Kontrolloni që linjat shtrihen në të njëjtin plan. Kushti që dy drejtëza t'i përkasin të njëjtit rrafsh. Largësia nga pika në vijë

Ky artikull ka të bëjë me linjat paralele dhe linjat paralele. Së pari jepet përkufizimi i drejtëzave paralele në rrafsh dhe në hapësirë, paraqiten shënimet, jepen shembuj dhe ilustrime grafike të drejtëzave paralele. Më pas diskutohen shenjat dhe kushtet për paralelizmin e drejtëzave. Si përfundim, tregohen zgjidhjet e problemeve tipike të vërtetimit të paralelizmit të drejtëzave, të cilat jepen me ekuacione të caktuara të drejtëzës në një sistem koordinativ drejtkëndor në rrafsh dhe në hapësirën tredimensionale.

Navigimi i faqes.

Vijat paralele - informacioni bazë.

Përkufizimi.

Dy rreshta në një rrafsh quhen paralele, nëse nuk kanë pika të përbashkëta.

Përkufizimi.

Quhen dy vija në hapësirën tredimensionale paralele, nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kanë pika të përbashkëta.

Ju lutemi vini re se klauzola "nëse ato shtrihen në të njëjtin rrafsh" në përkufizimin e drejtëzave paralele në hapësirë ​​është shumë e rëndësishme. Le të sqarojmë këtë pikë: dy drejtëza në hapësirën tredimensionale që nuk kanë pika të përbashkëta dhe nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh nuk janë paralele, por të kryqëzuara.

Këtu janë disa shembuj të drejtëzave paralele. Skajet e kundërta të fletës së fletores shtrihen në vija paralele. Vijat e drejta përgjatë të cilave rrafshi i murit të shtëpisë kryqëzon rrafshet e tavanit dhe dyshemesë janë paralele. Binarët hekurudhor në tokë të sheshtë mund të konsiderohen gjithashtu si linja paralele.

Për të treguar vija paralele, përdorni simbolin "". Kjo do të thotë, nëse drejtëzat a dhe b janë paralele, atëherë mund të shkruajmë shkurtimisht një b.

Ju lutemi vini re: nëse drejtëzat a dhe b janë paralele, atëherë mund të themi se drejtëza a është paralele me drejtëzën b, dhe gjithashtu se drejtëza b është paralele me drejtëzën a.

Le të shprehim një deklaratë që luan një rol të rëndësishëm në studimin e drejtëzave paralele në një rrafsh: përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, kalon e vetmja drejtëz paralele me atë të dhënë. Ky pohim pranohet si fakt (nuk mund të vërtetohet në bazë të aksiomave të njohura të planimetrisë) dhe quhet aksioma e drejtëzave paralele.

Për rastin në hapësirë, teorema vlen: përmes çdo pike të hapësirës që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon një drejtëz e vetme paralele me atë të dhënë. Kjo teoremë vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën e mësipërme të drejtëzave paralele (provimin e saj mund ta gjeni në tekstin shkollor të gjeometrisë për klasat 10-11, i cili është renditur në fund të artikullit në listën e referencave).

Për rastin në hapësirë, teorema vlen: përmes çdo pike të hapësirës që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon një drejtëz e vetme paralele me atë të dhënë. Kjo teoremë mund të vërtetohet lehtësisht duke përdorur aksiomën e mësipërme të vijës paralele.

Paralelizmi i drejtëzave - shenjat dhe kushtet e paralelizmit.

Një shenjë e paralelizmit të vijaveështë kusht i mjaftueshëm që vijat të jenë paralele, pra kusht përmbushja e të cilit garanton që vijat të jenë paralele. Me fjalë të tjera, plotësimi i këtij kushti është i mjaftueshëm për të vërtetuar faktin se vijat janë paralele.

Ekzistojnë gjithashtu kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave në një plan dhe në hapësirën tredimensionale.

Le të shpjegojmë kuptimin e shprehjes "kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vijat paralele".

Tashmë jemi marrë me kushtin e mjaftueshëm për vijat paralele. Cili është "kushti i domosdoshëm për vijat paralele"? Nga emri “i domosdoshëm” del qartë se plotësimi i këtij kushti është i nevojshëm për vijat paralele. Me fjalë të tjera, nëse nuk plotësohet kushti i nevojshëm që vijat të jenë paralele, atëherë vijat nuk janë paralele. Kështu, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vijat paraleleështë kusht përmbushja e të cilit është edhe e nevojshme edhe e mjaftueshme për drejtëzat paralele. Kjo është, nga njëra anë, kjo është një shenjë e paralelizmit të drejtëzave, dhe nga ana tjetër, kjo është një veti që kanë drejtëzat paralele.

Para se të formuloni një kusht të domosdoshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e vijave, këshillohet të kujtoni disa përkufizime ndihmëse.

Linja sekanteështë një drejtëz që pret secilën prej dy drejtëzave të dhëna që nuk përputhen.

Kur dy vija të drejta kryqëzohen me një tërthore, formohen tetë të pazhvilluara. I ashtuquajturi i shtrirë kryq, përkatës Dhe kënde të njëanshme. Le t'i tregojmë ato në vizatim.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në një rrafsh priten nga një transversal, atëherë që ato të jenë paralele është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këndet kryqëzuese të jenë të barabarta, ose këndet përkatëse të jenë të barabarta, ose shuma e këndeve të njëanshme të jetë e barabartë me 180. gradë.

Le të tregojmë një ilustrim grafik të këtij kushti të nevojshëm dhe të mjaftueshëm për paralelizmin e vijave në një rrafsh.

Provat e këtyre kushteve për paralelizmin e drejtëzave mund t'i gjeni në tekstet e gjeometrisë për klasat 7-9.

Vini re se këto kushte mund të përdoren gjithashtu në hapësirën tre-dimensionale - gjëja kryesore është që dy linjat e drejta dhe sekanti shtrihen në të njëjtin plan.

Këtu janë disa teorema të tjera që përdoren shpesh për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në një rrafsh janë paralele me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele. Vërtetimi i këtij kriteri rrjedh nga aksioma e drejtëzave paralele.

Ekziston një kusht i ngjashëm për linjat paralele në hapësirën tredimensionale.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në hapësirë ​​janë paralele me një vijë të tretë, atëherë ato janë paralele. Vërtetimi i këtij kriteri diskutohet në mësimet e gjeometrisë në klasën e 10-të.

Le të ilustrojmë teoremat e deklaruara.

Le të paraqesim një teoremë tjetër që na lejon të vërtetojmë paralelizmin e drejtëzave në një rrafsh.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në një rrafsh janë pingul me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele.

Ekziston një teoremë e ngjashme për linjat në hapësirë.

Teorema.

Nëse dy drejtëza në hapësirën tredimensionale janë pingul me të njëjtin rrafsh, atëherë ato janë paralele.

Le të nxjerrim figura që korrespondojnë me këto teorema.

Të gjitha teoremat, kriteret dhe kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme të formuluara më sipër janë të shkëlqyera për të vërtetuar paralelizmin e drejtëzave duke përdorur metodat e gjeometrisë. Kjo do të thotë, për të vërtetuar paralelizmin e dy drejtëzave të dhëna, duhet të tregoni se ato janë paralele me një vijë të tretë, ose të tregoni barazinë e këndeve të shtrira në mënyrë tërthore, etj. Shumë probleme të ngjashme zgjidhen në mësimet e gjeometrisë në shkollën e mesme. Megjithatë, duhet theksuar se në shumë raste është e përshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për të vërtetuar paralelizmin e vijave në një plan ose në hapësirën tredimensionale. Le të formulojmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave që specifikohen në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Paralelizmi i drejtëzave në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Në këtë paragraf të artikullit do të formulojmë kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për vija paralele në një sistem koordinativ drejtkëndor, në varësi të llojit të ekuacioneve që përcaktojnë këto vija, dhe do të japim gjithashtu zgjidhje të detajuara për problemet karakteristike.

Le të fillojmë me kushtin e paralelizmit të dy drejtëzave në një rrafsh në sistemin koordinativ drejtkëndor Oxy. Vërtetimi i tij bazohet në përcaktimin e vektorit të drejtimit të një drejtëze dhe në përcaktimin e vektorit normal të një drejtëze në një rrafsh.

Teorema.

Që dy drejtëza që nuk përputhen të jenë paralele në një rrafsh, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të këtyre drejtëzave të jenë kolinear, ose vektorët normalë të këtyre drejtëzave të jenë kolinear, ose vektori i drejtimit të njërës drejtëze të jetë pingul me normalen. vektori i vijës së dytë.

Natyrisht, kushti i paralelizmit të dy drejtëzave në një rrafsh reduktohet në (vektorët e drejtimit të vijave ose vektorët normalë të drejtëzave) ose në (vektori i drejtimit të një drejtëze dhe vektori normal i vijës së dytë). Kështu, nëse dhe janë vektorë të drejtimit të drejtëzave a dhe b, dhe Dhe janë vektorë normalë të drejtëzave a dhe b përkatësisht, atëherë kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave a dhe b do të shkruhet si , ose , ose , ku t është një numër real. Nga ana tjetër, koordinatat e udhëzuesve dhe (ose) vektorëve normalë të linjave a dhe b gjenden duke përdorur ekuacionet e njohura të linjave.

Në veçanti, nëse drejtëza a në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe Oxy në aeroplan përcakton një ekuacion të përgjithshëm drejtvizor të formës , dhe drejtëza b - , atëherë vektorët normalë të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe, përkatësisht, dhe kushti për paralelizmin e drejtëzave a dhe b do të shkruhet si .

Nëse drejtëza a korrespondon me ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndor të formës dhe drejtëzës b - , atëherë vektorët normalë të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe , dhe kushti për paralelizmin e këtyre drejtëzave merr formën . Rrjedhimisht, nëse vijat në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor janë paralele dhe mund të specifikohen nga ekuacionet e drejtëzave me koeficientë këndorë, atëherë koeficientët këndorë të vijave do të jenë të barabartë. Dhe anasjelltas: nëse linjat që nuk përputhen në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor mund të specifikohen nga ekuacionet e një drejteje me koeficientë të barabartë këndorë, atëherë linja të tilla janë paralele.

Nëse një drejtëz a dhe një drejtëz b në një sistem koordinativ drejtkëndor përcaktohen nga ekuacionet kanonike të një drejtëze në një rrafsh të formës Dhe , ose ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh të formës Dhe në përputhje me rrethanat, vektorët e drejtimit të këtyre drejtëzave kanë koordinata dhe , dhe kushti për paralelizmin e drejtëzave a dhe b shkruhet si .

Le të shohim zgjidhjet për disa shembuj.

Shembull.

A janë vijat paralele? Dhe ?

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë ekuacionin e një rreshti në segmente në formën e një ekuacioni të përgjithshëm të një rreshti: . Tani mund të shohim se është vektori normal i vijës , a është vektori normal i drejtëzës. Këta vektorë nuk janë kolinearë, pasi nuk ka numër real t për të cilin barazia ( ). Rrjedhimisht, kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për paralelizmin e drejtëzave në një rrafsh nuk plotësohet, prandaj drejtëzat e dhëna nuk janë paralele.

Përgjigje:

Jo, linjat nuk janë paralele.

Shembull.

A janë vijat e drejta dhe paralele?

Zgjidhje.

Le të reduktojmë ekuacionin kanonik të një drejtëze në ekuacionin e një drejtëze me një koeficient këndor: . Natyrisht, ekuacionet e drejtëzave nuk janë të njëjta (në këtë rast, vijat e dhëna do të ishin të njëjta) dhe koeficientët këndorë të vijave janë të barabartë, prandaj, vijat origjinale janë paralele.

Vijat e drejta shtrihen në të njëjtin plan. nëse ato 1) kryqëzohen; 2) janë paralele.

Për drejtëzat L 1: dhe L 2: t'i përkasin të njëjtit rrafsh  në mënyrë që vektorët M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) dhe q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) ishin koplanare. Domethënë, sipas kushtit të bashkëplanaritetit të tre vektorëve, produkti i përzier M 1 M 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Sepse kushti për paralelizmin e dy drejtëzave ka formën: pastaj për prerjen e drejtëzave L 1 dhe L 2 , në mënyrë që ato të plotësojnë kushtin (8) dhe të cenohet së paku një nga proporcionet.

Shembull. Eksploroni pozicionet relative të linjave:

Vektori i drejtimit të drejtëzës L 1 - q 1 =(1;3;-2). Drejtëza L 2 përkufizohet si kryqëzimi i 2 rrafsheve α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Sepse linja L 2 shtrihet në të dy rrafshet, atëherë ajo, dhe për rrjedhojë vektori i drejtimit të saj, është pingul me normalet n 1 Dhe n 2 . Prandaj, vektori i drejtimit s 2 është prodhim i kryqëzuar i vektorëve n 1 Dhe n 2 , d.m.th. q 2 =n 1 X n 2 ==-i-3j+2k.

Se. s 1 =-s 2 , Kjo do të thotë që linjat janë ose paralele ose të përputhshme.

Për të kontrolluar nëse drejtëzat përputhen, koordinatat e pikës M 0 (1;2;-1)L 1 i zëvendësojmë në ekuacionet e përgjithshme L 2: 1-2+2+1=0 - barazime të pasakta, d.m.th. pika M 0 L 2,

prandaj vijat janë paralele.

Largësia nga një pikë në një vijë.

Distanca nga pika M 1 (x 1; y 1; z 1) në vijën e drejtë L, e dhënë nga ekuacioni kanonik L: mund të llogaritet duke përdorur produktin e vektorit.

Nga ekuacioni kanonik i drejtëzës del se pika M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L dhe vektori i drejtimit të drejtëzës q=(l;m;n)

Le të ndërtojmë një paralelogram duke përdorur vektorë q Dhe M 0 M 1 . Atëherë distanca nga pika M 1 në drejtëzën L është e barabartë me lartësinë h të këtij paralelogrami. Sepse S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, atëherë

h= (9)

Distanca midis dy vijave të drejta në hapësirë.

L 1: dhe L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 dhe L 2 - kryqëzim

d=

Pozicioni relativ i vijës së drejtë dhe rrafshit në hapësirë.

Për vendndodhjen e një vije të drejtë dhe një rrafshi në hapësirë, janë të mundshme 3 raste:

një vijë e drejtë dhe një plan kryqëzohen në një pikë;

drejtëza dhe rrafshi janë paralele;

vija e drejtë shtrihet në rrafsh.

Vija e drejtë le të jepet nga ekuacioni i saj kanonik, dhe rrafshi - nga gjenerali

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Ekuacionet e drejtëzës japin pikën M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L dhe vektorin e drejtimit q=(l;m;n), dhe ekuacioni i planit është një vektor normal n=(A;B;C).

1. Kryqëzimi i drejtëzës dhe rrafshit.

Nëse një vijë dhe një plan kryqëzohen, atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës q nuk është paralel me rrafshin α, dhe për këtë arsye nuk është ortogonal me vektorin normal të rrafshit n. ato. produkti i tyre me pika nq≠0 ose, nëpërmjet koordinatave të tyre,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Le të përcaktojmë koordinatat e pikës M - pikat e prerjes së drejtëzës L dhe rrafshit α.

Le të kalojmë nga ekuacioni kanonik i drejtëzës në atë parametrik: , tR

Le t'i zëvendësojmë këto marrëdhënie në ekuacionin e rrafshit

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 - janë të njohura, le të gjejmë parametrin t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

nëse Am+Bn+Cp≠0, atëherë ekuacioni ka një zgjidhje unike që përcakton koordinatat e pikës M:

t M = -→ (11)

Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit. Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit.

Këndi φ ndërmjet drejtëzës L :

me vektor udhëzues q=(l;m;n) dhe rrafsh

: Ах+Ву+Сz+D=0 me vektor normal n=(A;B;C) varion nga 0˚ (në rastin e një drejtëze dhe plani paralel) deri në 90˚ (në rastin e një drejtëze dhe rrafshi pingul). (Këndi ndërmjet vektorit q dhe projeksioni i tij në rrafshin α).

– këndi ndërmjet vektorëve q Dhe n.

Sepse këndi  ndërmjet drejtëzës L dhe rrafshit  është plotësues me këndin , atëherë sin φ=sin(-)=cos =- (vlera absolute merret parasysh sepse këndi φ është sin akut φ=sin( -) ose sin φ =sin(+) në varësi të drejtimit të drejtëzës L)

Kapitulli IV. Linjat e drejta dhe rrafshet në hapësirë. Polyedra

§ 46. Rregullimi i ndërsjellë i vijave në hapësirë

Në hapësirë, dy linja të ndryshme mund të shtrihen ose jo në të njëjtin plan. Le të shohim shembujt përkatës.

Le të mos qëndrojnë pikat A, B, C në të njëjtën drejtëz. Le të vizatojmë një aeroplan përmes tyre R dhe zgjidhni një pikë S që nuk i përket rrafshit R(Fig. 130).

Pastaj drejtëzat AB dhe BC shtrihen në të njëjtin rrafsh, përkatësisht në rrafsh R, drejtëzat AS dhe CB nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh. Në të vërtetë, nëse ata shtrihen në të njëjtin rrafsh, atëherë pikat A, B, C, S do të shtriheshin gjithashtu në këtë plan, gjë që është e pamundur, pasi S nuk shtrihet në rrafshin që kalon nëpër pikat A, B, C.

Dy drejtëza të ndryshme që shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen quhen paralele. Vijat që përputhen quhen edhe paralele. Nëse drejt 1 1 dhe 1 2 paralele, pastaj shkruani 1 1 || 1 2 .

Kështu, 1 1 || 1 2 nëse, së pari, ka një aeroplan R sikurse
1 1 R Dhe 1 2 R dhe së dyti, ose 1 1 1 2 = ose 1 1 = 1 2 .

Dy drejtëza që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh quhen vija anore. Natyrisht, linjat kryqëzuese nuk kryqëzohen dhe nuk janë paralele.

Le të vërtetojmë një veti të rëndësishme të drejtëzave paralele, e cila quhet transititeti i paralelizmit.

Teorema. Nëse dy drejtëza janë paralele me një të tretë, atëherë ato janë paralele me njëra-tjetrën.

Le 1 1 || 1 2 dhe 1 2 || 1 3. Është e nevojshme të vërtetohet se 1 1 || 1 3

Nëse drejt 1 1 , 1 2 , 1 3 shtrihen në të njëjtin rrafsh, atëherë ky pohim vërtetohet në planimetri. Do të supozojmë se vijat e drejta 1 1 , 1 2 , 1 3 nuk shtrihen në të njëjtin plan.

Përmes vijave të drejta 1 1 dhe 1 2 vizatoni një aeroplan R 1, dhe përmes 1 2 dhe 1 3 - aeroplan R 2 (Fig. 131).

Vini re se vija e drejtë 1 3 përmban të paktën një pikë M që nuk i përket rrafshit
R 1 .

Vizato një rrafsh përmes vijës së drejtë dhe shëno M R 3, që kryqëzon rrafshin R 2 përgjatë një vije të drejtë l. Le ta vërtetojmë këtë l përkon me 1 3. Ne do ta vërtetojmë atë "me kontradiktë".

Le të supozojmë se vija e drejtë 1 nuk përkon me një vijë të drejtë 1 3. Pastaj 1 kryqëzon një vijë 1 2 në një moment A. Nga kjo rrjedh se rrafshi R 3 kalon në pikën A R 1 dhe drejt 1 1 R 1 dhe për këtë arsye përkon me aeroplanin R 1 . Ky përfundim bie ndesh me faktin se pika M R 3 nuk i përket aeroplanit R 1 .
Prandaj, supozimi ynë është i pasaktë, dhe për këtë arsye 1 = 1 3 .

Kështu, është vërtetuar se vijat e drejta 1 1 dhe 1 3 shtrihen në të njëjtin plan R 3. Le të vërtetojmë se vijat e drejta 1 1 dhe 1 3 nuk kryqëzohen.

Në të vërtetë, nëse 1 1 dhe 1 3 kryqëzohen, për shembull, në pikën B, pastaj avioni R 2 do të kalonte nëpër një vijë të drejtë 1 2 dhe përmes pikës B 1 1 dhe, për rrjedhojë, do të përkonte me R 1, e cila është e pamundur.

Detyrë. Vërtetoni se këndet me brinjë bashkëdrejtuese kanë përmasa të barabarta.

Le të kenë këndet MAN dhe M 1 A 1 N 1 me brinjë bashkëdrejtuese: rrezja AM drejtohet me rreze A 1 M 1 dhe rrezja AN drejtohet me rreze A 1 N 1 (Fig. 132).

Në rrezet AM dhe A 1 M 1 do të shtrojmë segmentet AB dhe A 1 B 1 të barabarta në gjatësi. Pastaj

|| dhe |BB 1 | = |AA 1 |

si anët e kundërta të një paralelogrami.

Në mënyrë të ngjashme, në rrezet AN dhe A 1 N 1 do të vizatojmë segmentet AC dhe A 1 C 1 të barabarta në gjatësi. Pastaj

|| dhe |CC 1 | = |AA 1 |

Nga kalueshmëria e paralelizmit del se || . Dhe që nga |BB 1 | = |CC 1 | , atëherë BB 1 C 1 C është një paralelogram, dhe për këtë arsye |BC| = |B 1 C 1 |.
Prandaj, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 dhe .

Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse doni të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe Problemin 13 (trigonometri). Dhe kjo është më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me 100 pikë dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, gracka dhe sekrete të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Të kuptuarit në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Për dy rreshta në hapësirë, katër raste janë të mundshme:

Vijat e drejta përkojnë;

Vijat janë paralele (por nuk përkojnë);

Linjat kryqëzohen;

Vijat e drejta kryqëzohen, d.m.th. nuk kanë pika të përbashkëta dhe nuk janë paralele.

Le të shqyrtojmë dy mënyra për të përshkruar linjat e drejta: ekuacionet kanonike dhe ekuacionet e përgjithshme. Lërini linjat L 1 dhe L 2 të jepen me ekuacione kanonike:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Për çdo rresht nga ekuacionet e tij kanonike ne përcaktojmë menjëherë pikën në të M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ∈ L 2 dhe koordinatat e vektorëve të drejtimit s 1 = (l 1; m 1; n 1) për L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) për L 2.

Nëse linjat përkojnë ose janë paralele, atëherë vektorët e tyre të drejtimit s 1 dhe s 2 janë kolinearë, që është ekuivalente me barazinë e raporteve të koordinatave të këtyre vektorëve:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

Nëse linjat përkojnë, atëherë vektori M 1 M 2 është kolinear me vektorët e drejtimit:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Kjo barazi e dyfishtë do të thotë gjithashtu se pika M 2 i përket drejtëzës L 1. Rrjedhimisht, kushti që linjat të përkojnë është që të plotësohen barazitë (6.10) dhe (6.11) njëkohësisht.

Nëse vijat kryqëzohen ose kryqëzohen, atëherë vektorët e drejtimit të tyre janë jokolinearë, d.m.th. është shkelur kushti (6.10). Vijat kryqëzuese shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe, për rrjedhojë, vektorët s 1, s 2 dhe M 1 M 2 janë koplanarepërcaktor i rendit të tretë, i përbërë nga koordinatat e tyre (shih 3.2):

Kushti (6.12) plotësohet në tre nga katër rastet, pasi për Δ ≠ 0 drejtëzat nuk i përkasin të njëjtit rrafsh dhe për rrjedhojë priten.

Le t'i bashkojmë të gjitha kushtet:

Pozicioni relativ i linjave karakterizohet nga numri i zgjidhjeve të sistemit (6.13). Nëse linjat përkojnë, atëherë sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje. Nëse linjat kryqëzohen, atëherë ky sistem ka një zgjidhje unike. Në rastin e paralelizmit apo kryqëzimit, nuk ka zgjidhje të drejtpërdrejta. Dy rastet e fundit mund të ndahen duke gjetur vektorët e drejtimit të vijave. Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritni dy vepra arti vektoriale n 1 × n 2 dhe n 3 × n 4, ku n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Nëse vektorët që rezultojnë janë kolinear, atëherë linjat e dhëna janë paralele. Përndryshe ata ndërthuren.

Shembulli 6.4.

Vektori i drejtimit s 1 i drejtëzës L 1 gjendet duke përdorur ekuacionet kanonike të kësaj drejtëze: s 1 = (1; 3; -2). Vektori i drejtimit s 2 i drejtëzës L 2 llogaritet duke përdorur produktin vektorial të vektorëve normalë të planeve, kryqëzimi i të cilëve është:

Meqenëse s 1 = -s 2, atëherë vijat janë paralele ose përkojnë. Le të zbulojmë se cila nga këto situata është realizuar për këto rreshta. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë koordinatat e pikës M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 në ekuacionet e përgjithshme të drejtëzës L 2 . Për të parën prej tyre fitojmë 1 = 0. Për rrjedhojë, pika M 0 nuk i përket drejtëzës L 2 dhe drejtëzat në shqyrtim janë paralele.

Këndi midis vijave të drejta. Këndi midis dy vijave të drejta mund të gjendet duke përdorur vektorët e drejtimit drejt Këndi akut ndërmjet vijave të drejta është i barabartë me këndin ndërmjet vektorëve të drejtimit të tyre (Fig. 6.5) ose është shtesë i tij nëse këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit është i mpirë. Kështu, nëse për linjat L 1 dhe L 2 dihen vektorët e drejtimit të tyre s x dhe s 2, atëherë këndi akut φ midis këtyre vijave përcaktohet përmes produktit skalar:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Për shembull, le të jetë s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Duke përdorur formulat (2.9) dhe (2.14) për të llogaritur gjatësi vektoriale dhe produkti skalar në koordinata, marrim