Karmaşık bir sayının kökünün çıkarılması. Karmaşık bir sayının kökünün çıkarılması Kökün tüm değerleri nasıl bulunur?

Kökünü kesin olarak çıkarmak imkansızdır. karmaşık sayıçünkü derecesine eşit sayıda değere sahiptir.

Karmaşık sayılar, Moyward formülünün geçerli olduğu trigonometrik formun gücüne yükseltilir:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Benzer şekilde, bu formül karmaşık bir sayının (sıfıra eşit olmayan) k'inci kökünü hesaplamak için kullanılır:

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n))))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\right), \forall k>1, \forall n \in N \)

Karmaşık sayı sıfır değilse, o zaman k dereceli kökler her zaman mevcuttur ve karmaşık düzlemde temsil edilebilirler: bunlar, merkezi orijin ve yarıçapta olan bir daireye yazılan bir k-gon'un köşeleri olacaktır \(\r ^(\frac(1) (k))\)

Problem çözme örnekleri

Görev

Sayının üçüncü kökünü bulun \(\z=-1\).

Çözüm.

Öncelikle \(\z=-1\) sayısını ifade ediyoruz. trigonometrik form. \(\ z=-1 \) sayısının gerçek kısmı \(\ z=-1 \), sanal kısmı ise \(\ y=\operatöradı(lm) \), \(\ z= 0 \). Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulmak için modülünü ve argümanını bulmanız gerekir.

Bir karmaşık sayının modülü \(\z\) şu sayıdır:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

Argüman aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

\(\ \varphi=\arg z=\operatöradı(arctg) \frac(y)(x)=\operatöradı(arctg) \frac(0)(-1)=\operatöradı(arctg) 0=\pi \)

Bu nedenle, bir karmaşık sayının trigonometrik formu şöyledir: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

Sonra 3. kök şöyle görünür:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

\(\n=1\) için şunu elde ederiz:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

\(\n=2\) için şunu elde ederiz:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3))(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Cevap

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Görev

Bir sayının 2. kökünü çıkarmak için \(\z=1-\sqrt(3)i\)

Çözüm.

Başlangıç olarak karmaşık bir sayıyı trigonometrik formda ifade ediyoruz.

Karmaşık bir sayının gerçek kısmı \(\ z=1-\sqrt(3) i \) sayısıdır \(\ x=\operatorname(Re) z=1 \) , sanal kısmı ise \(\ y=\ operatöradı(Im) z =-\sqrt(3) \) . Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulmak için modülünü ve argümanını bulmanız gerekir.

Bir karmaşık sayının modülü \(\r\) şu sayıdır:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2\)

Argüman:

\(\ \varphi=\arg z=\operatöradı(arctg) \frac(y)(x)=\operatöradı(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatöradı(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

Bu nedenle karmaşık bir sayının trigonometrik formu şöyledir:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)

2. derece kökü çıkarmak için formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ sağ)\sağ)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\sağ)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\sağ)\sağ), n=0,1 \)

\(\ \mathrm(n)=0 \) için şunu elde ederiz:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\sağ)\sağ)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\sağ)=\frac(\sqrt (2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

\(\ \mathrm(n)=1 \) için şunu elde ederiz:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\sağ)\sağ)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\sağ)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Cevap

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Trigonometrik formdaki sayılar.

Moivre'nin formülü

z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) ve z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2) olsun.

Karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi, çarpma, bölme, tamsayıya yükseltme ve n derecesinin kökünü çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için kullanışlıdır.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (çünkü ( 1 +  2) + i günah( 1 +  2)).

İki karmaşık sayıyı çarparken trigonometrik formda modülleri çarpılır ve argümanları eklenir. Bölerken modülleri bölünür ve argümanları çıkarılır.

Karmaşık bir sayıyı çarpma kuralının bir sonucu, karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltme kuralıdır.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Bu orana denir Moivre'nin formülü.

Örnek 8.1 Sayıların çarpımını ve bölümünü bulun:

Çözüm

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Örnek 8.2 Bir sayıyı trigonometrik biçimde yazın

∙
–i) 7 .

Çözüm

Haydi belirtelim
ve z2 =
- Ben.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = arg z 1 = arktan
;

z1 =
;

r2 = |z2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arktan
;

z2 = 2
) 5
z1 5 = (

;
z2 7 = 2 7
=

2 9

z = (

) 5 ·2 7§ 9 Karmaşık bir sayının kökünün çıkarılmasıTanım. Kök N
karmaşık bir sayının inci kuvveti
= 0.

z (belirtmek

) w n = z olacak şekilde bir w karmaşık sayısıdır. Eğer z = 0 ise, o zaman

z  0 olsun, z = r(cos + isin). w = (cos + sin)'yi gösterelim, ardından w n = z denklemini aşağıdaki biçimde yazalım

 =

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).
·
.

Dolayısıyla  n = r,

Böylece wk =

Bu değerler arasında tam olarak n tane farklı olan var.
Bu nedenle k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Karmaşık düzlemde bu noktalar, yarıçaplı bir daire içine yazılan düzenli bir n-gon'un köşeleridir.

merkezi O noktasındadır (Şekil 12).Şekil 12
.

Çözüm.

Örnek 9.1

Tüm değerleri bul
Bu sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım.

wk =
.

, burada k = 0, 1, 2, 3.
.

w 0 =
.

w 1 =
.

w2 =
w3 =

Karmaşık düzlemde bu noktalar, yarıçaplı bir daire içine yazılan bir karenin köşeleridir.

merkezi orijinde olacak şekilde (Şekil 13).Şekil 12
.

Çözüm.

Şekil 13 Şekil 14

Tüm değerleri bul
Örnek 9.2

wk =
z = – 64 = 64(cos +isin);
;

w 0 =
, burada k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

;
w 1 =
.

w3 =

w4 =

;

Haydi belirtelim
w5 =
Karmaşık düzlemde bu noktalar, merkezi O (0; 0) noktasında olan 2 yarıçaplı bir daireye yazılan düzgün bir altıgenin köşeleridir - Şekil 14. § 10 Karmaşık bir sayının üstel formu. .