Përafrimi mesatar katror i funksioneve të përcaktuara në tabelë. Puna e kursit: metoda numerike për zgjidhjen e problemeve tipike matematikore Tema: Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Shpesh vlerat e funksionit të interpoluar y, y2 , ..., y“ përcaktohen nga eksperimenti me disa gabime, kështu që është e paarsyeshme të përdoret një përafrim i saktë në nyjet e interpolimit. Në këtë rast, është më e natyrshme të përafrohet funksioni jo me pika, por me mesatare, dmth, në një nga normat L p.

Hapësira 1 p - shumë funksione d (x), të përcaktuara në segment [a, b] dhe modul i integrueshëm me fuqinë p-të nëse është përcaktuar norma

Konvergjenca në një normë të tillë quhet konvergjencë në mesatare Hapësira 1,2 quhet Hilbert, dhe konvergjenca në të është rrënja mesatare katrore.

Le të jepet një funksion Dx) dhe një bashkësi funksionesh φ(x) nga një hapësirë ​​e normuar lineare. Në kontekstin e problemit të interpolimit, përafrimit dhe përafrimit, mund të formulohen dy problemet e mëposhtme.

Detyra e parëështë një përafrim me një saktësi të caktuar, d.m.th., sipas një të dhënë e gjeni φ(x) të tillë që mosbarazimi |[Dx) - φ(x)|| G.

Detyra e dytë- ky është një kërkim përafrimi më i mirë d.m.th., duke kërkuar për një funksion φ*(x) që plotëson relacionin:

Le të përcaktojmë pa prova një kusht të mjaftueshëm për ekzistencën e përafrimit më të mirë. Për ta bërë këtë, në hapësirën lineare të funksioneve zgjedhim një grup të parametrizuar nga shprehja

ku bashkësia e funksioneve φ[(x), ..., φ„(x) do të konsiderohet linearisht e pavarur.

Mund të tregohet se në çdo hapësirë ​​të normalizuar me përafrim linear (2.16) ekziston përafrimi më i mirë, megjithëse nuk është unik në asnjë hapësirë ​​lineare.

Le të shqyrtojmë hapësirën Hilbert LzCp) të funksioneve reale që janë katrore të integrueshme me peshë p(x) > 0 në [, ku produkti skalar ( g, h) percaktuar nga

formula:

Duke zëvendësuar kombinimin linear (2.16) në kushtin për përafrimin më të mirë, gjejmë

Barazimi i derivateve në lidhje me koeficientët (D, k= 1, ..., P, marrim një sistem ekuacionesh lineare

Përcaktorja e sistemit të ekuacioneve (2.17) quhet përcaktor Gram. Përcaktori Gram është jozero, pasi supozohet se sistemi i funksioneve φ[(x), ..., φ„(x) është linearisht i pavarur.

Kështu, përafrimi më i mirë ekziston dhe është unik. Për ta marrë atë, është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve (2.17). Nëse sistemi i funksioneve φ1(x), ..., φ„(x) është i ortogonalizuar, d.m.th. (φ/,φ,) = 5y, ku 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., P, atëherë sistemi i ekuacioneve mund të zgjidhet në formën:

Koeficientët e gjetur sipas (2.18) P, ..., th quhen koeficientë të serisë së përgjithësuar të Furierit.

Nëse bashkësia e funksioneve φ t (X),..., φ„(x),... formon një sistem të plotë, atëherë në bazë të barazisë së Parsevalit si P -» co norma e gabimit ulet pa kufi. Kjo do të thotë se përafrimi më i mirë konvergjon rrënjë-mesatare-katror në Dx) me çdo saktësi të dhënë.

Vini re se kërkimi i koeficientëve të përafrimit më të mirë duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (2.17) është praktikisht i pamundur për t'u zbatuar, pasi me rritjen e rendit të matricës Gram, përcaktorja e saj tenton shpejt në zero dhe matrica bëhet e keqkushtëzuar. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare me një matricë të tillë do të çojë në një humbje të konsiderueshme të saktësisë. Le ta kontrollojmë.

Le të zgjidhen shkallët si një sistem funksionesh φ„ i =1, ..., П, d.m.th. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, atëherë, duke supozuar se segmenti është segmenti i përafrimit, gjejmë matricën Gram

Matrica Gram e formës (2.19) quhet edhe matrica Hilbert. Ky është një shembull klasik i një të ashtuquajturi matricë të kushtëzuar keq.

Duke përdorur MATLAB, ne llogarisim përcaktorin e matricës Hilbert në formën (2.19) për disa vlera të para P. Lista 2.5 tregon kodin për programin përkatës.

Listimi 23

Llogaritja e përcaktorit të matricave Hilbert duke pastruar zonën e punës pastroji të gjitha;

%zgjidhni vlerën maksimale të rendit të matricës %Hilbert ptah =6;

Ndërtoni një lak për të gjeneruar matricat %Hilbert dhe llogaritni përcaktuesit e tyre

për n = 1: ptah d(n)=det(hi I b(n)); fund

%shtypni vlerat e përcaktuesve të matricave %Hilbert

f o g t fund të shkurtër

Pas ekzekutimit të kodit në Listimin 2.5, dritarja e komandës MATLAB duhet të shfaqë vlerat e përcaktuesve të matricave Hilbert për gjashtë matricat e para. Tabela më poshtë tregon vlerat numerike përkatëse të renditjes së matricave (n) dhe përcaktuesve të tyre (d). Tabela tregon qartë se sa shpejt përcaktori i matricës Hilbert tenton në zero ndërsa rendi rritet dhe, duke filluar nga urdhrat 5 dhe 6, ai bëhet në mënyrë të papranueshme i vogël.

Tabela e vlerave të përcaktuesit të matricave Hilbert

Ortogonalizimi numerik i një sistemi funksionesh φ, i = 1, ..., П gjithashtu çon në një humbje të dukshme të saktësisë, prandaj, për të marrë parasysh një numër të madh termash në zgjerim (2.16), është e nevojshme ose për të kryer ortogonalizimin në mënyrë analitike, d.m.th., saktësisht, ose për të përdorur një sistem të gatshëm funksionesh ortogonale.

Nëse gjatë interpolimit ata zakonisht përdorin gradë si një sistem funksionesh bazë, atëherë kur përafrohen mesatarisht, polinomet ortogonale me një peshë të caktuar zgjidhen si funksione bazë. Më të përdorurit prej tyre janë polinomet Jacobi, një rast i veçantë i të cilëve janë polinomet Lezhandre dhe Chebyshev. Përdoren gjithashtu polinomet Lagsr dhe Hermite. Më shumë detaje rreth këtyre polinomeve mund të gjenden, për shembull, në shtojcën Polinome ortogonale librat

Le të përmbajë tabela vlerat e funksionit të marra, për shembull, nga eksperimenti, d.m.th., të matura me një gabim. Pastaj përafrimi duke përdorur aparat interpolimi , e cila bazohet në barazimin e vlerave të polinomit në nyjet e interpolimit me vlerat e tabelës, të papërshtatshme.

Me këtë formulim të problemit, është e nevojshme të kryhet një përafrim me mesataren, d.m.th., të përshkruhet funksioni i tabelës me një varësi analitike mjaft të thjeshtë që ka një numër të vogël parametrash. Zgjedhja optimale e këtyre parametrave do të na lejojë të kryejmë një përafrim rrënjë-mesatar-katror të funksionit të specifikuar nga tabela.

Zgjedhja e llojit të varësisë analitike ju duhet të filloni me vizatimin e të dhënave tabelare në planin koordinativ - kjo do të formojë një fushë pikash eksperimentale. Një kurbë e lëmuar vizatohet përmes fushës së këtyre pikave në mënyrë që disa nga pikat të shtrihen në këtë kurbë, disa nga pikat janë sipër dhe disa nga pikat janë nën lakoren e vizatuar. Bazuar në formën e kësaj lakore, duhet të përcaktohet lloji i varësisë analitike - nëse është lineare, ligji i fuqisë, hiperbolik apo ndonjë tjetër.

Megjithatë, është shumë e vështirë të zgjedhësh llojin e varësisë analitike nga grafiku me sy. Prandaj u propozua një metodë e vlerësimit të përafërt dhe përzgjedhjes së llojit të varësisë analitike. Kjo metodë është vërtet e përafërt dhe e pasaktë, pasi kurba mund të vizatohet në mënyra të ndryshme përmes fushës së pikave eksperimentale, dhe pika të ndryshme referimi mund të merren nga tabela për llogaritje, dhe saktësia e metodës së propozuar nuk dihet. Në të njëjtën kohë, mund të konsiderohet si një mënyrë e përafërt për të zgjedhur llojin e varësisë.

Propozohet algoritmi i mëposhtëm i veprimeve.

1. Në tabelën origjinale, zgjidhni dy pika larg njëra-tjetrës me koordinatat (x 1, y 1) dhe (x n, y n) - pika referimi, dhe për secilën palë koordinata llogaritni mesataren aritmetike, mesataren gjeometrike dhe mesataren harmonike.

2. Në lakoren e tërhequr nëpër fushën e pikave eksperimentale, gjeni tre ordinata që korrespondojnë me abshisat e gjetura x ap, x gjeom, x dëm:

3. Krahasoni ato që gjenden në kurbë me ato të llogaritura duke llogaritur modulet e mëposhtme të diferencës:

4. Vlera minimale zgjidhet nga vlerat e gjetura:

5. Përfundime: nëse doli të ishte minimale

Varësia është lineare

Varësia është eksponenciale

Marrëdhënia lineare thyesore

Varësia logaritmike

Varësia nga pushteti

Varësia hiperbolike

Marrëdhënia thyesore-racionale

Secila prej këtyre varësive mund të reduktohet në lineare duke kryer një transformim të koordinatave ose të ashtuquajturat përafrimi i të dhënave.
Kështu, faza e parë përfundon me zgjedhjen e llojit të varësisë analitike, parametrat e së cilës nuk janë të përcaktuara.

Faza e dytë konsiston në përcaktimin e vlerave më të mira të koeficientëve të varësisë analitike të zgjedhur. Për këtë qëllim, matematikore metoda më e vogël e katrorit.

Metoda bazohet në minimizimin e shumës së devijimeve në katror të vlerave të dhëna tabelare () nga ato të llogaritura nga varësia teorike (): .

Le të jetë varësia e zgjedhur vijë e drejtë: . Le ta zëvendësojmë atë në funksional: . Pastaj funksionaliteti minimizohet:

Për të gjetur vlerat më të mira të koeficientëve dhe është e nevojshme të gjenden derivatet e pjesshme të dhe në lidhje me dhe dhe barazohen me zero:

Pas transformimeve, sistemi i ekuacioneve merr formën:

Zgjidhja e këtij sistemi të ekuacioneve lineare ju lejon të gjeni vlerat më të mira të koeficientëve dhe varësisë lineare.

Nëse varësia e zgjedhur është parabola kuadratike:

atëherë funksionaliteti minimizohet: .

Parabola ka tre koeficientë të ndryshueshëm -, vlerat më të mira të të cilave duhet të gjenden duke barazuar me zero derivatet e pjesshme të funksionit të minimizuar në lidhje me koeficientët e kërkuar. Kjo na lejon të marrim sistemin e mëposhtëm të tre ekuacioneve lineare për gjetjen e koeficientëve:

Shembulli 1. Përcaktoni llojin e varësisë të dhënë nga tabela e mëposhtme.

Zgjidhje.

Pikat e specifikuara në tabelë duhet të vizatohen në planin koordinativ - a fusha e të dhënave eksperimentale. Nëpërmjet kësaj fushe kryhet kurbë e lëmuar.

Zgjidhni nga tabela dy pika referimi me koordinatat (3;0.55) dhe (10;1.11) dhe për çdo çift abshisash dhe ordinatash llogaritet mesatarja aritmetike, gjeometrike dhe harmonike:

Për tre abshisa të llogaritura, përgjatë një kurbë të tërhequr përmes fushës së pikave eksperimentale, përcaktohen tre ordinata përkatëse:

shënim mbi orientimin e llogaritjeve që po kryhen. Më pas, përcaktohen shtatë module diferenciale:

Janë marrë tre vlera minimale afër njëra-tjetrës

Në fazën e dytë, vlerat më të mira të koeficientëve duhet të përcaktohen për secilën nga këto varësi duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, dhe më pas duhet të llogaritet devijimi standard nga vlerat e dhëna të tabelës.

Përzgjedhja përfundimtare e varësisë analitike bëhet në bazë të vlerës minimale të devijimit standard.

Shembulli 2. Tabela tregon rezultatet e studimeve eksperimentale, të cilat mund të përafrohen me një vijë të drejtë. Gjeni vlerat më të mira të koeficientëve të vijës duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël.

Zgjidhje.

Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës: .

Sistemi i ekuacioneve lineare nga i cili duhet të përcaktohen vlerat më të mira të koeficientëve, i udhëhequr nga metoda e katrorëve më të vegjël, ka formën:

Le të zëvendësojmë shumat e llogaritura nga kolonat 2, 3, 4 dhe 5 të rreshtit të fundit të tabelës në sistemin e ekuacioneve:

Ku përcaktohen koeficientët e varësisë lineare? Kjo do të thotë se ekuacioni i vijës teorike ka formën:

. (*)

Kolona e gjashtë e tabelës tregon vlerat e funksionit të llogaritura duke përdorur ekuacionin teorik për vlerat e dhëna të argumentit. Kolona e shtatë e tabelës tregon ndryshimet midis vlerave të funksionit të specifikuar (kolona e tretë) dhe vlerave teorike (kolona e 6-të) të llogaritura duke përdorur ekuacionin (*).

Kolona e tetë tregon devijimet në katror të vlerave teorike nga ato eksperimentale dhe përcakton shumën e devijimeve në katror. Tani mund të gjeni

Shembulli 3. Lërini të dhënat eksperimentale të dhëna në tabelë të përafrohen me një parabolë kuadratike: Gjeni vlerat më të mira të koeficientëve të parabolës duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël.

Zgjidhje.

Sistemi i ekuacioneve lineare për përcaktimin e koeficientëve të parabolës ka formën:

Nga rreshti i fundit i tabelës, shumat përkatëse zëvendësohen në sistemin e ekuacioneve:

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve na lejon të përcaktojmë vlerat e koeficientëve:

Pra, varësia nga segmenti i specifikuar nga tabela përafrohet me një parabolë kuadratike:

Llogaritja duke përdorur formulën e dhënë për vlerat e dhëna të argumentit ju lejon të formoni kolonën e nëntë të tabelës, që përmban vlerat teorike të funksionit.

Shuma e devijimeve në katror të vlerave teorike nga ato eksperimentale është dhënë në rreshtin e fundit të kolonës së 11-të të tabelës. Kjo ju lejon të përcaktoni devijimi standard:

MËSIM PRAKTIK Nr. 3

Tema: Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Metoda e Gausit - metoda e përjashtimit sekuencial të të panjohurave - i përket grupit metoda të sakta dhe nëse nuk do të kishte gabime në llogaritje, mund të merrej një zgjidhje e saktë.

Kur kryeni llogaritjet manuale, këshillohet që të bëni llogaritjet në një tabelë që përmban një kolonë kontrolli. Më poshtë është një version i përgjithshëm i një tabele të tillë për zgjidhjen e një sistemi të ekuacioneve lineare të rendit të katërt.

				Anëtarë të lirë	Kolona e kontrollit

				Anëtarë të lirë	Kolona e kontrollit

Shembulli 1. Duke përdorur metodën e Gausit, zgjidhni sistemin e ekuacioneve të rendit të katërt:

Këto vlera të përafërta të rrënjëve mund të zëvendësohen në sistemin origjinal të ekuacioneve dhe të llogariten mbetjet - , cilat janë ndryshimet midis anës së djathtë dhe të majtë të secilit ekuacion të sistemit kur zëvendësohen rrënjët e gjetura në anën e majtë. Më pas ato zëvendësohen si kushte të lira të sistemit të mbetur dhe marrin amendamentet

rrënjët -:

Kapitulli i mëparshëm diskutoi në detaje një nga metodat më të zakonshme të përafrimit të funksioneve - interpolimin. Por kjo metodë nuk është e vetmja. Gjatë zgjidhjes së problemeve të ndryshme të aplikuara dhe ndërtimit të qarqeve llogaritëse, shpesh përdoren metoda të tjera. Në këtë kapitull do të shqyrtojmë mënyrat për të përftuar përafrimet e mesatares së katrorit. Emri i përafrimeve shoqërohet me hapësirat metrike në të cilat merret parasysh problemi i përafrimit të një funksioni. Në kapitullin 1, ne prezantuam konceptet e "hapësirës metrike lineare të normuar" dhe "hapësirës metrike euklidiane" dhe pamë se gabimi i përafrimit përcaktohet nga metrika e hapësirës në të cilën merret në konsideratë problemi i përafrimit. Në hapësira të ndryshme, koncepti i gabimit ka kuptime të ndryshme. Kur kemi marrë parasysh gabimin e interpolimit, ne nuk jemi fokusuar në këtë. Dhe në këtë kapitull do të duhet të merremi me këtë çështje në mënyrë më të detajuar.

5.1. Përafrimet nga polinomet trigonometrike dhe polinomet e Lezhandrit Hapësira l2

Le të shqyrtojmë grupin e funksioneve që janë katrore Lebesgue të integrueshme në interval
, pra i tillë që integrali duhet të ekzistojë
.

Meqenëse qëndron pabarazia e dukshme, nga integrueshmëria me katrorin e funksioneve
Dhe
çdo kombinim linear i tyre duhet gjithashtu të jetë katror i integrueshëm
, (ku
Dhe
 çdo numër real), si dhe integrueshmërinë e produktit
.

Le të prezantojmë në grupin e funksioneve që janë katrore të integrueshme në kuptimin e Lebesgue në interval
, funksionimi skalar i produktit

. (5.1.1)

Nga vetitë e integralit rezulton se funksionimi i paraqitur i produktit skalar ka pothuajse të gjitha vetitë e produktit skalar në hapësirën Euklidiane (shih paragrafin 1.10, f. 57):

Vetëm prona e parë nuk është e plotësuar plotësisht, pra kushti nuk do të plotësohet.

Në fakt, nëse
, atëherë kjo nuk pason
në segment
. Në mënyrë që operacioni i prezantuar të ketë këtë veti, në të ardhmen do të biem dakord që të mos i dallojmë (konsiderojmë ekuivalente) funksionet
Dhe
, per cilin

.

Duke marrë parasysh vërejtjen e fundit, jemi të bindur se bashkësia e funksioneve të integrueshme katrore Lebesgue (më saktë, bashkësia e klasave të funksioneve ekuivalente) formon një hapësirë ​​Euklidiane në të cilën operacioni i produktit skalar përcaktohet me formulën (5.1.1). Kjo hapësirë ​​quhet hapësira Lebesgue dhe shënohet
ose më të shkurtër .

Meqenëse çdo hapësirë ​​Euklidiane është automatikisht e normuar dhe metrike, hapësira
është gjithashtu një hapësirë ​​e normuar dhe metrike. Norma (madhësia e elementit) dhe metrika (distanca midis elementeve) zakonisht futen në të në mënyrën standarde:

(5.1.2)

(5.1.3)

Vetitë (aksiomat) e normës dhe metrikës janë dhënë në seksionin 1.10. Elementet e hapësirës
nuk janë funksione, por klasa funksionesh ekuivalente. Funksionet që i përkasin të njëjtës klasë mund të kenë vlera të ndryshme në çdo nënbashkësi të fundme apo edhe të numërueshme
. Prandaj, përafrimet në hapësirë
përcaktohen në mënyrë të paqartë. Kjo veçori e pakëndshme e hapësirës
shpaguhet për shkak të komoditetit të përdorimit të produktit skalar.

Për të zbutur funksionet diskrete të Altman-it dhe për të futur në këtë mënyrë idenë e vazhdimësisë në teori, u përdor përafrimi integral rrënjë-mesatar-katror nga një polinom i shkallëve të ndryshme.

Dihet se një sekuencë polinomesh interpolimi në nyje të barabarta nuk konvergojnë domosdoshmërisht në një funksion, edhe nëse funksioni është pafundësisht i diferencueshëm. Për funksionin e përafërt, duke përdorur një rregullim të përshtatshëm të nyjeve, është e mundur të zvogëlohet shkalla e polinomit. . Struktura e funksioneve Altman është e tillë që është më e përshtatshme të përdoret përafrimi i funksionit jo me interpolim, por duke ndërtuar përafrimin mesatar katror më të mirë në një hapësirë ​​lineare të normalizuar. Le të shqyrtojmë konceptet dhe informacionin bazë kur ndërtojmë përafrimin më të mirë. Problemet e përafrimit dhe optimizimit shtrohen në hapësira të normuara lineare.

Hapësirat e normuara metrike dhe lineare

Konceptet më të gjera në matematikë përfshijnë "bashkë" dhe "hartë". Konceptet e "grupit", "bashkësisë", "koleksionit", "familjes", "sistemit", "klasës" në teorinë jo strikte të grupeve konsiderohen sinonime.

Termi "operator" është identik me termin "hartë". Termat “operacion”, “funksion”, “funksional”, “masë” janë raste të veçanta të konceptit “hartë”.

Termat "strukturë" dhe "hapësirë" kanë marrë gjithashtu një rëndësi themelore në ndërtimin aksiomatik të teorive matematikore. Strukturat matematikore përfshijnë strukturat teorike të grupeve (bashkësi të renditura dhe pjesërisht të renditura); strukturat abstrakte algjebrike (gjysmëgrupe, grupe, unaza, unaza ndarëse, fusha, algjebra, grila); strukturat diferenciale (format diferenciale të jashtme, hapësirat me fibra) , , , , , , .

Një strukturë kuptohet si një grup i kufizuar i përbërë nga grupe të një bartësi (bashkësia kryesore), një fushë numerike (bashkësi ndihmëse) dhe një hartë e përcaktuar në elementët e bartësit dhe numrat e fushës. Nëse grupi i numrave kompleks merret si bartës, atëherë ai luan rolin e grupeve kryesore dhe ndihmëse. Termi "strukturë" është identik me konceptin "hapësirë".

Për të përcaktuar një hapësirë, së pari duhet të përcaktoni një grup bartës me elementet (pikat) e tij, të shënuara me shkronja latine dhe greke

Bartësi mund të jetë një grup elementesh reale (ose komplekse): numra; vektorë, ; Matricat, ; Sekuenca, ; Funksione;

Si elemente të bartësit mund të veprojnë edhe grupet e mëposhtme: boshti real, plani, hapësira tredimensionale (dhe shumëdimensionale), ndërrimi, lëvizja; grupe abstrakte.

Përkufizimi. Një hapësirë ​​metrike është një strukturë që formon një treshe, ku pasqyrimi është një funksion real jo-negativ i dy argumenteve për çdo x dhe y nga M dhe plotëson tre aksioma.

• 1- jonegativiteti; , në.
• 2- - simetri;
• 3- - aksioma e refleksivitetit.

ku janë distancat ndërmjet elementeve.

Në hapësirën metrike, specifikohet një metrikë dhe formohet koncepti i afërsisë së dy elementeve nga bashkësia e bartësit.

Përkufizimi. Një hapësirë ​​reale lineare (vektoriale) është një strukturë ku hartëzimi është operacioni shtesë i shtimit të elementeve që i përkasin, dhe hartëzimi është operacioni i shumëzimit të një numri me një element nga.

Operacioni do të thotë që për çdo dy element një element i tretë është i përcaktuar në mënyrë unike, i quajtur shuma e tyre dhe shënohet me, dhe aksiomat e mëposhtme janë të vlefshme.

Veti komutative.

Veti asociative.

Në ka një element të veçantë, i shënuar me të tillë që për cilindo që mban.

për këdo ekziston, i tillë që.

Elementi quhet i kundërt dhe shënohet përmes.

Operacioni do të thotë që për çdo element dhe çdo numër një element përcaktohet, shënohet me dhe aksiomat plotësohen:

Një element (pik) i një hapësire lineare quhet gjithashtu vektor. Aksiomat 1 - 4 përcaktojnë një grup (shtesë), të quajtur modul, i cili është një strukturë.

Nëse një veprim në një strukturë nuk i bindet asnjë aksiome, atëherë një strukturë e tillë quhet grupoid. Kjo strukturë është jashtëzakonisht e varfër; nuk përmban asnjë aksiomë të asociativitetit, atëherë struktura quhet monoid (gjysmëgrup).

Në strukturë, duke përdorur hartëzimin dhe aksiomat 1-8, specifikohet vetia e linearitetit.

Pra, një hapësirë ​​lineare është një modul grupi, në strukturën e të cilit shtohet një operacion tjetër - duke shumëzuar elementët e bartësit me një numër me 4 aksioma. Nëse, në vend të operacionit, specifikojmë, së bashku me një operacion tjetër grupor të shumëzimit të elementeve me 4 aksioma dhe postulojmë aksiomën e shpërndarjes, atëherë lind një strukturë e quajtur fushë.

Përkufizimi. Një hapësirë ​​e normuar lineare është një strukturë në të cilën hartëzimi plotëson aksiomat e mëposhtme:

• 1. dhe nëse dhe vetëm nëse.
• 2. , .
• 3. , .

Dhe kështu me radhë në një total prej 11 aksiomash.

Për shembull, nëse në strukturën e fushës së numrave realë i shtohet një modul që ka të tre vetitë e normës, ku janë numrat realë, atëherë fusha e numrave realë bëhet një hapësirë ​​e normuar.

Ka dy mënyra të zakonshme për të futur normën: ose duke specifikuar në mënyrë eksplicite formën e intervalit të funksionalit homogjen konveks, ose duke specifikuar produktin skalar, .

Le, atëherë lloji i funksionalit mund të specifikohet në mënyra të panumërta, duke ndryshuar vlerën:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Mënyra e dytë e zakonshme për t'iu qasur detyrës është futja e një harte tjetër në strukturën e hapësirës (një funksion i dy argumenteve, që zakonisht shënohet dhe quhet produkt skalar).

Përkufizimi. Hapësira euklidiane është një strukturë në të cilën produkti skalar përmban një normë dhe plotëson aksiomat:

• 4. , dhe nëse dhe vetëm nëse

Në hapësirën Euklidiane, norma gjenerohet nga formula

Nga vetitë 1 - 4 të produktit skalar rezulton se plotësohen të gjitha aksiomat e normës. Nëse produkti skalar është në formë, atëherë norma do të llogaritet duke përdorur formulën

Norma e një hapësire nuk mund të specifikohet duke përdorur produktin skalar, .

Në hapësirat me prodhim skalar shfaqen cilësi të tilla që mungojnë në hapësirat e normuara lineare (ortogonaliteti i elementeve, barazia e paralelogramit, teorema e Pitagorës, identiteti i Apollonit, pabarazia e Ptolemeut. Prezantimi i një produkti skalar ofron mënyra për të zgjidhur në mënyrë më efektive përafrimin probleme.

Përkufizimi. Një sekuencë e pafundme elementësh në një hapësirë ​​të normuar lineare quhet normë-konvergjente (thjesht konvergjente ose që ka një kufi në) nëse ekziston një element i tillë që për cilindo ka një numër në varësi të tillë që për

Përkufizimi. Një sekuencë e elementeve në quhet themelore nëse për ndonjë ka një numër në varësi të asaj që janë të kënaqur (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, f. 48)

Përkufizimi. Një hapësirë ​​Banach është një strukturë në të cilën çdo sekuencë themelore konvergon në lidhje me normën.

Përkufizimi. Hapësira Hilbert është një strukturë në të cilën çdo sekuencë themelore konvergon në lidhje me normën e krijuar nga produkti skalar.

Le të marrim një sistem koordinativ gjysmë kuadratik. Ky është një sistem koordinativ në të cilin shkalla në boshtin e abshisave është kuadratike, d.m.th., vlerat e ndarjeve vizatohen sipas shprehjes, këtu m - shkallë në disa njësi gjatësie, për shembull, në cm.

Një shkallë lineare vizatohet përgjatë boshtit të ordinatave në përputhje me shprehjen

Le të vizatojmë pikat eksperimentale në këtë sistem koordinativ. Nëse pikat e këtij grafiku ndodhen afërsisht në një vijë të drejtë, atëherë kjo konfirmon supozimin tonë se varësia y nga x shprehet mirë me një funksion të formës (4.4). Për të gjetur koeficientët a Dhe b Tani mund të aplikoni një nga metodat e diskutuara më sipër: metodën e fillit të shtrirë, metodën e pikave të zgjedhura ose metodën mesatare.

Metoda e fijes së ngushtë zbatohet në të njëjtën mënyrë si për një funksion linear.

Metoda e pikave të zgjedhura ne mund ta zbatojmë kështu. Në një grafik drejtvizor, merrni dy pika (larg nga njëra-tjetra). Ne shënojmë koordinatat e këtyre pikave dhe ( x, y). Atëherë mund të shkruajmë

Nga sistemi i dhënë i dy ekuacioneve gjejmë a Dhe b dhe zëvendësojini ato në formulën (4.4) dhe merrni formën përfundimtare të formulës empirike.

Ju nuk keni nevojë të ndërtoni një grafik drejtvizor, por merrni numrat, ( x, y) direkt nga tabela. Megjithatë, formula e marrë me këtë zgjedhje pikash do të jetë më pak e saktë.

Procesi i konvertimit të një grafiku të lakuar në një grafik të drejtë quhet rrafshim.

Metoda e mesme. Zbatohet në të njëjtën mënyrë si në rastin e varësisë lineare. Pikat eksperimentale i ndajmë në dy grupe me numër të njëjtë (ose pothuajse të njëjtë) pikësh në secilin grup. Ne e rishkruajmë barazinë (4.4) si më poshtë

Gjejmë shumën e mbetjeve për pikët e grupit të parë dhe i barazojmë me zero. Të njëjtën gjë bëjmë edhe për pikët e grupit të dytë. Marrim dy ekuacione me të panjohura a Dhe b. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve, gjejmë a Dhe b.

Vini re se kur përdorni këtë metodë nuk është e nevojshme të ndërtoni një vijë të drejtë të përafërt. Një grafik shpërndarës në një sistem koordinativ gjysmë kuadratik nevojitet vetëm për të verifikuar nëse një funksion i formës (4.4) është i përshtatshëm për formulën empirike.

Shembull. Gjatë studimit të ndikimit të temperaturës në funksionimin e kronometrit, u morën rezultatet e mëposhtme:

Në këtë rast, ne nuk jemi të interesuar për vetë temperaturën, por për devijimin e saj nga . Prandaj, marrim si argument, ku t– temperatura në gradë Celsius në shkallën e zakonshme.

Pas vizatimit të pikave përkatëse në sistemin e koordinatave karteziane, vërejmë se një parabolë me bosht paralel me boshtin e ordinatave mund të merret si një kurbë e përafërt (Fig. 4). Le të marrim një sistem koordinativ gjysmë kuadratik dhe të vizatojmë pikat eksperimentale mbi të. Shohim që këto pika përshtaten mjaft mirë në vijën e drejtë. Pra, formula empirike

mund të kërkohet në formën (4.4).

Le të përcaktojmë koeficientët a Dhe b duke përdorur metodën mesatare. Për ta bërë këtë, ne i ndajmë pikat eksperimentale në dy grupe: në grupin e parë - tre pikat e para, në të dytin - katër pikat e mbetura. Duke përdorur barazinë (4.5), gjejmë shumën e mbetjeve për secilin grup dhe çdo shumë e barazojmë me zero.