Rrjedhat më të thjeshta janë proceset Markov dhe zinxhirët e zgjidhjes. Elementet e teorisë së radhës. Modelimi i këtij procesi

Agjencia Federale për arsimin në Federatën Ruse

FGOU SPO "Kolegji i Ndërtimit Perevozsky"

sipas disiplinës" Metodat matematikore»

me temën “SMO me kohë të kufizuar pritjeje. QS e mbyllur"

Prezantimi................................................. .......................................................... ............. ....... 2

1. Bazat e teorisë së radhës................................................ ................................ 3

1.1 Koncepti i një procesi të rastësishëm.......................................... ................................. 3

1.2 Procesi i rastësishëm Markov................................................ ...... ................ 4

1.3 Transmetimet e ngjarjeve................................................ ................................................................ ............. 6

1.4 Ekuacionet e Kolmogorovit për probabilitetet e gjendjes. Probabilitetet e gjendjes përfundimtare...................................................... ...................................................... ...................... 9

1.5 Problemet e teorisë së radhës................................................ ....... .. 13

1.6 Klasifikimi i sistemeve të radhës................................................ ..... 15

2. Sistemet e radhës me pritje................................................ ........ 16

2.1 QS me një kanal me pritje.......................................... ......... ........... 16

2.2 QS me shumë kanale me pritje.......................................... ......... ......... 25

3. QS e mbyllur................................................ .......................................................... ... 37

Zgjidhja e problemit...................................................... ................................................... 45

konkluzioni................................................ ................................................ ...... 50

Bibliografi................................................ . ................................ 51

Në këtë kurs do të shikojmë sistemet e ndryshme të radhës (QS) dhe rrjetet e radhës (Queuing).

Një sistem i radhës (QS) kuptohet si një sistem dinamik i krijuar për të shërbyer në mënyrë efikase rrjedhën e kërkesave (kërkesat e shërbimit) nën kufizimet në burimet e sistemit.

Modelet QS janë të përshtatshme për përshkrimin e nënsistemeve individuale të sistemeve kompjuterike moderne, siç është nënsistemi i procesorit - memoria kryesore, kanali hyrje-dalje, etj. Një sistem kompjuterik në tërësi është një grup nënsistemesh të ndërlidhura, ndërveprimi i të cilave është probabilist. Një aplikacion për zgjidhjen e një problemi të caktuar që hyn në një sistem kompjuterik kalon nëpër një sekuencë fazash numërimi, aksesi në pajisjet e ruajtjes së jashtme dhe pajisjet hyrëse-dalëse. Pas përfundimit të një sekuence të caktuar fazash të tilla, numri dhe kohëzgjatja e të cilave varet nga kompleksiteti i programit, kërkesa konsiderohet e servisuar dhe largohet nga sistemi kompjuterik. Kështu, sistemi kompjuterik në tërësi mund të përfaqësohet nga një grup QS, secila prej të cilave pasqyron procesin e funksionimit të një pajisjeje individuale ose një grupi pajisjesh të ngjashme që janë pjesë e sistemit.

Një grup QS-sh të ndërlidhura quhet një rrjet në radhë (rrjet stokastik).

Për të filluar, ne do të shikojmë bazat e teorisë së QS, pastaj do të kalojmë në njohjen në përmbajtje të detajuar me QS me pritshmëri dhe QS të mbyllur. Kursi përfshin edhe një pjesë praktike, në të cilën do të mësojmë në detaje se si të zbatojmë teorinë në praktikë.

Teoria e radhës është një nga degët e teorisë së probabilitetit. Kjo teori konsideron probabilistike probleme dhe modele matematikore (më parë kemi marrë në konsideratë modelet matematikore deterministe). Le t'ju kujtojmë se:

Modeli matematikor përcaktues pasqyron sjelljen e një objekti (sistemi, procesi) nga këndvështrimi siguri të plotë në të tashmen dhe të ardhmen.

Modeli matematikor probabilistik merr parasysh ndikimin e faktorëve të rastësishëm në sjelljen e një objekti (sistemi, procesi) dhe, për rrjedhojë, vlerëson të ardhmen nga pikëpamja e probabilitetit të ngjarjeve të caktuara.

Ato. këtu, si për shembull, në teorinë e lojës merren parasysh problemet në kushte pasiguria .

Le të shqyrtojmë fillimisht disa koncepte që karakterizojnë "pasigurinë stokastike", kur faktorët e pasigurt të përfshirë në problem janë variabla të rastësishëm (ose funksione të rastësishme), karakteristikat probabilistike të të cilave ose janë të njohura ose mund të merren nga përvoja. Një pasiguri e tillë quhet edhe "e favorshme", "beninje".

Në mënyrë rigoroze, shqetësimet e rastësishme janë të natyrshme në çdo proces. Është më e lehtë të jepen shembuj të një procesi të rastësishëm sesa një procesi "jo të rastësishëm". Edhe, për shembull, procesi i drejtimit të një ore (duket se është një punë e kalibruar rreptësisht - "punon si një orë") i nënshtrohet ndryshimeve të rastësishme (lëvizja përpara, ngecja, ndalesa). Por për sa kohë që këto shqetësime janë të parëndësishme dhe kanë pak efekt në parametrat me interes për ne, ne mund t'i neglizhojmë dhe ta konsiderojmë procesin si determinist, jo të rastësishëm.

Le të ketë një sistem S (pajisje teknike, një grup pajisjesh të tilla, një sistem teknologjik - një makinë, një vend, një punëtori, një ndërmarrje, një industri, etj.). Në sistem S rrjedhjet proces i rastësishëm, nëse ndryshon gjendjen e tij me kalimin e kohës (kalon nga një gjendje në tjetrën), për më tepër, në një mënyrë të rastësishme të panjohur më parë.

Shembuj:

1. Sistemi S– sistemi teknologjik (seksioni i makinerisë). Makineritë prishen herë pas here dhe riparohen. Procesi që ndodh në këtë sistem është i rastësishëm.

2. Sistemi S- një avion që fluturon në një lartësi të caktuar përgjatë një rruge specifike. Faktorët shqetësues - kushtet e motit, gabimet e ekuipazhit, etj., pasojat - gunga, shkelje e orarit të fluturimit, etj.

Një proces i rastësishëm që ndodh në një sistem quhet Markovsky, nëse për ndonjë moment të kohës t 0 karakteristikat probabilistike të një procesi në të ardhmen varen vetëm nga gjendja e tij për momentin t 0 dhe nuk varen nga kur dhe si sistemi arriti në këtë gjendje.

Le të jetë sistemi në një gjendje të caktuar në momentin t 0 S 0 . Ne i dimë karakteristikat e gjendjes së sistemit në të tashmen dhe gjithçka që ka ndodhur gjatë t <t 0 (historia e procesit). A mund të parashikojmë (parashikojmë) të ardhmen, d.m.th. çfarë do të ndodhë kur t >t 0 ? Jo saktësisht, por disa karakteristika probabilistike të procesit mund të gjenden në të ardhmen. Për shembull, probabiliteti që pas njëfarë kohe sistemi S do të jetë në gjendje të S 1 ose do të mbetet në gjendje S 0, etj.

Shembull. Sistemi S- një grup avionësh që marrin pjesë në lufta ajrore. Le x– numri i avionëve “të kuq”, y– numri i avionëve “blu”. Nga koha t 0 numri i avionëve të mbijetuar (jo të rrëzuar), përkatësisht - x 0 , y 0 . Na intereson probabiliteti që në një moment epërsia numerike të jetë në anën e “të kuqve”. Ky probabilitet varet nga ajo gjendje në të cilën ishte sistemi në atë kohë t 0, dhe jo se kur dhe në çfarë sekuence vdiqën të qëlluarit deri në atë moment t 0 avionë.

Në praktikë proceset Markov zakonisht nuk gjenden në formën e tyre të pastër. Por ka procese për të cilat ndikimi i "parahistorisë" mund të neglizhohet. Dhe kur studiohen procese të tilla, mund të përdoren modelet e Markovit (teoria e radhës nuk i merr parasysh sistemet e radhës së Markovit, por aparati matematikor që i përshkruan ato është shumë më kompleks).

Në kërkimin e operacioneve rëndësi të madhe kanë procese të rastësishme Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme.

Procesi quhet procesi i gjendjes diskrete, nëse gjendjet e tij të mundshme S 1 , S 2, ... mund të përcaktohet paraprakisht, dhe kalimi i sistemit nga gjendja në gjendje ndodh "në një kërcim", pothuajse menjëherë.

Procesi quhet proces i vazhdueshëm kohor, nëse momentet e kalimeve të mundshme nga gjendja në gjendje nuk janë të fiksuara paraprakisht, por janë të pasigurta, të rastësishme dhe mund të ndodhin në çdo moment.

Shembull. Sistemi teknologjik (seksioni) S përbëhet nga dy makina, secila prej të cilave mund të dështojë (dështon) në një moment të rastësishëm në kohë, pas së cilës fillon menjëherë riparimi i njësisë, i cili gjithashtu vazhdon për një kohë të panjohur, të rastësishme. Gjendjet e mëposhtme të sistemit janë të mundshme:

S 0 - të dy makinat janë duke punuar;

S 1 - makina e parë është duke u riparuar, e dyta është duke punuar;

S 2 - makina e dyte eshte duke u riparuar, e para eshte ne pune;

S 3 - te dyja makinat jane duke u riparuar.

Tranzicionet e sistemit S nga një gjendje në tjetrën ndodhin pothuajse menjëherë, në momente të rastësishme kur një makinë e caktuar dështon ose përfundon një riparim.

Kur analizoni procese të rastësishme me gjendje diskrete, është e përshtatshme të përdorni një skemë gjeometrike - grafiku i gjendjes. Kulmet e grafikut janë gjendjet e sistemit. Harqet e grafikut janë kalime të mundshme nga gjendja në gjendje. Për shembullin tonë, grafiku i gjendjes është paraqitur në Fig. 1.

Oriz. 1. Grafiku i gjendjes së sistemit

Shënim. Kalimi nga shteti S 0 in S 3 nuk tregohet në figurë, sepse supozohet se makinat dështojnë në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra. Ne neglizhojmë mundësinë e dështimit të njëkohshëm të të dy makinave.

Transmetimi i ngjarjeve– një sekuencë ngjarjesh homogjene që pasojnë njëra pas tjetrës në disa momente të rastësishme në kohë.

Në shembullin e mëparshëm, kjo është një rrjedhë dështimesh dhe një rrjedhë restaurimesh. Shembuj të tjerë: fluksi i thirrjeve në një central telefonik, fluksi i klientëve në një dyqan, etj.

Rrjedha e ngjarjeve mund të përfaqësohet vizualisht nga një seri pikash në boshtin kohor O t- oriz. 2.

Oriz. 2. Imazhi i rrjedhës së ngjarjeve në boshtin kohor

Pozicioni i secilës pikë është i rastësishëm dhe këtu përshkruhet vetëm një zbatim i rrjedhës.

Intensiteti i rrjedhës së ngjarjes ( ) është numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës.

Le të shohim disa veti (lloje) të transmetimeve të ngjarjeve.

Rrjedha e ngjarjeve quhet stacionare, nëse karakteristikat e tij probabilistike nuk varen nga koha.

Në veçanti, intensiteti i rrjedhës së palëvizshme është konstant. Rrjedha e ngjarjeve pashmangshmërisht ka kondensime ose rrallime, por ato nuk janë të një natyre të rregullt dhe numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës është konstant dhe nuk varet nga koha.

Rrjedha e ngjarjeve quhet rrjedhin pa pasoja, nëse për çdo dy seksione kohore që nuk mbivendosen dhe (shih Fig. 2) numri i ngjarjeve që bien në njërën prej tyre nuk varet nga sa ngjarje bien në tjetrën. Me fjalë të tjera, kjo do të thotë se ngjarjet që formojnë rrjedhën shfaqen në momente të caktuara kohore të pavarur nga njëri-tjetri dhe secila shkaktohet nga shkaqet e veta.

Rrjedha e ngjarjeve quhet e zakonshme, nëse ngjarjet shfaqen në të një nga një, dhe jo në grupe me disa njëherësh.

Rrjedha e ngjarjeve quhet më i thjeshtë (ose i palëvizshëm Poisson), nëse ka tre veti njëherësh:

1) stacionare;

2) e zakonshme;

3) nuk ka pasoja.

Rrjedha më e thjeshtë ka përshkrimin më të thjeshtë matematikor. Ai luan të njëjtin rol të veçantë midis flukseve siç luan ligji. shpërndarje normale ndër ligjet e tjera të shpërndarjes. Domethënë, kur aplikohet, mjafton numer i madh flukset e pavarura, të palëvizshme dhe të zakonshme (të krahasueshme me njëra-tjetrën në intensitet) rezultojnë në një rrjedhje afër më të thjeshtës.

Për rrjedhën më të thjeshtë me interval intensiteti T ndërmjet ngjarjeve fqinje ka një të ashtuquajtur shpërndarja eksponenciale me densitet:

ku është parametri i ligjit eksponencial.

Për ndryshore e rastësishme T, e cila ka një shpërndarje eksponenciale, vlera e priturështë reciproke e parametrit, dhe devijimi standard është i barabartë me pritshmërinë matematikore:

Duke marrë parasysh proceset Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme, supozohet se të gjitha tranzicionet e sistemit S nga gjendja në gjendje ndodhin nën ndikimin e flukseve të thjeshta të ngjarjeve (flukset e thirrjeve, flukset e dështimit, flukset e rikuperimit, etj.). Nëse të gjitha ngjarjet rrjedhin duke transferuar sistemin S nga shteti në shtet nga më të thjeshtat, atëherë procesi që ndodh në sistem do të jetë Markovian.

Pra, një sistem në gjendje ndikohet nga një rrjedhë e thjeshtë ngjarjesh. Sapo shfaqet ngjarja e parë e kësaj rrjedhe, sistemi "kërcen" nga një gjendje në tjetrën (në grafikun e gjendjes përgjatë shigjetës).

Për qartësi, në grafikun e gjendjes së sistemit, për çdo hark, tregohet intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve që lëviz sistemin përgjatë këtij harku (shigjeta). - intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve që transferon sistemin nga gjendja në . Një grafik i tillë quhet e shënuar. Për shembullin tonë, grafiku i etiketuar është paraqitur në Fig. 3.

Oriz. 3. Grafiku i gjendjes së sistemit të etiketuar

Në këtë figurë - intensiteti i rrjedhës së dështimit; - intensiteti i rrjedhës së rikuperimit.

Ne supozojmë se koha mesatare për të riparuar një makinë nuk varet nga fakti nëse një makinë riparohet ose të dyja në të njëjtën kohë. Ato. Çdo makinë riparohet nga një specialist i veçantë.

Le të jetë sistemi në shtet S 0 . Në gjendje S 1 përkthehet nga rrjedha e dështimeve të makinës së parë. Intensiteti i tij është i barabartë me:

ku është koha mesatare e funksionimit pa dështime të makinës së parë.

Nga shteti S 1 in S 0 sistemi transferohet nga fluksi i "përfundimeve të riparimit" të makinës së parë. Intensiteti i tij është i barabartë me:

ku është koha mesatare e riparimit për makinën e parë.

Intensiteti i rrjedhave të ngjarjeve që transferojnë sistemin përgjatë të gjitha harqeve të grafikut llogariten në mënyrë të ngjashme. Duke pasur në dispozicion një grafik të etiketuar të gjendjeve të sistemit, ne ndërtojmë modeli matematik të këtij procesi.

Lëreni sistemin në shqyrtim S ka -gjendje të mundshme. Probabiliteti i gjendjes së th është probabiliteti që në momentin kohor, sistemi të jetë në gjendje. Është e qartë se për çdo moment në kohë shuma e të gjitha probabiliteteve të gjendjes është e barabartë me një:

Për të gjetur të gjitha probabilitetet e gjendjeve si funksione të kohës, kompozoni dhe zgjidhni ekuacionet e Kolmogorovit – lloj i veçantë ekuacionet në të cilat funksionet e panjohura janë probabilitetet e gjendjeve. Rregulli për hartimin e këtyre ekuacioneve është dhënë këtu pa prova. Por para se ta prezantojmë, le të shpjegojmë konceptin probabiliteti përfundimtar i gjendjes .

Çfarë do të ndodhë me probabilitetet shtetërore në ? A do të përpiqen për ndonjë kufi? Nëse këto kufij ekzistojnë dhe nuk varen nga gjendja fillestare e sistemit, atëherë thirren probabilitetet e gjendjes përfundimtare .

ku është numri i kufizuar i gjendjeve të sistemit.

Probabilitetet e gjendjes përfundimtare– këto nuk janë më madhësi të ndryshueshme (funksione të kohës), por numra konstante. Është e qartë se:

Probabiliteti i gjendjes përfundimtareështë në thelb koha mesatare relative që sistemi qëndron në këtë gjendje.

Për shembull, sistemi S ka tre shtete S 1 , S 2 dhe S 3. Probabilitetet përfundimtare të tyre janë përkatësisht 0,2; 0.3 dhe 0.5. Kjo do të thotë që një sistem në një gjendje stacionare kufizuese shpenzon mesatarisht 2/10 e kohës së tij në gjendje S 1, 3/10 - në gjendje S 2 dhe 5/10 - në gjendje S 3 .

Rregulli për kompozimin e sistemit të ekuacioneve Kolmogorov: në çdo ekuacion të sistemit në anën e majtëështë probabiliteti përfundimtar i një gjendjeje të caktuar, shumëzuar me intensitetin total të të gjitha rrjedhave, që çon nga ky shtet, A në të drejtën e tij pjesët- shuma e produkteve të intensiteteve të të gjitha rrjedhave, të përfshira në -shtet, mbi probabilitetet e shteteve nga vijnë këto flukse.

Duke përdorur këtë rregull, ne shkruajmë një sistem ekuacionesh për shembullin tonë :

Ky sistem prej katër ekuacionesh me katër të panjohura, me sa duket, mund të zgjidhet plotësisht. Por këto ekuacione janë homogjene (ato nuk kanë një term të lirë), dhe, për këtë arsye, ato përcaktojnë të panjohurat vetëm deri në një faktor arbitrar. Sidoqoftë, mund të përdorni kushtin e normalizimit: dhe e përdorin atë për të zgjidhur sistemin. Në këtë rast, një (ndonjë) nga ekuacionet mund të hidhet poshtë (kjo vjen si pasojë e të tjerave).

Vazhdimi i shembullit. Intensitetet e rrjedhjes le të jenë të barabarta me: .

Ne e hedhim poshtë ekuacionin e katërt dhe në vend të kësaj shtojmë një kusht normalizimi:

Ato. në modalitetin kufizues, të palëvizshëm të sistemit S mesatarisht 40% e kohës do të kalohet në gjendje të S 0 (të dyja makinat janë funksionale), 20% - në gjendje të mirë S 1 (makina e pare eshte ne riparim, e dyta punon) 27% - ne gjendje S 2 (makina e dyte eshte ne riparim, e para ne pune), 13% - ne gjendje S 3 (të dyja makinat janë në riparim). Njohja e këtyre probabiliteteve përfundimtare mund të ndihmojë në vlerësimin e efikasitetit mesatar të sistemit dhe ngarkesës së punës së organeve të riparimit.

Lëreni sistemin S në gjendje S 0 (plotësisht funksionale) sjell të ardhura prej 8 njësi konvencionale për njësi kohe, në gjendje S 1 – të ardhura 3 njësi konvencionale, në gjendje S 2 – të ardhura 5 njësi konvencionale, në gjendje S 3 – nuk krijon të ardhura. Më pas, në modalitetin kufizues, të palëvizshëm, të ardhurat mesatare për njësi të kohës do të jenë të barabarta me: njësitë konvencionale.

Makina 1 riparohet në një pjesë të kohës të barabartë me: . Makina 2 riparohet në një pjesë të kohës të barabartë me: . Ngrihet problemi i optimizimit. Edhe pse mund të zvogëlojmë kohën mesatare të riparimit të makinës së parë ose të dytë (ose të dyjave), do të na kushtojë një shumë të caktuar. Pyetja është, a do të paguajnë të ardhurat e rritura që lidhen me riparimet më të shpejta për rritjen e kostove të riparimit? Do t'ju duhet të zgjidhni një sistem prej katër ekuacionesh me katër të panjohura.

Shembuj të sistemeve të shërbimit në radhë (QS): centrale telefonike, dyqane riparimi, zyra biletash, tavolina informacioni, vegla makinerish dhe sisteme të tjera teknologjike, sisteme kontrolli fleksibël sistemet e prodhimit etj.

Çdo QS përbëhet nga një numër i caktuar njësish shërbimi, të cilat quhen kanalet e shërbimit(këto janë makina, karroca transporti, robotë, linja komunikimi, arkëtarë, shitës, etj.). Çdo QS është krijuar për të shërbyer një lloj rrjedha e aplikacioneve(kërkesat) që mbërrijnë në disa momente të rastësishme në kohë.

Shërbimi i kërkesës vazhdon për disa kohë, në përgjithësi, të rastësishme, pas së cilës kanali lirohet dhe është gati për të marrë kërkesën e radhës. Natyra e rastësishme e rrjedhës së aplikacioneve dhe koha e shërbimit çon në faktin se në disa periudha kohore një numër tepër i madh aplikacionesh grumbullohen në hyrjen e QS (ato ose qëndrojnë në radhë ose e lënë QS-në pa shërbim). Në periudha të tjera, sistemi do të funksionojë me nën ngarkesë ose do të jetë plotësisht i papunë.

Procesi i funksionimit QS është një proces i rastësishëm me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme. Gjendja e QS ndryshon papritur kur ndodhin ngjarje të caktuara (ardhja e një aplikacioni të ri, përfundimi i shërbimit, momenti kur një aplikacion i lodhur nga pritja largohet nga radha).

Lënda e teorisë së radhës– ndërtimi modele matematikore, duke lidhur kushtet e dhëna të funksionimit të QS (numri i kanaleve, produktiviteti i tyre, rregullat e funksionimit, natyra e fluksit të kërkesave) me karakteristikat që na interesojnë - tregues të efektivitetit të QS. Këta tregues përshkruajnë aftësinë e CMO për të përballuar rrjedhën e aplikacioneve. Ato mund të jenë: numri mesatar i aplikimeve të shërbyera nga QS për njësi kohore; numri mesatar i kanaleve të zëna; numri mesatar i aplikacioneve në radhë; koha mesatare e pritjes për shërbim, etj.

Analiza matematikore Puna e QS-së lehtësohet shumë nëse procesi i kësaj pune është markovian, d.m.th. rrymat e ngjarjeve që transferojnë sistemin nga shteti në shtet janë më të thjeshtat. Përndryshe, përshkrimi matematikor i procesit bëhet shumë i ndërlikuar dhe rrallëherë është e mundur ta çojmë atë në varësi specifike analitike. Në praktikë, proceset jo-Markove reduktohen në procese Markov me përafrim. Aparati matematikor i mëposhtëm përshkruan proceset e Markovit.

Ndarja e parë (bazuar në praninë e radhëve):

1. QS me defekte;

2. Radhë me radhë.

Në QS me dështime një aplikim i marrë në një kohë kur të gjitha kanalet janë të zëna refuzohet, largohet nga QS dhe nuk shërbehet në të ardhmen.

Në SMO me një radhë një aplikacion që vjen në një kohë kur të gjitha kanalet janë të zëna nuk largohet, por futet në radhë dhe pret mundësinë për t'u shërbyer.

QS me radhë janë të ndara në tipe te ndryshme në varësi të mënyrës se si është organizuar radha - të kufizuara ose të pakufizuara. Kufizimet mund të kenë të bëjnë si me gjatësinë e radhës ashtu edhe me kohën e pritjes, "disiplinën e shërbimit".

Kështu, për shembull, QS-të e mëposhtme konsiderohen:

· CMO me kërkesa të padurueshme (gjatësia e radhës dhe koha e shërbimit janë të kufizuara);

· QS me shërbim prioritar, d.m.th. disa aplikime përpunohen jashtë radhe etj.

Përveç kësaj, QS-të ndahen në QS të hapura dhe QS të mbyllura.

Në një QS të hapur karakteristikat e rrjedhës së aplikacioneve nuk varen nga gjendja e vetë QS (sa kanale janë të zëna). Në një QS të mbyllur- varet. Për shembull, nëse një punëtor i shërben një grupi makinerish që kërkojnë rregullime herë pas here, atëherë intensiteti i rrjedhës së "kërkesave" nga makinat varet nga sa prej tyre janë tashmë funksionale dhe në pritje të rregullimit.

Klasifikimi i SMO nuk është i kufizuar në varietetet e mësipërme, por kjo është e mjaftueshme.

Le të shqyrtojmë QS-në më të thjeshtë me pritje - një sistem me një kanal (n - 1), i cili merr një fluks kërkesash me intensitet ; intensiteti i shërbimit (d.m.th., mesatarisht, një kanal vazhdimisht i zënë do të lëshojë kërkesa të shërbimit për njësi (kohë). Një kërkesë e marrë në një kohë kur kanali është i zënë është në radhë dhe pret shërbimin.

Sistemi me gjatësi të kufizuar të radhës. Së pari, le të supozojmë se numri i vendeve në radhë është i kufizuar nga numri m, d.m.th. nëse një aplikacion arrin në një kohë kur tashmë ka m-aplikacione në radhë, ai e lë sistemin pa shërbim. Në të ardhmen, duke e drejtuar m në pafundësi, do të marrim karakteristikat e një QS me një kanal pa kufizime në gjatësinë e radhës.

Ne do të numërojmë gjendjet e QS sipas numrit të aplikacioneve në sistem (si në shërbim dhe në pritje të shërbimit):

Kanali është falas;

Kanali është i zënë, nuk ka radhë;

Kanali është i zënë, një aplikacion është në radhë;

Kanali është i zënë, aplikacionet k-1 janë në radhë;

Kanali është i zënë, aplikacionet janë në radhë.

GSP është paraqitur në Fig. 4. Të gjitha intensitetet e rrjedhave të ngjarjeve që lëvizin në sistem përgjatë shigjetave nga e majta në të djathtë janë të barabarta me , dhe nga e djathta në të majtë - . Në të vërtetë, rrjedha e kërkesave e lëviz sistemin përgjatë shigjetave nga e majta në të djathtë (sapo të arrijë një kërkesë, sistemi shkon në gjendjen tjetër), nga e djathta në të majtë - rrjedha e "lëshimeve" të një kanali të zënë, i cili ka një intensitet (sapo të shërbehet kërkesa e radhës, kanali ose do të bëhet i lirë ose do të ulë numrin e aplikacioneve në radhë).

Oriz. 4. QS me një kanal me pritje

Treguar në Fig. 4 diagrami është një diagram i riprodhimit dhe vdekjes. Le të shkruajmë shprehje për probabilitetet kufizuese të gjendjeve:

(5)

ose duke përdorur: :

(6)

Rreshti i fundit në (6) përmban një progresion gjeometrik me termin e parë 1 dhe emëruesin p, nga i cili marrim:

(7)

në lidhje me të cilën probabilitetet kufizuese marrin formën:

(8).

Shprehja (7) është e vlefshme vetëm për< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

Le të përcaktojmë karakteristikat e QS: probabiliteti i dështimit, xhiroja relative q, xhiroja absolute A, gjatësia mesatare e radhës, numri mesatar i aplikacioneve të lidhura me sistemin, koha mesatare e pritjes në radhë, koha mesatare e shpenzuar nga një aplikacion në QS .

Probabiliteti i dështimit. Natyrisht, aplikacioni refuzohet vetëm nëse kanali është i zënë dhe të gjitha vendet në radhë janë gjithashtu të zëna:

(9).

Gjerësia relative e brezit:

(10).

Gjatësia mesatare e radhës. Le të gjejmë numrin mesatar të aplikacioneve në radhë si pritshmëri matematikore e një ndryshoreje diskrete të rastësishme R-numri i aplikacioneve në radhë:

Me probabilitet ka një aplikim në radhë, me probabilitet ka dy aplikacione, në përgjithësi me probabilitet ka aplikacione k-1 në radhë, etj., nga të cilat:

(11).

Meqenëse, shuma në (11) mund të interpretohet si një derivat i shumës së progresionit gjeometrik:

Zëvendësimi kjo shprehje në (11) dhe duke përdorur nga (8), më në fund marrim:

(12).

Numri mesatar i aplikacioneve në sistem. Më pas, marrim një formulë për numrin mesatar të kërkesave të lidhura me sistemin (si në radhë ashtu edhe duke u shërbyer). Meqenëse , ku është numri mesatar i aplikacioneve në shërbim, dhe k dihet, mbetet të përcaktohet . Meqenëse ka vetëm një kanal, numri i kërkesave të shërbimit mund të jetë 0 (me probabilitet ) ose 1 (me probabilitet 1 - ), nga të cilat:

dhe numri mesatar i aplikacioneve të lidhura me QS është:

(13).

Koha mesatare e pritjes për një aplikacion në radhë. Le ta shënojmë atë; nëse një kërkesë vjen në sistem në një moment në kohë, atëherë me gjasë kanali i shërbimit nuk do të jetë i zënë dhe nuk do të duhet të presë në radhë (koha e pritjes është zero). Me shumë mundësi, ajo do të hyjë në sistem gjatë kryerjes së një kërkese, por nuk do të ketë radhë para saj dhe kërkesa do të presë fillimin e shërbimit të saj për një periudhë kohore (koha mesatare e shërbimit të një kërkesë). Ekziston mundësia që të ketë një aplikim tjetër në radhë përpara se aplikacioni të shqyrtohet, dhe koha mesatare e pritjes të jetë e barabartë me, etj.

Nëse k=m+1, d.m.th. kur një kërkesë e sapoarritur e gjen kanalin e shërbimit të zënë dhe m-kërkon në radhë (probabiliteti i kësaj), atëherë në këtë rast kërkesa nuk qëndron në radhë (dhe nuk shërbehet), kështu që koha e pritjes është zero. Koha mesatare e pritjes do të jetë:

nëse zëvendësojmë shprehjet për probabilitetet (8) këtu, marrim:

(14).

Këtu përdorim relacionet (11), (12) (derivat i një progresion gjeometrik), si dhe nga (8). Duke e krahasuar këtë shprehje me (12), vërejmë se me fjalë të tjera, koha mesatare e pritjes është e barabartë me numrin mesatar të aplikacioneve në radhë, pjesëtuar me intensitetin e rrjedhës së aplikimit.

(15).

Koha mesatare që një aplikacion qëndron në sistem. Le të shënojmë pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme si kohën që një kërkesë qëndron në QS, e cila është shuma e kohës mesatare të pritjes në radhë dhe kohës mesatare të shërbimit. Nëse ngarkesa e sistemit është 100%, natyrisht, përndryshe:

Shembulli 1. Një pikë karburanti (pompë karburanti) është një pikë servisi me një kanal shërbimi (një pompë).

Zona në stacion lejon jo më shumë se tre makina të jenë në radhë për karburant në të njëjtën kohë (m = 3). Nëse tashmë ka tre makina në radhë, makina tjetër që arrin në stacion nuk i bashkohet radhës. Fluksi i makinave që vijnë për karburant ka një intensitet = 1 (makinë në minutë). Procesi i mbushjes me karburant zgjat mesatarisht 1.25 minuta.

Përcaktoni:

probabiliteti i dështimit;

kapaciteti relativ dhe absolut i pikave të karburantit;

numri mesatar i makinave që presin të furnizohen me karburant;

numri mesatar i makinave në një pikë karburanti (përfshirë ato që janë në shërbim);

koha mesatare e pritjes për një makinë në radhë;

koha mesatare që kalon një makinë në një pikë karburanti (përfshirë shërbimin).

Me fjalë të tjera, koha mesatare e pritjes është e barabartë me numrin mesatar të aplikacioneve në radhë, pjesëtuar me intensitetin e rrjedhës së aplikimit.

Fillimisht gjejmë intensitetin e reduktuar të fluksit të aplikimeve: =1/1.25=0.8; =1/0.8=1.25.

Sipas formulave (8):

Probabiliteti i dështimit është 0.297.

Kapaciteti relativ i QS: q=1-=0,703.

Qarkullimi absolut i QS: A==0.703 makina në minutë.

Ne gjejmë numrin mesatar të makinave në radhë duke përdorur formulën (12):

ato. Numri mesatar i makinave që presin në radhë për të mbushur pikën e karburantit është 1.56.

Duke i shtuar kësaj vlere numrin mesatar të automjeteve në shërbim:

marrim numrin mesatar të makinave të lidhura me një pikë karburanti.

Koha mesatare e pritjes për një makinë në radhë sipas formulës (15):

Duke i shtuar kësaj vlere, marrim kohën mesatare që shpenzon një makinë në një pikë karburanti:

Sisteme me pritje të pakufizuar. Në sisteme të tilla, vlera e m nuk është e kufizuar dhe, për rrjedhojë, karakteristikat kryesore mund të merren duke kaluar në kufirin në shprehjet e marra më parë (5), (6), etj.

Vini re se emëruesi në formulën e fundit (6) është shuma e një numri të pafund termash të progresionit gjeometrik. Kjo shumë konvergon kur progresioni është pafundësisht në rënie, d.m.th. në<1.

Mund të vërtetohet se<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Nëse, atëherë relacionet (8) marrin formën:

(16).

Nëse nuk ka kufizime në gjatësinë e radhës, çdo aplikacion që vjen në sistem do të shërbehet, prandaj q=1, .

Ne marrim numrin mesatar të aplikacioneve në radhë nga (12) në:

Numri mesatar i aplikimeve në sistem sipas formulës (13) në:

Koha mesatare e pritjes është marrë nga formula (14) me:

Së fundi, koha mesatare që një aplikacion qëndron në QS është:

Sistemi me gjatësi të kufizuar të radhës. Le të shqyrtojmë një kanal QS me pritje, i cili merr një fluks kërkesash me intensitet; intensiteti i shërbimit (për një kanal); numri i vendeve në radhë.

Gjendjet e sistemit numërohen sipas numrit të kërkesave të lidhura me sistemin:

pa radhë:

Të gjitha kanalet janë falas;

Një kanal është i zënë, pjesa tjetër janë falas;

-kanalet janë të zëna, pjesa tjetër jo;

Të gjitha kanalet janë të zëna, nuk ka kanale falas;

ka një radhë:

Të gjitha n-kanalet janë të zëna; një aplikacion është në radhë;

Të gjitha n-kanalet, kërkesat r në radhë janë të zëna;

Të gjitha n-kanalet, kërkesat r në radhë janë të zëna.

GSP është paraqitur në Fig. 17. Çdo shigjetë shënohet me intensitetet përkatëse të rrjedhave të ngjarjeve. Përgjatë shigjetave nga e majta në të djathtë, sistemi gjithmonë transferohet nga e njëjta rrjedhë kërkesash me një intensitet prej

Oriz. 17. QS me shumë kanale me pritje

Grafiku është tipik për proceset e riprodhimit dhe vdekjes, për të cilat zgjidhja është marrë më parë. Le të shkruajmë shprehje për probabilitetet kufizuese të gjendjeve duke përdorur shënimin: (këtu përdorim shprehjen për shumën e një progresion gjeometrik me një emërues).

Kështu, janë gjetur të gjitha gjasat shtetërore.

Le të përcaktojmë karakteristikat e performancës së sistemit.

Probabiliteti i dështimit. Një kërkesë hyrëse refuzohet nëse të gjitha n-kanalet dhe të gjitha vendet m në radhë janë të zëna:

(18)

Probabiliteti relativ plotëson probabilitetin e dështimit në një:

Produkti absolut i QS:

(19)

Numri mesatar i kanaleve të zëna. Për QS me refuzime, përkoi me numrin mesatar të aplikimeve në sistem. Për një QS me një radhë, numri mesatar i kanaleve të zëna nuk përkon me numrin mesatar të aplikacioneve në sistem: vlera e fundit ndryshon nga e para me numrin mesatar të aplikacioneve në radhë.

Le të shënojmë numrin mesatar të kanaleve të zëna me . Çdo kanal i zënë shërben mesatarisht A-pretendime për njësi të kohës, dhe QS në tërësi shërben mesatarisht A-pretendime për njësi të kohës. Duke e ndarë njërën nga tjetra, marrim:

Numri mesatar i kërkesave në radhë mund të llogaritet drejtpërdrejt si pritshmëri matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete:

(20)

Këtu përsëri (shprehja në kllapa) ndodh derivati i shumës së progresionit gjeometrik (shih më lart (11), (12) - (14)), duke përdorur relacionin për të, marrim:

Numri mesatar i aplikacioneve në sistem:

Koha mesatare e pritjes për një aplikacion në radhë. Le të shqyrtojmë një numër situatash që ndryshojnë në gjendjen në të cilën një kërkesë e sapoardhur do të gjejë sistemin dhe sa kohë do të duhet të presë për shërbim.

Nëse një kërkesë nuk i gjen të gjitha kanalet të zëna, nuk do të duhet të presë fare (termet përkatëse në pritshmërinë matematikore janë të barabarta me zero). Nëse një kërkesë arrin në një kohë kur të gjithë n-kanalet janë të zënë dhe nuk ka radhë, ajo do të duhet të presë mesatarisht për një kohë të barabartë me (sepse "rrjedha e lëshimit" të -kanaleve ka një intensitet prej ). Nëse një kërkesë i gjen të gjitha kanalet të zëna dhe një kërkesë përpara saj në radhë, ajo do të duhet të presë mesatarisht për një kohë (për çdo kërkesë përpara), etj. Nëse një kërkesë gjendet në një radhë prej - kërkesat, do të duhet të presë mesatarisht për kohën Nëse një kërkesë e sapoardhur gjen m-kërkesa tashmë në radhë, atëherë ajo nuk do të presë fare (por nuk do të shërbehet). Ne gjejmë kohën mesatare të pritjes duke shumëzuar secilën nga këto vlera me probabilitetet përkatëse:

(21)

Ashtu si në rastin e një QS me një kanal me pritje, vërejmë se kjo shprehje ndryshon nga shprehja për gjatësinë mesatare të radhës (20) vetëm nga faktori , d.m.th.

Koha mesatare e qëndrimit të një kërkese në sistem, si dhe për një QS me një kanal, ndryshon nga koha mesatare e pritjes me kohën mesatare të shërbimit të shumëzuar me xhiron relative:

Sisteme me gjatësi të pakufizuar në radhë. Ne konsideruam një kanal QS me pritje, kur jo më shumë se m-kërkesa mund të jenë në radhë në të njëjtën kohë.

Ashtu si më parë, kur analizohen sistemet pa kufizime, është e nevojshme të merren parasysh marrëdhëniet e marra për .

Probabilitetet e gjendjeve i marrim nga formula duke kaluar në kufirin (në ). Vini re se shuma e progresionit gjeometrik korrespondues konvergon në dhe divergjent në >1. Duke supozuar se<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(22)

Probabiliteti i dështimit, xhiroja relative dhe absolute. Meqenëse çdo kërkesë herët a vonë do të shërbehet, karakteristikat e xhiros QS do të jenë:

Numri mesatar i aplikacioneve në radhë është marrë nga (20):

dhe koha mesatare e pritjes është nga (21):

Numri mesatar i kanaleve të zëna, si më parë, përcaktohet përmes xhiros absolute:

Numri mesatar i aplikacioneve të lidhura me QS përcaktohet si numri mesatar i aplikacioneve në radhë plus numri mesatar i aplikacioneve në shërbim (numri mesatar i kanaleve të zëna):

Shembulli 2. Një pikë karburanti me dy pompa (n = 2) i shërben një fluksi makinash me një intensitet =0,8 (makina në minutë). Koha mesatare e shërbimit për makinë:

Nuk ka asnjë pikë tjetër karburanti në zonë, kështu që rreshti i makinave përballë karburantit mund të rritet pothuajse pa kufi. Gjeni karakteristikat e QS.

Sepse<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

etj.

Ne do të gjejmë numrin mesatar të kanaleve të zëna duke pjesëtuar kapacitetin absolut të QS A = = 0,8 me intensitetin e shërbimit = 0,5:

Probabiliteti që të mos ketë radhë në një pikë karburanti do të jetë:

Numri mesatar i makinave në radhë:

Numri mesatar i makinave në pikat e karburantit:

Koha mesatare e pritjes në radhë:

Koha mesatare që shpenzon një makinë në një pikë karburanti:

QS me kohë të kufizuar pritjeje. Më parë, ne konsideruam sistemet me pritje të kufizuar vetëm nga gjatësia e radhës (numri i m-kërkesave në të njëjtën kohë në radhë). Në një QS të tillë, një aplikacion që është rritur në një radhë nuk e lë atë derisa të presë shërbimin. Në praktikë, ekzistojnë lloje të tjera të QS në të cilat një aplikacion, pas pritjes për një kohë, mund të largohet nga radha (të ashtuquajturat aplikacione "të paduruar").

Le të shqyrtojmë një QS të këtij lloji, duke supozuar se kufizimi i kohës së pritjes është një ndryshore e rastësishme.

Le të supozojmë se ekziston një QS me n kanal me pritje, në të cilin numri i vendeve në radhë është i pakufizuar, por koha që një kërkesë qëndron në radhë është një ndryshore e rastësishme me një vlerë mesatare, pra, çdo kërkesë në radha i nënshtrohet një lloj "fluksi kujdesi" Poisson me intensitet:

Nëse kjo rrjedhë është Poisson, atëherë procesi që ndodh në QS do të jetë Markovian. Le të gjejmë probabilitetet shtetërore për të. Numërimi i gjendjeve të sistemit lidhet me numrin e aplikacioneve në sistem - si duke u shërbyer ashtu edhe duke qëndruar në radhë:

pa radhë:

Të gjitha kanalet janë falas;

Një kanal është i zënë;

Dy kanale janë të zënë;

Të gjitha n-kanalet janë të zëna;

ka një radhë:

Të gjitha n-kanalet janë të zëna, një kërkesë është në radhë;

Të gjitha n-kanalet janë të zëna, kërkesat r janë në radhë, etj.

Grafiku i gjendjeve dhe tranzicioneve të sistemit është paraqitur në Fig. 23.

Oriz. 23. QS me kohë të kufizuar pritjeje

Le ta shënojmë këtë grafik si më parë; të gjitha shigjetat që çojnë nga e majta në të djathtë do të tregojnë intensitetin e rrjedhës së aplikacioneve. Për shtetet pa radhë, shigjetat që çojnë prej tyre nga e djathta në të majtë do të tregojnë, si më parë, intensitetin total të rrjedhës që shërben të gjitha kanalet e zëna. Për sa u përket shteteve me radhë, shigjetat që çojnë prej tyre nga e djathta në të majtë do të kenë intensitetin total të fluksit të shërbimit të të gjithë n-kanaleve plus intensitetin përkatës të fluksit të nisjeve nga radha. Nëse ka r-aplikime në radhë, atëherë intensiteti total i rrjedhës së nisjeve do të jetë i barabartë me .

Siç mund të shihet nga grafiku, ekziston një model i riprodhimit dhe vdekjes; duke përdorur shprehje të përgjithshme për probabilitetet kufizuese të gjendjeve në këtë skemë (duke përdorur shënime të shkurtuara, ne shkruajmë:

(24)

Le të vëmë re disa veçori të një QS me pritje të kufizuar në krahasim me QS-në e konsideruar më parë me kërkesa "pacienti".

Nëse gjatësia e radhës nuk është e kufizuar dhe kërkesat janë "të durueshme" (mos u largoni nga radha), atëherë regjimi i kufirit të palëvizshëm ekziston vetëm në rastin (në , progresioni përkatës gjeometrik i pafund ndryshon, gjë që korrespondon fizikisht me rritjen e pakufizuar të radhës në ).

Përkundrazi, në një QS me kërkesa “të padurueshme” që largohen nga radhët herët a vonë, modaliteti i vendosur i shërbimit në arrihet gjithmonë, pavarësisht nga intensiteti i reduktuar i fluksit të kërkesave. Kjo rrjedh nga fakti se seria për në emëruesin e formulës (24) konvergjon për çdo vlerë pozitive të dhe .

Për një QS me kërkesa "të padurueshme", koncepti i "probabilitetit të dështimit" nuk ka kuptim - çdo kërkesë bie në linjë, por mund të mos presë shërbimin, duke u larguar para kohe.

Rezultati relativ, numri mesatar i kërkesave në radhë. Kapaciteti relativ q i një QS të tillë mund të llogaritet si më poshtë. Natyrisht, të gjitha aplikacionet do të servisohen, përveç atyre që largohen nga radha përpara afatit. Le të llogarisim numrin mesatar të aplikacioneve që largohen herët nga radha. Për ta bërë këtë, ne llogarisim numrin mesatar të aplikacioneve në radhë:

Secila prej këtyre aplikacioneve i nënshtrohet një "fluksi nisjesh" me një intensitet prej . Kjo do të thotë se nga numri mesatar i -aplikimeve në radhë, mesatarisht, -aplikacionet do të largohen pa pritur shërbimin, -aplikimet për njësi kohe dhe në total për njësi kohe, mesatarisht - aplikacionet do të shërbehen. Kapaciteti relativ i QS do të jetë:

Ne ende marrim numrin mesatar të kanaleve të zëna duke pjesëtuar gjerësinë absolute të brezit A me:

(26)

Numri mesatar i aplikacioneve në radhë. Lidhja (26) ju lejon të llogaritni numrin mesatar të aplikacioneve në radhë pa përmbledhur seritë e pafundme (25). Nga (26) marrim:

dhe numri mesatar i kanaleve të zëna të përfshira në këtë formulë mund të gjendet si pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme Z, duke marrë vlerat 0, 1, 2,..., n me probabilitete ,:

Si përfundim, vërejmë se nëse në formulat (24) shkojmë në kufirin në (ose, çfarë është e njëjtë, në ), atëherë do të merren formula (22), d.m.th., aplikacionet "të padurueshme" do të bëhen "të durueshëm".

Deri më tani kemi konsideruar sisteme në të cilat fluksi hyrës nuk është në asnjë mënyrë i lidhur me rrjedhën dalëse. Sisteme të tilla quhen të hapura. Në disa raste, kërkesat e servisuara pranohen përsëri në hyrje pas një vonese. QS të tilla quhen të mbyllura. Një klinikë që shërben për një zonë të caktuar, një ekip punëtorësh të caktuar në një grup makinerish, janë shembuj të sistemeve të mbyllura.

Në një QS të mbyllur, qarkullon i njëjti numër i kufizuar i kërkesave potenciale. Derisa një kërkesë e mundshme të jetë realizuar si një kërkesë shërbimi, ajo konsiderohet të jetë në një bllok vonese. Në momentin e zbatimit, ai hyn në vetë sistem. Për shembull, punëtorët mbajnë një grup makinerish. Çdo makinë është një kërkesë potenciale, e cila kthehet në një reale në momentin e prishjes së saj. Ndërsa makina është duke punuar, ajo është në bllokun e vonesës dhe nga momenti i prishjes deri në përfundimin e riparimit është në vetë sistemin. Çdo punëtor është një kanal shërbimi.

Le n- numri i kanaleve të shërbimit, s- numri i aplikacioneve të mundshme, n <s , - intensiteti i fluksit të aplikimeve për çdo kërkesë të mundshme, μ - intensiteti i shërbimit:

Probabiliteti i ndërprerjes së sistemit përcaktohet nga formula

R 0 = .

Probabilitetet përfundimtare të gjendjeve të sistemit:

P k= në k = në .

Numri mesatar i kanaleve të zëna shprehet përmes këtyre probabiliteteve

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) ose

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1) Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).

Duke përdorur këtë gjejmë xhiros absolute të sistemit:

si dhe numri mesatar i aplikimeve në sistem

M=s- =s- .

Shembulli 1. Hyrja e një QS me tre kanale me dështime merr një rrjedhë kërkesash me një intensitet =4 kërkesa në minutë, koha për shërbimin e një kërkese nga një kanal t obs =1/μ =0,5 min. Nga pikëpamja e kapacitetit të QS, a është fitimprurëse të detyrohen të tre kanalet për të shërbyer menjëherë kërkesat dhe koha mesatare e shërbimit të reduktohet me tre herë? Si do të ndikojë kjo në kohën mesatare që një aplikacion shpenzon në CMO?

Zgjidhje. Ne gjejmë probabilitetin e ndërprerjes së një QS me tre kanale duke përdorur formulën

ρ = /μ =4/2=2, n=3,

P 0 = = = 0,158.

Probabiliteti i dështimit përcaktohet nga formula:

P e hapur = P n ==

P hapur = 0.21.

Rrjedha relative e sistemit:

R obsl = 1-R hapur 1-0,21=0,79.

Produkti absolut i sistemit:

A= P obsl 3,16.

Numri mesatar i kanaleve të zëna përcaktohet nga formula:

1.58, pjesa e kanaleve të zëna nga servisimi,

q = 0,53.

Koha mesatare që një aplikacion qëndron në QS gjendet si probabilitet që aplikacioni të pranohet për shërbim, shumëzuar me kohën mesatare të shërbimit: t SMO 0.395 min.

Duke kombinuar të tre kanalet në një, marrim një sistem me një kanal me parametra μ= 6, ρ= 2/3. Për një sistem me një kanal, probabiliteti i ndërprerjes është:

R 0 = = =0,6,

probabiliteti i dështimit:

P e hapur =ρ P 0 = = 0,4,

xhiroja relative:

R obsl = 1-R hapur =0,6,

xhiros absolute:

A=P obs =2.4.

t SMO =P obsl= =0,1 min.

Si rezultat i kombinimit të kanaleve në një, xhiroja e sistemit u ul me rritjen e probabilitetit të dështimit. Koha mesatare që kalon një aplikacion në sistem është ulur.

Shembulli 2. Hyrja e një QS me tre kanale me një radhë të pakufizuar merr një rrjedhë kërkesash me një intensitet =4 aplikime në orë, koha mesatare për shërbimin e një aplikacioni t=1/μ=0.5 h Gjeni treguesit e performancës së sistemit.

Për sistemin në shqyrtim n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

P 0 = =1/9.

Ne gjejmë numrin mesatar të aplikacioneve në radhë duke përdorur formulën:

L =.

L = = .

Ne llogarisim kohën mesatare të pritjes për një aplikacion në radhë duke përdorur formulën:

t= = 0,22 orë.

Koha mesatare që një aplikacion qëndron në sistem:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

Shembulli 3. Në parukeri punojnë 3 parukiere, ndërsa në dhomën e pritjes janë 3 karrige. Fluksi i klientëve ka intensitet = 12 klientë në orë. Koha mesatare e shërbimit t obsl =20 min. Përcaktoni xhiron relative dhe absolute të sistemit, numrin mesatar të karrigeve të zëna, gjatësinë mesatare të radhës, kohën mesatare që klienti kalon në parukeri.

Për këtë detyrë n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Probabiliteti i ndërprerjes përcaktohet nga formula:

R 0 =.

P 0 = 0,012.

Probabiliteti i refuzimit të shërbimit përcaktohet nga formula

P hapur =P n+m = .

P hapur =Pn + m 0,307.

Kapaciteti relativ i sistemit, d.m.th. probabiliteti i shërbimit:

P obsl =1-P hapur 1-0,307=0,693.

Qarkullimi absolut:

A= P obsl 12 .

Numri mesatar i kanaleve të zëna:

.

Gjatësia mesatare e radhës përcaktohet nga formula:

L =

L= 1,56.

Koha mesatare e pritjes për shërbimin në radhë:

t= h.

Numri mesatar i aplikimeve në CMO:

M=L + .

Koha mesatare që një aplikacion qëndron në CMO:

T=M/ 0.36 orë

Shembulli 4. Një punëtor punon me 4 makina. Çdo makinë dështon me intensitet =0,5 dështime në orë, koha mesatare e riparimit t rem=1/μ=0.8 h Përcaktoni xhiron e sistemit.

Ky problem konsideron një QS të mbyllur, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Probabiliteti i pushimit të punëtorëve përcaktohet nga formula:

R 0 =.

P 0 = .

Probabiliteti i punësimit të punonjësve R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ =0.85μ makina në orë.

Detyra:

Dy punëtorë drejtojnë një grup prej katër makinash. Ndalimet e një makine pune ndodhin mesatarisht pas 30 minutash. Koha mesatare e konfigurimit është 15 minuta. Koha e funksionimit dhe konfigurimit shpërndahet sipas një ligji eksponencial.

Gjeni pjesën mesatare të kohës së lirë për çdo punëtor dhe kohën mesatare të funksionimit të makinës.

Gjeni të njëjtat karakteristika për një sistem në të cilin:

a) çdo punëtori i caktohen dy makina;

b) dy punëtorë e servisin makinën gjithmonë së bashku dhe me intensitet të dyfishtë;

c) e vetmja makinë me defekt servisohet nga të dy punëtorët në të njëjtën kohë (me intensitet të dyfishtë), dhe kur shfaqet të paktën një makinë tjetër me defekt, ata fillojnë të punojnë veçmas, secila i shërben një makine (së pari përshkruani sistemin në terma të proceseve të vdekja dhe lindja).

Zgjidhja:

Gjendjet e mëposhtme të sistemit S janë të mundshme:

S 0 - të gjitha makinat janë funksionale;

Makina S 1 – 1 eshte duke u riparuar pjesa tjeter ne gjendje te rregullt pune;

Makina S 2 – 2 eshte duke u riparuar pjesa tjeter ne gjendje pune;

Makina S 3 – 3 eshte duke u riparuar pjesa tjeter ne gjendje pune;

Makina S 4 – 4 eshte duke u riparuar pjesa tjeter ne gjendje te rregullt pune;

S 5 – (1, 2) makineritë janë duke u riparuar, pjesa tjetër janë në gjendje të mirë pune;

S 6 – (1, 3) makineritë janë duke u riparuar, pjesa tjetër janë në gjendje pune;

S 7 – (1, 4) makineritë janë duke u riparuar, pjesa tjetër janë në gjendje pune;

S 8 – (2, 3) makineritë janë duke u riparuar, pjesa tjetër janë në gjendje të mirë pune;

S 9 – (2, 4) makineritë janë duke u riparuar, pjesa tjetër janë në gjendje të mirë pune;

S 10 – (3, 4) makineritë janë duke u riparuar, pjesa tjetër janë në gjendje të mirë pune;

S 11 – (1, 2, 3) makina janë duke u riparuar, 4 makina është në funksion;

S 12 – (1, 2, 4) makina janë duke u riparuar, 3 makina është në funksion;

S 13 – (1, 3, 4) makina janë duke u riparuar, makina 2 është në funksion;

S 14 – (2, 3, 4) makina janë duke u riparuar, 1 makinë është në funksion;

S 15 - të gjitha makinat janë të riparuara.

Grafiku i gjendjes së sistemit...

Ky sistem S është një shembull i një sistemi të mbyllur, pasi çdo makinë është një kërkesë potenciale, e cila kthehet në një real në momentin e prishjes së saj. Ndërsa makina është duke punuar, ajo është në bllokun e vonesës dhe nga momenti i prishjes deri në përfundimin e riparimit është në vetë sistemin. Çdo punëtor është një kanal shërbimi.

Nëse një punëtor është i zënë, ai vendos μ-makinat për njësi të kohës, kapacitetin e sistemit:

Përgjigje:

Përqindja mesatare e kohës së lirë për çdo punëtor është ≈ 0,09.

Koha mesatare e funksionimit të makinës ≈ 3,64.

a) Secilit punëtor i caktohen dy makina.

Probabiliteti i pushimit të punëtorëve përcaktohet nga formula:

Probabiliteti i punësimit të punonjësve:

Nëse një punëtor është i zënë, ai vendos μ-makinat për njësi të kohës, kapacitetin e sistemit:

Përgjigje:

Përqindja mesatare e kohës së lirë për çdo punëtor është ≈ 0,62.

Koha mesatare e funksionimit të makinës ≈ 1,52.

b) Dy punëtorë e servisin makinën gjithmonë së bashku, dhe me intensitet të dyfishtë.

c) E vetmja makinë me defekt servisohet nga të dy punëtorët në të njëjtën kohë (me intensitet të dyfishtë), dhe kur shfaqet të paktën një makinë tjetër me defekt, ata fillojnë të punojnë veçmas, secila i shërben një makine (së pari përshkruani sistemin në terma të proceseve të vdekja dhe lindja).

Krahasimi i 5 përgjigjeve:

Mënyra më efektive për të organizuar punëtorët në makineri do të jetë versioni fillestar i detyrës.

Shembuj të sistemeve më të thjeshta të radhës (QS) u diskutuan më lart. Termi "protozoar" nuk do të thotë "elementar". Modelet matematikore të këtyre sistemeve janë të zbatueshme dhe përdoren me sukses në llogaritjet praktike.

Mundësia e aplikimit të teorisë së vendimeve në sistemet e radhës përcaktohet nga faktorët e mëposhtëm:

1. Numri i aplikacioneve në sistem (i cili konsiderohet si QS) duhet të jetë mjaft i madh (masivisht).

2. Të gjitha aplikacionet e marra në hyrje të QS duhet të jenë të të njëjtit lloj.

3. Për të llogaritur duke përdorur formula, duhet të njihni ligjet që përcaktojnë marrjen e aplikacioneve dhe intensitetin e përpunimit të tyre. Për më tepër, flukset e rendit duhet të jenë Poisson.

4. Struktura e QS, d.m.th. grupi i kërkesave hyrëse dhe sekuenca e përpunimit të aplikimit duhet të fiksohen rreptësisht.

5. Është e nevojshme të përjashtohen subjektet nga sistemi ose të përshkruhen si kërkesa me intensitet të vazhdueshëm përpunimi.

Kufizimeve të listuara më sipër, mund të shtojmë një tjetër, i cili ka një ndikim të fortë në dimensionin dhe kompleksitetin e modelit matematik.

6. Numri i prioriteteve të përdorura duhet të jetë minimal. Prioritetet e aplikimeve duhet të jenë konstante, d.m.th. ato nuk mund të ndryshojnë gjatë përpunimit brenda QS.

Gjatë punës u arrit qëllimi kryesor - u studiua materiali kryesor i "QS me kohë të kufizuar pritjeje" dhe "QS i mbyllur", i cili u vendos nga mësuesi i disiplinës akademike. Jemi njohur edhe me zbatimin e njohurive të marra në praktikë, d.m.th. konsolidoi materialin e mbuluar.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revolucion..

5) Fomin G.P. Metodat dhe modelet matematikore në aktivitetet tregtare. M: Financa dhe Statistikat, 2001.

6) Gmurman V.E. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore. M: Shkolla e Lartë, 2001.

7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Modelimi i sistemeve. M: Shkolla e Lartë, 1985.

8) Lifshits A.L. Modelimi statistikor i QS. M., 1978.

9) Ventzel E.S. Hulumtimi i operacioneve. M: Nauka, 1980.

10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj inxhinierike. M: Nauka, 1988.

Procesi QS është një proces i rastësishëm. Një proces i rastësishëm (probabilist ose stokastik) kuptohet si një proces i ndryshimit të gjendjes së një sistemi me kalimin e kohës në përputhje me ligjet probabiliste.

Një proces quhet një proces me gjendje diskrete nëse gjendjet e tij të mundshme S1, S2, S3... mund të renditen paraprakisht, dhe kalimet e sistemit nga gjendja në gjendje ndodhin në çast (kërcim). Një proces quhet një proces me kohë të vazhdueshme nëse momentet e kalimeve të mundshme të sistemit nga gjendja në gjendje nuk janë të fiksuara paraprakisht, por janë të rastësishme.

Procesi i funksionimit QS është një proces i rastësishëm me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme.

Një proces i rastësishëm quhet Markov ose proces i rastësishëm pa pasoja nëse, për çdo moment të kohës t0, karakteristikat probabilistike të procesit në të ardhmen varen vetëm nga gjendja e tij në një moment të caktuar t0 dhe nuk varen nga kur dhe si sistemi erdhi në këtë gjendje.

Një shembull i një procesi Markov: sistemi S është një metër taksi. Gjendja e sistemit në momentin t karakterizohet nga numri i kilometrave të përshkuar nga makina deri në këtë moment. Lëreni numëruesin të tregojë S0 në kohën t0. Probabiliteti që në momentin t>t0 numëruesi të tregojë këtë apo atë numër kilometrash (më saktë, numrin përkatës të rublave) S1 varet nga S0, por nuk varet nga ajo se në cilat momente kohore leximet e numëruesit kanë ndryshuar përpara momenti t0.

Në disa raste, parahistoria e proceseve në shqyrtim thjesht mund të neglizhohet dhe modelet Markov mund të përdoren për t'i studiuar ato.

Kur analizoni procese të rastësishme me gjendje diskrete, është e përshtatshme të përdorni një skemë gjeometrike - të ashtuquajturin grafik të gjendjes. Në mënyrë tipike, gjendjet e sistemit përshkruhen me drejtkëndësha (rrathë), dhe kalimet e mundshme nga gjendja në gjendje përshkruhen me shigjeta (harqe të orientuar) që lidhin gjendjet (Fig. 1).

Figura 1 - Grafiku i gjendjes

Për një përshkrim matematikor të një procesi të rastësishëm Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme që rrjedh në një QS, do të njihemi me një nga konceptet e rëndësishme të teorisë së probabilitetit - konceptin e një rrjedhe ngjarjesh.

Rrjedha e ngjarjeve kuptohet si një sekuencë e ngjarjeve homogjene që pasojnë njëra pas tjetrës në disa momente të rastësishme në kohë

Shembuj mund të jenë:

- rrjedha e thirrjeve në centralin telefonik;

- rrjedha e ndezjes së pajisjeve në rrjetin elektrik të amvisërisë;

- fluksi i trenave të mallrave që mbërrijnë në stacionin hekurudhor:

- rrjedha e keqfunksionimeve të kompjuterit (dështimet);

- një lumë të shtënash të drejtuara në objektiv.

Rrjedha karakterizohet nga intensiteti n - frekuenca e shfaqjes së ngjarjeve ose numri mesatar i ngjarjeve që hyjnë në QS për njësi të kohës.

Rrjedha e ngjarjeve quhet e rregullt nëse ngjarjet pasojnë njëra-tjetrën në intervale të caktuara. Një rrjedhë e tillë është relativisht e rrallë në praktikë, por është me interes si një rast ekstrem.

Një rrjedhë ngjarjesh quhet e palëvizshme nëse karakteristikat e saj probabilistike nuk varen nga koha. Në veçanti, intensiteti i një rryme të palëvizshme është një vlerë konstante: .

Një rrjedhë ngjarjesh quhet një rrjedhë pa pasoja nëse, për çdo dy seksione kohore që nuk mbivendosen dhe _, numri i ngjarjeve që bien në njërën prej tyre nuk varet nga numri i ngjarjeve që bien mbi të tjerat. Për shembull, fluksi i pasagjerëve që hyjnë në metro nuk ka pothuajse asnjë ndikim. Dhe, le të themi, fluksi i klientëve që largohen nga sporteli me blerje tashmë ka pasoja (nëse vetëm sepse intervali kohor midis klientëve individualë nuk mund të jetë më i vogël se koha minimale e shërbimit për secilin prej tyre).

Një rrjedhë ngjarjesh quhet e zakonshme nëse probabiliteti që dy ose më shumë ngjarje të ndodhin në një interval të vogël (elementar) kohor është i papërfillshëm në krahasim me probabilitetin që një ngjarje të ndodhë. Me fjalë të tjera, një rrjedhë ngjarjesh është e zakonshme nëse ngjarjet shfaqen në të veçmas dhe jo në grup.

Një rrjedhë ngjarjesh thuhet se është më e thjeshta (ose e palëvizshme Poisson) nëse është edhe e palëvizshme, e zakonshme dhe pa pasoja.

Rrjedha më e thjeshtë si kufi lind në teorinë e proceseve të rastësishme, po aq natyrshëm sa edhe në teorinë e probabilitetit, shpërndarja normale fitohet nga mbivendosja (superpozicioni) i një numri mjaft të madh n të flukseve të pavarura, të palëvizshme dhe të zakonshme (të krahasueshme me njëra-tjetrën në intensiteti), rezultati është një rrjedhë afër më të thjeshtës me intensitet l, e barabartë me shumën e intensiteteve të flukseve hyrëse:

Le të shqyrtojmë rrjedhën më të thjeshtë të ngjarjeve në boshtin kohor si një sekuencë e pakufizuar pikash të rastësishme. (Fig. 2)

Figura 2 - Rrjedha e ngjarjeve

Mund të tregohet se për rrjedhën më të thjeshtë, numri m i ngjarjeve (pikave) që bien në një segment kohor arbitrar φ shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it.

për të cilën pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me variancën e saj:

Në veçanti, probabiliteti që asnjë ngjarje të mos ndodhë gjatë kohës φ (m = 0) është e barabartë me

Le të gjejmë shpërndarjen e intervalit kohor T ndërmjet dy ngjarjeve arbitrare fqinje të rrjedhës më të thjeshtë.

Në përputhje me formulën, probabiliteti që gjatë një periudhe kohe të gjatë t të mos ndodhë asnjë nga ngjarjet pasuese është e barabartë me

dhe probabiliteti i ngjarjes së kundërt, d.m.th. funksioni i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme T, është

Dendësia e probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme është derivati i funksionit të shpërndarjes së saj:

Shpërndarja e dhënë nga densiteti i probabilitetit ose funksioni i shpërndarjes quhet eksponencial (ose eksponencial). Kështu, intervali kohor ndërmjet dy ngjarjeve arbitrare fqinje ka një shpërndarje eksponenciale, për të cilën pritshmëria matematikore është e barabartë me devijimin standard të ndryshores së rastit.

dhe anasjelltas sipas intensitetit të rrjedhjes së l.

Vetia më e rëndësishme e shpërndarjes eksponenciale (e natyrshme vetëm në shpërndarjen eksponenciale) është si vijon: nëse një periudhë kohore e shpërndarë sipas ligjit eksponencial ka zgjatur tashmë për ca kohë φ, atëherë kjo nuk ndikon në asnjë mënyrë në ligjin e shpërndarjes. e pjesës së mbetur të intervalit (T-φ): do të jetë i njëjtë , si dhe ligji i shpërndarjes së të gjithë intervalit T.

Me fjalë të tjera, për një interval kohor T midis dy ngjarjeve të njëpasnjëshme fqinje të një rrjedhe që ka një shpërndarje eksponenciale, çdo informacion për sa kohë zgjati ky interval nuk ndikon në ligjin e shpërndarjes së pjesës së mbetur.

Për rrjedhën më të thjeshtë me intensitet l, probabiliteti që të paktën një ngjarje rrjedhje të ndodhë në një interval kohor elementar (të vogël) është i barabartë me

Pyetjet e studimit:

Konceptet themelore të proceseve Markov.

Transmetimet e ngjarjeve.

Rrjedha Poisson.

Zinxhirë diskrete Markov.

Zinxhirë ergodik dhe thithës.

Zinxhirë të vazhdueshëm Markov.

Zbatimet e proceseve Markov.

Teoria e proceseve të rastësishme Markov.

Teoria e probabilitetit ka një histori shumë interesante. Rrënjët e shkencës shkojnë në shekuj; në shtetet më të lashta - Kinë, Indi, Egjipt, Greqi, disa elementë të teorisë së probabilitetit u përdorën për regjistrimet e popullsisë dhe madje edhe për të përcaktuar numrin e trupave të armikut.

Themeluesi i teorisë konsiderohet të jetë matematikani, fizikani dhe filozofi B. Pascal. Ai fillimisht mori teorinë e probabilitetit nën ndikimin e pyetjeve që i bëri një prej oborrtarëve të oborrit francez - Chevalier de Mere, një zotëri, filozof, kritik arti dhe lojtar i shkëlqyer. Por loja ishte edhe një arsye për reflektim të thellë. De Mere i bëri B. Pascal dy pyetje të famshme:

1. Sa herë duhet të hidhni dy zare në mënyrë që numri i herëve që bien dy gjashtëshe njëherësh të jetë më shumë se gjysma e numrit të përgjithshëm të hedhjeve?

2. Si të ndani në mënyrë të drejtë bastin e parave nga dy lojtarë nëse për ndonjë arsye ata e ndërprenë lojën para kohe?

Këto probleme shërbyen si arsye për prezantimin fillestar të konceptit të "pritjes matematikore" dhe formulimin e teoremave bazë të mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve. Shumë shpejt u identifikuan aplikime praktike: sigurime, demografi, etj.

Jacob Bernoulli zbuloi ligjin e numrave të mëdhenj, i cili bëri të mundur vendosjen e një lidhjeje midis probabilitetit të ndonjë ngjarjeje të rastësishme dhe shpeshtësisë së shfaqjes së saj, të vëzhguar drejtpërdrejt nga përvoja.

Përparime të mëtejshme në zhvillimin e teorisë së probabilitetit shoqërohen me P. Laplace, C. Gauss, S. Poisson dhe të tjerë.

Në Rusi, matematikani V.Ya. Bunyakovsky në fillim të shekullit të 19-të. shkroi librin e parë shkollor për teorinë e probabilitetit dhe zhvilloi terminologjinë e tij në formën e tij moderne. P.A. Chebyshev, A.A. Markov dhe A.M. Lyapunov prezantoi konceptin e një "ndryshore të rastësishme", me të cilën filloi të zhvillohej një degë e re e teorisë së probabilitetit - teoria e proceseve të rastësishme.

Konceptet themelore të proceseve Markov

Funksionimi i sistemeve të ndryshme është një sekuencë kalimesh nga një gjendje në tjetrën. Nëse gjendja e sistemit ndryshon në mënyrë të rastësishme me kalimin e kohës, atëherë sekuenca e gjendjeve mund të konsiderohet si një proces i rastësishëm.

Sistemi quhet sistem shtetëror diskret, nëse bashkësia e gjendjeve të saj është e fundme, dhe kalimet nga një gjendje në tjetrën kryhen papritur.

Procesi i tranzicionit quhet zinxhir.

Përkufizimi i një zinxhiri Markov

Ekziston një sistem fizik që ka një numër të kufizuar TE të gjitha gjendjet e mundshme fazore. Lëreni, në varësi të ndërhyrjes së rastit, sistemi hap pas hapi (në momente kohore t 0 ) ndryshon papritur gjendjen e tij fazore, domethënë ndodhin tranzicione Q 0 ®Q 1 ®…, Ku Q n =Q(t n)– gjendja e sistemit përmes n hapat, dhe Q 0 =Q(t 0)– gjendja fillestare e sistemit.

ku është një nga hapësirat e mundshme të gjendjes.

Probabiliteti i kalimit në hapin m (probabiliteti i kushtëzuar):

Kështu, për të llogaritur probabilitetet e përbashkëta Р(Q 0 , ..,Q n)është e nevojshme të vendoset gjendja fillestare e sistemit dhe të tregohet mekanizmi fizik për ndryshimin e gjendjeve, i cili lejon llogaritjen e probabiliteteve të tranzicionit.

1. Një rast i veçantë (i degjeneruar) i një zinxhiri Markov. Ndryshimi i të gjitha gjendjeve ndodh në mënyrë të pavarur, d.m.th., probabiliteti i ndonjë gjendjeje në hapin e m-të nuk varet nga gjendjet në të cilat ishte sistemi në kohët e mëparshme.

– sekuenca e testeve të pavarura.

2. Probabiliteti i gjendjes fazore të parametrit Qn në një moment në kohë tn varet vetëm nga gjendja në të cilën ishte sistemi në momentin paraardhës tn-1, dhe nuk varet nga gjendjet në të cilat ishte sistemi në kohët e mëparshme t 0,…,t n-2.

3. Zinxhiri i rendit Markov, nëse probabiliteti i një shteti të ri varet vetëm nga m gjendjet e sistemit menjëherë para tij:

Koha që një sistem qëndron në një gjendje të caktuar mund të jetë ose diskrete ose e vazhdueshme. Në varësi të kësaj, dallohen sistemet me kohë diskrete ose të vazhdueshme.

Karakteristika më e thjeshtë probabilistike e një procesi të rastësishëm është një grup probabiliteti të gjendjes P 1 (t), P 2 (t), ... P n (t), Ku P i (t)– probabiliteti i kalimit të sistemit në gjendje S i në një moment në kohë t. Gjendja e normalizimit P 1 + P 2 +... + P n =1.

Nëse gjatë funksionimit sistemi është në gjendje S i, atëherë probabiliteti i kalimit të tij në gjendje S j në përgjithësi nuk varet vetëm nga shteti S i, por edhe nga gjendja e mëparshme.

Një proces i rastësishëm që ndodh në një sistem quhet Markovsky(një proces pa pasoja), nëse për ndonjë moment në kohë t 0 probabiliteti i gjendjes së sistemit në të ardhmen (me t>t 0) varet vetëm nga gjendja në të tashmen (me t=t 0) dhe nuk varet nga mënyra se si dhe në çfarë mënyre sistemi erdhi në këtë gjendje (d.m.th. nuk varet nga historia e mëparshme).

Transmetimet e ngjarjeve

Kalimi i sistemit në një gjendje të caktuar është ngjarje.

Sekuenca e kalimeve të sistemit në gjendje S i përfaqëson lumë ngjarjesh.

Rrjedha e ngjarjeve quhet e zakonshme, nëse ngjarja në të ndodh një nga një.

Intervalet kohore t 1, t 2, ... t n Rrjedha e zakonshme mund të jetë e njëjtë ose e ndryshme, diskrete ose e vazhdueshme, e rastësishme ose jo e rastësishme.

Nëse intervalet kohore t 1, t 2, ... t n janë vlera jo të rastësishme, atëherë rrjedha quhet e rregullt ose përcaktuese, dhe kjo rrjedhë përshkruhet duke specifikuar vlerat T 1 ,T 2 , ... T n.

Nëse T 1 ,T 2 , ... T n janë të rastësishme, atëherë thirret rrjedha e rastit dhe karakterizohet nga ligji i shpërndarjes së sasive T 1 ,T 2 ,... T n.

Në praktikë, shpesh ekzistojnë sisteme në të cilat T i– variabël e rastësishme e vazhdueshme. Në këto raste, sistemi mund të përshkruhet nga dendësia e probabilitetit f(t 1 , t 2 , ... t n), Ku t i– vlera specifike e një ndryshoreje të rastësishme T i.

Rryma quhet stacionare, nëse karakteristikat e tij probabilistike nuk ndryshojnë me kalimin e kohës, d.m.th. probabiliteti i ndodhjes së një numri të caktuar ngjarjesh m në një pjesë të boshtit kohor t¢ + t varet vetëm nga gjatësia e segmentit t dhe nuk varet se ku në boshtin kohor është zgjedhur segmenti.

Intensiteti (densiteti) i rrjedhës së ngjarjeve (numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës) është konstant.

Nëse intervali kohor t iështë një variabël e rastësishme uniforme, atëherë një rrjedhë e tillë i quajtur rrjedha e efektit pasardhës dhe gjendja e tij është në varësi probabilistike nga gjendja e mëparshme.

Nëse variablat e rastësishëm t i e pavarur, atëherë një rrjedhë e tillë quhet rrjedhje me efekt të kufizuar dhe dendësia e probabilitetit të kësaj rrjedhe është e barabartë me produktin e densitetit të probabilitetit:

f(t 1 ,t 2 , ...t n) = f 1 (t 1) f 2 (t 2) ... f n (t n)(6.5)

Një rrjedhë me efekt të kufizuar mund të jetë e palëvizshme dhe uniforme në kohë. Në këtë rast, të gjitha intervalet midis ngjarjeve ngjitur kanë të njëjtin ligj shpërndarjeje:

f i (t i) = f (t i)(6.6)

Një rrjedhë pa pasoja quhet një rrjedhë e rastësishme nëse, për çdo segment kohor që nuk mbivendoset, numri i ngjarjeve që bien në njërin prej tyre nuk varet nga sa ngjarje bien në segmente të tjera.

Rrjedha Poisson

Rrjedhat e ngjarjeve të rastësishme quhen Poisson, nëse numri i ngjarjeve të fillit m, duke rënë në çdo zonë t, shpërndahet sipas ligjit të Poisson-it

P m = e - a , (6.7)

Ku A– numri mesatar i ngjarjeve të ndodhura në zonë t.

Një rrjedhë Poisson është e palëvizshme nëse densiteti i ngjarjes lështë konstante, atëherë numri mesatar i ngjarjeve është lt, përndryshe rrjedha do të jetë e paqëndrueshme.

Një rrjedhë e rastësishme e ngjarjeve, e cila ka vetinë e stacionaritetit, normalitetit dhe nuk ka asnjë efekt, quhet më e thjeshta dhe është rrymë e palëvizshme Poisson.

Përrenj të shoshitur

Procesi i kalimit të një sistemi me kohë funksionimi diskrete mund të konsiderohet si ndikimi i një rrjedhe diskrete ngjarjesh, i cili karakterizohet nga fakti se në momentet t 1, t 2, ..., t n ngjarje ndodhin me probabilitet P. i. Funksioni i shpërndarjes së një rryme të tillë është:

Duke shoshitur rrjedhën e ngjarjeve S 1, S 2, ... S n, të cilat ndodhin në kohë të caktuara me probabilitete f 1 , f 2 , ... p n, nënkupton transformimin e këtyre probabiliteteve në , , ..., . Nëse rrjedha është e palëvizshme, atëherë këto probabilitete janë të barabarta: = =...=1-p.

Në këtë rast, p është një konstante shoshitëse, e cila përcaktohet ose nga ndikimi i ndonjë faktori destabilizues, ose përcaktohet nga përjashtimi i ndonjë ngjarjeje nga grupi i gjendjeve të sistemit.

Shembuj të rrjedhave me efekt të kufizuar janë rrjedhat Erlang. Ato formohen nga shoshitja e rregullt e rrjedhës më të thjeshtë, ndërsa shoshitja e rregullt kuptohet si një procedurë që rezulton në përjashtimin e disa ngjarjeve të mëvonshme në rrjedhën origjinale. Nëse çdo ngjarje tek eliminohet në rrjedhën më të thjeshtë, atëherë ngjarjet e mbetura formojnë një rrjedhë Erlang të rendit të dytë. Intervali kohor ndërmjet ngjarjeve fqinje në një rrjedhë të tillë është shuma e ndryshoreve të pavarura të rastësishme dhe , të shpërndara sipas ligjit eksponencial ( = + ).

Nëse në rrjedhën më të thjeshtë ruhet vetëm çdo ngjarje e tretë, atëherë marrim një rrjedhë Erlang të rendit të tretë, etj. Në përgjithësi, Përroi Erlang k- rreth rryma më e thjeshtë e prodhuar nga një përjashtim quhet (k- 1) ngjarjet dhe kursimet k- ngjarja.

Zinxhirë diskrete Markov

Një proces i rastësishëm Markov me gjendje diskrete dhe kohë funksionimi diskrete përshkruan sistemin S me një numër të kufizuar gjendjesh. Në këtë rast, kalimet janë të mundshme në kohë fikse t 1, t 2, ..., t k. Procesi që ndodh në këtë sistem mund të përfaqësohet si një zinxhir ngjarjesh të rastësishme

S 1 (0) ® S 2 (1) ® ... ® S i (n) ® ... ® S n (k).

Kjo sekuencë quhet një zinxhir diskrete Markov nëse për çdo hap n=1,2, ... k probabiliteti i kalimeve nga çdo shtet (S i ®S j) nuk varet nga mënyra se si sistemi arriti në shtet S i. Çdo tranzicion i sistemit korrespondon me një probabilitet të kushtëzuar

P. (6.9)

Për çdo numër hapi n formojnë tranzicione të mundshme grupi i plotë i ngjarjeve.

homogjene, nëse probabilitetet e tranzicionit nuk varen nga numri i hapit. Një përshkrim i plotë i një zinxhiri të tillë mund të jetë një matricë katrore e probabiliteteve të tranzicionit

P 11 P 12 ... P 1n
P ij = P 21 P 22 ... P2n
... ... ... ...
Pn1 Pn2 ... Pnn
dhe vektori i shpërndarjes fillestare të probabilitetit për të gjitha gjendjet në kohë t=0.

= . (6.10)

Probabilitetet e tranzicionit që korrespondojnë me tranzicionet e pamundura janë të barabarta me 0, dhe probabilitetet përgjatë diagonales kryesore korrespondojnë me faktin që sistemi nuk e ka ndryshuar gjendjen e tij.

Një zinxhir diskrete Markov quhet heterogjene, nëse probabilitetet e tranzicionit ndryshojnë me numrin e hapit. Për të përshkruar qarqe të tilla është e nevojshme të vendosni k matricat e probabilitetit të tranzicionit P ij (k– numri i hapave të konsideruar). Detyra kryesore e analizës së proceseve Markov është të përcaktojë probabilitetin e të gjitha gjendjeve të sistemit pas çdo numri hapash. Për më tepër, nëse dihet matrica e probabiliteteve të tranzicionit dhe vektori i shpërndarjes fillestare, atëherë probabilitetet e gjendjeve të sistemit pas çdo hapi përcaktohen nga formula e probabilitetit total:

P(A) = P(B i)*P(A/B i)(6.11)

Pas hapit të parë probabiliteti P i mund të përkufizohet si më poshtë:

P i (1) = P j (0)P ji , (6.12)

Ku Pj(0) – vektor i gjendjeve fillestare,

P ji– rreshti i matricës së probabiliteteve të kushtëzuara.

P i (2) = P j (1) P ji = P j (0) P ji (1)(6.13)

Pas k hapat:

P i (k) = P j (k-1) P ji = P j (0) P ji (k),(6.14)

Ku Pji(k)– probabilitetet e kalimeve të sistemit nga gjendja S i V S j mbrapa k hapat.

Nëse është i mundur një kalim nga shteti S i në një gjendje S j mbrapa k hapat, pastaj vlera P ji (k)>0. Nëse tranzicioni i kundërt është i mundur në të njëjtin numër hapash, atëherë gjendja S i thirrur e kthyeshme. Probabiliteti që sistemi të dalë jashtë gjendjes S i dhe për k hapat do të kthehen në të, të barabartë me 1 për gjendjet e kthimit.

Shtetit S i - të parevokueshme, nëse ky probabilitet është i ndryshëm nga 1.

shtetet S i Dhe S j quhen duke komunikuar, nëse tranzicioni është i mundur S i ®S j në një numër të kufizuar hapash.

Në leksionet e mëparshme mësuam se si të simulojmë ndodhjen e ngjarjeve të rastësishme. Kjo do të thotë, ne mund të luajmë e cila të ngjarjeve të mundshme do të ndodhin dhe në të cilën sasi. Për ta përcaktuar këtë, duhet të dini karakteristikat statistikore të ndodhjes së ngjarjeve, për shembull, një vlerë e tillë mund të jetë probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje, ose shpërndarja e probabilitetit të ngjarjeve të ndryshme, nëse ka pafundësisht shumë lloje të këtyre ngjarjeve.

Por shpesh është gjithashtu e rëndësishme të dihet Kur kjo apo ajo ngjarje do të ndodhë në mënyrë specifike me kohë.

Kur ka shumë ngjarje dhe ato pasojnë njëra-tjetrën, ato formohen rrjedhin. Vini re se ngjarjet duhet të jenë homogjene, domethënë disi të ngjashme me njëra-tjetrën. Për shembull, shfaqja e shoferëve në pikat e karburantit që duan të furnizojnë makinën e tyre me karburant. Kjo do të thotë, ngjarjet homogjene formojnë një seri të caktuar. Në këtë rast, supozohet se është dhënë karakteristika statistikore e kësaj dukurie (intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve). Intensiteti i rrjedhës së ngjarjes tregon sa mesatare ngjarje të tilla ndodhin për njësi të kohës. Por saktësisht se kur do të ndodhë çdo ngjarje specifike duhet të përcaktohet duke përdorur metoda modelimi. Është e rëndësishme që kur gjenerojmë, për shembull, 1000 ngjarje në 200 orë, numri i tyre do të jetë afërsisht i barabartë me intensitetin mesatar të shfaqjes së ngjarjeve 1000/200 = 5 ngjarje në orë, që është një vlerë statistikore që karakterizon këtë rrjedhë si e tërë.

Intensiteti i rrjedhës në njëfarë kuptimi është pritshmëria matematikore e numrit të ngjarjeve për njësi të kohës. Por në realitet mund të rezultojë që 4 ngjarje shfaqen në një orë, 6 në një tjetër, megjithëse mesatarisht ka 5 ngjarje në orë, kështu që një vlerë nuk mjafton për të karakterizuar rrjedhën. Sasia e dytë që karakterizon se sa e madhe është përhapja e ngjarjeve në raport me pritjet matematikore është, si më parë, dispersion. Në fakt, është kjo vlerë që përcakton rastësinë e ndodhjes së një ngjarjeje, parashikueshmërinë e dobët të momentit të ndodhjes së saj. Për këtë vlerë do të flasim në leksionin e ardhshëm.

Një rrjedhë ngjarjesh është një sekuencë ngjarjesh homogjene që ndodhin njëra pas tjetrës në intervale të rastësishme. Në boshtin kohor, këto ngjarje duken siç tregohen në Fig. 28.1.

Një shembull i një rrjedhe ngjarjesh është sekuenca e momenteve kur avionët zbresin në pistë ndërsa mbërrijnë në një aeroport.

Intensiteti i rrjedhjes λ ky është numri mesatar i ngjarjeve për njësi të kohës. Intensiteti i rrjedhës mund të llogaritet eksperimentalisht duke përdorur formulën: λ = N/T n, Ku N numri i ngjarjeve që ndodhën gjatë vëzhgimit T n.

Nëse intervali ndërmjet ngjarjeve τ j e barabartë me një konstante ose e përcaktuar nga ndonjë formulë në formën: t j = f(t j 1), atëherë thirret rrjedha përcaktuese. Përndryshe, rrjedha quhet e rastësishme.

Ka transmetime të rastësishme:

e zakonshme: probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ose më shumë ngjarjeve është zero;

stacionare: shpeshtësia e shfaqjes së ngjarjeve λ (t) = konst( t) ;

pa pasoja: probabiliteti që të ndodhë një ngjarje e rastësishme nuk varet nga momenti i ndodhjes së ngjarjeve të mëparshme.

Rrjedha Poisson

Është e zakonshme të merret rrjedha Poisson si standard i rrjedhës në modelim..

Rrjedha Poisson kjo është një rrjedhë e zakonshme pa pasoja.

Siç u tha më parë, probabiliteti që gjatë një intervali kohor (t 0 , t 0 + τ ) do të ndodhë m Ngjarjet përcaktohen nga ligji i Poisson:

Ku a Parametri Poisson.

Nëse λ (t) = konst( t) , kjo eshte rrymë e palëvizshme Poisson(më e thjeshta). Në këtë rast a = λ · t . Nëse λ = var( t) , kjo eshte rrjedhë e paqëndrueshme Poisson.

Për rrjedhën më të thjeshtë, probabiliteti i ndodhjes m ngjarje gjatë τ është e barabartë me:

Probabiliteti i mos-ndodhjes (d.m.th., asnjë, m= 0 ) ngjarjet me kalimin e kohës τ është e barabartë me:

Oriz. 28.2 ilustron varësinë P 0 nga koha. Natyrisht, sa më e gjatë të jetë koha e vëzhgimit, aq më pak ka gjasa që të mos ndodhë asnjë ngjarje. Për më tepër, aq më e lartë është vlera λ , sa më i pjerrët të shkojë grafiku, domethënë, aq më shpejt ulet probabiliteti. Kjo korrespondon me faktin se nëse intensiteti i shfaqjes së ngjarjeve është i lartë, atëherë probabiliteti që ngjarja të mos ndodhë shpejt zvogëlohet me kohën e vëzhgimit.

Probabiliteti që të paktën një ngjarje të ndodhë ( PХБ1С) llogaritet si më poshtë:

sepse P HB1S + P 0 = 1 (ose të paktën një ngjarje do të shfaqet, ose asnjë nuk do të shfaqet, tjetra nuk është dhënë).

Nga grafiku në Fig. 28.3 është e qartë se probabiliteti i ndodhjes së të paktën një ngjarjeje tenton të bashkohet me kalimin e kohës, domethënë, me një vëzhgim përkatës afatgjatë të ngjarjes, ajo patjetër do të ndodhë herët a vonë. Sa më gjatë të vëzhgojmë një ngjarje (aq më shumë t), aq më e madhe është probabiliteti që ngjarja të ndodhë; grafiku i funksionit rritet në mënyrë monotonike.

Sa më i madh të jetë intensiteti i ndodhjes së ngjarjes (aq më shumë λ ), sa më shpejt të ndodhë kjo ngjarje dhe aq më shpejt funksioni tenton në unitet. Parametri në grafik λ e përfaqësuar nga pjerrësia e vijës (pjerrësia e tangjentes).

Nëse rriteni λ , atëherë kur vëzhgoni një ngjarje në të njëjtën kohë τ , probabiliteti që të ndodhë një ngjarje rritet (shih Fig. 28.4). Natyrisht, grafiku fillon nga 0, pasi nëse koha e vëzhgimit është infinite e vogël, atëherë probabiliteti që ngjarja të ndodhë gjatë kësaj kohe është i papërfillshëm. Dhe anasjelltas, nëse koha e vëzhgimit është pafundësisht e gjatë, atëherë ngjarja do të ndodhë patjetër të paktën një herë, që do të thotë se grafiku tenton në një vlerë probabiliteti të barabartë me 1.

Duke studiuar ligjin, mund të përcaktoni se: m x = 1/λ , σ = 1/λ , pra për rrjedhën më të thjeshtë m x = σ . Barazia e pritjes matematikore me devijimin standard do të thotë që kjo rrjedhë është një rrjedhë pa efekte të mëvonshme. Dispersioni (më saktë, devijimi standard) i një rrjedhe të tillë është i madh. Fizikisht, kjo do të thotë se koha e ndodhjes së një ngjarjeje (distanca ndërmjet ngjarjeve) është e parashikueshme dobët, e rastësishme dhe qëndron në interval m x σ < τ j < m x + σ . Edhe pse është e qartë se mesatarisht është afërsisht e barabartë me: τ j = m x = T n/ N . Një ngjarje mund të ndodhë në çdo kohë, por brenda intervalit të këtij momenti τ j relativisht m x te [ σ ; +σ ] (madhësia e pasefektit). Në Fig. Figura 28.5 tregon pozicionet e mundshme të ngjarjes 2 në lidhje me boshtin kohor për një të dhënë σ . Në këtë rast ata thonë se ngjarja e parë nuk ndikon në të dytën, e dyta nuk ndikon në të tretën, e kështu me radhë, domethënë nuk ka asnjë pasojë.

Brenda kuptimit të P barazohet r(shih leksionin 23. Modelimi i një ngjarjeje të rastësishme. Modelimi i një grupi të plotë ngjarjesh të papajtueshme), pra, duke shprehur τ nga formula (*) , në fund, për të përcaktuar intervalet midis dy ngjarjeve të rastësishme kemi:

τ = 1/ λ Ln( r) ,

Ku r një numër i rastësishëm i shpërndarë në mënyrë uniforme nga 0 në 1, i cili është marrë nga RNG, τ intervali ndërmjet ngjarjeve të rastësishme (ndryshore e rastësishme τ j ).

Shembulli 1. Le të shqyrtojmë rrjedhën e produkteve që arrijnë në një operacion teknologjik. Produktet mbërrijnë në mënyrë të rastësishme mesatarisht tetë copë në ditë (shkalla e rrjedhjes λ = 8/24 [njësi/orë]). Është e nevojshme të simulohet ky proces brenda T n = 100 orë. m = 1/λ = 24/8 = 3 , pra mesatarisht një pjesë për tre orë. vini re, se σ = 3. Në Fig. Figura 28.6 paraqet një algoritëm që gjeneron një rrjedhë ngjarjesh të rastësishme.

Në Fig. Figura 28.7 tregon rezultatin e algoritmit: momentet në kohë kur pjesët mbërritën për operacion. Siç shihet, vetëm në periudhën T n = 100 njësi prodhimi të përpunuara N= 33 produkte. Nëse e ekzekutojmë përsëri algoritmin, atëherë N mund të rezultojë të jetë e barabartë, për shembull, 34, 35 ose 32. Por mesatarisht, për K ekzekutohet algoritmi N do të jetë e barabartë me 33.33 Nëse llogaritni distancat ndërmjet ngjarjeve t Me i dhe pikat kohore të përcaktuara si 3 i, atëherë mesatarisht vlera do të jetë e barabartë me σ = 3 .

Modelimi i rrjedhave të jashtëzakonshme të ngjarjeve

Nëse dihet që rrjedha nuk është e zakonshme, atëherë duhet modeluar, përveç momentit të ndodhjes së ngjarjes, edhe numri i ngjarjeve që mund të shfaqen në këtë moment. Për shembull, makinat mbërrijnë në një stacion hekurudhor si pjesë e një treni në kohë të rastësishme (rrjedhja e rregullt e trenit). Por në të njëjtën kohë, një tren mund të ketë një numër të ndryshëm (të rastësishëm) makinash. Në këtë rast, për rrjedhën e karrocave flitet si një rrjedhë ngjarjesh të jashtëzakonshme.

Le të supozojmë se M k = 10 , σ = 4 (domethënë mesatarisht në 68 raste nga 100 ka nga 6 deri në 14 makina në tren) dhe numri i tyre shpërndahet sipas ligjit normal. Në vendin e shënuar (*) në algoritmin e mëparshëm (shih Fig. 28.6), duhet të futni fragmentin e treguar në Fig. 28.8.

Shembulli 2. Zgjidhja e problemit të mëposhtëm është shumë e dobishme në prodhim. Sa është koha mesatare e ndërprerjes ditore e pajisjeve të një nyje teknologjike nëse nyja përpunon çdo produkt për një kohë të rastësishme të specifikuar nga intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve të rastësishme λ 2? Në të njëjtën kohë, është vërtetuar eksperimentalisht se produktet sillen për përpunim edhe në kohë të rastësishme të përcaktuara nga rrjedha λ 1 në tufa prej 8 copë, dhe madhësia e grupit luhatet në mënyrë të rastësishme sipas ligjit normal me m = 8 , σ = 2 (shih leksionin 25). Para modelimit T= 0 nuk kishte asnjë produkt në magazinë. Është e nevojshme të simulohet ky proces brenda T n = 100 orë.

Në Fig. Figura 28.9 paraqet një algoritëm që gjeneron në mënyrë të rastësishme një fluks të ardhjeve të tufave të produkteve për përpunim dhe një rrjedhë të ngjarjeve të rastësishme daljet e tufave të produkteve nga përpunimi.

Në Fig. Figura 28.10 tregon rezultatin e algoritmit: momentet në kohë kur pjesët mbërritën në operacion, dhe momentet në kohë kur pjesët u larguan nga operacioni. Rreshti i tretë tregon se sa pjesë ishin në radhë për përpunim (të shtrirë në depon e nyjës) në momente të ndryshme kohore.

Duke vënë në dukje për nyjen e përpunimit kohët kur ajo ishte e papunë duke pritur për pjesën tjetër (shih në Fig. 28.10 seksionet kohore të theksuara me të kuqe), ne mund të llogarisim kohën totale të ndërprerjes së nyjes për të gjithë kohën e vëzhgimit dhe më pas të llogarisim kohëzgjatja mesatare e pushimit gjatë ditës. Për këtë zbatim, kjo kohë llogaritet si më poshtë:

T etj Mër. = 24 · ( t 1 ave + t 2 ave + t Rruga 3 + t 4 ave + + t N etj.)/ T n.

Ushtrimi 1. Ndryshimi i vlerës σ , instaloni varësinë T etj Mër. ( σ ) . Vendosja e kostos për ndërprerjen e nyjeve në 100 euro/orë, përcaktoni humbjet vjetore të ndërmarrjes nga parregullsitë në punën e furnitorëve. Sugjeroni formulimin e klauzolës së kontratës së ndërmarrjes me furnitorët "Shuma e gjobës për vonesë në dorëzimin e produkteve".

Detyra 2. Me ndryshimin e sasisë së mbushjes fillestare të magazinës, përcaktoni se si do të ndryshojnë humbjet vjetore të ndërmarrjes nga parregullsitë në punën e furnitorëve, varësisht nga sasia e inventarit të pranuar në ndërmarrje.

Simulimi i rrymave të ngjarjeve jo të palëvizshme

Në disa raste, intensiteti i rrjedhës mund të ndryshojë me kalimin e kohës λ (t) . Një rrjedhë e tillë quhet e paqëndrueshme. Për shembull, numri mesatar i ambulancave në orë që largohen nga stacioni në përgjigje të thirrjeve nga popullsia e një qyteti të madh mund të ndryshojë gjatë gjithë ditës. Dihet, për shembull, se numri më i madh i thirrjeve bie në intervalet nga ora 23 deri në 01:00 dhe nga ora 05 deri në 07:00, ndërsa në orët e tjera është gjysma (shih Fig. 28.11).

Në këtë rast, shpërndarja λ (t) mund të specifikohet ose nga një grafik, një formulë ose një tabelë. Dhe në algoritmin e treguar në Fig. 28.6, në vendin e shënuar (**), do t'ju duhet të futni fragmentin e treguar në Fig. 28.12.

Transkripti

1 AN Moiseev AA Nazarov Analizë asimptotike e një rrjedhe gjysmë-Markov me intensitet të lartë 9 UDC 5987 AN Moiseev AA Nazarov Analizë asimptotike e një rrjedhe gjysmë-Markovi me intensitet të lartë të ngjarjeve Një studim i një fluksi ngjarjesh gjysmë-Markov me intensitet të lartë është Është treguar se për rrjedhën në shqyrtim, shpërndarja e probabilitetit të numrit të ngjarjeve që ndodhin gjatë një intervali kohor të caktuar, që i nënshtrohet një rritjeje të pakufizuar të intensitetit të rrjedhës, mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Parametrat e kjo shperndarje jane perftuar ne veper.Fjalet kyce: fluks me intensitet te larte te ngjarjeve, rryme gjysemmarkov, analiza asimptotike.Nje nga elementet baze te sistemeve dhe rrjeteve te radhes eshte fluksi ne hyrje i kerkesave.Rrjetet moderne te telekomunikacionit dhe perpunimi i informacionit te shperndare sistemet kërkojnë xhiro të lartë të kanaleve të transmetimit të informacionit.Kështu në këto sisteme numri i paketave të të dhënave që mbërrijnë për përpunim për njësi kohore është shumë i lartë.Përsa i përket teorisë së radhës, në raste të tilla flasin për një intensitet të lartë të fluksit hyrës. Në vepër në veçanti, modeli i fluksit me intensitet të lartë është përdorur për të simuluar rrjedhën e mesazheve hyrëse të një sistemi të përpunimit të të dhënave shumëfazore të shpërndara Punimet janë studiuar vetitë e rrymave të përsëritura MMPP dhe MAP me intensitet të lartë Ky punim paraqet një analiza e vetive të një rryme gjysmë-Markoviane (Semi-Markoviane ose SM-) me intensitet të lartë si modeli më i përgjithshëm i rrjedhave të ngjarjeve Modeli matematikor Konsideroni një rrjedhë gjysmë-Markov të ngjarjeve homogjene të specifikuara si më poshtë Le të (ξ n τ n ) proces i palëvizshëm dydimensional Markov me kohë diskrete Këtu ξ n është një komponent diskrete që merr vlera nga në K τ n është një komponent i vazhdueshëm që merr vlera jo negative. Do të supozojmë se evolucioni i procesit përcaktohet nga elementët e e ashtuquajtura matricë gjysmë-Markov A (x) = ( Ak ν ) k ν= si vijon K: x Akν (x) = P ξ n+ =ν τ n+< ξ n = k N Здесь N некоторая большая величина которая введена искусственно чтобы явным образом подчеркнуть малость величин τ n В теоретических исследованиях будем полагать N и таким образом τ n На практике полученные результаты можно использовать для аппроксимации соответствующих величин при достаточно больших значениях N (в условии высокой интенсивности потока) Пусть в момент времени t = произошло изменение состояния процесса {ξ n τ n } Последовательность моментов времени t n определяемая рекуррентным выражением tn+ = tn+τ n+ для n = называется полумарковским потоком случайных событий определяемым полумарковской матрицей A(x) Процесс ξ n =ξ(t n) называют вложенной в полумарковский поток цепью Маркова Поскольку средняя длина интервалов τ n обратно пропорциональна N то при N интенсивность наступления событий в таком потоке будет неограниченно расти Такой поток событий будем называть высокоинтенсивным полумарковским или HISM-потоком (от High-Intensive Semi- Markovian) Ставится задача нахождения числа событий m(t) наступивших в этом потоке в течение интервала времени (t) Вывод уравнений Колмогорова Пусть z(t) длина интервала времени от момента t до момента наступления следующего события в потоке; k(t) случайный процесс значения которого на каждом из интервалов = () Отсюда получаем матричное дифференциальное уравнение относительно функции R(z): R (z) = R ()[ I A (z) ] (3) граничное условие для которого при z имеет вид R () = λr (4) где λ некоторый коэффициент вектор-строка r есть стационарное распределение состояний вложенной цепи Маркова Этот вектор является решением уравнения Колмогорова r= r P где P= lim A (z) есть стохастическая матрица определяющая вероятности переходов вложенной цепи z Маркова Таким образом решение уравнения (3) имеет вид z R() z = R ()[ I A () x ] dx (5) Пусть R= R () есть стационарное распределение значений полумарковского процесса k(t) тогда при z из (5) получаем R= R ()[ I A(x) ] dx=λ r[ I A(x) ] dx=λr [ P A(x) ] dx=λra (6) где A матрица с элементами Akν = [ Pkν Akν(x) ] dx Умножая левую и правую части равенства (6) на единичный вектор-столбец E получим RE = =λrae откуда находим значение коэффициента λ: λ= (7) rae Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

3 AN Moiseev AA Nazarov Analiza asimptotike e fluksit gjysëm-Markov me intensitet të lartë Le të prezantojmë shënimin Hkuzt () = e Pkmzt () ku j = njësi imagjinare dhe u është disa ndryshore Duke shumëzuar () me e jum dhe duke mbledhur mbi m nga për të marrë m = Hkuzt () Hkuzt ( ) Hku (t) K ju Hku (t) = + e Aν k (z) N ν= Duke marrë parasysh shënimin e vektorit të rreshtit H(u z t) = (H(u z t) H (K u z t)), ky ekuacion merr formën H(uzt) H(uzt) H(u t) ju = + e A(z) I (8) N Ekuacionin e matricës diferenciale (8) do ta zgjidhim asimptotikisht me metodën nën kushtin e rritjes së pakufizuar të intensitetit λn të rrjedhës gjysmë-Markov në shqyrtim si N asimptotike të rendit të parë Le të prezantojmë shënimin N =ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) Nga (8) marrim F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) jwε ε = + e A(z) I ( 9) Teorema Zgjidhja asimptotike F(wzt) = lim F (wzt ε) e ekuacionit (9) ka forma ε () () jw λ F wzt = R ze t () ku R(z) përcaktohet nga shprehja (5) Vërtetim Le ta bëjmë atë në (9) duke kaluar në kufirin ε fitojmë ekuacionin F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] e cila ka formën e ngjashme me () Prandaj, funksioni F (w z t) mund të përfaqësohet si F(wzt) = R (z) Φ(wt) () ku Φ (w t) është një funksion skalar. Le të kalojmë në kufirin z në (9) dhe të përmbledhim të gjithë përbërësit e këtij ekuacioni (për ta bërë këtë, ne shumëzojmë të dy anët në të djathtë me vektorin e kolonës njësi E) Përftojmë F (w t ε) F (w t ε) ε E= e P I E Zëvendësoni këtu shprehjen () përdorni zgjerimin e = + jε w+ O(ε) ndani të dyja anët me ε dhe kaloni në kufirin ε: Φ(wt) RE = jwr () PE Φ(wt) nga ku, duke marrë parasysh (4), marrim një ekuacion diferencial për funksionin Φ (w t): Φ(wt) = jwλφ (wt) Zgjidhja e këtij ekuacioni në kushtin fillestar Φ (w ) = marrim zgjidhjen jwλt Φ (wt) = e Zëvendësojmë këtë shprehje me ( ) fitojmë () Teorema është vërtetuar ju Nt Asimptotika e rendit të dytë Le të bëjmë zëvendësimin H(uzt) = H (uzte) λ në ( 8): H(uzt) H(uzt) H(u t) ju + juλ H(u z t) = + e A(z) I () N Le të prezantojmë shënimin N =ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) (3) Raportet TUSUR 3 (9) 3 shtator

4 INXHINIERIA KOMPJUTERIKE E MENAXHIMIT DHE SHKENCA E INFORMACIONIT Më pas () do të rishkruhet si F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) ε + λf (wzt ε) = + e A(z) I (4) Teorema Zgjidhje asimptotike F( wzt) = lim F (wzt ε) ekuacioni (4) ka formën ε (jw) F (wzt) = R (z)exp (λ+κ) t (5) ku R(z) përcaktohet nga shprehja (5) κ= fe (6) vektori i rreshtit f plotëson një sistem ekuacionesh algjebrike lineare f I P =λ rp R λ a (7) f AE= a = rae A = x da (x) Vërtetim Le të kalojmë në kufiri ε në (4) marrim ekuacionin F( wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] i cili ka formën e ngjashme me () Prandaj, funksioni F (w z t) mund të paraqitet si F(wzt ) = R (z) Φ(wt) (8) ku Φ (w t) një funksion skalar Zgjidhja e ekuacionit (4) do të kërkohet në formën e zgjerimit F(wzt ε) =Φ (wt) R(z) + jε wf (z) + O(ε) (9) ku f(z) është një funksion vektorial (varg) Duke zëvendësuar këtë shprehje në (4) dhe duke aplikuar zgjerimin e = + jε w+ O(ε) pas disa transformimeve marrim ( ) λφ (wt) R() z=φ (wt) R() z+ f () z+ R() A() z I + R() A() z+ f () A() z I+ A () z + O(ε) Duke marrë parasysh (3) (4) pjesëtimin e të dy anëve me jεw dhe anulimin e Φ ( w t) marrim λ R(z) = f (z) + λ ra(z) + f () [ A(z) I ] + O(ε) Nga këtu, për ε, marrim një ekuacion diferencial për funksionin vektorial të panjohur f(z) f ( z) = f ()[ I A(z) ] λ[ ra( z) R (z) ] duke integruar të cilin në kushtin fillestar f() = fitojmë shprehjen z f(z) = ( f ()[ I A(x) ] λ [ ra(x) R (x) ]) dx ( ) Do të kërkojmë f(z) në klasën e funksioneve që plotësojnë kushtin lim ( f ()[ I A(x) ] λ[ ra(x) R (x) ]) = x Nga këtu marrim f ()[ I P] λ[ rp R ] = () Duke zbritur anën e majtë të kësaj barazie nga integrandi () duke marrë parasysh (6) marrim f() = f () A+λrA λ [ R R (x) ] dx () Mund të tregohet se [ R R (x) ] dx= λ ra ku A = x da (x) Duke marrë parasysh këtë, duke shumëzuar të dyja anët () në të djathtë me vektorin njësi E, marrim Raportet TUSUR 3 (9) Shtator 3

5 AN Moiseev AA Nazarov Analizë asimptotike e rrjedhës gjysmë-Markov me intensitet të lartë 3 λ a [ f () A f()] E = (3) ku a = rae Duke supozuar se f() E = dhe duke treguar f = f () nga () dhe (3) marrim sistemin e ekuacioneve (7) Le të kalojmë në kufirin z në (4) dhe të shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me E në të djathtë, fitojmë F(w t ε) F(w t ε) jw (w t) jw jw (w t) ε ε e F ε ε E+ ε λf ε E= P I E= E (e) () 3 Zëvendëso këtu (9) dhe zbato zgjerimin e = + jε w+ + O(ε ) marrim Φ(wt) (jεw) 3 ε RE+ λφ (wt) RE = Φ (wt)[ R () + f ()] E jw ε + + O(ε) Reduktimi i reduktimeve të ngjashme me ε duke përdorur shënimin (6 ) dhe duke kaluar në kufirin në ε fitojmë ekuacionin diferencial të mëposhtëm për funksionin e panjohur Φ (w t): Φ(wt) (jw) = Φ(wt) (λ+κ) (jw) duke zgjidhur të cilin në kushtin fillestar Φ (w) = fitojmë Φ (wt) = exp (λ+κ) t Duke zëvendësuar këtë shprehje në (8) marrim (5) Teorema është vërtetuar Përafrimi i shpërndarjes së numrit të ngjarjeve që ndodhin në rrjedhën HISM Bërja e ndryshimeve në (5) anasjelltas me (3) dhe duke u kthyer në funksionin H(u z t) fitojmë (ju) H(u z t) R (z)exp juλ Nt + (λ+κ) Nt Kështu, funksioni karakteristik i numrit të ngjarjet që ndodhin në një rrjedhë gjysmë-Markov me intensitet të lartë gjatë kohës t plotësojnë relacionin (ju) hut () = H(u t) E exp juλ Nt+ (λ+κ) Nt Domethënë, për vlera mjaftueshëm të mëdha N shpërndarje të numrit i ngjarjeve që ndodhin në një rrjedhë HISM gjatë kohës t mund të përafrohet me një shpërndarje normale me pritshmëri matematikore λnt dhe variancë (λ + κ)nt ku λ dhe κ përcaktohen nga shprehjet (7) dhe (6) Rezultatet numerike Si shembull për llogaritjet numerike Le të shqyrtojmë problemin e modelimit të ngjarjeve në një rrjedhë gjysmë-Markov me intensitet të lartë të specifikuar nga një matricë gjysmë Markov e rendit të tretë A(x) e shkruar në formën A(x) = P * G(x) ku P është një matricë stokastike; G(x) është një matricë e përbërë nga disa funksione të shpërndarjes; Operacioni * Produkti Hadamard i matricave Do të shqyrtojmë një shembull kur elementët e matricës G(x) i korrespondojnë funksioneve të shpërndarjes gama me parametra të formës α kν dhe shkallë β kν k ν = 3, të cilat do t'i paraqesim në formën e matricave. respektivisht α dhe β. Ne do të zgjedhim vlerat e mëposhtme të parametrave specifike: P = 3 5 α = 5 4 β = Si rezultat i llogaritjeve, janë marrë vlerat e mëposhtme të parametrave: λ 99; κ 96 Për këtë problem, u krye simulimi i rrjedhës për vlerat N = 3 dhe u ndërtuan shpërndarje empirike të numrit të ngjarjeve në intervale me gjatësi t =. Seritë e shpërndarjeve të të dhënave empirike dhe përafrimet përkatëse për N = dhe N = janë paraqitet grafikisht në Fig. (për vlerat e tjera të N, grafikët janë pothuajse përkojnë dhe bëhen të padallueshëm në figurë) TUSUR raporton 3 (9) 3 shtator

6 4 4 MENAXHIM INXHINIERIA KOMPJUTERIKE DHE SHKENCA E INFORMACIONIT 5 8 N = N = Fig Krahasimi i poligonit të frekuencave relative të shpërndarjes empirike () dhe serisë së shpërndarjes së përafërt () Për të vlerësuar saktësinë e përafrimit të shpërndarjes, do të përdorim distanca Kolmogorov Dq = sup Fq(x) F(x) Këtu F q (x) funksioni empirik i shpërndarjes F(x) funksioni x i shpërndarjes së një ndryshoreje normale të rastësishme me karakteristikat e gjetura më sipër Tabela tregon varësinë e cilësisë i përafrimit në vlerën N N δ gabimet relative në llogaritjen matematikore a δ D D q 8% 6% 464 pritjet δ a dhe varianca δ D si dhe distanca e Kolmogorovit D q për rastet e konsideruara 9% 7% % 5% Figura tregon një grafik që tregon % 4% 44 uljen e distancës Kolmogorov midis shpërndarjeve empirike dhe 8% analitike (normale) me vlera në rritje të N D q Ju mund të vini re se tashmë në 5 N > 3, një cilësi mjaft e lartë e Gaussian arrihet përafrimi i numrit të ngjarjeve në rrjedhën gjysmë-Markov të konsideruar me intensitet të lartë (distanca e Kolmogorovit nuk e kalon) 3 Fig. Ndryshimi në distancën e Kolmogorovit D q në varësi të intensitetit të rrjedhës (shkalla logaritmike në N) N Përfundim Puna paraqet studimin e një rryme ngjarjesh me intensitet të lartë gjysmë-Markov Tregohet se, në kushtet e rritjes së pakufizuar të intensitetit të saj, shpërndarja e numrit të ngjarjeve që ndodhin në një rrjedhë të caktuar gjatë një intervali kohor me një gjatësi fikse mund të të përafrohet me një shpërndarje normale Parametrat e kësaj shpërndarjeje janë marrë në punim Shembujt numerikë të shqyrtuar demonstrojnë zbatueshmërinë e rezultateve asimptotike të fituara për HISM-rrjedhjet e ngjarjeve Rezultate të ngjashme janë marrë më herët për llojet e tjera të prurjeve me intensitet të lartë: periodike MMPP HARTA Raportet TUSUR 3 (9) 3 shtator

7 AN Moiseev AA Nazarov Analizë asimptotike e fluksit gjysmë-Markov me intensitet të lartë 5 Referenca Gnedenko BV Hyrje në teorinë e radhës / BV Gnedenko IN Kovalenko 4th ed. sistemi i përpunimit të të dhënave / VV Grachev AN Moiseev AA Nazarov VZ Yampolsky // raportet e TUSUR (6) h C Moiseev Një hetim i rrjedhës së përgjithshme intensive / A Moiseev A Nazarov // Proc i Konferencës IV Ndërkombëtare "Problemet e Kibernetikës dhe Informatikës" ( PCI) Baku: IEEE P Moiseev Një Hetim i Procesit Poisson të Moduluar nga Markovi me Intensitet të Lartë / A Moiseev A Nazarov // Proc i Konferencës Ndërkombëtare mbi Aplikimin e Teknologjisë së Informacionit dhe Komunikimit dhe Statistikave në Ekonomi dhe Arsim (ICAICTSEE-) Sofje: Universiteti I Ekonomisë Kombëtare dhe Botërore P Moiseev AN Studim i rrjedhës së MAP me intensitet të lartë / AN Moiseev AA Nazarov // Universiteti Politeknik Izv. Tom 3 T 3 S Korolyuk VS Modele stokastike të sistemeve Kiev: Nauk Dumka s 7 Nazarov AA Teoria e probabilitetit dhe e rastësishme proceset: tekst shkollor / AA Nazarov AF Terpugov-e izd ispr Tomsk: Shtëpia Botuese NTL 4 f 8 Nazarov AA Metoda e analizës asimptotike në teorinë e radhës / AA Nazarov SP Moiseeva Tomsk: Shtëpia Botuese NTL 6 fq 9 Korn G Manual për matematikanët dhe matematikanët inxhinierë / G Korn T Korn M: Shkenca me Rykov VV Statistikat matematikore dhe planifikimi eksperimental: tekst shkollor / VV Rykov VY Itkin M: MAKS Press 38 me Moiseev Alexander Nikolaevich Kandidat i Shkencave Teknike Profesor i asociuar, Departamenti i Inxhinierisë Softuerike, Universiteti Shtetëror Tomsk (TSU ) Tel: 8 (38-) Email: Nazarov Anatoly Andreevich Doktor i Shkencave Teknike Profesor Shef i Departamentit të Teorisë së Probabilitetit dhe Statistikave Matematikore TSU Tel: 8 (38-) Email: Moiseev AN Nazarov AA Analiza asimptotike e gjysëm intensive -Procesi i mbërritjes Markoviane Hulumtimi i procesit të mbërritjes gjysmë-Markovian me intensitet të lartë është paraqitur në punim Tregohet se një shpërndarje e numrit të mbërritjeve në proces gjatë një periudhe të caktuar në kushte asimptotike të një rritje të pafundme të shkallës së procesit mund të jetë e përafruar me shpërndarje normale Përftohen edhe karakteristikat e përafrimit Rezultatet analitike mbështeten me shembuj numerikë Fjalët kyçe: procesi i mbërritjes me intensitet të lartë analiza asimptotike e procesit gjysmëmarkovian Raportet TUSUR 3 (9) 3 shtator

BIBLIOGRAFI. Balasanyan S.Sh. Modeli i stratifikuar për vlerësimin dhe analizimin e efikasitetit të funksionimit të sistemeve komplekse teknologjike me shumë shtete // Lajmet e Politeknikut Tomsk

ANALIZA ASIMPTOTIKE E NJË RRJETI TË HAPUR PYETJE NON-MARKOV HIMMPP (GI) K A. Nazarov, A. Moiseev Tomsk State University Tomsk, Rusi [email i mbrojtur] Vepra paraqet

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK 2008 Departamenti i Shkencave Kompjuterike dhe Shkencave të Informacionit 3(4) UDC 6239; 592 SV Lopukhova HULUMTIMI I RRJEDHJES SË MMR NË METODËN ASIMPTOTIKE TË RENDIT TË TRETË Puna shqyrton

S.A. Matveev, A.N. Moiseev, A.A. Nazarov. Zbatimi i metodës së momenteve fillestare 9 UDC 59.87 S.A. Matveev, A.N. Moiseev, A.A. Nazarov Zbatimi i metodës së momenteve fillestare për të studiuar një sistem shumëfazor

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK 7 Menaxhimi i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit UDC 5987 TA Karlykhanova METODA E RRJEDHJES SIFT PËR STUDIMIN E SISTEMIT GI/GI/Për një sistem të radhës

UDC 6.39.; 59. S.V. Lopukhova A.A. Nazarov STUDIMI I MAR-FLOWIT ME METODËN E ANALIZËS ASIMPTOTIKE TË RENDIT TË N TË Konsiderohet rrjedha MAR. Kjo rrjedhë është studiuar duke përdorur metodën asimptotike.

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK 8 Menaxhimi i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit 4(5) MODELIMI MATEMATIK UDC 59.87 V.A. Vavilov A.A. Nazarov MODELIMI MATEMATIK I TË PAQËNDRUESHËM

Dega e Universitetit Shtetëror të Kemerovës në Anzhero-Sudzhensk të Kërkimeve Kombëtare të Universitetit Shtetëror Tomsk të Universitetit Shtetëror të Kemerovës Instituti i Problemeve të Menaxhimit

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK Menaxhim i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit 3() UDC 59.87 I.A. Ivanovskaya S.P. Moiseeva HULUMTIMI I NJË MODEL TË SHËRBIMIT PARALEL TË SHËRBIMEVE TË SHUMËFISHTA

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK 2011 Menaxhimi, teknologjia kompjuterike dhe shkenca e informacionit 3(16) PËRPUNIMI I INFORMACIONIT UDC 519.872 I.L. Lapatin, A.A. Nazarov KARAKTERISTIKAT E SISTEMEVE MARKOV

A.A. Nazarov I.A. Semenov. Krahasimi i karakteristikave asimptotike dhe paraprake 187 UDC 4.94:519.872 A.A. Nazarov I.A. Semenova Krahasimi i karakteristikave asimptotike dhe paraprake të sistemit MAP/M/

Dega e Universitetit Shtetëror të Kemerovës në Anzhero-Sudzhensk të Kërkimeve Kombëtare të Universitetit Shtetëror Tomsk të Universitetit Shtetëror të Kemerovës Instituti i Problemeve të Menaxhimit

Radiofizika statistikore dhe teoria e informacionit Leksion 7 8. Zinxhirët Markov në kohë të vazhdueshme Zinxhirët Markov në kohë të vazhdueshme janë një proces i rastësishëm Markov X t, i përbërë nga

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK 9 Menaxhimi i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit (7) MODELIMI MATEMATIK UDC 5987 VA Vavilov MODELIMI MATEMATIK I RRJETAVE TË RASTËSISHME TË PASTABLE

KAPITULLI 5. PROCESET E MARKOVIT ME KOHË TË VAZHDUESHME DHE NJË GJENDJE DISKRETE Si rezultat i studimit të këtij kapitulli, studentët duhet: të njohin përkufizimet dhe vetitë e proceseve të Markovit me vazhdimësi.

Si dorëshkrim Zadiranova Lyubov Aleksandrovna HULUMTIMI I MODELEVE MATEMATIKE TË RRJEDHJES NË QS INFIFITELY LINEARE ME MIRËMBAJTJE TË PËRSËRISHËM TË KËRKESAVE 05.13.18 Modelimi matematikor, numerik

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK 7 Menaxhimi i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit UDC 59 NV Stepanova AF Terpugov MENAXHIMI I ÇMIMEVE NË SHITJEN E PRODUKTEVE TË PRAKTSHME Menaxhimi është konsideruar

BULETINI I UNIVERSITETIT SHTETËROR TOMSK Menaxhim, teknologji kompjuterike dhe shkenca e informacionit () UDC 59.865 K.I. Livshits, Ya.S. Bagel PROBABILITETI I RRËNIMIT TË NJË SHOQËRI SIGURIMORE NËN STOKASTIKËN E DYFISHTE

UDC 6-5 Karakteristikat spektrale të funksionaleve lineare dhe aplikimet e tyre në analizën dhe sintezën e sistemeve të kontrollit stokastik K.A. Rybakov Artikulli paraqet konceptin e karakteristikave spektrale të lineare

Si dorëshkrim Lapatin Ivan Leonidovich HULUMTIM I MODELET MATEMATIKE TË RRJEDHËS SË REZULTATEVE TË SISTEMEVE TË RRESHTIT ME NJË NUMËR TË PAKUFIZUARA PAJISJE 05.13.18 Modelimi matematikor, numerik

Përmbajtja Kapitulli Proceset e rastësishme Zinxhiri i thjeshtë homogjen Markov ekuacioni i Markovit Zinxhiri i thjeshtë homogjen i Markovit 4 Vetitë e matricës së tranzicionit 5 Eksperimenti numerik: stabilizimi i shpërndarjes së probabilitetit

INSTITUTI I MATEMATIKËS LLOGARIK DHE GJEOFIZIKËS MATEMATIKE SIBERIANE E AKADEMISË RUSE TË SHKENCAVE LEXIMET SHKENCORE MARCHUKOV 017 5 qershor 14 korrik 017 Procedurat Bordi Editorial Akademik

STUDIMI I SISTEMIT RQ M GI 1 SIPAS METODËS SË ANALIZËS ASIMPTOTIKE NË KUSHTET E NGARKESAVE TË RËNDA E. Moiseeva, A. Nazarov Tomsk State University Tomsk, Rusi [email i mbrojtur] Puna konsideron

UDC 6-5:59 NS Demin SV Rozhkova OV Rozhkova FILTRIMI NË SISTEME DINAMIKE NGA VËZHGIMET TË VAZHDUESHME-DISKRETE ME KUJTESË NË PRANISË TË NDËRHYRJES ANOMALIKE II VAZHDIM VEPRIM DISKRETUES

Metodat numerike Tema 2 Interpolimi V I Velikodny 2011 viti akademik 2012 1 Koncepti i interpolimit Interpolimi është një metodë për të gjetur afërsisht ose saktë çdo vlerë nga vlerat e njohura individuale

Gazeta Matematike e Ukrainës Vëllimi 5 (28), 3, 293 34 Mbi problemet e vlerës kufitare për një operator diferencial të zakonshëm me koeficientë matricë Anna V Agibalova (Prezantuar nga M M Malamud) Abstrakt

Leksioni 2. Statistikat e llojit të parë. Vlerësimet e theksuara dhe pronat e tyre Bure V.M., Grauer L.V. ShAD Shën Petersburg, 2013 Bure V.M., Grauer L.V. (SHAD) Leksioni 2. Statistikat e llojit të parë. Shën Petersburg me pika,

Menaxhimi i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit UDC 6-5:59 HULUMTIMI I EFIÇENCËS SË NJË KANAL TË VËZHGIMIT DISKRET ME KUJTESË NË PROBLEMIN E EKSTRAPOLIMIT NS Demin OV Rozhkova* Universiteti Shtetëror i Tomsk

Radiofizika statistikore dhe teoria e informacionit Leksioni 6 7. Proceset e rastit Markov* dhe zinxhirët Markov. *Markov Andrey Andreevich (lindur më 1890) matematikan rus, akademik Markov proces i rastësishëm

Siberian Mathematical Journal Korrik Gusht, 2003 Vëllimi 44, 4 UDC 51921+5192195 MBI KOMPONENTET E PËRFAQËSIMIT TË FAKTORIZIMIT PËR Kohën e banimit të SHËTJEVE TË RASTËSISHME GJYSMË TË VAZHDUESHME NË BANDËN SË Lugavów

Si dorëshkrim Gorbatenko Anna Evgenievna HULUMTIMI I SISTEMEVE TË RADIT ME RRJEDHJE KORELATE NË KUSHTE TË VEÇANTA KUFIZUESE 18.13.05 Modelimi matematikor, metodat numerike

Menaxhimi i teknologjisë kompjuterike dhe shkencave të informacionit UDC 59. ASPEKTI INFORMACIONI NË PROBLEMIN E PËRBASHKËT TË FILTRIMIT DHE NDËRPOSHTIMIT TË VAZHDUESHËM-DISKRET. ANALIZA S.V. Rozhkova O.V. Politekniku Rozhkova Tomsk

Revista Matematikore Siberiane korrik gusht, 2005. Vëllimi 46, 4 UDC 519.21 MBI PËRFAQËSIMET E FAKTORIZIMIT NË PROBLEMET KUFITARE PËR SHËTIMET E RASTËSISHME TË SPECIFIKUARA NË ZINXHIRIN MARKOV V. I. Lotova, N. G.

Leksioni 3 Qëndrueshmëria e ekuilibrit dhe e lëvizjes së një sistemi Kur shqyrtojmë lëvizjet e qëndrueshme, shkruajmë ekuacionet e lëvizjes së trazuar në formën d dt A Y ku vektori i kolonës është një matricë katrore e koeficientëve konstante.

Kapitulli 1 Ekuacionet diferenciale 1.1 Koncepti i një ekuacioni diferencial 1.1.1 Problemet që çojnë në ekuacione diferenciale. Në fizikën klasike, çdo sasi fizike shoqërohet me

Ligjërata FUNKSIONI KARAKTERISTIK QËLLIMI I LIGJERËSËS: të ndërtohet një metodë për linearizimin e funksioneve të ndryshoreve të rastit; të prezantojë konceptin e një ndryshoreje të rastësishme komplekse dhe të marrë karakteristikat e saj numerike; përcaktoni karakteristikën

Modelimi i sistemeve duke përdorur procese të rastësishme Markov Konceptet themelore të proceseve Markov Funksioni X(t) quhet i rastësishëm nëse vlera e tij për çdo argument t është një ndryshore e rastësishme.

1. ZINXHIRËT HOMOGJENË TË FUNDIT MARKOV Konsideroni një sekuencë të ndryshoreve të rastësishme ξ n, n 0, 1,..., secila prej të cilave shpërndahet në mënyrë diskrete dhe merr vlera nga i njëjti grup (x 1,...,

Kapitulli 6 Bazat e teorisë së stabilitetit Deklarata e problemit Ligjërata Konceptet bazë Më parë, u tregua se zgjidhja e problemit Cauchy për një sistem normal ODE = f, () varet vazhdimisht nga kushtet fillestare në

Sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Zgjidhjet e gjetura në këtë mënyrë formojnë një sistem themelor zgjidhjesh dhe për këtë arsye zgjidhja e përgjithshme e sistemit ka formën ose, më në detaje, sin cos sin cos cos cos sin sin

Besueshmëria strukturore. Teoria dhe praktika Kashtanov V.A. KONTROLLI I STRUKTURËS NË RADHË DHE MODELET E BESUESHMËRISË Duke përdorur procese të kontrolluara gjysmë-Markov, optimale

MODEL MATEMATIK I NJË SHOQËRI SIGURIMORE NË FORMË TË SISTEMIT TË SHËRBIMIT TË RRETHIT M M I. Sinyakova, S. Moiseeva National Research Tomsk State University Tomsk, Rusi [email i mbrojtur]

UDC 59. TEOREMA E NDARJES NË RASTIN E VËZHGIMIT ME KUJTESJE N.S. Demin, S.V. Universiteti Shtetëror Rozhkova Tomsk Universiteti Politeknik Tomsk E-mail: [email i mbrojtur] Dëshmia është dhënë

Sipas kushteve të teoremës L B (m Pastaj, për shkak të linearitetit të operatorit L, kemi: m m m L L ] B [ Sistemet e ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante Vlerat e veta dhe eigjenvektorët

REFERENCAT Kalashnikova TV Izvekov NU Integrimi i metodës së orientimit të kërkesës në sistemin e çmimeve të një zinxhiri të shitjes me pakicë // Lajmet e Universitetit Politeknik Tomsk T 3 6 S 9 3 Fomin

INSTITUTI I MATEMATIKËS LLOGARIK DHE GJEOFIZIKËS MATEMATIKE SIBERIANE E AKADEMISË RUSE TË SHKENCAVE MARCHUKOV LEXIMET SHKENCORE 217 25 qershor 14 korrik 217 Procedurat Bordi redaktues akademik

TEMA 7. Proceset e rastësishme. Qëllimi i përmbajtjes së temës 7 është të japë koncepte fillestare për proceset e rastësishme dhe zinxhirët Markov në veçanti; të përshkruajë gamën e problemeve ekonomike që përdorin modelet në zgjidhjen e tyre,

Leksioni 4. Intervalet e besimit Bure V.M., Grauer L.V. ShAD Shën Petersburg, 2013 Bure V.M., Grauer L.V. (SHAD) Leksioni 4. Intervalet e besimit Shën Petersburg, 2013 1 / 49 Përmbajtja Përmbajtja 1 Intervalet e besimit

Siberian Mathematical Journal Janar Shkurt, 2. Vëllimi 41, 1 UDC 517.948 ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS TO SINGULARly PERTURBED NONLINEAR INTEGRODIFERENCIAL EQUATIONS M. K. Dauylbaev Abstract: Considered

Leksion Modelimi i sistemeve duke përdorur procese të rastësishme Markov Konceptet themelore të proceseve Markov Një funksion X(t) quhet i rastësishëm nëse vlera e tij për çdo argument t është e rastësishme

7 (), 9 G. V. Boykova për botën e botës Abstrakt: për një ekuacion diferencial të rendit të dytë, është gjetur një zgjidhje që përfaqëson

SHKENCA NATYRORE DHE SAKTE UDC 57977 RRETH KONTROLLIT TË SISTEMEVE LINEARE TË TJEKSHME ME VONESË TË VOGËL.

Modelimi kompjuterik. SMO. Leksioni 2 1 Përmbajtja Kapitulli 2. Paraqitja e një QS me një proces të rastësishëm Markov... 1 I. Klasifikimi i QS sipas Kendall... 1 II. Procesi i rastësishëm Markov... 2 III. Markovsky

48 Vestnik RAU Seria shkenca fizike, matematikore dhe natyrore, 1, 28, 48-59 UDC 68136 VLERËSIMI I BESUESHMËRISË KARAKTERISTIKAT E SISTEMEVE TË MËSIMIT TË DISTANCËS PJESA 2 HV Kerobyan, NN-Khublanyanes

Konceptet bazë të teorisë së skemave të dallimeve. Shembuj të ndërtimit të skemave të diferencës për problemet e vlerës fillestare të kufirit. Një numër i madh problemesh në fizikë dhe teknologji çojnë në vlera kufitare ose probleme me vlerën kufitare fillestare për lineare

4 (0) 00 Analiza Bayesian kur parametri i vlerësuar është një proces normal i rastësishëm. Problemi i vlerësimit Bayesian të një sekuence vlerash mesatare të panjohura q q... q... konsiderohet

UNIVERSITETI TEKNOLOGJIK RUS MIREA KAPITULLI SHTESË TË MATEMATIKËS SË LARTË KAPITULLI 3. SISTEMET E EKUACIONIVE DIFERENCIALE Puna i kushtohet modelimit të sistemeve dinamike duke përdorur elementë

SISTEMET E EKUACIONET DIFERENCIALE LINEARE ME KOEFICIENTË KONSTANT Reduktimi në një ekuacion të rendit të th Nga pikëpamja praktike, sistemet lineare me koeficientë konstante janë shumë të rëndësishme.

1 Titulli i dokumentit Ovsyannikov A.V. PABARAZITË STATISTIKORE NË EKSPERIMENTET E RREGULLTA STATISTIKORE TË TEORISË TË VLERËSIMIT // West National Academy of Sciences Bjellorusi, 009. Ser fz-mat. navuk. Fq.106-110

UDC 59 EV Novitskaya AF Terpugov PËRCAKTIMI I VËLLIMIT OPTIMAL TË SHUME PRODUKTEVE DHE ÇMIMI ME ME PAKICË TË SHITJES SË PRODUKTEVE TË VAZHDUESHMËRISË TË PRAKTUESHME Problemi i përcaktimit të vëllimit optimal të një serie mallrash është konsideruar

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin NE Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik A. K. K. K., A. K. REPLACEMENT

Math-Net.Ru Portali matematikor gjithë-rus A. A. Nazarov, T. V. Lyubina, Sistemi dinamik RQ jo-Markov me një rrjedhë kërkesash MMP hyrëse, Avtomat. dhe telemekh., 213, numri 7, 89 11 Përdorimi

MINISTRIA E ARSIMIT TË FEDERATËS RUSE UNIVERSITETI SHTETËROR KRASNOYARSK UDC BBK Përpiluar nga: N.A. Pinkina DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË LARTË Algjebër lineare. Zgjidhja e shembujve tipikë. Opsionet e testimit

Leksioni 2 Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. 1. Zgjidhja e sistemeve të 3 ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer. Përkufizimi. Një sistem prej 3 ekuacionesh lineare është një sistem i formës Në këtë sistem, sasitë e kërkuara janë