Zgjidhja grafike e sistemeve të pabarazive lineare. Zgjidhja e pabarazive eksponenciale Zgjidhja e pabarazive të dyfishta në internet

Së pari, pak tekst për të kuptuar problemin që zgjidh metoda e intervalit. Le të themi se duhet të zgjidhim pabarazinë e mëposhtme:

(x − 5)(x + 3) > 0

Cilat janë opsionet? Gjëja e parë që vjen në mendje për shumicën e studentëve janë rregullat "plus në plus jep plus" dhe "minus on minus jep plus". Prandaj, mjafton të shqyrtojmë rastin kur të dyja kllapat janë pozitive: x − 5 > 0 dhe x + 3 > 0. Më pas shqyrtojmë edhe rastin kur të dyja kllapat janë negative: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Studentët më të avancuar (ndoshta) do të kujtojnë se në të majtë është funksion kuadratik, grafiku i të cilit është një parabolë. Për më tepër, kjo parabolë kryqëzon boshtin OX në pikat x = 5 dhe x = -3. Për punë të mëtejshme, duhet të hapni kllapat. Ne kemi:

x 2 − 2x − 15 > 0

Tani është e qartë se degët e parabolës janë të drejtuara lart, sepse koeficienti a = 1 > 0. Le të përpiqemi të vizatojmë një diagram të kësaj parabole:

Funksioni është më i madh se zero aty ku kalon mbi boshtin OX. Në rastin tonë, këto janë intervalet (−∞ −3) dhe (5; +∞) - kjo është përgjigjja.

Ju lutemi vini re: fotografia tregon saktësisht diagrami i funksionit, jo orarin e saj. Sepse për një grafik të vërtetë ju duhet të numëroni koordinatat, të llogaritni zhvendosjet dhe gërmadhat e tjera që ne nuk kemi absolutisht asnjë përdorim për momentin.

Pse këto metoda janë joefektive?

Pra, ne kemi shqyrtuar dy zgjidhje për të njëjtën pabarazi. Të dy rezultuan të ishin mjaft të rëndë. Vendimi i parë lind - vetëm mendoni për këtë! - një grup sistemesh pabarazish. Zgjidhja e dytë nuk është gjithashtu veçanërisht e lehtë: duhet të mbani mend grafikun e parabolës dhe një mori faktesh të tjera të vogla.

Ishte një pabarazi shumë e thjeshtë. Ka vetëm 2 shumëzues. Tani imagjinoni që nuk do të ketë 2, por të paktën 4 shumëzues. Për shembull:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Si të zgjidhet një pabarazi e tillë? Kaloni nëpër të gjitha kombinimet e mundshme të pro dhe kundër? Po, do të na zërë gjumi më shpejt se sa të gjejmë një zgjidhje. Vizatimi i një grafiku gjithashtu nuk është një opsion, pasi nuk është e qartë se si sillet një funksion i tillë në planin koordinativ.

Për pabarazi të tilla, nevojitet një algoritëm i veçantë zgjidhjeje, të cilin do ta shqyrtojmë sot.

Cila është metoda e intervalit

Metoda e intervalit është një algoritëm i veçantë i krijuar për të zgjidhur pabarazitë komplekse të formës f (x) > 0 dhe f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

Zgjidheni ekuacionin f (x) = 0. Kështu, në vend të një pabarazie, marrim një ekuacion që është shumë më i thjeshtë për t'u zgjidhur;
Shënoni të gjitha rrënjët e marra në vijën koordinative. Kështu, vija e drejtë do të ndahet në disa intervale;
Gjeni shenjën (plus ose minus) të funksionit f (x) në intervalin më të djathtë. Për ta bërë këtë, mjafton të zëvendësohet në f (x) çdo numër që do të jetë në të djathtë të të gjitha rrënjëve të shënuara;
Shënoni shenjat në intervalet e mbetura. Për ta bërë këtë, thjesht mbani mend se kur kaloni nëpër secilën rrënjë, shenja ndryshon.

Kjo eshte e gjitha! Pas kësaj, mbetet vetëm të shkruajmë intervalet që na interesojnë. Ato shënohen me shenjën “+” nëse pabarazia ishte e formës f (x) > 0, ose me shenjën “−” nëse pabarazia ishte e formës f (x)< 0.

Në shikim të parë, mund të duket se metoda e intervalit është një lloj gjëje e vogël. Por në praktikë gjithçka do të jetë shumë e thjeshtë. Mjafton të praktikoni pak dhe gjithçka do të bëhet e qartë. Hidhini një sy shembujve dhe shikoni vetë:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

(x − 2)(x + 7)< 0

Ne punojmë duke përdorur metodën e intervalit. Hapi 1: zëvendësoni pabarazinë me një ekuacion dhe zgjidheni atë:

(x − 2) (x + 7) = 0

Produkti është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën një nga faktorët është zero:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Kemi dy rrënjë. Le të kalojmë në hapin 2: shënoni këto rrënjë në vijën e koordinatave. Ne kemi:

Tani hapi 3: gjeni shenjën e funksionit në intervalin më të djathtë (në të djathtë të pikës së shënuar x = 2). Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni çdo numër që është më i madh se numri x = 2. Për shembull, le të marrim x = 3 (por askush nuk e ndalon marrjen e x = 4, x = 10 dhe madje x = 10,000). Ne marrim:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Ne gjejmë se f (3) = 10 > 0, kështu që vendosim një shenjë plus në intervalin më të djathtë.

Le të kalojmë në pikën e fundit - duhet të shënojmë shenjat në intervalet e mbetura. Kujtojmë se kur kalojmë nëpër secilën rrënjë, shenja duhet të ndryshojë. Për shembull, në të djathtë të rrënjës x = 2 ka një plus (ne u siguruam për këtë në hapin e mëparshëm), kështu që duhet të ketë një minus në të majtë.

Ky minus shtrihet në të gjithë intervalin (−7; 2), kështu që ka një minus në të djathtë të rrënjës x = −7. Prandaj, në të majtë të rrënjës x = -7 ka një plus. Mbetet për të shënuar këto shenja boshti koordinativ. Ne kemi:

Le të kthehemi te pabarazia origjinale, e cila kishte formën:

(x − 2)(x + 7)< 0

Pra, funksioni duhet të jetë më i vogël se zero. Kjo do të thotë se ne jemi të interesuar për shenjën minus, e cila shfaqet vetëm në një interval: (−7; 2). Kjo do të jetë përgjigja.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

Hapi 1: vendosni anën e majtë në zero:

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Mbani mend: produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo është arsyeja pse ne kemi të drejtë të barazojmë çdo kllapë individuale me zero.

Hapi 2: shënoni të gjitha rrënjët në vijën e koordinatave:

Hapi 3: zbuloni shenjën e hendekut më të djathtë. Marrim çdo numër që është më i madh se x = 1. Për shembull, mund të marrim x = 10. Kemi:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3) (1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Hapi 4: vendosja e shenjave të mbetura. Kujtojmë se kur kalojmë nëpër secilën rrënjë, shenja ndryshon. Si rezultat, fotografia jonë do të duket si kjo:

Kjo eshte e gjitha. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen. Hidhini një sy tjetër pabarazisë origjinale:

(x + 9)(x − 3)(1 − x)< 0

Ky është një pabarazi e formës f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Kjo është përgjigja.

Një shënim për shenjat e funksionit

Praktika tregon se vështirësitë më të mëdha në metodën e intervalit lindin në dy hapat e fundit, d.m.th. kur vendosni tabela. Shumë studentë fillojnë të ngatërrohen: cilët numra të marrin dhe ku t'i vendosin shenjat.

Për të kuptuar përfundimisht metodën e intervalit, merrni parasysh dy vëzhgime mbi të cilat bazohet:

Një funksion i vazhdueshëm ndryshon shenjën vetëm në ato pika ku është e barabartë me zero. Pika të tilla e ndajnë boshtin koordinativ në copa, brenda të cilave shenja e funksionit nuk ndryshon kurrë. Kjo është arsyeja pse ne zgjidhim ekuacionin f (x) = 0 dhe shënojmë rrënjët e gjetura në vijë të drejtë. Numrat e gjetur janë pika "kufitare" që ndajnë të mirat dhe të këqijat.
Për të gjetur shenjën e një funksioni në çdo interval, mjafton të zëvendësoni çdo numër nga ky interval në funksion. Për shembull, për intervalin (−5; 6) kemi të drejtë të marrim x = −4, x = 0, x = 4 dhe madje x = 1,29374 nëse duam. Pse është e rëndësishme? Po, sepse dyshimet fillojnë të gërryejnë shumë studentë. Po sikur për x = −4 marrim një plus, dhe për x = 0 marrim një minus? Por asgjë e tillë nuk do të ndodhë kurrë. Të gjitha pikat në të njëjtin interval japin të njëjtën shenjë. Mbaje mend këte.

Kjo është gjithçka që duhet të dini për metodën e intervalit. Sigurisht, ne e kemi analizuar në formën e tij më të thjeshtë. Ka pabarazi më komplekse - jo të rrepta, të pjesshme dhe me rrënjë të përsëritura. Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e intervalit për ta, por kjo është një temë për një mësim të veçantë të madh.

Tani do të doja të shikoja një teknikë të avancuar që thjeshton në mënyrë dramatike metodën e intervalit. Më saktësisht, thjeshtimi prek vetëm hapin e tretë - llogaritjen e shenjës në pjesën më të djathtë të vijës. Për disa arsye, kjo teknikë nuk mësohet në shkolla (të paktën askush nuk ma shpjegoi këtë). Por më kot - sepse në fakt ky algoritëm është shumë i thjeshtë.

Pra, shenja e funksionit është në pjesën e djathtë të vijës numerike. Kjo pjesë ka formën (a ; +∞), ku a është rrënja më e madhe e ekuacionit f (x) = 0. Në mënyrë që të mos ju shpërthejë mendjen, le të shqyrtojmë një shembull specifik:

(x − 1)(2 + x)(7 − x)< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x) (7 − x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Kemi 3 rrënjë. Le t'i rendisim në rend rritës: x = −2, x = 1 dhe x = 7. Natyrisht, rrënja më e madhe është x = 7.

Për ata që e kanë më të lehtë të arsyetojnë grafikisht, unë do t'i shënoj këto rrënjë në vijën e koordinatave. Le të shohim se çfarë ndodh:

Kërkohet të gjendet shenja e funksionit f (x) në intervalin më të djathtë, d.m.th. në (7; +∞). Por siç kemi vërejtur tashmë, për të përcaktuar shenjën mund të merrni çdo numër nga ky interval. Për shembull, mund të merrni x = 8, x = 150, etj. Dhe tani - e njëjta teknikë që nuk mësohet në shkolla: le të marrim pafundësinë si numër. Më saktë, plus pafundësi, d.m.th. +∞.

“A jeni të vrarë me gurë? Si mund ta zëvendësoni pafundësinë në një funksion?” - mund të pyesni. Por mendoni për këtë: ne nuk kemi nevojë për vlerën e vetë funksionit, ne kemi nevojë vetëm për shenjën. Prandaj, për shembull, vlerat f (x) = -1 dhe f (x) = -938 740 576 215 nënkuptojnë të njëjtën gjë: funksioni në këtë interval është negativ. Prandaj, gjithçka që kërkohet nga ju është të gjeni shenjën që shfaqet në pafundësi, dhe jo vlerën e funksionit.

Në fakt, zëvendësimi i pafundësisë është shumë i thjeshtë. Le të kthehemi në funksionin tonë:

f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

Imagjinoni që x është shumë numër i madh. Miliardë apo edhe trilionë. Tani le të shohim se çfarë ndodh në çdo kllapa.

Kllapa e parë: (x − 1). Çfarë ndodh nëse zbrisni një nga një miliard? Rezultati do të jetë një numër jo shumë i ndryshëm nga një miliard, dhe ky numër do të jetë pozitiv. Në mënyrë të ngjashme me kllapa e dytë: (2 + x). Nëse shtojmë një miliard me dy, marrim një miliard dhe kopekë - kjo është numër pozitiv. Së fundi, kllapa e tretë: (7 − x). Këtu do të ketë një minus miliard, nga i cili u "shkatërrua" një pjesë patetike në formën e një shtatë. ato. numri që rezulton nuk do të ndryshojë shumë nga minus miliardë - do të jetë negativ.

Mbetet vetëm të gjejmë shenjën e gjithë veprës. Meqenëse kishim një plus në kllapat e para dhe një minus në të fundit, marrim ndërtimin e mëposhtëm:

(+) · (+) · (−) = (−)

Shenja e fundit është minus! Dhe nuk ka rëndësi se cila është vlera e vetë funksionit. Gjëja kryesore është se kjo vlerë është negative, d.m.th. intervali më i djathtë ka një shenjë minus. Mbetet vetëm për të përfunduar hapin e katërt të metodës së intervalit: rregulloni të gjitha shenjat. Ne kemi:

Pabarazia fillestare ishte:

(x − 1)(2 + x)(7 − x)< 0

Prandaj, ne jemi të interesuar për intervalet e shënuara me një shenjë minus. Ne shkruajmë përgjigjen:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Ky është i gjithë truku që doja t'ju tregoja. Si përfundim, këtu është një tjetër pabarazi që mund të zgjidhet me metodën e intervalit duke përdorur pafundësinë. Për të shkurtuar vizualisht zgjidhjen, nuk do të shkruaj numra hapash dhe komente të hollësishme. Unë do të shkruaj vetëm atë që vërtet duhet të shkruani kur zgjidhni probleme reale:

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Ne zëvendësojmë pabarazinë me një ekuacion dhe e zgjidhim atë:

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ne shënojmë të tre rrënjët në vijën e koordinatave (me shenja menjëherë):

Ka një plus në anën e djathtë të boshtit koordinativ, sepse funksioni duket si:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Dhe nëse zëvendësojmë pafundësinë (për shembull, një miliard), marrim tre kllapa pozitive. Meqenëse shprehja origjinale duhet të jetë më e madhe se zero, ne jemi të interesuar vetëm për pozitivet. Gjithçka që mbetet është të shkruajmë përgjigjen:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Në artikull do të shqyrtojmë zgjidhjen e pabarazive. Ne do t'ju tregojmë qartë për si të ndërtohet një zgjidhje për pabarazitë, me shembuj të qartë!

Përpara se të shohim zgjidhjen e pabarazive duke përdorur shembuj, le të kuptojmë konceptet bazë.

Informacion i përgjithshëm për pabarazitë

Pabaraziaështë një shprehje në të cilën funksionet lidhen me shenja relacioni >, . Pabarazitë mund të jenë si numerike ashtu edhe literale.
Pabarazitë me dy shenja të raportit quhen dyfish, me tre - trefish, etj. Për shembull:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Pabarazitë që përmbajnë shenjën > ose ose - nuk janë strikte.
Zgjidhja e pabarazisëështë çdo vlerë e ndryshores për të cilën kjo pabarazi do të jetë e vërtetë.
"Zgjidhja e pabarazisë" do të thotë që ne duhet të gjejmë grupin e të gjitha zgjidhjeve të tij. Ka të ndryshme metodat për zgjidhjen e pabarazive. Për zgjidhjet e pabarazisë Ata përdorin vijën numerike, e cila është e pafundme. Për shembull, zgjidhje për pabarazinë x > 3 është intervali nga 3 në +, dhe numri 3 nuk përfshihet në këtë interval, prandaj pika në vijë shënohet me një rreth bosh, sepse pabarazia është e rreptë.
+
Përgjigja do të jetë: x (3; +).
Vlera x=3 nuk përfshihet në bashkësinë e zgjidhjeve, pra kllapa është e rrumbullakët. Shenja e pafundësisë theksohet gjithmonë me kllapa. Shenja do të thotë "përkatësi".
Le të shohim se si të zgjidhim pabarazitë duke përdorur një shembull tjetër me një shenjë:
x 2
-+
Vlera x=2 përfshihet në bashkësinë e zgjidhjeve, pra kllapa është katrore dhe pika në vijë tregohet me një rreth të mbushur.
Përgjigja do të jetë: x)