Bir sayının karekökü manuel olarak nasıl bulunur? Karekök nedir? yüzün karekökü kaçtır

Matematik ve fizik dersinden çeşitli problemleri çözerken, öğrenciler ve öğrenciler genellikle ikinci, üçüncü veya n'inci derecenin köklerini çıkarma ihtiyacı ile karşı karşıya kalırlar. Yüzyılda elbette Bilişim Teknolojileri Hesap makinesi kullanarak böyle bir sorunu çözmek zor olmayacaktır. Ancak elektronik asistan kullanmanın imkansız olduğu durumlar vardır.

Örneğin birçok sınava elektronik eşya getirmek yasaktır. Ayrıca, hesap makinesi elinizin altında olmayabilir. Bu gibi durumlarda, radikalleri manuel olarak hesaplamak için en azından bazı yöntemleri bilmek faydalıdır.

Kareler tablosunu kullanarak karekökü çıkarma

Kökleri hesaplamanın en basit yollarından biri, özel bir tablo kullanarak. Nedir ve nasıl doğru kullanılır?

Tabloyu kullanarak 10'dan 99'a kadar herhangi bir sayının karesini bulabilirsiniz. Aynı zamanda tablonun satırları onluk değerleri, sütunları ise birim değerleri içermektedir. Satır ve sütunun kesiştiği hücre, iki basamaklı bir sayının karesini içerir. 63'ün karesini hesaplamak için 6 değeri olan bir satır ve 3 değeri olan bir sütun bulmanız gerekiyor. Kesişimde 3969 numaralı bir hücre buluyoruz.

Kökü çıkarmak, kare almanın tersi bir işlem olduğundan, bu işlemi gerçekleştirmek için tersini yapmanız gerekir: önce kökünü hesaplamak istediğiniz sayının bulunduğu hücreyi bulun, ardından sütun ve satır değerlerinden cevabı belirleyin. Örnek olarak, 169'un karekökünün hesaplanmasını ele alalım.

Tabloda bu sayıya sahip bir hücre buluyoruz, yatay olarak onlar - 1'i, dikey olarak - 3'ü buluyoruz. Cevap: √169 = 13.

Benzer şekilde, uygun tabloları kullanarak kübik ve n'inci derecenin köklerini hesaplayabilirsiniz.

Yöntemin avantajı, basitliği ve ek hesaplamaların olmamasıdır. Dezavantajları açıktır: yöntem yalnızca sınırlı bir sayı aralığı için kullanılabilir (kökünün bulunduğu sayı 100 ile 9801 arasında olmalıdır). Ayrıca verilen sayı tabloda yoksa çalışmaz.

asal çarpanlara ayırma

Kareler tablosu elinizde değilse veya onun yardımıyla kökü bulmak imkansızsa, deneyebilirsiniz. kökün altındaki sayıyı asal çarpanlara ayır. Asal çarpanlar, tamamen (kalansız) yalnızca kendisine veya bire bölünebilenlerdir. Örnekler 2, 3, 5, 7, 11, 13 vb.

√576 örneğini kullanarak kökün hesaplanmasını ele alalım. Bunu basit çarpanlara ayıralım. Aşağıdaki sonucu elde ederiz: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². √a² = a köklerinin ana özelliğini kullanarak, köklerden ve karelerden kurtuluruz, ardından cevabı hesaplarız: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Faktörlerden herhangi birinin kendi çifti yoksa ne yapmalı? Örneğin, √54'ün hesaplanmasını düşünün. Çarpanlara ayırdıktan sonra sonucu aşağıdaki biçimde alırız: Çıkarılamayan kısım kökün altında bırakılabilir. Geometri ve cebirdeki çoğu problem için, böyle bir cevap son cevap olarak sayılır. Ancak yaklaşık değerleri hesaplamaya ihtiyaç varsa, daha sonra tartışılacak olan yöntemleri kullanabilirsiniz.

Heron'un yöntemi

En azından yaklaşık olarak çıkarılan kökün ne olduğunu bilmeniz gerektiğinde ne yapmalısınız (eğer bir tamsayı değeri elde etmek imkansızsa)? Heron yöntemi uygulanarak hızlı ve oldukça doğru bir sonuç elde edilir.. Özü, yaklaşık bir formülün kullanılmasında yatmaktadır:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

burada R, kökü hesaplanacak sayı, a ise kök değeri bilinen en yakın sayıdır.

Yöntemin pratikte nasıl çalıştığını görelim ve ne kadar doğru olduğunu değerlendirelim. √111'in neye eşit olduğunu hesaplayalım. Kökü bilinen 111'e en yakın sayı 121'dir. Böylece R=111, a=121 olur. Formüldeki değerleri yerine koyun:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Şimdi yöntemin doğruluğunu kontrol edelim.:

10,55² = 111,3025.

Yöntemin hatası yaklaşık 0.3 idi. Yöntemin doğruluğunun iyileştirilmesi gerekiyorsa, daha önce açıklanan adımları tekrarlayabilirsiniz:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Hesaplamanın doğruluğunu kontrol edelim:

10,536² = 111,0073.

Formülün tekrar tekrar uygulanmasından sonra, hata oldukça önemsiz hale geldi.

Kökün bir sütuna bölünerek hesaplanması

Bu karekök değerini bulma yöntemi, öncekilerden biraz daha karmaşıktır. Ancak, hesap makinesi olmadan diğer hesaplama yöntemleri arasında en doğru olanıdır..

Diyelim ki karekökü 4 ondalık basamak doğruluğu ile bulmanız gerekiyor. 1308.1912 keyfi sayı örneğini kullanarak hesaplama algoritmasını inceleyelim.

Kağıt yaprağını dikey bir çizgiyle 2 parçaya bölün ve ardından ondan sağa, üst kenarın biraz altına başka bir çizgi çizin. Sayıyı sol tarafa yazıyoruz, 2 basamaklı gruplara ayırıyoruz, sağa hareket ediyoruz ve Sol Taraf virgülden. Soldaki ilk rakam çiftsiz olabilir. Sayının sağ tarafında işaret yoksa 0 eklenir, bizim durumumuzda 13 08.19 12 elde ederiz.
En çok olanı seçelim Büyük sayı, karesi ilk basamak grubundan küçük veya ona eşit olacaktır. Bizim durumumuzda bu 3'tür. Sağ üste yazalım; 3, sonucun ilk basamağıdır. Sağ altta 3 × 3 = 9'u belirtiyoruz; bu sonraki hesaplamalar için gerekli olacaktır. Bir sütunda 13'ten 9 çıkarırsak kalan 4 olur.
Kalan 4'e bir sonraki sayı çiftini ekleyelim; 408 elde ederiz.
Sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın ve sağ alttaki sayıya _ x _ = ekleyerek yazın. 6_ x _ = elde ederiz.
Tire yerine, aynı sayıyı 408'den küçük veya ona eşit olarak değiştirmeniz gerekir. 66 × 6 \u003d 396 elde ederiz. Sonucun ikinci basamağı olduğu için sağ üste 6 yazalım. 408'den 396 çıkarırsak 12 elde ederiz.
3-6 adımlarını tekrar edelim. Aşağıya taşınan sayılar sayının kesirli kısmında olduğu için 6'dan sonra sağ üste virgül koymak gerekir. İkili sonucu tire ile yazalım: 72_ x _ =. Uygun bir sayı 1: 721 × 1 = 721 olacaktır. Cevap olarak yazalım. 1219 - 721 = 498'i çıkaralım.
Gerekli ondalık basamak sayısını elde etmek için önceki paragrafta verilen işlem sırasını üç kez daha gerçekleştirelim. Daha fazla hesaplama için yeterli işaret yoksa, soldaki mevcut sayıya iki sıfır eklenmelidir.

Sonuç olarak şu yanıtı alırız: √1308.1912 ≈ 36.1689. Eylemi bir hesap makinesiyle kontrol ederseniz, tüm karakterlerin doğru belirlendiğinden emin olabilirsiniz.

Karekök değerinin bit düzeyinde hesaplanması

Yöntem son derece doğru. Ek olarak, oldukça anlaşılırdır ve yöntemin özü doğru sonucu seçmek olduğu için formülleri ezberlemeyi veya karmaşık bir eylem algoritması gerektirmez.

781 sayısından kökü çıkaralım. İşlem sırasını ayrıntılı olarak ele alalım.

Karekök değerinin hangi basamağının en yüksek olacağını bulun. Bunun için 0, 10, 100, 1000 gibi sayıların karesini alıp kök sayının hangileri arasında olduğunu bulalım. 10²'yi alıyoruz< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Onluk değerini alalım. Bunu yapmak için, 781'den büyük bir sayı elde edene kadar sırayla 10, 20, ..., 90'ın kuvvetine yükselteceğiz. Bizim durumumuzda 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 elde ederiz. Sonuç n'nin değeri 20 içinde olacaktır.< n <30.
Önceki adıma benzer şekilde, birler basamağının değeri seçilir. Sırayla 21.22, ..., 29'un karesini alıyoruz: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784.< n < 28.
Sonraki her basamak (onda birlik, yüzde birlik, vb.) yukarıda gösterildiği gibi hesaplanır. Hesaplamalar, gerekli doğruluk elde edilene kadar gerçekleştirilir.

Video

Videodan hesap makinesi kullanmadan karekökleri nasıl çıkaracağınızı öğreneceksiniz.

Çoğu zaman, problemleri çözerken, çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. Kare kök. Pek çok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve tüm örneği çözmeye başlar. Hiçbir koşulda bu yapılmamalıdır! Bunun iki nedeni var:

Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metinde;
Bu köklerin neredeyse sözlü olarak kabul edildiği bir algoritma var.

Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz görünecektir. Ancak bu derse dikkat ederseniz, karşı en güçlü silahı alacaksınız. Karekök.

Yani algoritma:

İstenilen kökü yukarıda ve aşağıda 10'un katları ile sınırlayın. Böylece, arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacakları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
Bu 1-2 sayıların karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.

Bu algoritmayı pratikte uygulamadan önce, her bir adıma bakalım.

Kök kısıtlaması

Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında yer aldığını bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katı olması çok arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir dizi sayı alıyoruz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rakamlar bize ne veriyor? Çok basit: sınırlar elde ederiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasındadır. Bu nedenle kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:

[Şekil yazısı]

Aynısı, karekökü bulabileceğiniz diğer tüm sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:

[Şekil yazısı]

Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok özel bir aralık elde ederiz. Aramanın kapsamını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.

Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması

Yani, 10 numaramız var - kök için adaylar. Onları bir sütunda karmaşık düşünme ve çarpma olmadan çok hızlı bir şekilde aldık. Devam etme zamanı.

İster inanın ister inanmayın, şimdi aday sayısını ikiye indireceğiz - ve yine karmaşık hesaplamalar olmadan! Özel kuralı bilmek yeterlidir. İşte burada:

Karenin son basamağı yalnızca son basamağa bağlıdır orijinal numara.

Başka bir deyişle, karenin son basamağına bakmak yeterlidir - ve orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.

Son sırada olabilecek sadece 10 hane vardır. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Bu tablo kökü hesaplamaya yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi, ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüğünüz gibi, her iki durumda da son rakam aynıdır. Ve bu, örneğin 3364'ün kökünün zorunlu olarak 2 veya 8 ile bittiği anlamına gelir. Öte yandan, önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Biz:

[Şekil yazısı]

Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök 50 ile 60 arasında yer alır ve üzerinde 2 ve 8 ile biten yalnızca iki sayı vardır:

[Şekil yazısı]

Bu kadar! Tüm olası köklerden sadece iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son basamak 5 veya 0 olabilir. Ve sonra kökler için tek aday kalacak!

Son Hesaplamalar

Yani 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının da karesini alın. Karesi olan orijinal sayıyı verecek ve kök olacaktır.

Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Karelerini alalım:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Bu kadar! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın karelerinin formülünü kullandım. Bu sayede bir sütundaki sayıları çarpmanıza bile gerek kalmadı! Bu, hesaplamaların başka bir optimizasyon düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)

Kök Hesaplama Örnekleri

Teori elbette iyidir. Ama pratikte test edelim.

[Şekil yazısı]

Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa. İki sayı elde ederiz:

Her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmak kalır:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.

Görev. Karekökü hesaplayın:
[Şekil yazısı]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son sayıya bakalım:

1369 → 9;
33; 37.

Karesini alalım:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

İşte cevap: 37.

Görev. Karekökü hesaplayın:
[Şekil yazısı]

Sayıyı sınırlıyoruz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son sayıya bakalım:

2704 → 4;
52; 58.

Karesini alalım:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cevabı aldık: 52. Artık ikinci sayının karesini almanıza gerek kalmayacak.

Görev. Karekökü hesaplayın:
[Şekil yazısı]

Sayıyı sınırlıyoruz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son sayıya bakalım:

4225 → 5;
65.

Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye sadece bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenen kök. Ama yine de karesini alalım ve kontrol edelim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Her şey doğru. Cevabı yazıyoruz.

Çözüm

Ne yazık ki, daha iyisi yok. Nedenlerine bir göz atalım. İki tane var:

İster GIA ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, herhangi bir normal matematik sınavında hesap makinesi kullanmak yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi taşıdıkları için kolayca sınavdan atılabilirler.
Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Kökler gibi olmayanlar - iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri görünce genellikle histerikleşirler.

Matematikte bir kök bulma problemi, bir sayıyı bir kuvvete yükseltme probleminin tersidir. Kökler farklıdır: ikinci dereceden kökler, üçüncü dereceden kökler, dördüncü dereceden kökler vb. Sayının başlangıçta hangi güce yükseltildiğine bağlıdır. Kök şu sembolle gösterilir: √ kareköktür, yani ikinci derecenin köküdür, eğer kök ikinciden daha büyük bir dereceye sahipse, ilgili derece kökün işaretinin üzerine atanır. Kök işaretinin altındaki sayı bir kök ifadesidir. Kökü bulurken, kökü bulmada hata yapmamanıza yardımcı olacak birkaç kural vardır:

Negatif bir sayının çift kökü (üs 2, 4, 6, 8 vb. ise) mevcut DEĞİLDİR. Köklü ifade negatifse, ancak tek bir derecenin (3, 5, 7 vb.) kökü aranıyorsa, sonuç negatif olacaktır.
Herhangi bir birlik derecesinin kökü her zaman birdir: √1 = 1.
Sıfırın kökü sıfırdır: √0 = 0.

100'ün kökü nasıl bulunur

Görev hangi derece kökün bulunacağını söylemiyorsa, genellikle ikinci derecenin (kare) kökünün bulunması gerektiği anlaşılır.
√100 = ? Böyle bir sayı bulmamız gerekiyor, ikinci kuvvete yükseltildiğinde 100 sayısı elde edilecek.Açıkçası 10 sayısı böyle bir sayı çünkü: 10 2 \u003d 100. Dolayısıyla √100 \u003d 10: kare 100'ün kökü 10'dur.

Karekök nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok..." olanlar için)

Bu kavram çok basit. Doğal, derdim. Matematikçiler her etki için bir tepki bulmaya çalışırlar. Toplama var, çıkarma var. Çarpma var, bölme var. Kare alma var ... Yani bir de var karekökü çıkarmak! Bu kadar. Bu hareket ( karekök alma) matematikte bu simge ile gösterilir:

Simgenin kendisine güzel kelime denir " radikal".

Kök nasıl çıkarılır? dikkate almak daha iyidir örnekler.

9'un karekökü kaçtır? Ve hangi sayının karesi bize 9 verir? 3'ün karesi bize 9 verir! Onlar:

Sıfırın karekökü nedir? Sorun değil! Sıfırın karesi hangi sayıyı verir? Evet, kendisi sıfır veriyor! Araç:

Yakalanmış karekök nedir? Sonra düşünürüz örnekler:

Cevaplar (dağınık): 6; 1; 4; 9; 5.

Karar verilmiş? Gerçekten, çok daha kolay!

Ama... Kökleri olan bir iş gördüğünde insan ne yapar?

Özlemeye başlar insan... Köklerin sadeliğine, hafifliğine inanmaz. biliyormuş gibi görünse de karekök nedir...

Bunun nedeni, bir kişinin kökleri incelerken birkaç önemli noktayı göz ardı etmesidir. Sonra bu geçici hevesler acımasızca sınavlardan ve sınavlardan intikam alıyor ...

Birinci nokta. Kökler görerek tanınmalıdır!

49'un karekökü kaçtır? Yedi? Sağ! Yedi olduğunu nasıl bildin? Yedinin karesini alıp 49 mu elde ettiniz? Sağ! Lütfen bunu not al kökü çıkarmak 49'da ters işlemi yapmak zorunda kaldık - 7. kare! Ve kaçırmadığımızdan emin olun. Ya da özleyebilirler...

Zorluk burada yatıyor kök çıkarma. kare alma herhangi bir sayı sorunsuz bir şekilde mümkündür. Sayıyı bir sütunda kendisiyle çarpın - hepsi bu. Ama için kök çıkarma bu kadar basit ve sorunsuz bir teknoloji yok. hesap vermek toplamak cevaplayın ve kare alarak isabet için kontrol edin.

Bu karmaşık yaratıcı süreç - bir yanıt seçmek - büyük ölçüde basitleştirilir. Unutma popüler sayıların kareleri. Çarpım tablosu gibi. Diyelim ki 4'ü 6 ile çarpmanız gerekiyorsa - dördü 6 kez eklemiyorsunuz, değil mi? Cevap hemen ortaya çıkıyor 24. Her ne kadar herkesin elinde olmasa da, evet ...

Köklerle özgür ve başarılı bir çalışma için 1'den 20'ye kadar olan sayıların karelerini bilmek yeterlidir. Orası Ve geri. Onlar. hem 11'in karesini hem de 121'in karekökünü kolayca adlandırabilmelisiniz. Bu ezberlemeyi başarmanın iki yolu vardır. Birincisi kareler tablosunu öğrenmek. Bu, örneklerle çok yardımcı olacaktır. İkincisi, daha fazla örnek çözmek. Kareler tablosunu hatırlamak harika.

Ve hesap makinesi yok! Yalnızca doğrulama için. Aksi takdirde sınav esnasında acımasızca yavaşlarsınız...

Bu yüzden, karekök nedir Ve nasıl kökleri ayıklamak- Anlaşılabilir olduğunu düşünüyorum. Şimdi onları NEDEN çıkarabileceğinizi öğrenelim.

İkinci nokta. Kök, seni tanımıyorum!

Hangi sayılardan karekök alabilirsin? Evet, neredeyse herhangi biri. ne olduğunu anlamak daha kolay yasaktır onları ayıklayın.

Bu kökü hesaplamaya çalışalım:

Bunu yapmak için, karesi bize -4 verecek bir sayı almanız gerekiyor. biz seçiyoruz

Ne seçilmedi? 2 2 +4 verir. (-2) 2 tekrar +4 verir! İşte bu kadar... Karesi alındığında bize negatif bir sayı verecek hiçbir sayı yok! Rakamları bilmeme rağmen. Ama sana söylemeyeceğim.) Üniversiteye git ve kendin öğren.

Aynı hikaye herhangi bir negatif sayı ile olacaktır. Dolayısıyla sonuç:

Negatif bir sayının karekök işaretinin altında olduğu bir ifade - mantıklı değil! Bu yasaklanmış bir işlemdir. Sıfıra bölmek kadar yasak. Bu gerçeği aklınızda tutun! Veya başka bir deyişle:

Negatif sayılardan karekök çıkaramazsınız!

Ama geri kalan her şeyden - yapabilirsiniz. Örneğin, hesaplamak mümkündür

İlk bakışta bu çok zor. Kesirleri al, ama karesini al ... Endişelenme. Köklerin özelliklerini ele aldığımızda bu tür örnekler aynı kareler tablosuna indirgenecektir. Hayat daha kolay olacak!

Tamam kesirler. Ama yine de şöyle ifadelerle karşılaşıyoruz:

Önemli değil. Hepsi aynı. İkinin karekökü, karesi alındığında bize ikili verecek sayıdır. Sadece sayı tamamen düzensiz ... İşte burada:

İlginçtir, bu kesir asla bitmez... Bu tür sayılara irrasyonel denir. Kareköklerde bu en yaygın olan şeydir. Bu arada, bu yüzden köklü ifadeler denir. mantıksız. Her zaman böyle sonsuz bir kesir yazmanın sakıncalı olduğu açıktır. Bu nedenle, sonsuz bir kesir yerine şu şekilde bırakırlar:

Örneği çözerken çıkarılamayan bir şeyle karşılaşırsanız, örneğin:

sonra bu şekilde bırakıyoruz. Cevap bu olacak.

Simgelerin altında ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir.

Tabii sayının kökü alınırsa düz, bunu yapmalısınız. Formdaki görevin cevabı, örneğin

oldukça eksiksiz bir cevap.

Ve elbette, yaklaşık değerleri hafızadan bilmeniz gerekir:

Bu bilgi, karmaşık görevlerde durumu değerlendirmek için çok yardımcı olur.

Üçüncü nokta. En kurnaz.

Köklerle çalışmadaki ana kafa karışıklığı tam da bu hevesten kaynaklanıyor. Kendinden şüphe duyan odur ... Bu tuhaflıkla düzgün bir şekilde ilgilenelim!

Başlamak için, dördünün karekökünü tekrar çıkarıyoruz. Ne, seni zaten bu kökle yakaladım mı?) Hiçbir şey, şimdi ilginç olacak!

4'ün karesi hangi sayıyı verir? Şey, iki, iki - Tatmin olmayan cevaplar duyuyorum ...

Sağ. İki. Ama aynı zamanda eksi iki 4'ün karesini verecek... Bu arada cevap

doğru ve cevap

en büyük hata Bunun gibi.

Peki anlaşma nedir?

Nitekim (-2) 2 = 4. Ve karekök dört tanımı altında eksi iki oldukça uygun ... Bu aynı zamanda dördün kareköküdür.

Ancak! Matematik okul dersinde, karekökleri dikkate almak gelenekseldir. sadece negatif olmayan sayılar! Yani sıfır ve hepsi pozitif. Özel bir terim bile icat edildi: numaradan A- Bu negatif olmayan karesi olan sayı A. Aritmetik karekökü çıkarırken negatif sonuçlar basitçe atılır. Okulda, tüm karekökler - aritmetik. Özel olarak belirtilmese de.

Tamam, bu anlaşılabilir. Olumsuz sonuçlarla uğraşmamak daha da iyidir... Henüz kafa karışıklığı değil.

Karışıklık, ikinci dereceden denklemleri çözerken başlar. Örneğin, aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekiyor.

Denklem basit, cevabı yazıyoruz (öğretildiği gibi):

Bu cevap (bu arada oldukça doğru) sadece kısaltılmış bir gösterimdir. iki Yanıtlar:

Dur dur! Biraz yukarı karekökün bir sayı olduğunu yazdım Her zaman negatif olmayan! Ve işte cevaplardan biri - olumsuz! Düzensizlik. Bu, köklere güvensizliğe neden olan ilk (ama son değil) sorun ... Haydi bu sorunu çözelim. Cevapları (sadece anlamak için!) Şöyle yazalım:

Parantezler cevabın özünü değiştirmez. sadece parantez ile ayırdım işaretler itibaren kök. Şimdi kökün kendisinin (parantez içinde) hala negatif olmayan bir sayı olduğu açıkça görülüyor! Ve işaretler denklemi çözmenin sonucu. Sonuçta, herhangi bir denklemi çözerken şunu yazmalıyız: Tüm x, orijinal denklemde yerine konduğunda doğru sonucu verecektir. Beşin kökü (pozitif!), hem artı hem de eksi içeren denklemimiz için uygundur.

Bunun gibi. Eğer sen sadece karekök al herhangi bir şeyden Her zaman elde etmek negatif olmayan bir sonuç. Örneğin:

Çünkü bu - aritmetik karekök.

Ancak, aşağıdaki gibi ikinci dereceden bir denklemi çözerseniz:

O Her zaman ortaya çıktı iki cevap (artı ve eksi ile):

Çünkü o bir denklemin çözümü.

Umut, karekök nedir Puanlarınızla doğru anladınız. Şimdi geriye köklerle neler yapılabileceğini, özelliklerinin neler olduğunu bulmak kaldı. Ve geçici hevesler ve su altı kutuları nelerdir ... afedersiniz, taşlar!)

Bütün bunlar - sonraki derslerde.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Okuryazarlığın alameti olan pek çok ilim arasında alfabe ilk sıralarda yer alır. Bir sonraki, aynı "işaret" öğesi, toplama-çarpma becerileri ve bunlara bitişik, ancak anlam bakımından tersine, çıkarma-bölme aritmetik işlemleridir. Uzaktan okul çocukluğunda öğrenilen beceriler gece gündüz sadakatle hizmet eder: TV, gazete, SMS ve okuduğumuz, yazdığımız, saydığımız, topladığımız, çıkardığımız, çarptığımız her yerde. Ve söyle bana, ülke dışında sık sık hayatta kök salmak zorunda kaldın mı? Mesela 12345 sayısının karekökü gibi böylesine eğlenceli bir problem... Barut şişelerinde hala barut var mı? Yapabilir miyiz? Evet, daha kolay bir şey yok! Hesap makinem nerede ... Ve onsuz, göğüs göğüse, zayıf mı?

İlk olarak, bunun ne olduğunu açıklayalım - bir sayının karekökü. Genel olarak konuşursak, "bir sayıdan kök çıkarmak", bir kuvvete yükseltmenin tersi aritmetik işlemi gerçekleştirmek anlamına gelir - burada yaşam uygulamasında karşıtların birliğine sahipsiniz. diyelim ki kare, bir sayının kendi başına bir çarpımıdır, yani okulda öğrettikleri gibi, X * X = A veya başka bir gösterimde X2 = A ve kelimelerle - "X kare eşittir A". O zaman ters problem şuna benzer: A sayısının karekökü, karesi alındığında A'ya eşit olan X sayısıdır.

Karekökün çıkarılması

Okuldaki aritmetik dersinden, ilk dört aritmetik işlemi kullanarak herhangi bir hesaplama yapmaya yardımcı olan "bir sütunda" hesaplama yöntemleri bilinmektedir. Ne yazık ki ... Kare için ve sadece kare değil, bu tür algoritmaların kökleri yoktur. Ve bu durumda, hesap makinesi olmadan karekök nasıl çıkarılır? Karekökün tanımına dayanarak, yalnızca bir sonuç vardır - sonucun değerini, karesi kök ifadenin değerine yaklaşan sayıların sıralı numaralandırmasıyla seçmek gerekir. Sadece ve her şey! Bir veya iki saat geçmeden önce, iyi bilinen herhangi bir karekök olan bir "sütun" ile çarpma yöntemi kullanılarak hesaplanabilir. Becerileriniz varsa, bunun için birkaç dakika yeterlidir. Çok gelişmiş olmayan bir hesap makinesi veya PC kullanıcısı bile bunu tek hamlede yapar - ilerleme.

Ancak cidden, kare kökün hesaplanması genellikle "topçu çatalı" tekniği kullanılarak yapılır: önce, karesi yaklaşık olarak kök ifadeye karşılık gelen bir sayı alırlar. "Karemiz" bu ifadeden biraz daha küçükse daha iyidir. Sonra sayıyı kendi beceri-anlayışlarına göre düzeltirler, örneğin iki ile çarparlar ve ... tekrar karesini alırlar. Sonuç, kökün altındaki sayıdan büyükse, orijinal sayıyı art arda ayarlayarak, kökün altındaki "meslektaşına" kademeli olarak yaklaşır. Gördüğünüz gibi - hesap makinesi yok, yalnızca "bir sütunda" sayma yeteneği. Tabii ki, karekökü hesaplamak için bilimsel olarak gerekçelendirilmiş ve optimize edilmiş birçok algoritma vardır, ancak "ev kullanımı" için yukarıdaki teknik sonuca% 100 güven verir.

Evet, neredeyse unutuyordum, artan okuryazarlığımızı doğrulamak için önceden belirtilen 12345 sayısının karekökünü hesaplıyoruz. Bunu adım adım yapıyoruz:

1. Tamamen sezgisel olarak X=100 alın. Hesaplayalım: X * X = 10000. Sezgi zirvede - sonuç 12345'ten küçük.

2. X = 120'yi tamamen sezgisel olarak da deneyelim. O zaman: X * X = 14400. Ve yine sezgiyle, sıra - sonuç 12345'ten fazladır.

3. Yukarıda, 100 ve 120'lik bir “çatal” elde edilir, yeni sayılar seçelim - 110 ve 115. Sırasıyla 12100 ve 13225 alırız - çatal daralır.

4. "Belki" X = 111'i deniyoruz. X * X = 12321 elde ederiz. Bu sayı zaten 12345'e oldukça yakındır. Bu kadar. Söz verildiği gibi - her şey çok basit ve hesap makinesi olmadan.

Biraz tarih...

Pisagor okulunun öğrencileri ve takipçileri olan Pisagorcular bile karekök kullanmayı düşündüler, MÖ 800. ve tam orada, sayılar alanında yeni keşiflerle "karşılaştı". Ve nereden geldi?

1. Kök çıkarma probleminin çözümü, sonucu yeni bir sınıfın sayıları şeklinde verir. Mantıksız, yani "mantıksız" olarak adlandırıldılar çünkü. tam sayı olarak yazılmazlar. Bu türün en klasik örneği, 2'nin kareköküdür. Bu durum, bir kenarı 1'e eşit olan bir karenin köşegeninin hesaplanmasına karşılık gelir - işte burada, Pisagor okulunun etkisi. Kenarların çok özel birim boyutuna sahip bir üçgende, hipotenüsün "sonu olmayan" bir sayı ile ifade edilen bir boyutu olduğu ortaya çıktı. Yani matematikte ortaya çıktı

2. Biliniyor ki Bu matematiksel işlemin bir yakalama daha içerdiği ortaya çıktı - kökü çıkarmak, kök ifadesinin pozitif veya negatif hangi sayının hangi karesi olduğunu bilmiyoruz. Bu belirsizlik, bir işlemin çifte sonucu yazılır.

Bu fenomenle ilişkili problemlerin incelenmesi, matematiksel fizikte büyük pratik öneme sahip olan karmaşık değişken teorisi adı verilen matematikte bir yön haline geldi.

Kökün - radikal - tanımının aynı her yerde bulunan I. Newton tarafından "Evrensel Aritmetik" te kullanılmış olması ve kök yazmanın tam olarak modern biçiminin 1690'dan beri Fransız Roll'un "Cebir Kılavuzu" kitabından bilinmesi ilginçtir. ".