Bir üçgenin kenarları nasıl ölçülür? Çevrimiçi hesap makinesi Üçgenleri çözme. Farklı tipteki çatı sırtlarının fiyatları

Matematikte bir üçgen düşünülürken kenarlarına çok dikkat edilir. Çünkü bu unsurlar bu geometrik şekli oluşturur. Bir üçgenin kenarları birçok geometri problemini çözmek için kullanılır.

Kavramın tanımı

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarına üçgenin kenarları denir. Göz önünde bulundurulan elemanlar, bu düzlemin iç kısmı olarak adlandırılan düzlemin bir kısmını sınırlar. geometrik şekil.

Matematikçiler hesaplamalarında geometrik şekillerin kenarlarına ilişkin genellemelere izin verirler. Böylece dejenere bir üçgende üç parçası tek bir düz çizgi üzerinde yer alır.

Konseptin özellikleri

Bir üçgenin kenarlarının hesaplanması, şeklin diğer tüm parametrelerinin belirlenmesini içerir. Bu bölümlerin her birinin uzunluğunu bilerek üçgenin çevresini, alanını ve hatta açılarını kolayca hesaplayabilirsiniz.

Pirinç. 1. Keyfi üçgen.

Belirli bir şeklin kenarlarını toplayarak çevresini belirleyebilirsiniz.

P=a+b+c, burada a, b, c üçgenin kenarlarıdır

Ve bir üçgenin alanını bulmak için Heron formülünü kullanmalısınız.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Burada p yarı çevredir.

Belirli bir geometrik şeklin açıları kosinüs teoremi kullanılarak hesaplanır.

$$çünkü α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Anlam

Bu geometrik şeklin bazı özellikleri bir üçgenin kenarlarının oranıyla ifade edilir:

• Bir üçgenin en küçük kenarının karşısında en küçük açı bulunur.
• Söz konusu geometrik şeklin dış açısı kenarlardan birinin uzatılmasıyla elde edilir.
• Bir üçgenin karşılıklı eşit açıları eşit kenarlardır.
• Herhangi bir üçgende kenarlardan biri her zaman diğer iki doğru parçasının farkından daha büyüktür. Ve bu şeklin herhangi iki tarafının toplamı üçüncüden büyüktür.

İki üçgenin eşit olduğunun işaretlerinden biri geometrik şeklin tüm kenarlarının toplamının oranıdır. Bu değerler aynı ise üçgenler eşit olacaktır.

Bir üçgenin bazı özellikleri türüne bağlıdır. Bu nedenle öncelikle bu şeklin kenarlarının veya açılarının boyutunu dikkate almalısınız.

Üçgen oluşturma

Söz konusu geometrik şeklin iki kenarı aynı ise bu üçgene ikizkenar üçgen denir.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgen.

Bir üçgenin tüm bölümleri eşit olduğunda eşkenar üçgen elde edilir.

Pirinç. 3. Eşkenar üçgen.

Rastgele bir üçgenin belirli bir tür olarak sınıflandırılabileceği durumlarda herhangi bir hesaplamanın yapılması daha uygundur. Çünkü o zaman bu geometrik şeklin gerekli parametresini bulmak önemli ölçüde basitleştirilecektir.

Doğru seçilmiş olmasına rağmen trigonometrik denklem keyfi bir üçgenin dikkate alındığı birçok sorunu çözmenizi sağlar.

Ne öğrendik?

Noktalarla birbirine bağlanan ve aynı düz çizgiye ait olmayan üç parça bir üçgen oluşturur. Bu kenarlar alanı belirlemek için kullanılan geometrik bir düzlem oluşturur. Bu bölümleri kullanarak bir şeklin çevre ve açılar gibi birçok önemli özelliğini bulabilirsiniz. Bir üçgenin en boy oranı onun tipini bulmaya yardımcı olur. Belirli bir geometrik şeklin bazı özellikleri ancak her bir tarafının boyutları biliniyorsa kullanılabilir.

Konuyla ilgili deneme

Makale derecelendirmesi

Ortalama derecelendirme: 4.3. Alınan toplam puan: 142.

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açının karşısındaki tarafa hipotenüs, diğer ikisine ise bacaklar denir.

Bir dik üçgende açıyı bulmak için dik üçgenlerin bazı özellikleri kullanılır, yani: dar açıların toplamı 90°'dir ve ayrıca uzunluğu hipotenüsün uzunluğunun yarısı kadar olan bacağın karşısında yer alması gerçeği 30°'ye eşit bir açı.

Makalede hızlı gezinme

İkizkenar üçgen

İkizkenar üçgenin özelliklerinden biri de iki açısının eşit olmasıdır. Dik ikizkenar üçgenin açılarını hesaplamak için şunu bilmeniz gerekir:

• Dik açı 90°'dir.
• Dar açıların değerleri şu formülle belirlenir: (180°-90°)/2=45°, yani. α ve β açıları 45°'ye eşittir.

Dar açılardan birinin boyutu biliniyorsa ikincisi şu formül kullanılarak bulunabilir: β=180°-90°-α veya α=180°-90°-β. Çoğu zaman bu oran, açılardan birinin 60° veya 30° olması durumunda kullanılır.

Anahtar Kavramlar

Üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir. Bir açı dik olduğundan geri kalan ikisi dar olacaktır. Onları bulmak için şunu bilmeniz gerekir:

Diğer yollar

Dar açıların değerleri dik üçgen Medyan değeri (tepe noktasından üçgenin karşı tarafına çizilen bir çizgi) ve yükseklik (bir dik açıdan hipotenüse çizilen bir dik çizgi) değeri bilinerek hesaplanabilir. Dik açıdan hipotenüsün ortasına çizilen kenarortay s, yükseklik ise h olsun. Bu durumda şu ortaya çıkıyor:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• çünkü α=a/(2*s); çünkü β=b/(2*s).
• günah α=h/b; günah β =h/a.

İki taraf

Bir dik üçgende hipotenüsün ve bacaklardan birinin veya iki tarafın uzunlukları biliniyorsa, dar açıların değerlerini bulmak için trigonometrik özdeşlikler kullanılır:

• α=arksin(a/c), β=arksin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=yayg(a/b), β=yayg(b/a).

Gerçekte hemen hemen her köşede bir dik üçgen bulunur. Belirli bir şeklin özelliklerine ilişkin bilgi ve alanını hesaplama yeteneği, şüphesiz yalnızca geometri problemlerini çözmek için değil, aynı zamanda yaşam durumlarında da sizin için yararlı olacaktır.

Üçgen geometrisi

Temel geometride dik üçgen, üç açı (ikisi dar, biri düz) oluşturan üç bağlantılı bölümden oluşan bir şekildir. Sağ üçgen, trigonometrinin temelini oluşturan bir dizi önemli özellik ile karakterize edilen orijinal bir şekildir. Normal bir üçgenin aksine, dikdörtgen bir şeklin kenarlarının kendi isimleri vardır:

• Hipotenüs, bir üçgenin dik açının karşısındaki en uzun kenarıdır.
• Bacaklar dik açı oluşturan bölümlerdir. Söz konusu açıya bağlı olarak, bacak ona bitişik (hipotenüs ile bu açıyı oluşturarak) veya zıt (açının karşısında) olabilir. Dik olmayan üçgenlerin bacakları yoktur.

Trigonometrinin temelini oluşturan bacaklar ve hipotenüs oranıdır: sinüsler, teğetler ve sekantlar bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak tanımlanır.

Gerçekte sağ üçgen

Bu rakam gerçekte yaygınlaştı. Üçgenler tasarım ve teknolojide kullanıldığından, bir şeklin alanının hesaplanmasının mühendisler, mimarlar ve tasarımcılar tarafından yapılması gerekir. Günlük yaşamda buluşması kolay üç boyutlu figürler olan tetrahedronların veya prizmaların tabanları üçgen şeklindedir. Ek olarak kare, gerçekte "düz" bir dik üçgenin en basit temsilidir. Kare, hem okul çocukları hem de mühendisler tarafından açı oluşturmak için kullanılan bir metal işleme, çizim, inşaat ve marangozluk aracıdır.

Bir üçgenin alanı

Geometrik bir şeklin alanı, düzlemin ne kadarının üçgenin kenarları tarafından sınırlandığının niceliksel bir tahminidir. Sıradan bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak veya yazılı veya çevrelenmiş dairenin tabanı, kenarı, açısı ve yarıçapı gibi değişkenler kullanılarak beş şekilde bulunabilir. En çok basit formül alan şu şekilde ifade edilir:

a üçgenin kenarı, h ise yüksekliğidir.

Dik üçgenin alanını hesaplama formülü daha da basittir:

burada a ve b bacaklardır.

Çevrimiçi hesap makinemizle çalışarak, üç çift parametreyi kullanarak bir üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz:

• iki bacak;
• bacak ve bitişik açı;
• bacak ve karşı açı.

Problemlerde veya günlük durumlarda size farklı değişken kombinasyonları verilecektir, bu nedenle hesap makinesinin bu formu bir üçgenin alanını çeşitli şekillerde hesaplamanıza olanak tanır. Birkaç örneğe bakalım.

Gerçek hayattan örnekler

Seramik fayans

Diyelim ki mutfak duvarlarını dik üçgen şeklindeki seramik karolarla kaplamak istiyorsunuz. Fayans tüketimini belirlemek için bir kaplama elemanının alanını ve işlenen yüzeyin toplam alanını bulmalısınız. Diyelim ki 7'yi işlemeniz gerekiyor metrekare. Bir elemanın bacaklarının uzunluğu 19 cm'dir, o zaman kiremit alanı şuna eşit olacaktır:

Bu, bir elemanın alanının 24,5 santimetrekare veya 0,01805 metrekare olduğu anlamına gelir. Bu parametreleri bilerek, 7 metrekarelik bir duvarı bitirmek için 7/0,01805 = 387 adet kaplama fayansına ihtiyacınız olacağını hesaplayabilirsiniz.

Okul görevi

Diyelim ki bir okul geometri probleminde, yalnızca bir bacağın kenarının 5 cm ve karşı açının 30 derece olduğunu bilerek dik bir üçgenin alanını bulmanız gerekiyor. Çevrimiçi hesap makinemiz, dik üçgenin kenarlarını ve açılarını gösteren bir çizimle birlikte gelir. a tarafı = 5 cm ise, karşı açısı 30 dereceye eşit olan alfa açısıdır. Bu verileri hesap makinesi formuna girin ve sonucu alın:

Böylece hesap makinesi yalnızca alanı hesaplamakla kalmaz verilen üçgen, ancak aynı zamanda bitişik bacağın uzunluğunu ve hipotenüsün yanı sıra ikinci açının değerini de belirler.

Çözüm

Dik üçgenler hayatımızın tam anlamıyla her köşesinde bulunur. Bu tür rakamların alanını belirlemek sadece çözerken sizin için yararlı olmayacaktır. okul ödevleri geometride, aynı zamanda günlük ve mesleki faaliyetlerde.

ANDREY PROKIP: “SEVGİLİM RUS EKOLOJİSİDİR. BUNA YATIRIM YAPMALISINIZ!”
4-5 Eylül tarihlerinde “Şehirlerin İklimsel Şekli” çevre forumu düzenlendi. Etkinliğin başlatıcısı BM tarafından 2005 yılında kurulan C40 örgütüdür. Formun ve şehirlerin asıl görevi kontrol etmektir. iklim değişikliğişehirler.
Uygulamanın gösterdiği gibi, sosyal etkinliklerin ve "gece kulüplerindeki toplantıların" aksine, çok az sayıda milletvekili ve tanınmış kişi vardı. Endişelerini tespit edenler arasında çevresel durum Prokip Adrey Zinovyeviç'ti. Cumhurbaşkanı Özel Temsilcisi ile birlikte tüm genel kurul oturumlarında aktif rol aldı. Rusya Federasyonu iklim sorunları hakkında Ruslan Edelgeriev, Moskova Konut ve Toplumsal Hizmetlerden Sorumlu Belediye Başkan Yardımcısı Pyotr Biryukov ve yabancı temsilciler - İtalya'nın Savona şehrinin belediye başkanı - Ilario Caprioglio. Katılımcılar projelerini sunarken, küresel sıcaklıklardaki artışın durdurulmasına yönelik stratejilerin yanı sıra pratik çözüm önerilerini de tartıştılar. sürdürülebilir kalkınmaşehirler.
ANDREY PROKIP ŞAŞLIKLAR, MİLLETVEKİLLERİ VE YEŞİL BİNA HAKKINDA
Özellikle ilgi çekici Rus tarafı aralarında Avrupalı ​​mimarların, bilim adamlarının ve Savona Belediye Başkanının da bulunduğu konuşmacıların bir sunumuna neden oldu. Konuşmanın konusu ÜST yön - “yeşil inşaat” idi. Andrey Prokip'in kendisinin de belirttiği gibi, “Moskova gibi bir mega şehir için kaynakları doğru bir şekilde yeniden dağıtmanın yanı sıra Avrupa inşaat standartlarını hesaba katmak da önemlidir. Rusya'nın Federal düzeyde “yeşil finansmana” yönelik bir yol izlemesi gerekiyor, özellikle de ekonomik olarak mümkün olduğu ve pratikte görüldüğü gibi karlı olduğu için.” Ayrıca çevre felaketleri ve büyük ve küçük atıkların bertarafına ilişkin çevre standartlarına uyulmamasıyla bağlantılı olarak Rusların sağlığının bozulması konusundaki endişelerini de dile getirdi. sanayi işletmeleri" DSÖ Avrupa Sağlık Yatırım Ofisi profesörü Francesco Zambona'nın konuşması da korkularını doğruladı.
Andrei, kendine özgü bir mizah anlayışıyla, foruma davet edilen ancak hiç gelmeyen ünlü kişilere, "doğayı yalnızca mangal yapmak veya balığa gitmek istediklerinde değil, hatırlayın" çağrısında bulundu. Sonuçta tüm insanların sağlığı, ne yazık ki onları da içeren doğanın iyiliğine bağlı.”
Andrei Zinovievich'in yeni "doğa aşığı" ve sorumluluk almanın önemi hakkındaki tutkulu konuşmaların yanı sıra çevre forumun önemli bir etkinliği de şuydu: genel kurul oturumu“Yeni nesil nasıl yetiştirilir” konusu üzerine. Forum katılımcıları sadece çocukların değil yetişkin neslin de eğitilmesi gerektiği konusunda hemfikirdi. Doğaya karşı sorumluluğu aşılamak çok önemli günlük davranış ve iş hayatında da.
Moskova için "medeni bir şekilde yaşamayı öğrenme" özel projesi başlatılacak. Bu eğitim projesi Nüfusun ve yaş kategorilerinin tüm kesimleri için. Ancak teori ve iyi niyet ne kadar harika olursa olsun, "kızarmış horoz gagalayana kadar aptal kendini geçemez" sözü Rusya için hala geçerli.
Ünlü tiyatro yönetmeni Timothy Netter'a göre sanat her şeyi değiştirebilir. Bir konuşmasında doğayı koruma düşüncesinin tiyatro ve sinemada nasıl sunulması gerektiğinden, yarın bize ve doğaya olacaklardan sorumlu olacak şekilde insanları sanat yoluyla eğitmenin ne kadar önemli olduğundan bahsetti.
Öğrenciler Rentv operatörleri ve Andrey Prokirpa'nın dikkatini çekti Rus üniversiteleri Neme ve sıcaklığa dayanıklı kapların üretimi için çevre dostu teknoloji üzerine bir proje sunuyor. Bu çok acil bir sorun, çünkü dünya çapında plastik kaplara karşı yasalar çıkarılıyor; plastik kapların ayrışması 30 yıldan fazla sürüyor, toprağı kirletiyor ve hayvanların ölümüne neden oluyor.
Moskova'nın C40 organizasyonuna katılan 94 şehirden biri olması ve her yıl daha fazla ünlü şahsiyet ve vatandaşın ilgisini çeken forumun üçüncü kez düzenlenmesi cesaret verici.

Geometride açı, bir noktadan (açının tepe noktası olarak adlandırılır) çıkan iki ışının oluşturduğu şekildir. Çoğu durumda açının ölçü birimi derecedir (°) - tam açının veya bir devrimin 360° olduğunu unutmayın. Bir çokgenin açı değerini türüne göre ve diğer açıların değerlerine göre bulabilir ve bir dik üçgen verilirse iki taraftan açı hesaplanabilir. Ayrıca açı, iletki kullanılarak ölçülebilir veya bir grafik hesap makinesi kullanılarak hesaplanabilir.

Adımlar

Çokgenin iç açıları nasıl bulunur

Çokgenin kenar sayısını sayın. Bir çokgenin iç açılarını hesaplamak için öncelikle çokgenin kaç kenarı olduğunu belirlemeniz gerekir. Bir çokgenin kenar sayısının açı sayısına eşit olduğunu unutmayın.

• Örneğin üçgenin 3 kenarı ve 3 iç açısı, karenin ise 4 kenarı ve 4 iç açısı vardır.

1. Çokgenin tüm iç açılarının toplamını hesaplayın. Bunu yapmak için şu formülü kullanın: (n - 2) x 180. Bu formülde n, çokgenin kenar sayısıdır. Yaygın olarak karşılaşılan çokgenlerin açılarının toplamları aşağıda verilmiştir:

   • Bir üçgenin (3 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 180°'dir.
   • Bir dörtgenin (4 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 360°'dir.
   • Bir beşgenin (5 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 540°'dir.
   • Altıgenin (6 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 720°'dir.
   • Sekizgenin (8 kenarı olan çokgen) açılarının toplamı 1080°'dir.

2. Bir düzgün çokgenin tüm açılarının toplamını açı sayısına bölün. Düzgün çokgen, kenarları eşit olan çokgendir ve eşit açılar. Örneğin, bir eşkenar üçgenin her açısı şu şekilde hesaplanır: 180 ÷ 3 = 60° ve bir karenin her açısı şu şekilde hesaplanır: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Eşkenar üçgen ve kare düzgün çokgenlerdir. Ve Pentagon binasında (Washington, ABD) ve yol işareti Düzenli bir sekizgenin "durdurma" şekli.

3. Düzensiz çokgenin açılarının toplamından bilinen tüm açıların toplamını çıkarın. Bir çokgenin kenarları birbirine eşit değilse ve açıları da birbirine eşit değilse, önce çokgenin bilinen açılarını toplayın. Şimdi elde edilen değeri çokgenin tüm açılarının toplamından çıkarın; bu şekilde bilinmeyen açıyı bulacaksınız.

   • Örneğin, bir beşgenin 4 açısının 80°, 100°, 120° ve 140° olduğu verilmişse şu sayıları toplayın: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Şimdi bu değeri tüm açıların toplamından çıkarın. beşgen; bu toplam 540°'ye eşittir: 540 - 440 = 100°. Yani bilinmeyen açı 100°'dir.

   Tavsiye:Şeklin özelliklerini biliyorsanız bazı çokgenlerin bilinmeyen açısı hesaplanabilir. Örneğin bir ikizkenar üçgende iki kenar eşittir ve iki açı eşittir; Bir paralelkenarda (bir dörtgendir), karşıt kenarlar eşittir ve karşıt açılar eşittir.

   Üçgenin iki tarafının uzunluğunu ölçün. Bir dik üçgenin en uzun kenarına hipotenüs denir. Bitişik taraf bilinmeyen açıya yakın olan taraftır. Karşı taraf bilinmeyen açının karşısındaki taraftır. Üçgenin bilinmeyen açılarını hesaplamak için iki kenarı ölçün.

   Tavsiye: Denklemleri çözmek için bir grafik hesap makinesi kullanın veya sinüs, kosinüs ve teğet değerlerini içeren çevrimiçi bir tablo bulun.

   Karşı kenarı ve hipotenüsü biliyorsanız açının sinüsünü hesaplayın. Bunu yapmak için değerleri denklemde yerine koyun: sin(x) = karşı taraf ÷ hipotenüs. Örneğin karşı kenar 5 cm, hipotenüs ise 10 cm'dir. 5/10 = 0,5'e bölün. Dolayısıyla sin(x) = 0,5, yani x = sin -1 (0,5).