Vetitë dhe grafiku i mëkatit. Sinusi (sin x) dhe kosinusi (cos x) – vetitë, grafikët, formulat. Shprehjet përmes ndryshoreve komplekse
GRAFIKA E FUNKSIONIT
Funksioni i sinusit
- një tufë me R të gjithë numrat realë.
Vlerat e shumë funksioneve- segmenti [-1; 1], d.m.th. funksioni sinus - kufizuar.
Funksioni i rastësishëm: sin(−x)=−sin x për të gjitha x ∈ R.
Funksioni është periodik
sin(x+2π k) = sin x, ku k ∈ Z për të gjitha x ∈ R.
sin x = 0 për x = π·k, k ∈ Z.
sin x > 0(pozitive) për të gjitha x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
mëkat x< 0 (negativ) për të gjitha x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Funksioni kosinus
Funksioni Domain- një tufë me R të gjithë numrat realë.
Vlerat e shumë funksioneve- segmenti [-1; 1], d.m.th. funksioni kosinus - kufizuar.
Funksioni i barabartë: cos(−x)=cos x për të gjitha x ∈ R.
Funksioni është periodik me periudhën më të vogël pozitive 2π:
cos(x+2π k) = cos x, ku k ∈ Z për të gjitha x ∈ R.
| cos x = 0 në | |
| cos x > 0 per te gjithe |  |
| cos x< 0 per te gjithe |  |
| Funksioni rritet nga -1 në 1 në intervale: | |
| Funksioni është në rënie nga -1 në 1 në intervale: | |
| Vlera më e madhe e funksionit sin x = 1 në pika: |  |
| Vlera më e vogël e funksionit sin x = −1 në pika: |
Funksioni tangjent
Vlerat e shumë funksioneve- e gjithë boshti numerik, d.m.th. tangjente - funksion e pakufizuar.
Funksioni i rastësishëm: tg(−x)=−tg x
Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me boshtin OY.
Funksioni është periodik me periodën më të vogël pozitive π, d.m.th. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z për të gjitha x nga domeni i përkufizimit.
Funksioni kotangjent
Vlerat e shumë funksioneve- e gjithë boshti numerik, d.m.th. kotangjent - funksion e pakufizuar.
Funksioni i rastësishëm: ctg(−x)=−ctg x për të gjitha x nga fusha e përkufizimit.Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me boshtin OY.
Funksioni është periodik me periodën më të vogël pozitive π, d.m.th. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z për të gjitha x nga domeni i përkufizimit.
Funksioni i arksinës
Funksioni Domain- segmenti [-1; 1]
Vlerat e shumë funksioneve- segment -π /2 harksin x π /2, d.m.th. arksine - funksion kufizuar.
Funksioni i rastësishëm: arcsin(−x)=−arcsin x për të gjitha x ∈ R.
Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën.
Në të gjithë zonën e përkufizimit.
Funksioni i kosinusit të harkut
Funksioni Domain- segmenti [-1; 1]
Vlerat e shumë funksioneve- segmenti 0 arccos x π, d.m.th. arccosine - funksion kufizuar.
Funksioni po rritet në të gjithë zonën e përkufizimit.
Funksioni arktangjent
Funksioni Domain- një tufë me R të gjithë numrat realë.
Vlerat e shumë funksioneve- segmenti 0 π, d.m.th. arctangent - funksion kufizuar.
Funksioni i rastësishëm: arctg(−x)=−arctg x për të gjitha x ∈ R.
Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën.
Funksioni po rritet në të gjithë zonën e përkufizimit.
Funksioni tangjent i harkut
Funksioni Domain- një tufë me R të gjithë numrat realë.
Vlerat e shumë funksioneve- segmenti 0 π, d.m.th. arccotangent - funksion kufizuar.
Funksioni nuk është as çift dhe as tek.
Grafiku i funksionit nuk është asimetrik as në lidhje me origjinën e koordinatave, as në lidhje me boshtin Oy.
Funksioni është në rënie në të gjithë zonën e përkufizimit.
Në këtë mësim do t'i hedhim një vështrim të detajuar funksionit y = sin x, vetitë themelore dhe grafikun e tij. Në fillim të mësimit do të japim përkufizimin e funksionit trigonometrik y = sin t në rrethin koordinativ dhe do të shqyrtojmë grafikun e funksionit në rreth dhe drejtëzë. Le të tregojmë periodicitetin e këtij funksioni në grafik dhe të shqyrtojmë vetitë kryesore të funksionit. Në fund të mësimit, ne do të zgjidhim disa probleme të thjeshta duke përdorur grafikun e një funksioni dhe vetitë e tij.
Tema: Funksionet trigonometrike
Mësimi: Funksioni y=sinx, vetitë themelore dhe grafiku i tij
Kur shqyrtohet një funksion, është e rëndësishme që çdo vlerë argumenti të lidhet me një vlerë të vetme funksioni. Kjo ligji i korrespondencës dhe quhet funksion.
Le të përcaktojmë ligjin e korrespondencës për .
Çdo numër real i përgjigjet një pike të vetme në rrethin njësi.Një pikë ka një ordinatë të vetme, e cila quhet sinus i numrit (Fig. 1).
Çdo vlerë argumenti shoqërohet me një vlerë të vetme funksioni.
Vetitë e dukshme rrjedhin nga përkufizimi i sinusit.
Figura tregon se 
sepse është ordinata e një pike në rrethin njësi.
Merrni parasysh grafikun e funksionit. Le të kujtojmë interpretimin gjeometrik të argumentit. Argumenti është këndi qendror, i matur në radianë. Përgjatë boshtit do të vizatojmë numra realë ose kënde në radianë, përgjatë boshtit vlerat përkatëse të funksionit.
Për shembull, një kënd në rrethin e njësisë korrespondon me një pikë në grafik (Fig. 2)
Ne kemi marrë një grafik të funksionit në zonë, por duke ditur periodën e sinusit, mund të përshkruajmë grafikun e funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit (Fig. 3).
Periudha kryesore e funksionit është Kjo do të thotë që grafiku mund të merret në një segment dhe më pas të vazhdohet në të gjithë domenin e përkufizimit.
Konsideroni vetitë e funksionit:
1) Fusha e përkufizimit:
2) Gama e vlerave: 
3) Funksioni tek:
4) Periudha më e vogël pozitive:
5) Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me boshtin e abshisave: 
6) Koordinatat e pikës së prerjes së grafikut me boshtin e ordinatave:
7) Intervalet në të cilat funksioni merr vlera pozitive:
8) Intervalet në të cilat funksioni merr vlera negative:
9) Intervale në rritje:
10) Zvogëlimi i intervaleve:
11) Pikët minimale: 
12) Funksionet minimale:
13) Pikët maksimale: 
14) Funksionet maksimale:
Ne shikuam vetitë e funksionit dhe grafikun e tij. Karakteristikat do të përdoren në mënyrë të përsëritur gjatë zgjidhjes së problemeve.
Bibliografi
1. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algjebra dhe analiza matematikore për klasën e 10 (libër mësuesi për nxënës të shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës) - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studim i thelluar i algjebres dhe analizes matematikore.-M.: Edukimi, 1997.
5. Përmbledhje problemash në matematikë për aplikantët në institucionet e arsimit të lartë (redaktuar nga M.I. Skanavi) - M.: Shkolla e Lartë, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algjebrik.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme mbi algjebrën dhe parimet e analizës (një manual për studentët në klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm). - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Përmbledhje problemash mbi algjebrën dhe parimet e analizës: tekst shkollor. shtesa për klasat 10-11. me thellësi studiuar Matematikë.-M.: Arsimi, 2006.
Detyre shtepie
Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Burime shtesë në internet
3. Portali arsimor për përgatitjen e provimeve ().
Kthehu përpara
Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.
Hekuri ndryshket pa gjetur asnjë përdorim,
uji në këmbë kalbet ose ngrin në të ftohtë,
dhe mendja e një personi, duke mos gjetur ndonjë përdorim për vete, lëngon.
Leonardo da Vinci
Teknologjitë e përdorura: mësimi i bazuar në problem, të menduarit kritik, komunikimi komunikues.
Qëllimet:
- Zhvillimi i interesit kognitiv për të mësuar.
- Studimi i vetive të funksionit y = sin x.
- Formimi i aftësive praktike në ndërtimin e një grafiku të funksionit y = sin x bazuar në materialin teorik të studiuar.
Detyrat:
1. Përdorni potencialin ekzistues të njohurive për vetitë e funksionit y = sin x në situata specifike.
2. Zbatoni vendosjen e ndërgjegjshme të lidhjeve ndërmjet modeleve analitike dhe gjeometrike të funksionit y = sin x.
Zhvilloni iniciativën, një vullnet dhe interes të caktuar për të gjetur një zgjidhje; aftësia për të marrë vendime, për të mos u ndalur këtu dhe për të mbrojtur këndvështrimin tuaj.
Të nxisë te nxënësit aktivitetin njohës, ndjenjën e përgjegjësisë, respektin për njëri-tjetrin, mirëkuptimin reciprok, mbështetjen e ndërsjellë dhe vetëbesimin; kultura e komunikimit.
Gjatë orëve të mësimit
Faza 1. Përditësimi i njohurive bazë, motivimi për të mësuar materiale të reja
"Hyrja në mësim."
Janë 3 deklarata të shkruara në tabelë:
- Ekuacioni trigonometrik sin t = a ka gjithmonë zgjidhje.
- Grafiku i një funksioni tek mund të ndërtohet duke përdorur një transformim simetrie rreth boshtit Oy.
- Një funksion trigonometrik mund të grafikohet duke përdorur një gjysmëvalë kryesore.
Nxënësit diskutojnë në dyshe: a janë të vërteta pohimet? (1 minutë). Rezultatet e diskutimit fillestar (po, jo) futen më pas në tabelën në kolonën "Përpara".
Mësuesi/ja vendos qëllimet dhe objektivat e orës së mësimit.
2. Përditësimi i njohurive (frontalisht në një model të një rrethi trigonometrik).
Tashmë jemi njohur me funksionin s = sin t.
1) Çfarë vlerash mund të marrë ndryshorja t. Cili është qëllimi i këtij funksioni?
2) Në çfarë intervali përmbahen vlerat e shprehjes sin t? Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit s = sin t.
3) Zgjidheni ekuacionin sin t = 0.
4) Çfarë ndodh me ordinatën e një pike ndërsa lëviz përgjatë tremujorit të parë? (ordinata rritet). Çfarë ndodh me ordinatën e një pike ndërsa lëviz përgjatë tremujorit të dytë? (ordinata zvogëlohet gradualisht). Si lidhet kjo me monotoninë e funksionit? (funksioni s = sin t rritet në segment dhe zvogëlohet në segment).
5) Le të shkruajmë funksionin s = sin t në formën y = sin x që është e njohur për ne (do ta ndërtojmë atë në sistemin e zakonshëm të koordinatave xOy) dhe të përpilojmë një tabelë të vlerave të këtij funksioni.
| X | 0 | ||||||
| në | 0 | 1 | 0 |
Faza 2. Perceptimi, të kuptuarit, konsolidimi parësor, memorizimi i pavullnetshëm
Faza 4. Sistematizimi parësor i njohurive dhe metodave të veprimtarisë, transferimi dhe zbatimi i tyre në situata të reja
6. Nr. 10.18 (b,c)
Faza 5. Kontrolli përfundimtar, korrigjimi, vlerësimi dhe vetëvlerësimi
7. Kthehemi te pohimet (fillimi i mësimit), diskutojmë përdorimin e vetive të funksionit trigonometrik y = sin x dhe plotësojmë kolonën “Pas” në tabelë.
8. D/z: klauzola 10, nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
Përkufizimi gjeometrik i sinusit dhe kosinusit
\(\sin \alfa = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - këndi i shprehur në radianë.
Sinus (sin α)është një funksion trigonometrik i këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës së kundërt |BC| në gjatësinë e hipotenuzës |AB|.
Kosinusi (cos α)është një funksion trigonometrik i këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur |AC| në gjatësinë e hipotenuzës |AB|.
Përkufizimi trigonometrik
Duke përdorur formulat e mësipërme, mund të gjeni sinusin dhe kosinusin e një këndi akut. Por ju duhet të mësoni se si të llogaritni sinusin dhe kosinusin e një këndi me madhësi arbitrare. Një trekëndësh kënddrejtë nuk ofron një mundësi të tillë (nuk mund të ketë një kënd të mpirë, për shembull); Prandaj, ne kemi nevojë për një përkufizim më të përgjithshëm të sinusit dhe kosinusit, duke i përmbajtur këto formula si një rast të veçantë.
Rrethi trigonometrik vjen në shpëtim. Le të jepet një kënd; i përgjigjet pikës me të njëjtin emër në rrethin trigonometrik.
Oriz. 2. Përkufizimi trigonometrik i sinusit dhe kosinusit
Kosinusi i një këndi është abshisa e një pike. Sinusi i një këndi është ordinata e një pike.
Në Fig. 2, këndi merret si i mprehtë dhe është e lehtë të kuptohet se ky përkufizim përkon me përkufizimin e përgjithshëm gjeometrik. Në fakt, ne shohim një trekëndësh kënddrejtë me një hipotenuzë njësi O dhe një kënd të mprehtë. Këmba ngjitur e këtij trekëndëshi është cos (krahaso me Fig. 1) dhe në të njëjtën kohë abshisa e pikës; ana e kundërt është mëkat (si në figurën 1) dhe në të njëjtën kohë ordinata e pikës.
Por tani ne nuk jemi më të kufizuar nga tremujori i parë dhe kemi mundësinë ta zgjerojmë këtë përkufizim në çdo kënd. Në Fig. Figura 3 tregon se sa janë sinusi dhe kosinusi i një këndi në tremujorin e dytë, të tretë dhe të katërt.
Oriz. 3. Sinusi dhe kosinusi në tremujorët II, III dhe IV
Vlerat e tabelës së sinusit dhe kosinusit
Këndi zero \(\LARGE 0^(\rreth ) \)
Abshisa e pikës 0 është e barabartë me 1, ordinata e pikës 0 është e barabartë me 0. Prandaj,
cos 0 = 1 mëkat 0 = 0
Fig 4. Këndi zero
Këndi \(\LARGE \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Ne shohim një trekëndësh kënddrejtë me një hipotenuzë njësi dhe një kënd të mprehtë prej 30°. Siç e dini, këmba e shtrirë përballë këndit 30° është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës 1; me fjalë të tjera, këmba vertikale është e barabartë me 1/2 dhe, për rrjedhojë,
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Ne gjejmë këmbën horizontale duke përdorur teoremën e Pitagorës (ose, e cila është e njëjtë, gjejmë kosinusin duke përdorur identitetin bazë trigonometrik):
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \djathtas)^(2) ) =\frac(\sqrt(3))(2 ) \]
1 Pse ndodh kjo? Prisni një trekëndësh barabrinjës me brinjën 2 përgjatë lartësisë së tij! Do të ndahet në dy trekëndësha kënddrejtë me një hipotenuzë 2, një kënd akut 30° dhe një këmbë më të shkurtër 1.
Fig 5. Këndi π/6
Këndi \(\LARGE \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Në këtë rast, trekëndëshi kënddrejtë është dykëndësh; Sinusi dhe kosinusi i një këndi 45° janë të barabartë me njëri-tjetrin. Le t'i shënojmë me x tani për tani. Ne kemi:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
prej nga \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Prandaj,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Fig 5. Këndi π/4
Vetitë e sinusit dhe kosinusit
Shënime të pranuara
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sek x \).
Periodiciteti
Funksionet y = sin x dhe y = cos x janë periodike me një periudhë 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \katër \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Barazi
Funksioni i sinusit është tek. Funksioni kosinus është i barabartë.
\(\sin(-x) = - \sin x; \katër \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Fushat e përkufizimit dhe vlerave, ekstreme, rritje, ulje
Karakteristikat themelore të sinusit dhe kosinusit janë paraqitur në tabelë ( n- e tërë).
| \(\ e vogël< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\i vogël< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Duke zbritur | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\ e vogël< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\ i vogël 2\pi n \) \(\ i vogël< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Maksima, \(\x e vogël = \) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\x i vogël = 2\pi n\) | |
| Minimumi, \(\x i vogël = \) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\ x e vogël = \) \(\ e vogël \pi + 2\pi n \) | |
| Zero, \(\ x e vogël = \pi n\) | \(\ x i vogël = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Pikat e kryqëzimit të boshtit Y, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Formulat bazë që përmbajnë sinus dhe kosinus
Shuma e katrorëve
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Formulat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe diferencën
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \djathtas) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \djathtas) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Formulat për prodhimin e sinuseve dhe kosinuseve
\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Formulat e shumës dhe diferencës
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Shprehja e sinusit përmes kosinusit
\(\sin x = \cos\majtas(\dfrac(\pi)2 - x \djathtas) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \djathtas) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \djathtas) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Shprehja e kosinusit përmes sinusit
\(\cos x = \sin\majtas(\dfrac(\pi)2 - x \djathtas) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \djathtas) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \djathtas) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Shprehja përmes tangjentes
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
Në \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Në \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Tabela e sinuseve dhe kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve
Kjo tabelë tregon vlerat e sinuseve dhe kosinuseve për vlera të caktuara të argumentit.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Tabela e sinuseve dhe kosinuseve" title="Tabela e sinuseve dhe kosinuseve" ]!}
Shprehjet përmes ndryshoreve komplekse
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
formula e Euler-it
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)
Derivatet
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Nxjerrja e formulave > > >
Derivatet e rendit të n-të:
\(\majtas(\sin x \djathtas)^((n)) = \sin\majtas(x + n\dfrac(\pi)2 \djathtas) \)\(\majtas(\cos x \djathtas)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \djathtas) \).
Integrale
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Shih gjithashtu seksionin Tabela e integraleve të pacaktuar >>>
Zgjerimet e serive
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Secant, kosekant
\(\sec x = \dfrac1( \cos x) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x) \)
Funksionet e anasjellta
Funksionet e anasjellta të sinusit dhe kosinusit janë përkatësisht arksina dhe arkozina.
Arcsine, arcsin
\(y = \arcsin x\) \(\majtas\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \djathtas\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\majtas\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \djathtas\) \)
Arccosine, arccos
\(y = \arccos x\) \(\majtas\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \djathtas\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.
Për të kryer llogaritjet, duhet të aktivizoni kontrollet ActiveX!
>>Matematika: Funksionet y = sin x, y = cos x, vetitë dhe grafikët e tyre
Funksionet y = sin x, y = cos x, vetitë dhe grafikët e tyre
Në këtë pjesë do të diskutojmë disa veti të funksioneve y = sin x, y = cos x dhe do të ndërtojmë grafikët e tyre.
1. Funksioni y = sin X.
Më sipër, në § 20, ne formuluam një rregull që lejon që çdo numër t të shoqërohet me një numër të kostos, d.m.th. karakterizoi funksionin y = sin t. Le të vëmë re disa nga vetitë e tij.
Vetitë e funksionit u = sin t.
Fusha e përkufizimit është bashkësia K e numrave realë.
Kjo rrjedh nga fakti se çdo numri 2 i korrespondon një pikë M(1) në rrethin numerik, e cila ka një ordinatë të përcaktuar mirë; kjo ordinate eshte cos t.
u = sin t është një funksion tek.
Kjo rrjedh nga fakti se, siç u vërtetua në § 19, për çdo t barazia
Kjo do të thotë se grafiku i funksionit u = sin t, si grafiku i çdo funksioni tek, është simetrik në lidhje me origjinën në sistemin koordinativ drejtkëndor tOi.
Funksioni u = sin t rritet në interval 
Kjo rrjedh nga fakti se kur një pikë lëviz përgjatë çerekut të parë të rrethit të numrave, ordinata rritet gradualisht (nga 0 në 1 - shih figurën 115), dhe kur pika lëviz përgjatë çerekut të dytë të rrethit të numrave, ordinata zvogëlohet gradualisht (nga 1 në 0 - shih Fig. 116).
Funksioni u = sint është i kufizuar si poshtë ashtu edhe sipër. Kjo rrjedh nga fakti se, siç e pamë në § 19, për çdo t pabarazia vlen
(funksioni e arrin këtë vlerë në çdo pikë të formularit 
(funksioni e arrin këtë vlerë në çdo pikë të formularit
Duke përdorur vetitë e marra, do të ndërtojmë një grafik të funksionit që na intereson. Por (vëmendje!) në vend të u - sin t do të shkruajmë y = sin x (në fund të fundit, më shumë jemi mësuar të shkruajmë y = f(x), dhe jo u = f(t)). Kjo do të thotë se ne do të ndërtojmë një grafik në sistemin e zakonshëm të koordinatave xOy (dhe jo toOy).
Le të bëjmë një tabelë të vlerave të funksionit y - sin x:
Koment.
Le të japim një nga versionet e origjinës së termit "sinus". Në latinisht, sinus do të thotë përkulje (varg harku).
Grafiku i ndërtuar deri diku e justifikon këtë terminologji. 
Vija që shërben si grafik i funksionit y = sin x quhet valë sinus. Ajo pjesë e sinusoidit që është paraqitur në Fig. 118 ose 119 quhet valë sinus, dhe ajo pjesë e valës sinusale që tregohet në Fig. 117, quhet gjysmëvalë ose hark i valës sinus.
2. Funksioni y = cos x.
Studimi i funksionit y = cos x mund të kryhet afërsisht sipas të njëjtës skemë që u përdor më lart për funksionin y = sin x. Por ne do të zgjedhim rrugën që të çon te qëllimi më shpejt. Së pari, ne do të vërtetojmë dy formula që janë të rëndësishme në vetvete (këtë do ta shihni në shkollë të mesme), por tani për tani kanë vetëm rëndësi ndihmëse për qëllimet tona.
Për çdo vlerë të t barazitë e mëposhtme janë të vlefshme:
Dëshmi. Le të korrespondojë numri t me pikën M të rrethit numerik n, dhe numri * + - pika P (Fig. 124; për hir të thjeshtësisë, pikën M e morëm në tremujorin e parë). Harqet AM dhe BP janë të barabartë, dhe trekëndëshat kënddrejtë OKM dhe OLBP janë përkatësisht të barabartë. Kjo do të thotë O K = Ob, MK = Pb. Nga këto barazime dhe nga vendndodhja e trekëndëshave OCM dhe OBP në sistemin koordinativ, nxjerrim dy përfundime:
1) ordinata e pikës P si në madhësi ashtu edhe në shenjë përkon me abshisën e pikës M; do të thotë se
2) abshisa e pikës P është e barabartë në vlerë absolute me ordinatën e pikës M, por ndryshon në shenjë prej saj; do të thotë se
Përafërsisht i njëjti arsyetim kryhet në rastet kur pika M nuk i përket tremujorit të parë.
Le të përdorim formulën 
(kjo është formula e provuar më sipër, vetëm në vend të ndryshores t përdorim ndryshoren x). Çfarë na jep kjo formulë? Na lejon të pohojmë se funksionet
janë identike, që do të thotë se grafikët e tyre përkojnë.
Le të vizatojmë funksionin 
Për ta bërë këtë, le të kalojmë në një sistem koordinativ ndihmës me origjinën në një pikë (vija me pika është vizatuar në Fig. 125). Le të lidhim funksionin y = sin x me sistemin e ri të koordinatave - ky do të jetë grafiku i funksionit 
(Fig. 125), d.m.th. grafiku i funksionit y - cos x. Ajo, si grafiku i funksionit y = sin x, quhet valë sinus (që është krejt e natyrshme).
Vetitë e funksionit y = cos x.
y = cos x është një funksion çift.
Fazat e ndërtimit janë paraqitur në Fig. 126:
1) ndërtoni një grafik të funksionit y = cos x (më saktë, një gjysmëvalë);
2) duke e shtrirë grafikun e ndërtuar nga boshti x me një faktor 0,5, fitojmë një gjysmëvalë të grafikut të kërkuar;
3) duke përdorur gjysmëvalën që rezulton, ne ndërtojmë të gjithë grafikun e funksionit y = 0,5 cos x.
Po ngarkohet...