Llogaritja e sipërfaqeve të figurave duke përdorur integrale. Tema e mësimit: "Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar" Informacion i shkurtër teorik

Punë gojore 1. Duke përdorur integralin, shprehni sipërfaqet e figurave të paraqitura në figura:

2. Llogaritni integralet:

Gjeni sipërfaqen e figurës:

5) 1/3; ln2 ;√2

Pak histori

"Integral" i shpikur Jacob Bernoulli(1690)

"për të rivendosur" nga latinishtja integro

"i tërë" nga latinishtja numër i plotë

"Funksioni primitiv"

nga latinishtja

primitivus- fillestar,

Joseph Louis Lagrange

Integrale në antikitet

Metoda e parë e njohur për llogaritjen e integraleve është Metoda e shterimit të Eudoxus (përafërsisht 370 para Krishtit BC), i cili u përpoq të gjente zona dhe vëllime duke i thyer ato në një numër të pafund pjesësh për të cilat zona ose vëllimi dihej tashmë.

Kjo metodë u mor dhe u zhvillua Arkimedi , dhe u përdor për të llogaritur sipërfaqet e parabolave ​​dhe për të përafruar sipërfaqen e një rrethi.

Eudoksi i Knidit

Isak Njuton (1643-1727)

Paraqitja më e plotë e llogaritjes diferenciale dhe integrale gjendet në

Variablat - rrjedhës (integral antiderivativ ose i pacaktuar)

Shkalla e ndryshimit të rrjedhshëm - fluksi (derivativ)

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)

• përdorur për herë të parë nga Leibniz në fund

Simboli u formua nga shkronja

S - shkurtesat e fjalëve

përmbledhje(shuma)

Formulat për llogaritjen e sipërfaqeve të figurave të hijezuara në vizatime

Algoritmi për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të rrafshët :

• Sipas kushteve të detyrës, bëni një vizatim skematik.
• Paraqisni funksionin e kërkuar si shumë ose ndryshim të zonave të lakoreve trapezoid, zgjidhni formulën e duhur.
• Gjeni kufijtë e integrimit (a dhe b) nga kushtet e problemit ose vizatimit, nëse nuk janë të specifikuara.
• Llogaritni sipërfaqen e çdo trapezi të lakuar dhe sipërfaqen e figurës së dëshiruar.

DETYRË

U vendos që të mbillet një shtrat me lule para godinës së shkollës. Por forma e shtratit të luleve nuk duhet të jetë e rrumbullakët, katrore ose drejtkëndore. Duhet të përmbajë linja të drejta dhe të lakuara. Le të jetë një figurë e sheshtë e kufizuar me vija

Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.

Le të llogarisim sipërfaqen e figurës që rezulton duke përdorur formulën:

Ku f(x)= 6 , A g(x)=4/x +2

Që për secilin metër katror Paguhen 50 rubla, atëherë fitimet do të jenë:

6.4 * 50 = 320 (rubla).

Detyrë shtëpie:

Punë praktike me temën: “Llogaritja e sipërfaqeve figura të sheshta duke përdorur integral i caktuar»

Qëllimi i punës: zotëroni aftësinë për të zgjidhur problemet që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes së një figure të planit lakor duke përdorur një integral të caktuar.

Pajisjet: kartelë udhëzimi, tabela e integraleve, material ligjërues me temë: “Integrali i përcaktuar. Kuptimi gjeometrik integral i caktuar".

Udhëzime:

1) Studioni materialet e leksionit: “Integrali i caktuar. Kuptimi gjeometrik i një integrali të caktuar."

Informacion i shkurtër teorik

Integrali i caktuar i një funksioni në segment - ky është kufiri, për të

tek i cili tenton shuma integrale pasi gjatësia e segmentit më të madh të pjesshëm tenton në zero.

Kufiri i poshtëm i integrimit është kufiri i sipërm i integrimit.

Për të llogaritur një integral të caktuar, përdorni formula e Njutonit -

Leibniz:

Kuptimi gjeometrik i integralit të caktuar. Nëse integrohet në

segment funksioni është jo negativ, pastaj numerikisht e barabartë me sipërfaqen trapezoid i lakuar:

Trapezoid lakor - figura e kufizuar nga grafiku i një funksioni

Boshti i abshisave dhe vijat e drejta, .

Raste të ndryshme të rregullimit të figurave të sheshta në rrafshi koordinativ:

Nëse një trapez i lakuar me bazë kufizohet poshtë kurbës , atëherë nga konsideratat e simetrisë është e qartë se sipërfaqja e figurës është e barabartë me ose.

Nëse një figurë kufizohet nga një kurbë që merr vlera pozitive dhe negative . Në këtë rast, për të llogaritur sipërfaqen e figurës së dëshiruar, është e nevojshme ta ndani atë në pjesë, pastaj

Nëse një figurë e rrafshët kufizohet me dy kthesa dhe , atëherë sipërfaqja e tij mund të gjendet duke përdorur sipërfaqet e dy trapezoidëve lakor: i.B në këtë rast Sipërfaqja e figurës së dëshiruar mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Shembull. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat:

Zgjidhje. 1) Ndërtoni një parabolë dhe një drejtëz në planin koordinativ (vizatim për problemin).

2) Zgjidhni (hije) figurën e kufizuar nga këto rreshta.

Vizatimi për problemin

3) Gjeni abshisën e pikave të kryqëzimit të parabolës dhe drejtëzës. Për këtë do të vendosim

sistemi për krahasim:

Ne gjejmë sipërfaqen e figurës si diferencë midis zonave të trapezoidëve lakor,

i kufizuar nga një parabolë dhe një vijë e drejtë.

5) Përgjigju.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure të kufizuar nga linjat e dhëna:

Ndërtoni linja të dhëna në një plan koordinativ.

Hije figurën e kufizuar nga këto rreshta.

Përcaktoni kufijtë e integrimit (gjeni abshisën e pikave të kryqëzimit të kthesave).

Llogaritni sipërfaqen e figurës duke zgjedhur formulën e kërkuar.

Shkruani përgjigjen.

2) Bëni sa vijon detyrë sipas një prej opsioneve:

Ushtrimi. Llogaritni sipërfaqen e figurave të kufizuara me vija (përdorni algoritmin për zgjidhjen e problemit të llogaritjes së sipërfaqes së një figure):

Aktiv këtë temë Ka tre mësime, ky mësim është i dyti.

Objektivat e mësimit:

Konsolidimi dhe thellimi i njohurive për integralin e caktuar dhe aplikimi i tij në gjetjen e sipërfaqes së figurave;

Formimi i aftësive në zbatimin e njohurive dhe metodave të veprimit në situata të ndryshuara dhe të reja të të nxënit; - zhvillimi i kulturës së informacionit dhe komunikimit të nxënësve;

Nxitja e aktivitetit njohës, aftësia për të punuar në ekip, këmbëngulja dhe arritja e qëllimit.

Objektivat e mësimit:

Përsëritni tabelën dhe rregullat për gjetjen e antiderivativëve, konceptin e një trapezi lakor, algoritmin për gjetjen e zonës së një trapezi lakor; - të zbatojë njohuritë dhe aftësitë ekzistuese për të gjetur zonat e figurave të rrafshët.

Format e organizimit të punës së nxënësve: punë në grupe.

Pajisjet dhe programet e përdorura: tabela e bardhë interaktive Smart Board, "Mathematics Live".

Karakteristikat e softuerit interaktiv të tabelave të bardha të përdorura:

Funksioni - perde:

Funksioni - klonimi i një objekti:

Funksioni - zvarritja e një objekti;

Funksioni: stilolaps i zgjuar.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Mësimi me temën: "Llogaritja e sipërfaqeve të figurave duke përdorur integrale"

Në klasën e 11-të.

Ecuria e mësimit:

1. Momenti organizativ ((kontrollohet gatishmëria për mësim, shpallet tema dhe qëllimi i mësimit, shënohet data).

Mësimi shkon nën moton: Më trego dhe do të harroj, më trego dhe do të kujtohem, më lër të veproj vetë dhe do të mësoj.

Konfuci.

1. Faza e përditësimit të njohurive të marra më parë(Qëllimi i kësaj faze: përsëritja e tabelës dhe rregullave për gjetjen e antiderivativëve, koncepti i një trapezi lakor, algoritmi për gjetjen e zonës së një trapezi lakor).

Mësues: Në mësimet e mëparshme u njohëm me konceptin e antiderivativëve, me një tabelë dhe rregullat për gjetjen e tyre.

Pyetja 1 : Si quhet antiderivativ për funksionin y = f (x) në një interval të caktuar? Pyetja 2 : Si të vendosen të gjitha funksionet antiderivative y = f (x) nëse F (x) është një prej tyre? Pyetja 3: Listoni rregullat për gjetjen e antiderivativëve. Pasi studentët përgjigjen, hapet rrëshqitja 2, perdja kthehet prapa, pas së cilës fshihen pyetjet për studentët. Detyra 1 : Gjeni një nga antiderivativët për funksionet e specifikuara. (nxënësit përdorin funksionin drag-and-drop për të përshtatur funksionin dhe antiderivativin). Detyra 2 : Për funksionin e specifikuar, gjeni një nga antiderivativët grafiku i të cilit kalon këtë pikë. (Nxënësit vendosin në mënyrë të pavarur aty për aty; njëri prej nxënësve kontrollon përgjigjen duke lëvizur ekranin).

A) Funksionet: 2x 5 – 3x 2; 3 cos x – 4 sin x; 3e x + 5 x – 2; e 2x – cos3x; 1/x + 1/ mëkat 2 x – x.

Antiderivatet: ln |x| -ctg x – x 2/2; 1/2e 2x – 1/3 mëkat 3x; x 6 / 3 – x 3; 3 sin x + 4 cos x; 3e x + 5 x /ln5.

B) Për funksionin f (x) = 2x + 3, gjeni një antiderivativ grafiku i të cilit kalon në pikën M (1;2).

Pyetja 4: Cila figurë quhet trapez i lakuar? Detyra 3: Shkruani kushtin që mungon në përkufizimin e shkruar në rrëshqitje. Detyra 4: Shkruani formulën e Leibniz-it të Njutonit.

Detyra 5: Njehsoni integralin. (Nxënësit llogaritin në mënyrë të pavarur, më pas verifikimi). A) x 2 – 2x) dx; b)

Detyra 6: Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = 0, x = e, y = 1/x. (Nxënësit kryejnë në mënyrë të pavarur detyrën dhe më pas e kontrollojnë duke hapur ekranet në tabelë).

1. Faza e formimit dhe praktikimit të aftësive gjatë zgjidhjes së detyrave të ndryshme me temën "Llogaritja e sipërfaqeve të formave duke përdorur integrale»

1. Nxënësit kujtojnë vetitë e zonave

dhe jepni një shembull të një figure sipërfaqja e së cilës mund të llogaritet duke përdorur formulën S =Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = 0, y = x 2 – 4. (Një nxënës përdor funksionin e stilolapsit inteligjent për të shkruar një zgjidhje në tabelën ndërvepruese).

2. Nxënësit diskutojnëplani për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të kufizuar nga vijat y = x 2 – 6x +11 dhe y = x +1. Çdo fazë shoqërohet me hapjen e perdes.

1. Punë në grup. Klasa ndahet paraprakisht në grupe. Tre studentë punojnë në bord, dhe pjesa tjetër e studentëve punojnë në tre opsione (grupet ndahen sipas opsioneve) në vend:Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat:Opsioni 1 - y = (x – 3) 2 , y = 0, x = 1, x = 4. Opsioni 2 – y = x – 2, y = x 2 - 4x +2. Opsioni 3 – y = x, y = 5 – x, x =1, x = 2. Kontrollo pas hapjes së ekraneve.
2. Punë në grup. Për secilën nga 8 rrëshqitjet e ardhshme ju duhet të llogaritni sipërfaqen e figurës. Nxënësit në grup kanë një grup të dhënash vizatimesh. Nxënësit zgjedhin një formulë për të gjetur sipërfaqen. Hapet një rrëshqitje, në të djathtë të vizatimit ka formula mbi të cilat zbatohet funksioni i klonimit. Pas diskutimit në grup, një nxënës nga grupi del dhe lëviz formulën e përzgjedhur ose shkruan të tyren nëse nuk ka një në tabelë. Diskutimi vijon: - Pse u zgjodh kjo formulë? - A ka mënyra të tjera për të gjetur sipërfaqen e një figure të caktuar? - Cila formulë është më e përshtatshme për t'u përdorur?

Detyrë shtëpie.

Përmbledhja e mësimit. Nxënësit u përgjigjen pyetjeve: - Çfarë u bë në mësim? - Çfarë të re mësuan në mësim? - Si funksionuan në këtë grup?

1125 Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur Udhëzimet integrale për zbatim punë e pavarur në matematikë për studentët e vitit 1 të Fakultetit të Arsimit të Mesëm të Hapur Përpiluar nga S.L. Rybina, N.V. Fedotova 0 Ministria e Arsimit dhe Shkencës e Federatës Ruse Institucioni Arsimor Buxhetor Federal i Shtetit të Arsimit të Lartë "Universiteti Shtetëror Voronezh i Arkitekturës dhe Inxhinierisë Civile" Llogaritja e zonave të figurave të planit duke përdorur Udhëzimet integrale për kryerjen e punës së pavarur në matematikë për Studentët e vitit të parë të fakultetit SPO Përpiluar nga S.L. Rybina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 UDC 51:373(07) BBK 22.1ya721 Përpiluar nga: Rybina S.L., Fedotova N.V. Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur integralin: udhëzime të kryejë punë të pavarur në matematikë për studentët e vitit të parë të arsimit të mesëm profesional/Universiteti Autonom Shtetëror i Voronezhit; komp.: S.L. Rybina, N.V. Fedotova. – Voronezh, 2015. – f. Jepet informacion teorik për llogaritjen e sipërfaqeve të figurave të rrafshnaltës duke përdorur integralin, jepen shembuj të zgjidhjes së problemeve dhe jepen detyra për punë të pavarur. Mund të përdoret për të përgatitur projekte individuale. I destinuar për studentët e vitit të 1-rë të Fakultetit të Arsimit të Mesëm të Hapur. Il. 18. Bibliografi: 5 tituj. UDC 51:373(07) BBK 22.1я721 Botuar me vendim të këshillit arsimor dhe metodologjik të recensentit të Universitetit Shtetëror Agrare Voronezh - Glazkova Maria Yurievna, Ph.D. fizikës dhe matematikës shkencave, profesor i asociuar, mësues i departamentit matematikë e lartë Universiteti Shtetëror Agrare Voronezh 2 Hyrje Këto udhëzime janë të destinuara për studentët e vitit të parë të Fakultetit të Arsimit të Mesëm Profesional të të gjitha specialiteteve. Paragrafi 1 ofron informacion teorik për llogaritjen e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur një integral, paragrafi 2 jep shembuj të zgjidhjes së problemeve dhe paragrafi 3 ofron probleme për punë të pavarur. Dispozita të përgjithshme Punë e pavarur e nxënësve është puna që ata kryejnë me udhëzimet e mësuesit, pa pjesëmarrjen e tij të drejtpërdrejtë (por nën drejtimin e tij) në një kohë të caktuar posaçërisht për këtë. Qëllimet dhe objektivat e punës së pavarur: sistemimi dhe konsolidimi i njohurive të fituara dhe aftësive praktike të studentëve; thellimi dhe zgjerimi i njohurive teorike dhe praktike; zhvillimi i aftësisë për të përdorur literaturë të veçantë referuese dhe internet; zhvillimi i aftësive dhe veprimtarisë njohëse të nxënësve, iniciativa krijuese, pavarësia, përgjegjësia dhe organizimi; formimi i të menduarit të pavarur, aftësitë për vetë-zhvillim, vetë-përmirësim dhe vetë-realizim; zhvillimin e njohurive kërkimore. sigurimi i bazës së njohurive për aftësimin profesional të të diplomuarve në përputhje me Standardin Federal të Arsimit Shtetëror për Arsimin e Mesëm Profesional; formimi dhe zhvillimi kompetencat e përgjithshme, të përcaktuara në Standardin Federal të Arsimit Shtetëror për Arsimin e Mesëm Profesional; përgatitjen për formimin dhe zhvillimin kompetencat profesionale, që korrespondon me llojet kryesore të veprimtarive profesionale. sistemimi, konsolidimi, thellimi dhe zgjerimi i njohurive të fituara teorike dhe aftësive praktike të studentëve; zhvillimi i aftësive dhe veprimtarisë njohëse të nxënësve: iniciativa krijuese, pavarësia, përgjegjësia dhe organizimi; formimi i të menduarit të pavarur: aftësia për vetë-zhvillim, vetë-përmirësim dhe vetë-realizim; zotërimi i aftësive praktike në përdorimin e teknologjive të informacionit dhe komunikimit në aktivitetet profesionale; zhvillimi i aftësive kërkimore. Kriteret për vlerësimin e rezultateve të punës së pavarur jashtëshkollore të studentit janë: shkalla e zotërimit të materialit arsimor nga studenti; 3 aftësia e nxënësit për të përdorur njohuri teorike gjatë zgjidhjes së problemeve; vlefshmëria dhe qartësia e përgjigjes; hartimi i materialit në përputhje me kërkesat e Standardit Federal të Arsimit të Shtetit. 4 1. Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur integralin 1. Materiali referues. 1.1. Një trapez i lakuar është një figurë e kufizuar nga lart me grafikun e një funksioni të vazhdueshëm dhe jo negativ y=f(x), nga poshtë me një segment të boshtit Ox dhe nga anët me segmentet e vijës x=a, x= b (Fig. 1) Fig. 1 Sipërfaqja e një trapezi të lakuar mund të llogaritet duke përdorur një integral të caktuar: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Le të jetë funksioni y=f(x) i vazhdueshëm në një segment dhe të marrë vlera pozitive në këtë segment (Fig. 2). Pastaj ju duhet të ndani segmentin në pjesë, pastaj të llogaritni duke përdorur formulën (1) zonat që korrespondojnë me këto pjesë, shtoni zonat që rezultojnë. S = S1 + S2 c S b f x dx f x dx a (2) c Fig. 2 1.3. Në rastin kur funksion të vazhdueshëm f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)> g(x) gjatë gjithë intervalit (a; b). Në këtë rast, sipërfaqja e figurës llogaritet me formulën y b S= (f (x) g (x)) dx y=f(x) (4) a 1 a -1 O -1 b 1 y =g(x) x Fig. 4 1.5. Problemet e llogaritjes së sipërfaqeve të figurave të sheshta mund të zgjidhen sipas planit të mëposhtëm: 1) sipas kushteve të problemës, bëni një vizatim skematik; 2) paraqesin figurën e dëshiruar si shuma ose ndryshimi i sipërfaqeve të trapezoidëve lakor. Nga kushtet e problemit dhe të vizatimit përcaktohen kufijtë e integrimit për çdo komponent të trapezit lakor; 3) shkruani çdo funksion në formën f x; 4) llogaritni sipërfaqen e çdo trapezi lakor dhe figurën e dëshiruar. 6 2. Shembuj të zgjidhjes së problemave 1. Llogaritni sipërfaqen e një trapezi të lakuar të kufizuar nga drejtëzat y = x + 3, y = 0, x = 1 dhe x = 3. Zgjidhje: Le të vizatojmë drejtëzat e dhëna nga ekuacionet dhe hije trapezoidin e lakuar, zonën e së cilës do të gjejmë. SАВД= Përgjigje: 10. 2. Figura e kufizuar me drejtëzat y = -2x + 8, x = -1, y = 0 ndahet me drejtëzën y ​​= x2 – 4x + 5 në dy pjesë. Gjeni sipërfaqen e secilës pjesë. Zgjidhje: Shqyrtoni funksionin y = x2 – 4x +5. y = x2 – 4x +5 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 5 = (x – 2)2 + 1, d.m.th. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë me kulm K(2; 1). SABC= . 7 SABCME = S1 = SABCME + SEMC, S1 = S2 = SABC – S1, S2 = Përgjigje: dhe = . . 3. Detyra për punë të pavarur Test me gojë 1. Cila figurë quhet trapez i lakuar? 2. Cilat nga figurat janë trapezoidë të lakuar: 3. Si të gjejmë sipërfaqen e një trapezi të lakuar? 4. Gjeni sipërfaqen e figurës së hijezuar: 8 5. Emërtoni formulën për llogaritjen e sipërfaqes së figurave të paraqitura: Test me shkrim 1. Cila figurë tregon një figurë që nuk është trapez i lakuar? 2. Duke përdorur formulën Njuton-Leibniz, njehsoni: A. Antiderivativ i funksionit; B. Zona e një trapezi të lakuar; V. Integrale; D. Derivat. 3. Gjeni sipërfaqen e figurës së hijezuar: 9 A. 0; B. –2; V. 1; D. 2. 4. Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga boshti Ox dhe parabola y = 9 – x2 A. 18; B. 36; V. 72; D. Nuk mund të llogaritet. 5. Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga grafiku i funksionit y = sin x, drejtëzat x = 0, x = 2 dhe boshti i abshisës. A. 0; B. 2; V. 4; D. Nuk mund të llogaritet. Opsioni 1 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y x2, b) y x2 c) y cos x, d) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Opsioni 2 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: b) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, c) y sin x, d) y 1, x2 a) y y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2, ; x 1. Opsioni 3 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y = 2 – x3, y = 1, x = -1, x = 1; b) y = 5 – x2, y = 2x2 + 1, x = 0, x = 1; c) y = 2sin x, x = 0, x = p, y = 0; d) y = 2x – 2, y = 0, x = 3, x = 4. Opsioni 4 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y = x2+1, y = 0, x = - 1, x = 2; b) y = 4 – x2 dhe y = x + 2; c) y = x2 + 2, y = 0, x = - 1, x = 2; d) y = 4 – x2 dhe y = 2 – x. Opsioni 5 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y 7 x, x=3, x=5, y=0; b) y c) y d) y 8, x= - 8, x= - 4, y=0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x=-6 dhe boshtet e koordinatave. 11 Opsioni 6 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat a) y 4 x 2, y = 0; b) y cos x, x, x c) y x 2 8 x 18, y d) y x, y 2, y=0; 2 x 18; 1, x=4. x Opsioni 7 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat a) y x 2 6 x, x = -1, x = 3, y = 0; b) y=-3x, x=1, x=2, y=0; c) y x 2 10 x 16, y=x+2; d) y 3 x, y = -x +4 dhe boshtet e koordinatave. Opsioni 8 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat a) y sin x, x 3, x, y = 0; b) y x 2 4, x=-1, x=2, y=0; c) y x 2 2 x 3, y 3x 1; d) y x 2, y x 4 2, y = 0, Opsioni 1 1. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = - Ï Ï , x= ; 2 2 c) y = 2x2, y = 2x. 2. (opsionale) Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga grafiku i funksionit y = x2 – 2x + 3, tangjente me grafikun në pikën e tij me abshisë 2 dhe drejtëz x = -1. 12 Opsioni 2 1. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = 0, x = Ï; 2 c) y = 0,5x2, y = x. 2. (opsionale) Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga grafiku i funksionit y = 3 + 2x - x2, tangjente me grafikun në pikën e tij me abshisë 3 dhe drejtëz x = 0. Opsioni 3 1. Llogarit zona e figurës e kufizuar nga vijat: a) y = x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï 3Ï, x=; 2 2 c) y = x2, y = -x2 + 2. 2. (opsionale) Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga grafiku i funksionit y = 2x - x2, tangjente me grafikun në pikën e tij me abshisë 2 dhe boshti i ordinatave. Opsioni 4 1. Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat: a) y = 0,5 x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï Ï, x=; 4 2 c) y = 9 - x2, y = 2x + 6. 2. (opsionale) Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga grafiku i funksionit y = x2+ 2x, tangjente me grafikun në pikën e tij me abshisë -2 dhe boshti i ordinatave. Detyrat për të punuar në dyshe: 1. Llogaritni sipërfaqen e figurës së hijezuar 2. Llogaritni sipërfaqen e figurës së hijezuar 13 3. Llogaritni sipërfaqen e figurës me hije 4. Llogaritni sipërfaqen e figurës së hijezuar figura 14 5. Llogaritni sipërfaqen e figurës së hijezuar 6. Paraqisni sipërfaqen e figurës së hijezuar si shumë ose diferencë të sipërfaqeve të trapezoidëve lakor të kufizuar nga grafikët e vijave që njihni. 7. Imagjinoni sipërfaqen e figurës së hijezuar si shuma ose diferenca e zonave të trapezoidëve lakuar të kufizuar nga grafikët e vijave që njihni. 15 Bibliografi 1. Sharygin, I. F. Matematika: algjebra dhe parimet e analizës matematikore, gjeometria. Gjeometria. Niveli bazë. Klasat 10 - 11: tekst shkollor / I.F. - Botimi i 2-të, i fshirë. – Moskë: Bustard, 2015. – 238 f. 2. Muravin G.K Matematika: algjebra dhe parimet e analizës matematikore, gjeometria. Niveli bazë. Klasa e 11-të: Libër shkollor / G.K Muravin, O.V., fshirë. - Moskë: Bustard, 2015. - 189 f. 3. Muravin G.K Matematika: algjebra dhe parimet e analizës matematikore, gjeometria. Niveli bazë. Klasa e 10-të: libër shkollor / G.K Muravin, O.V. - Botimi i 2-të, i fshirë. - Moskë: Bustard, 2013 - 285 f. 4. Studimi i gjeometrisë në klasat 10-11: Metoda. rekomandime për studime: Libër. për mësuesin/S. M. Sahakyan, V. F. Butuzov. – Botimi 2 – M.: Arsimi, 2014. – 222 f.: ill. 5. Studimi i algjebrës dhe fillimet e analizës në klasat 10-11: Libri. për mësuesin / N. E. Fedorova, M. V. Tkacheva. – Botimi 2 – M.: Arsimi, 2014. – 205 f.: ill. 6. Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 10-11: Në dy pjesë. Pjesa 1: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm. institucionet / Mordkovich A.G. - Ed. 5. – M.: Mnemosyne, 2014. – 375 f.: ill. Burimet e internetit: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Lidhje të dobishme për faqet matematikore dhe arsimore: Materiale edukative, teste 2. http://www.fxyz.ru/ - Libër referimi interaktiv i formulave dhe informacionit mbi algjebrën, trigonometrinë, gjeometrinë, fizikën. 3. http://maths.yfa1.ru - Libri i referencës përmban materiale për matematikën (aritmetikë, algjebër, gjeometri, trigonometri). 4. allmatematika.ru - Formulat bazë në algjebër dhe gjeometri: transformimet e identitetit, progresionet, derivatet, stereometria, etj. 5. http://mathsun.ru/ – Historia e matematikës. Biografitë e matematikanëve të mëdhenj. 16 Përmbajtja Hyrje. ................................................ .......................................................... ........................................... 3 Llogaritja e zonat e figurave të rrafshët duke përdorur integralin......... ................................. .. 5 1. Materiali referues.................. ................................ ................................................................ ........................... 5 2. Shembuj të zgjidhjes së problemit................ ................................................ . ................................................ ..... ......... 7 3. Detyrat për punë të pavarur............................ .......................................................... ................ 8 Bibliografia ................................. ...................................................... .......................... 16 Llogaritja e sipërfaqeve të figurave të rrafshët duke përdorur integrale Udhëzimet metodologjike për kryerjen e punës së pavarur në matematikë për studentët e vitit të 1-rë të Fakulteti i Arsimit të Mesëm të Hapur Përpiluar nga: Rybina Svetlana Leonidovna Fedotova Natalya Viktorovna Nënshkruar për shtyp __.__. 2015. Formati 60x84 1/16. Edit akademik. l. 1.1.Furrë me kusht. l. 1.2. 394006, Voronezh, rr. 20 vjetori i tetorit, 84 17