Le të gjejmë trekëndëshin duke përdorur formulën e Heronit. Sipërfaqja e një trekëndëshi. Llogaritja e sipërfaqes së katërkëndëshave
Kjo formulë ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në anët e tij a, b dhe c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),ku p është gjysmëperimetri i trekëndëshit, d.m.th. p = (a + b + c)/2.
Formula është emëruar sipas matematikanit të lashtë grek Heron i Aleksandrisë (rreth shekulli I). Heroni konsideroi trekëndëshat me brinjë numër të plotë, zonat e të cilëve janë gjithashtu numra të plotë. Trekëndësha të tillë quhen trekëndësha heronian. Për shembull, këto janë trekëndësha me brinjë 13, 14, 15 ose 51, 52, 53.
Ka analoge të formulës së Heronit për katërkëndëshat. Për shkak të faktit se problemi i ndërtimit të një katërkëndëshi përgjatë anëve të tij a, b, c dhe d ka më shumë se një zgjidhje, për të llogaritur sipërfaqen e një katërkëndëshi në rastin e përgjithshëm, nuk mjafton vetëm të dimë gjatësitë. të anëve. Duhet të futni parametra shtesë ose të vendosni kufizime. Për shembull, sipërfaqja e një katërkëndëshi të brendashkruar gjendet me formulën: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Nëse një katërkëndësh është i brendashkruar dhe i rrethuar në të njëjtën kohë, zona e tij është duke përdorur një formulë më të thjeshtë: S=√(abcd).
Heroni i Aleksandrisë - Matematikan dhe mekanik grek.
Ai ishte i pari që shpiku dyert automatike, një teatër automatik kukullash, një makinë shitëse, një hark vetëngarkues me zjarr të shpejtë, turbinë me avull, dekorime automatike, një pajisje për matjen e gjatësisë së rrugëve (një odometër i lashtë) etj. Ai ishte i pari që krijoi pajisje të programueshme (një bosht me kunja me një litar të mbështjellë rreth tij).
Ai studioi gjeometrinë, mekanikën, hidrostatikën dhe optikën. Veprat kryesore: Metrikë, Pneumatikë, Automatopoetikë, Mekanikë (vepra ruhet tërësisht në përkthim arabisht), Katoptrikë (shkenca e pasqyrave; ruhet vetëm në përkthim latinisht) etj.. Më 1814 u gjet eseja e Heronit “Mbi dioptrinë”, e cila. përcakton rregullat e rilevimit të tokës, në fakt bazuar në përdorimin e koordinatave drejtkëndore. Heroni përdori arritjet e paraardhësve të tij: Euklidi, Arkimedi, Strato i Lampsakut. Shumë nga librat e tij kanë humbur në mënyrë të pakthyeshme (rrotullimet u mbajtën në Bibliotekën e Aleksandrisë).
Në traktatin e tij "Mekanikë", Heron përshkroi pesë lloje makinash të thjeshta: levë, portë, pykë, vidhos dhe bllok.
Në traktatin e tij "Pneumatika", Heroni përshkroi sifonë të ndryshëm, anije të dizajnuara me zgjuarsi dhe automatikë të drejtuar nga ajri ose avulli i kompresuar. Ky është një aeolipil, i cili ishte turbina e parë me avull - një top i rrotulluar nga forca e avionëve të avullit të ujit; një makinë për hapjen e dyerve, një makinë për shitjen e ujit "të shenjtë", një pompë zjarri, një organ uji, një teatër mekanik kukullash.
Libri "Rreth dioptrisë" përshkruan dioptrinë - pajisja më e thjeshtë që përdoret për punë gjeodezike. Heroni përcakton në traktatin e tij rregullat për rilevimin e tokës, bazuar në përdorimin e koordinatave drejtkëndore.
Në Katoptrics, Heroni vërteton drejtësinë e rrezeve të dritës me një shpejtësi pafundësisht të lartë përhapjeje. Heron konsideron lloje të ndryshme pasqyrash, duke i kushtuar vëmendje të veçantë pasqyrave cilindrike.
"Metrika" e Heronit dhe "Gjeometria" dhe "Stereometria" e nxjerra prej saj janë libra referimi mbi matematikë e aplikuar. Ndër informacionet e përfshira në Metrica:
Formulat për sipërfaqet e shumëkëndëshave të rregullt.
Vëllimet e poliedrit të rregullt, piramidës, konit, konit të cunguar, torusit, segmentit sferik.
Formula e Heronit për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi nga gjatësitë e brinjëve të tij (zbuluar nga Arkimedi).
Rregullat për zgjidhjen numerike të ekuacioneve kuadratike.
Algoritme për nxjerrjen e rrënjëve katrore dhe kubike.
Libri i Heronit "Përkufizime" është një koleksion i gjerë i përkufizimeve gjeometrike, në pjesën më të madhe që përkon me përkufizimet e "Elementeve" të Euklidit.
Përmbledhja e mësimit
Tema: "Formula e Heronit dhe formula të tjera për sipërfaqen e një trekëndëshi."
Lloji i mësimit : një mësim për zbulimin e njohurive të reja.
Klasa: 10.
Objektivat e mësimit: gjatë mësimit, siguroni përsëritjen e vetëdijshme të formulave për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi, të cilat studiohen në kurrikula shkollore. Tregoni nevojën për të njohur formulën II të Heronit, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor. Siguroni asimilimin dhe zbatimin e ndërgjegjshëm të këtyre formulave gjatë zgjidhjes së problemeve.
Detyrat:
Edukative: zhvillimin të menduarit logjik, aftësia për të vendosur në mënyrë të pavarur Objektivat e mësimit; kurioziteti i zhvillimitnxënësit, interesi njohës për lëndën; zhvillimi i të menduarit krijues dhe të folurit matematikor të studentëve;
Edukative: rritja e interesit për matematikën; krijimin e kushteve përformimi i aftësive komunikuese dhe cilësitë me vullnet të fortë personalitet.
Edukative: thellimi i njohurivemoduli i një numri real; të mësojë aftësinë për të zgjidhur probleme tipike.
Aktivitete të të mësuarit universal:
Personal: respekti për individin dhe dinjitetin e tij; të qëndrueshme interesi njohës; aftësia për të zhvilluar dialog mbi bazën e marrëdhënieve të barabarta dhe respektit të ndërsjellë.
Rregullatore: caktoni synimet për aktivitetet në mësim; planifikoni mënyra për të arritur qëllimin; marrin vendime në një situatë problemore bazuar në negociata.
Njohës: V zotëron teknikat e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve, kryerjen e detyrave dhe llogaritjeve; kryejnë detyra bazuar në përdorimin e vetive të modulit të numrit real.
Komunikuese: A të përdorë në mënyrë adekuate fjalimin për të planifikuar dhe rregulluar aktivitetet e dikujt; formuloni mendimin tuaj.
Mbeshtetje teknike : kompjuter, projektor, tabelë interaktive.
Struktura e mësimit
Faza motivuese - 2 min.
Detyrë shtëpie – 1 min.
Faza e azhurnimit të njohurive për temën e propozuar dhe kryerja e veprimit të parë të provës - 10 minuta.
Identifikimi i vështirësive: cili është kompleksiteti i materialit të ri, çfarë saktësisht krijon problemin, kërkimi i kontradiktave - 4 min.
Zhvillimi i një projekti, një plan për të zgjidhur vështirësitë e tyre ekzistuese, shqyrtimi i shumë opsioneve, kërkimi i zgjidhjes optimale - 2 min.
Zbatimi i planit të zgjedhur për të zgjidhur vështirësinë - 5 min.
Konsolidimi primar i njohurive të reja - 10 min.
Punë e pavarur dhe kontrolli kundrejt standardit - 5 min.
Reflektimi, i cili përfshin reflektim mbi aktivitetet mësimore, vetë-analizë dhe reflektim mbi ndjenjat dhe emocionet – 1 min.
Gjatë orëve të mësimit.
Faza motivuese.
Përshëndetje djema, uluni. Sot mësimi ynë do të ndjekë planin e mëposhtëm: gjatë mësimit do të studiojmë një temë të re: " Formula e Heronit dhe formula të tjera për sipërfaqen e një trekëndëshi "; Le të përsërisim formulat që dini; Le të mësojmë se si t'i zbatojmë këto formula kur zgjidhim probleme. Pra, le të shkojmë në punë.
Faza e përditësimit të njohurive për temën e propozuar dhe kryerja e veprimit të parë provues.
Rrëshqitja 1.
Shkruani temën e mësimit. Para se të vazhdojmë drejtpërdrejt me formulat, le të kujtojmë se cilat formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi dini?
Rrëshqitja 2.
Shkruani këto formula.
Çfarë formulash dini për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi?(nxënësit kujtojnë të gjitha formulat që kanë mësuar)
Rrëshqitja 3.
Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë. S=ab. Shkruani formulën
Rrëshqitja 4.
Zona e çdo trekëndëshi. S= A . a = , = Shkruani formulën.
Rrëshqitja 5. Zona e një trekëndëshi të bazuar në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre.
S=½·ab·sinα. Shkruani formulën.
Tani do të studiojmë formula të reja për gjetjen e zonës.
Rrëshqitja 6.
Sipërfaqja e një trekëndëshi për sa i përket rrezes së rrethit të brendashkruar. S= P r. Shkruani formulën.
Rrëshqitja 7.
Sipërfaqja e një trekëndëshi për sa i përket rrezes R të rrethit.
Shkruani formulën.
Rrëshqitja 8.
Formula e Heronit.
Para se të fillojmë vërtetimin, le të kujtojmë dy teorema të gjeometrisë - teorema e sinuseve dhe teorema e kosinuseve.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2., koγ = .
Rrëshqitja 9-10
Vërtetim i formulës së Heronit. Shkruani formulën.
Rrëshqitja 11.
Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në tre brinjë u zbulua nga Arkimedi në shekullin III para Krishtit. Megjithatë, puna përkatëse nuk ka arritur në ditët tona. Kjo formulë gjendet në "Metrikën" e Heronit të Aleksandrisë (shekulli I pas Krishtit) dhe është emëruar pas tij. Heron ishte i interesuar për trekëndëshat me brinjë të plotë, zonat e të cilave janë gjithashtu numër i plotë. Trekëndësha të tillë quhen trekëndësha heronian. Trekëndëshi më i thjeshtë Heronian është trekëndëshi egjiptian
Identifikimi i vështirësisë: cili është kompleksiteti i materialit të ri, çfarë e krijon saktësisht problemin, kërkimi i një kontradikte.
Rrëshqitja 12.
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi me brinjët e dhëna: 4,6,8. A ka informacion të mjaftueshëm për të zgjidhur problemin? Çfarë formule mund të përdorni për të zgjidhur këtë problem?
Zhvillimi i një projekti, një plan për të zgjidhur vështirësitë e tyre ekzistuese, shqyrtimi i shumë opsioneve, kërkimi i një zgjidhjeje optimale.
Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur formulën e Heronit. Së pari, ju duhet të gjeni gjysmë-perimetrin e trekëndëshit, dhe më pas të zëvendësoni vlerat që rezultojnë në formulë.
Zbatimi i planit të zgjedhur për të zgjidhur vështirësinë.
Gjetja p
fq=(13+14+15)/2=21
fq- a=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Përgjigju :84
Detyra nr. 2
Gjeni brinjët e trekëndëshitABC, nëse sipërfaqja e trekëndëshaveABO, BCO, ACO, ku O është qendra e rrethit të brendashkruar, e barabartë me 17,65,80 dc 2 .
Zgjidhja: 
S=17+65+80=162 – mblidhni sipërfaqet e trekëndëshave. Sipas formulës
S ABO =1/2 AB* r, pra 17=1/2AB* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 A.C.* r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
Gjeni fq
fq= (34+130+160)/2=162/ r
(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2
(R- b)=162-130=32
Sipas formulës së HeronitS= 128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Sepse S= 162, prar = 1152/162=3128/18
Përgjigje: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Konsolidimi parësor i njohurive të reja.
№10(1)
Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi me brinjët e dhëna:
№12
Puna e pavarur dhe testimi kundrejt standardit.
№10.(2)
Detyre shtepie . F.83, nr.10(3), nr.15
Reflektimi, i cili përfshin reflektimin mbi aktivitetet edukative, introspeksionin dhe reflektimin mbi ndjenjat dhe emocionet.
Çfarë formulash përsëritët sot?
Çfarë formulash mësuat sot?
Mund të gjendet duke ditur bazën dhe lartësinë. E gjithë thjeshtësia e diagramit qëndron në faktin se lartësia e ndan bazën a në dy pjesë a 1 dhe a 2, dhe vetë trekëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë, sipërfaqja e së cilës është dhe. Atëherë sipërfaqja e të gjithë trekëndëshit do të jetë shuma e dy zonave të treguara, dhe nëse marrim një sekondë të lartësisë nga kllapa, atëherë në shumë e kthejmë bazën:
Një metodë më e vështirë për llogaritjet është formula e Heronit, për të cilën duhet të dini të tre anët. Për këtë formulë, së pari duhet të llogaritni gjysmëperimetrin e trekëndëshit: 
Vetë formula e Heronit nënkupton rrënjën katrore të gjysmëperimetrit, të shumëzuar me radhë me ndryshimin e saj në secilën anë.
Metoda e mëposhtme, gjithashtu e rëndësishme për çdo trekëndësh, ju lejon të gjeni zonën e trekëndëshit përmes dy anëve dhe këndin midis tyre. Vërtetimi për këtë vjen nga formula me lartësi - e tërheqim lartësinë në cilëndo anë të njohur dhe përmes sinusit të këndit α fitojmë se h=a⋅sinα. Për të llogaritur sipërfaqen, shumëzoni gjysmën e lartësisë me anën e dytë.
Një mënyrë tjetër është të gjesh sipërfaqen e një trekëndëshi, duke ditur 2 kënde dhe brinjën ndërmjet tyre. Vërtetimi i kësaj formule është mjaft i thjeshtë dhe mund të shihet qartë nga diagrami.
Ne e ulim lartësinë nga kulmi i këndit të tretë në anën e njohur dhe i quajmë segmentet që rezultojnë x në përputhje me rrethanat. Nga trekëndëshat kënddrejtëështë e qartë se segmenti i parë x është i barabartë me produktin
Teorema. Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e produktit të anës së tij dhe lartësisë së tij:
Prova është shumë e thjeshtë. Ky trekëndësh ABC(Fig. 1.15) le ta ndërtojmë deri në një paralelogram ABDC. Trekëndëshat ABC Dhe DCB janë të barabarta në tre anët, pra sipërfaqet e tyre janë të barabarta. Pra, zona e trekëndëshit ABC e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së paralelogramit ABDC, d.m.th.
Por këtu lind pyetja e mëposhtme: pse tre gjysmëproduktet e mundshme të bazës dhe lartësisë për çdo trekëndësh janë të njëjta? Sidoqoftë, kjo është e lehtë të vërtetohet nga ngjashmëria e drejtkëndëshave me një kënd të përbashkët akut. Konsideroni një trekëndësh ABC(Fig. 1.16):
Dhe për këtë arsye
Megjithatë, në tekstet shkollore Nuk bëhet kështu. Përkundrazi, barazia e tre gjysmëprodukteve përcaktohet në bazë të faktit se të gjithë këta gjysmëprodukte shprehin sipërfaqen e trekëndëshit. Kështu, ekzistenca e një funksioni të vetëm shfrytëzohet në mënyrë implicite. Por këtu vjen një mundësi e përshtatshme dhe udhëzuese për të demonstruar një shembull modelimi matematik. Në të vërtetë, ekziston një realitet fizik pas konceptit të zonës, por verifikimi i drejtpërdrejtë i barazisë së tre gjysmëprodukteve tregon cilësinë e përkthimit të këtij koncepti në gjuhën e matematikës.
Duke përdorur teoremën e mësipërme të zonës së trekëndëshit, shpesh është e përshtatshme të krahasohen zonat e dy trekëndëshave. Më poshtë po paraqesim disa pasoja të dukshme por të rëndësishme nga teorema.
Përfundimi 1. Nëse kulmi i një trekëndëshi zhvendoset përgjatë një vije të drejtë paralele me bazën e tij, atëherë sipërfaqja e tij nuk ndryshon.
Në Fig. 1.17 trekëndësha ABC Dhe ABD kanë një bazë të përbashkët AB dhe lartësi të barabarta ulen në këtë bazë, pasi një vijë e drejtë A, i cili përmban kulmet ME Dhe D paralel me bazën AB, dhe për këtë arsye sipërfaqet e këtyre trekëndëshave janë të barabarta.
Përfundimi 1 mund të riformulohet si më poshtë.
Përfundimi 1?. Le të jepet një segment AB. Shumë pikë M të tillë që sipërfaqja e trekëndëshit AMV e barabartë me vlerën e dhënë S, ka dy drejtëza paralele me segmentin AB dhe ato që ndodhen në një distancë prej saj (Fig. 1. 18)
Përfundimi 2. Nëse njëra nga brinjët e një trekëndëshi ngjitur me një kënd të caktuar rritet me k herë, atëherë edhe sipërfaqja e saj do të rritet me k një herë.
Në Fig. 1.19 trekëndësha ABC Dhe ABD kanë një lartësi të përbashkët BH, pra raporti i sipërfaqeve të tyre është i barabartë me raportin e bazave
Raste të veçanta të rëndësishme rrjedhin nga Konkluzioni 2:
1. Mediana e ndan trekëndëshin në dy pjesë të vogla.
2. Përgjysmues i një këndi të një trekëndëshi, i mbyllur midis brinjëve të tij A Dhe b, e ndan në dy trekëndësha, sipërfaqet e të cilëve lidhen si a : b.
Përfundimi 3. Nëse dy trekëndësha kanë një kënd të përbashkët, atëherë sipërfaqet e tyre janë proporcionale me produktin e brinjëve që e mbyllin këtë kënd.
Kjo rrjedh nga fakti se (Fig. 1.19)
Në veçanti, deklarata e mëposhtme qëndron:
Nëse dy trekëndësha janë të ngjashëm dhe brinja e njërit prej tyre është k herë më e madhe se anët përkatëse të tjetrës, atëherë sipërfaqja e saj është k 2 herë sipërfaqja e së dytës.
Ne nxjerrim formulën e Heronit për sipërfaqen e një trekëndëshi në dy mënyrat e mëposhtme. Në të parën përdorim teoremën e kosinusit:
ku a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit, r është këndi i kundërt me brinjën c.
Nga (1.3) gjejmë.
Duke vënë re atë
ku është gjysmëperimetri i trekëndëshit, marrim.
Po ngarkohet...