Mësimi "Segmentet proporcionale në një trekëndësh kënddrejtë". Mësimi "Segmentet proporcionale në një trekëndësh kënddrejtë" Segmentet proporcionale në një trekëndësh kënddrejtë formula
Objektivat e mësimit:
- të prezantojë konceptin e mesatares proporcionale (mesatarja gjeometrike) e dy segmenteve;
- shqyrto problemin e segmenteve proporcionale në trekëndësh kënddrejtë: veti e lartësisë mbidetare të një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë;
- të zhvillojë aftësitë e nxënësve për përdorimin e temës së studiuar në procesin e zgjidhjes së problemeve.
Lloji i mësimit: mësimi i mësimit të materialit të ri.
Plani:
- Momenti org.
- Përditësimi i njohurive.
- Studimi i vetive të lartësisë mbidetare të një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë:
- faza përgatitore;
- Prezantimi;
– asimilimi. - Paraqitja e konceptit të një mesatareje proporcionale me dy segmente.
- Përvetësimi i konceptit të proporcionalitetit mesatar të dy segmenteve.
- Prova e pasojave:
– lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është proporcionaliteti mesatar ndërmjet segmenteve në të cilët ndahet hipotenuza me këtë lartësi;
- Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar midis hipotenuzës dhe segmentit të hipotenuzës të mbyllur midis këmbës dhe lartësisë. - Zgjidhja e problemeve.
- Duke përmbledhur.
- Vendosja e detyrave të shtëpisë.
Gjatë orëve të mësimit
I. MOMENTI ORGANIZATIV
- Përshëndetje djema, uluni. A janë të gjithë gati për klasë?
Le të fillojmë punën.
II. NJOHURITË E PËRDITUR
– Çfarë koncepti të rëndësishëm matematikor keni mësuar në mësimet e mëparshme? ( me konceptin e ngjashmërisë së trekëndëshave)
- Le të kujtojmë se cilët dy trekëndësha quhen të ngjashëm? (dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse këndet e tyre janë përkatësisht të barabartë dhe brinjët e njërit trekëndësh janë në përpjesëtim me brinjët e ngjashme të trekëndëshit tjetër)
– Çfarë përdorim për të vërtetuar ngjashmërinë e dy trekëndëshave? (
– Formuloni këto shenja (formuloni tre shenja të ngjashmërisë së trekëndëshave)
III. STUDIMI I VETITË E LARTËSISË SË NJË TREKËNDËSHOR DREJKËNDËSHOR, TË PËRÇUAR NGA MIJA E NJË KËNDËR DREJT.
a) faza përgatitore
– Djema, ju lutemi shikoni rrëshqitjen e parë. ( Aplikacion) Këtu tregohen dy trekëndësha kënddrejtë – dhe . dhe janë lartësitë dhe përkatësisht. 
.
Detyra 1. a) Përcaktoni nëse dhe janë të ngjashme.
– Çfarë përdorim për të vërtetuar ngjashmërinë e trekëndëshave? ( shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave)
(shenja e parë, sepse në problem nuk dihet asgjë për brinjët e trekëndëshave)
. (Dy çifte: 1. ∟B= ∟B1 (drejt), 2. ∟A= ∟A 1)
– Nxirrni një përfundim. sipas kriterit të parë të ngjashmërisë së trekëndëshave ~)
Detyra 1. b) Përcaktoni nëse dhe janë të ngjashme.
– Çfarë shenje ngjashmërie do të përdorim dhe pse? (shenja e parë, sepse në problem nuk dihet asgjë për brinjët e trekëndëshave)
– Sa çifte kënde të barabarta a duhet të gjejmë? Gjeni këto çifte (meqenëse trekëndëshat janë kënddrejtë, atëherë mjafton një palë kënde të barabarta: ∟A= ∟A 1)
- Nxirrni një përfundim. (në bazë të kriterit të parë të ngjashmërisë së trekëndëshave, arrijmë në përfundimin se këta trekëndësha janë të ngjashëm).
Si rezultat i bisedës, rrëshqitja 1 duket kështu:
b) zbulimi i teoremës
Detyra 2.
– Përcaktoni nëse dhe janë të ngjashëm. Si rezultat i bisedës ndërtohen përgjigjet që pasqyrohen në rrëshqitje.
– Fotografia tregonte se. A e kemi përdorur këtë masë shkallë kur iu përgjigjëm pyetjeve të detyrës? ( Jo, nuk e kemi përdorur)
– Djema, nxirrni një përfundim: në çfarë trekëndëshash ndahet një trekëndësh kënddrejtë me lartësinë e nxjerrë nga kulmi i këndit të drejtë? (përfundim)
– Shtrohet pyetja: a do të jenë të ngjashëm me njëri-tjetrin këta dy trekëndësha kënddrejtë, në të cilët lartësia ndan trekëndëshin kënddrejtë? Le të përpiqemi të gjejmë çifte këndesh të barabarta.
Si rezultat i bisedës, ndërtohet një procesverbal:
– Tani le të nxjerrim një përfundim të plotë.( PËRFUNDIM: lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e nxjerrë nga kulmi i këndit të drejtë e ndan trekëndëshin në dy i ngjashëm
- Atë. Formuluam dhe vërtetuam një teoremë për vetinë e lartësisë së trekëndëshit kënddrejtë.
Le të vendosim strukturën e teoremës dhe të bëjmë një vizatim. Çfarë jepet në teoremë dhe çfarë duhet vërtetuar? Nxënësit shkruajnë në fletoren e tyre:
– Të vërtetojmë pikën e parë të teoremës për vizatimin e ri. Çfarë veçori ngjashmërie do të përdorim dhe pse? (E para, sepse në teoremë nuk dihet asgjë për brinjët e trekëndëshave)
– Sa çifte këndesh të barabarta duhet të gjejmë? Gjeni këto çifte. (NË në këtë rast mjafton një palë: ∟A-përgjithshme)
- Nxirrni një përfundim. Trekëndëshat janë të ngjashëm. Si rezultat, tregohet një mostër e teoremës
– Shkruani vetë pikën e dytë dhe të tretë në shtëpi.
c) zotërimi i teoremës
- Pra, formuloni përsëri teoremën (Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë e ndan trekëndëshin në dy i ngjashëm trekëndëshat kënddrejtë, secili prej të cilëve është i ngjashëm me këtë)
– Sa çifte trekëndësha të ngjashëm në ndërtimin "në një trekëndësh kënddrejtë lartësia është tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë", a ju lejon kjo teoremë të gjeni? ( Tre çifte)
Nxënësve u jepen detyrat e mëposhtme:
IV. HYRJA E KONCEPTIT TË PËRPJESËSISË MESATORE TË DY SEGMENTEVE
– Dhe tani do të studiojmë një koncept të ri me ju.
Kujdes!
Përkufizimi. Segmenti i linjës XY thirrur proporcionale mesatare (mesatarja gjeometrike) ndërmjet segmenteve AB Dhe CD, Nëse
(shkruajeni në një fletore).
V. KUPTIMI I KONCEPTIT TË PËRPJESËSISË MESATORE TË DY SEGMENTEVE
– Tani le të kalojmë te rrëshqitja tjetër.
Ushtrimi 1. Gjeni gjatësinë e segmenteve proporcionale mesatare MN dhe KP, nëse MN = 9 cm, KP = 16 cm.
– Çfarë jepet në problem? ( Dy segmente dhe gjatësitë e tyre: MN = 9 cm, KP = 16 cm)
– Çfarë duhet të gjesh? ( Gjatësia e mesatares proporcionale me këto segmente)
– Cila formulë shpreh mesataren proporcionale dhe si e gjejmë atë?
(Zëvendësoni të dhënat në formulë dhe gjeni gjatësinë e mbështetëses mesatare.)
Detyra nr. 2. Gjeni gjatësinë e segmentit AB nëse mesatarja proporcionale e segmenteve AB dhe CD është 90 cm dhe CD = 100 cm
– Çfarë jepet në problem? (gjatësia e segmentit CD = 100 cm dhe mesatarja proporcionale e segmenteve AB dhe CD është 90 cm)
– Çfarë duhet gjetur në problem? ( Gjatësia e segmentit AB)
– Si do ta zgjidhim problemin? (Le të shkruajmë formulën për segmentet proporcionale mesatare AB dhe CD, të shprehim gjatësinë AB prej saj dhe të zëvendësojmë të dhënat në problem.)
VI. PËRFUNDIM I IMPLIKIMET
- Bravo djema. Tani le të kthehemi te ngjashmëria e trekëndëshave, të cilën e vërtetuam në teoremë. Paraqitni përsëri teoremën. ( Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë e ndan trekëndëshin në dy i ngjashëm trekëndëshat kënddrejtë, secili prej të cilëve është i ngjashëm me atë të dhënë)
– Le të përdorim fillimisht ngjashmërinë e trekëndëshave dhe . Çfarë rrjedh nga kjo? ( Sipas përkufizimit, anët e ngjashmërisë janë proporcionale me anët e ngjashme)
– Çfarë barazie do të rezultojë kur përdoret vetia bazë e proporcionit? ()
– Shprehni CD dhe nxirrni një përfundim (
;
.
konkluzioni: lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është proporcionaliteti mesatar midis segmenteve në të cilët ndahet hipotenuza me këtë lartësi)
– Tani vërtetoni vetë se kema e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar midis hipotenuzës dhe segmentit të hipotenuzës të mbyllur midis këmbës dhe lartësisë. Do të gjejmë nga -... segmentet në të cilat ndahet hipotenuza nga kjo lartësi )
Një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar ndërmjet...(-...hipotenuza dhe segmenti i hipotenuzës i mbyllur ndërmjet kësaj kembe dhe lartësisë )
– Ku i zbatojmë pohimet që kemi mësuar? ( Gjatë zgjidhjes së problemeve)
IX. VENDOSJA e detyrave të shtëpisë
d/z: Nr. 571, Nr. 572 (a, d), punë e pavarur në një fletore, teori.
Mësimi 40. Segmente proporcionale në një trekëndësh kënddrejtë. C. b. a. h. S. para Krishtit. N. ac. A. B. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë e ndan trekëndëshin në 2 trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm, secili prej të cilëve është i ngjashëm me trekëndëshin e dhënë. Testi i ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë. Dy trekëndësha kënddrejtë janë të ngjashëm nëse secili prej tyre ka një kënd akut të barabartë. Segmenti XY quhet mesatarja proporcionale (mesatarja gjeometrike) për segmentet AB dhe CD nëse Vetia 1. Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është mesatarja proporcionale ndërmjet projeksioneve të këmbëve në hipotenuzë. Vetia 2. Një këmbë e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar midis hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj kembeje mbi hipotenuzë.
Rrëshqitja 28 nga prezantimi "Gjeometria "Trekëndësha të ngjashëm"". Madhësia e arkivit me prezantimin është 232 KB.Gjeometria e klasës së 8-të
përmbledhje prezantime të tjera"Zgjidhja e problemeve në teoremën e Pitagorës" - Trekëndëshi ABC është dykëndësh. Përdorimi praktik Teorema e Pitagorës. ABCD është katërkëndësh. Sipërfaqja e një katrori. Gjeni diellin. Dëshmi. Bazat e një trapezi izoscelor. Merrni parasysh teoremën e Pitagorës. Zona e një katërkëndëshi. Trekëndëshat kënddrejtë. Teorema e Pitagorës. Sheshi i hipotenuzës e barabartë me shumën katrorët e këmbëve.
"Gjetja e zonës së një paralelogrami" - Baza. Lartësia. Përcaktimi i lartësisë së një paralelogrami. Shenjat e barazisë së trekëndëshave kënddrejtë. Zona e një paralelogrami. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit. Vetitë e zonave. Ushtrime me gojë. Gjeni sipërfaqen e paralelogramit. Lartësitë e një paralelogrami. Gjeni perimetrin e katrorit. Sipërfaqja e një trekëndëshi. Gjeni sipërfaqen e sheshit. Gjeni sipërfaqen e drejtkëndëshit. Sipërfaqja e një katrori.
""Sheshi" klasa 8" - Sheshi i Zi. Detyra për punë me gojë rreth perimetrit të katrorit. Sipërfaqja e një katrori. Shenjat e një katrori. Sheshi është mes nesh. Një katror është një drejtkëndësh me të gjitha anët e barabarta. Sheshi. Çanta me bazë katrore. Detyrat me gojë. Sa katrorë janë paraqitur në foto? Vetitë e një katrori. Tregtar i pasur. Detyra për punë gojore në sipërfaqen e një sheshi. Perimetri i një katrori.
"Përkufizimi i simetrisë boshtore" - Pikat që shtrihen në të njëjtën pingul. Vizatoni dy vija të drejta. Ndërtimi. Hartoni pikat. E dhënë. Figurat që nuk kanë simetri boshtore. Segmenti i linjës. Mungojnë koordinatat. Figura. Figurat që kanë më shumë se dy boshte simetrie. Simetria. Simetria në poezi. Ndërtoni trekëndësha. Boshtet e simetrisë. Ndërtimi i një segmenti. Ndërtimi i një pike. Figurat me dy boshte simetrie. Popujve. Trekëndëshat. proporcionaliteti.
"Përkufizimi i trekëndëshave të ngjashëm" - Shumëkëndësha. Segmente proporcionale. Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm. Dy trekëndësha quhen të ngjashëm. Kushtet. Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur dy këndet e dhëna dhe përgjysmuesin në kulm. Le të themi se duhet të përcaktojmë distancën nga shtylla. Shenja e tretë e ngjashmërisë së trekëndëshave. Le të ndërtojmë një lloj trekëndëshi. ABC. Trekëndëshat ABC dhe ABC janë të barabartë në tre anët. Përcaktimi i lartësisë së një objekti.
"Zgjidhja e Teoremës së Pitagorës" - Pjesë e dritareve. Prova më e thjeshtë. Hamurabi. Diagonale. Dëshmi e plotë. Vërtetimi me metodën e zbritjes. pitagorasit. Vërtetimi me metodën e zbërthimit. Historia e teoremës. Diametri. Vërtetimi me metodën e shtimit. Prova e Epstein. Kantor. Trekëndëshat. Ndjekësit. Zbatimet e teoremës së Pitagorës. Teorema e Pitagorës. Deklarata e teoremës. Dëshmia e Perigalit. Zbatimi i teoremës.
Testi i ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë
Le të paraqesim së pari kriterin e ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë.
Teorema 1
Testi i ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë: dy trekëndësha kënddrejtë janë të ngjashëm kur secili ka një kënd të barabartë akut (Fig. 1).
Figura 1. Trekëndësha të ngjashëm kënddrejtë
Dëshmi.
Le të na jepet se $\këndi B=\këndi B_1$. Meqenëse trekëndëshat janë kënddrejtë, atëherë $\këndi A=\këndi A_1=(90)^0$. Prandaj, ato janë të ngjashme sipas kriterit të parë të ngjashmërisë së trekëndëshave.
Teorema është vërtetuar.
Teorema e lartësisë në trekëndëshin kënddrejtë
Teorema 2
Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e nxjerrë nga kulmi i një këndi të drejtë e ndan trekëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm, secili prej të cilëve është i ngjashëm me trekëndëshin e dhënë.
Dëshmi.
Le të na jepet një trekëndësh kënddrejtë $ABC$ me kënd të drejtë $C$. Le të vizatojmë lartësinë $CD$ (Fig. 2).
Figura 2. Ilustrimi i Teoremës 2
Le të vërtetojmë se trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm me trekëndëshin $ABC$ dhe se trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm me njëri-tjetrin.
Meqenëse $\këndi ADC=(90)^0$, atëherë trekëndëshi $ACD$ është kënddrejtë. Trekëndëshat $ACD$ dhe $ABC$ kanë një kënd të përbashkët $A$, prandaj, sipas Teoremës 1, trekëndëshat $ACD$ dhe $ABC$ janë të ngjashëm.
Meqenëse $\këndi BDC=(90)^0$, atëherë trekëndëshi $BCD$ është kënddrejtë. Trekëndëshat $BCD$ dhe $ABC$ kanë një kënd të përbashkët $B$, prandaj, sipas Teoremës 1, trekëndëshat $BCD$ dhe $ABC$ janë të ngjashëm.
Le të shqyrtojmë tani trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$
\[\këndi A=(90)^0-\këndi ACD\] \[\këndi BCD=(90)^0-\këndi ACD=\këndi A\]
Prandaj, nga teorema 1, trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm.
Teorema është vërtetuar.
Mesatare proporcionale
Teorema 3
Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është mesatarja proporcionale me segmentet në të cilat lartësia ndan hipotenuzën e trekëndëshit të dhënë.
Dëshmi.
Nga teorema 2, kemi që trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm, pra
Teorema është vërtetuar.
Teorema 4
Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar midis hipotenuzës dhe segmentit të hipotenuzës të mbyllur midis këmbës dhe lartësisë së tërhequr nga kulmi i këndit.
Dëshmi.
Në vërtetimin e teoremës do të përdorim shënimin nga Figura 2.
Nga teorema 2, kemi që trekëndëshat $ACD$ dhe $ABC$ janë të ngjashëm, pra
Teorema është vërtetuar.
Sot sjellim në vëmendjen tuaj një prezantim tjetër mbi një temë të mahnitshme dhe misterioze - gjeometrinë. Në këtë prezantim do t'ju prezantojmë me një pronë të re forma gjeometrike, në veçanti, me konceptin e segmenteve proporcionale në trekëndëshat kënddrejtë.
Së pari, duhet të kujtojmë se çfarë është një trekëndësh? Ky është shumëkëndëshi më i thjeshtë, i përbërë nga tre kulme të lidhura nga tre segmente. Trekëndëshi në të cilin njëri prej këndeve është i barabartë me 90 gradë quhet trekëndësh kënddrejtë. Ju tashmë jeni njohur me to në mënyrë më të detajuar në të mëparshmen tonë materiale edukative paraqitur në vëmendjen tuaj.
Pra, duke iu rikthyer temës sonë sot, le të shënojmë në mënyrë që lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr nga një kënd 90 gradë ta ndajë atë në dy trekëndësha që janë të ngjashëm si me njëri-tjetrin ashtu edhe me atë origjinal. Të gjitha vizatimet dhe grafikët që ju interesojnë janë dhënë në prezantimin e propozuar; ju rekomandojmë t'u referoheni atyre, shoqëruar me shpjegimin e përshkruar.
Një shembull grafik i tezës së mësipërme mund të shihet në rrëshqitjen e dytë. Bazuar në shenjën e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave, trekëndëshat janë të ngjashëm sepse kanë dy kënde identike. Nëse specifikojmë më hollësisht, atëherë lartësia e ulur në hipotenuzë formon një kënd të drejtë me të, domethënë tashmë ka kënde identike, dhe secili nga këndet e formuar ka gjithashtu një kënd të përbashkët si ai origjinal. Rezultati është dy kënde të barabarta me njëri-tjetrin. Kjo do të thotë, trekëndëshat janë të ngjashëm.
Le të përcaktojmë gjithashtu se çfarë do të thotë koncepti "mesatarja proporcionale" ose "mesatarja gjeometrike"? Ky është një segment i caktuar XY për segmentet AB dhe CD, kur është i barabartë rrenja katrore produkte të gjatësisë së tyre.
Nga e cila rrjedh gjithashtu se kema e një trekëndëshi kënddrejtë është mesatarja gjeometrike midis hipotenuzës dhe projeksionit të kësaj kembeje mbi hipotenuzë, domethënë një këmbë tjetër.
Një veçori tjetër e një trekëndëshi kënddrejtë është se lartësia e tij, e tërhequr nga një kënd prej 90°, është proporcionaliteti mesatar midis projeksioneve të këmbëve në hipotenuzë. Nëse i drejtoheni prezantimit dhe materialeve të tjera të ofruara në vëmendjen tuaj, do të shihni se ka prova të kësaj teze në një formë shumë të thjeshtë dhe të arritshme. Më parë, ne kemi vërtetuar tashmë se trekëndëshat që rezultojnë janë të ngjashëm me njëri-tjetrin dhe me trekëndëshin origjinal. Më pas, duke përdorur raportin e këmbëve të këtyre figurave gjeometrike, arrijmë në përfundimin se lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë është drejtpërdrejt proporcionale me rrënjën katrore të produktit të segmenteve që u formuan si rezultat i uljes së lartësisë nga këndi i drejtë i trekëndëshit origjinal.
Gjëja e fundit në prezantim është se kema e një trekëndëshi kënddrejtë është mesatarja gjeometrike për hipotenuzën dhe segmentin e saj që ndodhet midis këmbës dhe lartësisë së tërhequr nga një kënd i barabartë me 90 gradë. Ky rast duhet të konsiderohet nga pikëpamja që trekëndëshat e treguar janë të ngjashëm me njëri-tjetrin, dhe këmba e njërit prej tyre rezulton të jetë hipotenuza e tjetrës. Por ju do të njiheni më shumë me këtë duke studiuar materialet e propozuara.
Testi i ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë
Le të paraqesim së pari kriterin e ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë.
Teorema 1
Testi i ngjashmërisë për trekëndëshat kënddrejtë: dy trekëndësha kënddrejtë janë të ngjashëm kur secili ka një kënd të barabartë akut (Fig. 1).
Figura 1. Trekëndësha të ngjashëm kënddrejtë
Dëshmi.
Le të na jepet se $\këndi B=\këndi B_1$. Meqenëse trekëndëshat janë kënddrejtë, atëherë $\këndi A=\këndi A_1=(90)^0$. Prandaj, ato janë të ngjashme sipas kriterit të parë të ngjashmërisë së trekëndëshave.
Teorema është vërtetuar.
Teorema e lartësisë në trekëndëshin kënddrejtë
Teorema 2
Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e nxjerrë nga kulmi i një këndi të drejtë e ndan trekëndëshin në dy trekëndësha kënddrejtë të ngjashëm, secili prej të cilëve është i ngjashëm me trekëndëshin e dhënë.
Dëshmi.
Le të na jepet një trekëndësh kënddrejtë $ABC$ me kënd të drejtë $C$. Le të vizatojmë lartësinë $CD$ (Fig. 2).
Figura 2. Ilustrimi i Teoremës 2
Le të vërtetojmë se trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm me trekëndëshin $ABC$ dhe se trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm me njëri-tjetrin.
Meqenëse $\këndi ADC=(90)^0$, atëherë trekëndëshi $ACD$ është kënddrejtë. Trekëndëshat $ACD$ dhe $ABC$ kanë një kënd të përbashkët $A$, prandaj, sipas Teoremës 1, trekëndëshat $ACD$ dhe $ABC$ janë të ngjashëm.
Meqenëse $\këndi BDC=(90)^0$, atëherë trekëndëshi $BCD$ është kënddrejtë. Trekëndëshat $BCD$ dhe $ABC$ kanë një kënd të përbashkët $B$, prandaj, sipas Teoremës 1, trekëndëshat $BCD$ dhe $ABC$ janë të ngjashëm.
Le të shqyrtojmë tani trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$
\[\këndi A=(90)^0-\këndi ACD\] \[\këndi BCD=(90)^0-\këndi ACD=\këndi A\]
Prandaj, nga teorema 1, trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm.
Teorema është vërtetuar.
Mesatare proporcionale
Teorema 3
Lartësia e një trekëndëshi kënddrejtë e tërhequr nga kulmi i një këndi të drejtë është mesatarja proporcionale me segmentet në të cilat lartësia ndan hipotenuzën e trekëndëshit të dhënë.
Dëshmi.
Nga teorema 2, kemi që trekëndëshat $ACD$ dhe $BCD$ janë të ngjashëm, pra
Teorema është vërtetuar.
Teorema 4
Këmba e një trekëndëshi kënddrejtë është proporcionaliteti mesatar midis hipotenuzës dhe segmentit të hipotenuzës të mbyllur midis këmbës dhe lartësisë së tërhequr nga kulmi i këndit.
Dëshmi.
Në vërtetimin e teoremës do të përdorim shënimin nga Figura 2.
Nga teorema 2, kemi që trekëndëshat $ACD$ dhe $ABC$ janë të ngjashëm, pra
Teorema është vërtetuar.
Po ngarkohet...