Rrotullimi i një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks. Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks Ligji i lëvizjes rrotulluese rreth një boshti fiks

PËRKUFIZIM: Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë Një lëvizje të tillë në të cilën të gjitha pikat e trupit lëvizin në rrathë, qendrat e të cilave shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, do ta quajmë bosht rrotullimi.

Për të studiuar dinamikën e asaj rrotulluese, u shtojmë madhësive të njohura kinematike dy sasi: momenti i fuqisë(M) dhe Momenti i inercisë(J).

1. Dihet nga përvoja: nxitimi i lëvizjes rrotulluese varet jo vetëm nga madhësia e forcës që vepron në trup, por edhe nga distanca nga boshti i rrotullimit deri në vijën përgjatë së cilës vepron forca. Për të karakterizuar këtë rrethanë, quhet një sasi fizike momenti i forcës.

Le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë.

PËRKUFIZIM: Momenti i një force rreth një pike të caktuar “O” është një sasi vektoriale e përcaktuar me shprehjen , ku është vektori i rrezes i tërhequr nga pika “O” deri në pikën e zbatimit të forcës.

Nga përkufizimi rezulton se është një vektor boshtor. Drejtimi i tij zgjidhet në mënyrë që rrotullimi i vektorit rreth pikës "O" në drejtim të forcës dhe vektorit të formojë një sistem të djathtë. Moduli i momentit të forcës është i barabartë me , ku a është këndi ndërmjet drejtimeve të vektorëve dhe , dhe l= r mëkat a është gjatësia e pingulit të rënë nga pika "O" në vijën e drejtë përgjatë së cilës vepron forca (e quajtur shpatulla e forcës në lidhje me pikën “O”) (Fig. 4.2).

2. Të dhënat eksperimentale tregojnë se madhësia e nxitimit këndor ndikohet jo vetëm nga masa e trupit rrotullues, por edhe nga shpërndarja e masës në lidhje me boshtin e rrotullimit. Sasia që merr parasysh këtë rrethanë quhet Momenti i inercisë në raport me boshtin e rrotullimit.

PËRKUFIZIM: Në mënyrë të rreptë, Momenti i inercisë trupi në lidhje me një bosht të caktuar rrotullimi quhet vlera J, e barabartë me shumën e produkteve të masave elementare nga katrorët e distancave të tyre nga një bosht i caktuar.

Përmbledhja kryhet mbi të gjitha masat elementare në të cilat ishte ndarë trupi. Duhet të kihet parasysh se kjo sasi (J) ekziston pavarësisht nga rrotullimi (edhe pse koncepti i momentit të inercisë u prezantua kur merret parasysh rrotullimi i një trupi të ngurtë).

Çdo trup, pavarësisht nëse është në prehje apo rrotullim, ka një moment të caktuar inercie në raport me çdo bosht, ashtu si një trup ka masë pavarësisht nëse është në lëvizje apo në prehje.

Duke marrë parasysh se, momenti i inercisë mund të paraqitet si: . Kjo lidhje është e përafërt dhe sa më të vogla të jenë vëllimet elementare dhe elementët e masës përkatëse, aq më e saktë do të jetë. Për rrjedhojë, detyra e gjetjes së momenteve të inercisë zbret tek integrimi: . Këtu integrimi kryhet në të gjithë vëllimin e trupit.

Le të shkruajmë momentet e inercisë së disa trupave me formë të rregullt gjeometrike.

1. Shufra e gjatë uniforme.
Oriz. 4.3	Momenti i inercisë rreth boshtit pingul me shufrën dhe që kalon nga mesi i tij është i barabartë me
2. Cilindri ose disku i ngurtë.
Oriz. 4.4	Momenti i inercisë rreth boshtit që përkon me boshtin gjeometrik është i barabartë me .
3. Cilindri me mure të hollë me rreze R.
Oriz. 4.5
4. Momenti i inercisë së një topi me rreze R në lidhje me një bosht që kalon nga qendra e tij
Oriz. 4.6
5. Momenti i inercisë së një disku të hollë (trashësia b<
Oriz. 4.7
6. Momenti i inercisë së bllokut
Oriz. 4.8
7. Momenti i inercisë së unazës
Oriz. 4.9

Llogaritja e momentit të inercisë këtu është mjaft e thjeshtë, sepse Trupi supozohet të jetë homogjen dhe simetrik, dhe momenti i inercisë përcaktohet në lidhje me boshtin e simetrisë.

Për të përcaktuar momentin e inercisë së një trupi në lidhje me çdo bosht, është e nevojshme të përdoret teorema e Shtajnerit.

PËRKUFIZIM: Momenti i inercisë J rreth një boshti arbitrarështë e barabartë me shumën e momentit të inercisë Jc në lidhje me një bosht paralel me atë të dhënë dhe që kalon nëpër qendrën e inercisë së trupit, dhe produktin e masës së trupit me katrorin e distancës midis boshteve (Fig. 4.10).

Ky artikull përshkruan një pjesë të rëndësishme të fizikës - "Kinematika dhe dinamika e lëvizjes rrotulluese".

Konceptet themelore të kinematikës së lëvizjes rrotulluese

Lëvizja rrotulluese e një pike materiale rreth një boshti fiks quhet lëvizje e tillë, trajektorja e së cilës është një rreth i vendosur në një plan pingul me boshtin dhe qendra e tij shtrihet në boshtin e rrotullimit.

Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë është një lëvizje në të cilën të gjitha pikat e trupit lëvizin përgjatë rrathëve koncentrikë (qendrat e të cilave shtrihen në të njëjtin bosht) në përputhje me rregullin për lëvizjen rrotulluese të një pike materiale.

Lëreni një trup të ngurtë arbitrar T të rrotullohet rreth boshtit O, i cili është pingul me rrafshin e vizatimit. Le të zgjedhim pikën M në këtë trup. Kur rrotullohet, kjo pikë do të përshkruajë një rreth me rreze rreth boshtit O r.

Pas ca kohësh, rrezja do të rrotullohet në lidhje me pozicionin e saj origjinal me një kënd Δφ.

Drejtimi i vidës së djathtë (në drejtim të akrepave të orës) merret si drejtim pozitiv i rrotullimit. Ndryshimi në këndin e rrotullimit me kalimin e kohës quhet ekuacioni i lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë:

φ = φ(t).

Nëse φ matet në radianë (1 rad është këndi që korrespondon me një hark me gjatësi të barabartë me rrezen e tij), atëherë gjatësia e harkut rrethor ΔS, të cilin pika materiale M do ta kalojë në kohën Δt, është e barabartë me:

ΔS = Δφr.

Elementet bazë të kinematikës së lëvizjes së njëtrajtshme rrotulluese

Një masë e lëvizjes së një pike materiale për një periudhë të shkurtër kohe dt shërben si vektor elementar i rrotullimit dφ.

Shpejtësia këndore e një pike ose trupi material është një sasi fizike që përcaktohet nga raporti i vektorit të një rrotullimi elementar me kohëzgjatjen e këtij rrotullimi. Drejtimi i vektorit mund të përcaktohet me rregullën e vidës së djathtë përgjatë boshtit O. Në formë skalare:

ω = dφ/dt.

Nëse ω = dφ/dt = konst, atëherë një lëvizje e tillë quhet lëvizje e njëtrajtshme rrotulluese. Me të, shpejtësia këndore përcaktohet nga formula

ω = φ/t.

Sipas formulës paraprake, dimensioni i shpejtësisë këndore

[ω] = 1 rad/s.

Lëvizja e njëtrajtshme rrotulluese e një trupi mund të përshkruhet nga periudha e rrotullimit. Periudha e rrotullimit T është një sasi fizike që përcakton kohën gjatë së cilës një trup bën një rrotullim të plotë rreth boshtit të rrotullimit ([T] = 1 s). Nëse në formulën për shpejtësinë këndore marrim t = T, φ = 2 π (një rrotullim i plotë i rrezes r), atëherë

ω = 2π/T,

Prandaj, ne përcaktojmë periudhën e rrotullimit si më poshtë:

T = 2π/ω.

Numri i rrotullimeve që bën një trup për njësi të kohës quhet frekuenca e rrotullimit ν, e cila është e barabartë me:

ν = 1/T.

Njësitë e frekuencës: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Duke krahasuar formulat për shpejtësinë këndore dhe frekuencën e rrotullimit, marrim një shprehje që lidh këto sasi:

ω = 2πν.

Elementet bazë të kinematikës së lëvizjes së pabarabartë rrotulluese

Lëvizja rrotulluese e pabarabartë e një trupi të ngurtë ose një pike materiale rreth një boshti fiks karakterizohet nga shpejtësia e tij këndore, e cila ndryshon me kalimin e kohës.

Vektor ε , që karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë këndore, quhet vektori i nxitimit këndor:

ε = dω/dt.

Nëse një trup rrotullohet, duke përshpejtuar, d.m.th dω/dt > 0, vektori ka një drejtim përgjatë boshtit në të njëjtin drejtim si ω.

Nëse lëvizja rrotulluese është e ngadaltë - dω/dt< 0 , atëherë vektorët ε dhe ω janë të drejtuar në të kundërt.

Komentoni. Kur ndodh lëvizje e pabarabartë rrotulluese, vektori ω mund të ndryshojë jo vetëm në madhësi, por edhe në drejtim (kur boshti i rrotullimit rrotullohet).

Marrëdhënia midis sasive që karakterizojnë lëvizjen përkthimore dhe rrotulluese

Dihet se gjatësia e harkut me këndin e rrotullimit të rrezes dhe vlera e tij lidhen me relacionin

ΔS = Δφ r.

Pastaj shpejtësia lineare e një pike materiale që kryen lëvizje rrotulluese

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Nxitimi normal i një pike materiale që kryen lëvizje rrotulluese përkthimore përcaktohet si më poshtë:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Pra, në formë skalare

a = ω 2 r.

Pika materiale e përshpejtuar tangjenciale që kryen lëvizje rrotulluese

a = ε r.

Momenti i një pike materiale

Prodhimi vektorial i vektorit të rrezes së trajektores së një pike materiale me masë m i dhe momentit të saj quhet momenti këndor i kësaj pike rreth boshtit të rrotullimit. Drejtimi i vektorit mund të përcaktohet duke përdorur rregullin e duhur të vidës.

Momenti i një pike materiale ( L i) është i drejtuar pingul me rrafshin e tërhequr përmes r i dhe υ i, dhe formon një treshe vektorësh në të djathtë me ta (d.m.th., kur lëviz nga fundi i vektorit r i për të υ i vidhosja e djathtë do të tregojë drejtimin e vektorit L i).

Në formë skalare

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Duke marrë parasysh se kur lëvizim në një rreth, vektori i rrezes dhe vektori i shpejtësisë lineare për pikën e i-të materiale janë reciprokisht pingul,

sin(υ i, r i) = 1.

Pra, momenti këndor i një pike materiale për lëvizje rrotulluese do të marrë formën

L = m i υ i r i .

Momenti i forcës që vepron në pikën e i-të materiale

Prodhimi vektorial i vektorit të rrezes, i cili tërhiqet në pikën e zbatimit të forcës, dhe kjo forcë quhet momenti i forcës që vepron në pikën e i-të materiale në raport me boshtin e rrotullimit.

Në formë skalare

M i = r i F i sin(r i, F i).

Duke marrë parasysh atë r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Madhësia l i, e barabartë me gjatësinë e pingulit të ulur nga pika e rrotullimit në drejtimin e veprimit të forcës, quhet krahu i forcës. F i.

Dinamika e lëvizjes rrotulluese

Ekuacioni për dinamikën e lëvizjes rrotulluese është shkruar si më poshtë:

M = dL/dt.

Formulimi i ligjit është si më poshtë: shkalla e ndryshimit të momentit këndor të një trupi që rrotullohet rreth një boshti fiks është i barabartë me momentin që rezulton në lidhje me këtë bosht të të gjitha forcave të jashtme të aplikuara në trup.

Momenti i impulsit dhe momenti i inercisë

Dihet se për pikën e i-të materiale, momenti këndor në formë skalare jepet me formula

L i = m i υ i r i .

Nëse në vend të shpejtësisë lineare e zëvendësojmë shprehjen e saj me shpejtësi këndore:

υ i = ωor i,

atëherë shprehja për momentin këndor do të marrë formën

L i = m i r i 2 ω.

Madhësia I i = m i r i 2 quhet momenti i inercisë në lidhje me boshtin e pikës së i-të materiale të një trupi absolutisht të ngurtë që kalon nëpër qendrën e masës së tij. Pastaj shkruajmë momentin këndor të pikës materiale:

L i = I i ω.

Momentin këndor të një trupi absolutisht të ngurtë e shkruajmë si shumën e momentit këndor të pikave materiale që përbëjnë këtë trup:

L = Iω.

Momenti i forcës dhe momenti i inercisë

Ligji i lëvizjes rrotulluese thotë:

M = dL/dt.

Dihet se momenti këndor i një trupi mund të përfaqësohet përmes momentit të inercisë:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Duke marrë parasysh se nxitimi këndor përcaktohet nga shprehja

ε = dω/dt,

marrim një formulë për momentin e forcës, të paraqitur përmes momentit të inercisë:

M = Iε.

Komentoni. Një moment force konsiderohet pozitiv nëse nxitimi këndor që e shkakton është më i madh se zero dhe anasjelltas.

Teorema e Shtajnerit. Ligji i mbledhjes së momenteve të inercisë

Nëse boshti i rrotullimit të një trupi nuk kalon nëpër qendrën e masës së tij, atëherë në lidhje me këtë bosht mund të gjesh momentin e tij të inercisë duke përdorur teoremën e Shtajnerit:
I = I 0 + ma 2,

Ku Unë 0- momenti fillestar i inercisë së trupit; m- masa trupore; a- distanca midis boshteve.

Nëse një sistem që rrotullohet rreth një boshti fiks përbëhet nga n trupat, atëherë momenti total i inercisë së këtij lloji të sistemit do të jetë i barabartë me shumën e momenteve të përbërësve të tij (ligji i mbledhjes së momenteve të inercisë).

Lëvizja e një trupi të ngurtë quhet rrotulluese nëse, gjatë lëvizjes, të gjitha pikat e trupit të vendosura në një vijë të caktuar të drejtë, të quajtur bosht rrotullimi, mbeten të palëvizshme.(Fig. 2.15).

Zakonisht përcaktohet pozicioni i trupit gjatë lëvizjes rrotulluese këndi i rrotullimit trupi , i cili matet si kënd dihedral ndërmjet planeve të palëvizshme dhe të lëvizshme që kalojnë nëpër boshtin e rrotullimit. Për më tepër, avioni i lëvizshëm është i lidhur me një trup rrotullues.

Le të paraqesim në konsideratë sistemet e koordinatave lëvizëse dhe fikse, origjina e të cilave do të vendoset në një pikë arbitrare O në boshtin e rrotullimit. Boshti Oz, i përbashkët për sistemet e koordinatave të lëvizshme dhe fikse, do të drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit, boshtit Oh të sistemit të koordinatave fikse, e drejtojmë pingul me boshtin Oz në mënyrë që të shtrihet në rrafshin fiks, boshti Oh 1 Le ta drejtojmë sistemin e koordinatave lëvizëse pingul me boshtin Oz në mënyrë që të shtrihet në rrafshin lëvizës (Fig. 2.15).

Nëse marrim parasysh një pjesë të një trupi nga një rrafsh pingul me boshtin e rrotullimit, atëherë këndi i rrotullimit φ mund të përkufizohet si kënd ndërmjet boshtit fiks Oh dhe boshti i lëvizshëm Oh 1, i lidhur pa ndryshim me një trup rrotullues (Fig. 2.16).

Pranohet drejtimi i referencës për këndin e rrotullimit të trupit φ në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohet pozitive kur shikohet nga drejtimi pozitiv i boshtit Oz.

Barazia φ = φ(t), duke përshkruar ndryshimin në kënd φ në kohë quhet ligji ose ekuacioni i lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë.

Shpejtësia dhe drejtimi i ndryshimit në këndin e rrotullimit të një trupi të ngurtë karakterizohen nga shpejtësi këndore. Vlera absolute e shpejtësisë këndore zakonisht shënohet me një shkronjë të alfabetit grek ω (omega). Vlera algjebrike e shpejtësisë këndore zakonisht shënohet me . Vlera algjebrike e shpejtësisë këndore është e barabartë me derivatin e parë të këndit të rrotullimit:

. (2.33)

Njësitë e shpejtësisë këndore janë të barabarta me njësitë e këndit të ndarë me njësinë e kohës, për shembull, deg/min, rad/h. Në sistemin SI, njësia matëse për shpejtësinë këndore është rad/s, por më shpesh emri i kësaj njësie matëse shkruhet si 1/s.

Nëse > 0, atëherë trupi rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës kur shikohet nga fundi i boshtit të koordinatave në linjë me boshtin e rrotullimit.

Nëse< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Shpejtësia dhe drejtimi i ndryshimit të shpejtësisë këndore karakterizohen nga nxitimi këndor. Vlera absolute e nxitimit këndor zakonisht shënohet me shkronjën e alfabetit grek e (epsilon). Vlera algjebrike e nxitimit këndor zakonisht shënohet me . Vlera algjebrike e nxitimit këndor është e barabartë me derivatin e parë në lidhje me kohën e vlerës algjebrike të shpejtësisë këndore ose derivatin e dytë të këndit të rrotullimit:

Njësitë e nxitimit këndor janë të barabarta me njësitë e këndit të pjesëtuara me njësinë e kohës në katror. Për shembull, gradë/s 2, rad/h 2. Në sistemin SI, njësia e matjes për nxitimin këndor është rad/s 2, por më shpesh emri i kësaj njësie matëse shkruhet si 1/s 2.

Nëse vlerat algjebrike të shpejtësisë këndore dhe nxitimit këndor kanë të njëjtën shenjë, atëherë shpejtësia këndore rritet në madhësi me kalimin e kohës, dhe nëse është e ndryshme, zvogëlohet.

Nëse shpejtësia këndore është konstante ( ω = konst), atëherë është zakon të thuhet se rrotullimi i trupit është i njëtrajtshëm. Në këtë rast:

φ = t + φ 0, (2.35)

Ku φ 0 - këndi fillestar i rrotullimit.

Nëse nxitimi këndor është konstant (e = konst), atëherë është zakon të thuhet se rrotullimi i trupit është i përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme (njëtrajtësisht i ngadalshëm). Në këtë rast:

Ku 0 - shpejtësia këndore fillestare.

Në raste të tjera, për të përcaktuar varësinë φ nga Dhe është e nevojshme të integrohen shprehjet (2.33), (2.34) në kushte fillestare të dhëna.

Në vizatime, drejtimi i rrotullimit të një trupi tregohet ndonjëherë me një shigjetë të lakuar (Fig. 2.17).

Shpesh në mekanikë, shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor konsiderohen si sasi vektoriale Dhe . Të dy këta vektorë janë të drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit të trupit. Për më tepër, vektori drejtuar në një drejtim me vektorin njësi, i cili përcakton drejtimin e boshtit koordinativ që përkon me boshtin e rrotullimit, nëse >0, dhe anasjelltas nëse
Drejtimi i vektorit zgjidhet në të njëjtën mënyrë (Fig. 2.18).

Gjatë lëvizjes rrotulluese të një trupi, secila nga pikat e tij (përveç pikave të vendosura në boshtin e rrotullimit) lëviz përgjatë një trajektoreje, e cila është një rreth me rreze të barabartë me distancën më të shkurtër nga pika në boshtin e rrotullimit (Fig. 2.19).

Meqenëse tangjentja e një rrethi në çdo pikë bën një kënd prej 90° me rrezen, vektori i shpejtësisë së një pike të një trupi që i nënshtrohet lëvizjes rrotulluese do të drejtohet pingul me rrezen dhe do të shtrihet në rrafshin e rrethit, i cili është trajektorja e lëvizjes së pikës. Komponenti tangjencial i nxitimit do të shtrihet në të njëjtën linjë me shpejtësinë, dhe komponenti normal do të drejtohet në mënyrë radiale drejt qendrës së rrethit. Prandaj, ndonjëherë quhen përkatësisht komponentët tangjencialë dhe normalë të nxitimit gjatë lëvizjes rrotulluese rrotulluese dhe centripetale (aksiale) komponentët (Fig. 2.19)

Vlera algjebrike e shpejtësisë së një pike përcaktohet nga shprehja:

, (2.37)

ku R = OM është distanca më e shkurtër nga pika në boshtin e rrotullimit.

Vlera algjebrike e komponentit tangjencial të nxitimit përcaktohet nga shprehja:

. (2.38)

Moduli i komponentit normal të nxitimit përcaktohet nga shprehja:

. (2.39)

Vektori i nxitimit të një pike gjatë lëvizjes rrotulluese përcaktohet nga rregulli i paralelogramit si shuma gjeometrike e përbërësve tangjentë dhe normalë. Prandaj, moduli i nxitimit mund të përcaktohet duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Nëse shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor përcaktohen si madhësi vektoriale , , atëherë vektorët e shpejtësisë, komponentët tangjencialë dhe normalë të nxitimit mund të përcaktohen me formulat:

ku është vektori i rrezes i tërhequr në pikën M nga një pikë arbitrare në boshtin e rrotullimit (Fig. 2.20).

Zgjidhja e problemeve që përfshijnë lëvizjen rrotulluese të një trupi zakonisht nuk shkakton ndonjë vështirësi. Duke përdorur formulat (2.33)-(2.40), mund të përcaktoni lehtësisht çdo parametër të panjohur.

Disa vështirësi lindin kur zgjidhen problemet që lidhen me studimin e mekanizmave të përbërë nga disa trupa të ndërlidhur që kryejnë lëvizje rrotulluese dhe përkthimore.

Qasja e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve të tilla është se lëvizja nga një trup në tjetrin transmetohet përmes një pike - pikës së tangjences (kontaktit). Për më tepër, trupat kontaktues kanë shpejtësi të barabartë dhe komponentë të nxitimit tangjencial në pikën e kontaktit. Përbërësit normalë të nxitimit për trupat në kontakt në pikën e kontaktit janë të ndryshëm; ato varen nga trajektorja e pikave të trupave.

Kur zgjidhni probleme të këtij lloji, është e përshtatshme, në varësi të rrethanave specifike, të përdoren si formulat e dhëna në seksionin 2.3 ashtu edhe formulat për përcaktimin e shpejtësisë dhe nxitimit të një pike kur specifikoni lëvizjen e saj si natyrore (2.7), (2.14). ) (2.16) ose metodat e koordinatave (2.3), (2.4), (2.10), (2.11). Për më tepër, nëse lëvizja e trupit të cilit i përket pika është rrotulluese, trajektorja e pikës do të jetë një rreth. Nëse lëvizja e trupit është përkthimore drejtvizore, atëherë trajektorja e pikës do të jetë një vijë e drejtë.

Shembulli 2.4. Trupi rrotullohet rreth një boshti fiks. Këndi i rrotullimit të trupit ndryshon sipas ligjit φ = π t 3 i gëzuar. Për një pikë të vendosur në një distancë OM = R = 0,5 m nga boshti i rrotullimit, përcaktoni shpejtësinë, tangjentën, përbërësit normalë të nxitimit dhe nxitimit në momentin e kohës. t 1= 0,5 s. Tregoni drejtimin e këtyre vektorëve në vizatim.

Le të shqyrtojmë një seksion të një trupi nga një rrafsh që kalon në pikën O pingul me boshtin e rrotullimit (Fig. 2.21). Në këtë figurë, pika O është pika e kryqëzimit të boshtit të rrotullimit dhe rrafshit të prerjes, pika M o Dhe M 1- përkatësisht pozicioni fillestar dhe aktual i pikës M. Nëpër pikat O dhe M o vizatoni një bosht fiks Oh, dhe përmes pikave O dhe M 1 - boshti i lëvizshëm Oh 1. Këndi ndërmjet këtyre boshteve do të jetë i barabartë me

Ligjin e ndryshimit të shpejtësisë këndore të trupit e gjejmë duke diferencuar ligjin e ndryshimit në këndin e rrotullimit:

Në këtë moment t 1 shpejtësia këndore do të jetë e barabartë

Ligjin e ndryshimit në nxitimin këndor të trupit do ta gjejmë duke diferencuar ligjin e ndryshimit të shpejtësisë këndore:

Në këtë moment t 1 nxitimi këndor do të jetë i barabartë me:

1/s 2,

Ne gjejmë vlerat algjebrike të vektorëve të shpejtësisë, komponentin tangjencial të nxitimit, modulin e komponentit normal të nxitimit dhe modulin e nxitimit duke përdorur formulat (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s 2 .

Që nga këndi φ 1>0, atëherë do ta zhvendosim nga boshti Ox në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Dhe që nga ajo kohë > 0, pastaj vektorët do të drejtohet pingul me rreze OM 1 kështu që ne i shohim duke rrotulluar në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Vektor do të drejtohet përgjatë rrezes OM 1 në boshtin e rrotullimit. Vektor Të ndërtojmë sipas rregullit të paralelogramit mbi vektorët τ Dhe .

Shembulli 2.5. Sipas ekuacionit të dhënë të lëvizjes përkthimore drejtvizore të ngarkesës 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) përcaktojnë shpejtësinë, si dhe përbërësin tangjencial, normal të nxitimit dhe nxitimin e pikës M të mekanizmit në momentin e kohës t 1, kur rruga e përshkuar nga ngarkesa 1 është s = 0,2 m. Kur zgjidhim problemin, do të supozojmë se nuk ka rrëshqitje në pikën e kontaktit të trupave 2 dhe 3, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R3 = 0,5 m (Fig. 2,22).

Ligji i lëvizjes përkthimore drejtvizore të ngarkesës 1 jepet në formë koordinative. Le të përcaktojmë momentin në kohë t 1, për të cilën rruga e përshkuar nga ngarkesa 1 do të jetë e barabartë me s

s = x(t l)-x(0),

nga ku marrim:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Prandaj,

Pasi kemi diferencuar ekuacionin e lëvizjes në lidhje me kohën, gjejmë projeksionet e shpejtësisë dhe nxitimit të ngarkesës 1 në boshtin Ox:

Znj 2 ;

Në momentin t = t 1 projeksioni i shpejtësisë së ngarkesës 1 do të jetë i barabartë me:

pra do të jetë më e madhe se zero, siç është projeksioni i nxitimit të ngarkesës 1. Prandaj, ngarkesa 1 do të jetë në momentin t. 1 lëvizni poshtë me përshpejtim të njëtrajtshëm, përkatësisht, trupi 2 do të rrotullohet i përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe trupi 3 do të rrotullohet në drejtim të akrepave të orës.

Trupi 2 drejtohet në rrotullim nga trupi 1 përmes një plage me fije në një daulle kurthi. Prandaj, modulet e shpejtësive të pikave të trupit 1, filli dhe sipërfaqja e tamburit të trupit 2 janë të barabarta, dhe modulet e nxitimit të pikave të trupit 1, filli dhe përbërësi tangjencial i nxitimit. do të jenë të barabarta edhe pikat e sipërfaqes së tamburit të trupit 2. Për rrjedhojë, moduli i shpejtësisë këndore të trupit 2 mund të përkufizohet si

Moduli i nxitimit këndor të trupit 2 do të jetë i barabartë me:

1/s 2 .

Le të përcaktojmë modulet e shpejtësisë dhe komponentin tangjencial të nxitimit për pikën K të trupit 2 - pika e kontaktit të trupave 2 dhe 3:

Znj, Znj 2

Meqenëse trupat 2 dhe 3 rrotullohen pa rrëshqitje reciproke, madhësitë e shpejtësisë dhe komponenti tangjencial i nxitimit të pikës K - pika e kontaktit për këta trupa do të jenë të barabarta.

le ta drejtojmë pingul me rrezen në drejtim të rrotullimit të trupit, pasi trupi 3 rrotullohet i përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme

Progresiveështë lëvizja e një trupi të ngurtë në të cilin çdo vijë e drejtë e lidhur pa ndryshim me këtë trup mbetet paralele me pozicionin e tij fillestar.

Teorema. Gjatë lëvizjes përkthimore të një trupi të ngurtë, të gjitha pikat e tij përshkruajnë trajektore identike dhe në çdo moment të caktuar kanë shpejtësi dhe nxitim të barabartë në madhësi dhe drejtim.

Dëshmi. Le të tërheqim dy pika dhe , një segment trupor që lëviz në mënyrë lineare
dhe merrni parasysh lëvizjen e këtij segmenti në pozicion
. Në të njëjtën kohë, pika përshkruan trajektoren
, dhe pikë – trajektorja
(Fig. 56).

Duke pasur parasysh se segmenti
lëviz paralel me vetveten dhe gjatësia e tij nuk ndryshon, mund të vërtetohet se trajektoret e pikave Dhe do të jetë e njëjtë. Kjo do të thotë se pjesa e parë e teoremës është e vërtetuar. Ne do të përcaktojmë pozicionin e pikave Dhe metodë vektoriale në lidhje me një origjinë fikse . Për më tepër, këta radi - vektorë janë të varur
. Sepse. as gjatësia dhe as drejtimi i segmentit
nuk ndryshon kur trupi lëviz, atëherë vektori

. Le të kalojmë në përcaktimin e shpejtësive duke përdorur varësinë (24):

, marrim
.

Le të kalojmë në përcaktimin e përshpejtimeve duke përdorur varësinë (26):

, marrim
.

Nga teorema e vërtetuar del se lëvizja përkthimore e një trupi do të përcaktohet plotësisht nëse dihet lëvizja e vetëm një pike. Prandaj, studimi i lëvizjes përkthimore të një trupi të ngurtë zbret në studimin e lëvizjes së një prej pikave të tij, d.m.th. deri në problemin e kinematikës.

Tema 11. Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë

Rrotulluese Kjo është lëvizja e një trupi të ngurtë në të cilin dy nga pikat e tij mbeten të palëvizshme gjatë gjithë lëvizjes. Në këtë rast, drejtëza që kalon nëpër këto dy pika fikse quhet boshti i rrotullimit.

Gjatë kësaj lëvizjeje, çdo pikë e trupit që nuk shtrihet në boshtin e rrotullimit përshkruan një rreth, rrafshi i të cilit është pingul me boshtin e rrotullimit dhe qendra e tij shtrihet në këtë bosht.

Ne vizatojmë përmes boshtit të rrotullimit një plan fiks I dhe një plan të lëvizshëm II, të lidhur pa ndryshim me trupin dhe duke rrotulluar me të (Fig. 57). Pozicioni i planit II, dhe rrjedhimisht i gjithë trupit, në raport me planin I në hapësirë, përcaktohet plotësisht nga këndi . Kur një trup rrotullohet rreth një boshti ky kënd është një funksion i vazhdueshëm dhe i paqartë i kohës. Prandaj, duke ditur ligjin e ndryshimit të këtij këndi me kalimin e kohës, ne mund të përcaktojmë pozicionin e trupit në hapësirë:

- ligji i lëvizjes rrotulluese të një trupi. (43)

Në këtë rast, do të supozojmë se këndi matet nga një plan fiks në drejtim të kundërt me lëvizjen në drejtim të akrepave të orës, kur shikohet nga fundi pozitiv i boshtit . Meqenëse pozicioni i një trupi që rrotullohet rreth një boshti fiks përcaktohet nga një parametër, një trup i tillë thuhet se ka një shkallë lirie.

Shpejtësia këndore

Ndryshimi në këndin e rrotullimit të një trupi me kalimin e kohës quhet këndor shpejtësia e trupit dhe është caktuar
(omega):

.(44)

Shpejtësia këndore, ashtu si shpejtësia lineare, është një sasi vektoriale, dhe ky vektor ndërtuar mbi boshtin e rrotullimit të trupit. Ai drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit në atë drejtim në mënyrë që, duke parë nga fundi në fillim, të shihet rrotullimi i trupit në drejtim të kundërt të akrepave të orës (Fig. 58). Moduli i këtij vektori përcaktohet nga varësia (44). Pika e aplikimit në bosht mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare, pasi vektori mund të transferohet përgjatë vijës së veprimit të tij. Nëse vektorin orth të boshtit të rrotullimit e shënojmë me , atëherë marrim shprehjen vektoriale për shpejtësinë këndore:

. (45)

Nxitimi këndor

Shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë këndore të një trupi me kalimin e kohës quhet nxitimi këndor trupi dhe është caktuar (epsilon):

. (46)

Nxitimi këndor është një sasi vektoriale, dhe ky vektor ndërtuar mbi boshtin e rrotullimit të trupit. Ai drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit në atë drejtim në mënyrë që, duke parë nga fundi në fillim, të shihet drejtimi i rrotullimit të epsilonit në drejtim të kundërt të akrepave të orës (Fig. 58). Moduli i këtij vektori përcaktohet nga varësia (46). Pika e aplikimit në bosht mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare, pasi vektori mund të transferohet përgjatë vijës së veprimit të tij.

Nëse vektorin orth të boshtit të rrotullimit e shënojmë me , atëherë marrim shprehjen vektoriale për nxitimin këndor:

. (47)

Nëse shpejtësia këndore dhe nxitimi janë të së njëjtës shenjë, atëherë trupi rrotullohet i përshpejtuar, dhe nëse është ndryshe - ngadalë. Një shembull i rrotullimit të ngadaltë është paraqitur në Fig. 58.

Le të shqyrtojmë raste të veçanta të lëvizjes rrotulluese.

1. Rrotullim uniform:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Rrotullim i barabartë:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Marrëdhënia ndërmjet parametrave linearë dhe këndorë

Konsideroni lëvizjen e një pike arbitrare
trup rrotullues. Në këtë rast, trajektorja e pikës do të jetë një rreth me rreze
, i vendosur në një plan pingul me boshtin e rrotullimit (Fig. 59, A).

Le të supozojmë se në momentin e kohës pika është në pozicion
. Le të supozojmë se trupi rrotullohet në një drejtim pozitiv, d.m.th. në drejtim të rritjes së këndit . Në një moment në kohë
pika do të marrë pozicion
. Le të shënojmë harkun
. Prandaj, gjatë një periudhe kohore
pika e ka kaluar rrugën
. Shpejtësia mesatare e saj , dhe kur
,
. Por, nga Fig. 59, b, është e qartë se
. Pastaj. Më në fund arrijmë

. (50)

Këtu - shpejtësia lineare e pikës
. Siç u mor më herët, kjo shpejtësi drejtohet tangjencialisht në trajektoren në një pikë të caktuar, d.m.th. tangjente me rrethin.

Kështu, moduli i shpejtësisë lineare (rrethore) të një pike të një trupi rrotullues është i barabartë me produktin e vlerës absolute të shpejtësisë këndore dhe distancën nga kjo pikë në boshtin e rrotullimit.

Tani le të lidhim komponentët linearë të nxitimit të një pike me parametrat këndorë.

,
. (51)

Moduli i nxitimit tangjencial të një pike të një trupi të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti fiks është i barabartë me produktin e nxitimit këndor të trupit dhe distancën nga kjo pikë në boshtin e rrotullimit.

,
. (52)

Moduli i nxitimit normal të një pike të një trupi të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti fiks është i barabartë me produktin e katrorit të shpejtësisë këndore të trupit dhe distancën nga kjo pikë në boshtin e rrotullimit.

Pastaj shprehja për nxitimin total të pikës merr formën

. (53)

Drejtimet e vektorit ,,treguar në figurën 59, V.

Lëvizja e sheshtë i një trupi të ngurtë është një lëvizje në të cilën të gjitha pikat e trupit lëvizin paralelisht me një plan të caktuar. Shembuj të lëvizjeve të tilla:

Lëvizja e çdo trupi baza e të cilit rrëshqet përgjatë një rrafshi të caktuar fiks;

Rrotullimi i një rrote përgjatë një seksioni të drejtë të trasesë (hekurudhës).

Marrim ekuacionet e lëvizjes së rrafshët. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një figurë të sheshtë që lëviz në rrafshin e fletës (Fig. 60). Le ta lidhim këtë lëvizje me një sistem koordinativ fiks
, dhe me vetë figurën lidhim sistemin e koordinatave lëvizëse
, e cila lëviz me të.

Natyrisht, pozicioni i një figure lëvizëse në një plan të palëvizshëm përcaktohet nga pozicioni i akseve lëvizëse.
në raport me akset fikse
. Ky pozicion përcaktohet nga pozicioni i origjinës lëvizëse , d.m.th. koordinatat ,dhe këndi i rrotullimit , një sistem koordinativ në lëvizje, relativisht i fiksuar, të cilin do ta numërojmë nga boshti në drejtim të kundërt me lëvizjen në drejtim të akrepave të orës.

Rrjedhimisht, lëvizja e një figure të sheshtë në rrafshin e saj do të përcaktohet plotësisht nëse vlerat e ,,, d.m.th. ekuacionet e formës:

,
,
. (54)

Ekuacionet (54) janë ekuacione të lëvizjes së rrafshët të një trupi të ngurtë, pasi nëse këto funksione dihen, atëherë për çdo moment të kohës është e mundur të gjendet nga këto ekuacione, përkatësisht ,,, d.m.th. përcaktoni pozicionin e një figure lëvizëse në një moment të caktuar kohor.

Le të shqyrtojmë raste të veçanta:

1.

, atëherë lëvizja e trupit do të jetë përkthimore, pasi boshtet lëvizëse lëvizin duke mbetur paralel me pozicionin e tyre fillestar.

2.

,

. Me këtë lëvizje ndryshon vetëm këndi i rrotullimit , d.m.th. trupi do të rrotullohet rreth një boshti që kalon pingul me rrafshin e vizatimit përmes pikës .

Zbërthimi i lëvizjes së një figure të sheshtë në përkthimore dhe rrotulluese

Konsideroni dy pozicione të njëpasnjëshme Dhe
e zënë nga trupi në momente kohore Dhe
(Fig. 61). Trupi nga pozicioni për të pozicionuar
mund të transferohet si më poshtë. Le të lëvizim trupin së pari në mënyrë progresive. Në këtë rast, segmenti
do të lëvizë paralelisht me veten në pozicion
, dhe pastaj le të kthehemi trupi rreth një pike (poli) në një kënd
derisa pikat të përkojnë Dhe .

Prandaj, çdo lëvizje në rrafsh mund të përfaqësohet si shuma e lëvizjes përkthimore së bashku me polin e zgjedhur dhe lëvizjen rrotulluese, në lidhje me këtë pol.

Le të shqyrtojmë metodat që mund të përdoren për të përcaktuar shpejtësinë e pikave të një trupi që kryen lëvizje në rrafsh.

1. Metoda e poleve. Kjo metodë bazohet në zbërthimin që rezulton i lëvizjes së aeroplanit në përkthim dhe rrotullues. Shpejtësia e çdo pike të një figure të sheshtë mund të përfaqësohet në formën e dy komponentëve: përkthimore, me një shpejtësi të barabartë me shpejtësinë e një pike të zgjedhur në mënyrë arbitrare -polet , dhe rrotulluese rreth këtij pol.

Le të shqyrtojmë një trup të sheshtë (Fig. 62). Ekuacionet e lëvizjes janë:
,
,
.

Nga këto ekuacione përcaktojmë shpejtësinë e pikës (si me metodën e koordinatave të specifikimit)

,
,
.

Kështu, shpejtësia e pikës - sasia dihet. Ne e marrim këtë pikë si një pol dhe përcaktojmë shpejtësinë e një pike arbitrare
Trupat.

Shpejtësia
do të përbëhet nga një komponent përkthimor , kur lëviz së bashku me pikën , dhe rrotulluese
, kur rrotullohet pika
në lidhje me pikën . Shpejtësia e pikës lëviz në pikë
paralel me vetveten, pasi gjatë lëvizjes përkthimore shpejtësitë e të gjitha pikave janë të barabarta si në madhësi ashtu edhe në drejtim. Shpejtësia
do të përcaktohet nga varësia (50)
, dhe ky vektor është i drejtuar pingul me rreze
në drejtim të rrotullimit
. Vektor
do të drejtohet përgjatë diagonales së një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë Dhe
, dhe moduli i tij përcaktohet nga varësia:

, .(55)

2. Teorema mbi projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi.

Projeksionet e shpejtësive të dy pikave të një trupi të ngurtë në një vijë të drejtë që lidh këto pika janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Konsideroni dy pika të trupit Dhe (Fig. 63). Duke marrë një pikë përtej polit, ne përcaktojmë drejtimin në varësi të (55):
. Ne e projektojmë këtë barazi vektoriale në vijë
dhe duke pasur parasysh atë
pingul
, marrim

3. Qendra e shpejtësisë së menjëhershme.

Qendra e shpejtësisë së menjëhershme(MCS) është një pikë shpejtësia e së cilës në një kohë të caktuar është zero.

Le të tregojmë se nëse një trup nuk lëviz në mënyrë përkthimore, atëherë një pikë e tillë ekziston në çdo moment të kohës dhe, për më tepër, është unike. Lëreni në një moment në kohë pikë Dhe trupat e shtrirë në seksion , kanë shpejtësi Dhe , jo paralel me njëri-tjetrin (Fig. 64). Pastaj tregoni
, i shtrirë në kryqëzimin e pinguleve me vektorët Dhe , dhe do të ketë një MCS, pasi
.

Në të vërtetë, nëse supozojmë se
, pastaj sipas teoremës (56), vektori
duhet të jetë pingul në të njëjtën kohë
Dhe
, gjë që është e pamundur. Nga e njëjta teoremë është e qartë se asnjë pikë tjetër seksioni në këtë moment në kohë nuk mund të ketë një shpejtësi të barabartë me zero.

Duke përdorur metodën e shtyllës
- shtyllë, përcaktoni shpejtësinë e pikës (55): sepse
,
. (57)

Një rezultat i ngjashëm mund të merret për çdo pikë tjetër të trupit. Prandaj, shpejtësia e çdo pike në trup është e barabartë me shpejtësinë e saj të rrotullimit në raport me MCS:

,
,
, d.m.th. shpejtësitë e pikave të trupit janë proporcionale me largësitë e tyre me MCS.

Nga tre metodat e konsideruara për përcaktimin e shpejtësive të pikave të një figure të sheshtë, është e qartë se MCS është e preferueshme, pasi këtu shpejtësia përcaktohet menjëherë si në madhësi ashtu edhe në drejtim të një komponenti. Megjithatë, kjo metodë mund të përdoret nëse dimë ose mund të përcaktojmë pozicionin e MCS për trupin.

Përcaktimi i pozicionit të MCS

1. Nëse dimë për një pozicion të caktuar të trupit drejtimet e shpejtësive të dy pikave të trupit, atëherë MCS do të jetë pika e prerjes së pinguleve me këta vektorë të shpejtësisë.

2. Shpejtësitë e dy pikave të trupit janë antiparalele (Fig. 65, A). Në këtë rast, pingulja me shpejtësitë do të jetë e zakonshme, d.m.th. MCS ndodhet diku në këtë pingul. Për të përcaktuar pozicionin e MCS, është e nevojshme të lidhni skajet e vektorëve të shpejtësisë. Pika e prerjes së kësaj drejtëze me pingulen do të jetë MCS e dëshiruar. Në këtë rast, MCS ndodhet midis këtyre dy pikave.

3. Shpejtësitë e dy pikave të trupit janë paralele, por jo të barabarta në madhësi (Fig. 65, b). Procedura për marrjen e MDS është e ngjashme me atë të përshkruar në paragrafin 2.

d) Shpejtësitë e dy pikave janë të barabarta si në madhësi ashtu edhe në drejtim (Fig. 65, V). Marrim rastin e lëvizjes përkthimore të menjëhershme, në të cilën shpejtësitë e të gjitha pikave të trupit janë të barabarta. Rrjedhimisht, shpejtësia këndore e trupit në këtë pozicion është zero:

4. Le të përcaktojmë MCS për një rrotë që rrotullohet pa rrëshqitur në një sipërfaqe të palëvizshme (Fig. 65, G). Meqenëse lëvizja ndodh pa rrëshqitje, në pikën e kontaktit të rrotës me sipërfaqen shpejtësia do të jetë e njëjtë dhe e barabartë me zero, pasi sipërfaqja është e palëvizshme. Rrjedhimisht, pika e kontaktit të timonit me një sipërfaqe të palëvizshme do të jetë MCS.

Përcaktimi i nxitimeve të pikave të një figure të rrafshët

Gjatë përcaktimit të nxitimeve të pikave të një figure të sheshtë, ekziston një analogji me metodat për përcaktimin e shpejtësive.

1. Metoda e poleve. Ashtu si kur përcaktojmë shpejtësitë, marrim si pol një pikë arbitrare të trupit, nxitimin e së cilës e dimë ose mund ta përcaktojmë. Pastaj nxitimi i çdo pike të një figure të sheshtë është i barabartë me shumën e nxitimeve të polit dhe nxitimin në lëvizjen rrotulluese rreth këtij poli:

Në këtë rast, komponenti
përcakton nxitimin e një pike ndërsa rrotullohet rreth shtyllës . Kur rrotullohet, trajektorja e pikës do të jetë lakor, që do të thotë
(Fig. 66).

Pastaj varësia (58) merr formën
. (59)

Duke marrë parasysh varësitë (51) dhe (52), marrim
,
.

2. Qendra e nxitimit të menjëhershëm.

Qendra e përshpejtimit të menjëhershëm(MCU) është një pikë, nxitimi i së cilës në një kohë të caktuar është zero.

Le të tregojmë se në çdo moment të caktuar kohor ekziston një pikë e tillë. Ne marrim një pikë si shtyllë , nxitimi i të cilit
e dimë. Gjetja e këndit , i shtrirë brenda
, dhe plotësimin e kushtit
. Nëse
, Kjo
dhe anasjelltas, d.m.th. qoshe vonuar në drejtim . Le të shtyjmë nga pika në një kënd te vektori
segmenti i linjës
(Fig. 67). Pika e përftuar nga ndërtime të tilla
do të ketë një MCU.

Në të vërtetë, përshpejtimi i pikës
e barabartë me shumën e nxitimeve
polet dhe nxitimi
në lëvizje rrotulluese rreth polit :
.

,
. Pastaj
. Nga ana tjetër, nxitimi
formon me drejtimin e segmentit
qoshe
, që plotëson kushtin
. Një shenjë minus vendoset përpara tangjentes së këndit , që nga rrotullimi
në lidhje me polin në të kundërt të akrepave të orës, dhe këndi
depozitohet në drejtim të akrepave të orës. Pastaj
.

Prandaj,
dhe pastaj
.

Raste të veçanta të përcaktimit të MCU

1.
. Pastaj
, dhe, për rrjedhojë, MCU nuk ekziston. Në këtë rast, trupi lëviz në mënyrë translatore, d.m.th. shpejtësitë dhe nxitimet e të gjitha pikave të trupit janë të barabarta.

2.
. Pastaj
,
. Kjo do të thotë që MCU shtrihet në kryqëzimin e linjave të veprimit të nxitimeve të pikave të trupit (Fig. 68, A).

3.
. Pastaj,
,
. Kjo do të thotë se MCU shtrihet në kryqëzimin e pinguleve me nxitimet e pikave të trupit (Fig. 68, b).

4.
. Pastaj
,

. Kjo do të thotë që MCU shtrihet në kryqëzimin e rrezeve të tërhequra nga nxitimet e pikave të trupit në një kënd (Fig. 68, V).

Nga rastet e veçanta të shqyrtuara mund të konkludojmë: nëse e pranojmë pikën
përtej polit, atëherë nxitimi i çdo pike të një figure të sheshtë përcaktohet nga nxitimi në lëvizjen rrotulluese rreth MCU:

. (60)

Lëvizja komplekse e pikës një lëvizje në të cilën një pikë merr pjesë njëkohësisht në dy ose më shumë lëvizje quhet. Me një lëvizje të tillë, pozicioni i pikës përcaktohet në lidhje me sistemet e referencës lëvizëse dhe relativisht të palëvizshme.

Lëvizja e një pike në lidhje me një kornizë referimi lëvizëse quhet lëvizja relative e një pike . Ne pranojmë të shënojmë parametrat e lëvizjes relative
.

Lëvizja e asaj pike të sistemit të referencës në lëvizje me të cilën pika lëvizëse në lidhje me sistemin e referencës stacionare aktualisht përkon quhet lëvizja portative e pikës . Ne pranojmë të shënojmë parametrat e lëvizjes portative
.

Lëvizja e një pike në lidhje me një kornizë fikse referimi quhet absolute (komplekse) lëvizja e pikës . Ne jemi dakord të shënojmë parametrat e lëvizjes absolute
.

Si shembull i lëvizjes komplekse, ne mund të konsiderojmë lëvizjen e një personi në një automjet në lëvizje (tramvaj). Në këtë rast, lëvizja e njeriut lidhet me sistemin e koordinatave lëvizëse - tramvajin dhe me sistemin e koordinatave fikse - tokën (rrugën). Pastaj, bazuar në përkufizimet e dhëna më sipër, lëvizja e një personi në lidhje me tramvajin është relative, lëvizja së bashku me tramvajin në lidhje me tokën është e lëvizshme dhe lëvizja e një personi në lidhje me tokën është absolute.

Ne do të përcaktojmë pozicionin e pikës
rrezet - vektorët në lidhje me lëvizjen
dhe i palëvizshëm
sistemet e koordinatave (Fig. 69). Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: - vektori i rrezes që përcakton pozicionin e pikës
në raport me sistemin e koordinatave në lëvizje
,
;- vektori i rrezes që përcakton pozicionin e fillimit të sistemit të koordinatave lëvizëse (pika ) (pika );- rreze - një vektor që përcakton pozicionin e një pike
në lidhje me një sistem koordinativ fiks
;
,.

Le të marrim kushte (kufizime) që korrespondojnë me lëvizjet relative, të lëvizshme dhe absolute.

1. Kur shqyrtojmë lëvizjen relative, do të supozojmë se pika
lëviz në raport me sistemin e koordinatave lëvizëse
, dhe vetë sistemi i koordinatave lëvizëse
në lidhje me një sistem koordinativ fiks
nuk lëviz.

Pastaj koordinatat e pikës
do të ndryshojë në lëvizje relative, por vektorët orth të sistemit të koordinatave lëvizëse nuk do të ndryshojnë në drejtim:

,

,

.

2. Kur shqyrtojmë lëvizjen portative, do të supozojmë se koordinatat e pikës
në lidhje me sistemin e koordinatave lëvizëse janë të fiksuara, dhe pika lëviz së bashku me sistemin e koordinatave lëvizëse
relativisht i palëvizshëm
:

,

,

,.

3. Me lëvizje absolute edhe pika lëviz relativisht
dhe së bashku me sistemin koordinativ
relativisht i palëvizshëm
:

Pastaj shprehjet për shpejtësitë, duke marrë parasysh (27), kanë formën

,
,

Duke krahasuar këto varësi, marrim shprehjen për shpejtësinë absolute:
. (61)

Ne morëm një teoremë mbi mbledhjen e shpejtësive të një pike në lëvizje komplekse: shpejtësia absolute e një pike është e barabartë me shumën gjeometrike të komponentëve të shpejtësisë relative dhe të lëvizshme.

Duke përdorur varësinë (31), marrim shprehje për nxitimet:

,

Duke krahasuar këto varësi, marrim një shprehje për nxitimin absolut:
.

Ne zbuluam se nxitimi absolut i një pike nuk është i barabartë me shumën gjeometrike të komponentëve relativ dhe të lëvizshëm të nxitimit. Le të përcaktojmë komponentin e nxitimit absolut në kllapa për raste të veçanta.

1. Lëvizja përkthimore portative e pikës
. Në këtë rast, boshtet e sistemit të koordinatave lëvizëse
lëvizin gjatë gjithë kohës paralel me veten e tyre, atëherë.

,

,

,
,
,
, Pastaj
. Më në fund arrijmë

. (62)

Nëse lëvizja e lëvizshme e një pike është përkthimore, atëherë nxitimi absolut i pikës është i barabartë me shumën gjeometrike të përbërësve relativë dhe të lëvizshëm të nxitimit.

2. Lëvizja portative e pikës është jo përkthimore. Kjo do të thotë se në këtë rast sistemi i koordinatave lëvizëse
rrotullohet rreth boshtit të menjëhershëm të rrotullimit me shpejtësi këndore (Fig. 70). Le të shënojmë pikën në fund të vektorit përmes . Më pas, duke përdorur metodën vektoriale të specifikimit (15), marrim vektorin e shpejtësisë së kësaj pike
.

Ne anen tjeter,
. Duke barazuar anët e djathta të këtyre barazive vektoriale, marrim:
. Duke vepruar në mënyrë të ngjashme për vektorët e mbetur njësi, marrim:
,
.

Në rastin e përgjithshëm, nxitimi absolut i një pike është i barabartë me shumën gjeometrike të komponentëve të nxitimit relativ dhe të lëvizshëm plus produktin e dyfishuar të vektorit të vektorit të shpejtësisë këndore të lëvizjes portative dhe vektorit të shpejtësisë lineare të lëvizjes relative.

Produkti vektorial i dyfishtë i vektorit të shpejtësisë këndore të lëvizjes portative dhe vektorit të shpejtësisë lineare të lëvizjes relative quhet Nxitimi i Coriolis dhe është caktuar

. (64)

Nxitimi i Coriolis karakterizon ndryshimin në shpejtësinë relative në lëvizjen përkthimore dhe ndryshimin në shpejtësinë e përkthimit në lëvizjen relative.

me krye
sipas rregullit të produktit vektor. Vektori i nxitimit Coriolis është gjithmonë i drejtuar pingul me rrafshin e formuar nga vektorët Dhe , në mënyrë të tillë që, duke parë nga fundi i vektorit
, shiko kthesën për të , përmes këndit më të vogël, në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Moduli i nxitimit të Coriolis është i barabartë me.

Këndi i rrotullimit, shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor

Rrotullimi i një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks Quhet një lëvizje e tillë në të cilën dy pika të trupit mbeten të palëvizshme gjatë gjithë kohës së lëvizjes. Në këtë rast, të gjitha pikat e trupit të vendosura në një vijë të drejtë që kalon nëpër pikat e tij fikse gjithashtu mbeten të palëvizshme. Kjo linjë quhet boshti i rrotullimit të trupit.

Nëse A Dhe NË- pikat fikse të trupit (Fig. 15 ), atëherë boshti i rrotullimit është boshti Oz, të cilat mund të kenë çdo drejtim në hapësirë, jo domosdoshmërisht vertikale. Drejtimi me një aks Oz merret si pozitive.

Ne vizatojmë një plan fiks përmes boshtit të rrotullimit Nga dhe celular P, ngjitur në një trup rrotullues. Le të përkojnë në momentin fillestar të dy rrafshët. Pastaj në një moment në kohë t pozicioni i rrafshit në lëvizje dhe vetë trupit rrotullues mund të përcaktohet nga këndi dihedral midis planeve dhe këndit linear përkatës. φ ndërmjet vijave të drejta të vendosura në këto rrafshe dhe pingul me boshtin e rrotullimit. Këndi φ thirrur këndi i rrotullimit të trupit.

Pozicioni i trupit në lidhje me sistemin e zgjedhur të referencës përcaktohet plotësisht në çdo

momenti në kohë, nëse jepet ekuacioni φ =f(t) (5)

Ku f(t)- çdo funksion dy herë të diferencueshëm të kohës. Ky ekuacion quhet ekuacioni për rrotullimin e një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks.

Një trup që rrotullohet rreth një boshti fiks ka një shkallë lirie, pasi pozicioni i tij përcaktohet duke specifikuar vetëm një parametër - këndin φ .

Këndi φ konsiderohet pozitive nëse vizatohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës, dhe negative në drejtim të kundërt kur shikohet nga drejtimi pozitiv i boshtit Oz. Trajektoret e pikave të një trupi gjatë rrotullimit të tij rreth një boshti fiks janë rrathë të vendosur në rrafshe pingul me boshtin e rrotullimit.

Për të karakterizuar lëvizjen rrotulluese të një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks, ne prezantojmë konceptet e shpejtësisë këndore dhe nxitimit këndor. Shpejtësia këndore algjebrike e trupit në çdo moment në kohë quhet derivati ​​i parë në lidhje me kohën e këndit të rrotullimit në këtë moment, d.m.th. dφ/dt = φ.Është një madhësi pozitive kur trupi rrotullohet në drejtim të kundërt, pasi këndi i rrotullimit rritet me kalimin e kohës, dhe negativ kur trupi rrotullohet në drejtim të akrepave të orës, sepse këndi i rrotullimit zvogëlohet.

Moduli i shpejtësisë këndore shënohet me ω. Pastaj ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensioni i shpejtësisë këndore është vendosur në përputhje me (6)

[ω] = kënd/kohë = rad/s = s -1.

Në inxhinieri, shpejtësia këndore është shpejtësia e rrotullimit e shprehur në rrotullime për minutë. Në 1 minutë trupi do të rrotullohet përmes një këndi 2πp, Nëse P- numri i rrotullimeve në minutë. Duke e pjesëtuar këtë kënd me numrin e sekondave në një minutë, marrim: (7)

Nxitimi këndor algjebrik i trupit quhet derivati ​​i parë në lidhje me kohën e shpejtësisë algjebrike, d.m.th. derivati ​​i dytë i këndit të rrotullimit d 2 φ/dt 2 = ω. Le të shënojmë modulin e nxitimit këndor ε , Pastaj ε=|φ| (8)

Dimensioni i nxitimit këndor është marrë nga (8):

[ε ] = shpejtësia/koha këndore = rad/s 2 = s -2

Nëse φ’’>0 në φ’>0 , atëherë shpejtësia këndore algjebrike rritet me kalimin e kohës dhe, për rrjedhojë, trupi rrotullohet i përshpejtuar në momentin e kohës në drejtim pozitiv (në drejtim të kundërt të akrepave të orës). Në φ’’<0 Dhe φ’<0 trupi rrotullohet me shpejtësi në drejtim negativ. Nëse φ’’<0 në φ’>0 , atëherë kemi rrotullim të ngadaltë në drejtim pozitiv. Në φ’’>0 Dhe φ’<0 , d.m.th. rrotullimi i ngadaltë ndodh në drejtim negativ. Shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor në figura përshkruhen nga shigjetat e harkut rreth boshtit të rrotullimit. Shigjeta e harkut për shpejtësinë këndore tregon drejtimin e rrotullimit të trupave;

Për rrotullimin e përshpejtuar, shigjetat e harkut për shpejtësinë këndore dhe nxitimin këndor kanë të njëjtat drejtime; për rrotullimin e ngadaltë, drejtimet e tyre janë të kundërta.

Raste të veçanta të rrotullimit të një trupi të ngurtë

Rrotullimi thuhet se është uniform nëse ω=konst, φ= φ’t

Rrotullimi do të jetë uniform nëse ε=konst. φ’= φ’ 0 + φ’’t dhe

Në përgjithësi, nëse φ’’ jo gjithmone,

Shpejtësitë dhe nxitimet e pikave të trupit

Ekuacioni për rrotullimin e një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks është i njohur φ= f(t)(Fig. 16). Largësia s pikë M në një aeroplan në lëvizje P përgjatë një harku rrethor (trajektorja e pikës), e matur nga pika M o, të vendosura në një rrafsh fiks, të shprehur përmes këndit φ varësia s=hφ, Ku h-rrezja e rrethit përgjatë të cilit lëviz pika. Është distanca më e shkurtër nga një pikë M në boshtin e rrotullimit. Kjo nganjëherë quhet rrezja e rrotullimit të një pike. Në çdo pikë të trupit, rrezja e rrotullimit mbetet e pandryshuar kur trupi rrotullohet rreth një boshti fiks.

Shpejtësia algjebrike e një pike M përcaktuar nga formula v τ =s’=hφ Moduli i shpejtësisë së pikës: v=hω(9)

Shpejtësitë e pikave të trupit kur rrotullohen rreth një boshti fiks janë proporcionale me distancat e tyre më të shkurtra në këtë aks. Koeficienti i proporcionalitetit është shpejtësia këndore. Shpejtësitë e pikave drejtohen përgjatë tangjentave me trajektoret dhe, për rrjedhojë, janë pingul me rrezet e rrotullimit. Shpejtësitë e pikave të trupit të vendosura në një segment të drejtë OM, në përputhje me (9) shpërndahen sipas një ligji linear. Ato janë reciprokisht paralele, dhe skajet e tyre janë të vendosura në të njëjtën vijë të drejtë që kalon nëpër boshtin e rrotullimit. Nxitimi i një pike e zbërthejmë në komponentë tangjencialë dhe normalë, d.m.th. a=a τ +a nτ Nxitimi tangjencial dhe normal llogariten duke përdorur formulat (10)

meqenëse për një rreth rrezja e lakimit është p=h(Fig. 17 ). Kështu,

Përshpejtimet tangjente, normale dhe totale të pikave, si dhe shpejtësitë, shpërndahen gjithashtu sipas një ligji linear. Ato varen në mënyrë lineare nga distancat e pikave në boshtin e rrotullimit. Nxitimi normal drejtohet përgjatë rrezes së rrethit drejt boshtit të rrotullimit. Drejtimi i nxitimit tangjencial varet nga shenja e nxitimit këndor algjebrik. Në φ’>0 Dhe φ’’>0 ose φ’<0 Dhe φ’<0 kemi rrotullim të përshpejtuar të trupit dhe drejtimet e vektorëve a τ Dhe v përputhen. Nëse φ’ Dhe φ’" kanë shenja të ndryshme (rrotullim i ngadalshëm), atëherë a τ Dhe v të drejtuara përballë njëri-tjetrit.

Duke caktuar α këndin ndërmjet nxitimit total të një pike dhe rrezes së saj të rrotullimit, kemi

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

që nga nxitimi normal një fq gjithmonë pozitive. Këndi A e njëjta gjë për të gjitha pikat e trupit. Duhet të shtyhet nga nxitimi në rrezen e rrotullimit në drejtim të shigjetës së harkut të nxitimit këndor, pavarësisht nga drejtimi i rrotullimit të trupit të ngurtë.

Vektorët e shpejtësisë këndore dhe nxitimit këndor

Le të prezantojmë konceptet e vektorëve të shpejtësisë këndore dhe nxitimit këndor të një trupi. Nëse TEështë vektori njësi i boshtit të rrotullimit të drejtuar në drejtimin e tij pozitiv, pastaj vektorët e shpejtësisë këndore ώ dhe nxitimi këndor ε përcaktuar nga shprehjet (12)

Sepse kështë një konstante vektoriale në madhësi dhe drejtim, atëherë nga (12) rrjedh se

ε=dώ/dt(13)

Në φ’>0 Dhe φ’’>0 drejtimet vektoriale ώ Dhe ε përputhen. Ata të dy janë të drejtuar drejt anës pozitive të boshtit të rrotullimit Oz(Fig. 18.a)Nëse φ’>0 Dhe φ’’<0 , pastaj drejtohen në drejtime të kundërta (Fig. 18.b ). Vektori i nxitimit këndor përkon në drejtim me vektorin e shpejtësisë këndore gjatë rrotullimit të përshpejtuar dhe është i kundërt me të gjatë rrotullimit të ngadaltë. Vektorët ώ Dhe ε mund të përshkruhen në çdo pikë të boshtit të rrotullimit. Ata janë vektorë lëvizës. Kjo veti rrjedh nga formulat vektoriale për shpejtësitë dhe nxitimet e pikave të trupit.

Lëvizja komplekse e pikës

Konceptet Bazë

Për të studiuar disa lloje më komplekse të lëvizjes së një trupi të ngurtë, këshillohet të merret parasysh lëvizja më e thjeshtë komplekse e një pike. Në shumë probleme, lëvizja e një pike duhet të konsiderohet në lidhje me dy (ose më shumë) sisteme referimi që lëvizin në lidhje me njëri-tjetrin. Kështu, lëvizja e një anije kozmike që lëviz drejt Hënës duhet të konsiderohet njëkohësisht si në lidhje me Tokën ashtu edhe në lidhje me Hënën, e cila lëviz në lidhje me Tokën. Çdo lëvizje e një pike mund të konsiderohet komplekse, e përbërë nga disa lëvizje. Për shembull, lëvizja e një anijeje përgjatë një lumi në lidhje me Tokën mund të konsiderohet komplekse, e përbërë nga lëvizja nëpër ujë dhe së bashku me ujin që rrjedh.

Në rastin më të thjeshtë, lëvizja komplekse e një pike përbëhet nga lëvizje relative dhe përkthimore. Le të përcaktojmë këto lëvizje. Le të kemi dy sisteme referimi që lëvizin në raport me njëri-tjetrin. Nëse një nga këto sisteme O l x 1 y 1 z 1(Fig. 19 ) marrë si kryesore ose stacionare (lëvizja e tij në raport me sistemet e tjera të referencës nuk merret parasysh), atëherë sistemi i dytë i referencës Oxyz do të lëvizë në krahasim me të parën. Lëvizja e një pike në lidhje me një kornizë referimi në lëvizje Oxyz thirrur i afërm. Karakteristikat e kësaj lëvizjeje, si trajektorja, shpejtësia dhe nxitimi quhen i afërm. Ato përcaktohen nga indeksi r; për shpejtësinë dhe përshpejtimin v r, a r. Lëvizja e një pike në lidhje me kornizën e referencës kryesore ose fikse të sistemit O 1 x 1 y 1 z 1 thirrur absolute(ose komplekse ). Nganjëherë quhet edhe të përbëra lëvizjes. Trajektorja, shpejtësia dhe nxitimi i kësaj lëvizjeje quhen absolute. Shpejtësia dhe nxitimi i lëvizjes absolute tregohen me shkronja v, a nuk ka indekse.

Lëvizja portative e një pike është lëvizja që ajo bën së bashku me një kornizë referimi lëvizëse, si një pikë e lidhur fort me këtë sistem në momentin në kohë në shqyrtim. Për shkak të lëvizjes relative, një pikë lëvizëse në kohë të ndryshme përkon me pika të ndryshme të trupit S, të cilit i është bashkangjitur sistemi i referencës lëvizëse. Shpejtësia e lëvizshme dhe nxitimi portativ janë shpejtësia dhe nxitimi i asaj pike të trupit S, me të cilin momenti i lëvizjes përkon aktualisht. Shpejtësia dhe nxitimi portativ tregojnë v e , a e.

Nëse trajektoret e të gjitha pikave të trupit S, bashkangjitur me sistemin e referencës lëvizëse, të paraqitur në figurë (Fig. 20), atëherë marrim një familje linjash - një familje trajektoresh të lëvizjes portative të një pike M. Për shkak të lëvizjes relative të pikës M në çdo moment të kohës është në një nga trajektoret e lëvizjes portative. Pika M mund të përkojë vetëm me një pikë në secilën prej trajektoreve të kësaj familjeje trajektoresh transferimi. Në këtë drejtim, ndonjëherë besohet se nuk ka trajektore të lëvizjes portative, pasi është e nevojshme të konsiderohen linjat si trajektore të lëvizjes portative, për të cilat vetëm një pikë është në të vërtetë një pikë e trajektores.

Në kinematikën e një pike është studiuar lëvizja e një pike në raport me çdo sistem referimi, pavarësisht nëse ky sistem referimi lëviz në raport me sistemet e tjera apo jo. Le ta plotësojmë këtë studim duke shqyrtuar lëvizjen komplekse, në rastin më të thjeshtë që përbëhet nga lëvizje relative dhe figurative. Një dhe e njëjta lëvizje absolute, duke zgjedhur korniza të ndryshme lëvizëse të referencës, mund të konsiderohet se përbëhet nga lëvizje të ndryshme portative dhe, në përputhje me rrethanat, relative.

Shtimi i shpejtësisë

Le të përcaktojmë shpejtësinë e lëvizjes absolute të një pike nëse dihen shpejtësitë e lëvizjeve relative dhe të lëvizshme të kësaj pike. Lëreni pikën të bëjë vetëm një lëvizje relative në lidhje me kornizën lëvizëse të referencës Oxyz dhe në momentin e kohës t të zërë pozicionin M në trajektoren e lëvizjes relative (Fig. 20). Në kohën t+ t, për shkak të lëvizjes relative, pika do të jetë në pozicionin M 1, pasi ka lëvizur MM 1 përgjatë trajektores së lëvizjes relative. Le të supozojmë se çështja është e përfshirë Oxyz dhe me një trajektore relative do të lëvizë përgjatë disa kurbës MM 2. Nëse një pikë merr pjesë njëkohësisht në lëvizjet relative dhe portative, atëherë në kohën A; ajo do të zhvendoset në MM" përgjatë trajektores së lëvizjes absolute dhe në momentin kohor t+At do të marrë pozicionin M". Nëse koha Në pak dhe pastaj shkoni në kufi në në, duke u prirë në zero, atëherë zhvendosjet e vogla përgjatë kthesave mund të zëvendësohen me segmente kordash dhe të merren si vektorë zhvendosjeje. Duke shtuar zhvendosjet e vektorit, marrim

Në këtë drejtim, sasi të vogla të rendit më të lartë hidhen, duke u prirur në zero në, duke u prirë në zero. Duke kaluar në kufi, kemi (14)

Prandaj, (14) do të marrë formën (15)

Përftohet e ashtuquajtura teorema e mbledhjes së shpejtësisë: shpejtësia e lëvizjes absolute të një pike është e barabartë me shumën vektoriale të shpejtësive të lëvizjeve portative dhe relative të kësaj pike. Meqenëse në rastin e përgjithshëm shpejtësitë e lëvizjeve portative dhe relative nuk janë pingule, atëherë (15')

Informacione të lidhura.