Entegrasyon - MT1205: Ekonomistler için Matematiksel Analiz - İşletme Bilişimi. Bazı kesirlerin integrali. Kesir integrali kurallarını çözme yöntemleri ve teknikleri

Kesir denir doğru Payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden küçükse. Uygun bir rasyonel kesirin integrali şu şekildedir:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Rasyonel kesirlerin integralini alma formülü, paydadaki polinomun köklerine bağlıdır. Eğer $ ax^2+bx+c $ polinomu şunları içeriyorsa:

1. Sadece karmaşık kökler, o zaman ondan tam bir kare seçmek gerekir: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm) a^2) $$
2. Farklı gerçek kökler $ x_1 $ ve $ x_2 $, o zaman integrali genişletmeniz ve $ A $ ve $ B $ belirsiz katsayılarını bulmanız gerekir: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Bir çoklu kök $ x_1 $, sonra integrali genişletiriz ve aşağıdaki formül için $ A $ ve $ B $ belirsiz katsayılarını buluruz: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kesir ise yanlış yani paydaki en yüksek derece, paydanın en yüksek derecesinden büyük veya ona eşitse, önce şuna indirgenmelidir: doğru paydaki polinomun paydadaki polinomla bölünmesiyle oluşur. İÇİNDE bu durumda rasyonel bir kesirin integrali için formül şu şekildedir:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Çözüm örnekleri

Bu konuda sunulan materyal, "Rasyonel kesirler. Rasyonel kesirlerin temel (basit) kesirlere ayrıştırılması" konusunda sunulan bilgilere dayanmaktadır. Okumaya geçmeden önce en azından bu konuya göz atmanızı şiddetle tavsiye ederim. bu malzemenin. Ayrıca belirsiz integral tablosuna da ihtiyacımız olacak.

Size birkaç terimi hatırlatayım. İlgili başlıkta tartışıldılar, bu yüzden burada kendimi kısa bir formülasyonla sınırlayacağım.

İki polinomun $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ oranına rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir denir. Rasyonel kesir denir doğru, eğer $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.

Temel (basit) rasyonel kesirler dört türden rasyonel kesirlerdir:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Not (metnin daha iyi anlaşılması için arzu edilir): show\hide

$p^2-4q koşuluna neden ihtiyaç duyulur?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Örneğin, $x^2+5x+10$ ifadesi için şunu elde ederiz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Bu arada, bu kontrol için $x^2$ katsayısının 1'e eşit olması hiç de gerekli değil. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için şunu elde ederiz: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir.

Rasyonel kesirlerin (doğru ve uygunsuz) örneklerinin yanı sıra rasyonel bir kesirin temel kesirlere ayrıştırılmasının örnekleri de bulunabilir. Burada sadece bunların entegrasyonuyla ilgili sorularla ilgileneceğiz. Temel kesirlerin entegrasyonuyla başlayalım. Dolayısıyla yukarıdaki dört temel kesir tipinin her birinin aşağıdaki formüller kullanılarak integrali alınması kolaydır. (2) ve (4) tipi kesirlerin integrali alınırken $n=2,3,4,\ldots$ varsayıldığını hatırlatmak isterim. Formül (3) ve (4), $p^2-4q koşulunun yerine getirilmesini gerektirir< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(denklem)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ için $t=x+\frac(p)(2)$ ikamesi yapılır, bundan sonra ortaya çıkan aralık şu şekilde olur: ikiye bölünmüş. Birincisi diferansiyel işaretinin altına girilerek hesaplanacak ve ikincisi $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şeklinde olacaktır. Bu integral yineleme ilişkisi kullanılarak alınır

\begin(denklem) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(denklem)

Böyle bir integralin hesaplanması örnek 7'de tartışılmaktadır (üçüncü bölüme bakınız).

Rasyonel fonksiyonların (rasyonel kesirler) integrallerini hesaplama şeması:

1. İntegral temel ise, (1)-(4) formüllerini uygulayın.
2. Eğer integral temel değilse, onu temel kesirlerin toplamı olarak temsil edin ve sonra (1)-(4) formüllerini kullanarak integral alın.

Rasyonel kesirleri entegre etmek için yukarıdaki algoritmanın yadsınamaz bir avantajı vardır - evrenseldir. Onlar. bu algoritmayı kullanarak entegre edebilirsiniz herhangi rasyonel kesir. Bu nedenle belirsiz bir integraldeki değişkenlerin neredeyse tüm değişiklikleri (Euler, Chebyshev, evrensel trigonometrik ikame), bu değişiklikten sonra aralığın altında rasyonel bir kesir elde edecek şekilde yapılır. Daha sonra algoritmayı buna uygulayın. Küçük bir not aldıktan sonra bu algoritmanın doğrudan uygulamasını örneklerle analiz edeceğiz.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Prensip olarak bu integralin, formülün mekanik uygulaması olmadan elde edilmesi kolaydır. Eğer integral işaretinden $7$ sabitini çıkarırsak ve $dx=d(x+9)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Detaylı bilgi için konuya bakmanızı tavsiye ederim. Bu tür integrallerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak açıklıyor. Bu arada formül, bu paragrafta "manuel" çözülürken uygulanan dönüşümlerin aynısıyla kanıtlanmıştır.

2) Yine iki yol var: Hazır formülü kullanın veya onsuz yapın. Formülü uygularsanız $x$'ın (4 numara) önündeki katsayının kaldırılması gerekeceğini dikkate almalısınız. Bunu yapmak için bu dördünü parantezlerden çıkaralım:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$

Şimdi formülü uygulama zamanı:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Formülü kullanmadan yapabilirsiniz. Üstelik sabit 4$'ı parantezlerden çıkarmadan bile. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ değerini hesaba katarsak şunu elde ederiz:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Bu tür integrallerin bulunmasına ilişkin ayrıntılı açıklamalar “İkame yoluyla integral (diferansiyel işaret altında ikame)” konusunda verilmiştir.

3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kesirinin integralini almamız gerekiyor. Bu kesir $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ yapısına sahiptir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ancak bunun gerçekten üçüncü türün temel kesri olduğundan emin olmak için $p^2-4q koşulunun karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmeniz gerekir.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Aynı örneği hazır bir formül kullanmadan çözelim. Paydanın türevini payda izole etmeye çalışalım. Bu ne anlama gelir? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ olduğunu biliyoruz. Payda yalnız bırakmamız gereken $2x+10$ ifadesidir. Şu ana kadar pay sadece $4x+7$ içeriyor, ancak bu çok uzun sürmeyecek. Pay'a aşağıdaki dönüşümü uygulayalım:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Artık payda gerekli ifade $2x+10$ görünür. İntegralimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

İntegrali ikiye bölelim. Buna göre integralin kendisi de "çatallıdır":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

İlk önce ilk integralden bahsedelim, yani. yaklaşık $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ olduğundan, integralin payı paydanın diferansiyelini içerir. Kısacası, bunun yerine $( 2x+10)dx$ ifadesinin yerine $d(x^2+10x+34)$ yazıyoruz.

Şimdi ikinci integral hakkında birkaç söz söyleyelim. Paydada tam bir kare seçelim: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ayrıca $dx=d(x+5)$ hesabını da hesaba katıyoruz. Şimdi daha önce elde ettiğimiz integrallerin toplamı biraz farklı bir biçimde yeniden yazılabilir:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

İlk integralde $u=x^2+10x+34$ yerine koyarsak, o zaman $\int\frac(du)(u)$ biçimini alır ve ikinci formülü basitçe uygulayarak elde edilebilir. . İkinci integrale gelince, $u=x+5$ değişikliği onun için de uygundur, bundan sonra $\int\frac(du)(u^2+9)$ biçimini alacaktır. Bu belirsiz integraller tablosundaki en saf on birinci formüldür. İntegrallerin toplamına dönersek, şunu elde ederiz:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Formülü uygularken aldığımız cevabın aynısını aldık ki bu kesinlikle şaşırtıcı değil. Genel olarak formül, bu integrali bulmak için kullandığımız yöntemlerle aynı yöntemlerle kanıtlanır. Dikkatli okuyucunun burada bir sorusu olabileceğine inanıyorum, bu yüzden onu formüle edeceğim:

Soru No.1

Belirsiz integraller tablosundaki ikinci formülü $\int \frac(d(x^2+10x+34)(x^2+10x+34)$ integraline uygularsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Çözümde neden modül yoktu?

1. sorunun cevabı

Soru tamamen doğal. Modül yalnızca herhangi bir $x\in R$ için $x^2+10x+34$ ifadesinin sıfırdan büyük olması nedeniyle eksikti. Bunu çeşitli şekillerde göstermek oldukça kolaydır. Örneğin, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ve $(x+5)^2 ≥ 0$ olduğundan $(x+5)^2+9 > 0$ . Tam kare seçimini kullanmadan farklı düşünebilirsiniz. $10^2-4\cdot 34=-16'dan beri< 0$, то $x^2+10x+34 >Herhangi bir $x\in R$ için 0$ (eğer bu mantıksal zincir şaşırtıcıysa, ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için grafiksel yönteme bakmanızı tavsiye ederim). Her durumda, $x^2+10x+34 > 0$ olduğundan, $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, yani. Bir modül yerine normal parantezleri kullanabilirsiniz.

1 numaralı örneğin tüm noktaları çözüldü, geriye kalan tek şey cevabı yazmak.

Cevap:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Örnek No.2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini bulun.

İlk bakışta, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integrand kesri üçüncü türün temel kesrine çok benzer; $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ile. Görünüşe göre tek fark, $x^2$'ın önündeki $3$ katsayısıdır, ancak katsayıyı kaldırmak uzun sürmez (parantezlerin dışına koyun). Ancak bu benzerlik ortadadır. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kesri için $p^2-4q koşulu zorunludur< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ öncesindeki katsayımız bire eşit değil, dolayısıyla $p^2-4q koşulunu kontrol edin< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ olduğundan $3x^2-5x-2$ ifadesi çarpanlara ayrılabilir. Bu, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kesirinin üçüncü türden bir temel kesir olmadığı anlamına gelir ve $\int\frac(7x+12)(3x^2-) uygulanır ) 5x-2)dx$ formülünün integraline ulaşmak mümkün değildir.

Eğer verilen rasyonel kesir temel kesir değilse, o zaman temel kesirlerin toplamı olarak temsil edilmesi ve sonra entegre edilmesi gerekir. Kısacası patikadan yararlanın. Rasyonel bir kesirin temel kesirlere nasıl ayrıştırılacağı ayrıntılı olarak yazılmıştır. Paydayı çarpanlara ayırarak başlayalım:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Alt interkal fraksiyonu bu formda sunuyoruz:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Şimdi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kesrini temel parçalara ayıralım:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\sağ). $$

$A$ ve $B$ katsayılarını bulmanın iki standart yolu vardır: yöntem belirsiz katsayılar ve kısmi değer ikame yöntemi. $x=2$ ve ardından $x=-\frac(1)(3)$ yerine kısmi değer ikame yöntemini uygulayalım:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Katsayılar bulunduğundan geriye kalan tek şey bitmiş genişlemeyi yazmaktır:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Prensip olarak bu girişi bırakabilirsiniz, ancak daha doğru seçeneği seviyorum:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Orijinal integrale dönersek, ortaya çıkan genişlemeyi onun yerine koyarız. Daha sonra integrali ikiye bölüp her birine formülü uyguluyoruz. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Cevap: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Örnek No.3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini bulun.

$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kesirini entegre etmemiz gerekiyor. Pay ikinci dereceden bir polinom içerir ve payda üçüncü dereceden bir polinom içerir. Paydaki polinomun derecesi paydadaki polinomun derecesinden küçük olduğundan, yani; 2 dolar< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tek yapmamız gereken verilen integrali üçe bölüp formülü her birine uygulamak. Sabitleri hemen integral işaretinin dışına yerleştirmeyi tercih ederim:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Cevap: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Bu konuya ilişkin örneklerin analizinin devamı ikinci bölümde yer almaktadır.

şunu hatırlatalım kesirli-rasyonel$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)) biçimindeki fonksiyonlar olarak adlandırılır, genel durumda $$ iki polinomun %%P_n(x)%% ve % oranıdır. %Q_m(x)% %.

%%m > n \geq %0 ise rasyonel kesir denir doğru, aksi halde - yanlış. Polinomları bölme kuralını kullanarak, uygunsuz bir rasyonel kesir, %%n - m%% dereceli %%P_(n - m)%% polinomunun ve bazı uygun kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir; $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x))), $$ burada derece %%l%% %%P_l(x)%% polinomunun yüzdesi, %%Q_n(x)%% polinomunun %%n%% derecesinden küçüktür.

Böylece, belirsiz integral Rasyonel bir fonksiyonun denklemi, bir polinomun ve uygun bir rasyonel kesrin belirsiz integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir.

Basit rasyonel kesirlerden integraller

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şöyle sınıflandırılır: basit rasyonel kesirler:

1. %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

burada %%k > 1%% bir tamsayıdır ve %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. ikinci dereceden denklemler gerçek kökleri yoktur.

İlk iki türün kesirlerinin belirsiz integrallerinin hesaplanması

İlk iki türden kesirlerin belirsiz integrallerini hesaplamak zorluk yaratmaz: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Üçüncü tip kesirlerin belirsiz integrallerinin hesaplanması

İlk olarak paydadaki tam kareyi vurgulayarak üçüncü kesir türünü dönüştürürüz: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ beri %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >%%%0, bunu %%a^2%% olarak gösteririz. Ayrıca %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% yerine, paydayı dönüştürüyoruz ve üçüncü tür kesirin integralini $$ \begin(array biçiminde yazıyoruz) )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(array) $$

Belirsiz integralin doğrusallığını kullanarak, son integrali iki toplamı olarak temsil ediyoruz ve ilkinde diferansiyel işaretinin altına %%t%%'yi dahil ediyoruz: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (At + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\right))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Orijinal %%x%% değişkenine dönersek, sonuç olarak üçüncü türün bir kısmı için $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x elde ederiz. = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + piksel + q\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ burada %%a^2 = q - p^2 / 4 > %0 %.

4. tip integralin hesaplanması zordur ve bu nedenle bu derste ele alınmamıştır.

Kesirli rasyonel bir fonksiyonun belirsiz integralini bulmak için basit kesirlerin integralini almaya başlamadan önce, "Kesirleri basit olanlara ayırma" bölümünü gözden geçirmeniz önerilir.

Örnek 1

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x belirsiz integralini bulalım.

Çözüm

İntegralin payının derecesinin paydanın derecesine eşit olduğunu dikkate alarak polinomu bir sütunla polinoma bölerek tüm parçayı seçelim:

Dolayısıyla 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Doğru rasyonel kesri - 2 x + 3 x 3 + x'i elde ettik ve şimdi bunu basit kesirlere - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1'e ayıracağız. Buradan,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Üçüncü türün en basit kesirinin integralini elde ettik. Diferansiyel işaretinin altına yerleştirerek alabilirsiniz.

d x 2 + 1 = 2 x d x olduğundan, 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 olur. Bu yüzden
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Buradan,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , burada C = - C 1

Dört türden her birinin basit kesirlerinin integralini alma yöntemlerini tanımlayalım.

Birinci tip A x - a'nın basit kesirlerinin entegrasyonu

Bu sorunu çözmek için doğrudan entegrasyon yöntemini kullanıyoruz:

∫ Bir x - a d x = Bir ∫ d x x - a = Bir ln x - a + C

Örnek 2

y = 3 2 x - 1 fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun.

Çözüm

İntegral kuralını, ters türevin özelliklerini ve ters türev tablosunu kullanarak ∫ 3 d x 2 x - 1 belirsiz integralini buluruz: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Cevap: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

İkinci tip A x - a n'nin basit kesirlerinin entegrasyonu

Doğrudan entegrasyon yöntemi burada da geçerlidir: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Örnek 3

∫ d x 2 x - 3 7 belirsiz integralini bulmak gerekir.

Çözüm

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Cevap:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Üçüncü tip M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q'nun en basit kesirlerinin entegrasyonu< 0

İlk adım, ∫ M x + N x 2 + p x + q belirsiz integralini toplam olarak sunmaktır:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

İlk integrali almak için diferansiyel işareti toplama yöntemini kullanırız:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Bu yüzden,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

∫ d x x 2 + p x + q integralini aldık. Paydasını dönüştürelim:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Buradan,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · ark t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Üçüncü türdeki basit kesirlerin integralini alma formülü şu şekildedir:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Örnek 4

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x belirsiz integralini bulmak gerekir.

Çözüm

Formülü uygulayalım:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

İkinci çözüm şuna benzer:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = dönüştürülebilir değer = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Cevap: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Dördüncü tip M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q'nun en basit kesirlerinin entegrasyonu< 0

Her şeyden önce diferansiyel işaretinin çıkarılmasını gerçekleştiriyoruz:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Daha sonra yineleme formüllerini kullanarak J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n formunda bir integral buluruz. Yineleme formülleri hakkında bilgi "Yineleme formüllerini kullanarak entegrasyon" konusunda bulunabilir.

Sorunumuzu çözmek için J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 formunda tekrarlayan bir formül kullanın. 4 q uygundur - p 2 · J n - 1 .

Örnek 5

∫ d x x 5 x 2 - 1 belirsiz integralini bulmak gerekir.

Çözüm

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Bu tip integral için ikame yöntemini kullanacağız. Yeni bir değişken tanıtalım x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Şunu elde ederiz:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Dördüncü türden bir kesrin integralini bulmaya geldik. Bizim durumumuzda katsayılarımız var M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 ve n = 3. Tekrarlanan formülü uyguluyoruz:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Ters ikame z = x 2 - 1'den sonra sonucu elde ederiz:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Cevap:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Daha önce de belirttiğim gibi, integral hesabında bir kesrin integralini almak için uygun bir formül yoktur. Ve bu nedenle üzücü bir eğilim var: Kesir ne kadar karmaşıksa, integralini bulmak da o kadar zor olur. Bu bağlamda, şimdi size anlatacağım çeşitli püf noktalarına başvurmanız gerekiyor. Hazırlıklı okuyucular hemen yararlanabilirler içindekiler:

• Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi

Yapay pay dönüştürme yöntemi

Örnek 1

Bu arada, dikkate alınan integral, değişken yönteminin değiştirilmesiyle de çözülebilir, ancak çözümü yazmak çok daha uzun sürecektir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu bir örnektir bağımsız karar. Değişken değiştirme yönteminin artık burada işe yaramayacağını belirtmekte fayda var.

Dikkat, önemli! 1, 2 numaralı örnekler tipiktir ve sıklıkla meydana gelir. Özellikle, bu tür integraller sıklıkla diğer integrallerin çözümü sırasında, özellikle de irrasyonel fonksiyonların (köklerin) integrali alınırken ortaya çıkar.

Dikkate alınan teknik bu durumda da işe yarar. payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden büyükse.

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Payı seçmeye başlıyoruz.

Payı seçme algoritması şuna benzer:

1) Payda düzenlemem gerekiyor ama orada. Ne yapalım? Parantez içine alıp şununla çarpıyorum: .

2) Şimdi bu parantezleri açmaya çalışıyorum, ne oluyor? . Hmm... bu daha iyi, ama başlangıçta payda iki yok. Ne yapalım? Şununla çarpmanız gerekir:

3) Parantezleri tekrar açıyorum: . Ve işte ilk başarı! Doğru çıktı! Ancak sorun şu ki fazladan bir terim ortaya çıktı. Ne yapalım? İfadenin değişmesini önlemek için aynısını yapımıma eklemeliyim:
. Hayat kolaylaştı. Payda tekrar düzenleme yapmak mümkün mü?

4) Mümkün. Hadi deneyelim: . İkinci terimin parantezlerini açın:
. Üzgünüm ama önceki adımda aslında , yoktu. Ne yapalım? İkinci terimi şu şekilde çarpmanız gerekir:

5) Yine kontrol etmek için ikinci dönemde parantezleri açıyorum:
. Artık bu normaldir: 3. noktanın son yapısından türetilmiştir! Ama yine küçük bir "ama" var, fazladan bir terim ortaya çıktı, bu da ifademe eklemem gerektiği anlamına geliyor:

Her şey doğru yapılırsa, tüm parantezleri açtığımızda integrandın orijinal payını almamız gerekir. Kontrol ediyoruz:
Kapüşon.

Böylece:

Hazır. Son dönemde bir fonksiyonu diferansiyel altına alma yöntemini kullandım.

Cevabın türevini bulursak ve ifadeyi ortak bir paydaya indirgersek, o zaman tam olarak orijinal integrand fonksiyonunu elde ederiz. Bir toplama ayırmanın ele alınan yöntemi, bir ifadeyi ortak bir paydaya getirmenin ters eyleminden başka bir şey değildir.

Bu tür örneklerde payı seçmeye yönelik algoritmanın en iyi şekilde bir taslakta yapılması sağlanır. Bazı becerilerle zihinsel olarak çalışacaktır. 11. kuvvet için seçim yaparken rekor kıran bir vakayı hatırlıyorum ve payın genişletilmesi Verd'in neredeyse iki satırını kaplıyordu.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi

Sonraki kesir türlerini ele almaya devam edelim.
, , , (katsayılar ve sıfıra eşit değildir).

Aslında derste arksinüs ve arktanjant ile ilgili birkaç durumdan bahsetmiştik. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi. Bu tür örnekler, fonksiyonun diferansiyel işaret altına alınması ve bir tablo kullanılarak daha da entegre edilmesiyle çözülür. Uzun ve yüksek logaritmalara sahip daha tipik örnekler:

Örnek 5

Örnek 6

Burada bir integral tablosu almanız ve hangi formüllerin ve Nasıl dönüşüm gerçekleşir. lütfen aklınızda bulundurun nasıl ve neden Bu örneklerdeki kareler vurgulanmıştır. Özellikle Örnek 6'da öncelikle paydayı şu biçimde temsil etmemiz gerekir: , sonra onu diferansiyel işaretinin altına getirin. Ve standart tablo formülünü kullanmak için tüm bunların yapılması gerekiyor .

Neden bakın, özellikle oldukça kısa oldukları için 7, 8 numaralı örnekleri kendiniz çözmeye çalışın:

Örnek 7

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun:

Bu örnekleri de kontrol etmeyi başarırsanız, büyük saygı duyarım; farklılaştırma becerileriniz mükemmeldir.

Tam kare seçim yöntemi

Formun integralleri (katsayılar ve sıfıra eşit değildir) çözülür tam kare çıkarma yöntemi zaten derste görünen Grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Aslında bu tür integraller az önce baktığımız dört tablosal integralden birine indirgenebilir. Ve bu, tanıdık kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak elde edilir:

Formüller tam olarak bu yönde uygulanıyor, yani yöntemin fikri, ifadeleri paydada yapay olarak düzenlemek ve daha sonra ikisinden birine uygun şekilde dönüştürmektir.

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Bu en basit örnek, hangisinde terim – birim katsayısı ile(bir sayı veya eksi değil).

Paydaya bakalım, burada iş açıkça şansa dönüyor. Paydayı dönüştürmeye başlayalım:

Açıkçası, 4 eklemeniz gerekiyor. Ve ifadenin değişmemesi için aynı dördü çıkarın:

Artık formülü uygulayabilirsiniz:

Dönüşüm tamamlandıktan sonra HER ZAMAN Ters hareketin yapılması tavsiye edilir: her şey yolunda, hata yok.

Söz konusu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

Hazır. "Bedava"yı özetlemek karmaşık fonksiyon diferansiyel işareti altında: prensipte ihmal edilebilir

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun:

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun:

Önünde bir eksi olduğunda ne yapmalı? Bu durumda, eksiyi parantezlerden çıkarmamız ve terimleri ihtiyacımız olan sıraya göre düzenlememiz gerekir: . Devamlı(bu durumda “iki”) Dokunma!

Şimdi parantez içine bir tane ekliyoruz. İfadeyi analiz ettiğimizde parantezlerin dışına bir tane eklememiz gerektiği sonucuna varıyoruz:

İşte formülü alıyoruz, uygulayın:

HER ZAMAN Taslağı kontrol ediyoruz:
, kontrol edilmesi gereken şey buydu.

Temiz örnek şuna benzer:

Görevi daha da zorlaştırmak

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun:

Burada terim artık birim katsayı değil, “beş”tir.

(1) Eğer bir sabit varsa, o zaman onu hemen parantezlerden çıkarırız.

(2) Genel olarak, bu sabiti integralin dışına taşımak, böylece yolunuza çıkmaması her zaman daha iyidir.

(3) Açıkçası her şey formüle inecek. Terimi anlamamız gerekiyor, yani “iki”yi elde etmemiz gerekiyor

(4) Evet, . Bu, aynı kesiri ifadeye eklediğimiz ve çıkardığımız anlamına gelir.

(5) Şimdi tam bir kare seçin. Genel durumda hesaplamamız da gerekir, ancak burada uzun logaritma formülümüz var. ve eylemi gerçekleştirmenin bir anlamı yok; neden aşağıda açıklığa kavuşacak.

(6) Aslında formülü uygulayabiliriz , yalnızca "X" yerine elimizde var, bu da tablo integralinin geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Açıkça söylemek gerekirse, bir adım atlandı; entegrasyondan önce fonksiyonun diferansiyel işaret altında toplanması gerekirdi: ancak defalarca belirttiğim gibi bu genellikle ihmal ediliyor.

(7) Kökün altındaki cevapta, tüm parantezlerin geriye doğru genişletilmesi tavsiye edilir:

Zor? İntegral hesabının en zor kısmı bu değil. Bununla birlikte, ele alınan örnekler iyi hesaplama teknikleri gerektirdiğinden çok karmaşık değildir.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun:

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap dersin sonundadır.

Paydada kökleri olan ve bir ikame kullanarak dikkate alınan türden integrallere indirgenen integraller vardır; bunlar hakkında makalede okuyabilirsiniz; Karmaşık integraller ancak çok hazırlıklı öğrenciler için tasarlanmıştır.

Payın diferansiyel işareti altına alınması

Bu dersin son kısmıdır, ancak bu tür integraller oldukça yaygındır! Eğer yorgunsanız, belki yarın okumak daha iyi olur? ;)

Ele alacağımız integraller önceki paragrafın integrallerine benzer, şu şekildedirler: veya (katsayılar ve sıfıra eşit değildir).

Yani elimizdeki payda doğrusal fonksiyon. Bu tür integraller nasıl çözülür?