Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum noktalara göre incelenmesi. "Bir fonksiyonun monotonluk açısından incelenmesi" dersi

Ekstrem ve dışbükeylik.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları

Tanım.Kritik nokta işlevler en = F(X) türevin sıfır olduğu veya mevcut olmadığı noktadır.

Teorem.(a; b) aralığında ise türev pozitif/negatif ise fonksiyon bu aralıkta artar/azalır.

Teorem. Kritik noktadan geçtikten sonra türev işareti “+”dan “-”ye (“-”den “+”ya) değiştirir, bu durumda − fonksiyonun maksimum (minimum) noktasıdır

Tanım.İşlev isminde dışbükey yukarı (aşağı)(a; b) aralığında, eğer bu aralıkta grafiğin noktaları bu noktalarda oluşturulan teğetlerin altında (yukarısında) bulunuyorsa. Bükülme noktası bir fonksiyonun grafiğinde onu farklı dışbükeylik yönlerine sahip parçalara bölen bir noktadır.

Örnek 2.3.

İşlevi keşfedin monotonluk ve aşırılık için dışbükeylik.

1. Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceliyoruz.

Hadi bir çizim yapalım ( pirinç. 2.1).

y''

X

−

−

+

sen

sorun aşağı

sorun yukarı

sorun aşağı

Pirinç. 2.2. Dışbükeylik için bir fonksiyonun incelenmesi

Grafiğin dönüm noktalarının koordinatlarını hesaplayalım:

Bükülme noktalarının koordinatları: (0; 0), (1; −1).

2.32. Fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyin:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun:

1) aralıkta;

2) [−1; 1];

3) [−4; 4];

4) [−2; 1].

2.34. Üretim maliyetleri C (cu) çıktı hacmine bağlıdır X(birim): Aşağıdaki durumlarda en yüksek üretim maliyetlerini bulun: X aralıkta değişir. Değer bul X Bir üretim biriminin satışından elde edilen gelir 15 c.u'ya eşitse kâr maksimum olacaktır. e.

2.35. 512 m2'lik dikdörtgen bir arsa tahsis edilmesi, çitlenmesi ve çitle sitenin kenarlarından birine paralel üç eşit parçaya bölünmesi gerekmektedir. Çit için en az miktarda malzemenin kullanılması için alanın boyutu ne olmalıdır?

2.36. Dikdörtgen bir pencerenin çevresi verildiğinde, içeri en fazla ışık girecek şekildeki boyutlarını bulun.

2.37. Gelir R ve maliyetler C aşağıdaki formüllerle belirlenirse maksimum karı bulun: burada X- satılan malların miktarı.

2.38. Üretim hacmine bağımlılık K sermaye maliyetlerinden İLE fonksiyon tarafından belirlenir
Değişim aralığını bulun İLE Artan sermaye maliyetlerinin etkisiz olduğu durumlarda.

2.39. Maliyet fonksiyonu şu şekildedir: Bir birim üretimin satışından elde edilen gelir 200'e eşittir. Üretici için en uygun çıktı değerini bulun.

2.40. Çıktı hacminin (para birimi cinsinden) sermaye maliyetlerine bağımlılığı, fonksiyon tarafından belirlenir. Artan sermaye maliyetlerinin etkisiz olduğu değer aralığını bulun.

2.41. Reklam maliyetlerinden (milyon ruble) satışlardaki artışın bu oranla belirlendiğine inanılıyor. Bir üretim biriminin satışından elde edilen gelir 20 bin rubleye eşittir. Şirketin maksimum kar elde edeceği reklam maliyetleri düzeyini bulun.

2.42. Kaynak birimlerini kullanan ürünlerin üretiminden elde edilen gelir şuna eşittir: Bir kaynak biriminin maliyeti 10 den'dir. birimler Kârın en yüksek olması için ne kadar kaynak satın alınmalıdır?

2.43. Maliyet fonksiyonu şu şekildedir: Bir birim üretimin satışından elde edilen gelir 50 TL'dir. Üreticinin alabileceği maksimum kar değerini bulunuz.

2.44. Tekelin gelirinin çıktı miktarına bağımlılığı şu şekilde tanımlanır: Bu aralıktaki maliyet fonksiyonu şu şekildedir: Tekel için en uygun çıktı değerini bulun.

2.45. Tekelci bir üreticinin ürünlerinin fiyatı, olarak tanımlanan orana göre belirlenir. . Ürün çıktısının hangi değerinde satışlarından elde edilen gelir en yüksek olacak?

2.46. Maliyet fonksiyonu aşağıdaki forma sahiptir en en . Mevcut üretim seviyesi Parametrede hangi koşul altında P Bir birim çıktının satışından elde edilen gelir 50 ise, bir şirketin üretimi azaltması karlı mıdır?

10. sınıfta cebir dersi ve sunumu: "Monotonluk için bir fonksiyonun araştırılması. Araştırma algoritması"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Azalan ve artan fonksiyonlar.
2. Bir fonksiyonun türevi ile monotonluğu arasındaki ilişki.
3. Monotonlukla ilgili iki önemli teorem.
4. Örnekler.

Arkadaşlar, daha önce birçok farklı fonksiyona baktık ve grafiklerini çizdik. Şimdi dikkate aldığımız ve dikkate almaya devam edeceğimiz tüm işlevler için işe yarayan yeni kuralları tanıtalım.

Azalan ve artan fonksiyonlar

Artan ve azalan fonksiyonlar kavramına bakalım. Arkadaşlar fonksiyon nedir?

Bir fonksiyon, her x değerinin tek bir y değeriyle ilişkilendirildiği bir y= f(x) uyumudur.

Bazı fonksiyonların grafiğine bakalım:

Grafiğimiz şunu gösteriyor: x ne kadar büyükse, y o kadar küçüktür. O halde azalan bir fonksiyon tanımlayalım. Argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyona azalan denir.

Eğer x2 > x1 ise f(x2) Şimdi bu fonksiyonun grafiğine bakalım:
Bu grafik, x ne kadar büyükse y'nin de o kadar büyük olduğunu gösterir. O halde artan bir fonksiyon tanımlayalım. Argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyona artan denir.
Eğer x2 > x1 ise f(x2 > f(x1) veya: x ne kadar büyükse, y de o kadar büyüktür.

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta artıyor veya azalıyorsa buna denir. bu aralıkta monotondur.

Bir fonksiyonun türevi ile monotonluğu arasındaki ilişki

Arkadaşlar şimdi fonksiyon grafiklerini incelerken türev kavramını nasıl uygulayabileceğinizi düşünelim. Artan türevlenebilir bir fonksiyonun grafiğini çizelim ve grafiğimize birkaç teğet çizelim.

Teğetlerimize bakarsanız veya görsel olarak başka bir teğet çizerseniz, teğet ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açının dar olacağını fark edeceksiniz. Bu, teğetin pozitif bir eğime sahip olduğu anlamına gelir. Teğet eğim değere eşit teğet noktasının apsisinde türev. Dolayısıyla grafiğimizdeki tüm noktalarda türevin değeri pozitiftir. Artan bir fonksiyon için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: f"(x) ≥ 0, herhangi bir x noktası için.

Arkadaşlar, şimdi bazı azalan fonksiyonların grafiğine bakalım ve fonksiyonun grafiğine teğetler oluşturalım.

Teğetlere bakalım ve görsel olarak başka bir teğet çizelim. Teğet ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açının geniş olduğunu fark edeceğiz, bu da teğetin negatif bir eğime sahip olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla grafiğimizdeki tüm noktalarda türevin değeri negatiftir. Azalan bir fonksiyon için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: f"(x) ≤ 0, herhangi bir x noktası için.

Dolayısıyla bir fonksiyonun monotonluğu türevin işaretine bağlıdır:

Bir fonksiyon bir aralıkta artıyorsa ve bu aralıkta türevi varsa bu türev negatif olmayacaktır.

Bir fonksiyon bir aralıkta azalıyorsa ve bu aralıkta türevi varsa bu türev pozitif olmayacaktır.

Önemli böylece fonksiyonu değerlendirdiğimiz aralıklar açık olur!

Monotonlukla ilgili iki önemli teorem

Teorem 1. Eğer f'(x) ≥ 0 eşitsizliği açık bir X aralığının tüm noktalarında geçerliyse (ve türevin sıfıra eşitliği ya geçerli değil ya da geçerli, ancak yalnızca sonlu bir nokta kümesinde), o zaman y= f(x) fonksiyonu X aralığında artar.

Teorem 2. Eğer f'(x) ≤ 0 eşitsizliği açık bir X aralığının tüm noktalarında geçerliyse (ve türevin sıfıra eşitliği ya geçerli değil ya da geçerli, ancak yalnızca sonlu bir nokta kümesinde), o zaman y= f(x) fonksiyonu X aralığında azalır.

Teorem 3. Açık aralık X'in tüm noktalarında eşitlik varsa
f’(x)= 0 ise y= f(x) fonksiyonu bu aralıkta sabittir.

Bir fonksiyonun monotonluk açısından incelenmesine örnekler

1) y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 fonksiyonunun tüm sayı doğrusunda arttığını kanıtlayın.

Çözüm: Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. x'teki derece çift olduğundan kuvvet fonksiyonu sadece pozitif değerler alır. O zaman herhangi bir x için y" > 0 olur, bu da Teorem'in anlamıdır. 1'de fonksiyonumuz sayı doğrusu boyunca artar.

2) Fonksiyonun azalan olduğunu kanıtlayın: y= sin(2x) - 3x.

Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= 2cos(2x) - 3.
Eşitsizliği çözelim:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Çünkü -1 ≤ cos(x) ≤ 1, yani eşitsizliğimiz herhangi bir x için sağlanırsa, Teorem 2'ye göre y= sin(2x) - 3x fonksiyonu azalır.

3) Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin: y= x 2 + 3x - 1.

Çözüm: Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= 2x + 3.
Eşitsizliği çözelim:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
O zaman fonksiyonumuz x ≥ -3/2 için artar, x ≤ -3/2 için azalır.
Cevap: x ≥ -3/2 için fonksiyon artar, x ≤ -3/2 için fonksiyon azalır.

4) Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Çözüm: Fonksiyonumuzun türevini bulalım: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Eşitsizliği çözelim: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Eşitsizliğimiz sıfırdan büyük veya sıfıra eşit:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Eşitsizliği çözelim:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ama bu imkansız çünkü karekök sadece pozitif ifadeler için tanımlanmıştır, yani fonksiyonumuzun azalan aralıkları yoktur.
Cevap: x ≥ 1/3 için fonksiyon artar.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

a) y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 fonksiyonunun tüm sayı doğrusu boyunca arttığını kanıtlayın.
b) Fonksiyonun azalan olduğunu kanıtlayın: y= cos(5x) - 7x.
c) Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Fonksiyonun monotonluğunu inceleyin: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

İlk kez 7. sınıf cebir dersinde tanışmıştık. Fonksiyonun grafiğine bakarak ilgili bilgiyi aldık: eğer grafik boyunca soldan sağa doğru hareket edersek, aynı zamanda aşağıdan yukarıya doğru hareket edersek (sanki bir tepeye tırmanıyormuş gibi), o zaman fonksiyonu şöyle ilan ederiz: artıyor (Şekil 124); yukarıdan aşağıya doğru hareket edersek (bir tepeden aşağı inersek), o zaman fonksiyonun azalan olduğunu ilan etmiş oluruz (Şekil 125).

Ancak matematikçiler bir fonksiyonun özelliklerini incelemeye yönelik bu yöntemden pek hoşlanmıyorlar. Kavramların tanımlarının bir çizime dayanmaması gerektiğine inanıyorlar; çizim, bir fonksiyonun yalnızca şu veya bu özelliğini kendi üzerinde göstermelidir. grafikler. Artan ve azalan fonksiyon kavramlarının kesin tanımlarını verelim.

Tanım 1. y = f(x) fonksiyonunun, x 1 eşitsizliğinden itibaren X aralığında arttığı söylenir.< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Tanım 2. Eşitsizlik x 1 ise, y = f(x) fonksiyonunun X aralığında azalan olduğu söylenir.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует eşitsizlik f(x 1) > f(x 2).

Pratikte aşağıdaki formülasyonları kullanmak daha uygundur:

argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon artar;
argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon azalır.

Bu tanımları ve § 33'te oluşturulan sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanarak, daha önce incelenen fonksiyonların artması veya azalmasıyla ilgili sonuçları doğrulayabileceğiz.

1. Doğrusal fonksiyon y = kx +m

Eğer k > 0 ise fonksiyon baştan sona artar (Şekil 126); eğer k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Kanıt. f(x) = kx +m olsun. Eğer x 1 ise< х 2 и k >Oh, o halde, 3 sayısal eşitsizliğin özelliğine göre (bkz. § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. doğrusal fonksiyonlar y = kx+ m.

Eğer x 1 ise< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ve özellik 2'ye göre, kx 1 > kx 2'den şu sonuç çıkar: kx 1 + m> kx 2 + yani.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2). Bu, y = f(x) fonksiyonunda bir azalma anlamına gelir, yani. doğrusal fonksiyon y = kx + m.

Bir fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artarsa ​​(azalırsa), aralığı belirtmeden artan (azalan) olarak adlandırılabilir. Örneğin y = 2x - 3 fonksiyonu hakkında tüm sayı doğrusu boyunca arttığını söyleyebiliriz ama daha kısaca da söyleyebiliriz: y = 2x - 3 - artıyor
işlev.

2. Fonksiyon y = x2

1. Işın üzerinde y = x 2 fonksiyonunu düşünün. Pozitif olmayan iki sayı x 1 ve x 2'yi öyle alalım ki x 1 olsun< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. - x 1 ve - x 2 sayıları negatif olmadığından, son eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak aynı anlama sahip bir (-x 1) 2 > (-x 2) 2 eşitsizliği elde ederiz, yani. Bu, f(x 1) >f(x 2) anlamına gelir.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2).

Dolayısıyla ışın üzerinde y = x 2 fonksiyonu azalır (- 00, 0] (Şekil 128).

1. (0, + 00) aralığında bir fonksiyon düşünün.
x1 olsun< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). Bu, açık ışında (0, +00) fonksiyonun azaldığı anlamına gelir (Şekil 129).

2. (-oo, 0) aralığında bir fonksiyon düşünün. x 1 olsun< х 2 , х 1 и х 2 - negatif sayılar. O halde - x 1 > - x 2 ve son eşitsizliğin her iki tarafı da - pozitif sayılar ve bu nedenle (yine § 33'teki Örnek 1'de kanıtlanmış eşitsizliği kullandık). Sonra nereden geleceğimiz var.

Yani x 1 eşitsizliğinden< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) yani açık ışında fonksiyon azalır (- 00, 0)

Genellikle "artan fonksiyon" ve "azalan fonksiyon" terimleri monoton fonksiyon genel adı altında birleştirilir ve artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesine bir fonksiyonun monotonluk çalışması denir.

Çözüm.

1) y = 2x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim ve bu parabolün x noktasındaki dalını alalım.< 0 (рис. 130).

2) Parça üzerinde oluşturup parçayı seçelim (Şekil 131).

3) Bir hiperbol oluşturalım ve bunun açık ışın (4, +00) üzerindeki kısmını seçelim (Şekil 132).
4) Üç "parçayı" tek bir koordinat sisteminde gösterelim - bu, y = f(x) fonksiyonunun grafiğidir (Şekil 133).

y = f(x) fonksiyonunun grafiğini okuyalım.

1. Fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

2. x = 0'da y = 0; x > 0 için y > 0.

3. Fonksiyon ışın üzerinde azalır (-oo, 0], parça üzerinde artar, ışın üzerinde azalır, parça üzerinde yukarı doğru dışbükey, ışın üzerinde aşağı doğru dışbükeydir)