İki eşit rakip satranç oynuyor. Eşdeğer dönüşümler. Formüllerin basitleştirilmesi. Mükemmel normal formlar
Tanım. İki denklem f 1 (x) = g 1 (x) ve f 2 (x) = g 2 (x) eğer köklerinin kümeleri çakışıyorsa eşdeğer olarak adlandırılır.
Örneğin, denklemler x 2 - 9 = 0 ve (2 X + 6)(X- 3) = 0 eşdeğerdir, çünkü her ikisinin de kökleri 3 ve -3 sayılarına sahiptir. Denklemler (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 ve x 2+ 1 = 0, her ikisinin de kökü olmadığından, yani köklerinin kümeleri çakışıyor.
Tanım. Bir denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesine eşdeğer dönüşüm denir.
Şimdi hangi dönüşümlerin eşdeğer denklemler elde etmemizi sağladığını bulalım.
Teorem 1. Denklem olsun f(x) ve g(x) sette tanımlanmış ve H(X) aynı kümede tanımlanmış bir ifadedir. Daha sonra denklemler f(x) = g(x)(1)ve f(x) + h(X) =g(x) + h(X) (2) eşdeğerdir.
Kanıt. ile belirtelim T 1 - Denklemin (1) çözüm kümesi ve aracılığıyla T 2 - Denklemin (2) çözüm kümesi. O zaman denklemler (1) ve (2) şu durumda eşdeğer olacaktır: T1 = T2. Bunu doğrulamak için herhangi bir kökün olduğunu göstermek gerekir. T 1 denklemin (2) köküdür ve tersine, herhangi bir köküdür T2 denklemin (1) köküdür.
Numarayı bırak A- denklemin kökü (1). Daha sonra A? T1, ve denklem (1)'e yerleştirildiğinde bunu gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştürür f(a) = g(a) ve ifade h(x) sayısal bir ifadeye dönüştürür H(A), sette mantıklı olan X. Gerçek eşitliğin her iki tarafına da ekleyelim f(a) = g(a) sayısal ifade H(A). Gerçek sayısal eşitliklerin özelliklerine göre gerçek bir sayısal eşitlik elde ediyoruz f(a) + h(A) =g(a) + h(A), bu sayının olduğunu gösterir A denklemin (2) köküdür.
Böylece, denklem (1)'in her kökünün aynı zamanda denklem (2)'nin de kökü olduğu kanıtlanmıştır; T 1İle T2.
Şimdi izin ver A - denklemin kökü (2). Daha sonra A? T2 ve denklem (2)'ye yerleştirildiğinde bunu gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştürür f(a) + h(A) =g(a) + h(A). Bu eşitliğin her iki tarafına da sayısal ifadeyi ekleyelim: H(A), Gerçek bir sayısal eşitlik elde ederiz f(x) = g(x), bu sayıyı gösterir A - denklemin kökü (1).
Böylece, denklem (2)'nin her kökünün aynı zamanda denklem (1)'in de kökü olduğu kanıtlanmıştır; T2İle T 1.
Çünkü T 1İle T2 Ve T2İle T1, o zaman eşit kümelerin tanımı gereği T 1= T2 bu da (1) ve (2) denklemlerinin eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Bu teorem farklı şekilde formüle edilebilir: Denklemin her iki tarafı da tanım tanım kümesiyle X aynı kümede tanımlı bir değişkenle aynı ifadeyi toplarsak, verilene eşdeğer yeni bir denklem elde ederiz.
Bu teoremden denklemleri çözerken kullanılan sonuçları takip edin:
1. Denklemin her iki tarafına da aynı sayıyı eklersek verilene eşdeğer bir denklem elde ederiz.
2. Herhangi bir terim (sayısal ifade veya değişkenli ifade) denklemin bir kısmından diğerine aktarılırsa, terimin işareti tersine değiştirilirse, verilene eşdeğer bir denklem elde ederiz.
Teorem 2. Denklem olsun f(x) = g(x) sette tanımlanmış X Ve h(x) - aynı kümede tanımlanan ve hiçbir değer için kaybolmayan bir ifade Xçoğundan X. Daha sonra denklemler f(x) = g(x) Ve f(x)h(X) =g(x)h(X) eşdeğerdir.
Bu teoremin ispatı Teorem 1'in ispatına benzer.
Teorem 2 farklı şekilde formüle edilebilir: Denklemin her iki tarafı da etki alanına sahipse X aynı kümede tanımlanan ve onun üzerinde kaybolmayan ifadeyle çarpıldığında verilene eşdeğer yeni bir denklem elde ederiz.
Bu teoremden bir sonuç çıkar: Denklemin her iki tarafı da sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa (veya bölünürse) verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde ederiz.
Tek değişkenli denklemleri çözme
Denklemi çözelim 1- X/3 = X/6, X ? Rçözüm sürecinde gerçekleştireceğimiz tüm dönüşümleri gerekçelendireceğiz.
| Dönüşümler | Dönüşümün mantığı |
| 1. Denklemin sol ve sağ tarafındaki ifadeleri ortak paydaya getirelim: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Denklemin sol tarafındaki ifadenin aynı dönüşümünü gerçekleştirdik. |
| 2. Ortak paydayı bir kenara bırakalım: 6-2 X = X | Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarptık (Teorem 2) ve buna eşdeğer bir denklem elde ettik. |
| 3. -2x ifadesini ters işaretle denklemin sağ tarafına aktarıyoruz: 6 = X+2X. | Teorem 1'in sonucunu kullandık ve öncekine ve dolayısıyla verilene eşdeğer bir denklem elde ettik. |
| 4. Benzer terimleri denklemin sağ tarafında da sunuyoruz: 6 = 3 X. | İfadenin kimlik dönüşümü gerçekleştirildi. |
| 5. Denklemin her iki tarafını da 3'e bölün: X = 2. | Teorem 2'nin sonucunu kullandık ve öncekine, dolayısıyla buna eşdeğer bir denklem elde ettik. |
Bu denklemi çözerken yaptığımız tüm dönüşümler eşdeğer olduğundan bu denklemin kökü 2 diyebiliriz.
Denklemin çözümü sürecinde Teorem 1 ve 2'nin koşulları sağlanmazsa kök kaybı meydana gelebilir veya yabancı kökler ortaya çıkabilir. Bu nedenle, daha basit bir denklem elde etmek için bir denklemi dönüştürürken, verilen denkleme eşdeğer bir denklem elde edilmesini sağlamak önemlidir.
Örneğin denklemi düşünün x(x - 1) = 2x, x? R. Her iki parçayı da ikiye bölelim X denklemi elde ederiz X - 1 = 2, dolayısıyla X= 3, yani bu denklemin tek bir kökü var - 3 sayısı. Peki bu doğru mu? Bu denklemde bir değişken yerine şunu görmek kolaydır: X 0 yerine, gerçek sayısal eşitliğe dönüşür: 0·(0 - 1) = 2·0. Bu, dönüşümleri gerçekleştirirken kaybettiğimiz bu denklemin kökü 0 olduğu anlamına gelir. Onları analiz edelim. Yaptığımız ilk şey denklemin her iki tarafını da şuna bölmek oldu: X, onlar. ifadeyle çarpılır1/ X, ama X= Ah, hiç mantıklı değil. Sonuç olarak Teorem 2'nin kök kaybına yol açan koşulunu yerine getiremedik.
Bu denklemin kökler kümesinin 0 ve 3 olmak üzere iki sayıdan oluştuğundan emin olmak için başka bir çözüm sunuyoruz. İfade 2'yi taşıyalım X sağdan sola: x(x- 1) - 2x = 0. Denklemin sol tarafındaki parantezlerden çıkaralım. X ve benzer terimler verin: x(x - 3) = 0. İki faktörün çarpımı ancak ve ancak bunlardan en az birinin olması durumunda sıfıra eşittir sıfıra eşit, Bu yüzden X= 0 veya X- 3 = 0. Buradan bu denklemin köklerinin 0 ve 3 olduğunu görüyoruz.
Matematiğin başlangıç dersinde teorik temel Denklem çözme, eylemlerin bileşenleri ve sonuçları arasındaki ilişkidir. Örneğin, denklemi çözmek ( X·9):24 = 3 aşağıdaki şekilde gerekçelendirilir. Bilinmeyen payda olduğundan, böleni bulmak için böleni bölümle çarpmanız gerekir: X·9 = 24·3 veya X·9 = 72.
Bilinmeyen faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir: x = 72:9 veya x = 8 dolayısıyla bu denklemin kökü 8 sayısıdır.
Egzersizler
1 . Aşağıdaki girişlerden hangilerinin tek değişkenli denklem olduğunu belirleyin:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
B) ( X-3)·5 = 12; D) ( X-3)· sen =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Denklem 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 sette tanımlıdır doğal sayılar. Neden 1 sayısının bu denklemin kökü olduğunu, ancak 2 ve -1 sayısının kökleri olmadığını açıklayın.
3. Denklemde ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 bir rakam silinir ve yerine noktalar konur. Bu denklemin kökünün 2 sayısı olduğunu biliyorsanız, silinen sayıyı bulun.
4. Aşağıdaki koşulları formüle edin:
a) 5 sayısı denklemin köküdür f(x) = g(x);
b) 7 sayısı denklemin kökü değildir f(x) = g(x).
5. Aşağıdaki denklem çiftlerinden hangisinin reel sayılar kümesinde eşdeğer olduğunu belirleyin:
a) 3 + 7 X= -4 ve 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 ve 6 + 7 X = -1;
c)3 + 7 X= -4 ve l X + 2 = 0.
6. Denklem denklik ilişkisinin özelliklerini formüle edin. Denklemin çözümünde bunlardan hangileri kullanılır?
7. Denklemleri çözün (hepsi gerçek sayılar kümesinde verilmiştir) ve bunları basitleştirme sürecinde gerçekleştirilen tüm dönüşümleri gerekçelendirin:
a)(7 X+4)/2 – X = (3X-5)/2;
B) X –(3X-2)/5 = 3 – (2X-5)/3;
c)(2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Öğrenci denklem 5'i çözdü X + 15 = 3 X+9 şu şekilde: Sol taraftaki parantez içinden 5 sayısını, sağ taraftaki 3 sayısını çıkardım ve denklemi elde ettim 5(x+ 3) = 3(X+ 3) ve sonra her iki tarafı da ifadeye böldüm X+ 3. 5 = 3 eşitliğini elde ettim ve bu denklemin kökleri olmadığı sonucuna vardım. Öğrenci haklı mı?
9. 2/(2-) denklemini çözün X) – ½ = 4/((2- X)X); X? R. 2 sayısı bu denklemin kökü mü?
10. Bileşenler ve eylemlerin sonuçları arasındaki ilişkiyi kullanarak denklemleri çözün:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Aritmetik ve cebirsel yöntemleri kullanarak problemleri çözün:
a) Birinci rafta ikinciye göre 16 kitap daha var. Her raftan 3 kitap çıkarırsanız, ilk rafta ikinciye göre bir buçuk kat daha fazla kitap olacaktır. Her rafta kaç kitap var?
b) Bisikletçi kamp alanından istasyona kadar olan 26 km'lik mesafenin tamamını 1 saat 10 dakikada kat etmiştir. Bu sürenin ilk 40 dakikasında tek hızda, geri kalan sürede ise 3 km/saatten daha düşük bir hızda sürdü. Yolculuğun ilk bölümünde bisikletçinin hızını bulun.
Bölüm 2. Formüllerin mantıksal denkliği. Önermesel cebir formüllerinin normal formları
Denklik ilişkisi
Doğruluk tablolarını kullanarak, girişin hangi doğruluk değerleri kümeleri için olduğunu belirleyebilirsiniz. değişken formül hangi formüllerin totoloji veya çelişki olacağı (aynı zamanda karşılık gelen mantıksal yapıya sahip bir ifadenin yanı sıra) doğru veya yanlış bir anlam alacaktır ve ayrıca verilen iki formülün birbirinin aynısı olup olmadığını belirleyecektir. eş değer.
Mantıkta, eğer ikisi de doğru ya da yanlışsa iki cümlenin eşdeğer olduğu söylenir. Bu cümledeki "eş zamanlı" kelimesi belirsizdir. Dolayısıyla, "Yarın Salı olacak" ve "Dün Pazardı" cümleleri için bu kelimenin gerçek bir anlamı vardır: Pazartesi günü her ikisi de doğrudur ve haftanın geri kalan günlerinde her ikisi de yanlıştır. Denklemler için " x = 2" Ve " 2x = 4""aynı anda", "değişkenin aynı değerlerinde" anlamına gelir. “Yarın yağmur yağacak” ve “Yarın yağmur yağmayacağı doğru değil” tahminleri aynı anda doğrulanacak (doğru çıkacak) veya doğrulanmayacak (yanlış çıkacak). Temelde bu, formüllerle temsil edilebilecek iki farklı biçimde ifade edilen aynı tahmindir. X Ve . Bu formüller hem doğru hem de yanlıştır. Kontrol etmek için bir doğruluk tablosu oluşturmak yeterlidir:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
İlk ve son sütundaki doğruluk değerlerinin örtüştüğünü görüyoruz. Bu tür formüllerin ve bunlara karşılık gelen cümlelerin eşdeğer olduğunu düşünmek doğaldır.
F1 ve F2 formüllerinin eşdeğerleri bir totoloji ise eşdeğer oldukları söylenir.
İki formülün eşdeğerliği şu şekilde yazılır: (okuyun: formül F1 formüle eşdeğerdir F2).
Formüllerin eşdeğer olup olmadığını kontrol etmenin üç yolu vardır: 1) eşdeğerlerini oluşturun ve bunun totoloji olup olmadığını kontrol etmek için doğruluk tablosunu kullanın; 2) her formül için bir doğruluk tablosu oluşturun ve nihai sonuçları karşılaştırın; sonuç sütunlarında aynı değişken değer kümeleri varsa her iki formülün doğruluk değerleri eşitse formüller eşdeğerdir; 3) eşdeğer dönüşümlerin kullanılması.
Örnek 2.1: Formüllerin eşdeğer olup olmadığını öğrenin: 1) , ; 2) , .
1) Eşdeğerliği belirlemek için ilk yöntemi kullanalım, yani formüllerin eşdeğerliğinin de bir totoloji olup olmadığını öğreneceğiz.
Eşdeğer bir formül oluşturalım: . Ortaya çıkan formül iki farklı değişken içerir ( A Ve İÇİNDE) ve 6 işlem: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Bu, karşılık gelen doğruluk tablosunun 5 satır ve 8 sütuna sahip olacağı anlamına gelir:
| A | İÇİNDE | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Doğruluk tablosunun son sütunundan, oluşturulan eşdeğerliğin bir totoloji olduğu ve dolayısıyla .
2) Formüllerin eşdeğer olup olmadığını öğrenmek için ikinci yöntemi kullanıyoruz, yani her formül için bir doğruluk tablosu oluşturuyoruz ve ortaya çıkan sütunları karşılaştırıyoruz. ( Yorum. İkinci yöntemi etkili bir şekilde kullanabilmek için derlenen tüm doğruluk tablolarının aynı şekilde başlaması gerekir; değişken değer kümeleri karşılık gelen satırlarda aynıydı .)
Formül iki farklı değişken ve 2 işlem içerir; bu, karşılık gelen doğruluk tablosunun 5 satır ve 4 sütundan oluştuğu anlamına gelir:
| A | İÇİNDE | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Formül iki farklı değişken ve 3 işlem içerir; bu, karşılık gelen doğruluk tablosunun 5 satır ve 5 sütundan oluştuğu anlamına gelir:
| A | İÇİNDE | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Derlenen doğruluk tablolarının ortaya çıkan sütunlarını karşılaştırdığımızda (tablolar aynı başladığından değişken değer kümelerine dikkat edemiyoruz), eşleşmediklerini ve dolayısıyla formüllerin eşdeğer olmadığını görüyoruz ().
İfade bir formül değildir (" " sembolü herhangi bir mantıksal işlemi ifade etmediği için). İfade eder davranış formüller arasında (aynı zamanda sayılar arasındaki eşitlik, çizgiler arasındaki paralellik vb.).
Denklik ilişkisinin özelliklerine ilişkin teorem geçerlidir:
Teorem 2.1.Önermesel cebir formülleri arasındaki eşdeğerlik ilişkisi:
1) refleks olarak: ;
2) simetrik olarak: eğer öyleyse;
3) geçişli: eğer ve ise, o zaman.
Mantık kanunları
Önerme mantığı formüllerinin eşdeğerliklerine sıklıkla denir. mantık yasaları. Bunlardan en önemlilerini sıralıyoruz:
1. – kimlik yasası.
2. – dışlanan orta yasa
3. – çelişki yasası
4. – sıfırla ayrılma
5. – sıfırla bağlaç
6. – birlik ile ayrılık
7. – biriyle bağlantı
8. – çift olumsuzlama yasası
9. – bağlacın değişme özelliği
10. – Ayrılığın değişme özelliği
11. – birleşimin çağrışımsallığı
12. – ayrılığın çağrışımsallığı
13. – birleşimin dağıtılabilirliği
14. – Ayrılığın Dağılımı
15. – geçicilik yasaları
16. 
; 
– emilim yasaları
17. 
; 
- de Morgan'ın yasaları
18. 
– ayrım yoluyla imayı ifade eden bir yasa
19. 
– zıtlık yasası
20. – diğer mantıksal işlemler yoluyla eşdeğerliği ifade eden yasalar
Mantık yasalarından karmaşık formülleri basitleştirmek ve formüllerin aynı doğruluğunu veya yanlışlığını kanıtlamak için kullanılır.
Eşdeğer dönüşümler. Formülleri basitleştirme
Eşdeğer formüllerde bazı değişkenler yerine her yerde aynı formül yerine konulursa, bu durumda yeni elde edilen formüller de değiştirme kuralına göre eşdeğer olacaktır. Bu şekilde her eşdeğerlikten istenilen sayıda yeni eşdeğerlik elde edilebilir.
Örnek 1: Bunun yerine De Morgan yasasında ise X yerine koyun ve bunun yerine e yerine yeni bir eşdeğerlik elde ederiz. Ortaya çıkan eşdeğerliğin geçerliliği bir doğruluk tablosu kullanılarak kolayca doğrulanabilir.
Formülün parçası olan herhangi bir formül varsa F yerine formüle eşdeğer bir formül koyarsanız, elde edilen formül aşağıdaki formüle eşdeğer olacaktır F.
Daha sonra Örnek 2'deki formül için aşağıdaki ikameler yapılabilir:
– çifte olumsuzlama yasası;
- De Morgan yasası;
– çifte olumsuzlama yasası;
– birliktelik yasası;
– eşitsizlik yasası.
Denklik ilişkisinin geçişlilik özelliğinden şunu söyleyebiliriz: 
.
Bir formülün kendisine eşdeğer başka bir formülle değiştirilmesine denir. eşdeğer dönüşüm formüller.
Altında basitleştirme İçerme ve eşdeğerlik işaretleri içermeyen formüller, temel olmayan formüllerin olumsuzlarını içermeyen (özellikle çift negatifler) veya toplamda daha az sayıda bağlaç ve ayırma işareti içeren bir formüle yol açan eşdeğer bir dönüşüm olarak anlaşılır. orijinal olan.
Örnek 2.2: Formülü basitleştirelim 
.
İlk adımda, imayı ayrılığa dönüştüren yasayı uyguladık. İkinci adımda değişme yasasını uyguladık. Üçüncü adımda idempotency yasasını uyguladık. Dördüncüsü De Morgan yasasıdır. Beşincisi ise çifte olumsuzlama yasasıdır.
Not 1. Belirli bir formül bir totoloji ise, o zaman ona eşdeğer olan herhangi bir formül de bir totolojidir.
Dolayısıyla eşdeğer dönüşümler belirli formüllerin aynı doğruluğunu kanıtlamak için de kullanılabilir. Bunun için bu formül totoloji olan formüllerden birine eşdeğer dönüşümlerle öncülük etmek gerekir.
Not 2. Bazı totolojiler ve eşdeğerlikler çiftler halinde birleştirilir (çelişki yasası ve alternatif yasa, değişmeli, ilişkisel yasalar vb.). Bu yazışmalar sözde gerçeği ortaya koyuyor dualite ilkesi .
Anlam ve eşdeğerlik işaretlerini içermeyen iki formüle denir. çift , eğer her biri diğerinden işaretleri sırasıyla değiştirerek elde edilebilirse.
Dualite ilkesi şunu belirtir:
Teorem 2.2: Anlam ve eşdeğerlik işaretlerini içermeyen iki formül eşdeğerse, ikili formülleri de eşdeğerdir.
Normal formlar
Normal biçim belirli bir işlevi uygulayan bir formül yazmanın sözdizimsel olarak açık bir yoludur.
Bilinen mantık yasalarını kullanarak herhangi bir formül, aşağıdaki formun eşdeğer bir formülüne dönüştürülebilir. 
, burada ve her biri ya bir değişkendir ya da bir değişkenin olumsuzlamasıdır ya da değişkenlerin birleşimi veya bunların olumsuzlamasıdır. Başka bir deyişle, herhangi bir formül, her biri olumsuz işareti olsun ya da olmasın bireysel farklı mantıksal değişkenlerin birleşimi olan öğelerin ayrılması olacak basit standart formun eşdeğer bir formülüne indirgenebilir.
Örnek 2.3: Büyük formüllerde veya çoklu dönüşümler sırasında, bağlaç işaretinin (çarpma işaretine benzetilerek) atlanması gelenekseldir: . Yapılan dönüşümler sonrasında formülün üç bağlacın birleşiminden oluştuğunu görüyoruz.
Bu formun adı ayırıcı normal form (DNF). Bireysel bir DNF öğesi çağrılır temel bağlaç veya bir birimin bileşeni.
Benzer şekilde, herhangi bir formül, her biri olumsuz işareti olan veya olmayan mantıksal değişkenlerin ayrıklığı olan öğelerin birleşimi olan eşdeğer bir formüle indirgenebilir. Yani, her formül şu şekildeki eşdeğer bir formüle indirgenebilir: 
, burada ve her biri ya bir değişkendir ya da bir değişkenin olumsuzlamasıdır ya da değişkenlerin ayrılması ya da bunların olumsuzlamasıdır. Bu formun adı birleşik normal form
(KNF).
Örnek 2.4:
CNF'nin ayrı bir unsuru denir temel ayrım veya sıfırın bir bileşeni.
Açıkçası, her formülün sonsuz sayıda DNF'si ve CNF'si vardır.
Örnek 2.5: Formül için birkaç DNF bulalım 
.
Mükemmel normal formlar
SDNF (mükemmel DNF), her temel bağlacın tüm temel ifadeleri veya bunların olumsuzlamalarını bir kez tekrarlamadığı bir DNF'dir;
SKNF (mükemmel CNF), her temel ayrımın tüm temel ifadeleri içerdiği veya bunların olumsuzlamalarını bir kez tekrarlamadığı bir CNF'dir;
Örnek 2.6: 1) – SDNF
2) 1 -SKNF
Hadi formüle edelim karakteristik özellikler SDNF (SKNF).
1) Ayrılığın (bağlacın) tüm üyeleri farklıdır;
2) Her kavuşumun (ayrılma) tüm üyeleri farklıdır;
3) Hiçbir bağlaç (ayrılma) hem bir değişkeni hem de onun olumsuzunu içermez;
4) Her bir bağlaç (ayrılma) orijinal formülde yer alan tüm değişkenleri içerir.
Gördüğümüz gibi, karakteristik özellikler (ama formlar değil!) dualitenin tanımını karşılamaktadır, bu nedenle her ikisini de nasıl elde edeceğinizi öğrenmek için bir formu anlamak yeterlidir.
Eşdeğer dönüşümler kullanılarak DNF'den (CNF) kolaylıkla SDNF (SKNF) elde edilebilir. Mükemmel normal formlar elde etmenin kuralları da ikili olduğundan, SDNF elde etme kuralını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz ve dualite tanımını kullanarak SCNF elde etme kuralını kendiniz formüle edeceğiz.
Genel kural eşdeğer dönüşümleri kullanarak formülü SDNF'ye getirmek:
Formülü vermek için F SDNF için aynı şekilde yanlış olmayan bu yeterlidir:
1) onu bir tür DNF'ye yönlendirmek;
2) değişkeni içeren ayrıklığın terimlerini olumsuzlamasıyla birlikte (eğer varsa) kaldırın;
3) ayrılığın aynı terimlerinin (varsa) biri hariç tümünü kaldırın;
4) her bir birleşimin (varsa) özdeş üyelerinden biri hariç tümünü çıkarın;
5) herhangi bir bağlacın orijinal formülde yer alan değişkenler arasından bir değişken içermemesi durumunda, bu bağlaca bir terim ekleyin ve karşılık gelen dağıtım yasasını uygulayın;
6) Ortaya çıkan ayrım aynı terimleri içeriyorsa, kural 3'ü kullanın.
Ortaya çıkan formül bu formülün SDNF'sidir.
Örnek 2.7: Formül için SDNF ve SCNF'yi bulalım 
.
Bu formül için DNF zaten bulunduğundan (bkz. Örnek 2.5), SDNF'yi elde ederek başlayacağız:
2) sonuçta ortaya çıkan ayrımda, olumsuzlamalarıyla birlikte hiçbir değişken yoktur;
3) ayrımda özdeş üyeler yok;
4) tek bir bağlaç aynı değişkenleri içermez;
5) ilk temel bağlaç orijinal formülde yer alan tüm değişkenleri içerir ve ikinci temel bağlaçta bir değişken eksiktir z, o halde buna bir üye ekleyelim ve dağıtım yasasını uygulayalım: ;
6) ayrımda aynı terimlerin göründüğünü fark etmek kolaydır, bu nedenle birini kaldırıyoruz (reçete 3);
3) aynı ayrımlardan birini kaldırın: 
;
4) geri kalan ayrımların aynı terimleri yoktur;
5) temel ayrımların hiçbiri orijinal formülde yer alan tüm değişkenleri içermiyor, bu yüzden her birini bağlaçla tamamlayalım: ;
6) ortaya çıkan bağlaçta özdeş ayrımlar yoktur, bu nedenle bulunan bağlaç biçimi mükemmeldir.
Toplamda SKNF ve SDNF formülleri olduğundan F 8 üye, o zaman büyük olasılıkla doğru bulundular.
Her uygulanabilir (yanlışlanabilir) formülün bir benzersiz SDNF'si ve bir benzersiz SCNF'si vardır. Bir totolojinin SKNF'si yoktur, ancak çelişkinin SKNF'si yoktur.
Tanım.İki mantıksal cebir formülü A ve B denir eş değer, temel ifadelerin formüllerinde yer alan herhangi bir değer kümesinde aynı mantıksal değerleri alırlarsa.
Formüllerin denkliğini işaretle ve notasyonla göstereceğiz. A İÇİNDE formüller anlamına gelir A ve B eşdeğerdir.
Örneğin formüller eşdeğerdir:
Formül A denir aynı şekilde doğru (veya totoloji), içerisinde yer alan değişkenlerin tüm değerleri için 1 değerini alıyorsa.
Örneğin formüller de doğrudur , .
Formül A isminde aynı şekilde yanlış içerisinde yer alan değişkenlerin tüm değerleri için 0 değerini alıyorsa.
Örneğin formül tamamen yanlıştır.
Denklik ilişkisinin yansımalı, simetrik ve geçişli olduğu açıktır.
Eşdeğerlik ve eşdeğerlik kavramları arasında şu bağlantı vardır: eğer formüller A Ve İÇİNDE eşdeğerdir, o zaman formül A İÇİNDE- totoloji ve eğer formül tam tersi ise A İÇİNDE- totoloji, ardından formüller A Ve İÇİNDE eşdeğerdir.
Mantık cebirinin en önemli eşdeğerlikleri üç gruba ayrılabilir.
1. Temel eşdeğerlikler:
Soğurma yasalarından birini kanıtlayalım. Formülü düşünün . Bu formülde ise A= 1 o zaman açıkça ve sonra iki doğru ifadenin birleşimi olarak. Şimdi formülde olalım bir x = 0. Ancak bağlaç işleminin tanımı gereği bağlaç da yanlış olacaktır. . Yani her durumda formülün değerleri A değerleri eşleştir A, ve bu nedenle A X.
2. Bazı mantıksal işlemleri diğerleri aracılığıyla ifade eden eşdeğerlikler:
Eğer ikincisinin her iki kısmından da olumsuzluklar alırsak ve çift olumsuzlamayı kaldırma yasasını kullanırsak, sırasıyla 3 ve 4 numaralı eşdeğerliklerden 5 ve 6 numaralı eşdeğerliklerin elde edildiği açıktır. Bu nedenle ilk dört denkliğin kanıtlanması gerekir. Bunlardan ikisini kanıtlayalım: birincisi ve üçüncüsü.
Aynı mantıksal değerlere sahip olduğundan X Ve en, , , formülleri doğruysa bağlaç da doğru olacaktır 
.
Dolayısıyla bu durumda eşdeğerliğin her iki tarafı da aynı gerçek değerlere sahiptir.
Şimdi izin ver X Ve en farklı mantıksal değerlere sahiptir. O zaman denklik ve iki imadan biri yanlış olacaktır. Aynı zamanda
bağlaç yanlış olacak . Dolayısıyla bu durumda denkliğin her iki tarafı da aynı mantıksal anlama sahiptir.
Denklik 3'ü düşünün. X Ve en aynı anda gerçek değerleri alırsa bağlaç doğru olur x&y ve bir bağlacın yanlış olumsuzlaması. Aynı zamanda ve ve yanlış olacaktır ve dolayısıyla ayrım da yanlış olacaktır .
Şimdi değişkenlerden en az birinin X veya en false olarak değerlendirir. O zaman bağlaç yanlış olacaktır x&y ve onun gerçek olumsuzlaması. Aynı zamanda değişkenlerden en az birinin olumsuzlaması doğru olacaktır ve dolayısıyla ayrım da doğru olacaktır. .
Bu nedenle her durumda eşdeğerlik 3'ün her iki tarafı da aynı mantıksal değerleri alır.
2 ve 4 numaralı denklikler benzer şekilde kanıtlanır.
Bu grubun eşdeğerliklerinden, mantık cebirindeki herhangi bir formülün, yalnızca iki mantıksal işlemi içeren eşdeğer bir formülle değiştirilebileceği sonucu çıkar: bağlaç ve olumsuzlama veya ayırma ve olumsuzlama.
Mantıksal işlemlerin daha fazla ortadan kaldırılması mümkün değildir. Yani, yalnızca bağlaç kullanırsak, olumsuzluk gibi bir formül X bağlaç operatörü kullanılarak ifade edilemez.
Ancak kullandığımız beş mantıksal işlemden herhangi birinin ifade edilebileceği işlemler vardır. Böyle bir operasyon örneğin “Scheffer'in vuruşu” operasyonudur. Bu işlem sembolüyle gösterilir x|y ve aşağıdaki doğruluk tablosuyla belirlenir:
| X | sen | x|y |
Açıkçası, eşdeğerlikler var:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Bu iki eşdeğerlikten, mantık cebirindeki herhangi bir formülün, yalnızca "Schaeffer vuruşu" işlemini içeren eşdeğer bir formülle değiştirilebileceği sonucu çıkar.
Dikkat .
İşlem benzer şekilde girilebilir 
.
3. Mantık cebirinin temel yasalarını ifade eden eşdeğerlikler:
1. x&y y&x - birleşimin değişme özelliği.
2. X en sen X- ayrıklığın değişme özelliği.
3. x&(y&y) (x&y)&z- birleşimin ilişkilendirilebilirliği.
4. X(y z ) (X e) z, ayrılığın ilişkilendirilebilirliğidir.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- bağlacın ayrışmaya göre dağılımı.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) - ayrılığın bağlaca göre dağılımı.
Listelenen yasaların sonuncusunu kanıtlayalım. Eğer X= 1 ise formüller doğru olacaktır X (e& z), X y, x z . Ama o zaman kavuşum da doğru olacaktır (X y)& (x z ). Böylece ne zaman X= 1, denkliğin 6 her iki tarafı da aynı mantıksal değerleri alır (doğru).
Şimdi izin ver x = 0. Sonra X (y&z) y&z,x en en Ve X z z , ve bu nedenle bağlaç X (y&z) y&z. Dolayısıyla burada eşdeğerlik 6'nın her iki tarafı da aynı formüle eşdeğerdir y&z, ve bu nedenle aynı mantıksal değerleri alır.
§ 5. Formüllerin eşdeğer dönüşümleri
Grup I, II ve III'ün eşdeğerlerini kullanarak formülün veya formülün bir kısmını eşdeğer bir formülle değiştirebilirsiniz. Formüllerin bu tür dönüşümlerine denir eş değer.
Eşdeğer dönüşümler, denklikleri kanıtlamak, formülleri verilen forma getirmek, formülleri basitleştirmek için kullanılır.
Formül A eşdeğer formülünden daha basit kabul edilir İÇİNDE, daha az harf içeriyorsa, daha az mantıksal işlem olur. Bu durumda eşdeğerlik ve ima işlemlerinin yerini genellikle ayırma ve birleştirme işlemleri alır ve olumsuzluk, temel ifadeler olarak sınıflandırılır. Birkaç örneğe bakalım.
1. Denkliği kanıtlayın 
.
Grup I, II ve III'ün denkliklerinin kullanılması
2.
Formülü basitleştirin 
.
Bir eşdeğer formüller zinciri yazalım:
3. Formülün aynı doğruluğunu kanıtlayın
Bir eşdeğer formüller zinciri yazalım:
Boole cebiri
Grup III'ün eşdeğerlikleri, mantık cebirinin, birleşme ve ayrılma işlemlerine ilişkin değişmeli ve birleşmeli yasalara ve ayrılmaya ilişkin bir dağılımsal bağlaç yasasına sahip olduğunu gösterir; aynı yasalar sayılar cebirinde de geçerlidir; Dolayısıyla sayılar cebirinde yapılan mantık cebiri formülleri üzerinde de aynı dönüşümler yapılabilir (parantez açma, parantez içine koyma, ortak çarpanı parantez dışına çıkarma).
Ancak mantık cebirinde eşdeğerliklerin kullanımına dayalı olarak başka dönüşümler de mümkündür:
Bu özellik geniş kapsamlı genellemelere ulaşmamızı sağlar.
Boş olmayan kümeyi düşünün M herhangi bir doğadaki elementler ( x,y,z,...} , burada "=" (eşit) ilişkisi ve üç işlem tanımlanır: "+" (toplama), " " (çarpma) ve "-" (olumsuzlama), aşağıdaki aksiyomlara tabidir:
Değişmeli yasalar:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Dernek yasaları:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (y z) = (x e) z.
Dağıtım yasaları:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Bağımsızlık yasaları:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Çift olumsuzlama yasası:
De Morgan'ın yasaları:
6a. , 6b . .
Emilim yasaları:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
Çok fazla M isminde Boole cebiri.
Ana unsurların altında ise x, y, z,... Sırasıyla “+”, “ ”, “-” ayırma, bağlaç, olumsuzluk işlemleriyle ifadeleri kastediyorsak ve eşittir işareti eşdeğerlik işareti olarak kabul ediliyorsa, I, II ve III gruplarının denkliklerinden aşağıdaki gibi olur. Boole cebirinin tüm aksiyomları sağlanır.
Belirli bir aksiyom sistemi için, tüm aksiyomların karşılanması için belirli nesneleri ve aralarındaki belirli ilişkileri seçmenin mümkün olduğu durumlarda, bunun bulunduğunu söylerler. tercüme(veya modeli) bu aksiyomlar sisteminin
Bu, mantık cebirinin Boole cebirinin bir yorumu olduğu anlamına gelir. Boole cebirinin başka yorumları da vardır. Örneğin, ana öğelerin altındaysa x, y, z,... setleri M sırasıyla “+”, “ ”, “-” birleştirme, kesişme, toplama işlemleriyle ve kümelerin eşit işareti olan eşittir işaretiyle kümeleri kastediyoruz, sonra kümelerin cebirine geliyoruz. Küme cebirinde Boole cebirinin tüm aksiyomlarının karşılandığını doğrulamak zor değildir.
Boole cebirinin çeşitli yorumları arasında teknik nitelikte yorumlar da vardır. Bunlardan biri aşağıda tartışılacaktır. Gösterileceği gibi modern otomasyonda önemli bir rol oynamaktadır.
Mantıksal cebir fonksiyonları
Daha önce de belirtildiği gibi, mantıksal bir cebir formülünün anlamı tamamen bu formülde yer alan ifadelerin anlamlarına bağlıdır. Bu nedenle mantık cebirinin formülü, içinde yer alan temel ifadelerin bir fonksiyonudur.
Örneğin formül bir fonksiyondur
üç değişken f(x,y,z). Bu fonksiyonun özelliği, argümanlarının iki değerden birini almasıdır: sıfır veya bir ve aynı zamanda fonksiyonun iki değerden birini de almasıdır: sıfır veya bir.
Tanım. Mantıksal cebir işlevi hektarlık değişkenler (veya Boole işlevi) ha değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak adlandırılır; burada her değişken iki değer alır: 0 ve 1 ve fonksiyon yalnızca iki değerden birini alabilir: 0 veya 1.
Mantık cebirinin aynı doğru ve aynı şekilde yanlış formüllerinin temsil ettiği açıktır. sabit fonksiyonlar ve iki eşdeğer formül aynı işlevi ifade eder.
Şimdi n değişkenli fonksiyon sayısının ne olduğunu bulalım. Açıkçası, mantık cebirinin her fonksiyonu (aynı zamanda mantık cebiri formülü) 2n satır içeren bir doğruluk tablosu kullanılarak belirtilebilir. Dolayısıyla n değişkenli her fonksiyon sıfır ve birlerden oluşan 2 n değer alır. Böylece, n değişkenli bir fonksiyon tamamen sıfırlar ve uzunlukları 2 n olan bir değerler kümesiyle belirlenir (Toplam sıfır ve uzunlukları 2 n olanların sayısı eşittir. Bu, sayının olduğu anlamına gelir. mantık cebirinin farklı fonksiyonları N değişkenler eşittir.
Özellikle bir değişkenin dört farklı fonksiyonu ve iki değişkenin on altı farklı fonksiyonu vardır. Mantık cebirinin tüm fonksiyonlarını tek bir fonksiyonda yazalım Ve iki değişken.
Bir değişkenin çeşitli fonksiyonları için bir doğruluk tablosu düşünün. Açıkçası şuna benziyor:
| X | f 1 (x) | f2(x) | f3(x) | f3(x) |
| 1 | ||||
Bu tablodan, bir değişkenin iki fonksiyonunun sabit olacağı anlaşılmaktadır: f 1 (x)= 1, f4(x) = 0, bir f2(x) X, Ve f3(x) .
İki değişkenin tüm olası fonksiyonları için doğruluk tablosu şu şekildedir:
f ben = f ben (x,y)
| X | sen | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f 9 | f10 | f11 | f12 | f13 | f14 | f15 | f16 |
Bu fonksiyonların analitik ifadelerinin aşağıdaki gibi yazılabileceği açıktır.
Çözülmekte olan denklemden sözde denkleme geçmenizi sağlar eşdeğer denklemler Ve sonuç denklemleri, çözümlerinden orijinal denklemin çözümünü belirlemek mümkündür. Bu makalede, hangi denklemlerin eşdeğer, hangilerinin sonuç denklem olarak adlandırıldığını ayrıntılı olarak analiz edeceğiz, karşılık gelen tanımları vereceğiz, açıklayıcı örnekler vereceğiz ve bir eşdeğer denklemin bilinen köklerini ve bir sonuç denklemini kullanarak bir denklemin köklerinin nasıl bulunacağını açıklayacağız. .
Eşdeğer denklemler, tanım, örnekler
Bir tanım verelim eşdeğer denklemler.
Tanım
Eşdeğer denklemler- bunlar aynı köklere sahip olan veya kökleri olmayan denklemlerdir.
Çeşitli matematik ders kitaplarında anlam bakımından aynı, ancak ifade bakımından biraz farklı tanımlar verilmektedir; örneğin,
Tanım
f(x)=g(x) ve r(x)=s(x) iki denklemine denir eş değer, aynı köklere sahiplerse (veya özellikle her iki denklemin de kökleri yoksa).
Tanım
Kökleri aynı olan denklemlere denir eşdeğer denklemler. Kökleri olmayan denklemler de eşdeğer kabul edilir.
Aynı köklerden kastedilen şu: Eğer bir sayı eşdeğer denklemlerden birinin kökü ise, o zaman bu sayı aynı zamanda bu denklemlerden herhangi birinin de köküdür ve eşdeğer denklemlerden hiçbirinin kökü bu olmayan bir köke sahip olamaz. bu denklemlerden herhangi birinin kökü.
Eşdeğer denklemlere örnekler verelim. Örneğin 4 x = 8, 2 x = 4 ve x = 2 olmak üzere üç denklem eşdeğerdir. Aslında her birinin tek bir kökü 2 vardır, dolayısıyla tanım gereği eşdeğerdirler. Başka bir örnek: iki denklem x·0=0 ve 2+x=x+2 eşdeğerdir, çözüm kümeleri çakışır: hem birincinin hem de ikincinin kökü herhangi bir sayıdır. x=x+5 ve x 4 =−1 denklemleri de eşdeğer denklem örnekleridir; her ikisinin de gerçek çözümleri yoktur.
Resmi tamamlamak için eşit olmayan denklem örnekleri vermeye değer. Örneğin, x=2 ve x 2 =4 denklemleri eşdeğer değildir, çünkü ikinci denklemin birinci denklemin kökü olmayan bir kökü −2 vardır. Denklemler ve de eşdeğer değildir, çünkü ikinci denklemin kökleri herhangi bir sayıdır ve sıfır sayısı birinci denklemin kökü değildir.
Eşdeğer denklemlerin belirtilen tanımı, hem tek değişkenli denklemler hem de değişkenli denklemler için geçerlidir. çok sayıda değişkenler. Ancak iki, üç vb. denklemler için Değişkenler için tanımdaki “kökler” kelimesi “çözümler” kelimesiyle değiştirilmelidir. Bu yüzden,
Tanım
Eşdeğer denklemler- bunlar aynı çözümlere sahip olan veya olmayan denklemlerdir.
Birkaç değişkenli eşdeğer denklemlere bir örnek gösterelim. x 2 +y 2 +z 2 =0 ve 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - burada üç değişkenli x, y ve z içeren eşdeğer denklemlerin bir örneği verilmiştir; her ikisinin de benzersiz bir çözümü vardır (0, 0) , 0). Ancak x+y=5 ve x·y=1 değişkenli denklemler eşdeğer değildir, çünkü örneğin x=2, y=3 değer çifti ilk denklemin çözümüdür (bu değerleri değiştirirken) ilk denklemde doğru eşitliği elde ederiz 2+3=5), ancak bu ikincinin çözümü değildir (bu değerleri ikinci denklemde yerine koyarken yanlış eşitlik 2·3=1'i elde ederiz).
Sonuç denklemleri
Okul ders kitaplarındaki sonuç denklemlerinin tanımları şunlardır:
Tanım
f(x)=g(x) denkleminin her kökü aynı zamanda p(x)=h(x) denkleminin de kökü ise, p(x)=h(x) denklemi denir sonuçlar denklemler f(x)=g(x) .
Tanım
Birinci denklemin tüm kökleri ikinci denklemin kökleri ise ikinci denklem denir. sonuçlar ilk denklem.
Sonuç denklemlerine birkaç örnek verelim. x 2 =3 2 denklemi, x−3=0 denkleminin bir sonucudur. Aslında ikinci denklemin tek bir kökü x=3 vardır, bu kök aynı zamanda x 2 =3 2 denkleminin de köküdür, dolayısıyla tanım gereği x 2 =3 2 denklemi x−3= denkleminin bir sonucudur. 0. Başka bir örnek: (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 denklemi, denklemin bir sonucudur 
çünkü ikinci denklemin tüm kökleri (bunlardan iki tane var, bunlar 2 ve 3) açıkça birinci denklemin kökleridir.
Sonuç denkleminin tanımından, kesinlikle herhangi bir denklemin, kökü olmayan herhangi bir denklemin sonucu olduğu sonucu çıkar.
Eşdeğer denklemlerin tanımından ve bir sonuç denkleminin tanımından oldukça belirgin olan birkaç sonuçtan bahsetmeye değer:
- Eğer iki denklem eşdeğerse, her biri diğerinin sonucudur.
- Eğer iki denklemden her biri diğerinin sonucu ise bu denklemler eşdeğerdir.
- İki denklem ancak ve ancak her birinin diğerinin sonucu olması durumunda eşdeğerdir.
1. İki eşit oyuncu beraberlik olmayan bir oyun oynuyor. İlk oyuncunun kazanma olasılığı nedir: a) iki oyundan birini? b) dörtte ikisi mi? c) altıda üç mü?
Cevap: A) ; B) ; V)
3. Segment AB bir noktayla ayrılmış İLE 2:1 oranında. Bu parçaya rastgele dört nokta atılıyor. Bunlardan ikisinin C noktasının solunda, ikisinin de sağında olma olasılığını bulun.
Cevap:
4. A olayının her denemede gerçekleşme olasılığı 0,25 ise, 243 denemede A olayının tam olarak 70 kez meydana gelme olasılığını bulun.
Cevap: .
5. Erkek çocuk sahibi olma olasılığı 0,515'tir. 100 yeni doğan arasında eşit sayıda erkek ve kız çocuğunun olma olasılığını bulun.
Cevap: 0,0782
6. Mağazaya cam kaplarda 500 şişe teslim edildi. Taşıma sırasında herhangi bir şişenin kırılma olasılığı 0,003'tür. Mağazanın kırık şişe alma olasılığını bulun: a) tam olarak iki; b) ikiden az; c) en az iki; d) en az bir tane.
Cevap: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Bir otomobil fabrikası, otomobillerin %80'ini önemli kusurlar olmadan üretiyor. Fabrikadan otomobil borsasına teslim edilen 600 otomobil arasında en az 500 otomobilin önemli kusurları olmayan olma olasılığı nedir?
Cevap: 0,02.
8. 0,95 olasılıkla armanın görülme sıklığının olasılıktan farklı olmasını bekleyebilmek için bir madeni para kaç kez atılmalıdır? R=0,5 yazı tura atıldığında armanın görünümü 0,02'den fazla değil mi?
Cevap: n ≥ 2401.
9. 100 bağımsız olayın her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı sabit ve eşittir P=0,8. Olayın şu şekilde ortaya çıkma olasılığını bulun: a) en az 75 kez ve en fazla 90 kez; b) en az 75 kez; c) en fazla 74 defa.
Cevap: a) , b) , c) .
10. Bağımsız denemelerin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,2'dir. 5000 denemede 0,9128 olasılıkla bir olayın görülme sıklığında olasılığından ne kadar sapma beklenebileceğini bulun.
Cevap:
11. Armanın görülme sıklığının olasılıktan sapmasının 0,6 olasılıkla beklenebilmesi için bir madeni para kaç kez atılmalıdır? P=0,5 mutlak değer olarak 0,01'den fazla olmayacaktır.
Cevap: n = 1764.
12. 10.000 bağımsız denemenin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,75'tir. Bir olayın göreceli oluşma sıklığının, mutlak değerdeki olasılığından 0,01'den fazla sapmaması olasılığını bulun.
Cevap: .
13. Bağımsız denemelerin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,5'tir. Deneme sayısını bulun N 0,7698 olasılıkla, bir olayın meydana gelme sıklığının, mutlak değerdeki olasılığından 0,02'den fazla sapmamasını bekleyebiliriz.
Yükleniyor...