Sayıların bölünebilme işaretleri- bunlar, bu sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini nispeten hızlı bir şekilde, bölmeden bulmanızı sağlayan kurallardır.
Bazıları bölünebilirlik işaretleri oldukça basit, bazıları daha karmaşık. Bu sayfada hem asal sayıların bölünebilme işaretlerini (örneğin 2, 3, 5, 7, 11) hem de bileşik sayıların (6 veya 12 gibi) bölünebilme işaretlerini bulacaksınız.
Umut, bu bilgi işinize yarayacaktır.
Mutlu öğrenme!

2'ye bölünebilme testi

Bu, bölünebilirliğin en basit işaretlerinden biridir. Kulağa şöyle geliyor: Bir doğal sayının gösterimi çift rakamla bitiyorsa, o zaman çifttir (kalansız olarak 2'ye bölünebilir) ve bir sayının gösterimi tek rakamla bitiyorsa, bu sayı tektir.
Başka bir deyişle, bir sayının son rakamı 2 , 4 , 6 , 8 veya 0 - Sayı 2'ye bölünüyorsa bölünemez
Örneğin sayılar: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 Çift oldukları için 2'ye bölünebilirler.
A sayıları: 23 5 , 137 , 2303
Tek oldukları için 2'ye bölünemezler.

3'e bölünebilme testi

Bu bölünebilme işaretinin tamamen farklı kuralları vardır: Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünüyorsa, sayı 3'e bölünebilir; Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünemiyorsa sayı 3'e de bölünmez.
Bu, bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini anlamak için onu oluşturan sayıları toplamanız gerektiği anlamına gelir.
Şuna benzer: 3987 ve 141 3'e bölünebilir çünkü ilk durumda 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - 3'e bölünebilir) ve ikincisinde 1+4+1= 6 (6:3=2 - 3'e de bölünebilir).
Ancak 235 ve 566 sayıları 3'e bölünemez çünkü 2+3+5= 10 ve 5+6+6= 17 (ve ne 10 ne de 17'nin 3'e kalansız bölünemeyeceğini biliyoruz).

4'e bölünebilme testi

Bu bölünebilirlik işareti daha karmaşık olacaktır. Bir sayının son 2 basamağı 4'e bölünebilen bir sayı ise veya 00 ise sayı 4'e bölünür, aksi takdirde verilen sayı 4'e kalansız bölünemez.
Örneğin: 1 00 ve 3 64 4'e bölünebilir çünkü ilk durumda sayı şu şekilde biter: 00 ve ikincisinde 64 4'e kalansız bölünebilir (64:4=16)
Sayılar 3 57 ve 8 86 4'e bölünemez çünkü ikisi de 57 hiç biri 86 4'e bölünemezler, bu da onların bu bölünebilirlik kriterine uymadıkları anlamına gelir.

5'e bölünebilme testi

Ve yine oldukça basit bir bölünebilirlik işaretine sahibiz: Eğer bir doğal sayının gösterimi 0 veya 5 ile bitiyorsa, o zaman bu sayı 5'e kalansız olarak bölünebilir. Bir sayının gösterimi başka bir rakamla bitiyorsa, o zaman sayı 5'e kalansız bölünmez.
Bu, rakamlarla biten tüm sayıların 0 Ve 5 , örneğin 1235 5 ve 43 0 , kuralın kapsamına girer ve 5'e bölünür.
Ve örneğin 1549 3 ve 56 4 5 veya 0 rakamıyla bitmez yani 5'e kalansız bölünemezler.

6'ya bölünebilme testi

Önümüzde 2 ve 3 sayılarının çarpımı olan 6 bileşik sayısı var. Bu nedenle 6'ya bölünebilme işareti de bileşiktir: bir sayının 6'ya bölünebilmesi için 6'nın iki işaretine karşılık gelmesi gerekir. aynı zamanda bölünebilirlik: 2'ye bölünebilme işareti ve 3'e bölünebilme işareti. Lütfen 4 gibi bir bileşik sayının ayrı bir bölünebilirlik işaretine sahip olduğunu unutmayın, çünkü bu sayı 2'nin tek başına çarpımıdır. Ama 6'ya bölünebilme testine dönelim.
138 ve 474 sayıları çifttir ve 3'e bölünebilme kriterlerini karşılamaktadır (1+3+8=12, 12:3=4 ve 4+7+4=15, 15:3=5), yani bölünebilirler 6'ya. Ancak 123 ve 447, 3'e bölünebilmelerine rağmen (1+2+3=6, 6:3=2 ve 4+4+7=15, 15:3=5) tektirler, ki bu da 2'ye bölünebilme kriterine uymadıkları ve dolayısıyla 6'ya bölünebilirlik kriterine uymadıkları anlamına gelir.

7'ye bölünebilme testi

Bu bölünebilirlik testi daha karmaşıktır: Bir sayı, bu sayının onlar sayısından son rakamının iki katının çıkarılması sonucu 7'ye bölünebilir veya 0'a eşitse 7'ye bölünebilir.
Oldukça kafa karıştırıcı gibi görünüyor, ancak pratikte basittir. Kendiniz görün: sayı 95 9 7'ye bölünebilir çünkü 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77, kalansız olarak 7'ye bölünür). Üstelik dönüşüm sırasında elde edilen sayıda zorluk çıkarsa (büyüklüğünden dolayı 7'ye bölünüp bölünmediğini anlamak zor olduğundan bu işleme gerekli gördüğünüz sayıda devam edilebilir).
Örneğin, 45 5 ve 4580 1, 7'ye bölünebilme özelliğine sahiptir. İlk durumda her şey oldukça basittir: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. İkinci durumda şunu yapacağız: 4580 -2*1=4580-2=4578. olup olmadığını anlamak bizim için zordur. 457 8'e 7, o halde işlemi tekrarlayalım: 457 -2*8=457-16=441. Ve yine önümüzde üç basamaklı bir sayı olduğundan bölünebilme testini kullanacağız. 44 1. Yani, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, yani. 42, 7'ye kalansız bölünebilir, bu da 45801'in 7'ye bölünebileceği anlamına gelir.
İşte sayılar 11 1 ve 34 5 7'ye bölünemez çünkü 11 -2*1=11-2=9 (9, 7'ye bölünemez) ve 34 -2*5=34-10=24 (24, 7'ye kalansız bölünemez).

8'e bölünebilme testi

8'e bölünebilme testi şuna benzer: Son 3 rakamı 8'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa veya 000 ise, verilen sayı 8'e bölünebilir.
Sayılar 1 000 veya 1 088 8'e bölünebilir: ilki şununla biter: 000 , ikinci 88 :8=11 (8'e kalansız bölünebilir).
Ve işte sayılar 1 100 veya 4 757 sayılar 8'e bölünemez çünkü 100 Ve 757 8'e kalansız bölünemez.

9'a bölünebilme testi

Bu bölünebilirlik işareti, 3'e bölünebilirlik işaretine benzer: bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünüyorsa, sayı 9'a bölünebilir; Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünemiyorsa sayı 9'a da bölünemez.
Örneğin: 3987 ve 144 9'a bölünebilir çünkü ilk durumda 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - 9'a kalansız bölünür) ve ikincisinde 1+4+4= 9 (9:9=1 - 9'a da bölünebilir).
Ancak 235 ve 141 sayıları 9'a bölünemez çünkü 2+3+5= 10 ve 1+4+1= 6 (ve ne 10'un ne de 6'nın 9'a kalansız bölünemeyeceğini biliyoruz).

10, 100, 1000 ve diğer rakam birimlerine bölünebilme işaretleri

Bu bölünebilirlik işaretlerini birleştirdim çünkü aynı şekilde açıklanabilirler: Bir sayı, eğer sayının sonundaki sıfırların sayısı, belirli bir rakam birimindeki sıfırların sayısından büyük veya ona eşitse, bir rakam birimine bölünür. .
Başka bir deyişle, örneğin elimizde şu sayılar var: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . bunların hepsi 1'e bölünebilir 0 ; 46400 ve 867 000 ayrıca 1'e bölünebilir 00 ; ve bunlardan sadece biri 867 000 1'e bölünebilir 000 .
Rakam biriminden daha az sıfır içeren sayılar o rakam birimine bölünemez; örneğin 600 30 ve 7 93 1'e bölünemez 00 .

11'e bölünebilme testi

Bir sayının 11'e bölünüp bölünmediğini öğrenmek için bu sayının çift ve tek rakamlarının toplamları arasındaki farkı bulmanız gerekir. Bu fark 0'a eşitse veya 11'e kalansız bölünüyorsa, sayının kendisi de 11'e kalansız bölünebilir.
Daha açık hale getirmek için örneklere bakmanızı öneririm: 2 35 4 11'e bölünebilir çünkü ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 aynı zamanda 11'e de bölünebilir, çünkü ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
İşte 1 1 1 veya 4 35 4, 11'e bölünemez çünkü ilk durumda (1+1)- elde ederiz. 1 =1 ve ikincide ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12'ye bölünebilme testi

12 sayısı bileşiktir. Bölünebilme işareti 3 ve 4'e bölünebilme işaretlerinin aynı anda bulunmasıdır.
Örneğin, 300 ve 636 hem 4'e bölünebilme işaretlerine (son 2 rakam sıfırdır ya da 4'e bölünebilir) hem de 3'e bölünebilirlik işaretlerine (birinci ve üçüncü sayıların rakamlarının toplamı bölünebilir) karşılık gelir. 3'e) ama son olarak 12'ye kalansız bölünebilirler.
Ancak 200 veya 630 12'ye bölünemez, çünkü ilk durumda sayı yalnızca 4'e bölünebilme kriterini karşılar ve ikincisinde - yalnızca 3'e bölünebilirlik kriterini karşılar. ancak her iki kriteri aynı anda karşılamaz.

13'e bölünebilme testi

13'e bölünebilmenin işareti, bir sayının 4 ile çarpılan birimlerine eklenen onlar sayısı 13'ün katı veya 0'a eşitse, sayının kendisinin 13'e bölünebilmesidir.
Örneğin ele alalım 70 2. Yani, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78, 13'e kalansız bölünebilir), yani 70 2, 13'e kalansız bölünür. Başka bir örnek bir sayıdır 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. 130 sayısı 13'e kalansız bölünebilir, bu da verilen sayının 13'e bölünebilme kriterine karşılık geldiği anlamına gelir.
sayıları alırsak 12 5 veya 21 2, sonra elde ederiz 12 +4*5=32 ve 21 Sırasıyla +4*2=29 ve ne 32 ne de 29, 13'e kalansız bölünemez; bu, verilen sayıların 13'e kalansız bölünemeyeceği anlamına gelir.

Sayıların bölünebilirliği

Yukarıda görüldüğü gibi, herhangi birinin olduğu varsayılabilir. doğal sayılar kendi bireysel bölünebilirlik işaretinizi veya sayı birkaç farklı sayının katı ise "bileşik" işaretini seçebilirsiniz. Ancak uygulamanın gösterdiği gibi, esas olarak daha büyük sayı işareti ne kadar karmaşıksa. Bölünebilme kriterini kontrol etmek için harcanan zamanın bölmenin kendisine eşit veya daha fazla olması mümkündür. Bu yüzden genellikle en basit bölünebilirlik işaretlerini kullanırız.

Makalede tam sayıların kalana bölünmesi kavramı incelenmektedir. Tam sayıların kalanla bölünebilirliği ile ilgili teoremi kanıtlayalım ve bölenler ile bölenler, eksik bölümler ve kalanlar arasındaki bağlantılara bakalım. Tam sayıları kalanlara bölmenin kurallarına bakalım, örneklerle detaylı olarak inceleyelim. Çözümün sonunda bir kontrol gerçekleştireceğiz.

Tam sayıların kalanlarla bölünmesine ilişkin genel anlayış

Tam sayıların kalanlı bölümü, doğal sayıların geri kalanlı genelleştirilmiş bölümü olarak kabul edilir. Bu doğrudur çünkü doğal sayılar bileşen tüm.

Rastgele bir sayının kalanıyla bölme, a tam sayısının sıfırdan farklı bir b sayısına bölündüğünü söyler. Eğer b = 0 ise kalanla bölmeyin.

Tıpkı doğal sayıların kalana bölünmesi gibi, a ve b tam sayıları da sıfır değil b olmak üzere c ve d'ye bölünür. Bu durumda a ve b'ye bölünen ve bölen denir ve d, bölümün kalanıdır, c bir tam sayı veya eksik bölümdür.

Geriye kalanın bir bütün olmadığını varsayarsak negatif sayı ise değeri b sayısının modülünden büyük değildir. Şu şekilde yazalım: 0 ≤ d ≤ b. Bu eşitsizlik zinciri, 3 veya daha fazla sayıyı karşılaştırırken kullanılır.

Eğer c eksik bir bölüm ise d, a tam sayısının b'ye bölünmesinin geri kalanıdır ve kısaca şu şekilde ifade edilebilir: a: b = c (kalan d).

A sayılarını b'ye bölerken kalan sıfır olabilir, o zaman a'nın b'ye tamamen, yani kalansız bölünebileceğini söylerler. Kalansız bölme, bölmenin özel bir durumu olarak kabul edilir.

Sıfırı bir sayıya bölersek sonuç sıfır olur. Bölmenin geri kalanı da sıfır olacaktır. Bu, sıfırın bir tamsayıya bölünmesi teorisinden takip edilebilir.

Şimdi tam sayıları kalanla bölmenin anlamına bakalım.

Pozitif tam sayıların doğal sayılar olduğu bilindiğine göre, kalanla bölündüğünde, doğal sayıların kalanla bölünmesiyle aynı anlam elde edilecektir.

Negatif bir a tam sayısını pozitif bir b tam sayısına bölmek mantıklıdır. Bir örneğe bakalım. B kişisinin geri ödemesi gereken a tutarında eşya borcumuz olduğu bir durum düşünün. Bunun için herkesin eşit katkıda bulunması gerekiyor. Her birinin borç miktarını belirlemek için özellerin değerine dikkat etmeniz gerekir. Geriye kalan d, borçlar ödendikten sonraki kalem sayısının bilindiğini gösterir.

Elma örneğine bakalım. 2 kişinin 7 elma borcu varsa Herkesin 4 elmayı iade etmesi gerektiğini hesaplarsak, tam hesaplamanın ardından ellerinde 1 elma kalacaktır. Bunu eşitlik olarak yazalım: (− 7) : 2 = − 4 (t.1'den) .

Herhangi bir a sayısını bir tam sayıya bölmek mantıklı değildir ancak bir seçenek olarak mümkündür.

Tam sayıların kalanlı bölünebilirliği ile ilgili teorem

a'nın bölen, b'nin bölen, c'nin kısmi bölüm ve d'nin kalan olduğunu belirledik. Birbirlerine bağlıdırlar. Bu bağlantıyı a = b · c + d eşitliğini kullanarak göstereceğiz. Aralarındaki bağlantı, kalanla bölünebilme teoremi ile karakterize edilir.

Teorem

Herhangi bir tam sayı yalnızca bir tam sayı ve sıfırdan farklı bir b sayısı aracılığıyla şu şekilde temsil edilebilir: a = b · q + r, burada q ve r bazı tam sayılardır. Burada 0 ≤ r ≤ b var.

a = b · q + r'nin var olma olasılığını kanıtlayalım.

Kanıt

Eğer a ve b olmak üzere iki sayı varsa ve a, b'ye kalansız bölünebiliyorsa, o zaman tanımdan bir q sayısının olduğu sonucu çıkar ve a = b · q eşitliği doğru olur. O zaman eşitliğin doğru olduğu düşünülebilir: r = 0 için a = b · q + r.

O halde q'yu b · q eşitsizliğinin verdiği şekilde almak gerekir.< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

a − b · q ifadesinin değerinin sıfırdan büyük olduğunu ve b sayısının değerinden büyük olmadığını biliyoruz; bundan r = a − b · q sonucu çıkar. A sayısının a = b · q + r biçiminde gösterilebileceğini bulduk.

Şimdi b'nin negatif değerleri için a = b · q + r'yi temsil etmeyi düşünmemiz gerekiyor.

Sayının modülü pozitif çıkar, o zaman a = b · q 1 + r elde ederiz, burada q 1 değeri bir tam sayıdır, r, 0 ≤ r koşulunu karşılayan bir tamsayıdır.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Benzersizliğin kanıtı

a = b q + r, q ve r'nin 0 ≤ r true koşuluyla tamsayılar olduğunu varsayalım.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Ve r 1 bazı sayılar nerede q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Eşitsizlik sol ve sağ taraflardan çıkarıldığında 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 elde ederiz; bu, r - r 1 = b · q 1 - q'ya eşdeğerdir. Modül kullanıldığı için r - r 1 = b · q 1 - q eşitliğini elde ederiz.

Verilen koşul 0 ≤ r olduğunu söylüyor< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q Ve q 1- bütün ve q ≠ q 1 q 1 - q ≥ 1. Buradan b · q 1 - q ≥ b sonucunu elde ederiz. Ortaya çıkan eşitsizlikler r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Buradan a sayısının a = b · q + r yazılması dışında başka bir şekilde temsil edilemeyeceği sonucu çıkar.

Bölünen, bölen, kısmi bölüm ve kalan arasındaki ilişki

a = b · c + d eşitliğini kullanarak, eksik c bölümü ile bölen b ve geri kalan d bilindiğinde bilinmeyen a bölenini bulabilirsiniz.

Örnek 1

Bölme sonucunda -21 elde edersek, kısmi bölüm 5 ve geri kalan 12 olursa, temettüyü belirleyin.

Çözüm

Bilinen bir bölen b = − 21, tamamlanmamış bölüm c = 5 ve kalan d = 12 ile bölünen a'yı hesaplamak gerekir. a = b · c + d eşitliğine dönmemiz gerekiyor, buradan a = (− 21) · 5 + 12 elde ederiz. Eylemlerin sırasını takip edersek - 21'i 5 ile çarparız ve ardından (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 elde ederiz.

Cevap: - 93 .

Bölen ile kısmi bölüm ve geri kalan arasındaki bağlantı şu eşitlikler kullanılarak ifade edilebilir: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b ve d = a − b · c . Onların yardımıyla böleni, kısmi bölümü ve kalanı hesaplayabiliriz. Bu, a tam sayılarından oluşan bir tam sayıyı bilinen bir bölen, bölen ve kısmi bölümle b'ye bölerken sürekli olarak kalanı bulmak anlamına gelir. d = a − b · c formülü uygulanır. Çözümü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 2

- 19 tam sayısını - 7'ye eşit olduğu bilinen tamamlanmamış bölüm olan 3 tam sayısına böldüğünüzde kalanı bulun.

Çözüm

Bölmenin geri kalanını hesaplamak için d = a − b · c formundaki bir formülü uygularız. Koşullu olarak tüm veriler mevcuttur: a = − 19, b = 3, c = − 7. Buradan d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (fark − 19 − (− 21) elde ederiz. Bu örnek şu şekilde hesaplanır: çıkarma kuralını kullanarak negatif bir tam sayı.

Cevap: 2 .

Tüm pozitif tam sayılar doğal sayılardır. Bölmenin, kalan doğal sayılarla tüm bölme kurallarına göre yapıldığı sonucu çıkar. Doğal sayıların geri kalanıyla bölme hızı önemlidir, çünkü yalnızca pozitif sayıların bölünmesi değil, aynı zamanda rastgele tam sayıların bölünmesine ilişkin kurallar da buna dayanmaktadır.

En uygun bölme yöntemi sütundur, çünkü eksik veya basitçe kalanlı bir bölüm elde etmek daha kolay ve hızlıdır. Çözüme daha ayrıntılı olarak bakalım.

Örnek 3

14671'i 54'e bölün.

Çözüm

Bu bölme bir sütunda yapılmalıdır:

Yani kısmi bölüm 271'e eşit, kalan ise 37'dir.

Cevap: 14.671: 54 = 271. (geri kalan 37)

Pozitif bir tam sayıyı negatif bir tam sayıya kalanla bölme kuralı, örnekler

Pozitif bir sayının kalanını negatif bir tam sayıya bölmek için bir kural oluşturmak gerekir.

Tanım 1

Pozitif tam sayı a'nın negatif tam sayı b'ye bölünmesinin eksik bölümü, a sayılarının modüllerinin b'ye bölünmesinin eksik bölümünün tersi olan bir sayı verir. O halde a'nın b'ye bölümünden kalan kalana eşittir.

Dolayısıyla, pozitif bir tam sayının negatif bir tam sayıya bölünmesinin eksik bölümünün pozitif olmayan bir tam sayı olarak kabul edildiğine sahibiz.

Algoritmayı alıyoruz:

• temettü modülünü bölenin modülüne bölersek eksik bir bölüm elde ederiz ve
• kalan;
• Bulduğumuz sayının tersini yazalım.

Pozitif bir tam sayıyı negatif bir tam sayıya bölmeye yönelik algoritma örneğine bakalım.

Örnek 4

Kalan 17'yi -5'e bölün.

Çözüm

Pozitif bir tam sayıyı kalanla negatif bir tam sayıya bölmek için algoritmayı uygulayalım. 17'yi - 5'e modülo bölmek gerekir. Bundan kısmi bölümün 3'e, kalanın ise 2'ye eşit olduğunu anlıyoruz.

Gerekli sayıyı 17'yi - 5 = - 3'e bölerek kalanın 2'ye eşit olmasından elde ederiz.

Cevap: 17: (− 5) = − 3 (kalan 2).

Örnek 5

45'i -15'e bölmeniz gerekiyor.

Çözüm

Sayıları modülo bölmek gerekir. 45 sayısını 15'e bölersek 3'ün kalansız bölümünü buluruz. Bu, 45 sayısının 15'e kalansız bölünebildiği anlamına gelir. Bölme modulo yapıldığı için cevap - 3'tür.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Cevap: 45: (− 15) = − 3 .

Kalanla bölme kuralının formülasyonu aşağıdaki gibidir.

Tanım 2

Negatif bir a tamsayısını pozitif b'ye bölerken eksik bir c bölümü elde etmek için, verilen sayının tersini uygulamanız ve ondan 1 çıkarmanız gerekir, ardından d'nin geri kalanı şu formülle hesaplanacaktır: d = a − b · c.

Kurala dayanarak, bölerken negatif olmayan bir tam sayı elde ettiğimiz sonucuna varabiliriz. Çözümün doğruluğunu sağlamak için a'yı b'ye kalanla bölmek için algoritmayı kullanın:

• bölünen ve bölenin modüllerini bulun;
• modülü böl;
• verilen sayının tersini yazıp 1 çıkarın;
• d = a − b · c kalanı için formülü kullanın.

Bu algoritmanın kullanıldığı bir çözüm örneğine bakalım.

Örnek 6

17'ye 5'in kısmi bölümünü ve kalanını bulun.

Çözüm

Verilen sayıları modulo olarak bölüyoruz. Bölme işleminde bölümün 3, kalanın 2 olduğunu görüyoruz. 3 aldığımıza göre tersi 3'tür. 1'i çıkarmanız gerekir.

− 3 − 1 = − 4 .

İstenilen değer -4'e eşittir.

Geri kalanı hesaplamak için a = − 17, b = 5, c = − 4'e ihtiyacınız var, sonra d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.

Bu, eksik bölme bölümünün - 4 sayısı ve kalanın 3'e eşit olduğu anlamına gelir.

Cevap:(− 17) : 5 = − 4 (kalan 3).

Örnek 7

Negatif tamsayı - 1404'ü pozitif 26'ya bölün.

Çözüm

Sütun ve modüle göre bölmek gerekir.

Sayıların modüllerinin kalansız bölünmesini elde ettik. Bu, bölmenin kalansız olarak gerçekleştirildiği ve istenen bölümün = - 54 olduğu anlamına gelir.

Cevap: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Negatif tam sayılar için kalanlı bölme kuralı, örnekler

Negatif tam sayıların kalanıyla bölme işlemi için bir kural formüle etmek gerekir.

Tanım 3

Negatif bir a tam sayısını negatif bir b tam sayısına bölerek tamamlanmamış bir c bölümü elde etmek için modülo hesaplamaları yapmak, ardından 1 eklemek gerekir, ardından d = a − b · c formülünü kullanarak hesaplamalar yapabiliriz.

Negatif tam sayıları bölmenin eksik bölümünün pozitif bir sayı olacağı sonucu çıkar.

Hadi formüle edelim bu kural bir algoritma biçiminde:

• bölünen ve bölenin modüllerini bulun;
• eksik bir bölüm elde etmek için temettü modülünü bölenin modülüne bölün.
• geri kalan;
• eksik bölüme 1 eklenmesi;
• d = a − b · c formülüne göre kalanın hesaplanması.

Bir örnek kullanarak bu algoritmaya bakalım.

Örnek 8

-17'yi -5'e bölerken kısmi bölümü ve kalanı bulun.

Çözüm

Çözümün doğruluğunu sağlamak için kalanla bölme algoritmasını uyguluyoruz. İlk önce sayıları modülo olarak bölün. Bundan eksik bölümün = 3 ve kalanın 2 olduğunu elde ederiz. Kurala göre eksik bölümü ve 1'i eklemeniz gerekir. 3 + 1 = 4 sonucunu elde ederiz. Buradan verilen sayıları bölmenin kısmi bölümünün 4'e eşit olduğunu anlıyoruz.

Kalanı hesaplamak için formülü kullanacağız. Koşul olarak a = − 17, b = − 5, c = 4'e sahibiz, sonra formülü kullanarak d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = elde ederiz. - 17 + 20 = 3 . Gerekli cevap, yani geri kalan 3'e, kısmi bölüm ise 4'e eşittir.

Cevap:(− 17) : (− 5) = 4 (kalan 3).

Tam sayıları kalanla bölmenin sonucunu kontrol etme

Sayıları kalanla böldükten sonra bir kontrol yapmalısınız. Bu kontrol 2 aşamadan oluşmaktadır. İlk olarak, kalan d'nin negatif olup olmadığı kontrol edilir, 0 ≤ d koşulu sağlanır< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Örneklere bakalım.

Örnek 9

Bölme 521'e - 12 şeklinde yapılır. Bölüm 44, kalan 7'dir. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm

Kalan pozitif bir sayı olduğundan değeri bölenin modülünden küçüktür. Bölen -12'dir, yani modülü 12'dir. Bir sonraki kontrol noktasına geçebilirsiniz.

Koşul olarak a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7 elde ederiz. Buradan b · c + d'yi hesaplıyoruz; burada b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Buradan eşitliğin doğru olduğu sonucu çıkar. Doğrulama başarılı oldu.

Örnek 10

Bölme kontrolü yapın (− 17): 5 = − 3 (kalan − 2). Eşitlik doğru mu?

Çözüm

İlk aşamanın amacı, tam sayıların kalanla bölünmesini kontrol etmenin gerekli olmasıdır. Bundan, - 2'ye eşit bir kalan verildiği için eylemin yanlış gerçekleştirildiği açıktır. Geriye kalan negatif bir sayı değildir.

İkinci koşulun karşılandığını görüyoruz ancak bu durum için yeterli değil.

Cevap: HAYIR.

Örnek 11

-19 sayısı -3'e bölündü. Kısmi bölüm 7 ve kalan 1'dir. Bu hesaplamanın doğru yapılıp yapılmadığını kontrol edin.

Çözüm

1'e eşit bir kalan verilir. Olumlu. Değer bölücü modülden küçüktür, bu da ilk aşamanın tamamlandığı anlamına gelir. İkinci aşamaya geçelim.

b · c + d ifadesinin değerini hesaplayalım. Koşul olarak b = − 3, c = 7, d = 1'e sahibiz, bu da yerine koyma anlamına gelir sayısal değerler b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 elde ederiz. Koşul a = - 19 verdiği için a = b · c + d eşitliğinin geçerli olmadığı sonucu çıkar.

Buradan, bölümün hatalı bir şekilde yapıldığı anlaşılmaktadır.

Cevap: HAYIR.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu yazıda bakacağız tam sayıların kalanlı bölümü. Şununla başlayalım: genel prensip kalanlı tam sayıların bölünmesinde, kalanlı tam sayıların bölünebilirliği teoremini formüle edip kanıtlayacağız, bölünen, bölen, tamamlanmamış bölüm ve kalan arasındaki bağlantıları izleyeceğiz. Daha sonra, tam sayıların kalana bölünmesine ilişkin kuralları ana hatlarıyla açıklayacağız ve örnekleri çözerken bu kuralların uygulanmasını dikkate alacağız. Bundan sonra tam sayıları kalana bölme işleminin sonucunu nasıl kontrol edeceğimizi öğreneceğiz.

Sayfada gezinme.

Tam sayıları kalanla bölmeye ilişkin genel anlayış

Tam sayıların kalanlı bölünmesini genelleme olarak ele alacağız doğal sayıların geri kalanıyla bölme. Bunun nedeni şu: doğal sayılaröyle ayrılmaz parça tamsayılar.

Açıklamada kullanılan terimler ve isimlerle başlayalım.

Doğal sayıların kalanla bölünmesine benzer şekilde, a ve b iki tam sayının (b sıfıra eşit değildir) kalanıyla bölümün sonucunun iki c ve d tam sayısı olduğunu varsayacağız. a ve b sayıları denir bölünebilir Ve bölücü buna göre d sayısı – geri kalan a'nın b'ye bölünmesiyle elde edilen c tam sayısına denir tamamlanmamış özel(veya sadece özel, eğer kalan sıfır ise).

Geriye kalanın olduğunu varsayalım. negatif olmayan tamsayı ve değeri b'yi geçmiyor yani (bundan bahsederken benzer eşitsizlik zincirleriyle karşılaştık) üç veya daha fazla tam sayının karşılaştırılması).

Eğer c sayısı eksik bir bölümse ve d sayısı a tamsayısının b tamsayısına bölünmesinden kalan sayıysa, o zaman bu gerçeği kısaca a:b=c (kalan d) biçiminde bir eşitlik olarak yazacağız.

Bir a tam sayısını bir b tam sayısına böldüğünüzde kalanın şu şekilde olabileceğini unutmayın: sıfıra eşit. Bu durumda a'nın b'ye bölünebileceğini söyleriz. iz bırakmadan(veya tamamen). Böylece, tam sayıların kalansız bölümü tam sayıların kalana bölünmesinin özel bir durumudur.

Sıfırı bir tamsayıya bölerken her zaman geri kalansız bölme işlemiyle uğraştığımızı da söylemekte fayda var, çünkü bu durumda bölüm sıfıra eşit olacaktır (teori bölümüne bakın) sıfırı bir tamsayıya bölmek) ve kalan da sıfır olacaktır.

Terminolojiye ve notasyona karar verdik, şimdi tam sayıları kalana bölmenin anlamını anlayalım.

Negatif bir tam sayıyı a'nın bir tam sayıya bölmesi pozitif sayı b'ye de anlam verilebilir. Bunu yapmak için şunu düşünün borç olarak negatif tam sayı. Bu durumu hayal edelim. Kalemleri oluşturan borcun b kişi tarafından eşit oranda katkı sağlanarak ödenmesi gerekmektedir. Eksik kalan c bölümünün mutlak değeri bu durumda bu kişilerin her birinin borç tutarını belirleyecek, geri kalan d ise borç ödendikten sonra geriye kaç kalem kalacağını gösterecektir. Bir örnek verelim. Diyelim ki 2 kişinin 7 elmaya borcu var. Her birinin 4 elma borcu olduğunu varsayarsak, borcu ödedikten sonra 1 elmaları kalacaktır. Bu durum (−7):2=−4 (kalan 1) eşitliğine karşılık gelir.

Rastgele bir a tam sayısının negatif bir tam sayıya kalanıyla bölünmesine herhangi bir anlam yüklemeyeceğiz, ancak var olma hakkını saklı tutacağız.

Tam sayıların kalanlı bölünebilirliği ile ilgili teorem

Doğal sayıları bir kalana bölmekten bahsettiğimizde, bölen a, bölen b, kısmi bölüm c ve kalan d'nin a=b·c+d eşitliği ile ilişkili olduğunu gördük. a, b, c ve d tam sayıları aynı ilişkiye sahiptir. Bu bağlantı aşağıdaki şekilde doğrulanır kalanla bölünebilme teoremi.

Teorem.

Herhangi bir a tamsayısı, a=b·q+r formundaki bir tam sayı ve sıfırdan farklı bir b sayısı aracılığıyla benzersiz bir şekilde temsil edilebilir; burada q ve r, bazı tam sayılardır ve .

Kanıt.

İlk olarak, a=b·q+r'yi temsil etmenin olasılığını kanıtlıyoruz.

Eğer a ve b tam sayıları a'nın b'ye bölünebilmesini sağlıyorsa, o zaman tanım gereği a=b·q şeklinde bir q tamsayısı vardır. Bu durumda r=0'da a=b·q+r eşitliği sağlanır.

Şimdi b'nin pozitif bir tam sayı olduğunu varsayacağız. b·q çarpımının a sayısını aşmaması ve b·(q+1) çarpımının zaten a'dan büyük olması için bir q tamsayısını seçelim. Yani, q'yu öyle bir alırız ki eşitsizlikler b q

Negatif b için a=b·q+r'yi temsil etme olasılığını kanıtlamak kalıyor.

Bu durumda b sayısının modülü pozitif bir sayı olduğundan, q1'in bir tam sayı olduğu ve r'nin koşulları karşılayan bir tam sayı olduğu bir temsil vardır. Daha sonra, q=−q 1 alarak, negatif b için ihtiyacımız olan a=b·q+r gösterimini elde ederiz.

Eşsizliğin kanıtına geçelim.

a=b·q+r temsiline ek olarak, q ve r'nin tam sayılar olduğunu ve q 1 ve r 1'in bazı tam sayılar olduğu ve q 1 ≠ olduğu başka bir a=b·q 1 +r 1 temsilinin olduğunu varsayalım. q ve .

İkinci eşitliğin sol ve sağ taraflarını sırasıyla birinci eşitliğin sol ve sağ taraflarından çıkardıktan sonra, r− eşitliğine eşdeğer olan 0=b·(q−q 1)+r−r 1 elde ederiz. r 1 =b·(q 1 −q) . O zaman formun eşitliği ve sayıların modülünün özelliklerinden dolayı eşitlik .

Koşullardan şunu çıkarabiliriz. q ve q 1 tamsayılar ve q≠q 1 olduğundan, şu sonuca varırız: . Elde edilen eşitsizliklerden ve bundan formun eşitliği sonucu çıkar varsayımımıza göre imkansızdır. Bu nedenle a sayısının a=b·q+r dışında başka bir temsili yoktur.

Bölünen, bölen, kısmi bölüm ve kalan arasındaki ilişkiler

a=b·c+d eşitliği, eğer bölen b, kısmi bölüm c ve geri kalan d biliniyorsa, bilinmeyen a bölenini bulmanızı sağlar. Bir örneğe bakalım.

Örnek.

-21 tamsayısına bölündüğünde sonuç 5'lik eksik bir bölüm ve 12'lik bir kalan ise, bölüşümün değeri nedir?

Çözüm.

Bölen b=−21, kısmi bölüm c=5 ve geri kalan d=12 bilindiğinde a bölenini hesaplamamız gerekir. a=b·c+d eşitliğine dönersek a=(−21)·5+12 elde ederiz. Gözlemleyerek, önce −21 ve 5 tam sayılarını çarpıyoruz farklı işaretli tam sayıları çarpma kuralı, ardından yürütüyoruz farklı işaretli tam sayıların toplamı: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Cevap:

−93 .

Bölen, bölen, kısmi bölüm ve geri kalan arasındaki bağlantılar da b=(a−d):c, c=(a−d):b ve d=a−b·c formundaki eşitliklerle ifade edilir. Bu eşitlikler sırasıyla böleni, kısmi bölümü ve kalanı hesaplamanıza olanak tanır. Bölünen, bölen ve kısmi bölüm bilindiğinde, d=a−b·c formülünü kullanarak bir a tam sayısını bir b tam sayısına bölerken genellikle kalanı bulmamız gerekecek. Başka soru sormamak için kalanın hesaplanmasına ilişkin bir örneğe bakalım.

Örnek.

Kısmi bölümün -7'ye eşit olduğunu biliyorsanız, −19 tam sayısını 3 tam sayısına böldüğünüzde kalanı bulun.

Çözüm.

Bölmenin geri kalanını hesaplamak için d=a−b·c biçiminde bir formül kullanırız. Koşuldan gerekli tüm verilere sahibiz: a=−19, b=3, c=−7. d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 elde ederiz (farkı −19−(−21) kullanarak hesapladık Negatif bir tam sayıyı çıkarma kuralı).

Cevap:

Pozitif tam sayıların geri kalanıyla bölme, örnekler

Daha önce de defalarca belirttiğimiz gibi pozitif tam sayılar doğal sayılardır. Bu nedenle, pozitif tam sayıların geri kalanıyla bölme, doğal sayıların geri kalanıyla bölmenin tüm kurallarına göre gerçekleştirilir. Kolayca gerçekleştirebilmek çok önemlidir doğal sayıların geri kalanıyla bölmeçünkü yalnızca pozitif tam sayıların bölünmesinin değil, aynı zamanda keyfi tam sayıların geri kalanıyla bölünmeye ilişkin tüm kuralların da temelini oluşturan şey tam olarak budur.

Bizim açımızdan, gerçekleştirmek en uygun olanıdır. sütuna göre bölme, bu yöntem hem eksik bölümü (veya yalnızca bölümü) hem de kalanı elde etmenize olanak tanır. Geriye kalan pozitif tam sayılarla bölme işlemine bir örnek verelim.

Örnek.

Kalan 14.671'i 54'e bölün.

Çözüm.

Bu pozitif tam sayıları bir sütuna bölelim:

Kısmi bölümün 271'e eşit olduğu ve geri kalanının 37'ye eşit olduğu ortaya çıktı.

Cevap:

14 671:54=271 (geri kalan 37) .

Pozitif bir tam sayıyı negatif bir tam sayıya kalanla bölme kuralı, örnekler

Pozitif bir tam sayının negatif bir tam sayıya kalan kısmı ile bölme işlemi yapmamızı sağlayan bir kural formüle edelim.

Pozitif bir a tam sayısını negatif bir b tam sayısına bölmenin kısmi bölümü, a'yı b'nin modülüne bölmenin kısmi bölümünün tersidir ve a'yı b'ye bölmenin geri kalanı, bölmenin geri kalanına eşittir.

Bu kuraldan, pozitif bir tam sayının negatif bir tam sayıya bölünmesinin kısmi bölümünün şu şekilde olduğu sonucu çıkar: pozitif olmayan tamsayı.

Belirtilen kuralı, kalanlı bir pozitif tam sayıyı negatif bir tam sayıya bölmek için bir algoritmaya dönüştürelim:

• Temettü modülünü bölenin modülüne bölerek kısmi bölümü ve kalanı elde ederiz. (Kalan sıfıra eşitse, orijinal sayılar kalansız bölünür ve zıt işaretli tam sayıları bölme kuralına göre gerekli bölüm, modüllerin bölümünden bölümün karşısındaki sayıya eşittir. )
• Ortaya çıkan eksik bölümün ve kalanın karşısındaki sayıyı yazıyoruz. Bu sayılar sırasıyla gerekli bölüm ve orijinal pozitif tam sayının negatif bir tam sayıya bölünmesinden kalan kısımdır.

Pozitif bir tam sayıyı negatif bir tam sayıya bölmek için kullanılan algoritmanın kullanımına bir örnek verelim.

Örnek.

Pozitif tam sayı 17'nin kalanını negatif tam sayı −5'e bölün.

Çözüm.

Pozitif bir tam sayıyı kalanla negatif bir tam sayıya bölmek için algoritmayı kullanalım.

Bölerek

Sayı, karşı sayı 3 -3'tür. Dolayısıyla 17'yi -5'e bölmenin gerekli kısmi bölümü -3, geri kalan ise 2'dir.

Cevap:

17 :(−5)=−3 (kalan 2).

Örnek.

Bölmek 45'e −15.

Çözüm.

Bölen ve bölenin modülleri sırasıyla 45 ve 15'tir. 45 sayısı 15'e kalansız bölünür ve bölüm 3'tür. Bu nedenle, pozitif tam sayı 45, negatif tam sayı −15'e kalansız olarak bölünür ve bölüm, 3'ün karşısındaki sayıya, yani -3'e eşittir. Gerçekten de göre işaretli tam sayıları bölme kuralı sahibiz .

Cevap:

45:(−15)=−3 .

Negatif bir tam sayının kalanını pozitif bir tam sayıya bölme, örnekler

Negatif bir tam sayıyı kalana pozitif bir tam sayıya bölme kuralının formülasyonunu verelim.

Negatif bir a tam sayısını pozitif bir b tam sayısına bölerek tamamlanmamış bir c bölümü elde etmek için, orijinal sayıların modüllerini bölerek tamamlanmamış bölümün karşısındaki sayıyı almanız ve bundan bir çıkarmanız gerekir; bundan sonra kalan d hesaplanır. d=a−b·c formülünü kullanarak.

Bu kalanla bölme kuralından, negatif bir tam sayının pozitif bir tam sayıya bölünmesinin kısmi bölümünün negatif bir tam sayı olduğu sonucu çıkar.

Belirtilen kuraldan, negatif bir tamsayı a'yı pozitif bir tam sayı b'ye kalanla bölmek için bir algoritma izlenir:

• Bölünen ve bölenin modüllerini bulma.
• Temettü modülünü bölenin modülüne bölerek kısmi bölümü ve kalanı elde ederiz. (Kalan sıfır ise, orijinal tam sayılar kalansız olarak bölünür ve gerekli bölüm, modül bölümünün bölümünün karşısındaki sayıya eşittir.)
• Ortaya çıkan eksik bölümün karşısındaki sayıyı yazıp ondan 1 sayısını çıkarıyoruz. Hesaplanan sayı, orijinal negatif tam sayının pozitif bir tam sayıya bölünmesinden elde edilen istenen kısmi bölüm c'dir.

Kalanlı yazılı bölme algoritmasını kullandığımız örneğin çözümünü inceleyelim.

Örnek.

Negatif tamsayı −17'yi pozitif tamsayı 5'e böldüğünüzde kısmi bölümü ve kalanı bulun.

Çözüm.

−17 böleninin modülü 17'ye, bölen 5'in modülü ise 5'e eşittir.

Bölerek 17'ye 5, kısmi bölüm 3'ü ve kalan 2'yi elde ederiz.

3'ün tersi -3'tür. −3'ten bir çıkarın: −3−1=−4. Yani gerekli kısmi bölüm -4'e eşittir.

Geriye sadece kalanı hesaplamak kalıyor. Örneğimizde a=−17 , b=5 , c=−4 , o zaman d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Böylece, negatif tam sayı −17'nin pozitif tam sayı 5'e bölünmesinin kısmi bölümü −4 olur ve geri kalan 3'tür.

Cevap:

(−17):5=−4 (kalan 3) .

Örnek.

Negatif tamsayı −1,404'ü pozitif tamsayı 26'ya bölün.

Çözüm.

Bölünmenin modülü 1.404, bölenin modülü 26'dır.

Bir sütun kullanarak 1.404'ü 26'ya bölün:

Bölünmenin modülü bölenin modülüne kalansız bölündüğü için orijinal tam sayılar kalansız olarak bölünür ve istenilen bölüm 54'ün karşısındaki sayıya yani -54'e eşit olur.

Cevap:

(−1 404):26=−54 .

Negatif tam sayılar için kalanlı bölme kuralı, örnekler

Negatif tam sayıların kalanıyla bölme kuralını formüle edelim.

Negatif bir a tam sayısını negatif bir b tam sayısına bölerek tamamlanmamış bir c bölümü elde etmek için, orijinal sayıların modüllerini bölerek eksik bölümü hesaplamanız ve buna bir eklemeniz gerekir; bundan sonra kalan d, d formülü kullanılarak hesaplanır. =a−b·c.

Bu kuraldan, negatif tam sayıları bölmenin kısmi bölümünün pozitif bir tam sayı olduğu sonucu çıkar.

Negatif tam sayıları bölmek için belirtilen kuralı bir algoritma biçiminde yeniden yazalım:

• Bölünen ve bölenin modüllerini bulma.
• Temettü modülünü bölenin modülüne bölerek kısmi bölümü ve kalanı elde ederiz. (Kalan sıfırsa, orijinal tam sayılar kalan olmadan bölünür ve gerekli bölüm, bölenin modülünün bölenin modülüne bölünmesine eşittir.)
• Ortaya çıkan eksik bölüme bir ekliyoruz; bu sayı, orijinal negatif tam sayıların bölümünden istenen eksik bölümdür.
• Geri kalanı d=a−b·c formülünü kullanarak hesaplıyoruz.

Bir örneği çözerken negatif tam sayıları bölmek için algoritmanın kullanımını ele alalım.

Örnek.

Negatif bir tam sayı olan −17'yi negatif bir tam sayı olan −5'e böldüğünüzde kısmi bölümü ve kalanı bulun.

Çözüm.

Kalanla uygun bölme algoritmasını kullanalım.

Bölünmenin modülü 17, bölenin modülü 5'tir.

Bölüm 17 bölü 5, kısmi bölümü 3 ve kalanı 2 verir.

Tamamlanmamış bölüm 3'e bir tane ekliyoruz: 3+1=4. Bu nedenle, -17'yi -5'e bölmenin gerekli kısmi bölümü 4'e eşittir.

Geriye sadece kalanı hesaplamak kalıyor. Bu örnekte a=−17 , b=−5 , c=4 , ardından d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Yani, negatif bir tam sayı olan −17'yi negatif bir tam sayı olan −5'e bölmenin kısmi bölümü 4'tür ve geri kalan 3'tür.

Cevap:

(−17):(−5)=4 (kalan 3) .

Tam sayıları kalanla bölmenin sonucunu kontrol etme

Tam sayıları bir kalana böldükten sonra sonucu kontrol etmekte fayda var. Doğrulama iki aşamada gerçekleştirilir. İlk aşamada kalan d'nin negatif olmayan bir sayı olup olmadığı kontrol edilir ve koşul da kontrol edilir. Doğrulamanın ilk aşamasının tüm koşulları yerine getirilirse, doğrulamanın ikinci aşamasına geçebilirsiniz, aksi takdirde kalanla bölme sırasında bir yerde hata yapıldığı iddia edilebilir. İkinci aşamada a=b·c+d eşitliğinin geçerliliği kontrol edilir. Bu eşitlik doğruysa, kalanlı bölme işlemi doğru yapılmıştır, aksi takdirde bir yerde hata yapılmıştır.

Tam sayıların kalana bölünmesi sonucunun kontrol edildiği örneklerin çözümlerine bakalım.

Örnek.

−521 sayısını −12'ye böldüğünüzde kısmi bölüm 44, kalan 7 oldu, sonucu kontrol edin.

Çözüm. b=−3, c=7, d=1 için −2. Sahibiz b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Dolayısıyla a=b·c+d eşitliği yanlıştır (örneğimizde a=−19).

Bu nedenle kalanlı bölme işlemi yanlış yapılmıştır.

Basit bir örneğe bakalım:
15:5=3
Bu örnekte doğal sayı 15'i böldük tamamen 3'e kadar, kalansız.

Bazen bir doğal sayı tamamen bölünemez. Örneğin, sorunu düşünün:
Dolapta 16 oyuncak vardı. Grupta beş çocuk vardı. Her çocuk aynı sayıda oyuncak aldı. Her çocuğun kaç oyuncağı var?

Çözüm:
Bir sütun kullanarak 16 sayısını 5'e bölersek şunu elde ederiz:

16'nın 5'e bölünemeyeceğini biliyoruz. 5'e bölünebilen en yakın küçük sayı 15 ve kalanı 1'dir. 15 sayısını 5⋅3 olarak yazabiliriz. Sonuç olarak (16 – bölen, 5 – bölen, 3 – tamamlanmamış bölüm, 1 – kalan). Kabul edilmiş formül kalanla bölme hangisi yapılabilir çözümü kontrol etmek.

A= B⋅ C+ D
A – bölünebilir,
B - bölücü,
C – eksik bölüm,
D - kalan.

Cevap: Her çocuğa 3 oyuncak verilecek ve bir oyuncak kalacak.

Bölmenin geri kalanı

Kalan her zaman bölenden küçük olmalıdır.

Bölme sırasında kalan sıfır ise, bu, temettünün bölündüğü anlamına gelir. tamamen veya bölen üzerinde kalan olmadan.

Bölme sırasında kalanın bölenden büyük olması, bulunan sayının en büyük olmadığı anlamına gelir. Temettüyü bölen sayı daha büyük, kalan ise bölenden daha az olacaktır.

“Kalanlı Bölme” konulu sorular:
Kalan bölenden büyük olabilir mi?
Cevap: hayır.

Kalan bölene eşit olabilir mi?
Cevap: hayır.

Eksik bölüm, bölen ve kalanı kullanarak temettü nasıl bulunur?
Cevap: Kısmi bölüm, bölen ve kalan değerlerini formülde yerine koyup böleni buluyoruz. Formül:
a=b⋅c+d

Örnek #1:
Kalanla bölme işlemini gerçekleştirin ve aşağıdakileri kontrol edin: a) 258:7 b) 1873:8

Çözüm:
a) Sütuna bölün:

258 – temettü,
7 – bölücü,
36 – eksik bölüm,
6 – kalan. Kalan 6 bölenden küçüktür<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Sütuna bölün:

1873 – bölünebilir,
8 – bölen,
234 – eksik bölüm,
1 – kalan. Geri kalan bölen 1'den küçüktür<8.

Bunu formülde yerine koyalım ve örneği doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim:
8⋅234+1=1872+1=1873

Örnek #2:
Doğal sayıları bölerken hangi kalanlar elde edilir: a) 3 b)8?

Cevap:
a) Kalan bölenden küçük olduğundan 3'ten küçüktür. Bizim durumumuzda kalan 0, 1 veya 2 olabilir.
b) Kalan, bölenden küçük olduğundan 8'den küçüktür. Bizim durumumuzda kalan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 veya 7 olabilir.

Örnek #3:
Doğal sayıları bölerken elde edilebilecek en büyük kalan nedir: a) 9 b) 15?

Cevap:
a) Kalan bölenden küçük olduğundan 9'dan küçüktür. Ama en büyük kalanı belirtmemiz gerekir. Yani bölene en yakın sayı. Bu 8 numara.
b) Kalan bölenden küçük olduğundan 15'ten küçüktür. Ama en büyük kalanı belirtmemiz gerekir. Yani bölene en yakın sayı. Bu sayı 14'tür.

Örnek #4:
Bölünen payı bulun: a) a:6=3(kalan.4) b) c:24=4(kalan.11)

Çözüm:
a) Aşağıdaki formülü kullanarak çözün:
a=b⋅c+d
(a – bölen, b – bölen, c – kısmi bölüm, d – kalan.)
a:6=3(geri kalan4)
(a – bölen, 6 – bölen, 3 – kısmi bölüm, 4 – kalan.) Sayıları formülde yerine koyalım:
a=6⋅3+4=22
Cevap: a=22

b) Aşağıdaki formülü kullanarak çözün:
a=b⋅c+d
(a – bölen, b – bölen, c – kısmi bölüm, d – kalan.)
s:24=4(geri kalan.11)
(c – bölen, 24 – bölen, 4 – kısmi bölüm, 11 – kalan.) Sayıları formülde yerine koyalım:
с=24⋅4+11=107
Cevap: c=107

Görev:

Tel 4m. 13 cm'lik parçalar halinde kesilmesi gerekiyor. Bu tür kaç parça olacak?

Çözüm:
Öncelikle metreyi santimetreye çevirmeniz gerekiyor.
4m.=400cm.
Bir sütuna bölebiliriz veya aklımızda şunu elde ederiz:
400:13=30(kalan 10)
Kontrol edelim:
13⋅30+10=390+10=400

Cevap: 30 adet alacaksınız ve 10 cm tel kalacaktır.