BAZAT E TEORISË TË GRUPIT

Kursi i leksioneve

Krasnoyarsk, 2007

Senashov, V. I.

Bazat e teorisë së grupit: një kurs leksionesh / , . – Krasnoyarsk: FGOU VPO “Universiteti Federal Siberian, Instituti i Natyrës dhe shkencat humane”, Vitet 20.

Disiplina "Bazat e teorisë së grupeve" është vazhdimësi e disiplinës "Algjebra e lartë" dhe përfaqëson një nga disiplina të veçanta në përgatitjen e studentëve për specialitetin “Matematikë”. Kursi i leksioneve është i destinuar për studentë universitarë dhe të diplomuar të specializuar në departamentin e algjebrës dhe logjikës matematikore.

© Instituti i Natyrës Krasnoyarsk dhe

Shkencat Humane, 2007.

SEKSIONI 1. INFORMACION I PËRGJITHSHËM ………………………………………….. 5

Tema 1. HYRJE ……………………………………………………… 5

Informacion historik për shfaqjen dhe zhvillimin e teorisë së grupit.

Qëllimet dhe objektivat e studimit. Përshkrimi i shkurtër moderne

gjendja e teorisë së grupit. Rishikim i literaturës. Informacione të përgjithshme.

Tema 2. Grupet, nëngrupet………………………………………… 7

Përkufizimi i grupit, shembuj. Përkufizimi i nëngrupit,

shembuj të nëngrupeve.

SEKSIONI 2. KLASET E GRUPET, LLOJET E DETYRAVE TË GRUPET………. 9

Tema 3. Klasat e grupeve, shembuj…………………………………… 9

Grupe të fundme dhe të pafundme, grupe periodike,

Grupe pa rrotullim, grupe të përziera, shembuj.

Tema 4.Komplete gjeneruese. Grupet ciklike, nëngrupet e një grupi ciklik ………………………………………. 11

Përcaktimi i grupeve duke gjeneruar grupe. Shembuj të grupeve ciklike, 2-gjeneruara dhe 3-gjeneruara.

SEKSIONI 3. STRUKTURA E GRUPIT ………………………………………… 12

Tema 5. Cndërklasa………………………………………………………….. 12

Vetitë e klasave ngjitur. Indeksi i nëngrupit, teorema e Lagranit

Epo, pasojat.

Tema 6.Klasat e elementeve të konjuguar. Normalizuesi dhe centralizuesi ……………………………………………………………… 13

Përkufizimi dhe vetitë e klasave të elementeve të konjuguar, kur

masat. Përkufizimi i një centralizuesi, normalizuesi, teorema mbi fuqinë e klasave të elementeve të konjuguar.

Tema 7.Qendër, komutator. Grupi i faktorëve ………………………… 14

Përkufizimet e qendrës, komutatorit. Shembuj.

Tema 8. Grupet e plota ………………………………………… 16

Plotësoni grupe, shembuj. Teorema mbi grupet e plota.

SEKSIONI 4. SHFAQJE TË GRUPIT………………………………………. 17

Tema 9. Grupet e zëvendësimit …………………………………….

Përkufizimet dhe vetitë e grupeve të zëvendësimit. Teorema e Kejlit.

Tema 10.Homomorfizmat………………………………………… 18

Përkufizimi i homomorfizmit, shembuj të pasqyrimeve homomorfike

ny, teorema mbi homomorfizmat.

Tema 11. Izomorfizmat…………………………………………… 20

Përkufizimi i izomorfizmit, shembuj të grupeve izomorfike.

Tema 12. Automorfizmat……………………………………. 21

Përkufizimi i automorfizmit. Llojet e automorfizmave, holomorfeve.

SEKSIONI 5.PUNËT E GRUPIT ……………………………… 24

Tema 13.Produkte direkte dhe karteziane……………… 24

Përkufizimet. Shembuj të grupeve që mund të zbërthehen në rreshta dhe

Produkte karteziane.

Tema 14. Produkt gjysmë i drejtpërdrejtë, falas

puna dhe llojet e tjera të punëve……………………. 27

Produkt gjysmë i drejtpërdrejtë, produkt falas, produkt falas me nëngrup të kombinuar, produkt uniform.

Tema 15.Rreshtat në grupe………………………………………….. 31

Seri normale, seri nënnormale. Llojet e grupeve me rreshta.

Tema 16. Teorema e Sylow…………………………………….. 32

Nëngrupet Sylow. Teorema e Sylow. Zbatime të teoremës së Sylow.

Tema 17.Sistemet algjebrike ……………………………… 33

Shembuj të sistemeve algjebrike. Grupoid, gjysmëgrup, kuazigrup, lak, grup, unazë, fushë.

SEKSIONI 6. KUSHTET PËRFUNDIMTARE NË GRUP…………… 35

Tema 18. Grupet me kushte minimale dhe

maksimumi ………………………………………………………………………. 35

Grupet me kushte minimale dhe maksimale. Grupet Chernikov dhe pronat e tyre.

Tema 19. Kushtet e perfundimit ………………………………………… 38

Kushtet për fundshmërinë biprimitive, të konjuguara me biprimitive

gjymtyrët, dobësimi dhe përgjithësimi i tyre. Grupet Shunkov. Shembuj.

SEKSIONI 7. SHEMBUJ TË GRUPET …………………………………………. 40

Tema 20. Grupet dyhedrale……………………………………. 40

Përkufizimet dhe vetitë e grupeve dihedrale.

Tema 21. Grupet e zevendesimeve dhe matricave ……………………………… 43

Grupet e zëvendësimeve dhe matricave. Përfaqësimi i grupit dihedron

grupi i zëvendësimeve.

Tema 22. Grupet e lëvizjeve …………………………………….. 48

Shndërrimet gjeometrike. Lëvizjet. Simetria e figurave.

Grupet simetrike të shumëkëndëshave të rregullt. Grupe simetrie të fundme dhe të pafundme të figurave hapësinore dhe planore.

SEKSIONI 8. KONKLUZION……………………………………………………………………………………………

Tema 23. Atlaset e grupeve ……………………………………………5 4

Tabelat në grup. Atlaset e grupeve dhe paraqitjeve të fundme të thjeshta

tionet e grupeve të fundme.

Tema 24. Përfundim …………………………………………..5 6

Rishikimi gjendjen aktuale teoria e grupit.

Shtesa ………………………………………………………………………. 57

Tema 25.Grupet Frobenius…………………………….. 57

LISTA BIBLIOGRAFIKE ………………………………… 62

SEKSIONI 1. INFORMACION I PËRGJITHSHËM

Tema 1. HYRJE

Informacion historik për shfaqjen dhe zhvillimin e teorisë së grupit. Koncepti i një grupi lindi në shekullin e 18-të, ai vjen nga disa disiplina: teoria e zgjidhjes së ekuacioneve algjebrike në radikale (në veprat e J. Lagrange dhe A. Vandermonde në 1771, zëvendësimet u përdorën për herë të parë për nevojat e kësaj teorie. dhe një zbërthim i grupit të zëvendësimeve në ato ngjitur u mor klasa, në shekullin e 19-të, lidhjet e thella midis vetive të grupit të zëvendësimeve dhe vetive të ekuacioneve u treguan nga N. Abel në 1824 dhe E. Galois në 1830. Veçanërisht të rëndësishme janë arritjet e E. Galois në teorinë e grupeve zhvilloi kërkime në këtë drejtim në një traktat mbi grupin e zëvendësimeve në 1870). Në gjeometrinë projektive, pavarësisht nga kjo, grupet lindin kur studiohet sjellja e figurave nën shndërrime të ndryshme, gjë që çoi në studimin e vetë shndërrimeve dhe kërkimin e klasifikimit të tyre (këtu mund të përmendim emrat e A. Moebius, i cili studioi llojet elementare të farefisnisë forma gjeometrike, A. Cayley, i cili arriti të kuptonte një grup si një sistem të përcaktuar nga gjenerimi i elementeve dhe marrëdhënieve, F. Klein, krijuesi në 1872 i "Programit Erlangen", i cili hodhi konceptin e një grupi transformimi si bazë për klasifikimin. të gjeometrive). Idetë teorike grupore mund të gjurmohen edhe në teorinë e numrave. L. Euler në vitin 1761, kur studioi "mbetjet e mbetura gjatë ndarjes së fuqive", përdori krahasime dhe ndarje në klasa mbetjesh, domethënë në klasa ngjitur sipas nëngrupeve. Në 1801, K. Gauss, në "Studimet aritmetike" të tij, përcaktoi nëngrupet e grupit Galois të ekuacionit të ndarjes së rrethit dhe, duke studiuar "përbërjen e formave kuadratike binare", vërtetoi se klasat e formave ekuivalente formojnë një grupi i fundëm abelian në lidhje me përbërjen.

Në fund të shekullit të 19-të. u zhvillua koncepti modern abstrakt i një grupi. Në 1895, S. Lee përcaktoi tashmë një grup si një grup transformimesh të mbyllura nën një operacion që është shoqërues dhe garanton identitetin dhe elementët e kundërt.

Studimi i grupeve pa supozimin e fundshmërisë së tyre dhe pa supozime për natyrën e elementeve mori formë në një fushë të pavarur të matematikës në vitin 1916 në librin "Teoria Abstrakte e Grupeve" nga bashkatdhetari ynë.

Aktualisht, teoria e grupeve është një nga fushat më të zhvilluara të algjebrës, duke pasur aplikime të shumta si në vetë matematikën ashtu edhe më gjerë - në topologji, teori funksioni, kristalografi, mekanika kuantike dhe fusha të tjera të matematikës dhe shkencës.

Në këtë kurs leksionesh rikujtojmë shkurtimisht përkufizimet dhe teoremat bazë të teorisë së grupeve, të cilat përfshihen në lëndën e algjebrës universitare. Më pas e prezantojmë dëgjuesin me zonën teori moderne grupet përmes një prezantimi të rezultateve të dekadave të fundit. Le të ndalemi në mënyrë të veçantë në shembujt e grupeve dhe grupeve me kushte të kufizuara.

Qëllimet dhe objektivat e studimit. Disiplina “Bazat e teorisë së grupeve” është vazhdim i lëndës “Algjebra e Lartë” dhe është një nga disiplinat kryesore të veçanta në përgatitjen e studentëve për specialitetin “Matematikë”.

Qëllimi i mësimit të disiplinës është njohja me përkufizimet bazë dhe teoremat bazë të teorisë së grupit, si dhe zhvillimi i aftësive dhe aftësive për të përdorur teoremat e studiuara në vërtetimin e teoremave të reja dhe për të ndërtuar shembuj grupesh.

Në procesin e studimit të disiplinës është e nevojshme të përvetësohen njohuri, aftësi dhe aftësi për veprimtari profesionale si studiues dhe mësues në specialitetin “Matematikë”.

Specialisti duhet të dijë: klasat kryesore të grupeve, shembujt klasikë të grupeve të fundme dhe të pafundme, teoremat bazë të teorisë së grupeve; të jetë në gjendje: të zbatojë teoremat e studiuara në vërtetimin e teoremave të reja, të përdorë literaturë të veçantë, libra referimi, enciklopedi matematikore, të fitojë aftësi praktike. punë e pavarur kur studioni strukturat e grupit, keni një ide për trendet moderne Zhvillimi i teorisë së grupit në Rusi dhe në botë.

Gjatë shkrimit të një kursi leksionesh, autorët synonin të prezantonin shkurtimisht lexuesin me konceptet dhe teoremat e kursit klasik të teorisë së grupit dhe, nëse ishte e mundur, të ndaleshin në detaje në konceptet që u formuan në shkollën e teorisë së grupit në Krasnoyarsk dhe aktualisht janë duke u studiuar në mënyrë aktive si në vendin tonë ashtu edhe jashtë saj.

Përshkrim i shkurtër i gjendjes aktuale të teorisë së grupit. Aktualisht, teoria e grupeve është një degë e zhvilluar mirë e matematikës. Çdo vit ka konferenca ndërkombëtare kushtuar teorisë së grupeve të fundme dhe të pafundme. Vetëm në Rusi në vitin 2007, disa konferenca ndërkombëtare sipas teorisë së grupit, njëri prej tyre është në Krasnoyarsk.

Ka shkolla të zhvilluara mirë që merren me teorinë e grupeve në Moskë, Shën Petersburg, Yekaterinburg, Novosibirsk, Omsk, Tomsk, Irkutsk, Chelyabinsk, Krasnoyarsk dhe qytete të tjera të Rusisë. Qindra specialistë të kualifikuar janë të angazhuar në degë të ndryshme të teorisë së grupit. Në Rusi, revistat "Algjebra dhe Logjika", "Revista Matematikore Siberiane", "Themelore dhe matematikë e aplikuar", "Matematika diskrete", "Raporte të Akademisë së Shkencave", në të cilat një peshë të madhe zënë artikujt për teorinë e grupeve. Shkencëtarët rusë kanë shkruar dhjetëra monografi për grupe të fundme dhe të pafundme. Arritjet e specialistëve rusë të teorisë së grupit janë njohur prej kohësh me meritë në të gjithë botën.

Rishikim i literaturës. Kur studioni disiplinën "Bazat e teorisë së grupit", ne rekomandojmë përdorimin e teksteve shkollore dhe listën e sugjeruar të referencave.

Tema 2. Grupet, nëngrupet

Përkufizimi i grupit, shembuj.

Përkufizimi. Thonë se kompleti është dhënë operacion binar, nëse përcaktohet një ligj që lidh çdo dy element të një bashkësie me një element të vetëm të së njëjtës bashkësi.

Përkufizimi. Shumë G me një veprim algjebrik binar të specifikuar në të quhet grupi, Nëse:

1) ky operacion është asociativ, d.m.th. (ab)c = a(bc) për çdo element a, b, c nga G;

2) në G ka një element të vetëm e: ae=ea=a për çdo element a nga G;

3) për çdo element a nga G V G ekziston mbrapa element https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.

Të gjithë numrat çift formojnë një grup kur shtohen. Një grup shtesë është gjithashtu një koleksion numrash të plotë që janë shumëfish të një numri të caktuar n. Bashkësia e numrave tek nuk do të jetë më një grup nën veprimin e mbledhjes, pasi ky veprim na çon përtej kufijve të kësaj bashkësie. Një grup formohet gjithashtu nga të gjithë numrat racionalë pozitivë jozero në lidhje me veprimin e shumëzimit. Numrat 1 dhe -1 në një veprim shumëzimi përbëjnë grupin përfundimtar.

Përkufizimi. Grupi G thirrur Abelian ose komutative, nëse të gjithë elementët e grupit lëvizin me njëri-tjetrin, d.m.th ligji komutativ është i kënaqur ab = ba për çdo element a, b nga grupi G.

Shembuj të grupeve abeliane janë bashkësitë e numrave racionalë, numrat realë dhe numrat kompleksë të konsideruar në lidhje me veprimin e mbledhjes. Grupet jo-abeliane përfshijnë grupe zëvendësimesh në më shumë se dy elementë, grupe matricash në lidhje me shumëzimin.

Përkufizimi. Rendi i elementeve quhet më i vogli numri natyror n të tilla që an = e. Shënuar me | a|.

Përkufizimi. Rendi në grup G numri i elementeve të tij quhet.

Tregon rendin e grupit G përmes | G|. Nëse grupi i elementeve është i pafund, themi se G ka rend të pafund, dhe shkruaj | G| = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, ...}.

Dëshmi. Le të shënojmë bashkësinë e elementeve të paraqitura në formulimin e teoremës me H.

Natyrisht, HH H, H-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src="> H.

Në anën tjetër,<M> https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H). Elementi x thirrur përfaqësuese klasë të lidhur. Koset e duhuraështë përcaktuar në mënyrë të ngjashme.

Karakteristikat e klasave ngjitur:

1) kosetat ose nuk kryqëzohen ose përkojnë;

2) koset janë të një kardinaliteti të barabartë;

3) elementet a, b të përfshira në një klasë ngjitur sipas nëngrupit H, Nëse b-1 a H.

Vërtetimi i vetive i lihet lexuesit.

Përkufizimi. Numri i klasave ngjitur të një grupi G sipas nëngrupit H thirrur indeks grupe G sipas nëngrupit H dhe shënohet me | G:H|.

Lema e Neumann-it. Le G - një grup që është bashkimi i një numri të fundëm kosetesh mbi një grup të caktuar nëngrupesh. Atëherë të paktën një nga këto nëngrupe ka një indeks të fundëm G.

Dëshmi. Supozoni se teorema është e gabuar dhe secili nga nëngrupet H 1 ,…, Hn ka një indeks të pafund në G. Le të ketë një zbërthim në coset të specifikuara në formulimin e teoremës:

G = g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="16 height=20" height="20"> g 21H 2 … H 2 …

….gif" width="16" height="20">… .gif" width="16" height="20">… H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 g 21H 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.

Natyrisht shumë është bashkimi i një numri të fundëm kosetesh mbi nëngrupe H 2, …, Hn dhe përmban g 11H 1, në mënyrë të ngjashme

g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="19" height="17"> .gif" width="24" height="16"> gh, h hg, h https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src="> G), nëse e majta dhe e djathta futen brenda G Nga H ndeshje.

Për vetitë e tjera të kosetave, shih.

Tema 6.Klasat e elementeve të konjuguar. Normalizues dhe centralizues

Përkufizimi dhe vetitë e klasave të elementeve të konjuguar, shembuj. Elementi a është konjuguar me element b në grup G, nëse ka një të tillë x nga G,Çfarë = b.

Përveç kësaj, emërtimi =sëpatë transferimet në grupe: AB = {ab | a A, b B). Në këtë shënim, përkufizimi i një nëngrupi normal është si më poshtë: H G atëherë dhe vetëm kur HGH.

Teorema 6.1. Rendi i elementeve të konjuguar është i barabartë.

Dëshmi. Le = b. Le të supozojmë se | a| = n, |b| = m Dhe n < m. Pastaj ( )n = një = e, Por bne. Kontradikta që rezulton vërteton teoremën.

Konjugimi është një lidhje ekuivalente. (D.m.th., tre veti plotësohen për konjugim: refleksiviteti, simetria dhe kalueshmëria.) I gjithë grupi ndahet në klasa të ndryshme të elementeve të konjuguar aG. Në të gjitha sistemet e numrave dhe grupet abeliane, klasat e elementeve të konjuguar përbëhen nga një element i vetëm. Në përgjithësi, klasa të ndryshme mund të kenë fuqi të ndryshme. Një normalizues shërben si një mjet për matjen e fuqisë së klasës.

Shembuj të grupeve në të cilat secila klasë e elementeve të konjuguar përbëhet nga një element janë të gjithë grupet abeliane. Ekzistojnë tre klasa të elementeve të konjuguar në grupin e permutacioneve të rendit të tretë: një klasë e përbërë nga një element identiteti, një klasë e përbërë nga dy elementë të rendit të tretë dhe një klasë e përbërë nga tre involucione të konjuguara.

Përkufizimi i një centralizuesi, normalizuesi, teorema mbi fuqinë e klasave të elementeve të konjuguar.

Përkufizimi. Le M- një nëngrup arbitrar i grupit G, H- nëngrupin e tij. Normalizuesi i grupit M në grup G quhet një grup N.H.(M) = { h | hM = Mh, h H }.

Përkufizimi.Vendos centralizuesin M në grup G quhet një grup CG(M)={g|gm=mg, m M}.

Në grupet abeliane, centralizuesi i çdo elementi përkon me të gjithë grupin. Në një grup permutacionesh të shkallës së tretë, centralizuesit e të gjithë elementëve përkojnë me grupet ciklike të krijuara nga këta elementë.

Teorema 6.2. Nëse M- një nëngrup, dhe H- nëngrupi i grupit G, atëherë fuqia e klasës së nëngrupeve konjugohet me M elementet nga H e barabartë me indeksin | H : N.H.(M) |. Në veçanti, | aG| = |G : NG(a) |.

Dëshmi. Le të shfaqim Mx, xH, në koset e duhura H Nga N = N.H.(M): (Mx)= Nx. Ekrani patjetër: nga Mx = Mn rrjedh jashtë Nx = Ny. Është një me një sepse Nx = Ny përfshin Mx = Mn. Ky është një hartë "për", sepse për çdo klasë Nx ekziston një prototip Mx. Teorema është vërtetuar.

Tema 7.Qendër, komutator. Grupi i faktorëve

Përkufizimet e qendrës, komutatorit. Shembuj. Struktura e një grupi përcaktohet kryesisht nga përndryshueshmëria e elementeve të tij. Tërësia e elementeve të një grupi që lëviz me të gjithë elementët e tij është një nëngrup.

Përkufizimi.Qendra e grupit G quhet një grup Z(G)=CG(G).

Ushtrimi. Grupi G Abelian nëse dhe vetëm nëse Z(G)= G.

Përkufizimi. Elementet a, b grupe G udhëtoj (udhëtoj) kur

a-1 b-1 ab = e.

Grupet abeliane përkojnë me qendrën e tyre. Në grupin e zëvendësimeve të shkallës së tretë qendra është unitare.

Përkufizimi.Ndërro [a, b] elementet a, b vepra quhet

[a , b] = a-1 b-1 ab.

Përkufizimi. Nëngrupi i gjeneruar nga të gjithë komutatorët quhet komutator grupe.

Komutatori është një mjet që mat devijimin e një grupi nga komutativiteti.

Përkufizimi. Nëse L, M janë nënbashkësi të një grupi, atëherë komutanti i tyre i ndërsjellë quhet nëngrup

[L , M] = < [a , b] | a L, b M >.

Shembuj.

1. [ Sn , Sn] = Një, për këdo n.

2. [ An, An] = Një, n > 4.

3. [G , G] = 1 nëse G Abelian

Ushtrime.

1. Vërtetoni [ a , b]-1= [b , a].

2. Vërtetoni [ ab , c] = [a , c]b[ b , c].

Të gjithë librat mund të shkarkohen falas dhe pa regjistrim.

Elliot, Dauber. Simetria në fizikë. Në 2 vëllime. 1983 364+414 fq djvu. në një arkiv 7.4 MB.
Monografi me dy vëllime (nga fizikanët anglezë) mbi parimet e simetrisë në fizikë. Vëllimi 1 përshkruan shkurtimisht teorinë e grupeve dhe teorinë e paraqitjeve të grupeve, e cila qëndron në themel të teorisë së simetrisë, dhe shqyrton aplikimet e kësaj teorie në analizën e strukturës së atomeve dhe grila kristalore, si dhe për përshkrimin e vetive të simetrisë së bërthamave dhe grimcat elementare. Vëllimi 2 diskuton strukturën elektronike të molekulave, vetitë e simetrisë së hapësirës dhe kohës, grupet e ndërrimit dhe grupet unitare dhe vetitë e grimcave në fushat e jashtme.
Për një gamë të gjerë fizikanësh dhe matematikanësh - studiues, studentë të diplomuar dhe studentë.
Libri është shkruar nga një fizikan dhe për fizikanët. Ky nuk është një abstraksion i zhveshur për matematikanët, por shumë sisteme fizike merren parasysh. Unë e rekomandoj atë.

Shkarkoni

E RE O.V. Bogopolsky. Hyrje në teorinë e grupeve. 2002 148 fq djvu. 732 KB.
Qëllimi i librit është të ofrojë një hyrje të shpejtë dhe të thelluar në teorinë e grupit. Pjesa e parë përcakton bazat e teorisë, ndërton grupin sporadik Mathieu dhe shpjegon lidhjen e tij me teorinë e kodimit dhe sistemet Steiner. Pjesa e dytë shqyrton teorinë Bass-Serre të grupeve që veprojnë në pemë. Një veçori e veçantë e librit është qasja gjeometrike ndaj teorisë së grupeve të fundme dhe të pafundme. Ka një numër të madh shembujsh, ushtrimesh dhe fotografish.
Për studiuesit, studentët e diplomuar dhe studentët e universitetit.
Kjo hyrje është mjaft komplekse dhe kërkon njohuri të mira të algjebrës.

. . . . . . . . . . . . Shkarkoni

OK. Aminov. Teoria e simetrisë. Shënime dhe detyra leksionesh. 2002 192 fq djvu.
Ky manual është përpiluar mbi bazën e lëndës së leksioneve "Kapituj shtesë të matematikës", të cilat për shumë vite lexoheshin nga autori për studentët e specializuar në fizikën teorike, lëndën zgjedhore "Teoria e simetrisë" për studentët e vitit të tretë dhe kursi “Kapituj shtesë të matematikës me aplikime” për studentët e masterit në fakultetin e fizikës. Përmbajtja e ligjëratave kryesisht paraqitet në formë përmbledhje e shkurtër; Temat mbi të cilat kryhen detyrat laboratorike janë përshkruar më hollësisht. Problemet për çdo seksion zgjidhen nga nxënësit ushtrime praktike dhe në mënyrë të pavarur. Në përgjithësi, ky manual synon të ndihmojë studentët në punën jashtëshkollore me literaturën e rekomanduar.

. . . . . . . . . . . . Shkarkoni

V.A. Artamonov, Yu L. Slovokhotov. Grupet dhe aplikimet e tyre në fizikë, kimi, kristalografi. 2005 512 fq djvu. 5.4 MB.
Prezantohet në mënyrë sistematike teoria e grupeve dhe merren parasysh aplikimet e saj fiziko-kimike. Paraqiten konstruksionet e grupeve bazë, teoria e grupeve abeliane dhe kristalografike të gjeneruara në mënyrë të fundme, bazat e teorisë së paraqitjeve të grupeve të fundme, grupet lineare dhe algjebrat e tyre Lie. Kuazikristalet, grupet e rinormalizimit, algjebrat Hopf dhe grupet topologjike diskutohen shkurtimisht. Diskutohen marrëdhëniet e simetrisë në mekanikë, spektroskopi molekulare dhe fizikë të ngurta, si dhe në teorinë e atomeve, bërthamave dhe grimcave elementare.
Për studentët e shkencave natyrore të arsimit të lartë institucionet arsimore. Vula e UMO-s në arsimin klasik universitar. Mund të jetë i dobishëm për studentët e diplomuar dhe studiuesit.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Shkarko

Teorema e Alekseev V. B. Abel në problemet dhe zgjidhjet. 2001 190 fq. PDF. 1.4 MB.
Nga ky libër lexuesi do të mësojë se si të vendosë ekuacionet algjebrike Shkalla 3 dhe 4 me një të panjohur dhe pse të zgjidhen ekuacionet më shumë shkallë të lartë nuk ekziston formulat e përgjithshme(në radikalët). Në të njëjtën kohë, ai do të njihet me dy seksione shumë të rëndësishme të matematikës moderne - teorinë e grupit dhe teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse. Një nga qëllimet kryesore të këtij libri është t'i mundësojë lexuesit të provojë dorën e tij në matematikë. Për ta bërë këtë, pothuajse i gjithë materiali paraqitet në formën e përkufizimeve, shembujve dhe një numri të madh problemesh, të pajisura me udhëzime dhe zgjidhje.
Libri është i destinuar për një gamë të gjerë lexuesish të interesuar në matematikë serioze (duke filluar nga nxënësit e shkollave të mesme), dhe nuk kërkon që lexuesi të ketë ndonjë njohuri të veçantë paraprake. Libri mund të shërbejë edhe si manual për punën e një rrethi matematikor. Dyshoj për këtë të fundit. Tani nuk ka nxënës të tillë. Por libri është i dobishëm.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarkoni

Barut A., Ronchka R. Teoria e përfaqësimit të grupit dhe aplikimet e saj. Në 2 libra. 1980 djvu. në një arkiv
Libri 1. Kapitujt 1-11. 452 fq. 4,9 MB. Libri 1. Kapitujt 12-21+ Shtojcat. 393 faqe 2,8 MB.
Autorët e monografisë janë shkencëtarë të njohur amerikanë dhe polakë, specialistë të metodave teorike grupore në fizikë. Libri përshkruan modernen metoda efektive dhe rezultatet e teorisë së paraqitjeve të grupeve dhe algjebrave Lie, pasqyrohet një gamë e gjerë e zbatimeve të tyre fizike. Autorët kanë arritur një kombinim të suksesshëm të ashpërsisë matematikore të paraqitjes, plotësisë së mbulimit të materialit me qartësinë dhe aksesueshmërinë e gjuhës; Të gjithë kapitujt shoqërohen me ushtrime të zgjedhura me kujdes.
Në të parën (kapitujt 1 - 11) jepet teori e përgjithshme grupet dhe algjebrat Lie, paraqitjet e tyre me dimensione të fundme janë ndërtuar në mënyrë eksplicite, është paraqitur teoria e paraqitjeve të algjebrave Lie nga operatorë të pakufizuar dhe teoria e integrueshmërisë së paraqitjeve të algjebrave Lie.
Në të dytën: Zbatimet kuartodinamike të paraqitjeve të algjebrës së Gënjeshtrës. Teoria e grupeve dhe paraqitjet e grupeve në teorinë kuantike. Analiza harmonike mbi grupet e Gënjeshtrës. Funksione speciale dhe pamje grupore. Analiza harmonike në hapësirat homogjene. Përfaqësime të nxitura. Paraqitje të nxitura të produkteve gjysmë të drejtpërdrejta. Teorema themelore rreth paraqitjeve të induktuara. Paraqitje të nxitura të grupeve gjysmë të thjeshta të Gënjeshtrës.

. . . . . . . . . . . . Shkarkoni

Vilenkin. Funksionet speciale dhe teoria e përfaqësimit të grupeve. Madhësia 4.3 MB. 600 fq djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarkoni

Gelfand, Minlos, Shapiro. Përfaqësimi i grupit të rrotullimit dhe grupit Lorentz, aplikimet e tyre. Madhësia 3.8 MB. 367 fq djvu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarkoni

Naimark. Teoria e përfaqësimit në grup. Madhësia 24.0 MB. 564 fq. PDF.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarkoni

Rumer Yu. B., Fet A. I. Teoria e simetrisë unitare. 405 fq djvu. 3.2 MB.
Libri përbëhet nga 18 kapituj, të ndarë në tre pjesë: hyrje matematikore, klasifikim unitar i hadroneve, formula të masës.
Pjesa e parë parashtron faktet bazë nga teoria e hapësirave komplekse lineare dhe ndërtimeve mbi to, vetitë themelore të grupeve, algjebrave dhe paraqitjet e tyre. Gjatë prezantimit, jepen formulimet e sakta të përkufizimeve dhe teoremave, si rregull, nuk jepen vërtetimet e teoremave. Kjo pjesë përfshin komente të shumta që shpjegojnë kuptimin dhe arsyen e rezultateve të paraqitura.
Pjesa e dytë ofron një studim të detajuar të atyre grupeve të veçanta (dhe paraqitjeve të tyre) që nevojiten për të përshkruar simetrinë ndërveprime të forta, d.m.th. grupet SU(2), SU(3), SU(4) dhe SU(6). Në këtë pjesë tërhiqet vëmendja tek ato aspekte të teorisë që janë të nevojshme për fizikën.
Pjesa e fundit i kushtohet nxjerrjes së formulave të masës dhe është më shumë fizike sesa matematikore. Për formulat e masës, propozohet një justifikim i ri që lejon interpretimin e tyre në një mënyrë më të gjerë. Bibliografia përmban veprat kryesore mbi temën në diskutim.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarkoni

Hamermesh. Teoria e grupit dhe aplikimet e saj në problemet fizike. Madhësia 4.6 MB. 590 fq djv.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Shkarkoni

K. Chevalley. Teoria e grupit të gënjeshtrës. Në 3 vëllime. djvu.
Vëllimi 1. 1948. 316 fq. 7,7 MB.
Fuqia e librit të K. Chevalley është shqyrtimi i tij sistematik i grupeve të Gënjeshtrës në tërësi, në kontrast me këndvështrimin lokal që zakonisht kryhet në manualet e vjetra. Ky sistem prezantimi u zbatua për herë të parë nga L. S. Pontryagin në librin e tij "Theory of Continuous Groups" (G.T.T.I. 1938), në të cilin, megjithatë, vetëm kapitujt e fundit i kushtohen teorisë aktuale të grupeve të Gënjeshtrës.
Libri i K. Chevalley është menduar për matematikanët shkencorë, studentët e lartë dhe studentët e diplomuar. Për ta lexuar atë, ju duhet të zotëroni konceptet bazë të topologjisë kombinatore dhe teorike të grupeve dhe teorisë abstrakte të grupeve.
Vëllimi 2. Grupet algjebrike. 1958 316 fq. 7,7 MB.
Vëllimi i dytë i kushtohet prezantimit të teorisë së grupeve algjebrike (grupet e matricave të përcaktuara nga marrëdhëniet algjebrike ndërmjet koeficientëve), një teori e zhvilluar mbi vitet e fundit kryesisht në veprat e vetë autorit. Ky është prezantimi i parë sistematik i teorisë së grupeve algjebrike në letërsinë botërore.
Libri është i dedikuar për matematikanët - studentë të lartë, studentë të diplomuar dhe studiues.
Vëllimi 3. Teoria e përgjithshme e algjebrave Lie. 1958 306 fq. 4,8 MB.
Vëllimi i tretë paraqet teorinë e përgjithshme të algjebrave Lie. Deri më tani, nuk ka pasur monografi në rusisht kushtuar posaçërisht kësaj teorie.
Ky vëllim, si ato të mëparshmet, është i destinuar për matematikanët - studentë të lartë, studentë të diplomuar dhe studiues.

Ky tekst u shfaq për disa arsye. Së pari, shumica dërrmuese nuk e kanë idenë se çfarë bën matematika moderne. Teoria e grupeve, natyrisht, nuk është e gjitha nga matematika moderne, por vetëm një pjesë e vogël e saj, por është një nga më nivele të larta abstraksion, gjë që e bën atë një shembull të mirë të një dege të matematikës moderne.

Së dyti, një objekt i tillë natyror dhe i thjeshtë (për t'u shpjeguar) si grup është praktikisht i panjohur për shumicën e shkencëtarëve. Në të vërtetë, çfarë mund të jetë më e natyrshme dhe më e njohur për një person sesa koncepti i simetrisë. Që nga lindja, vullnetarisht ose padashur, ne kërkojmë simetri në objektet përreth dhe sa më simetrik të jetë objekti, aq më i përsosur na duket. Grekët e lashtë e konsideronin topin si një figurë ideale, pikërisht sepse topi ka shumë simetri. Hidhini një sy ndonjë pikturë e famshme, dhe aty do të shihni një bosht të qartë (dhe ndonjëherë më shumë se një) simetrie. Çdo pjesë muzikore zhvillohet në një cikël, duke u rikthyer vazhdimisht në temën origjinale, pra ka simetri edhe atje. Edhe një simbol i tillë i njohur si kryqi, i nderuar në shumë fe, na duket i bukur për shkak të numrit të madh të simetrive: ai mund të rrotullohet dhe reflektohet në lidhje me cilëndo pjesë të tij. Por kthejeni kryqin në një svastikë dhe menjëherë do të keni një ndjenjë të pakëndshme, sepse keni shkatërruar shumicën e simetrive të kryqit. Pra, është simetria ajo që përcakton se sa i përsosur na duket një objekt i veçantë dhe teoria e grupeve, si shkencë që studion simetritë, mund të quhet pa ekzagjerim shkenca e përsosmërisë.

Dhe së treti, unë jam i frymëzuar nga shembulli i shkencëtarëve dhe popullarizuesve të tillë të mrekullueshëm të shkencës si Sergei Popov dhe Igor Ivanov, artikujt e të cilëve shkencorë popullorë i lexova me interes.

Meqenëse teksti fillimisht kishte për qëllim të ishte i arritshëm për një lexues që di shumë matematikë kurrikula shkollore, disa pjesë të veçanta të tekstit (në fakt, pjesa dërrmuese e tij), që përmbajnë materiale më të vështira për t'u kuptuar sesa jepet zakonisht në kursi shkollor algjebër, do të fillojë me një shenjë dhe do të përfundojë me një shenjë (kjo nuk do të thotë se të kuptuarit e një teksti të tillë kërkon asgjë më shumë sesa matematikë shkollore; do të lindin vështirësi të natyrës logjike). Fakti është se teoria e grupit është në një nga nivelet më të larta të abstraksionit në matematikën moderne dhe për këtë arsye grupet ndonjëherë përbëhen nga elementë që janë shumë të vështira për t'u imagjinuar për një lexues të papërvojë.

Alexey Savvateev për rrjedhën e leksioneve:

Ju ftoj në mini-kursin tim mbi teorinë e grupeve, të cilin e quajta "Teoria e grupeve shkollore".

Unë besoj se teoria e grupit duhet të mësohet në klasat e mesme - pothuajse në të njëjtën kohë kur futet shënimi simbolik ( shkronjat x,y,z etj.) Sepse niveli i abstraksionit që çon në konceptin e përgjithshëm të një grupi nga sistemet e mbetjeve për një modul të caktuar (nga njëra anë) dhe permutacionet (nga ana tjetër) nuk është më i lartë se niveli i abstraksionit nga numrat 3,4. ,5 te simbolet. Permutacionet janë të lehta për t'u kuptuar dhe zotëruar tashmë në klasën e dytë ose të tretë, ashtu si sistemet e mbetjeve për një modul të caktuar.

Në minikurs mbyll boshllëqet arsimi shkollor lidhur me teorinë e grupeve dhe shembuj specifikë grupe. Do të përcaktohen faktet bazë për mbetjet, do të vërtetohet teorema e vogël e Fermatit, do të studiohen nëngrupet e grupeve të ndërrimit në tre dhe katër simbole, do të prezantohet koncepti i një nëngrupi normal të një grupi të caktuar dhe thjeshtësia e një grupi.

Atëherë do të vërtetohet se grupi i permutacioneve çift në n≥5 simbole është i thjeshtë (që do t'i hapë rrugën pyetjeve rreth zgjidhshmërisë së ekuacioneve algjebrike në radikale), dhe gjithashtu se nëngrupi i përkthimeve në rrafsh (hapësirë) është normal në grupi i të gjitha lëvizjeve (afine) të objektit përkatës. Grupet e lëvizjeve me dimensione të ulëta do të marrin një karakterizim të plotë (teorema e Chales dhe ligjet e përbërjes së lëvizjeve të llojeve të ndryshme).

Alexey Vladimirovich Savvateev - Doktor i Fizikës shkencat matematikore, specialist në fushën e teorisë së lojës, rektor i Universitetit Dmitry Pozharsky, popullarizues i matematikës midis fëmijëve dhe të rriturve. Punon njëkohësisht në disa institucionet shkencore, duke përfshirë edhe në Laboratorin Kërkimor marrëdhëniet shoqërore dhe diversiteti i shoqërisë SHKP. Ai jep leksione në Shkollën Yandex të Analizës së të Dhënave dhe merr pjesë në kërkime teorike. Në Irkutsk, ai punon si profesor i asociuar në ISU me 0.2-fishin e pagës.

Komentet: 0

Alexey Savvateev

Gjeometria - klasike Euklidiane, Lobachevsky, projektive dhe sferike - nuk merr vëmendje të mjaftueshme në programet e departamenteve moderne të matematikës (për të mos përmendur shkollat). Në të njëjtën kohë, është vizuale dhe jashtëzakonisht e bukur. Shumë deklarata janë vizualisht të dukshme dhe në të njëjtën kohë të papritura (pse një aeroplan që fluturon nga Irkutsk në Lisbonë niset së pari në drejtim të Norilsk?) Në 8 leksione, studentët do të njihen me informacionin fillestar në këtë fushë të matematikës , e cila daton më shumë se dy mijë vjet më parë. Ne do të përfundojmë me materiale shumë më komplekse që të çojnë drejtpërdrejt në degët moderne të shkencës. Do të trajtohen bazat e teorisë së grupit dhe algjebrave të Gënjeshtrës.

Alexey Savvateev

Teoria Galois është një degë e algjebrës që ju lejon të riformuloni disa pyetje të teorisë së fushës në gjuhën e teorisë së grupit, duke i bërë ato në një farë kuptimi më të thjeshta. Teoria Galois ofron një qasje të vetme, elegante për zgjidhjen e problemeve klasike: cilat forma mund të ndërtohen me një busull dhe vizore? Cilat ekuacione algjebrike mund të zgjidhen duke përdorur veprime standarde algjebrike (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe rrënjosje)?

Alexey Savvateev

Alexey Savvateev, Alexey Semikhatov

Pyetje e shkencës

Pse matematikanët vazhdojnë të dalin me të reja? probleme të pazgjidhshme? Pse nevojitet matematika moderne? Nuk ka asnjë nga shkencëtarët që kupton të gjitha fushat e shkencave moderne matematikore. Dhe matematikanët dalin me gjithnjë e më shumë probleme të pazgjidhshme, dhe më pas luftojnë me to për dekada të tëra. Pse e gjithë kjo? Dhe çfarë lidhje ka matematika me jetën tonë? I ftuar i programit është Doktori i Shkencave Fizike dhe Matematikore Alexey Savvateev. Intervistuar nga Alexey Semikhatov.

Aleksandër Bufetov

Anatoli Vershik

Vetëm kohët e fundit, dhe, si gjithmonë, njëkohësisht dhe në mënyrë të pavarur, disa grupe matematikanësh kishin nevojë, për arsye të ndryshme, të studionin sistematikisht nëngrupet e zgjedhura rastësisht të një grupi të caktuar. Për folësin, ky rast ishte detyra e gjetjes së masave konjuguese-invariante në rrjetën e të gjitha nëngrupeve të një grupi të caktuar. Ky problem është i rëndësishëm për teorinë e përfaqësimeve (përfaqësimet e faktorëve të disa grupeve), dhe për vetë teorinë sistemet dinamike(veprime krejtësisht jo të lira). Arsyet e tjera janë asimptotika e numrave Betti në hapësira simetrike lokale, veprimet e grupeve në pemë, teoria e ecjeve në hapësira homogjene të rastësishme dhe, me sa duket, kjo nuk është e gjitha. Raporti do t'i kushtohet konceptet e përgjithshme, një analizë e një shembulli themelor, domethënë, çfarë është një nëngrup i rastësishëm i një grupi simetrik - i fundëm dhe i pafund, dhe, së fundi, një shpjegim se si e gjithë kjo lidhet me teorinë e karaktereve.

Evgeny Smirnov

Grupet e reflektimit janë një grup diskrete lëvizjesh të një hapësire me lakim konstante (sferë, hapësirë ​​Euklidiane ose hiperbolike), e cila krijohet nga një grup reflektimesh. Grupet e reflektimit shfaqen çuditërisht shpesh në probleme të ndryshme algjebrike.

Ivan Arzhantsev

Në këtë kurs ne studiojmë një objekt kaq të mrekullueshëm dhe plotësisht elementar si algjebrat asociative komutative me dimensione të fundme. numra komplekse. Këtu është mjaft e lehtë të vërtetohen rezultatet e para strukturore, por marrja e një klasifikimi të plotë vështirë se është e mundur. Ne do të diskutojmë teknika të ndryshme për të punuar me algjebra me dimensione të fundme (idealet maksimale dhe algjebrat lokale, filtrimi dhe klasifikimi, sekuenca dhe bazamenti Hilbert-Samuel) dhe do të marrim një përshkrim të qartë të algjebrave me dimensione të ulëta. Rezulton se algjebrat me dimensione të fundme janë të lidhura ngushtë me veprimet e orbitës së hapur të grupeve të matricës komutative në hapësirat afine dhe projektive. Ne do ta shpjegojmë këtë lidhje. Në procesin e shpjegimit, koncepte të tilla si eksponenti i një operatori linear, përfaqësimi i grupit dhe moduli ciklik, algjebra e gënjeshtrës dhe mbështjellja e saj universale do të lindin natyrshëm.

Mikhail Tyomkin

Duke vendosur tetraedrone pranë njëri-tjetrit përgjatë faqeve të tyre, mund të merren shembuj të komplekseve të thjeshta - një objekt i rëndësishëm matematikor. Le t'i ngjyrosim trekëndëshat e një strukture të tillë bardh e zi dhe ta quajmë ngjyrosjen të mirë nëse çdo katërkëndësh ka numër të barabartë faqesh bardh e zi. Rezulton se në rastin e sferave (të ndara në mënyrë të thjeshtë) me dimensione të ulëta, grupi i trekëndëshave të bardhë rezulton të jetë një objekt i denjë për studim: një shirit Möbius ose një plan projektues. Kur përshkruajmë saktësisht se si këto objekte ndahen në trekëndësha, natyrshëm do të kemi ikozaedrin - një shumëkëndësh i mrekullueshëm i rregullt. Studimi i grupit të vetë-kombinimeve të tij do të na lejojë të kuptojmë se sa ngjyra të mira ka. Gjatë rrugës do të ndeshemi me koncepte të tilla të rëndësishme themelore të matematikës si grupi kompleks i thjeshtë dhe simetrik i lartpërmendur, veprimi etj.

Ivan Losev

Leksionet prezantojnë informacionin bazë nga teoria e paraqitjeve të grupeve të fundme, shpjegojnë qasjen e Vershik dhe Okunkov ndaj paraqitjeve të grupeve simetrike dhe flasin për atë që ndodh në karakteristika pozitive dhe çfarë lidhje ka algjebra Lie me të? Lënda duhet të jetë e kuptueshme për studentët, duke filluar nga viti i parë, të cilët e kanë përvetësuar mirë lëndën e algjebrës.