Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike, formula e rrënjës, shembuj. Ekuacionet kuadratike. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike Si të konvertohet një ekuacion kuadratik në një produkt

Kjo temë mund të duket e vështirë në fillim për shkak të shumë jo aq formula të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë shënime të gjata, por rrënjët gjenden edhe përmes diskriminuesit. Në total, fitohen tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo është e mundur vetëm pas zgjidhjes së shpeshtë të ekuacioneve të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik

Këtu propozojmë regjistrimin e tyre eksplicit, kur fillimisht shkruhet shkalla më e madhe dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat nuk janë në përputhje. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë disa shënime. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të caktohet kjo formulë numër një.

Kur jepet një ekuacion, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
përgjigja do të jetë një numër;
ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të finalizohet, është e vështirë të kuptohet se cili opsion do të shfaqet në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Mund të ketë hyrje të ndryshme në detyra. Ata nuk do të duken gjithmonë formulë e përgjithshme ekuacioni kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacioni i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat me koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ekzistojnë vetëm dy lloje; përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy, dhe e dyta - tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientit në këtë formulë, mund të merrni numra me të shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, nuk do të ketë rrënjë të ekuacionit kuadratik. Nëse është e barabartë me zero, do të ketë vetëm një përgjigje.

Si të zgjidhim një ekuacion të plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështje tashmë ka filluar. Sepse së pari ju duhet të gjeni një diskriminues. Pasi të përcaktohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre është i njohur, duhet të përdorni formula për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni formulën e mëposhtme.

Meqenëse përmban një shenjë "±", do të ketë dy vlera. Shprehja nën shenjën e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet ndryshe.

Formula numër pesë. Nga i njëjti regjistrim është e qartë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë të dy rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike ende nuk është përpunuar, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Nuk ka nevojë as për formula shtesë. Dhe ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin nuk do të nevojiten.

Së pari, le të shohim ekuacionin numër dy jo të plotë. Në këtë barazi, është e nevojshme të nxirret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një shumëzues që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta do të merret duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni jo i plotë numër tre zgjidhet duke lëvizur numrin nga ana e majtë e barazimit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përballë të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më poshtë janë disa hapa që do t'ju ndihmojnë të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi mund të shkaktojnë nota të dobëta gjatë studimit të temës së gjerë "Ekuacionet kuadratike (klasa e 8-të)." Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Kjo do të thotë, së pari termi me shkallën më të madhe të ndryshores, dhe më pas - pa shkallë, dhe i fundit - vetëm një numër.

Nëse një minus shfaqet përpara koeficientit "a", mund të komplikojë punën për një fillestar që studion ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.

Rekomandohet të hiqni qafe fraksionet në të njëjtën mënyrë. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.

Shembuj

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme kuadratike:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ekuacioni i parë: x 2 − 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pasi e keni nxjerrë nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pasi të keni lëvizur 30 në anën e djathtë të ekuacionit: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numrat: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ekuacioni i tretë: 15 − 2x − x 2 = 0. Këtu e më tej, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë duke i rishkruar ato në formë standarde: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tani është koha për të përdorur të dytën këshilla të dobishme dhe shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Duke përdorur formulën e katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në faktin se duhet të sillni terma të ngjashëm, duke hapur fillimisht kllapat. Në vend të së parës do të ketë shprehjen e mëposhtme: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet kjo hyrje: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. Është bërë jo i plotë. Diçka e ngjashme me këtë tashmë është diskutuar pak më lart. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.

Disa probleme në matematikë kërkojnë aftësinë për të llogaritur vlerën e rrënjës katrore. Probleme të tilla përfshijnë zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të dytë. Në këtë artikull ne paraqesim një metodë efektive për llogaritjen rrënjë katrore dhe ta përdorin atë kur punoni me formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik.

Çfarë është një rrënjë katrore?

Në matematikë, ky koncept korrespondon me simbolin √. Të dhënat historike thonë se ajo u përdor për herë të parë rreth gjysmës së parë të shekullit të 16-të në Gjermani (vepra e parë gjermane mbi algjebrën nga Christoph Rudolf). Shkencëtarët besojnë se simboli është një shkronjë latine e transformuar r (radix do të thotë "rrënjë" në latinisht).

Rrënja e çdo numri është e barabartë me vlerën katrori i së cilës korrespondon me shprehjen radikale. Në gjuhën e matematikës, ky përkufizim do të duket kështu: √x = y, nëse y 2 = x.

Rrënja e një numri pozitiv (x > 0) është gjithashtu një numër pozitiv (y > 0), por nëse marrim rrënjën e numër negativ(x< 0), то его результатом уже будет numër kompleks, duke përfshirë njësinë imagjinare i.

Këtu janë dy shembuj të thjeshtë:

√9 = 3, pasi 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pasi i 2 = -1.

Formula përsëritëse e Heronit për gjetjen e vlerave të rrënjëve katrore

Shembujt e mësipërm janë shumë të thjeshtë, dhe llogaritja e rrënjëve në to nuk është e vështirë. Vështirësitë fillojnë të shfaqen kur gjenden vlerat rrënjësore për çdo vlerë që nuk mund të përfaqësohet si katror numri natyror, për shembull √10, √11, √12, √13, për të mos përmendur faktin se në praktikë është e nevojshme të gjenden rrënjët për numrat jo të plotë: për shembull √(12,15), √(8,5) e kështu me radhë.

Në të gjitha rastet e mësipërme, duhet të përdoret një metodë e veçantë për llogaritjen e rrënjës katrore. Aktualisht, njihen disa metoda të tilla: për shembull, zgjerimi i serisë Taylor, ndarja e kolonave dhe disa të tjera. Nga të gjitha metodat e njohura, ndoshta më e thjeshta dhe më efektive është përdorimi i formulës iterative të Heronit, e cila njihet edhe si metoda babilonase e përcaktimit të rrënjëve katrore (ka dëshmi se babilonasit e lashtë e përdornin atë në llogaritjet e tyre praktike).

Le të jetë e nevojshme të përcaktohet vlera e √x. Formula për gjetjen e rrënjës katrore është si më poshtë:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), ku lim n->∞ (a n) => x.

Le ta deshifrojmë këtë shënim matematikor. Për të llogaritur √x, duhet të merrni një numër të caktuar a 0 (mund të jetë arbitrar, por për të marrë shpejt rezultatin, duhet ta zgjidhni atë në mënyrë që (a 0) 2 të jetë sa më afër x-it. Më pas zëvendësojeni në formula e treguar për llogaritjen e rrënjës katrore dhe për të marrë një numër të ri a 1, i cili tashmë do të jetë më afër vlerës së dëshiruar. Pas kësaj, duhet të zëvendësoni një 1 në shprehje dhe të merrni një 2. Kjo procedurë duhet të përsëritet derisa të kërkohet merret saktësia.

Një shembull i përdorimit të formulës iterative të Heronit

Algoritmi i përshkruar më sipër për marrjen e rrënjës katrore të një numri të caktuar mund të duket mjaft i ndërlikuar dhe konfuz për shumë njerëz, por në realitet gjithçka rezulton të jetë shumë më e thjeshtë, pasi kjo formulë konvergon shumë shpejt (veçanërisht nëse zgjidhet një numër i suksesshëm a 0) .

Le të japim një shembull të thjeshtë: duhet të llogarisni √11. Le të zgjedhim një 0 = 3, pasi 3 2 = 9, që është më afër 11 se 4 2 = 16. Duke zëvendësuar në formulë, marrim:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nuk ka kuptim të vazhdojmë llogaritjet, pasi zbuluam se një 2 dhe një 3 fillojnë të ndryshojnë vetëm në shifrën e 5-të dhjetore. Kështu, mjaftoi të zbatohej formula vetëm 2 herë për të llogaritur √11 me një saktësi prej 0,0001.

Në ditët e sotme, llogaritësit dhe kompjuterët përdoren gjerësisht për të llogaritur rrënjët, megjithatë, është e dobishme të mbani mend formulën e shënuar në mënyrë që të mund të llogaritni manualisht vlerën e saktë të tyre.

Ekuacionet e rendit të dytë

Të kuptuarit se çfarë është një rrënjë katrore dhe aftësia për ta llogaritur atë përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Këto ekuacione quhen barazime me një të panjohur, forma e përgjithshme e së cilës është paraqitur në figurën më poshtë.

Këtu c, b dhe a përfaqësojnë disa numra, dhe a nuk duhet të jetë e barabartë me zero, dhe vlerat e c dhe b mund të jenë plotësisht arbitrare, duke përfshirë të barabarta me zero.

Çdo vlerë e x që plotëson barazinë e treguar në figurë quhen rrënjët e saj (ky koncept nuk duhet të ngatërrohet me rrënjën katrore √). Meqenëse ekuacioni në shqyrtim është i rendit të dytë (x 2), atëherë nuk mund të ketë më shumë se dy rrënjë për të. Le të shohim më tej në artikull se si t'i gjejmë këto rrënjë.

Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik (formula)

Kjo metodë e zgjidhjes së llojit të barazive në shqyrtim quhet edhe metoda universale, ose metoda diskriminuese. Mund të përdoret për çdo ekuacion kuadratik. Formula për diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit kuadratik është si më poshtë:

Tregon se rrënjët varen nga vlera e secilit prej tre koeficientëve të ekuacionit. Për më tepër, llogaritja e x 1 ndryshon nga llogaritja e x 2 vetëm nga shenja përpara rrënjës katrore. Shprehja radikale, e cila është e barabartë me b 2 - 4ac, nuk është gjë tjetër veçse diskriminues i barazisë në fjalë. Diskriminuesi në formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik luan një rol të rëndësishëm sepse përcakton numrin dhe llojin e zgjidhjeve. Pra, nëse është e barabartë me zero, atëherë do të ketë vetëm një zgjidhje, nëse është pozitive, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, dhe së fundi, një diskriminues negativ çon në dy rrënjë komplekse x 1 dhe x 2.

Teorema e Vietës ose disa veti të rrënjëve të ekuacioneve të rendit të dytë

Në fund të shekullit të 16-të, një nga themeluesit e algjebrës moderne, një francez, duke studiuar ekuacionet e rendit të dytë, ishte në gjendje të merrte vetitë e rrënjëve të saj. Matematikisht ato mund të shkruhen si kjo:

x 1 + x 2 = -b / a dhe x 1 * x 2 = c / a.

Të dyja barazitë mund të merren lehtësisht nga kushdo; për ta bërë këtë, thjesht duhet të kryeni veprimet e duhura matematikore me rrënjët e marra përmes formulës me diskriminues.

Kombinimi i këtyre dy shprehjeve me të drejtë mund të quhet formula e dytë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, e cila bën të mundur hamendjen e zgjidhjeve të tij pa përdorur një diskriminues. Këtu duhet theksuar se megjithëse të dyja shprehjet janë gjithmonë të vlefshme, është e përshtatshme t'i përdorim ato për të zgjidhur një ekuacion vetëm nëse ai mund të faktorizohet.

Detyra e konsolidimit të njohurive të marra

Le të vendosim problem matematike, në të cilën do të demonstrojmë të gjitha teknikat e diskutuara në artikull. Kushtet e problemit janë si më poshtë: ju duhet të gjeni dy numra për të cilët prodhimi është -13 dhe shuma është 4.

Kjo gjendje na kujton menjëherë teoremën e Vietës; duke përdorur formulat për shumën e rrënjëve katrore dhe produktin e tyre, ne shkruajmë:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Nëse supozojmë se a = 1, atëherë b = -4 dhe c = -13. Këta koeficientë na lejojnë të krijojmë një ekuacion të rendit të dytë:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Le të përdorim formulën me diskriminuesin dhe të marrim rrënjët e mëposhtme:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Kjo do të thotë, problemi u reduktua në gjetjen e numrit √68. Vini re se 68 = 4 * 17, atëherë, duke përdorur vetinë e rrënjës katrore, marrim: √68 = 2√17.

Tani le të përdorim formulën e konsideruar të rrënjës katrore: a 0 = 4, pastaj:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nuk ka nevojë të llogaritet një 3 pasi vlerat e gjetura ndryshojnë vetëm me 0.02. Kështu, √68 = 8.246. Duke e zëvendësuar atë në formulën për x 1,2, marrim:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 dhe x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Siç mund ta shohim, shuma e numrave të gjetur është me të vërtetë e barabartë me 4, por nëse gjejmë produktin e tyre, atëherë do të jetë e barabartë me -12,999, që i plotëson kushtet e problemit me një saktësi prej 0,001.

Vetëm. Sipas formulave dhe rregullave të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë

është e nevojshme të sjellim ekuacionin e dhënë në një formë standarde, d.m.th. në formën:

Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë. Gjëja më e rëndësishme është ta bëni atë siç duhet

përcaktoni të gjithë koeficientët, A, b Dhe c.

Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Shprehja nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese . Siç mund ta shihni, për të gjetur X, ne

ne përdorim vetëm a, b dhe c. Ato. koeficientët nga ekuacioni kuadratik. Thjesht vendoseni me kujdes

vlerat a, b dhe c Ne llogarisim në këtë formulë. Ne zëvendësojmë me e tyre shenja!

Për shembull, në ekuacionin:

A =1; b = 3; c = -4.

Zëvendësojmë vlerat dhe shkruajmë:

Shembulli është pothuajse i zgjidhur:

Kjo është përgjigja.

Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me vlerat e shenjave a, b Dhe Me. Ose më mirë, me zëvendësim

vlerat negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Një regjistrim i detajuar i formulës vjen në shpëtim këtu

me numra të caktuar. Nëse keni probleme me llogaritjet, bëjeni!

Supozoni se duhet të zgjidhim shembullin e mëposhtëm:

Këtu a = -6; b = -5; c = -1

Ne përshkruajmë gjithçka në detaje, me kujdes, pa humbur asgjë me të gjitha shenjat dhe kllapat:

Ekuacionet kuadratike shpesh duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:

Tani merrni parasysh teknikat praktike që reduktojnë në mënyrë dramatike numrin e gabimeve.

Takimi i parë. Mos u bëni dembel më parë zgjidhja e një ekuacioni kuadratik silleni në formën standarde.

Çfarë do të thotë kjo?

Le të themi se pas të gjitha transformimeve ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:

Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjë! Ju pothuajse me siguri do t'i ngatërroni shanset a, b dhe c.

Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X në katror, pastaj pa katror, pastaj termi i lirë. Si kjo:

Hiqni qafe minusin. Si? Duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:

Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të përfundoni zgjidhjen e shembullit.

Vendosni vetë. Tani duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.

Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Nga Teorema e Vietës.

Për të zgjidhur ekuacionet e dhëna kuadratike, d.m.th. nëse koeficienti

x 2 +bx+c=0,

Pastajx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Për një ekuacion të plotë kuadratik në të cilin a≠1:

x 2 +bx+c=0,

pjesëtoje të gjithë ekuacionin me A:

→ →

Ku x 1 Dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit.

Pritja e treta. Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafe thyesat! shumohen

ekuacion me një emërues të përbashkët.

konkluzioni. Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, e eliminojmë duke shumëzuar gjithçka.

ekuacionet me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me atë përkatës.

faktor.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të kontrollohet lehtësisht nga

Zgjidhja e ekuacioneve në matematikë zë një vend të veçantë. Ky proces paraprihet nga shumë orë studimi të teorisë, gjatë të cilave studenti mëson se si të zgjidhë ekuacionet, të përcaktojë llojin e tyre dhe të sjellë aftësinë në automatizimin e plotë. Sidoqoftë, kërkimi i rrënjëve nuk ka gjithmonë kuptim, pasi ato thjesht mund të mos ekzistojnë. Ekzistojnë teknika të veçanta për gjetjen e rrënjëve. Në këtë artikull do të analizojmë funksionet kryesore, domenet e tyre të përkufizimit, si dhe rastet kur mungojnë rrënjët e tyre.

Cili ekuacion nuk ka rrënjë?

Një ekuacion nuk ka rrënjë nëse nuk ka argumente reale x për të cilat ekuacioni është identikisht i vërtetë. Për një jo-specialist, ky formulim, si shumica e teoremave dhe formulave matematikore, duket shumë i paqartë dhe abstrakt, por kjo është në teori. Në praktikë, gjithçka bëhet jashtëzakonisht e thjeshtë. Për shembull: ekuacioni 0 * x = -53 nuk ka zgjidhje, pasi nuk ka asnjë numër x prodhimi i të cilit me zero do të jepte diçka tjetër përveç zeros.

Tani do të shikojmë llojet më themelore të ekuacioneve.

1. Ekuacioni linear

Një ekuacion quhet linear nëse anët e tij të djathta dhe të majta paraqiten si funksione lineare: ax + b = cx + d ose në formë të përgjithësuar kx + b = 0. Ku a, b, c, d janë numra të njohur dhe x është një sasi e panjohur. Cili ekuacion nuk ka rrënjë? Shembuj ekuacionet lineare janë paraqitur në ilustrimin e mëposhtëm.

Në thelb, ekuacionet lineare zgjidhen thjesht duke transferuar pjesën e numrave në një pjesë dhe përmbajtjen e x në një tjetër. Rezultati është një ekuacion i formës mx = n, ku m dhe n janë numra, dhe x është një e panjohur. Për të gjetur x, mjafton të ndajmë të dyja anët me m. Atëherë x = n/m. Shumica e ekuacioneve lineare kanë vetëm një rrënjë, por ka raste kur ka ose pafundësisht shumë rrënjë ose nuk ka rrënjë fare. Kur m = 0 dhe n = 0, ekuacioni merr formën 0 * x = 0. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë do të jetë absolutisht çdo numër.

Megjithatë, cili ekuacion nuk ka rrënjë?

Për m = 0 dhe n = 0, ekuacioni nuk ka rrënjë në bashkësinë e numrave realë. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - këto ekuacione nuk kanë rrënjë.

2. Ekuacioni kuadratik

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0 për a = 0. Zgjidhja më e zakonshme është përmes diskriminuesit. Formula për gjetjen e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik është: D = b 2 - 4 * a * c. Më pas janë dy rrënjë x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Për D > 0 ekuacioni ka dy rrënjë, për D = 0 ka një rrënjë. Por cili ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë? Mënyra më e lehtë për të vëzhguar numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik është duke paraqitur grafikun e funksionit, i cili është një parabolë. Për a > 0 degët janë të drejtuara lart, për a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Ju gjithashtu mund të përcaktoni vizualisht numrin e rrënjëve pa llogaritur diskriminuesin. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni kulmin e parabolës dhe të përcaktoni se në cilin drejtim drejtohen degët. Koordinata x e kulmit mund të përcaktohet duke përdorur formulën: x 0 = -b / 2a. Në këtë rast, koordinata y e kulmit gjendet thjesht duke zëvendësuar vlerën x 0 në ekuacionin origjinal.

Ekuacioni kuadratik x 2 - 8x + 72 = 0 nuk ka rrënjë, pasi ka një diskriminues negativ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Kjo do të thotë që parabola nuk prek boshtin x dhe funksioni nuk merr kurrë vlerën 0, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë reale.

3. Ekuacionet trigonometrike

Funksionet trigonometrike konsiderohen në një rreth trigonometrik, por gjithashtu mund të përfaqësohen në një sistem koordinativ kartezian. Në këtë artikull do të shohim dy kryesore funksionet trigonometrike dhe ekuacionet e tyre: sinx dhe cosx. Meqenëse këto funksione formojnë një rreth trigonometrik me rreze 1, |sinx| dhe |cosx| nuk mund të jetë më i madh se 1. Pra, cili ekuacion sinx nuk ka rrënjë? Merrni parasysh grafikun e funksionit sinx të paraqitur në figurën më poshtë.

Shohim që funksioni është simetrik dhe ka një periudhë përsëritjeje prej 2 pi. Bazuar në këtë, mund të themi se vlera maksimale e këtij funksioni mund të jetë 1, dhe minimumi -1. Për shembull, shprehja cosx = 5 nuk do të ketë rrënjë, pasi vlera e saj absolute është më e madhe se një.

Ky është shembulli më i thjeshtë i ekuacioneve trigonometrike. Në fakt, zgjidhja e tyre mund të marrë shumë faqe, në fund të të cilave kupton se ke përdorur formulën e gabuar dhe duhet të fillosh nga e para. Ndonjëherë, edhe nëse i gjeni rrënjët saktë, mund të harroni të merrni parasysh kufizimet në OD, kjo është arsyeja pse një rrënjë ose interval shtesë shfaqet në përgjigje dhe e gjithë përgjigja kthehet në një gabim. Prandaj, ndiqni rreptësisht të gjitha kufizimet, sepse jo të gjitha rrënjët përshtaten në qëllimin e detyrës.

4. Sistemet e ekuacioneve

Një sistem ekuacionesh është një grup ekuacionesh të bashkuara me kllapa kaçurrelë ose katrore. Kllapat kaçurrelë tregojnë se të gjitha ekuacionet ekzekutohen së bashku. Kjo do të thotë, nëse të paktën një nga ekuacionet nuk ka rrënjë ose kundërshton një tjetër, i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje. Kllapat katrore tregojnë fjalën "ose". Kjo do të thotë se nëse të paktën një nga ekuacionet e sistemit ka një zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi ka një zgjidhje.

Përgjigja e sistemit c është bashkësia e të gjitha rrënjëve të ekuacioneve individuale. Dhe sistemet me mbajtëse kaçurrelë kanë vetëm rrënjë të përbashkëta. Sistemet e ekuacioneve mund të përfshijnë funksione krejtësisht të ndryshme, kështu që një kompleksitet i tillë nuk na lejon të themi menjëherë se cili ekuacion nuk ka rrënjë.

Në librat me probleme dhe tekstet shkollore ekzistojnë lloje të ndryshme ekuacionesh: ato që kanë rrënjë dhe ato që nuk kanë. Para së gjithash, nëse nuk mund t'i gjeni rrënjët, mos mendoni se ato nuk janë fare aty. Ndoshta keni bërë një gabim diku, atëherë thjesht duhet të kontrolloni me kujdes vendimin tuaj.

Ne shikuam ekuacionet më themelore dhe llojet e tyre. Tani mund të dalloni cili ekuacion nuk ka rrënjë. Në shumicën e rasteve kjo nuk është e vështirë për t'u bërë. Arritja e suksesit në zgjidhjen e ekuacioneve kërkon vetëm vëmendje dhe përqendrim. Praktikoni më shumë, do t'ju ndihmojë të lundroni në material shumë më mirë dhe më shpejt.

Pra, ekuacioni nuk ka rrënjë nëse:

në ekuacionin linear mx = n vlera është m = 0 dhe n = 0;
në një ekuacion kuadratik, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero;
në një ekuacion trigonometrik të formës cosx = m / sinx = n, nëse |m| > 0, |n| > 0;
në një sistem ekuacionesh me kllapa kaçurrelë nëse të paktën një ekuacion nuk ka rrënjë dhe me kllapa katrore nëse të gjitha ekuacionet nuk kanë rrënjë.

“, pra ekuacione të shkallës së parë. Në këtë mësim do të shikojmë ai që quhet ekuacion kuadratik dhe si ta zgjidhim atë.

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

E rëndësishme!

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga shkalla më e lartë në të cilën qëndron e panjohura.

Nëse fuqia maksimale në të cilën e panjohura është "2", atëherë ju keni një ekuacion kuadratik.

Shembuj të ekuacioneve kuadratike

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

E rëndësishme! Forma e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" dhe "c" janë dhënë numra.

“a” është koeficienti i parë ose më i lartë;
“b” është koeficienti i dytë;
"c" është një anëtar i lirë.

Për të gjetur "a", "b" dhe "c", duhet të krahasoni ekuacionin tuaj me formën e përgjithshme të ekuacionit kuadratik "ax 2 + bx + c = 0".

Le të praktikojmë përcaktimin e koeficientëve "a", "b" dhe "c" në ekuacionet kuadratike.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ekuacioni	Shanset
a = 5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

= 0

a = -1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike

Ndryshe nga ekuacionet lineare, një metodë e veçantë përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. formula për gjetjen e rrënjëve.

Mbani mend!

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik ju duhet:

sillni ekuacionin kuadratik në formën e përgjithshme “ax 2 + bx + c = 0”. Kjo do të thotë, vetëm "0" duhet të mbetet në anën e djathtë;
përdorni formulën për rrënjët:

Le të shohim një shembull se si të përdorim formulën për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Le të zgjidhim një ekuacion kuadratik.

X 2 − 3x − 4 = 0

Ekuacioni "x 2 − 3x − 4 = 0" tashmë është reduktuar në formën e përgjithshme "ax 2 + bx + c = 0" dhe nuk kërkon thjeshtime shtesë. Për ta zgjidhur atë, ne vetëm duhet të aplikojmë formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Le të përcaktojmë koeficientët "a", "b" dhe "c" për këtë ekuacion.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Mund të përdoret për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Në formulën "x 1; 2 = " shprehja radikale shpesh zëvendësohet
“b 2 − 4ac” për shkronjën “D” dhe quhet diskriminues. Koncepti i diskriminuesit diskutohet më në detaje në mësimin “Çfarë është diskriminuesi”.

Le të shohim një shembull tjetër të një ekuacioni kuadratik.

x 2 + 9 + x = 7x

Në këtë formë, është mjaft e vështirë të përcaktohen koeficientët "a", "b" dhe "c". Le të reduktojmë fillimisht ekuacionin në formën e përgjithshme "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Tani mund të përdorni formulën për rrënjët.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

x = 3
Përgjigje: x = 3

Ka raste kur ekuacionet kuadratike nuk kanë rrënjë. Kjo situatë ndodh kur formula përmban një numër negativ nën rrënjë.