigonometrike dhe kufirin e parë të mrekullueshëm për të nxjerrë formulën për derivatin e një funksioni trigonometrik. Sipas përkufizimit të derivatit të funksionit sinus, marrim: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Formula për diferencën e sinuseve do të na lejojë të kryejmë veprimet e mëposhtme: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Më në fund, ne përdorim kufirin e parë të mrekullueshëm: sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Pra, derivati i funksionit mëkat x do cos x. Do të vërtetojmë gjithashtu formulën për derivatin e kosinusit: cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - mëkat x ato. derivati i funksionit cos x do të jetë – mëkat x. Ne nxjerrim formulat për derivatet e tangjentes dhe kotangjentes bazuar në rregullat e diferencimit: t g " x = mëkat x cos x " = mëkat " x · cos x - mëkat x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - mëkat x · (- mëkat x) cos 2 x = mëkat 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - mëkat x · mëkat x - cos x · cos x mëkat 2 x = - mëkat 2 x + cos 2 x mëkat 2 x = - 1 mëkat 2 x Seksioni mbi derivatin e funksioneve të anasjellta ofron informacion gjithëpërfshirës mbi vërtetimin e formulave për derivatet e arksinës, arkkosinës, arktangjentit dhe arkotangjentit, kështu që ne nuk do ta dublikojmë materialin këtu. Ne mund të nxjerrim formulat për derivatet e sinusit hiperbolik, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit duke përdorur rregullën e diferencimit dhe formulën për derivatin e funksionit eksponencial: s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s - h 2 x 2 x h = Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
. Prandaj f(x 2) –f(x 1) =f`(c)(x 2 –x 1). Atëherë për f`(c) > 0 ana e majtë e pabarazisë është pozitive, pra f(x 2) >f(x 1), dhe funksioni është në rritje. Kurf`(c)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Rregullat e diferencimit
Ju këshillojmë të ruani lidhjen, pasi kjo tabelë mund të jetë e nevojshme shumë herë.
Derivat i një konstante
Dëshmia 1 Derivat i një funksioni fuqie
Derivat i një funksioni eksponencial
Prova 4 Derivat i një funksioni logaritmik
Dëshmia 5 Derivatet e funksioneve trigonometrike
Prova 6 Derivatet e funksioneve trigonometrike të anasjellta
Derivatet e funksioneve hiperbolike
Dëshmia 7
Po ngarkohet...