Studentët dhe nxënësit e shkollës - ndihmë në studimet e tyre. Koncepti i një serie variacioni. Llojet e serive të variacioneve Seritë e variacioneve të dhëna

Metoda e grupimit ju lejon gjithashtu të matni variacion(ndryshueshmëria, luhatja) e shenjave. Kur numri i njësive në një popullsi është relativisht i vogël, variacioni matet bazuar në numrin e renditur të njësive që përbëjnë popullsinë. Seriali quhet të renditur, nëse njësitë janë të renditura në rend rritës (zbritës) të karakteristikës.

Megjithatë, seritë e renditura janë mjaft indikative kur nevojitet një karakteristikë krahasuese e variacionit. Për më tepër, në shumë raste kemi të bëjmë me popullata statistikore të përbëra nga një numër i madh njësish, të cilat praktikisht janë të vështira për t'u paraqitur në formën e një serie specifike. Në këtë drejtim, për një njohje fillestare të përgjithshme me të dhënat statistikore dhe veçanërisht për të lehtësuar studimin e variacionit në karakteristika, dukuritë dhe proceset në studim kombinohen zakonisht në grupe dhe rezultatet e grupimit paraqiten në formën e tabelave në grup.

Nëse një tabelë grupi ka vetëm dy kolona - grupe sipas një karakteristike të zgjedhur (opsione) dhe numrit të grupeve (frekuenca ose frekuenca), quhet afër shpërndarjes.

Gama e shpërndarjes - lloji më i thjeshtë i grupimit strukturor bazuar në një karakteristikë, i paraqitur në një tabelë grupi me dy kolona që përmbajnë variante dhe frekuenca të karakteristikës. Në shumë raste, me një grupim të tillë strukturor, d.m.th. Me përpilimin e serive të shpërndarjes fillon studimi i materialit fillestar statistikor.

Një grupim strukturor në formën e një serie shpërndarjeje mund të shndërrohet në një grupim të mirëfilltë strukturor nëse grupet e përzgjedhura karakterizohen jo vetëm nga frekuencat, por edhe nga tregues të tjerë statistikorë. Qëllimi kryesor i serive të shpërndarjes është të studiojë ndryshimin e karakteristikave. Teoria e serive të shpërndarjes është zhvilluar në detaje nga statistikat matematikore.

Seritë e shpërndarjes ndahen në atributiv(grupimi sipas karakteristikave atributive, për shembull, ndarja e popullsisë sipas gjinisë, kombësisë, statusit martesor, etj.) dhe variacionale(grupimi sipas karakteristikave sasiore).

Seritë e variacioneveështë një tabelë grupore që përmban dy kolona: grupimin e njësive sipas një karakteristike sasiore dhe numrin e njësive në secilin grup. Intervalet në seritë e variacioneve zakonisht formohen të barabarta dhe të mbyllura. Seria e variacioneve është grupimi i mëposhtëm i popullsisë ruse sipas të ardhurave monetare mesatare për frymë (Tabela 3.10).

Tabela 3.10

Shpërndarja e popullsisë së Rusisë sipas të ardhurave mesatare për frymë në 2004-2009.

Grupet e popullsisë sipas të ardhurave mesatare për frymë në para, rubla/muaj	Popullsia në grup, % e totalit
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Mbi 25,000.0
E gjithë popullsia

Seritë e variacioneve, nga ana tjetër, ndahen në diskrete dhe intervale. Diskret seritë e variacioneve kombinojnë variante të karakteristikave diskrete që ndryshojnë brenda kufijve të ngushtë. Një shembull i një serie variacionesh diskrete është shpërndarja e familjeve ruse sipas numrit të fëmijëve që kanë.

Intervali seritë e variacioneve kombinojnë variante ose të karakteristikave të vazhdueshme ose të karakteristikave diskrete që ndryshojnë në një gamë të gjerë. Intervali është seria e variacionit të shpërndarjes së popullsisë ruse sipas të ardhurave monetare mesatare për frymë.

Seritë e variacioneve diskrete nuk përdoren shumë shpesh në praktikë. Ndërkohë, përpilimi i tyre nuk është i vështirë, pasi përbërja e grupeve përcaktohet nga variantet specifike që posedojnë realisht karakteristikat e grupimit të studiuar.

Seritë e variacioneve të intervalit janë më të përhapura. Gjatë përpilimit të tyre, lind një pyetje e vështirë për numrin e grupeve, si dhe për madhësinë e intervaleve që duhet të vendosen.

Parimet për zgjidhjen e kësaj çështjeje janë përcaktuar në kapitullin e metodologjisë për ndërtimin e grupimeve statistikore (shih paragrafin 3.3).

Seritë e variacioneve janë një mjet për të shembur ose kompresuar informacione të ndryshme në një formë kompakte; prej tyre mund të bëhet një gjykim mjaft i qartë për natyrën e variacionit dhe të studiohen ndryshimet në karakteristikat e fenomeneve të përfshira në grupin në studim. Por rëndësia më e rëndësishme e serive të variacioneve është se mbi bazën e tyre llogariten karakteristikat e veçanta të përgjithësimit të variacionit (shih Kapitullin 7).

Grupimi- kjo është ndarja e një popullsie në grupe që janë homogjene sipas disa karakteristikave.

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur kalkulatorin online mund të:

• ndërtoni një seri variacionesh, të ndërtojë një histogram dhe shumëkëndësh;
• gjeni treguesit e variacionit (mesatarja, modaliteti (përfshirë grafikisht), mesatarja, diapazoni i variacionit, kuartilët, decilat, koeficienti i diferencimit të kuartilit, koeficienti i variacionit dhe tregues të tjerë);

Udhëzimet. Për të grupuar një seri, duhet të zgjidhni llojin e serisë së variacionit të marrë (diskrete ose interval) dhe të tregoni sasinë e të dhënave (numrin e rreshtave). Zgjidhja që rezulton ruhet në një skedar Word (shih shembullin e grupimit të të dhënave statistikore).

Nëse grupimi tashmë është kryer dhe seri variacione diskrete ose seri intervali, atëherë duhet të përdorni kalkulatorin online Indekset e variacionit. Testimi i hipotezës për llojin e shpërndarjes kryhet duke përdorur shërbimin Studimi i formularit të shpërndarjes.

Llojet e grupimeve statistikore

Seritë e variacioneve. Në rastin e vëzhgimeve të një ndryshoreje të rastësishme diskrete, e njëjta vlerë mund të haset disa herë. Vlerat e tilla x i të një ndryshoreje të rastësishme regjistrohen duke treguar n i numrin e herëve që shfaqet në n vëzhgime, kjo është frekuenca e kësaj vlere.
Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, grupimi përdoret në praktikë.

1. Grupimi tipologjik- kjo është ndarja e popullsisë heterogjene cilësore në studim në klasa, lloje socio-ekonomike, grupe homogjene të njësive. Për të ndërtuar këtë grupim, përdorni parametrin e serisë së variacionit diskret.
2. Një grupim quhet strukturor, në të cilën një popullsi homogjene ndahet në grupe që karakterizojnë strukturën e saj sipas disa karakteristikave të ndryshme. Për të ndërtuar këtë grupim, përdorni parametrin e serisë Interval.
3. Një grupim që zbulon marrëdhëniet midis dukurive që studiohen dhe karakteristikave të tyre quhet grup analitik(shih grupimin analitik të serive).

Shembulli nr. 1. Bazuar në të dhënat në tabelën 2, ndërtoni seritë e shpërndarjes për 40 banka tregtare të Federatës Ruse. Duke përdorur serinë e shpërndarjes që rezulton, përcaktoni: fitimin mesatarisht për bankë tregtare, investimet në kredi mesatarisht për bankë tregtare, vlerën modale dhe mesatare të fitimit; kuartilët, decilat, diapazoni i variacionit, devijimi mesatar linear, devijimi standard, koeficienti i variacionit.

Zgjidhje:
Në kapitull "Lloji i serive statistikore" zgjidhni Seritë diskrete. Kliko Insert nga Excel. Numri i grupeve: sipas formulës Sturgess

Parimet për ndërtimin e grupimeve statistikore

Një seri vëzhgimesh të renditura në rend rritës quhet seri variacionesh . Karakteristika e grupimitështë një karakteristikë me të cilën një popullsi ndahet në grupe të veçanta. Ajo quhet baza e grupit. Grupimi mund të bazohet në karakteristikat sasiore dhe cilësore.
Pas përcaktimit të bazës së grupimit, duhet vendosur çështja e numrit të grupeve në të cilat duhet të ndahet popullsia në studim.

Kur përdorni kompjuterë personalë për të përpunuar të dhëna statistikore, grupimi i njësive të objektit kryhet duke përdorur procedura standarde.
Një procedurë e tillë bazohet në përdorimin e formulës Sturgess për të përcaktuar numrin optimal të grupeve:

k = 1+3,322*log(N)

Ku k është numri i grupeve, N është numri i njësive të popullsisë.

Gjatësia e intervaleve të pjesshme llogaritet si h=(x max -x min)/k

Më pas numërohet numri i vëzhgimeve që bien në këto intervale, të cilat merren si frekuenca n i. Pak frekuenca, vlerat e të cilave janë më pak se 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
Vlerat e mesme të intervaleve x i =(c i-1 +c i)/2 merren si vlera të reja.

Shembulli nr. 3. Si rezultat i një kampioni të rastësishëm prej 5%, u mor shpërndarja e mëposhtme e produkteve sipas përmbajtjes së lagështisë. Llogaritni: 1) përqindjen mesatare të lagështisë; 2) tregues që karakterizojnë ndryshimet e lagështisë.
Zgjidhja është marrë duke përdorur një kalkulator: Shembulli nr. 1

Ndërtoni një seri variacionesh. Bazuar në serinë e gjetur, ndërtoni një poligon të shpërndarjes, histogram dhe kumuloni. Përcaktoni mënyrën dhe mesataren.
Shkarko zgjidhje

Shembull. Sipas rezultateve të vëzhgimit të mostrës (kampioni A, Shtojca):
a) bëni një seri variacionesh;
b) llogarit frekuencat relative dhe frekuencat relative të akumuluara;
c) të ndërtojë një shumëkëndësh;
d) të krijojë një funksion shpërndarjeje empirike;
e) grafikoni funksionin e shpërndarjes empirike;
f) llogarit karakteristikat numerike: mesataren aritmetike, dispersionin, devijimin standard. Zgjidhje

Bazuar në të dhënat e dhëna në Tabelën 4 (Shtojca 1) dhe që korrespondojnë me opsionin tuaj, bëni:

1. Bazuar në grupimin strukturor, ndërtoni seritë e frekuencës variacionale dhe shpërndarjes kumulative duke përdorur intervale të barabarta të mbyllura, duke marrë numrin e grupeve të barabartë me 6. Paraqisni rezultatet në formë tabele dhe paraqitni grafikisht.
2. Analizoni seritë e variacioneve të shpërndarjes duke llogaritur:
   • vlera mesatare aritmetike e karakteristikës;
   • modaliteti, mesatarja, kuartili i parë, decili i 1-rë dhe i 9-të;
   • devijimi standard;
   • koeficienti i variacionit.
3. Nxirrni përfundime.

Kërkohet: renditni seritë, ndërtoni një seri shpërndarjeje intervali, llogarisni vlerën mesatare, ndryshueshmërinë e vlerës mesatare, modalitetin dhe mesataren për serinë e renditur dhe intervalin.

Bazuar në të dhënat fillestare, ndërtoni një seri variacionesh diskrete; ta paraqesë atë në formën e tabelës statistikore dhe grafikëve statistikorë. 2). Bazuar në të dhënat fillestare, ndërtoni një seri variacionesh intervali me intervale të barabarta. Zgjidhni vetë numrin e intervaleve dhe shpjegoni këtë zgjedhje. Paraqisni seritë e variacioneve që rezulton në formën e një tabele statistikore dhe grafikëve statistikorë. Tregoni llojet e tabelave dhe grafikëve të përdorur.

Për të përcaktuar kohëzgjatjen mesatare të shërbimit ndaj klientit në një fond pensioni, numri i klientëve të të cilit është shumë i madh, u krye një anketë me 100 klientë duke përdorur një skemë kampionimi të rastësishëm jo të përsëritur. Rezultatet e anketës janë paraqitur në tabelë. Gjej:
a) kufijtë brenda të cilëve, me probabilitet 0,9946, është koha mesatare e shërbimit për të gjithë klientët e fondit të pensionit;
b) probabilitetin që pjesa e të gjithë klientëve të fondit me kohëzgjatje shërbimi më pak se 6 minuta të ndryshojë nga pjesa e klientëve të tillë në kampion jo më shumë se 10% (në vlerë absolute);
c) vëllimi i kampionimit të përsëritur, në të cilin me një probabilitet prej 0,9907 mund të thuhet se pjesa e të gjithë klientëve të fondit me një kohëzgjatje shërbimi më pak se 6 minuta ndryshon nga pjesa e klientëve të tillë në mostër me jo më shumë se 10 % (në vlerë absolute).
2. Sipas detyrës 1, duke përdorur testin X2 të Pearson, në nivelin e rëndësisë α = 0,05, provoni hipotezën se vlerë e rastësishme X – koha e shërbimit ndaj klientit – shpërndahet sipas një ligji normal. Ndërtoni një histogram të shpërndarjes empirike dhe lakores normale përkatëse në një vizatim.
Shkarko zgjidhje

Jepet një mostër prej 100 elementësh. E nevojshme:

1. Ndërtoni një seri variacionesh të renditura;
2. Gjeni kushtet maksimale dhe minimale të serisë;
3. Gjeni diapazonin e variacionit dhe numrin e intervaleve optimale për ndërtimin e një serie intervali. Gjeni gjatësinë e intervalit të serisë së intervalit;
4. Ndërtoni një seri intervali. Gjeni frekuencat e elementeve të mostrës që bien në intervalet e përbëra. Gjeni pikat e mesit të çdo intervali;
5. Ndërtoni një histogram dhe poligonin e frekuencës. Krahaso me shpërndarje normale(në mënyrë analitike dhe grafike);
6. Paraqitni funksionin empirik të shpërndarjes;
7. Llogaritni karakteristikat numerike të mostrës: mesataren e mostrës dhe momentin qendror të mostrës;
8. Llogaritni vlerat e përafërta të devijimit standard, anshmërisë dhe kurtozës (duke përdorur paketën e analizës MS Excel). Krahasoni vlerat e përafërta të llogaritura me ato të sakta (të llogaritura duke përdorur formulat MS Excel);
9. Krahasoni karakteristikat grafike të zgjedhura me ato teorike përkatëse.

Shkarko zgjidhje

Të dhënat e mëposhtme të mostrës janë të disponueshme (10% mostër, mekanike) për prodhimin e produktit dhe shumën e fitimit, milion rubla. Sipas të dhënave origjinale:
Detyra 13.1.
13.1.1. Ndërtoni një seri statistikore të shpërndarjes së ndërmarrjeve sipas masës së fitimit, duke formuar pesë grupe me intervale të barabarta. Ndërtoni grafikët e serive të shpërndarjes.
13.1.2. Llogaritni karakteristikat numerike të serisë së shpërndarjes së ndërmarrjeve sipas masës së fitimit: mesatarja aritmetike, devijimi standard, dispersioni, koeficienti i variacionit V. Nxirrni përfundime.
Detyra 13.2.
13.2.1. Përcaktoni kufijtë brenda të cilëve, me probabilitet 0,997, qëndron shuma e fitimit të një ndërmarrje në popullatën e përgjithshme.
13.2.2. Duke përdorur testin x2 të Pearson, në nivelin e rëndësisë α, provoni hipotezën se ndryshorja e rastësishme X - shuma e fitimit - shpërndahet sipas një ligji normal.
Detyra 13.3.
13.3.1. Përcaktoni koeficientët e ekuacionit të regresionit të mostrës.
13.3.2. Përcaktoni praninë dhe natyrën e korrelacionit midis kostos së produkteve të prodhuara (X) dhe shumës së fitimit për ndërmarrje (Y). Ndërtoni një vijë shpërndarjeje dhe regresioni.
13.3.3. Llogaritni koeficientin e korrelacionit linear. Duke përdorur T-testin e Studentit, provoni rëndësinë e koeficientit të korrelacionit. Nxirrni një përfundim rreth marrëdhënies së ngushtë midis faktorëve X dhe Y duke përdorur shkallën Chaddock.
Udhëzimet . Detyra 13.3 kryhet duke përdorur këtë shërbim.
Shkarko zgjidhje

Detyrë. Të dhënat e mëposhtme përfaqësojnë kohën e shpenzuar nga klientët në lidhjen e kontratave. Ndërtoni një seri variacionesh intervali të të dhënave të paraqitura, një histogram, gjeni një vlerësim të paanshëm pritje matematikore, vlerësues i variancës i njëanshëm dhe i paanshëm.

Shembull. Sipas tabelës 2:
1) Ndërtoni seritë e shpërndarjes për 40 banka tregtare të Federatës Ruse:
A) për sa i përket fitimit;
B) nga shuma e investimeve të kredisë.
2) Duke përdorur serinë e fituar të shpërndarjes, përcaktoni:
A) fitimi mesatar për bankë tregtare;
B) investimet kreditore mesatarisht për bankë tregtare;
C) vlera modale dhe mesatare e fitimit; kuartilët, decilat;
D) vlera modale dhe mesatare e investimeve të kredisë.
3) Duke përdorur rreshtat e shpërndarjes të marra në hapin 1, llogaritni:
a) diapazoni i variacionit;
b) devijimi linear mesatar;
c) devijimi standard;
d) koeficienti i variacionit.
Plotësoni llogaritjet e nevojshme në formë tabelare. Analizoni rezultatet. Nxirrni përfundime.
Vizatoni grafikët e serisë së shpërndarjes që rezulton. Përcaktoni grafikisht mënyrën dhe mesataren.

Zgjidhja:
Për të ndërtuar një grupim me intervale të barabarta, do të përdorim shërbimin Grupimi i të dhënave statistikore.

Figura 1 – Futja e parametrave

Përshkrimi i parametrave
Numri i rreshtave: numri i të dhënave hyrëse. Nëse madhësia e rreshtit është e vogël, tregoni sasinë e saj. Nëse zgjedhja është mjaft e madhe, atëherë klikoni butonin Fut nga Excel.
Numri i grupeve: 0 – numri i grupeve do të përcaktohet me formulën Sturgess.
Nëse specifikohet një numër i caktuar grupesh, specifikoni atë (për shembull, 5).
Lloji i serisë: Seri diskrete.
Niveli i rëndësisë: për shembull 0,954 . Ky parametër është vendosur për të përcaktuar intervalin e besueshmërisë së mesatares.
Mostra: Për shembull, është kryer 10% kampionim mekanik. Ne tregojmë numrin 10. Për të dhënat tona ne tregojmë 100.

Një grup objektesh ose dukurish të bashkuara nga një veçori ose veti e përbashkët e një natyre cilësore ose sasiore quhet objekt vëzhgimi .

Çdo objekt i vëzhgimit statistikor përbëhet nga elementë individualë - njësitë e vëzhgimit .

Rezultatet e vëzhgimit statistikor paraqesin informacion numerik - të dhëna . Të dhëna statistikore - ky është informacion se cilat vlera mori karakteristikat e interesit për studiuesin në popullatën statistikore.

Nëse vlerat e një karakteristike shprehen me numra, atëherë thirret karakteristika sasiore .

Nëse një shenjë karakterizon ndonjë pronë ose gjendje të elementeve të një popullsie, atëherë shenja quhet cilesi e larte .

Nëse të gjithë elementët e një popullate i nënshtrohen studimit (vëzhgimi i vazhdueshëm), atëherë popullsia statistikore quhet të përgjithshme

Nëse një pjesë e elementeve të popullatës së përgjithshme i nënshtrohet hulumtimit, atëherë quhet popullata statistikore selektive (kampionimi) . Një kampion nga një popullatë nxirret në mënyrë të rastësishme në mënyrë që secili nga n elementët në kampion të ketë një shans të barabartë për t'u përzgjedhur.

Vlerat e një ndryshimi karakteristik (ndryshojnë) kur lëvizni nga një element i popullsisë në tjetrin, prandaj në statistika quhen edhe vlera të ndryshme të një karakteristike opsione . Opsionet zakonisht shënohen me shkronja të vogla latine x, y, z.

Thirret numri serial i opsionit (vlera karakteristike). gradë . x 1 - Opsioni i parë (vlera e parë e atributit), x 2 - opsioni i 2-të (vlera e dytë e atributit), x i - opsioni i-të (vlera i-të shenjë).

Një seri vlerash atributesh (opsione) të renditura në rend rritës ose zbritës me peshën e tyre përkatëse quhet seri variacioni (seritë e shpërndarjes).

Si peshore shfaqen frekuenca ose frekuenca.

Frekuenca(m i) tregon se sa herë ndodh ky apo ai opsion (vlera e atributit) në popullatën statistikore.

Frekuenca ose frekuenca relative(w i) tregon se cila pjesë e njësive të popullsisë ka një ose një opsion tjetër. Frekuenca llogaritet si raport i frekuencës së një opsioni të caktuar me shumën e të gjitha frekuencave të serisë.

. (6.1)

Shuma e të gjitha frekuencave është 1.

. (6.2)

Seritë e variacioneve janë diskrete dhe intervale.

Seritë e variacioneve diskrete Ato zakonisht ndërtohen nëse vlerat e karakteristikës që studiohet mund të ndryshojnë nga njëra-tjetra jo më pak se një sasi e caktuar e fundme.

Në seritë e variacioneve diskrete, specifikohen vlerat e pikës së karakteristikës.

Pamja e përgjithshme e serisë së variacioneve diskrete është paraqitur në tabelën 6.1.

Tabela 6.1

ku i = 1, 2, ..., l.

Në seritë e variacionit të intervalit, në çdo interval dallohen kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të intervalit.

Diferenca midis kufijve të sipërm dhe të poshtëm të intervalit quhet ndryshim intervali ose gjatësia (vlera) e intervalit .

Vlera e intervalit të parë k 1 përcaktohet nga formula:

k 1 = a 2 - a 1;

e dyta: k 2 = a 3 - a 2; ...

e fundit: k l = a l - a l -1 .

Në përgjithësi ndryshim intervali k i llogaritet me formulën:

k i = x i (max) - x i (min) . (6.3)

Nëse një interval i ka të dy kufijtë, atëherë ai quhet mbyllur .

Intervalet e para dhe të fundit mund të jenë hapur , d.m.th. kanë vetëm një kufi.

Për shembull, intervali i parë mund të vendoset si "deri në 100", i dyti - "100-110", ..., i dyti deri në i fundit - "190-200", i fundit - "200 dhe më shumë". Natyrisht, intervali i parë nuk ka kufi të poshtëm, dhe i fundit nuk ka kufi të sipërm; të dy janë të hapur.

Shpesh, intervalet e hapura duhet të mbyllen me kusht. Për ta bërë këtë, zakonisht vlera e intervalit të parë merret e barabartë me vlerën e të dytit, dhe vlera e të fundit - me vlerën e të parafundit. Në shembullin tonë, vlera e intervalit të dytë është 110-100=10, prandaj kufiri i poshtëm i intervalit të parë do të jetë me kusht 100-10=90; vlera e intervalit të parafundit është 200-190=10, pra kufiri i sipërm i intervalit të fundit kushtimisht do të jetë 200+10=210.

Përveç kësaj, në një seri variacionesh intervali mund të ketë intervale me gjatësi të ndryshme. Nëse intervalet në një seri variacionesh kanë të njëjtën gjatësi (diferencë intervali), ato quhen të barabartë në madhësi , ndryshe - të pabarabarta në madhësi.

Kur ndërtohet një seri e variacionit të intervalit, shpesh lind problemi i zgjedhjes së madhësisë së intervaleve (diferenca e intervalit).

Për të përcaktuar madhësinë optimale të intervaleve (në rast se një seri ndërtohet me intervale të barabarta), përdorni Formula e Sturges:

, (6.4)

ku n është numri i njësive në popullatë,

x (max) dhe x (min) - vlerat më të mëdha dhe më të vogla të opsioneve të serisë.

Për të karakterizuar seritë e variacioneve, së bashku me frekuencat dhe frekuencat, përdoren frekuencat dhe frekuencat e grumbulluara.

Frekuencat e grumbulluara (frekuencat) tregoni se sa njësi të popullsisë (cila pjesë e tyre) nuk e kalojnë një vlerë të caktuar (variant) x.

Frekuencat e grumbulluara ( v i) bazuar në të dhënat e serive diskrete mund të llogariten duke përdorur formulën e mëposhtme:

. (6.5)

Për një seri variacionesh intervali, kjo është shuma e frekuencave (frekuencave) të të gjitha intervaleve që nuk e kalojnë këtë.

Një seri variacionesh diskrete mund të paraqitet grafikisht duke përdorur poligonin ose frekuencat e shpërndarjes së frekuencës.

Kur ndërtohet një poligon i shpërndarjes, vlerat e karakteristikës (variantet) vizatohen përgjatë boshtit të abshisës, dhe frekuencat ose frekuencat vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Në kryqëzimin e vlerave të atributeve dhe frekuencave (frekuencave) përkatëse, vendosen pika, të cilat, nga ana tjetër, lidhen me segmente. Vija e thyer që rezulton quhet poligon i shpërndarjes së frekuencës (frekuencës).

x k

x 2

x 1 x i

Oriz. 6.1.

Seritë e variacioneve të intervalit mund të paraqiten grafikisht duke përdorur histogramet, d.m.th. grafik me shtylla.

Kur ndërtohet një histogram, vlerat e karakteristikës që studiohet (kufijtë e intervalit) vizatohen përgjatë boshtit të abscisës.

Në rast se intervalet janë të së njëjtës madhësi, frekuencat ose frekuencat mund të vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave.

Nëse intervalet kanë madhësi të ndryshme, vlerat e densitetit të shpërndarjes absolute ose relative duhet të vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave.

Dendësia absolute- raporti i frekuencës së intervalit me madhësinë e intervalit:

; (6.6)

ku: f(a) i - dendësia absolute e intervalit të i-të;

m i - frekuenca e intervalit i-të;

k i - vlera e intervalit të i-të (ndryshimi i intervalit).

Dendësia absolute tregon se sa njësi të popullsisë ka për një interval njësi.

Dendësia relative- raporti i frekuencës së intervalit me madhësinë e intervalit:

; (6.7)

ku: f(о) i - dendësia relative e intervalit i-të;

w i - frekuenca e intervalit i-të.

Dendësia relative tregon se cila pjesë e njësive të popullsisë bie në një njësi të intervalit.

një l

a 1 x i

a 2

Të dyja seritë e variacioneve diskrete dhe ato intervale mund të përfaqësohen grafikisht në formën e kumulateve dhe ogive.

Gjatë ndërtimit grumbullohet sipas të dhënave të një serie diskrete, vlerat e karakteristikës (variantet) vizatohen përgjatë boshtit x, dhe frekuencat ose frekuencat e grumbulluara vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Në kryqëzimin e vlerave të atributit (varianteve) dhe frekuencave (frekuencave) përkatëse të akumuluara, ndërtohen pika, të cilat, nga ana tjetër, lidhen me segmente ose një kurbë. Vija e thyer (lakorja) që rezulton quhet kumulative (lakore kumulative).

Kur ndërtohen kumulimet bazuar në të dhënat nga një seri intervali, kufijtë e intervaleve vizatohen përgjatë boshtit të abshisës. Abshisat e pikave janë kufijtë e sipërm të intervaleve. Ordinatat formojnë frekuencat (frekuencat) e grumbulluara të intervaleve përkatëse. Shpesh shtohet një pikë tjetër, abshisa e së cilës është kufiri i poshtëm i intervalit të parë dhe ordinata është zero. Duke i lidhur pikat me segmente ose një kurbë, marrim një kumulim.

Ogivaështë ndërtuar në mënyrë të ngjashme me një kumulate me ndryshimin e vetëm që është se pikat që korrespondojnë me frekuencat (frekuencat) e grumbulluara vizatohen në boshtin e abshisës, dhe vlerat e karakteristikës (variantet) vizatohen në boshtin e ordinatave.

• Mësimi hyrës falas;
• Numër i madh mësues me përvojë (amtare dhe rusisht-folëse);
• Kurset NUK janë për një periudhë të caktuar (muaj, gjashtë muaj, vit), por për një numër të caktuar mësimesh (5, 10, 20, 50);
• Më shumë se 10,000 klientë të kënaqur.
• Kostoja e një mësimi me një mësues që flet rusisht është nga 600 rubla, me një folës amtare - nga 1500 rubla

Koncepti i një serie variacioni. Hapi i parë në sistemimin e materialeve të vëzhgimit statistikor është numërimi i numrit të njësive që kanë një karakteristikë të veçantë. Duke i renditur njësitë në rend rritës ose zbritës të karakteristikës së tyre sasiore dhe duke numëruar numrin e njësive me një vlerë specifike të karakteristikës, marrim një seri variacionesh. Një seri variacionesh karakterizon shpërndarjen e njësive të një popullate të caktuar statistikore sipas disa karakteristikave sasiore.

Seria e variacioneve përbëhet nga dy kolona, ​​kolona e majtë përmban vlerat e karakteristikës së ndryshme, të quajtura variante dhe të shënuara (x), dhe kolona e djathtë përmban numra absolut që tregojnë se sa herë ndodh secili variant. Treguesit në këtë kolonë quhen frekuenca dhe emërtohen (f).

Seritë e variacioneve mund të paraqiten skematikisht në formën e Tabelës 5.1:

Tabela 5.1

Lloji i serisë së variacionit

Opsionet (x)	Frekuencat (f)

Në kolonën e djathtë, mund të përdoren gjithashtu tregues relativë, duke karakterizuar pjesën e frekuencës së opsioneve individuale në shumën totale të frekuencave. Këta tregues relativë quhen frekuenca dhe në mënyrë konvencionale shënohen me , d.m.th. . Shuma e të gjitha frekuencave është e barabartë me një. Frekuencat mund të shprehen edhe në përqindje, dhe atëherë shuma e tyre do të jetë e barabartë me 100%.

Shenjat e ndryshme mund të jenë të natyrës së ndryshme. Variantet e disa karakteristikave shprehen në numra të plotë, për shembull, numri i dhomave në një apartament, numri i librave të botuar, etj. Këto shenja quhen të pandërprera ose diskrete. Variantet e karakteristikave të tjera mund të marrin çdo vlerë brenda kufijve të caktuar, si përmbushja e detyrave të planifikuara, pagat etj. Këto karakteristika quhen të vazhdueshme.

Seritë e variacioneve diskrete. Nëse variantet e serisë së variacionit shprehen në formë sasi diskrete, atëherë një seri e tillë variacion quhet diskrete; pamja e saj është paraqitur në tabelë. 5.2:

Tabela 5.2

Shpërndarja e studentëve sipas notave të provimeve

Vlerësimet (x)	Numri i studentëve (f)	Në % të totalit ()

Natyra e shpërndarjes në seri diskrete është paraqitur grafikisht në formën e një poligoni të shpërndarjes, Fig. 5.1.

Oriz. 5.1. Shpërndarja e studentëve sipas notave të marra në provim.

Seritë e variacionit të intervalit. Për karakteristikat e vazhdueshme, seritë e variacioneve ndërtohen si intervale, d.m.th. vlerat e karakteristikës në to shprehen në formën e intervaleve "nga dhe për". Në këtë rast, vlera minimale e karakteristikës në një interval të tillë quhet kufiri i poshtëm i intervalit, dhe maksimumi quhet kufiri i sipërm i intervalit.

Seritë e variacionit të intervalit ndërtohen si për karakteristikat e ndërprera (diskrete) ashtu edhe për ato që ndryshojnë në një gamë të madhe. Rreshtat e intervalit mund të jenë me intervale të barabarta ose të pabarabarta. Në praktikën ekonomike, përdoren intervalet më të pabarabarta, në rritje ose në rënie progresive. Kjo nevojë lind veçanërisht në rastet kur luhatja e një karakteristike ndodh në mënyrë të pabarabartë dhe brenda kufijve të mëdhenj.

Le të shqyrtojmë llojin e serive të intervalit me intervale të barabarta, tabelë. 5.3:

Tabela 5.3

Shpërndarja e punëtorëve sipas prodhimit

Prodhimi, t.r. (X)	Numri i punëtorëve (f)	Frekuenca kumulative (f´)

Seria e shpërndarjes së intervalit është paraqitur grafikisht në formën e një histogrami, Fig. 5.2.

Fig.5.2. Shpërndarja e punëtorëve sipas prodhimit

Frekuenca e grumbulluar (kumulative). Në praktikë, ekziston nevoja për të transformuar seritë e shpërndarjes në seri kumulative, ndërtuar sipas frekuencave të grumbulluara. Me ndihmën e tyre, ju mund të përcaktoni mesataret strukturore që lehtësojnë analizën e të dhënave të serive të shpërndarjes.

Frekuencat kumulative përcaktohen duke shtuar në mënyrë sekuenciale frekuencat (ose frekuencat) e grupit të parë këta tregues të grupeve pasuese të serisë së shpërndarjes. Për të ilustruar seritë e shpërndarjes përdoren kumulat dhe gjigantët. Për t'i ndërtuar ato, vlerat e karakteristikës diskrete (ose skajet e intervaleve) shënohen në boshtin e abshisave, dhe totalet kumulative të frekuencave (kumulat) shënohen në boshtin e ordinatave, Fig. 5.3.

Oriz. 5.3. Shpërndarja kumulative e punëtorëve sipas prodhimit

Nëse shkallët e frekuencave dhe opsioneve janë të kundërta, d.m.th. boshti i abshisave pasqyron frekuencat e grumbulluara, dhe boshti i ordinatave tregon vlerat e varianteve, atëherë kurba që karakterizon ndryshimin e frekuencave nga grupi në grup do të quhet ogjiva e shpërndarjes, Fig. 5.4.

Oriz. 5.4. Ogiva e shpërndarjes së punëtorëve sipas prodhimit

Seritë e variacioneve me intervale të barabarta ofrojnë një nga kërkesat më të rëndësishme për seritë e shpërndarjes statistikore, duke siguruar krahasueshmërinë e tyre në kohë dhe hapësirë.

Dendësia e shpërndarjes. Megjithatë, frekuencat e intervaleve individuale të pabarabarta në seritë e përmendura nuk janë drejtpërdrejt të krahasueshme. Në raste të tilla, për të siguruar krahasueshmërinë e nevojshme, llogaritet densiteti i shpërndarjes, d.m.th. përcaktoni se sa njësi në secilin grup janë për njësi të vlerës së intervalit.

Kur ndërtohet një grafik i shpërndarjes së një serie variacionesh me intervale të pabarabarta, lartësia e drejtkëndëshave përcaktohet në përpjesëtim jo me frekuencat, por me treguesit e densitetit të shpërndarjes së vlerave të karakteristikës që studiohet në ato përkatëse. intervale.

Hartimi i një serie variacionesh dhe paraqitja grafike e saj është hapi i parë në përpunimin e të dhënave fillestare dhe faza e parë në analizën e popullsisë që studiohet. Hapi tjetër në analizën e serive të variacionit është përcaktimi i treguesve kryesorë të përgjithshëm, të quajtur karakteristikat e serisë. Këto karakteristika duhet të japin një ide për vlerën mesatare të karakteristikës midis njësive të popullsisë.

vlera mesatare. Vlera mesatare është një karakteristikë e përgjithësuar e karakteristikës që studiohet në popullsinë në studim, duke pasqyruar nivelin e saj tipik për njësi të popullsisë në kushte specifike të vendit dhe kohës.

Vlera mesatare emërtohet gjithmonë dhe ka të njëjtin dimension me karakteristikat e njësive individuale të popullsisë.

Përpara llogaritjes së vlerave mesatare, është e nevojshme të grupohen njësitë e popullsisë në studim, duke identifikuar grupet cilësore homogjene.

Mesatarja e llogaritur për popullsinë në tërësi quhet mesatare e përgjithshme, dhe për secilin grup - mesataret e grupit.

Ekzistojnë dy lloje mesataresh: fuqia (mesatarja aritmetike, mesatare harmonike, mesatare gjeometrike, mesatare kuadratike); strukturore (mode, mediane, kuartilale, decila).

Zgjedhja e mesatares për llogaritjen varet nga qëllimi.

Llojet e mesatareve të fuqisë dhe metodat për llogaritjen e tyre. Në praktikën e përpunimit statistikor të materialit të grumbulluar lindin probleme të ndryshme, zgjidhja e të cilave kërkon mesatare të ndryshme.

Statistikat matematikore nxjerrin mesatare të ndryshme nga formulat e mesatares së fuqisë:

ku është vlera mesatare; x – opsionet individuale (vlerat e veçorive); z – eksponent (me z = 1 – mesatare aritmetike, z = 0 mesatare gjeometrike, z = - 1 – mesatare harmonike, z = 2 – mesatare katrore).

Sidoqoftë, çështja se çfarë lloji i mesatares duhet të zbatohet në secilin rast individual zgjidhet me analiza specifike popullsia që studiohet.

Lloji më i zakonshëm i mesatares në statistika është mesatare aritmetike. Ai llogaritet në rastet kur vëllimi i karakteristikës mesatare formohet si shuma e vlerave të saj për njësitë individuale të popullsisë statistikore që studiohet.

Në varësi të natyrës së të dhënave burimore, mesatarja aritmetike përcaktohet në mënyra të ndryshme:

Nëse të dhënat nuk janë të grupuara, atëherë llogaritja kryhet duke përdorur formulën e thjeshtë mesatare

Llogaritja e mesatares aritmetike në një seri diskrete ndodh sipas formulës 3.4.

Llogaritja e mesatares aritmetike në një seri intervali. Në një seri variacionesh intervali, ku vlera e një karakteristike në secilin grup merret në mënyrë konvencionale si mesi i intervalit, mesatarja aritmetike mund të ndryshojë nga mesatarja e llogaritur nga të dhënat e pagrupuara. Për më tepër, sa më i madh të jetë intervali në grupe, aq më të mëdha janë devijimet e mundshme të mesatares së llogaritur nga të dhënat e grupuara nga mesatarja e llogaritur nga të dhënat e pagrupuara.

Kur llogaritet mesatarja në një seri variacionesh intervali, për të kryer llogaritjet e nevojshme, kalohet nga intervalet në pikat e mesit të tyre. Dhe më pas mesatarja llogaritet duke përdorur formulën mesatare aritmetike të ponderuar.

Vetitë e mesatares aritmetike. Mesatarja aritmetike ka disa veti që bëjnë të mundur thjeshtimin e llogaritjeve; le t'i shqyrtojmë ato.

1. Mesatarja aritmetike e numrave konstante është e barabartë me këtë numër konstante.

Nëse x = a. Pastaj .

2. Nëse peshat e të gjitha opsioneve ndryshohen proporcionalisht, d.m.th. rritet ose zvogëlohet me të njëjtin numër herë, atëherë mesatarja aritmetike e serisë së re nuk do të ndryshojë.

Nëse të gjitha peshat f zvogëlohen me k herë, atëherë .

3. Shuma e devijimeve pozitive dhe negative të opsioneve individuale nga mesatarja, shumëzuar me peshat, është e barabartë me zero, d.m.th.

Nese atehere. Nga këtu.

Nëse të gjitha opsionet zvogëlohen ose rriten me ndonjë numër, atëherë mesatarja aritmetike e serisë së re do të ulet ose rritet me të njëjtën sasi.

Le të reduktojmë të gjitha opsionet x në a, d.m.th. x´ = x– a.

Pastaj

Mesatarja aritmetike e serisë origjinale mund të merret duke i shtuar mesatares së reduktuar numrin e zbritur më parë nga opsionet a, d.m.th. .

5. Nëse të gjitha opsionet zvogëlohen ose rriten në k herë, atëherë mesatarja aritmetike e serisë së re do të zvogëlohet ose rritet me të njëjtën sasi, d.m.th. V k një herë.

Le të jetë atëherë .

Prandaj, d.m.th. për të marrë mesataren e serisë origjinale, mesatarja aritmetike e serisë së re (me opsione të reduktuara) duhet të rritet me k një herë.

Mesatarja harmonike. Mesatarja harmonike është reciproke e mesatares aritmetike. Përdoret kur informacion statistikor nuk përmban frekuenca për variante individuale të popullatës, por paraqitet si prodhim i tyre (M = xf). Mesatarja harmonike do të llogaritet duke përdorur formulën 3.5

Zbatimi praktik i mesatares harmonike është llogaritja e disa indekseve, në veçanti, indeksi i çmimeve.

Mesatarja gjeometrike. Kur përdorni mesataren gjeometrike, vlerat individuale të një karakteristike janë, si rregull, vlera relative të dinamikës, të ndërtuara në formën e vlerave të zinxhirit, si një raport me nivelin e mëparshëm të secilit nivel në një seri dinamikash. Mesatarja karakterizon kështu normën mesatare të rritjes.

Vlera mesatare gjeometrike përdoret gjithashtu për të përcaktuar vlerën e baraslarguar nga vlerat maksimale dhe minimale të karakteristikës. Për shembull, Kompania e sigurimeve lidh kontrata për ofrimin e shërbimeve të sigurimit të automjeteve. Në varësi të ngjarjes specifike të siguruar, pagesa e sigurimit mund të variojë nga 10,000 deri në 100,000 dollarë në vit. Shuma mesatare e pagesave të sigurimit do të jetë USD.

Mesatarja gjeometrike është një sasi e përdorur si mesatare e raporteve ose në seritë e shpërndarjes e paraqitur në formën e një progresion gjeometrik kur z = 0. Kjo mesatare është e përshtatshme për t'u përdorur kur i kushtohet vëmendje jo dallimeve absolute, por raporteve të dy numrat.

Formulat për llogaritjen janë si më poshtë

ku mesatarizohen variantet e karakteristikës; – produkt i opsioneve; f– frekuenca e opsioneve.

Mesatarja gjeometrike përdoret në llogaritjet e normave mesatare vjetore të rritjes.

Sheshi mesatar. Formula mesatare katrore përdoret për të matur shkallën e luhatjes së vlerave individuale të një karakteristike rreth mesatares aritmetike në serinë e shpërndarjes. Kështu, gjatë llogaritjes së treguesve të variacionit, mesatarja llogaritet nga devijimet në katror të vlerave individuale të një karakteristike nga mesatarja aritmetike.

Vlera mesatare katrore e rrënjës llogaritet duke përdorur formulën

NË kërkime ekonomike katrori mesatar në një formë të modifikuar përdoret gjerësisht në llogaritjen e treguesve të variacionit të një karakteristike, si dispersioni, devijimi standard.

Rregulli i shumicës. Ekziston marrëdhënia e mëposhtme midis mesatareve të fuqisë - sa më i madh të jetë eksponenti, aq më e madhe është vlera e mesatares, Tabela 5.4:

Tabela 5.4

Marrëdhënia ndërmjet mesatareve

vlera z
Marrëdhënia ndërmjet mesatareve

Kjo marrëdhënie quhet rregulli i madhoritetit.

Mesatarja strukturore. Për të karakterizuar strukturën e popullsisë, përdoren tregues të veçantë, të cilët mund të quhen mesatarë strukturorë. Këta tregues përfshijnë modalitetin, mesataren, kuartilët dhe decilat.

Moda. Modaliteti (Mo) është vlera më e shpeshtë e një karakteristike midis njësive të popullsisë. Modaliteti është vlera e atributit që korrespondon me pikën maksimale të kurbës teorike të shpërndarjes.

Moda përdoret gjerësisht në praktikën tregtare kur studion kërkesën e konsumatorit (kur përcaktohen përmasat e rrobave dhe këpucëve që janë në kërkesë të gjerë) dhe regjistrimin e çmimeve. Mund të ketë disa modalitete në total.

Llogaritja e modalitetit në një seri diskrete. Në një seri diskrete, modaliteti është varianti me frekuencën më të lartë. Le të shqyrtojmë gjetjen e një modaliteti në një seri diskrete.

Llogaritja e modalitetit në një seri intervali. Në një seri variacionesh intervali, mënyra përafërsisht konsiderohet të jetë varianti qendror i intervalit modal, d.m.th. intervali që ka frekuencën (frekuencën) më të lartë. Brenda intervalit, duhet të gjeni vlerën e atributit që është modaliteti. Për një seri intervali, mënyra do të përcaktohet nga formula

ku është kufiri i poshtëm i intervalit modal; – vlera e intervalit modal; – frekuenca që korrespondon me intervalin modal; – frekuenca që i paraprin intervalit modal; – frekuenca e intervalit pas atij modal.

mesatare. Mediana () është vlera e atributit të njësisë së mesme të serisë së renditur. Një seri e renditur është një seri në të cilën vlerat e atributeve shkruhen në rend rritës ose zbritës. Ose mediana është një vlerë që ndan numrin e një serie variacionesh të renditura në dy pjesë të barabarta: njëra pjesë ka një vlerë të karakteristikës së ndryshueshme që është më e vogël se opsioni mesatar, dhe tjetra ka një vlerë që është më e madhe.

Për të gjetur mesataren, së pari përcaktoni numrin rendor të saj. Për ta bërë këtë, nëse numri i njësive është tek, një i shtohet shumës së të gjitha frekuencave dhe gjithçka ndahet me dy. Me një numër çift njësish, mediana gjendet si vlera e atributit të një njësie, numri serial i së cilës përcaktohet nga shuma totale e frekuencave pjesëtuar me dy. Duke ditur numrin serial të medianës, është e lehtë të gjesh vlerën e tij duke përdorur frekuencat e grumbulluara.

Llogaritja e mesatares në një seri diskrete. Sipas anketës së mostrës janë marrë të dhënat për shpërndarjen e familjeve sipas numrit të fëmijëve, tabela. 5.5. Për të përcaktuar mesataren, fillimisht përcaktojmë numrin rendor të saj

=

Më pas do të ndërtojmë një seri frekuencash të akumuluara (, duke përdorur numrin serial dhe frekuencën e grumbulluar do të gjejmë mesataren. Frekuenca e akumuluar prej 33 tregon se në 33 familje numri i fëmijëve nuk e kalon 1 fëmijë, por duke qenë se numri i mesatarja është 50, mesatarja do të jetë nga 34 deri në 55 familje.

Tabela 5.5

Shpërndarja e numrit të familjeve në bazë të numrit të fëmijëve

Numri i fëmijëve në familje

Numri i familjeve, – vlera e intervalit mesatar; Të gjitha format e konsideruara të mesatareve të fuqisë kanë një pronë të rëndësishme (ndryshe nga mesataret strukturore) - formula për përcaktimin e mesatares përfshin të gjitha vlerat e serisë, d.m.th. madhësia e mesatares ndikohet nga vlera e secilit opsion. Nga njëra anë, kjo është një pronë shumë pozitive sepse në këtë rast merret parasysh efekti i të gjitha shkaqeve që prekin të gjitha njësitë e popullsisë në studim. Nga ana tjetër, edhe një vëzhgim i përfshirë rastësisht në të dhënat burimore mund të shtrembërojë ndjeshëm idenë e nivelit të zhvillimit të tiparit që studiohet në popullatën në shqyrtim (veçanërisht në seri të shkurtra). kuartilët dhe decilat. Në analogji me gjetjen e mesatares në seritë e variacionit, mund të gjeni vlerën e një karakteristike për çdo njësi të serisë së renditur. Pra, në veçanti, mund të gjeni vlerën e atributit për njësitë që ndajnë një seri në 4 pjesë të barabarta, në 10, etj. kuartilët. Opsionet që ndajnë seritë e renditura në katër pjesë të barabarta quhen kuartile. Në këtë rast, ata dallojnë: kuartilin e poshtëm (ose të parë) (Q1) - vlera e atributit për një njësi të serisë së renditur, duke e ndarë popullsinë në raportin ¼ me ¾ dhe kuartilin e sipërm (ose të tretë) ( Q3) - vlera e atributit për njësinë e serisë së renditur, duke e ndarë popullsinë në raportin ¾ me ¼. Kuartili i dytë është mesatarja Q2 = Me. Kuartili i poshtëm dhe i sipërm në një seri intervali llogariten duke përdorur një formulë të ngjashme me mesataren. ku është kufiri i poshtëm i intervalit që përmban përkatësisht kuartilin e poshtëm dhe të sipërm; – frekuenca e akumuluar e intervalit që i paraprin intervalit që përmban kuartilin e poshtëm ose të sipërm; - frekuencat e intervaleve të kuartileve (të poshtme dhe të sipërme) Intervalet që përmbajnë Q1 dhe Q3 përcaktohen nga frekuencat (ose frekuencat) e grumbulluara. Decilat. Përveç kuartileve, llogariten decilet - opsione që ndajnë seritë e renditura në 10 pjesë të barabarta. Ato përcaktohen nga D, decili i parë D1 ndan serinë në raportin 1/10 dhe 9/10, i dyti D2 - 2/10 dhe 8/10, etj. Ato llogariten sipas të njëjtës skemë si mediana dhe kuartilët. Si mediana, çerekët dhe decilat i përkasin të ashtuquajturës statistikë rendore, e cila kuptohet si një opsion që zë një vend të caktuar rendor në seritë e renditura.

AKADEMIA RUSE E EKONOMISË KOMBËTARE DHE SHËRBIMIT PUBLIK nën PRESIDENTIN E FEDERATES RUSE

DEGA ORYOL

Departamenti i Matematikës dhe metodat matematikore në menaxhim

Punë e pavarur

Matematika

me temën "Seria e variacioneve dhe karakteristikat e saj"

për studentët departamenti me kohë të plotë Fakulteti i Ekonomisë dhe Menaxhmentit

fushat e trajnimit "Menaxhimi i Burimeve Njerëzore"

Qëllimi i punës: Zotërimi i koncepteve statistika matematikore dhe metodat e përpunimit të të dhënave parësore.

Një shembull i zgjidhjes së problemeve tipike.

Detyra 1.

Të dhënat e mëposhtme janë marrë përmes sondazhit ():

1 2 3 2 2 4 3 3 5 1 0 2 4 3 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 3 3 3 2 0 6

3 3 1 1 2 3 1 4 3 1 7 4 3 4 2 3 2 3 3 1 4 3 1 4 5 3 4 2 4 5

3 6 4 1 3 2 4 1 3 1 0 0 4 6 4 7 4 1 3 5

E nevojshme:

1) Hartoni një seri variacionesh ( shpërndarje statistikore mostra), pasi të keni shkruar më parë një seri opsionesh diskrete të renditura.

2) Ndërtoni një poligon të frekuencës dhe kumuloni.

3) Përpiloni një seri shpërndarjesh të frekuencave (frekuencave) relative.

4) Gjeni karakteristikat kryesore numerike të serisë së variacioneve (përdorni formula të thjeshtuara për t'i gjetur ato): a) mesatare aritmetike, b) mesatare Meh dhe modës Mo, c) dispersion s 2, d) devijimi standard s, e) koeficienti i variacionit V.

5) Shpjegoni kuptimin e rezultateve të marra.

Zgjidhje.

1) Për të përpiluar renditur seri diskrete opsionesh Le t'i renditim të dhënat e sondazhit sipas madhësisë dhe t'i renditim ato në rend rritës

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 6 6 6 7 7.

Le të hartojmë një seri variacionesh duke shkruar vlerat e vëzhguara (variantet) në rreshtin e parë të tabelës dhe frekuencat përkatëse në të dytin (Tabela 1)

Tabela 1.

2) Një poligon i frekuencës është një vijë e thyer që lidh pikat ( x i; n i), i=1, 2,…, m, Ku m X.

Le të paraqesim poligonin e frekuencave të serisë së variacionit (Fig. 1).

Fig.1. Shumëkëndëshi i frekuencës

Kurba kumulative (kumulative) për një seri variacione diskrete përfaqëson një vijë të thyer që lidh pikat ( x i; n i nak), i=1, 2,…, m.

Le të gjejmë frekuencat e grumbulluara n i nak(frekuenca e grumbulluar tregon se sa variante janë vërejtur me një vlerë karakteristike më pak X). Ne futim vlerat e gjetura në rreshtin e tretë të tabelës 1.

Le të ndërtojmë një kumulatë (Fig. 2).

Fig.2. Kumulon

3) Le të gjejmë frekuencat relative (frekuencat), ku , ku m– numri i vlerave të ndryshme karakteristike X, të cilin do ta llogarisim me saktësi të barabartë.

Le të shkruajmë serinë e shpërndarjes së frekuencave relative (frekuencave) në formën e tabelës 2

tabela 2

4) Le të gjejmë karakteristikat kryesore numerike të serisë së variacionit:

a) Gjeni mesataren aritmetike duke përdorur një formulë të thjeshtuar:

,

ku janë opsionet e kushtëzuara

Le të vendosim Me= 3 (një nga vlerat mesatare të vëzhguara), k= 1 (ndryshimi midis dy opsioneve fqinje) dhe hartoni një tabelë llogaritëse (Tabela 3).

Tabela 3.

x i	n i	u i	u i n i	u i 2 n i
		-3	-12
		-2	-26
		-1	-14
Shuma			-11

Pastaj mesatarja aritmetike

b) Mesatarja Meh seria e variacionit është vlera e karakteristikës që bie në mes të serisë së renditur të vëzhgimeve. Kjo seri variacione diskrete përmban një numër çift termash ( n=80), që do të thotë se mediana është e barabartë me gjysmën e shumës së dy opsioneve të mesme.

Moda Mo seria e variacionit quhet opsioni që i përgjigjet frekuencës më të lartë. Për një seri variacionesh të dhëna, frekuenca më e lartë n max = 24 korrespondon me opsionin X= 3, do të thotë modë Mo=3.

c) Varianca s 2, e cila është një masë e shpërndarjes së vlerave të mundshme të treguesit X rreth vlerës së tij mesatare, e gjejmë duke përdorur një formulë të thjeshtuar:

, Ku u i– opsionet e kushtëzuara

Ne do të përfshijmë gjithashtu llogaritjet e ndërmjetme në Tabelën 3.

Pastaj varianca

d) Devijimi standard s e gjejmë duke përdorur formulën:

.

e) Koeficienti i variacionit V: (),

Koeficienti i variacionit është një sasi e pamatshme, prandaj është i përshtatshëm për krahasimin e dispersionit të serive të variacionit, variantet e të cilave kanë dimensione të ndryshme.

Koeficienti i variacionit

.

5) Kuptimi i rezultateve të fituara është se vlera karakterizon vlerën mesatare të karakteristikës X brenda kampionit në shqyrtim, pra vlera mesatare ishte 2.86. Devijimi standard s përshkruan përhapjen absolute të vlerave të treguesve X dhe ne në këtë rast arrin në s≈ 1,55. Koeficienti i variacionit V karakterizon ndryshueshmërinë relative të treguesit X, domethënë, përhapja relative rreth vlerës mesatare të saj, dhe në këtë rast është .

Përgjigje: ; ; ; .

Detyra 2.

Të dhënat e mëposhtme janë të disponueshme për kapitalin aksionar të 40 bankave më të mëdha në Rusinë Qendrore:

12,0	49,4	22,4	39,3	90,5	15,2	75,0	73,0	62,3	25,2
70,4	50,3	72,0	71,6	43,7	68,3	28,3	44,9	86,6	61,0
41,0	70,9	27,3	22,9	88,6	42,5	41,9	55,0	56,9	68,1
120,8	52,4	42,0	119,3	49,6	110,6	54,5	99,3	111,5	26,1

E nevojshme:

1) Ndërtoni një seri variacionesh intervali.

2) Llogaritni mesataren e mostrës dhe variancën e mostrës

3) Gjeni devijimin standard dhe koeficientin e variacionit.

4) Ndërtoni një histogram të shpërndarjeve të frekuencës.

Zgjidhje.

1) Le të zgjedhim një numër arbitrar intervalesh, për shembull, 8. Atëherë gjerësia e intervalit është:

.

Le të krijojmë një tabelë llogaritëse:

Opsioni i intervalit, x k –x k +1	Frekuenca, n i	Mesi i intervalit x i	Opsioni i kushtëzuar, edhe une	dhe unë n i	edhe une 2 n i	(dhe unë+ 1) 2 n i
10 – 25		17,5	– 3	– 12
25 – 40		32,5	– 2	– 10
40 – 55		47,5	– 1	– 11
55 – 70		62,5
70 – 85		77,5
85 – 100		92,5
100 – 115		107,5
115 – 130		122,5
Shuma				– 5

Vlera e zgjedhur si zero e rreme është c= 62.5 (ky opsion ndodhet afërsisht në mes të serisë së variacionit) .

Opsionet e kushtëzuara përcaktohen nga formula