Mënyrat për të gjetur një kënd në një trekëndësh kënddrejtë - formulat e llogaritjes. Llogaritësi online.Zgjidhja e trekëndëshave Llogaritja e këndeve dhe e gjatësive në një trekëndësh kënddrejtë

Një trekëndësh është një numër gjeometrik i përbërë nga tre segmente që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Pikat që formojnë një trekëndësh quhen pikat e tij, dhe segmentet janë krah për krah.

Në varësi të llojit të trekëndëshit (drejtkëndësh, pikturë njëngjyrëshe, etj.), Ju mund të llogarisni anën e trekëndëshit në mënyra të ndryshme, në varësi të të dhënave hyrëse dhe kushteve të problemit.

Navigim i shpejtë për një artikull

Për llogaritjen e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë përdoret teorema e Pitagorës, sipas së cilës katrori i hipotenuzës e barabartë me shumën këmbë katrore.

Nëse i emërtojmë këmbët si "a" dhe "b" dhe hipotenuzën si "c", atëherë faqet mund të gjenden me formulat e mëposhtme:

Nëse dihen këndet akute të një trekëndëshi kënddrejtë (a dhe b), brinjët e tij mund të gjenden me formulat e mëposhtme:

Trekëndësh i prerë

Trekëndëshi quhet trekëndësh barabrinjës në të cilin të dyja anët janë të njëjta.

Si të gjeni hipotenuzën në dy këmbë

Nëse shkronja "a" është identike me të njëjtën faqe, "b" është baza, "b" është këndi përballë bazës, "a" është këndi ngjitur për të llogaritur faqet, mund të përdorni formulat e mëposhtme:

Dy qoshe dhe një anë

Nëse njihen një faqe (c) dhe dy kënde (a dhe b) të çdo trekëndëshi, formula e sinusit përdoret për të llogaritur faqet e mbetura:

Ju duhet të gjeni vlerën e tretë y = 180 - (a + b) sepse

shuma e të gjitha këndeve të një trekëndëshi është 180°;

Dy anë dhe një kënd

Nëse njihen dy brinjë të trekëndëshit (a dhe b) dhe këndi ndërmjet tyre (y), teorema e kosinusit mund të përdoret për të llogaritur brinjën e tretë.

Si të përcaktohet perimetri i një trekëndëshi kënddrejtë

Një trekëndësh trekëndësh është një trekëndësh, njëri prej të cilëve është 90 gradë dhe dy të tjerët janë të mprehtë. llogaritje perimetër të tilla trekëndëshi në varësi të sasisë së informacionit të njohur për të.

Do t'ju duhet

• Në varësi të rastit, aftësitë 2 tre anët e trekëndëshit, si dhe një nga këndet akute të tij.

udhëzimet

së pari Metoda 1. Nëse njihen të tria faqet trekëndëshi Më pas, pavarësisht nëse është pingul apo jo trekëndor, perimetri llogaritet si: P = A + B + C, ku është e mundur, c është hipotenuza; a dhe b janë këmbë.

e dyta Metoda 2.

Nëse një drejtkëndësh ka vetëm dy brinjë, atëherë duke përdorur teoremën e Pitagorës, trekëndëshi mund të llogaritet duke përdorur formulën: P = v (a2 + b2) + a + b ose P = v (c2 - b2) + b + c.

e treta Metoda 3. Le të jetë hipotenuza c dhe një kënd i mprehtë? Duke pasur parasysh një trekëndësh kënddrejtë, do të jetë e mundur të gjendet perimetri në këtë mënyrë: P ​​= (1 + mëkat?

e katërta Metoda 4. Ata thonë se në trekëndëshin kënddrejtë gjatësia e një këmbë është e barabartë me a dhe, përkundrazi, ka një kënd të mprehtë. Pastaj llogarisni perimetër Kjo trekëndëshi do të kryhet sipas formulës: P = a * (1 / tg?

1/djali? + 1)

të pestat Metoda 5.

Llogaritja e trekëndëshit në internet

Lëreni këmbën tonë të udhëheqë dhe të përfshihet në të, atëherë diapazoni do të llogaritet si: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Video të ngjashme

Teorema e Pitagorës është baza e të gjithë matematikës. Përcakton marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi të vërtetë. Tani ka 367 prova të kësaj teoreme.

udhëzimet

së pari Formulimi klasik shkollor i teoremës së Pitagorës tingëllon kështu: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Për të gjetur hipotenuzën në trekëndësh kënddrejtë dy kate, duhet të kontaktoni për të ndërtuar një katror të gjatësisë së këmbëve, t'i mblidhni dhe t'i merrni Rrenja katrore nga shuma. Në formulimin origjinal të deklaratës së tij, tregu bazohet në hipotenuzën, e cila është e barabartë me shumën e katrorëve të 2 katrorëve të prodhuar nga Catete. Megjithatë, formulimi modern algjebrik nuk kërkon prezantimin e një paraqitjeje domeni.

e dyta Për shembull, një trekëndësh kënddrejtë, këmbët e të cilit janë 7 cm dhe 8 cm.

Atëherë, sipas teoremës së Pitagorës, hipotenuza katrore është e barabartë me R + S = 49 + 64 = 113 cm. Hipotenuza është e barabartë me rrënjën katrore të numrit 113.

Këndet e një trekëndëshi kënddrejtë

Rezultati ishte një numër i pabazuar.

e treta Nëse trekëndëshat janë këmbët 3 dhe 4, atëherë hipotenuza = 25 = 5. Kur merrni rrënjën katrore, merrni numri natyror. Numrat 3, 4, 5 formojnë një treshe pigagore, pasi plotësojnë relacionin x? +Y? = Z, që është e natyrshme.

Shembuj të tjerë të një treshe të Pitagorës janë: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

e katërta Në këtë rast, nëse këmbët janë identike me njëra-tjetrën, teorema e Pitagorës kthehet në një ekuacion më primitiv. Për shembull, supozoni se një dorë e tillë është e barabartë me numrin A dhe hipotenuza është përcaktuar për C, dhe pastaj c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Në këtë rast nuk ju nevojitet A.

të pestat Teorema e Pitagorës është një rast i veçantë, më i madh se teorema e përgjithshme e kosinusit, e cila vendos marrëdhënien midis tre brinjëve të një trekëndëshi për çdo kënd midis dy prej tyre.

Këshilla 2: Si të përcaktohet hipotenuza për këmbët dhe këndet

Hipotenuza është ana në një trekëndësh kënddrejtë që është përballë këndit 90 gradë.

udhëzimet

së pari Në rastin e kateterëve të njohur, si dhe këndit akut të një trekëndëshi kënddrejtë, hipotenuza mund të ketë një madhësi të barabartë me raportin e këmbës me kosinusin / sinusin e këtij këndi, nëse këndi ishte i kundërt / e përfshijnë: H = C1 (ose C2) / mëkat, H = C1 (ose C2?) / cos?. Shembull: Le të jepet ABC një trekëndësh i parregullt me ​​hipotenuzë AB dhe kënd të drejtë C.

Le të jetë B 60 gradë dhe A 30 gradë. Gjatësia e kërcellit BC është 8 cm Duhet gjetur gjatësia e hipotenuzës AB. Për ta bërë këtë, mund të përdorni një nga metodat e mësipërme: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza është ana më e gjatë e një drejtkëndëshi trekëndëshi. Ajo është e vendosur në një kënd të drejtë. Metoda për gjetjen e hipotenuzës së një drejtkëndëshi trekëndëshi në varësi të të dhënave burimore.

udhëzimet

së pari Nëse këmbët tuaja janë pingule trekëndëshi, pastaj gjatësia e hipotenuzës së drejtkëndëshit trekëndëshi mund të zbulohet nga analogu i Pitagorës - katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve: c2 = a2 + b2, ku a dhe b janë gjatësia e këmbëve të së djathtës trekëndëshi .

e dyta Nëse njëra nga këmbët është e njohur dhe në një kënd akut, formula për gjetjen e hipotenuzës do të varet nga prania ose mungesa e nën kënd të caktuar në raport me këmbën e njohur - ngjitur (këmba ndodhet afër), ose anasjelltas (rasti i kundërt ndodhet nego.V i këndit të specifikuar është i barabartë me fraksionin e hipotenuzës së këmbës në këndin kosinus: a = a / cos; E, nga ana tjetër, hipotenuza është e njëjtë me raportin e këndeve sinusoidale: da = a / sin.

Video të ngjashme

Këshilla të dobishme
Një trekëndësh këndor, anët e të cilit lidhen si 3:4:5, i quajtur delta egjiptiane për faktin se këto figura përdoreshin gjerësisht nga arkitektët e Egjiptit të lashtë.

Ky është gjithashtu shembulli më i thjeshtë i trekëndëshave të Jeros, në të cilët faqet dhe zona përfaqësohen me numra të plotë.

Trekëndësh quhet drejtkëndësh këndi i të cilit është 90°. Ana përballë këndit të djathtë quhet hipotenuzë, tjetra quhet këmbë.

Nëse dëshironi të gjeni se si formohet një trekëndësh kënddrejtë nga disa veti të trekëndëshave të rregullt, përkatësisht fakti që shuma e këndeve akute është 90°, që përdoret, dhe fakti që gjatësia e këmbës së kundërt është gjysma e hipotenuzës. është 30°.

Navigim i shpejtë për një artikull

Trekëndësh i prerë

Një nga vetitë e një trekëndëshi të barabartë është se dy këndet e tij janë të barabartë.

Për të llogaritur këndin e një trekëndëshi kongruent të drejtë, duhet të dini se:

• Kjo nuk është më keq se 90 °.
• Vlerat e këndeve akute përcaktohen me formulën: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, d.m.th.

  Këndet α dhe β janë të barabartë me 45°.

Nëse dihet vlera e njohur e njërit prej këndeve akute, tjetri mund të gjendet duke përdorur formulën: β = 180º-90º-α ose α = 180º-90º-β.

Ky raport përdoret më shpesh nëse njëri prej këndeve është 60° ose 30°.

Konceptet kryesore

Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180°.

Për shkak se është një nivel, dy mbeten të mprehta.

Llogaritni trekëndëshin në internet

Nëse dëshironi t'i gjeni ato, duhet të dini se:

metoda të tjera

Vlerat e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë mund të llogariten nga mesatarja - me një vijë nga një pikë në anën e kundërt të trekëndëshit, dhe lartësia - vija është një pingul e tërhequr nga hipotenuza në një kënd të drejtë .

Lëreni mesataren të shtrihet nga këndi i djathtë deri në mes të hipotenuzës dhe le të jetë h lartësia. Në këtë rast rezulton se:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Dy faqe

Nëse gjatësitë e hipotenuzës dhe njërës prej këmbëve janë të njohura në një trekëndësh kënddrejtë ose në të dy anët, atëherë identitetet trigonometrike përdoren për të përcaktuar vlerat e këndeve akute:

• α = harksin (a/c), β = harksin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Gjatësia e një trekëndëshi kënddrejtë

Sipërfaqja dhe sipërfaqja e një trekëndëshi

perimetër

Perimetri i çdo trekëndëshi është i barabartë me shumën e gjatësive të tre brinjëve. Formula e përgjithshme për të gjetur trekëndëshin trekëndësh:

ku P është perimetri i trekëndëshit, a, b dhe c i brinjëve të tij.

Perimetri i një trekëndëshi të barabartë mund të gjendet duke kombinuar në mënyrë të njëpasnjëshme gjatësitë e anëve të saj ose duke shumëzuar gjatësinë e anës me 2 dhe duke shtuar gjatësinë e bazës në produkt.

Formula e përgjithshme për gjetjen e një trekëndëshi të ekuilibrit do të duket si kjo:

ku P është perimetri i një trekëndëshi të barabartë, por ose b, b është baza.

Perimetri i një trekëndëshi barabrinjës mund të gjendet duke kombinuar në mënyrë sekuenciale gjatësitë e anëve të saj ose duke shumëzuar gjatësinë e çdo faqeje me 3.

Formula e përgjithshme për gjetjen e buzës së trekëndëshave barabrinjës do të duket si kjo:

ku P është perimetri i një trekëndëshi barabrinjës, a është çdo brinjë e tij.

Rajon

Nëse dëshironi të matni sipërfaqen e një trekëndëshi, mund ta krahasoni atë me një paralelogram. Konsideroni trekëndëshin ABC:

Nëse marrim të njëjtin trekëndësh dhe e rregullojmë në mënyrë që të marrim një paralelogram, marrim një paralelogram me të njëjtën lartësi dhe bazë si ky trekëndësh:

Në këtë rast, ana e përbashkët e trekëndëshave paloset së bashku përgjatë diagonales së paralelogramit të derdhur.

Nga vetitë e paralelogramit. Dihet se diagonalet e një paralelogrami ndahen gjithmonë në dy trekëndësha të barabartë, atëherë sipërfaqja e secilit trekëndësh është e barabartë me gjysmën e diapazonit të paralelogramit.

Meqenëse sipërfaqja e një paralelogrami është e njëjtë me produktin e lartësisë së bazës së tij, sipërfaqja e trekëndëshit do të jetë e barabartë me gjysmën e këtij produkti. Kështu, për ΔABC zona do të jetë e njëjtë

Tani merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë:

Dy trekëndësha identikë kënddrejtë mund të përkulen në një drejtkëndësh nëse mbështetet kundër tyre, që është hipotenuza e njëra-tjetrës.

Meqenëse sipërfaqja e drejtkëndëshit përkon me sipërfaqen e anëve ngjitur, zona e këtij trekëndëshi është e njëjtë:

Nga kjo mund të konkludojmë se sipërfaqja e çdo trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me produktin e këmbëve të ndarë me 2.

Nga këta shembuj mund të konkludohet se sipërfaqja e çdo trekëndëshi është e njëjtë me produktin e gjatësisë dhe lartësia reduktohet në nënshtresën e ndarë me 2.

Formula e përgjithshme për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi do të duket si kjo:

ku S është sipërfaqja e trekëndëshit, por baza e tij, por lartësia bie në fund a.

Përkufizimi i trekëndëshit

Trekëndëshiështë një figurë gjeometrike që formohet si rezultat i kryqëzimit të tre segmenteve, skajet e të cilave nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Çdo trekëndësh ka tre brinjë, tre kulme dhe tre kënde.

Llogaritësi online

Ka trekëndësha lloje të ndryshme. Për shembull, ekziston një trekëndësh barabrinjës (një në të cilin të gjitha anët janë të barabarta), dykëndësh (dy anët janë të barabarta në të) dhe një trekëndësh kënddrejtë (në të cilin njëri prej këndeve është i drejtë, d.m.th., i barabartë me 90 gradë).

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet menyra te ndryshme në varësi të asaj se cilat elemente të figurës njihen nga kushtet e problemit, qofshin ato kënde, gjatësi, apo edhe rrezet e rrathëve që lidhen me trekëndëshin. Le të shohim secilën metodë veç e veç me shembuj.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në bazën dhe lartësinë e tij

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- baza e trekëndëshit;
h h h- lartësia e trekëndëshit të tërhequr në bazën e dhënë a.

Shembull

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi nëse dihet gjatësia e bazës së tij, e barabartë me 10 (cm) dhe lartësia e tërhequr në këtë bazë, e barabartë me 5 (cm).

Zgjidhje

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Ne e zëvendësojmë këtë në formulën për sipërfaqen dhe marrim:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (shih sq.)

Përgjigje: 25 (cm. katror)

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në gjatësitë e të gjitha anëve

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit;
fq fq fq- gjysma e shumës së të gjitha brinjëve të trekëndëshit (d.m.th., gjysma e perimetrit të trekëndëshit):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b+c)

Kjo formulë quhet Formula e Heronit.

Shembull

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi nëse dihen gjatësitë e tre brinjëve të tij, të barabarta me 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Zgjidhje

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5

Le të gjejmë gjysmën e perimetrit fq fq fq:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Pastaj, sipas formulës së Heronit, sipërfaqja e trekëndëshit është:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (shih sq.)

Përgjigje: 6 (shih katrorin)

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të dhënë një anë dhe dy kënde

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gama))S=2 a 2 ​ ⋅ sin (β + γ)mëkat β mëkat γ ​ ,

A a a- gjatësia e brinjës së trekëndëshit;
β , γ \beta, \gama β , γ - kënde ngjitur me anën a a a.

Shembull

Jepet një brinjë e një trekëndëshi të barabartë me 10 (cm) dhe dy kënde ngjitur 30 gradë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Zgjidhje

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gama=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Sipas formulës:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ mëkat ⁡ 3 0 ∘ mëkat ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(2)\c2t) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\afërsisht 14.4S=2 1 0 2 ​ ⋅ mëkat (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) mëkat 3 0 ∘ mëkat 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (shih sq.)

Përgjigje: 14.4 (shih sq.)

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- brinjët e trekëndëshit;
R R R- rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit.

Shembull

Le të marrim numrat nga problemi ynë i dytë dhe t'u shtojmë rrezen atyre R R R rrathët. Le të jetë e barabartë me 10 (cm.).

Zgjidhje

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b=4 b =4
c = 5 c=5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (shih sq.)

Përgjigje: 1,5 (cm2)

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit të brendashkruar

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= fq⋅ r,

fq fqfq- gjysma e perimetrit të trekëndëshit:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)fq= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- brinjët e trekëndëshit;
r rr- rrezja e rrethit të gdhendur në trekëndësh.

Shembull

Le të jetë rrezja e rrethit të brendashkruar 2 (cm). Do të marrim gjatësitë e anëve nga problemi i mëparshëm.

Zgjidhje

$a=3b\; =\; 4\; b=4b=4c\; =\; 5\; c=5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$fq=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (shih sq.)

Përgjigje: 12 (cm. katror)

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alfa)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ mëkat(α ) ,

b, c b, cb, c- brinjët e trekëndëshit;

α\alfaα - këndi midis anëve b bb Dhe c cc.

Shembull

Brinjët e trekëndëshit janë 5 (cm) dhe 6 (cm), këndi ndërmjet tyre është 30 gradë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Zgjidhje

$b=5c\; =\; 6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alfa=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ mëkat(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (shih sq.)

Përgjigje: 7,5 (cm. katror)

Në gjeometri shpesh ka probleme që lidhen me brinjët e trekëndëshave. Për shembull, shpesh është e nevojshme të gjendet një brinjë e një trekëndëshi nëse dy të tjerët janë të njohur.

Trekëndëshat janë dykëndësh, barabrinjës dhe të pabarabartë. Nga e gjithë shumëllojshmëria, për shembullin e parë do të zgjedhim një drejtkëndësh (në një trekëndësh të tillë, një nga këndet është 90 °, anët ngjitur me të quhen këmbë, dhe e treta është hipotenuza).

Lundrim i shpejtë përmes artikullit

Gjatësia e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë

Zgjidhja e problemit rrjedh nga teorema e matematikanit të madh Pitagora. Ai thotë se shuma e katrorëve të këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me katrorin e hipotenuzës së tij: a²+b²=c²

• Gjeni katrorin e gjatësisë së këmbës a;
• Gjeni katrorin e këmbës b;
• Ne i bashkojmë ato;
• Nga rezultati i fituar nxjerrim rrënjën e dytë.

Shembull: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Kjo do të thotë, gjatësia e hipotenuzës së këtij trekëndëshi është 5.

Nëse trekëndëshi nuk ka kënd të drejtë, atëherë gjatësitë e dy brinjëve nuk janë të mjaftueshme. Për këtë, nevojitet një parametër i tretë: ky mund të jetë një kënd, lartësia e trekëndëshit, rrezja e rrethit të gdhendur në të, etj.

Nëse dihet perimetri

Në këtë rast, detyra është edhe më e thjeshtë. Perimetri (P) është shuma e të gjitha brinjëve të trekëndëshit: P=a+b+c. Kështu, duke zgjidhur një ekuacion të thjeshtë matematikor, marrim rezultatin.

Shembull: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Ne e zgjidhim ekuacionin duke lëvizur të gjithë parametrat e njohur në njërën anë të shenjës së barazimit:

2) Zëvendësoni vlerat në vend të tyre dhe llogaritni anën e tretë:

c=18-7-6=5, gjithsej: brinja e tretë e trekëndëshit është 5.

Nëse këndi dihet

Për të llogaritur brinjën e tretë të një trekëndëshi të dhënë një kënd dhe dy brinjë të tjera, zgjidhja zbret në llogaritjen e ekuacionit trigonometrik. Duke ditur marrëdhënien midis brinjëve të trekëndëshit dhe sinusit të këndit, është e lehtë të llogaritet brinja e tretë. Për ta bërë këtë, ju duhet të shënoni të dy anët dhe të shtoni rezultatet e tyre së bashku. Pastaj zbres produktit që rezulton produktin e brinjëve të shumëzuar me kosinusin e këndit: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Nëse zona është e njohur

Në këtë rast, një formulë nuk do të funksionojë.

1) Së pari, llogaritni sin γ, duke e shprehur atë nga formula për sipërfaqen e një trekëndëshi:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Nga formulën e mëposhtme llogarit kosinusin e të njëjtit kënd:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Dhe përsëri përdorim teoremën e sinuseve:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Duke zëvendësuar vlerat e variablave në këtë ekuacion, marrim përgjigjen e problemit.

Në matematikë, kur merret parasysh një trekëndësh, i kushtohet shumë vëmendje anëve të tij. Sepse këto elemente formojnë këtë figurë gjeometrike. Brinjët e një trekëndëshi përdoren për të zgjidhur shumë probleme gjeometrike.

Përkufizimi i konceptit

Segmentet që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë quhen brinjë të një trekëndëshi. Elementet në shqyrtim kufizojnë një pjesë të aeroplanit, e cila quhet brendësi e kësaj figura gjeometrike.

Matematikanët në llogaritjet e tyre lejojnë përgjithësime në lidhje me anët e figurave gjeometrike. Kështu, në një trekëndësh të degjeneruar, tre nga segmentet e tij shtrihen në një vijë të drejtë.

Karakteristikat e konceptit

Llogaritja e brinjëve të një trekëndëshi përfshin përcaktimin e të gjithë parametrave të tjerë të figurës. Duke ditur gjatësinë e secilit prej këtyre segmenteve, ju lehtë mund të llogarisni perimetrin, sipërfaqen dhe madje edhe këndet e trekëndëshit.

Oriz. 1. Trekëndësh arbitrar.

Duke mbledhur anët e një figure të caktuar, mund të përcaktoni perimetrin.

P=a+b+c, ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit

Dhe për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi, atëherë duhet të përdorni formulën e Heronit.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Ku p është gjysmëperimetri.

Këndet e një figure të caktuar gjeometrike llogariten duke përdorur teoremën e kosinusit.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\mbi(2bc))$$

Kuptimi

Disa veti të kësaj figure gjeometrike shprehen përmes raportit të brinjëve të një trekëndëshi:

• Përballë anës më të vogël të një trekëndëshi është këndi më i vogël i tij.
• Këndi i jashtëm i figurës gjeometrike në fjalë fitohet duke zgjatur njërën nga anët.
• Kundër kënde të barabarta një trekëndësh ka brinjë të barabarta.
• Në çdo trekëndësh, njëra nga brinjët është gjithmonë më e madhe se diferenca e dy segmenteve të tjera. Dhe shuma e çdo dy anët e kësaj figure është më e madhe se e treta.

Një nga shenjat se dy trekëndësha janë të barabartë është raporti i shumës së të gjitha brinjëve të figurës gjeometrike. Nëse këto vlera janë të njëjta, atëherë trekëndëshat do të jenë të barabartë.

Disa veti të një trekëndëshi varen nga lloji i tij. Prandaj, së pari duhet të merrni parasysh madhësinë e anëve ose këndeve të kësaj figure.

Formimi i trekëndëshave

Nëse dy brinjët e figurës gjeometrike në fjalë janë të njëjta, atëherë ky trekëndësh quhet dykëndësh.

Oriz. 2. Trekëndëshi dykëndësh.

Kur të gjithë segmentet në një trekëndësh janë të barabartë, ju merrni një trekëndësh barabrinjës.

Oriz. 3. Trekëndësh barabrinjës.

Është më i përshtatshëm për të kryer çdo llogaritje në rastet kur një trekëndësh arbitrar mund të klasifikohet si një lloj specifik. Sepse atëherë gjetja e parametrit të kërkuar të kësaj figure gjeometrike do të thjeshtohet ndjeshëm.

Megjithëse një ekuacion trigonometrik i zgjedhur saktë ju lejon të zgjidhni shumë probleme në të cilat merret parasysh një trekëndësh arbitrar.

Çfarë kemi mësuar?

Tre segmente që lidhen me pika dhe nuk i përkasin të njëjtës drejtëz formojnë një trekëndësh. Këto anë formojnë një plan gjeometrik, i cili përdoret për të përcaktuar zonën. Duke përdorur këto segmente, mund të gjeni shumë karakteristika të rëndësishme të një figure, si perimetri dhe këndet. Raporti i pamjes së një trekëndëshi ndihmon për të gjetur llojin e tij. Disa veti të një figure të caktuar gjeometrike mund të përdoren vetëm nëse dihen dimensionet e secilës anë të saj.

Test mbi temën

Vlerësimi i artikullit

Vleresim mesatar: 4.3. Gjithsej vlerësimet e marra: 142.

Një trekëndësh quhet trekëndësh kënddrejtë nëse njëri prej këndeve të tij është 90º. Ana përballë këndit të drejtë quhet hipotenuzë, dhe dy të tjerat quhen këmbë.

Për të gjetur këndin në një trekëndësh kënddrejtë, përdoren disa veti të trekëndëshave kënddrejtë, përkatësisht: shuma e këndeve akute është 90º, si dhe fakti se përballë këmbës, gjatësia e së cilës është gjysma e gjatësisë së hipotenuzës, qëndron. një kënd të barabartë me 30º.

Lundrim i shpejtë përmes artikullit

Trekëndëshi dykëndësh

Një nga vetitë e një trekëndëshi dykëndësh është se dy këndet e tij janë të barabartë. Për të llogaritur këndet e një trekëndëshi dykëndësh të drejtë, duhet të dini se:

• Një kënd i drejtë është 90º.
• Vlerat e këndeve akute përcaktohen me formulën: (180º-90º)/2=45º, d.m.th. këndet α dhe β janë të barabartë me 45º.

Nëse dihet madhësia e njërit prej këndeve akute, i dyti mund të gjendet duke përdorur formulën: β=180º-90º-α, ose α=180º-90º-β. Më shpesh ky raport përdoret nëse njëri nga këndet është 60º ose 30º.

Konceptet kryesore

Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180º. Meqenëse një kënd është i drejtë, dy të tjerët do të jenë akute. Për t'i gjetur ato duhet të dini se:

metoda të tjera

Vlerat e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë mund të llogariten duke ditur vlerën e mesatares - një vijë e tërhequr nga kulmi në anën e kundërt të trekëndëshit, dhe lartësia - një vijë e drejtë, e cila është një pingul i rënë nga një kënd i drejtë në hipotenuzë. Le të jetë s mesatarja e tërhequr nga këndi i duhur në mes të hipotenuzës, h është lartësia. Në këtë rast rezulton se:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β =h/a.

Dy anë

Nëse gjatësitë e hipotenuzës dhe njërës nga këmbët, ose dy brinjëve, njihen në një trekëndësh kënddrejtë, përdoren identitetet trigonometrike për të gjetur vlerat e këndeve akute:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).