Forma trigonometrike e kompleksit. Forma trigonometrike e një numri kompleks. Shndërrimi i një numri kompleks nga forma algjebrike në formë trigonometrike

3.1. Koordinatat polare

Shpesh përdoret në aeroplan sistemi i koordinatave polar . Përcaktohet nëse një pikë O jepet, thirret shtyllë, dhe rrezja që buron nga poli (për ne ky është boshti Ox) – bosht polar. Pozicioni i pikës M fiksohet nga dy numra: rrezja (ose vektori i rrezes) dhe këndi φ ndërmjet boshtit polar dhe vektorit. Këndi φ quhet këndi polar; matet në radianë dhe numërohen në drejtim të kundërt të akrepave të orës nga boshti polar.

Pozicioni i një pike në sistemin e koordinatave polar jepet nga një çift i renditur numrash (r; φ). Në Pol r = 0, dhe φ nuk është përcaktuar. Për të gjitha pikat e tjera r > 0, dhe φ përcaktohet deri në një term që është shumëfish i 2π. Në këtë rast, çiftet e numrave (r; φ) dhe (r 1 ; φ 1) shoqërohen me të njëjtën pikë nëse .

Për një sistem koordinativ drejtkëndor xOy Koordinatat karteziane të një pike shprehen lehtësisht në termat e koordinatave të saj polare si më poshtë:

3.2. Interpretimi gjeometrik i numrit kompleks

Le të shqyrtojmë një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian në aeroplan xOy.

Çdo numër kompleks z=(a, b) shoqërohet me një pikë në plan me koordinata ( x, y), Ku koordinata x = a, d.m.th. pjesa reale e numrit kompleks, dhe koordinata y = bi është pjesa imagjinare.

Një aeroplan, pikat e të cilit janë numra komplekse– plan kompleks.

Në figurë, numri kompleks z = (a, b) korrespondon me një pikë M(x, y).

Ushtrimi.I tërhequr plan koordinativ numra komplekse:

3.3. Forma trigonometrike e një numri kompleks

Një numër kompleks në aeroplan ka koordinatat e një pike M(x;y). ku:

Shkrimi i një numri kompleks - forma trigonometrike e një numri kompleks.

Numri r quhet modul numër kompleks z dhe është caktuar. Moduli është një numër real jo negativ. Për .

Moduli është zero nëse dhe vetëm nëse z = 0, d.m.th. a = b = 0.

Numri φ quhet argumenti z dhe është caktuar. Argumenti z përcaktohet në mënyrë të paqartë, si këndi polar në sistemin koordinativ polar, domethënë deri në një term që është shumëfish i 2π.

Atëherë pranojmë: , ku φ është vlera më e vogël e argumentit. Është e qartë se

.

Gjatë studimit më të thellë të temës, futet një argument ndihmës φ*, i tillë që

Shembulli 1. Gjeni formën trigonometrike të një numri kompleks.

Zgjidhje. 1) merrni parasysh modulin: ;

2) duke kërkuar φ: ;

3) forma trigonometrike:

Shembulli 2. Gjeni formën algjebrike të një numri kompleks .

Këtu mjafton të zëvendësohen vlerat funksionet trigonometrike dhe transformoni shprehjen:

Shembulli 3. Gjeni modulin dhe argumentin e një numri kompleks;

1) ;

2) ; φ – në 4 tremujorë:

3.4. Veprimet me numra kompleks në formë trigonometrike

· Mbledhja dhe zbritjaËshtë më e përshtatshme të bësh me numra kompleksë në formë algjebrike:

· Shumëzimi– duke përdorur shndërrime të thjeshta trigonometrike mund të tregohet se Gjatë shumëzimit, modulet e numrave shumëzohen dhe argumentet shtohen: ;

Në këtë pjesë do të flasim më shumë për formën trigonometrike të një numri kompleks. Forma dëftore është shumë më pak e zakonshme në detyrat praktike. Unë rekomandoj shkarkimin dhe printimin nëse është e mundur. tabelat trigonometrike, materialin metodologjik e gjeni në faqen Formulat dhe tabelat matematikore. Nuk mund të shkosh larg pa tavolina.

Çdo numër kompleks (përveç zeros) mund të shkruhet në formë trigonometrike:

Ku eshte moduli i një numri kompleks, A - argumenti i numrit kompleks.

Le të paraqesim numrin në planin kompleks. Për saktësinë dhe thjeshtësinë e shpjegimit, do ta vendosim në kuadrantin e parë koordinativ, d.m.th. ne besojmë se:

Moduli i një numri kompleksështë distanca nga origjina në pikën përkatëse në rrafshin kompleks. E thënë thjesht, moduli është gjatësia vektori i rrezes, i cili tregohet me të kuqe në vizatim.

Moduli i një numri kompleks zakonisht shënohet me: ose

Duke përdorur teoremën e Pitagorës, është e lehtë të nxirret një formulë për gjetjen e modulit të një numri kompleks: . Kjo formulë është e saktë për çdo kuptimet "a" dhe "të jetë".

shënim : Moduli i një numri kompleks është një përgjithësim i konceptit moduli i një numri real, si distanca nga një pikë në origjinë.

Argumenti i një numri kompleks thirrur qoshe ndërmjet gjysmë boshti pozitiv boshti real dhe vektori i rrezes të tërhequr nga origjina në pikën përkatëse. Argumenti nuk është përcaktuar për njëjës:.

Parimi në shqyrtim është në të vërtetë i ngjashëm me koordinatat polare, ku rrezja polare dhe këndi polar përcaktojnë në mënyrë unike një pikë.

Argumenti i një numri kompleks shënohet standardisht: ose

Nga konsideratat gjeometrike, marrim formulën e mëposhtme për gjetjen e argumentit:

. Kujdes! Kjo formulë funksionon vetëm në gjysmë rrafshin e duhur! Nëse numri kompleks nuk ndodhet në kuadrantin e koordinatave 1 ose 4, atëherë formula do të jetë paksa e ndryshme. Ne do t'i analizojmë edhe këto raste.

Por së pari, le të shohim shembujt më të thjeshtë kur numrat kompleks janë të vendosur në boshtet koordinative.

Shembulli 7

Paraqitni numrat kompleks në formë trigonometrike: ,,,. Le të bëjmë vizatimin:

Në fakt, detyra është gojore. Për qartësi, unë do të rishkruaj formën trigonometrike të një numri kompleks:

Le të kujtojmë fort, modulin - gjatësia(që është gjithmonë jo negative), argument - qoshe

1) Të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Është e qartë se. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:. Është e qartë se (numri qëndron drejtpërdrejt në gjysmë-boshtin real pozitiv). Kështu, numri në formë trigonometrike:.

Veprimi i kontrollit të kundërt është i qartë si dita:

2) Le ta paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Është e qartë se. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:. Natyrisht (ose 90 gradë). Në vizatim, këndi tregohet me të kuqe. Pra, numri në formë trigonometrike është: .

Duke përdorur , është e lehtë të rikthehet forma algjebrike e numrit (në të njëjtën kohë duke kryer një kontroll):

3) Le ta paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin e tij dhe

argument. Është e qartë se. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:

Natyrisht (ose 180 gradë). Në vizatim, këndi tregohet me ngjyrë blu. Kështu, numri në formë trigonometrike:.

Ekzaminimi:

4) Dhe rasti i katërt interesant. Është e qartë se. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:.

Argumenti mund të shkruhet në dy mënyra: Mënyra e parë: (270 gradë), dhe në përputhje me rrethanat: . Ekzaminimi:

Sidoqoftë, rregulli i mëposhtëm është më standard: Nëse këndi është më i madh se 180 gradë, më pas shkruhet me shenjë minus dhe orientimi i kundërt (“lëvizje”) i këndit: (minus 90 gradë), në vizatim këndi është shënuar me ngjyrë të gjelbër. Është e lehtë të vërehet

që është i njëjti kënd.

Kështu, hyrja merr formën:

Kujdes! Në asnjë rast nuk duhet të përdorni paritetin e kosinusit, çuditshmërinë e sinusit dhe të "thjeshtoni" më tej shënimin:

Nga rruga, është e dobishme të mbani mend pamjen dhe vetitë e funksioneve trigonometrike dhe të anasjellta; materialet e referencës gjenden në paragrafët e fundit të faqes Grafikët dhe vetitë e funksioneve themelore elementare. Dhe numrat kompleksë do të mësohen shumë më lehtë!

Në hartimin e shembujve më të thjeshtë, kështu duhet ta shkruani: : "është e qartë se moduli është... është e qartë se argumenti është...". Kjo është vërtet e qartë dhe e lehtë për t'u zgjidhur verbalisht.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë raste më të zakonshme. Nuk ka probleme me modulin; gjithmonë duhet të përdorni formulën. Por formulat për gjetjen e argumentit do të jenë të ndryshme, varet nga cili tremujor koordinativ qëndron numri. Në këtë rast, tre opsione janë të mundshme (është e dobishme t'i rishkruani ato):

1) Nëse (tremujori i koordinatave 1 dhe 4, ose gjysmë rrafshi i djathtë), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën.

2) Nëse (tremujori i 2-të i koordinatave), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën .

3) Nëse (tremujori i 3-të i koordinatave), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën .

Shembulli 8

Paraqitni numrat kompleks në formë trigonometrike: ,,,.

Meqenëse ka formula të gatshme, nuk është e nevojshme të plotësoni vizatimin. Por ka një pikë: kur ju kërkohet të përfaqësoni një numër në formë trigonometrike, atëherë Është më mirë të bëni vizatimin gjithsesi. Fakti është se një zgjidhje pa vizatim shpesh refuzohet nga mësuesit; mungesa e një vizatimi është një arsye serioze për një minus dhe dështim.

Ne i paraqesim numrat në formë komplekse, dhe numrat e parë dhe të tretë do të jenë për zgjidhje të pavarur.

Le të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij.

Që atëherë (rasti 2).

– këtu duhet të përfitoni nga çuditshmëria e arktangjentes. Fatkeqësisht, tabela nuk përmban vlerën , kështu që në raste të tilla argumenti duhet të lihet në një formë të rëndë: – numrat në formë trigonometrike.

Le të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij.

Që (rasti 1), atëherë (minus 60 gradë).

Kështu:

– një numër në formë trigonometrike.

Por këtu, siç u përmend tashmë, janë disavantazhet mos prek.

Përveç metodës argëtuese të verifikimit grafik, ekziston edhe një verifikim analitik, i cili tashmë është kryer në shembullin 7. Ne përdorim tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike, duke marrë parasysh se këndi është pikërisht këndi i tabelës (ose 300 gradë): – numrat në formën algjebrike origjinale.

Paraqisni vetë numrat në formë trigonometrike. Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Në fund të seksionit, shkurtimisht për formën eksponenciale të një numri kompleks.

Çdo numër kompleks (përveç zeros) mund të shkruhet në formë eksponenciale:

Ku është moduli i një numri kompleks dhe është argumenti i numrit kompleks.

Çfarë duhet të bëni për të paraqitur një numër kompleks në formë eksponenciale? Pothuajse e njëjta gjë: ekzekutoni një vizatim, gjeni një modul dhe një argument. Dhe shkruani numrin në formë.

Për shembull, për numrin në shembullin e mëparshëm kemi gjetur modulin dhe argumentin:,. Atëherë ky numër do të shkruhet në formë eksponenciale si më poshtë:.

Numri në formë eksponenciale do të duket kështu:

Numri - Kështu që:

Këshilla e vetme është mos e prekni treguesin eksponentë, nuk ka nevojë të rirregullohen faktorët, të hapen kllapat etj. Një numër kompleks shkruhet në formë eksponenciale në mënyrë rigoroze sipas formës.

Veprimet mbi numrat kompleks të shkruar në formë algjebrike

Forma algjebrike e një numri kompleks z =(a,b).quhet shprehje algjebrike e formës

z = a + bi.

Veprimet aritmetike mbi numrat kompleks z 1 =a 1 + b 1 i Dhe z 2 =a 2 + b 2 i, të shkruara në formë algjebrike, kryhen si më poshtë.

1. Shuma (ndryshimi) i numrave kompleks

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

ato. mbledhja (zbritja) kryhet sipas rregullit për mbledhjen e polinomeve me reduktim të termave të ngjashëm.

2. Prodhimi i numrave kompleks

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

ato. shumëzimi kryhet sipas rregullit të zakonshëm të shumëzimit të polinomeve duke marrë parasysh faktin se i 2 = 1.

3. Ndarja e dy numrave kompleks kryhet sipas rregullit të mëposhtëm:

, (z 2 ≠ 0),

ato. pjesëtimi kryhet duke shumëzuar dividentin dhe pjesëtuesin me numrin e konjuguar të pjesëtuesit.

Shpejtësia e numrave kompleks përcaktohet si më poshtë:

Është e lehtë ta tregosh këtë

Shembuj.

1. Gjeni shumën e numrave kompleks z 1 = 2 – i Dhe z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Gjeni prodhimin e numrave kompleks z 1 = 2 – 3i Dhe z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3unë∙ 5i = 7+22i.

3. Gjeni herësin z nga ndarja z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Zgjidheni ekuacionin: , x Dhe y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Për shkak të barazisë së numrave kompleks kemi:

ku x =–1 , y= 4.

5. Llogaritni: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Llogaritni nëse .

.

7. Njehsoni reciprokun e një numri z=3-i.

Numrat kompleksë në formë trigonometrike

Aeroplan kompleks quhet një aeroplan me koordinata karteziane ( x, y), nëse çdo pikë me koordinata ( a, b) lidhet me një numër kompleks z = a + bi. Në këtë rast quhet boshti i abshisës bosht real, dhe boshti i ordinatave është imagjinare. Pastaj çdo numër kompleks a+bi të paraqitur gjeometrikisht në një plan si një pikë A (a, b) ose vektor.

Prandaj, pozicioni i pikës A(dhe, për rrjedhojë, një numër kompleks z) mund të specifikohet nga gjatësia e vektorit | | = r dhe këndi j, i formuar nga vektori | | me drejtim pozitiv të boshtit real. Gjatësia e vektorit quhet moduli i një numri kompleks dhe shënohet me | z |=r, dhe këndin j thirrur argumenti i numrit kompleks dhe është caktuar j = arg z.

Është e qartë se | z| ³ 0 dhe | z | = 0 Û z = 0.

Nga Fig. 2 është e qartë se .

Argumenti i një numri kompleks përcaktohet në mënyrë të paqartë, por me një saktësi prej 2 pk,kÎ Z.

Nga Fig. 2 është gjithashtu e qartë se nëse z=a+bi Dhe j=arg z, Se

cos j =, mëkat j =, tg j = .

Nëse zÎR Dhe z> 0, atëherë arg z = 0 +2pk;

Nëse z ОR Dhe z< 0, atëherë arg z = p + 2pk;

Nëse z = 0,arg z të papërcaktuara.

Vlera kryesore e argumentit përcaktohet në intervalin 0 £ arg z 2 £ p,

ose -fq£ arg z £ fq.

Shembuj:

1. Gjeni modulin e numrave kompleks z 1 = 4 – 3i Dhe z 2 = –2–2i.

2. Përcaktoni zonat në rrafshin kompleks të përcaktuar nga kushtet:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 £; 3) | z – (2+i) | 3 £; 4) 6 £ | z – i| 7 £.

Zgjidhje dhe përgjigje:

1) | z| = 5 Û Û - ekuacioni i një rrethi me rreze 5 dhe qendër në origjinë.

2) Një rreth me rreze 6 me qendër në origjinë.

3) Rretho me rreze 3 me qendër në pikë z 0 = 2 + i.

4) Një unazë e kufizuar nga rrathë me rreze 6 dhe 7 me një qendër në një pikë z 0 = i.

3. Gjeni modulin dhe argumentin e numrave: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Këshillë: Kur përcaktoni argumentin kryesor, përdorni planin kompleks.

Kështu: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

NUMRAT KOMPLEKS XI

§ 256. Forma trigonometrike e numrave kompleks

Le të jetë një numër kompleks a + bi korrespondon vektori O.A.> me koordinata ( a, b ) (shih Fig. 332).

Le të shënojmë gjatësinë e këtij vektori me r , dhe këndin që bën me boshtin X , përmes φ . Sipas përkufizimit të sinusit dhe kosinusit:

a / r =cos φ , b / r = mëkat φ .

Kjo është arsyeja pse A = r cos φ , b = r mëkat φ . Por në këtë rast numri kompleks a + bi mund të shkruhet si:

a + bi = r cos φ + ir mëkat φ = r (cos φ + i mëkat φ ).

Siç dihet, katrori i gjatësisë së çdo vektori e barabartë me shumën katrorët e koordinatave të tij. Kjo është arsyeja pse r 2 = a 2 + b 2, nga ku r = √a 2 + b 2

Kështu që, çdo numër kompleks a + bi mund të paraqitet në formë :

a + bi = r (cos φ + i mëkat φ ), (1)

ku r = √a 2 + b 2 dhe këndi φ përcaktohet nga kushti:

Kjo formë e shkrimit të numrave kompleks quhet trigonometrike.

Numri r në formulën (1) quhet modul, dhe këndin φ - argument, numër kompleks a + bi .

Nëse një numër kompleks a + bi nuk është e barabartë me zero, atëherë moduli i tij është pozitiv; nëse a + bi = 0, atëherë a = b = 0 dhe pastaj r = 0.

Moduli i çdo numri kompleks përcaktohet në mënyrë unike.

Nëse një numër kompleks a + bi nuk është e barabartë me zero, atëherë argumenti i tij përcaktohet nga formula (2) patjetër saktë në një kënd të pjesëtueshëm me 2 π . Nëse a + bi = 0, atëherë a = b = 0. Në këtë rast r = 0. Nga formula (1) është e lehtë të kuptohet se si argument φ V në këtë rast ju mund të zgjidhni çdo kënd: në fund të fundit, në çdo φ

0 (kom φ + i mëkat φ ) = 0.

Prandaj, argumenti null është i padefinuar.

Moduli i një numri kompleks r ndonjëherë shënohet | z |, dhe argumenti arg z . Le të shohim disa shembuj të paraqitjes së numrave kompleksë në formë trigonometrike.

Shembull. 1. 1 + i .

Le të gjejmë modulin r dhe argumenti φ këtë numër.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prandaj mëkati φ = 1 / √ 2, koz φ = 1 / √ 2, prej nga φ = π / 4 + 2nπ .

Kështu,

1 + i = √ 2 ,

Ku P - çdo numër i plotë. Zakonisht, nga grupi i pafundëm i vlerave të argumentit të një numri kompleks, zgjidhet një që është midis 0 dhe 2. π . Në këtë rast, kjo vlerë është π / 4 . Kjo është arsyeja pse

1 + i = √ 2 (ko π / 4 + i mëkat π / 4)

Shembulli 2. Shkruani një numër kompleks në formë trigonometrike √ 3 - i . Ne kemi:

r = √ 3+1 = 2, koz φ = √ 3 / 2, mëkat φ = - 1 / 2

Prandaj, deri në një kënd të pjesëtueshëm me 2 π , φ = 11 / 6 π ; prandaj,

√ 3 - i = 2 (kos 11/6 π + i mëkati 11/6 π ).

Shembulli 3 Shkruani një numër kompleks në formë trigonometrike i.

Numri kompleks i korrespondon vektori O.A.> , që përfundon në pikën A të boshtit në me ordinaten 1 (Fig. 333). Gjatësia e një vektori të tillë është 1, dhe këndi që bën me boshtin x është i barabartë me π / 2. Kjo është arsyeja pse

i =cos π / 2 + i mëkat π / 2 .

Shembulli 4. Shkruani numrin kompleks 3 në formë trigonometrike.

Numri kompleks 3 korrespondon me vektorin O.A. > X abshisa 3 (Fig. 334).

Gjatësia e një vektori të tillë është 3 dhe këndi që bën me boshtin x është 0. Prandaj

3 = 3 (cos 0 + i mëkat 0),

Shembulli 5. Shkruani numrin kompleks -5 në formë trigonometrike.

Numri kompleks -5 korrespondon me një vektor O.A.> që përfundon në një pikë boshti X me abshisë -5 (Fig. 335). Gjatësia e një vektori të tillë është 5, dhe këndi që formon me boshtin x është i barabartë me π . Kjo është arsyeja pse

5 = 5 (ko π + i mëkat π ).

Ushtrime

2047. Shkruani këta numra kompleks në formë trigonometrike, duke përcaktuar modulet dhe argumentet e tyre:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Tregoni në rrafsh një grup pikash që përfaqësojnë numra kompleks moduli r dhe argumentet φ i të cilëve plotësojnë kushtet:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. A mund të jenë numrat njëkohësisht moduli i një numri kompleks? r Dhe - r ?

2050. A mund të jetë njëkohësisht kënde argumenti i një numri kompleks? φ Dhe - φ ?

Paraqisni këta numra kompleks në formë trigonometrike, duke përcaktuar modulet dhe argumentet e tyre:

2051*. 1 + koz α + i mëkat α . 2054*. 2 (kosto 20° - i mëkati 20°).

2052*. mëkat φ + i cos φ . 2055*. 3(- kosto 15° - i mëkati 15°).