Arsyeja e dobësimit është se në çdo sistem oscilues, përveç forcës rivendosëse, ekzistojnë gjithmonë lloje të ndryshme të rezistencës së ajrit.

etj., të cilat ngadalësojnë lëvizjen. Me çdo lëkundje, një pjesë shpenzohet për punën kundër forcave të fërkimit. Në fund të fundit, kjo punë konsumon të gjithë furnizimin me energji të furnizuar fillimisht në sistemin oscilues.

Kur merrnim parasysh , kishim të bënim me lëkundje natyrore ideale, rreptësisht periodike. Duke përdorur një model të tillë për të përshkruar lëkundjet reale, ne qëllimisht lejojmë pasaktësi në përshkrim. Sidoqoftë, një thjeshtim i tillë është i përshtatshëm për faktin se për shumë sistemet osciluese Amortizimi i lëkundjeve të shkaktuara nga fërkimi është vërtet i vogël: sistemi arrin të bëjë shumë lëkundje përpara se ato të ulen ndjeshëm.

Grafikët e lëkundjeve të amortizuara

Në prani të zbutjes, lëkundjet natyrore (Fig. 1) pushojnë së qeni harmonike. Për më tepër, një lëkundje e amortizuar pushon së qeni një proces periodik - fërkimi ndikon jo vetëm në amplituda e lëkundjeve (d.m.th., ajo shkakton amortizimin), por edhe kohëzgjatjen e lëkundjeve. Me rritjen e fërkimit, rritet koha e nevojshme që sistemi të përfundojë një lëkundje të plotë. Grafiku i lëkundjeve të amortizuara është paraqitur në Fig. 2.

Fig.1. Grafiku harmonik i lirë

Fig.2. Grafiku i lëkundjeve të amortizuara

Një tipar karakteristik i sistemeve osciluese është se fërkimi i lehtë ndikon në periudhën e lëkundjes në një masë shumë më të vogël se amplituda. Kjo rrethanë luajti një rol të madh në përmirësimin e orëve. Ora e parë u ndërtua nga fizikani dhe matematikani holandez Christiaan Huygens në vitin 1673. Ky vit mund të konsiderohet data e lindjes së mekanizmave moderne të orës. Lëvizja e orëve me lavjerrës është pak e ndjeshme ndaj ndryshimeve për shkak të fërkimit, të cilat në përgjithësi varen nga shumë faktorë, ndërsa shpejtësia e orëve të mëparshme me lavjerrës ishte shumë e varur nga fërkimi.

Në praktikë, ekziston nevoja për të zvogëluar dhe rritur amortizimin e lëkundjeve. Për shembull, kur dizajnojnë lëvizjet e orës, ata përpiqen të zvogëlojnë amortizimin e lëkundjeve të balancuesit të orës. Për ta bërë këtë, boshti i balancuesit është i pajisur me maja të mprehta, të cilat mbështeten në kushineta konike të lëmuara mirë të bëra prej guri të fortë (agat ose rubin). Përkundrazi, në shumë instrumente matëse është shumë e dëshirueshme që pjesa lëvizëse e pajisjes të instalohet shpejt gjatë procesit të matjes, por duke bërë numër i madh hezitim. Për të rritur zbutjen në këtë rast, përdoren amortizues të ndryshëm - pajisje që rrisin fërkimin dhe, në përgjithësi, humbjen e energjisë.

1.21. 3 LËKUNDËRIME TË NDRYSHME, TË DETYRUARA

Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të amortizuara dhe zgjidhja e tij. Koeficienti i zbutjes. Kuvertë logaritmikekoha e kalbjes.Faktori i cilësisë së lëkundjessistemi i trupit.Procesi periodik. Ekuacioni diferencial i lëkundjeve të detyruara dhe zgjidhja e tij.Amplituda dhe faza e lëkundjeve të detyruara. Procesi i vendosjes së lëkundjeve. Rasti i rezonancës.Vetë-lëkundjet.

Zbutja e lëkundjeve është një rënie graduale e amplitudës së lëkundjeve me kalimin e kohës, për shkak të humbjes së energjisë nga sistemi oscilues.

Lëkundjet natyrore pa amortizimin janë një idealizim. Arsyet e dobësimit mund të jenë të ndryshme. Në një sistem mekanik, dridhjet zbuten nga prania e fërkimit. Kur konsumohet e gjithë energjia e ruajtur në sistemin oscilues, lëkundjet do të ndalen. Prandaj amplituda lëkundjet e amortizuara zvogëlohet derisa të bëhet e barabartë me zero.

Lëkundjet e amortizuara, si lëkundjet natyrore, në sisteme që janë të ndryshme në natyrë, mund të konsiderohen nga një këndvështrim i vetëm - karakteristika të përbashkëta. Megjithatë, karakteristika të tilla si amplituda dhe periudha kërkojnë ripërcaktim, dhe të tjera kërkojnë shtim dhe sqarim në krahasim me të njëjtat karakteristika për lëkundjet natyrore të pamposhtura. Karakteristikat dhe konceptet e përgjithshme të lëkundjeve të amortizuara janë si më poshtë:

Ekuacioni diferencial duhet të merret duke marrë parasysh uljen e energjisë vibruese gjatë procesit të lëkundjes.

Ekuacioni i lëkundjes është një zgjidhje për një ekuacion diferencial.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara varet nga koha.

Frekuenca dhe periudha varen nga shkalla e dobësimit të lëkundjeve.

Faza dhe faza fillestare kanë të njëjtin kuptim si për lëkundjet e vazhdueshme.

Lëkundjet e amortizuara mekanike.

Sistemi mekanik : lavjerrësi i sustës duke marrë parasysh forcat e fërkimit.

Forcat që veprojnë në një lavjerrës :

Forca elastike., ku k është koeficienti i ngurtësisë së sustës, x është zhvendosja e lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit.

Forca e rezistencës. Le të shqyrtojmë një forcë rezistence proporcionale me shpejtësinë v të lëvizjes (kjo varësi është tipike për një klasë të madhe të forcave të rezistencës): . Shenja minus tregon se drejtimi i forcës së rezistencës është i kundërt me drejtimin e shpejtësisë së trupit. Koeficienti i tërheqjes r është numerikisht i barabartë me forcën e tërheqjes që lind me një njësi shpejtësie të lëvizjes së trupit:

Ligji i lëvizjes lavjerrësi pranveror - ky është ligji i dytë i Njutonit:

m a = F psh. + F rezistencës

Duke marrë parasysh që të dyja , ne shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit në formën:

. (21.1)

Duke i pjesëtuar të gjithë termat e ekuacionit me m dhe duke i lëvizur të gjithë në anën e djathtë, marrim ekuacioni diferencial lëkundjet e amortizuara:

Le të tregojmë se ku β – koeficienti i dobësimit , , Ku ω 0 – frekuenca e lëkundjeve të lira të pamposhtura në mungesë të humbjeve të energjisë në sistemin oscilues.

Në shënime të reja ekuacioni diferencial Lëkundjet e amortizuara kanë formën:

. (21.2)

Ky është një ekuacion diferencial linear i rendit të dytë.

Ky ekuacion diferencial linear zgjidhet duke ndryshuar variablat. Le të paraqesim funksionin x, në varësi të kohës t, në formën:

.

Le të gjejmë derivatin e parë dhe të dytë të këtij funksioni në lidhje me kohën, duke marrë parasysh se funksioni z është gjithashtu funksion i kohës:

, .

Le t'i zëvendësojmë shprehjet në ekuacionin diferencial:

Le të paraqesim terma të ngjashëm në ekuacion dhe të zvogëlojmë çdo term me , marrim ekuacionin:

.

Le të shënojmë sasinë .

Zgjidhja e ekuacionit janë funksionet , .

Duke u kthyer te ndryshorja x, marrim formulat për ekuacionet e lëkundjeve të amortizuara:

Kështu , ekuacioni i lëkundjeve të amortizuaraështë një zgjidhje për ekuacionin diferencial (21.2):

Frekuenca e amortizuar :

(vetëm rrënja e vërtetë ka kuptim fizik, pra ).

Periudha e lëkundjeve të amortizuara :

(21.5)

Kuptimi që u fut në konceptin e një periudhe për lëkundjet e pamposhtura nuk është i përshtatshëm për lëkundjet e amortizuara, pasi sistemi oscilues nuk kthehet kurrë në gjendjen e tij origjinale për shkak të humbjeve të energjisë lëkundëse. Në prani të fërkimit, dridhjet janë më të ngadalta: .

Periudha e lëkundjeve të amortizuara është periudha minimale kohore gjatë së cilës sistemi kalon pozicionin e ekuilibrit dy herë në një drejtim.

Për sistemin mekanik të një lavjerrës susta kemi:

, .

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara :

Për një lavjerrës pranveror.

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara nuk është një vlerë konstante, por ndryshon me kalimin e kohës, aq më shpejt aq më i madh është koeficienti β. Prandaj, përkufizimi për amplituda, i dhënë më herët për lëkundjet e lira të pamposhtura, duhet të ndryshohet për lëkundjet e amortizuara.

Për zbutje të vogla amplituda e lëkundjeve të amortizuara quhet devijimi më i madh nga pozicioni i ekuilibrit gjatë një periudhe.

Grafikët Diplomat e zhvendosjes kundrejt kohës dhe amplitudës kundrejt kohës janë paraqitur në figurat 21.1 dhe 21.2.

Figura 21.1 – Varësia e zhvendosjes nga koha për lëkundjet e amortizuara.

Figura 21.2 – Varësia e amplitudës nga koha për lëkundjet e amortizuara

Karakteristikat e lëkundjeve të amortizuara.

1. Koeficienti i zbutjes β .

Amplituda e lëkundjeve të amortizuara ndryshon sipas një ligji eksponencial:

Le të ulet amplituda e lëkundjes me "e" herë gjatë kohës τ ("e" është baza e logaritmit natyror, e ≈ 2,718). Pastaj, nga njëra anë, , dhe nga ana tjetër, duke përshkruar amplituda A zat. (t) dhe Një zat. (t+τ), kemi . Nga këto marrëdhënie rrjedh βτ = 1, pra .

Kalimi i kohës τ , gjatë së cilës amplituda zvogëlohet me herë "e", quhet koha e relaksimit.

Koeficienti i zbutjes β – një sasi në përpjesëtim të zhdrejtë me kohën e relaksimit.

2. Zvogëlimi i amortizimit logaritmik δ - një sasi fizike numerikisht e barabartë me logaritmin natyror të raportit të dy amplitudave të njëpasnjëshme të ndara në kohë me një periudhë.

Nëse zbutja është e vogël, d.m.th. vlera e β është e vogël, atëherë amplituda ndryshon pak gjatë periudhës dhe zvogëlimi logaritmik mund të përcaktohet si më poshtë:

,

ku është A zat. (t) dhe Një zat. (t+NT) – amplituda e lëkundjeve në kohën e dhe pas periudhave N, pra në kohën (t + NT).

3. Faktori i cilësisë P sistemi oscilues – sasi fizike pa dimension e barabartë me produktin e sasisë (2π) ν dhe raportit të energjisë W(t) të sistemit në moment arbitrar koha për humbjen e energjisë për një periudhë të lëkundjeve të amortizuara:

.

Meqenëse energjia është proporcionale me katrorin e amplitudës, atëherë

Për vlera të vogla të zvogëlimit logaritmik δ, faktori i cilësisë së sistemit oscilues është i barabartë me

,

ku N e është numri i lëkundjeve gjatë të cilave amplituda zvogëlohet me "e" herë.

Kështu, faktori i cilësisë së një lavjerrës susta është sa më i lartë të jetë faktori i cilësisë së sistemit oscilues, aq më pak dobësim, aq më gjatë do të zgjasë procesi periodik në një sistem të tillë. Faktori i cilësisë së sistemit oscilues - një sasi pa dimension që karakterizon shpërndarjen e energjisë me kalimin e kohës.

4. Me rritjen e koeficientit β zvogëlohet frekuenca e lëkundjeve të amortizuara dhe rritet periudha. Në ω 0 = β, frekuenca e lëkundjeve të amortizuara bëhet e barabartë me zero ω zat. = 0, dhe T zat. = ∞. Në këtë rast, lëkundjet humbasin karakterin e tyre periodik dhe quhen

periodike. Në ω 0 = β, parametrat e sistemit përgjegjës për uljen e energjisë vibruese marrin vlerat e quajtura . kritike Për një lavjerrës sustë, kushti ω 0 = β do të shkruhet si më poshtë: nga ku gjejmë sasinë

.

Koeficienti i rezistencës kritike:

Oriz. 21.3. Varësia e amplitudës së lëkundjeve aperiodike nga koha

Dridhjet e detyruara.

Të gjitha lëkundjet reale janë amortizuar. Në mënyrë që lëkundjet reale të ndodhin mjaft gjatë, është e nevojshme që periodikisht të rimbushni energjinë e sistemit oscilues duke vepruar mbi të me një forcë të jashtme që ndryshon periodikisht. Le të shqyrtojmë dukurinë e lëkundjeve nëse e jashtme (duke detyruar) forca ndryshon me kalimin e kohës sipas një ligji harmonik. Në këtë rast, luhatjet do të shfaqen në sisteme, natyra e të cilave, në një shkallë ose në një tjetër, do të përsërisë natyrën e forcës lëvizëse. Lëkundje të tilla quhen .

i detyruar

Shenjat e përgjithshme të dridhjeve të detyruara mekanike. (1. Le të shqyrtojmë lëkundjet mekanike të detyruara të një lavjerrës sustë, mbi të cilin vepron një i jashtëm ) bindëse forcë periodike

Ligji i lëvizjes . Forcat që veprojnë në lavjerrës, pasi të hiqen nga pozicioni i tij ekuilibër, zhvillohen në vetë sistemin oshilator. Këto janë forca elastike dhe forca e rezistencës.

(21.6)

(Ligji i dytë i Njutonit) do të shkruhet si më poshtë: ekuacioni diferencial Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me m, ta marrim parasysh atë dhe të marrim

lëkundjet e detyruara: β – koeficienti i dobësimit Le të shënojmë ( ekuacioni diferencial ), (ω 0 – frekuenca e lëkundjeve të lira të pamposhtura), forca që vepron në një njësi të masës. Në këto shënime

(21.7)

Lëkundjet e detyruara do të marrin formën:

.

Ky është një ekuacion diferencial i rendit të dytë me anën e djathtë jozero. Zgjidhja e një ekuacioni të tillë është shuma e dy zgjidhjeve

– zgjidhje e përgjithshme e një ekuacioni diferencial homogjen, d.m.th. ekuacioni diferencial pa anën e djathtë kur është e barabartë me zero. Ne e dimë një zgjidhje të tillë - ky është ekuacioni i lëkundjeve të amortizuara, i shkruar në një saktësi të një konstante, vlera e së cilës përcaktohet nga kushtet fillestare të sistemit oscilues:

Nëse marrim parasysh procesin e lëkundjeve të lavjerrësit pas një periudhe mjaft të madhe kohore Δt pas ndezjes së forcës lëvizëse (Figura 21.2), atëherë lëkundjet e amortizuara në sistem praktikisht do të ndalen. Dhe atëherë zgjidhja e ekuacionit diferencial me anën e djathtë do të jetë zgjidhja.

Zgjidhja është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit diferencial johomogjen, d.m.th. ekuacionet me anën e djathtë. Nga teoria e ekuacioneve diferenciale dihet se me ndryshimin e krahut të djathtë sipas një ligji harmonik, zgjidhja do të jetë një funksion harmonik (sin ose cos) me një frekuencë ndryshimi që korrespondon me frekuencën Ω të ndryshimit të së djathtës. - ana e dorës:

ku Një ampl. – amplituda e lëkundjeve të detyruara, φ 0 – zhvendosja e fazës , ato. diferenca fazore ndërmjet fazës së forcës lëvizëse dhe fazës së lëkundjes së detyruar. Dhe amplituda A ampl. , dhe zhvendosja fazore φ 0 varet nga parametrat e sistemit (β, ω 0) dhe nga frekuenca e forcës lëvizëse Ω.

Periudha e lëkundjeve të detyruara barazohet (21.9)

Grafiku i dridhjeve të detyruara në figurën 4.1.

Fig.21.3. Grafiku i lëkundjeve të detyruara

Lëkundjet e detyruara në gjendje të qëndrueshme janë gjithashtu harmonike.

Varësia e amplitudës së lëkundjeve të detyruara dhe zhvendosja e fazës nga frekuenca e ndikimit të jashtëm. Rezonanca.

1. Le të kthehemi te sistemi mekanik i një lavjerrës sustë, mbi të cilin vepron një forcë e jashtme që ndryshon sipas një ligji harmonik. Për një sistem të tillë, ekuacioni diferencial dhe zgjidhja e tij, përkatësisht, kanë formën:

, .

Le të analizojmë varësinë e amplitudës së lëkundjes dhe zhvendosjes së fazës nga frekuenca e forcës lëvizëse të jashtme për ta bërë këtë, ne do të gjejmë derivatet e parë dhe të dytë të x dhe do t'i zëvendësojmë ato në ekuacionin diferencial.

Le të përdorim metodën e diagramit vektor. Ekuacioni tregon se shuma e tre dridhjeve në anën e majtë të ekuacionit (Figura 4.1) duhet të jetë e barabartë me dridhjen në anën e djathtë. Diagrami vektorial është bërë për një moment arbitrar të kohës t. Nga ajo mund të përcaktoni.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Duke marrë parasysh vlerën e , , marrim formula për φ 0 dhe A ampl. sistemi mekanik:

,

.

2. Studiojmë varësinë e amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse dhe madhësia e forcës së rezistencës në një sistem mekanik lëkundës, duke përdorur këto të dhëna ndërtojmë një grafik. . Rezultatet e studimit janë pasqyruar në figurën 21.5, e cila tregon se në një frekuencë të caktuar të forcës lëvizëse amplituda e lëkundjeve rritet ndjeshëm. Dhe kjo rritje është më e madhe, aq më i ulët është koeficienti i dobësimit β. Kur amplituda e lëkundjeve bëhet pafundësisht e madhe.

Fenomeni i një rritje të mprehtë të amplitudës lëkundjet e detyruara me një frekuencë të forcës lëvizëse të barabartë me , quhet rezonancë.

(21.12)

Lakoret në figurën 21.5 pasqyrojnë marrëdhënien dhe quhen lakoret e rezonancës së amplitudës .

Figura 21.5 – Grafikët e varësisë së amplitudës së lëkundjeve të detyruara nga frekuenca e forcës lëvizëse.

Amplituda e lëkundjeve rezonante do të marrë formën:

Dridhjet e detyruara janë i pamposhtur luhatjet. Humbjet e pashmangshme të energjisë për shkak të fërkimit kompensohen nga furnizimi me energji nga një burim i jashtëm i forcës që vepron periodikisht. Ka sisteme në të cilat lëkundjet e pamposhtura lindin jo për shkak të ndikimeve periodike të jashtme, por si rezultat i aftësisë së sistemeve të tilla për të rregulluar furnizimin me energji nga një burim konstant. Sisteme të tilla quhen vetëlëkundëse, dhe procesi i lëkundjeve të pamposhtura në sisteme të tilla është vetëlëkundjet.

Në një sistem vetëlëkundës, mund të dallohen tre elementë karakteristikë - një sistem oscilues, një burim energjie dhe një pajisje kthyese midis sistemit oscilues dhe burimit. Çdo sistem mekanik i aftë për të kryer lëkundjet e veta të amortizuara (për shembull, lavjerrësi i një ore muri) mund të përdoret si një sistem oscilues.

Burimi i energjisë mund të jetë energjia e deformimit të një sustë ose energjia potenciale e një ngarkese në një fushë gravitacionale. Një pajisje kthyese është një mekanizëm me anë të të cilit një sistem vetëlëkundës rregullon rrjedhën e energjisë nga një burim. Në Fig. Figura 21.6 tregon një diagramë të ndërveprimit të elementeve të ndryshëm të një sistemi vetëlëkundës.

Një shembull i një sistemi mekanik vetëlëkundës është një mekanizëm i orës me spirancë progresi (Fig. 21.7.). Rrota e drejtimit me dhëmbë të zhdrejtë është ngjitur fort në një daulle me dhëmbë, përmes së cilës hidhet një zinxhir me një peshë. Në skajin e sipërm të lavjerrësit ka një spirancë (spirancë) me dy pllaka materiali të fortë, të përkulura përgjatë një harku rrethor me qendër në boshtin e lavjerrësit. Në orët e dorës, pesha zëvendësohet nga një pranverë, dhe lavjerrësi zëvendësohet nga një balancues - një rrotë dore e lidhur me një pranverë spirale.

Balancuesi kryen dridhje rrotulluese rreth boshtit të tij. Sistemi oscilues në një orë është një lavjerrës ose balancues. Burimi i energjisë është një peshë e ngritur ose një pranverë plagë. Pajisja me të cilën kryhet reagimet, është një spirancë që lejon rrotën e drejtimit të rrotullojë një dhëmb në një gjysmë cikli.

Reagimi sigurohet nga ndërveprimi i spirancës me rrotën e drejtimit. Me çdo lëkundje të lavjerrësit, një dhëmb i rrotës së drejtimit shtyn pirunin e ankorimit në drejtim të lëvizjes së lavjerrësit, duke transferuar në të një pjesë të caktuar të energjisë, e cila kompenson humbjet e energjisë për shkak të fërkimit. Kështu, energjia potenciale e peshës (ose susta e përdredhur) gradualisht, në pjesë të veçanta, transferohet në lavjerrës.

Sistemet mekanike vetëlëkundëse janë të përhapura në jetën rreth nesh dhe në teknologji. Vetë-lëkundjet ndodhin në motorët me avull, motorët me djegie të brendshme, këmbanat elektrike, telat e instrumenteve muzikore me hark, kolonat e ajrit në tubat e instrumenteve frymore, kordat vokale kur flisni ose këndoni, etj.

Ndërsa studioni këtë pjesë, ju lutemi mbani parasysh këtë luhatjet të natyrës fizike të ndryshme përshkruhen nga pozicionet e zakonshme matematikore. Këtu është e nevojshme të kuptohen qartë koncepte të tilla si lëkundje harmonike, faza, ndryshimi i fazës, amplituda, frekuenca, periudha e lëkundjes.

Duhet pasur parasysh se në çdo sistem real oscilues ka rezistencë të mediumit, d.m.th. lëkundjet do të amortizohen. Për të karakterizuar zbutjen e lëkundjeve, futen një koeficient amortizimi dhe një zvogëlim logaritmik i amortizimit.

Nëse lëkundjet ndodhin nën ndikimin e një force të jashtme, në ndryshim periodik, atëherë lëkundjet e tilla quhen të detyruara. Ata do të jenë të pamposhtur. Amplituda e lëkundjeve të detyruara varet nga frekuenca e forcës lëvizëse. Ndërsa frekuenca e lëkundjeve të detyruara i afrohet frekuencës së lëkundjeve natyrore, amplituda e lëkundjeve të detyruara rritet ndjeshëm. Ky fenomen quhet rezonancë.

Kur kaloni në studimin e valëve elektromagnetike, duhet ta kuptoni qartë këtëvalë elektromagnetikeështë një fushë elektromagnetike që përhapet në hapësirë. Sistemi më i thjeshtë që lëshon valë elektromagnetike është një dipol elektrik. Nëse dipoli bën dridhjet harmonike, pastaj lëshon një valë monokromatike.

Tabela e formulave: lëkundjet dhe valët

Lëkundjet e amortizuara

Lëkundjet e amortizuara të një lavjerrës sustë

Lëkundjet e amortizuara- vibracione, energjia e të cilave zvogëlohet me kalimin e kohës. Një proces pafundësisht i qëndrueshëm i specieve është i pamundur në natyrë. Lëkundjet e lira të çdo oshilatori herët a vonë zbehen dhe ndalen. Prandaj, në praktikë zakonisht kemi të bëjmë me lëkundje të amortizuara. Ato karakterizohen nga fakti se amplituda e lëkundjeve Aështë një funksion në rënie. Në mënyrë tipike, zbutja ndodh nën ndikimin e forcave të rezistencës së mediumit, më së shpeshti i shprehur si një varësi lineare nga shpejtësia e lëkundjes ose katrori i saj.

Në akustikë: zbutja - zvogëlimi i nivelit të sinjalit në padëgjueshmëri të plotë.

Lëkundjet e amortizuara të një lavjerrës sustë

Le të ketë një sistem të përbërë nga një susta (i nënshtruar ligjit të Hooke), një skaj i të cilit është i fiksuar fort, dhe në anën tjetër ka një trup me masë m. Lëkundjet ndodhin në një mjedis ku forca e rezistencës është proporcionale me shpejtësinë me një koeficient c(shih fërkimin viskoz).

Rrënjët e të cilave llogariten nga formulën e mëposhtme

Zgjidhjet

Në varësi të vlerës së koeficientit të dobësimit, zgjidhja ndahet në tre opsione të mundshme.

• Aperiodiciteti

Nëse , atëherë ekzistojnë dy rrënjë reale, dhe zgjidhja e ekuacionit diferencial merr formën:

Në këtë rast, lëkundjet zbehen në mënyrë eksponenciale që në fillim.

• Kufiri i aperiodicitetit

Nëse , dy rrënjë reale përputhen, dhe zgjidhja e ekuacionit është:

NË në këtë rast Mund të ketë një rritje të përkohshme, por më pas një rënie eksponenciale.

• Zbutje e dobët

Nëse , atëherë zgjidhja e ekuacionit karakteristik është dy rrënjë komplekse të konjuguara

Atëherë zgjidhja e ekuacionit diferencial origjinal është

Ku është frekuenca natyrore e lëkundjeve të amortizuara.

Konstantet dhe në çdo rast përcaktohen nga kushtet fillestare:

Shihni gjithashtu

• Zvogëlimi i zbutjes

Letërsia

Lit.: Savelyev I.V., Kursi i Fizikës së Përgjithshme: Mekanika, 2001.

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Lëkundjet e amortizuara Shihni se çfarë janë "lëkundjet e amortizuara" në fjalorë të tjerë: - Lëkundjet e amortizuara. LIDHJE TË SHKOHURA, lëkundje amplituda A e të cilave zvogëlohet me kalimin e kohës për shkak të humbjeve të energjisë: shndërrimi i energjisë së lëkundjeve në nxehtësi si rezultat i fërkimit në sistemet mekanike (për shembull, në një pikë pezullimi... ...

Fjalor Enciklopedik i Ilustruar Lëkundjet natyrore, amplituda A e të cilave zvogëlohet me kohën t sipas ligjit të eksponencialit A(t) = Аоexp (?t) (? tregues i dobësimit për shkak të shpërndarjes së energjisë për shkak të forcave viskoze të fërkimit për lëkundjet mekanike të amortizuara dhe omike. .. ...

Fjalori i madh enciklopedik

Lëkundjet amplituda e të cilave zvogëlohet gradualisht, p.sh. lëkundjet e një lavjerrës që përjeton rezistencën e ajrit dhe fërkimin në pezullim. Të gjitha dridhjet e lira që ndodhin në natyrë janë, në një masë më të madhe ose më të vogël, Z.K Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary lëkundjet e amortizuara - Lëkundjet mekanike me vlera në rënie të diapazonit të koordinatës së përgjithësuar ose derivatit të saj në lidhje me kohën. [Mbledhja e termave të rekomanduara. Çështja 106. Dridhjet mekanike. Akademia e Shkencave e BRSS. Komiteti Shkencor dhe Teknik......

Lëkundjet e amortizuara Udhëzues teknik i përkthyesit - Lëkundjet (VIBRACIONI) (dridhjet) me vlera luhatëse në rënie... Enciklopedia ruse

mbi mbrojtjen e punës Lëkundjet natyrore të sistemit, amplituda A e së cilës zvogëlohet me kohën t sipas ligjit eksponencial A(t) = A0exp(?α t) (α është indeksi i amortizimit) për shkak të shpërndarjes së energjisë për shkak të forcave viskoze të fërkimit për amortizimin mekanik lëkundjet dhe omike......

Lëkundjet e amortizuara Fjalor Enciklopedik - 31. Lëkundje të amortizuara Lëkundje me vlera luhatëse në rënie Burimi...

Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik Lëkundjet natyrore të sistemit, amplituda A në ryx zvogëlohet me kohën t sipas ligjit eksponencial A(t) = = Aoeхр(at) (a është indeksi i amortizimit) për shkak të shpërndarjes së energjisë për shkak të forcave të fërkimit viskoz për mekanike. 3. ndaj dhe rezistencës omike për elektrike ...

Lëkundjet amplituda e të cilave zvogëlohet gradualisht, p.sh. lëkundjet e një lavjerrës që përjeton rezistencën e ajrit dhe fërkimin në pezullim. Të gjitha dridhjet e lira që ndodhin në natyrë janë, në një masë më të madhe ose më të vogël, Z.K Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. oscilim i lagur vok. gedämpfte Schwingung, f rus. oshilacione të amortizuara, n pranc. oscilimet amorties, f; lëkundjet décroissantes, f … Përfundimi automatik

Lëkundjet amplituda e të cilave zvogëlohet gradualisht, p.sh. lëkundjet e një lavjerrës që përjeton rezistencën e ajrit dhe fërkimin në pezullim. Të gjitha dridhjet e lira që ndodhin në natyrë janë, në një masë më të madhe ose më të vogël, Z.K Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. lëkundjet e amortizuara; dridhje të amortizuara; oscilime vdekjeprurëse vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. oshilacione të amortizuara, n pranc. luhatjet amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Deri më tani kemi shqyrtuar lëkundjet harmonike që lindin, siç u përmend tashmë, kur ka a forca e vetme- forca elastike ose forca kuazi-elastike. Në natyrën përreth nesh, në mënyrë rigoroze, luhatje të tilla nuk ekzistojnë. Në sistemet reale, përveç forcave elastike ose pothuajse elastike, ka gjithmonë forca të tjera që ndryshojnë në natyrën e veprimit nga forcat elastike - këto janë forca që lindin kur trupat e sistemit ndërveprojnë me mjedisi - forcat shpërndarëse. Rezultati përfundimtar i veprimit të tyre është tranzicioni energji mekanike duke lëvizur trupin në nxehtësi. Me fjalë të tjera, shpërndarja ndodh ose shpërndarje energji mekanike. Procesi i shpërndarjes së energjisë nuk është thjesht mekanik dhe për përshkrimin e tij kërkon përdorimin e njohurive nga degët e tjera të fizikës. Në kuadrin e mekanikës, ne mund ta përshkruajmë këtë proces duke futur forcat e fërkimit ose rezistencës. Si rezultat i shpërndarjes së energjisë, amplituda e lëkundjes zvogëlohet. Në këtë rast, është zakon të thuhet se dridhjet e një trupi ose sistemi trupash zbehen. Lëkundjet e amortizuara nuk janë më harmonike, pasi amplituda dhe frekuenca e tyre ndryshojnë me kalimin e kohës.

Lëkundjet që për shkak të shpërndarjes së energjisë në një sistem lëkundës ndodhin me një amplitudë në rënie të vazhdueshme quhen venitje. Nëse një sistem oscilues, i hequr nga gjendja e ekuilibrit, lëkundet vetëm nën ndikimin e forcave të brendshme, pa rezistencë dhe shpërndarje (shpërndarje) të energjisë, atëherë lëkundjet që ndodhin në të quhen falas(ose vet) lëkundjet e pamposhtura. Në sistemet mekanike reale me shpërndarje të energjisë, lëkundjet e lira janë gjithmonë të amortizuara. Frekuenca e tyre co ndryshon nga frekuenca co 0 e lëkundjeve të sistemit pa amortizues (sa më i madh të jetë ndikimi i forcave të rezistencës, aq më i madh është ndikimi i forcave të rezistencës.

Le të shqyrtojmë lëkundjet e amortizuara duke përdorur shembullin e një lavjerrës sustë. Le të kufizohemi në marrjen në konsideratë të lëkundjeve të vogla. Në shpejtësi të ulëta të lëkundjeve, forca e rezistencës mund të merret në proporcion me shpejtësinë e zhvendosjeve osciluese

Ku v = 4 - shpejtësia e lëkundjes; G - një faktor proporcionaliteti i quajtur koeficienti i tërheqjes. Shenja minus në shprehjen (2.79) për forcën e rezistencës është për faktin se ajo është e drejtuar në drejtim të kundërt me shpejtësinë e lëvizjes së trupit lëkundës.

Njohja e shprehjeve për forcën kuazi-elastike i^p = - dhe forcën e rezistencës Fc= duke marrë parasysh veprimin e kombinuar të këtyre forcave, mund të shkruajmë ekuacionin dinamik të lëvizjes së një trupi që kryen lëkundje të amortizuara

Në këtë ekuacion, ne zëvendësojmë koeficientin (3 në përputhje me formulën (2.49) me Ti], pas së cilës ndajmë ekuacionin e fundit dhe marrim

Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit (2.81) në funksion të kohës së formës

Këtu vlera konstante y është ende e padefinuar. Për thjeshtësi, faza fillestare në shqyrtimin tonë do të supozohet të jetë e barabartë me zero, d.m.th. kronometrin mund ta “ndezjmë” kur zhvendosja osciluese kalon në pozicionin e ekuilibrit (koordinata zero).

Ne mund të përcaktojmë vlerën y duke zëvendësuar në ekuacionin diferencial të lëkundjeve të amortizuara (2.81) zgjidhjen e supozuar (2.82), si dhe shpejtësitë e marra prej saj.

dhe nxitimi

Zëvendësimi i (2.83) dhe (2.84) së bashku me (2.82) në (2.81) jep Pasi të zvogëlohet me /1 () e": "dhe duke shumëzuar me "-1" marrim zgjidhjen e kësaj ekuacioni kuadratik në lidhje me y, kemi

Duke zëvendësuar y në (2.82), ne gjejmë se si zhvendosja varet nga koha gjatë lëkundjeve të amortizuara. Le të prezantojmë shënimin

ku simboli co tregon frekuencën këndore të lëkundjeve të amortizuara dhe coo frekuencën këndore të lëkundjeve të lira pa zbehje. Mund të shihet se për S > 0 frekuenca e lëkundjeve të amortizuara është gjithmonë më e vogël se frekuenca

Kështu, dhe, për rrjedhojë, zhvendosja gjatë lëkundjeve të amortizuara mund të shprehet si

Zgjedhja e shenjës "+" ose "-" në eksponentin e dytë është arbitrare dhe korrespondon me një zhvendosje fazore të lëkundjeve me l. Ne do të shkruajmë lëkundjet e amortizuara duke marrë parasysh zgjedhjen e shenjës "+", atëherë shprehja (2.90) do të jetë

Kjo është varësia e dëshiruar e zhvendosjes nga koha. Ajo gjithashtu mund të rishkruhet në formë trigonometrike(i kufizuar në pjesën reale)

Varësia e dëshiruar nga amplituda A(t) herë pas here mund të paraqitet si

Ku A(,- amplituda në kohë t = 0.

Konstante 8, e barabartë sipas (2.88) me raportin e koeficientit të rezistencës G për të dyfishuar masën T trupi lëkundës quhet koeficienti i amortizimit të dridhjeve. Le të zbulojmë kuptimin fizik të këtij koeficienti. Le të gjejmë kohën t gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara do të ulet me e (baza e logaritmeve natyrore e = 2,72) herë. Për ta bërë këtë, le të vendosim

Duke përdorur relacionin (2.93), marrim: ose

prej nga vijon

Prandaj, koeficienti i dobësimit 8 është reciproke e kohës t, pas së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara do të ulet me e herë. Sasia m, e cila ka dimensionin e kohës, quhet konstante kohore e një procesi oscilues të amortizuar.

Përveç koeficientit 8, i ashtuquajturi zvogëlimi logaritmik i amortizimit X, e barabartë me logaritmin natyror të raportit të dy amplitudave të lëkundjeve të ndara nga njëra-tjetra me një interval kohor të barabartë me periudhën T

Shprehja nën logaritëm, e treguar nga simboli d, quajtur thjesht zvogëlimi i luhatjeve (ulja e zbutjes).

Duke përdorur shprehjen e amplitudës (2.93), marrim:

Le të zbulojmë kuptimin fizik të zvogëlimit logaritmik të amortizimit. Le të zvogëlohet amplituda e lëkundjeve me e herë pas N oscilimeve. Koha t gjatë së cilës trupi do të përfundojë N lëkundjet mund të shprehen përmes periudhës t = N.T. Duke e zëvendësuar këtë vlerë m në (2.97), marrim 8NT= 1. Që nga viti 67 "= A., atëherë NX = 1, ose

Prandaj, zvogëlimi i amortizimit logaritmikështë reciproke e numrit të lëkundjeve gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve të amortizuara do të ulet me e herë.

Në disa raste, varësia e amplitudës së lëkundjes nga koha A(t)Është e përshtatshme për ta shprehur atë në termat e zvogëlimit logaritmik të amortizimit A. Eksponenti 6 1 Shprehjet (2.93) mund të shkruhen sipas (2.99) si më poshtë:

Pastaj shprehja (2.93) merr formën

ku vlera është e barabartë me numrin N lëkundjet e bëra nga sistemi gjatë kohës t.

Tabela 2.1 tregon vlerat e përafërta (në rendin e madhësisë) të zvogëlimeve logaritmike të amortizimit të disa sistemeve osciluese.

Tabela 2.1

Vlerat e zvogëlimit të dobësimit të disa sistemeve osciluese

Le të analizojmë tani ndikimin e forcave të rezistencës në frekuencën e lëkundjeve. Kur një trup lëviz nga një pozicion ekuilibri dhe kthehet në një pozicion ekuilibri, një forcë rezistente do të veprojë mbi të gjatë gjithë kohës, duke e bërë atë të ngadalësohet.

Kjo do të thotë që të njëjtat seksione të shtegut gjatë lëkundjeve të amortizuara do të mbulohen nga trupi në një interval kohor më të madh sesa gjatë lëkundjeve të lira. Periudha e lëkundjeve të amortizuara T, prandaj do të ketë një periudhë më të madhe të lëkundjeve të lira natyrore. Nga shprehja (2.89) është e qartë se diferenca në frekuenca bëhet më e madhe, aq më i madh është koeficienti i dobësimit b. Për b të mëdha (b > coo), lëkundjet e amortizuara degjenerojnë në proces aperiodik (jo periodik), në të cilin, në varësi të kushteve fillestare, sistemi kthehet menjëherë në pozicionin e ekuilibrit pa kaluar nëpër të, ose para se të ndalet kalon një herë në pozicionin e ekuilibrit (kryen vetëm një lëkundje) - shih Fig. 2.16.

Oriz. 2.16. Lëkundjet e amortizuara:

Në figurën 2.16, A tregon një grafik varësie %(t) Dhe A(t)(në 5 > co 0 dhe fazën fillestare со, lëkundjet janë krejtësisht të pamundura (ky rast korrespondon me vlerën imagjinare të frekuencës së përcaktuar nga barazia (2.89). Sistemi bëhet amortizues dhe procesi oscilues bëhet aperiodik (Fig. 2.16, b).

• Shënimi exp(x) është ekuivalent me e*. Ne do të përdorim të dy format.
• Në një shqyrtim të përgjithshëm të lëkundjeve, vlera e plotë e fazës së lëkundjeve jepet nga kushtet fillestare, d.m.th. madhësia e zhvendosjes 4(0 dhe shpejtësia 4(0) në momentin fillestar të kohës (t = 0) dhe përfshin termin