Kelimelerin anlamı Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir sayılar ve i = sanal birim (yani karesi -1 olan bir sayı). Gösterimi tanımlamak için argüman Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir kapsayıcı

, karmaşık bir sayıya kutupsal koordinat sistemindeki karmaşık düzlemde bakmanız gerekir.

1. Talimatlar Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir Karmaşık komplekslerin temsil edildiği düzlem Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir, karmaşık denir. Bu düzlemde yatay eksen gerçek tarafından işgal edilmiştir. Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir(x) ve dikey eksen sanaldır

2. (y). Böyle bir düzlemde sayı iki z = (x, y) koordinatıyla verilir. Kutupsal koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları modül ve argümandır. Modül |z| mesafesidir. bir noktadan orijine. Bir açıya argüman denir mi? noktayı ve koordinat önsözünü birleştiren vektör ile koordinat sisteminin yatay ekseni arasında (şekle bakın). Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektirŞekil, karmaşık modülün Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir z = x + i * y Pisagor teoremi kullanılarak bulunur: |z| = ? (x^2 + y^2). Daha fazla argüman z, değerler aracılığıyla bir üçgenin dar açısı olarak bulunur trigonometrik fonksiyonlar

3. günah, çünkü, tg:sin ? =y/? (x^2 + y^2),çünkü ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? =y/x. Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir Diyelim ki z = 5 * (1 + ?3 * i) sayısı verilsin. Öncelikle reel ve sanal kısımları seçin: z = 5 +5 * ?3 * i. Gerçek kısmın x = 5, sanal kısmının ise y = 5 * ?3 olduğu ortaya çıktı. Modülü hesapla Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Sonra açının sinüsünü bulun: sin ? = 5/10 = 1/2. Buradan argümanı elde ederiz.

4. z 30°'ye eşittir. Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektirÖrnek 2. z = 5 * i sayısı verilsin. Resimden bu açıyı görebiliyor musunuz? = 90°. Yukarıda verilen formülü kullanarak bu değeri kontrol edin. Bunun koordinatlarını yazın Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir karmaşık düzlemde: z = (0, 5). Modül

5. |z| = 5. tg açısının tanjantı? = 5/5 = 1. Buradan ne çıkar? = 90°. Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektirÖrnek 3. Diyelim ki z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i olan 2 karmaşık sayının toplamı için argüman bulmamız gerekiyor. Toplama kurallarına göre bu iki kompleksi toplarsınız

: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Daha sonra yukarıdaki şemaya göre argümanı hesaplayın: tg? = 9/3 = 3.
Dikkat etmek!

Eğer z = 0 sayısı ise, bu durumda argümanın değeri tanımlanmamıştır.
Faydalı tavsiyeler

Tanım 8.3 (1).

Uzunluk |z| z = (x,y) vektörüne z = x + yi karmaşık sayısının modülü denir

Bir üçgenin her bir kenarının uzunluğu diğer iki kenarının uzunluklarının toplamını aşmadığından ve üçgenin iki kenarının uzunlukları arasındaki farkın mutlak değeri üçüncü kenarın uzunluğundan az olmadığından, o zaman herhangi iki karmaşık sayı z 1 ve z 2 için eşitsizlikler geçerlidir

Tanım 8.3 (2).

Karmaşık sayı argümanı. Eğer φ, sıfır olmayan bir z vektörünün gerçek eksenle oluşturduğu açı ise, o zaman (φ + 2πn, burada n bir tam sayıdır ve yalnızca bu tür bir açı) biçimindeki herhangi bir açı da şu şekilde oluşturulan bir açı olacaktır: gerçel eksenli z vektörü.

Sıfır olmayan z = = (x, y) vektörünün gerçek eksenle oluşturduğu tüm açıların kümesine z = x + yi karmaşık sayısının argümanı denir ve arg z ile gösterilir. Bu kümenin her bir elemanına z sayısının argümanının değeri denir (Şekil 8.3(1)).

Pirinç. 8.3(1).

Bir düzlemin sıfır olmayan bir vektörü, uzunluğu ve x ekseni ile oluşturduğu açı tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğinden, sıfırdan farklı iki karmaşık sayı, ancak ve ancak mutlak değerleri ve argümanları eşitse eşittir.

Örneğin, z sayısının φ argümanının değerlerine 0≤φ koşulu uygulanırsa<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Tanım 8.3.(3)

Karmaşık bir sayının trigonometrik şekli. z = x + уi ≠ 0 karmaşık sayısının gerçel ve sanal kısımları r= |z| modülü aracılığıyla ifade edilir. ve φ argümanı aşağıdaki gibidir (sinüs ve kosinüs tanımından):

Bu eşitliğin sağ tarafına z karmaşık sayısının trigonometrik şekli denir. Bunu z = 0 için de kullanacağız; bu durumda r = 0 ve φ herhangi bir değeri alabilir - 0 sayısının argümanı tanımsızdır. Yani her karmaşık sayı trigonometrik biçimde yazılabilir.

Ayrıca z karmaşık sayısının şu şekilde yazılması durumunda da açıktır:

o zaman r sayısı modülüdür, çünkü

Ve φ argümanının değerlerinden biridir

Karmaşık sayıları yazmanın trigonometrik biçimi, karmaşık sayıları çarparken kullanışlı olabilir; özellikle karmaşık sayıların çarpımının geometrik anlamını bulmanızı sağlar.

Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde çarpmak ve bölmek için formüller bulalım. Eğer

daha sonra karmaşık sayıların çarpım kuralına göre (toplamın sinüs ve kosinüs formüllerini kullanarak)

Böylece, karmaşık sayıları çarparken mutlak değerleri çarpılır ve argümanlar eklenir:

Bu formülü n karmaşık sayıya sırayla uygularsak, şunu elde ederiz:

Tüm n sayıları eşitse, şunu elde ederiz:

Nereye

koşma

Dolayısıyla mutlak değeri 1 olan bir karmaşık sayı için (dolayısıyla şu şekildedir:

Bu eşitliğe denir Moivre'nin formülleri

Yani karmaşık sayılar bölünürken modülleri de bölünür,

ve argümanlar çıkarılır.

Örnekler 8.3(1).

Karmaşık C düzlemi üzerine aşağıdaki koşulları sağlayan bir dizi nokta çizin:

Belirli bir karmaşık sayıyı temsil eden $z=a+bi$, verilen karmaşık sayının modülü olarak adlandırılır.

Belirli bir karmaşık sayının modülü aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Örnek 1

Verilen karmaşık sayıların modülünü hesaplayın $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

$z=a+bi$ karmaşık sayısının modülünü şu formülü kullanarak hesaplıyoruz: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Orijinal karmaşık sayı $z_(1) =13$ için $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = elde ederiz \sqrt (169) =13$

Orijinal karmaşık sayı $\, z_(2) =4i$ için $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) elde ederiz ) = \sqrt(16) =4$

Orijinal karmaşık sayı $\, z_(3) =4+3i$ için şunu elde ederiz: $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Tanım 2

Gerçek eksenin pozitif yönü ve belirli bir $z=a+bi$ karmaşık sayısına karşılık gelen $\overrightarrow(OM) $ yarıçap vektörünün pozitif yönü tarafından oluşturulan $\varphi $ açısına bu sayının argümanı denir ve $\arg z$ ile gösterilir.

Not 1

Belirli bir karmaşık sayının modülü ve argümanı, bir karmaşık sayıyı trigonometrik veya üstel biçimde temsil ederken açıkça kullanılır:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrik form;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - üstel form.

Örnek 2

Aşağıdaki verilerle verilen, trigonometrik ve üstel formlarda bir karmaşık sayı yazın: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) $r=3;\varphi =\pi $ verilerini karşılık gelen formüllerde değiştirin ve şunu elde edin:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrik form

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - üstel form.

2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ verilerini karşılık gelen formüllerde değiştirin ve şunu elde edin:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrik form

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - üstel form.

Örnek 3

Verilen karmaşık sayıların modülünü ve argümanını belirleyin:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Belirli bir karmaşık sayıyı sırasıyla trigonometrik ve üstel formlarda yazmak için formüller kullanarak modülü ve argümanı bulacağız.

\ \

1) Orijinal karmaşık sayı $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ için $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ elde ederiz .

2) Orijinal karmaşık sayı için $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ şunu yaparız: $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ elde edin.

3) Başlangıç ​​karmaşık sayısı $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ için $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Orijinal karmaşık sayı $z=13\cdot e^(i\pi ) $ için $r=13;\varphi =\pi $ elde ederiz.

Belirli bir karmaşık sayının $\varphi $ argümanı $z=a+bi$ aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Pratikte, belirli bir karmaşık sayının argümanının değerini hesaplamak için $z=a+bi$ genellikle şu formül kullanılır:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi,a

veya bir denklem sistemini çözün

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.

Örnek 4

Verilen karmaşık sayıların argümanını hesaplayın: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

$z=3$ olduğundan $a=3,b=0$ olur. Orijinal karmaşık sayının argümanını (*) formülünü kullanarak hesaplayalım:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

$z=4i$ olduğuna göre $a=0,b=4$. Orijinal karmaşık sayının argümanını (*) formülünü kullanarak hesaplayalım:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

$z=1+i$ olduğundan $a=1,b=1$ olur. Orijinal karmaşık sayının argümanını (**) sistemini çözerek hesaplayalım:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]

Trigonometri dersinden, birinci koordinat çeyreğine karşılık gelen ve $\varphi =\frac'a eşit olan açı için $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ olduğu bilinmektedir. (\pi )( 4) $.

$z=-5$ olduğuna göre $a=-5,b=0$. Orijinal karmaşık sayının argümanını (*) formülünü kullanarak hesaplayalım:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

$z=-2i$ olduğuna göre $a=0,b=-2$. Orijinal karmaşık sayının argümanını (*) formülünü kullanarak hesaplayalım:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Not 2

$z_(3)$ sayısı $(0;1)$ noktasıyla temsil edilir, bu nedenle karşılık gelen yarıçap vektörünün uzunluğu 1'e eşittir, yani. $r=1$ ve Not 3'e göre $\varphi =\frac(\pi )(2) $ argümanı.

$z_(4)$ sayısı $(0;-1)$ noktasıyla temsil edilir, bu nedenle karşılık gelen yarıçap vektörünün uzunluğu 1'e eşittir, yani. $r=1$ ve Not 3'e göre $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ argümanı.

$z_(5) $ sayısı $(2;2)$ noktasıyla temsil edilir, dolayısıyla karşılık gelen yarıçap vektörünün uzunluğu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = eşittir \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, yani. $r=2\sqrt(2) $ ve $\varphi =\frac(\pi )(4) $ argümanı bir dik üçgenin özelliğine göre.

Kelimelerin anlamı Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir ve i = sanal birim (yani karesi -1 olan bir sayı). Konsepti tanımlamak için ve i = sanal birim (yani karesi -1 olan bir sayı). Gösterimi tanımlamak için argüman Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir, kutupsal koordinat sisteminde karmaşık düzlemde karmaşık bir sayıyı dikkate almak gerekir.

, karmaşık bir sayıya kutupsal koordinat sistemindeki karmaşık düzlemde bakmanız gerekir.

Karmaşık komplekslerin temsil edildiği düzlem Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir, karmaşık denir. Bu düzlemde yatay eksen gerçek tarafından işgal edilmiştir. Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir, karmaşık denir. Bu düzlemde yatay eksen gerçek tarafından işgal edilmiştir. Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir(y). Böyle bir düzlemde sayı iki z = (x, y) koordinatıyla verilir. Kutupsal koordinat sisteminde bir noktanın koordinatları modül ve argümandır. Modül |z| mesafesidir. bir noktadan orijine. Argüman, noktayı ve orijini birleştiren vektör ile koordinat sisteminin yatay ekseni arasındaki açıdır (şekle bakın).

Şekil, karmaşık modülün Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir z = x + i * y Pisagor teoremi kullanılarak bulunur: |z| = ? (x^2 + y^2). Sonraki argüman Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir z, bir üçgenin dar açısı olarak bulunur - sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
çünkü = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Örneğin z = 5 * (1 + ?3 * i) sayısı verilsin. Öncelikle reel ve sanal kısımları seçin: z = 5 +5 * ?3 * i. Gerçek kısmın x = 5, sanal kısmının ise y = 5 * ?3 olduğu ortaya çıktı. Modülü hesapla Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Sonra açının sinüsünü bulun: sin = 5/10 = 1/2. Bu, argümanı verir Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Sonra açının sinüsünü bulun: sin ? = 5/10 = 1/2. Buradan argümanı elde ederiz.

Örnek 2. z = 5 * i sayısı verilsin. Şekil açının = 90° olduğunu göstermektedir. Yukarıda verilen formülü kullanarak bu değeri kontrol edin. Bunun koordinatlarını yazın Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektirÖrnek 2. z = 5 * i sayısı verilsin. Resimden bu açıyı görebiliyor musunuz? = 90°. Yukarıda verilen formülü kullanarak bu değeri kontrol edin. Bunun koordinatlarını yazın Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir|z| = 5. tg açısının tanjantı = 5 / 5 = 1. Buradan = 90° çıkar.

Örnek 3. İki karmaşık sayının z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i toplamının argümanını bulmamız gerekli olsun. Toplama kurallarına göre bu iki kompleksi toplarsınız Karmaşık sayı z =x + i * y formundaki bir sayıdır; burada x ve y gerçektir: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Daha sonra yukarıdaki diyagramı kullanarak şu argümanı hesaplayın: tg = 9/3 = 3.