İkinci dereceden fonksiyon

İşlev f(x)=ax2+bx2+c, Nerede a, b, c- bazı gerçek sayılar ( A 0), çağrıldı ikinci dereceden fonksiyon. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğine denir parabol.

İkinci dereceden fonksiyon şu forma indirgenebilir:

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

ifade b2-4ac isminde ayrımcı kare üç terimli. İkinci dereceden bir fonksiyonun (1) formundaki temsiline seçim denir tam kare.

İkinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafiği

İkinci dereceden bir fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

Şu tarihte: B 0 fonksiyonu ne çift ne de tektir. Şu tarihte: B=0 ikinci dereceden fonksiyon - çift.

İkinci dereceden bir fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca süreklidir ve türevlenebilir.

Fonksiyonun tek bir kritik noktası vardır

x=-b/(2a). Eğer A>0, o zaman bu noktada x=-b/(2a) fonksiyonun minimumu vardır. Şu tarihte: X<-b/(2a) fonksiyon monoton olarak azalır, x>-b/(2a) monoton olarak artar.

Eğer A<0, то в точке x=-b/(2a) fonksiyonun bir maksimumu vardır. Şu tarihte: X<-b/(2a) fonksiyon monoton olarak artar, x>-b/(2a) monoton olarak azalır.

Apsisli ikinci dereceden bir fonksiyonun nokta grafiği x=-b/(2a) ve koordine etmek y= -((b2-4ac)/4a) isminde parabolün tepe noktası.

İşlev değiştirme alanı: ne zaman A>0 - fonksiyon değerleri seti [-((b2-4ac)/4a); +); en A<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği eksenle kesişiyor 0 yıl noktada y=c. Eğer b2-4ac>0, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği eksenle kesişiyor 0x iki noktada (ikinci dereceden denklemin farklı gerçek kökleri); Eğer b2-4ac=0 (ikinci dereceden denklemçokluğun bir kökü vardır 2), ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği eksene değiyor 0x noktada x=-b/(2a); Eğer b2-4ac<0 , eksenle kesişmeler 0x HAYIR.

İkinci dereceden bir fonksiyonun (1) formundaki gösteriminden, fonksiyonun grafiğinin düz çizgiye göre simetrik olduğu sonucu çıkar. x=-b/(2a)- paralel öteleme sırasında ordinat ekseninin görüntüsü r=(-b/(2a); 0).

Bir fonksiyonun grafiği

f(x)=ax2+bx+c

• (veya f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) bir fonksiyonun grafiğinden elde edilebilir f(x)=x2 aşağıdaki dönüşümlerle:
  • a) paralel transfer r=(-b/(2a); 0);
  • b) x ekseni c'ye sıkıştırma (veya uzatma) A bir kere;
  • c) paralel transfer

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Üstel fonksiyon

Üstel fonksiyon formun bir fonksiyonu denir f(x)=ax, Nerede A- çağrılan bazı pozitif gerçek sayılar derecenin temeli.Şu tarihte: a=1 argümanın herhangi bir değeri için üstel fonksiyonun değeri bire eşittir ve durum A=1 daha fazla dikkate alınmayacaktır.

Üstel fonksiyonun özellikleri.

Bir fonksiyonun tanım alanı sayı doğrusunun tamamıdır.

Bir fonksiyonun tanım kümesi tüm pozitif sayıların kümesidir.

Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca süreklidir ve türevlenebilirdir. Üstel fonksiyonun türevi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

(A x) = A xln A

Şu tarihte: A>1 fonksiyonu monoton olarak artar, A<1 монотонно убывает.

Üstel fonksiyonun logaritmik fonksiyon adı verilen ters bir fonksiyonu vardır.

Herhangi bir üstel fonksiyonun grafiği eksenle kesişir 0 yıl noktada sen=1.

Üstel bir fonksiyonun grafiği içbükey olarak yukarı doğru yönlendirilmiş bir eğridir.

Değerdeki üstel fonksiyonun grafiği A=2 Şekil 2'de gösterilmektedir. 5

Logaritmik fonksiyon

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu y= A x denir logaritmik ve belirtmek

y=loga x.

Sayı A isminde temel logaritmik fonksiyon. 10 tabanına sahip logaritmik bir fonksiyon şu şekilde gösterilir:

ve tabanı olan logaritmik bir fonksiyon e belirtmek

Logaritmik fonksiyonun özellikleri

Logaritmik fonksiyonun tanım alanı (0; +) aralığıdır.

Logaritmik fonksiyonun aralığı sayısal aralığın tamamıdır.

Logaritmik fonksiyon tüm tanım alanı boyunca süreklidir ve türevlenebilirdir. Logaritmik bir fonksiyonun türevi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

(loga x) = 1/(x ln a).

Logaritmik bir fonksiyon monoton olarak artarsa A>1. 0'da<A<1 логарифмическая функция с основанием A monoton olarak azalır. Herhangi bir nedenle A>0, A 1, eşitlikler geçerlidir

loga 1 = 0, loga =1.

Şu tarihte: A>1 logaritmik fonksiyonun grafiği - içbükey olarak aşağıya doğru yönlendirilmiş bir eğri; 0'da<A<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Logaritmik fonksiyonun grafiği A=2 Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.

Temel logaritmik kimlik

Üstel fonksiyon için ters fonksiyon y= A x logaritmik bir fonksiyon olacaktır x =log A y. Karşılıklı ters f ve f-I fonksiyonlarının özelliklerine göre herkes için X f-I(x) fonksiyonunun tanım alanından. Özellikle üstel ve logaritmik bir fonksiyon için eşitlik (1) şu şekli alır:

A kayıt A y=y.

Eşitlik (2) sıklıkla denir temel logaritmik kimlik. Herhangi bir olumlu için x, y logaritmik fonksiyon için, ana logaritmik özdeşliğin (2) ve üstel fonksiyonun özelliklerinin sonuçları olarak elde edilebilecek aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga(x)= logax(- herhangi bir gerçek sayı);

loga=1;

loga x =(logb x/ logb a) (B- gerçek sayı, b>0, B 1).

Özellikle son formülden a=e, b=10 eşitliği elde ederiz

lnx = (1/(ln e))lg X.(3)

LG numarası e doğal logaritmalardan ondalık sayılara geçiş modülü denir ve M harfi ile gösterilir ve formül (3) genellikle şu şekilde yazılır:

lgx =M lnx.

Ters orantılı ilişki

Değişken sen isminde ters orantı değişken X, eğer bu değişkenlerin değerleri eşitlikle ilişkiliyse y = k/x, Nerede k- sıfırdan farklı bir gerçek sayı. Sayı k ters orantı katsayısı denir.

y = k/x fonksiyonunun özellikleri

Bir fonksiyonun tanım kümesi, 0 dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.

Bir fonksiyonun tanım kümesi, 0 dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.

İşlev f(x) = k/x- tektir ve grafiği orijine göre simetriktir. İşlev f(x) = k/x Tanım alanının tamamı boyunca sürekli ve farklılaşabilir. f(x) = -k/x2. Fonksiyonun kritik noktası yoktur.

İşlev f(x) = k/x k>0 için (-, 0) ve (0, +)'da monoton olarak azalır ve k için<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Bir fonksiyonun grafiği f(x) = k/x k>0 için, (0, +) aralığında içbükey olarak yukarıya doğru, (-, 0) - aralığında ise içbükey olarak aşağıya doğru yönlendirilir. K'da<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Bir fonksiyonun grafiği f(x) = k/x değer için k=1 Şekil 2’de gösterilmektedir. 7.

trigonometrik fonksiyonlar

Sin, cos, tg, ctg fonksiyonları arandı trigonometrik fonksiyonlar köşe. Sin, cos, tg, ctg gibi ana trigonometrik fonksiyonlara ek olarak, açının iki trigonometrik fonksiyonu daha vardır - sekant Ve kosekant, belirtilen saniye Ve kosaniye sırasıyla.

Sinüs sayılar X radyan cinsinden açının sinüsüne eşit sayıdır.

Sin x fonksiyonunun özellikleri.

sin x fonksiyonu tektir: sin (-x)=- sin x.

Sin x fonksiyonu periyodiktir. En küçük pozitif periyot 2'dir:

günah (x+2)= günah x.

Fonksiyonun sıfırları: sin x=0 at x= n, n Z.

İmza tutarlılığı aralıkları:

x'te günah x>0 (2 N; +2N), N Z,

günah x<0 при x (+2N; 2+2N), N Z.

sin x fonksiyonu süreklidir ve argümanın herhangi bir değeri için bir türevi vardır:

(sin x) =cos x.

sin x fonksiyonu x ((-/2)+2 kadar artar N;(/2)+2N), N Z ve x ((/2)+2 kadar azalır N; ((3)/2)+ 2N),N Z.

sin x fonksiyonu x=(-/2)+2'de -1'e eşit minimum değerlere sahiptir N, N Z ve x=(/2)+2'de maksimum değerler 1'e eşittir N, N Z.

Y=sin x fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 8. sin x fonksiyonunun grafiği denir sinüzoid.

cos x fonksiyonunun özellikleri

Tanım alanı tüm gerçek sayılar kümesidir.

Değer aralığı [-1; 1].

Cos x - çift fonksiyonu: cos (-x)=cos x.

cos x fonksiyonu periyodiktir. En küçük pozitif periyot 2'dir:

çünkü (x+2)= çünkü x.

Fonksiyonun sıfırları: cos x=0, x=(/2)+2'de n, n Z.

İmza tutarlılığı aralıkları:

çünkü x>0, x'te ((-/2)+2 N;(/2)+2N)), N Z,

çünkü x<0 при x ((/2)+2N); ((3)/2)+ 2N)), N Z.

cos x fonksiyonu süreklidir ve argümanın herhangi bir değeri için türevlenebilir:

(cos x) = -sin x.

cos x fonksiyonu x (-+2) kadar artar N; 2N), N Z,

ve x (2) kadar azalır N; + 2N),N Z.

cos x fonksiyonu x=+2'de -1'e eşit minimum değerlere sahiptir N, N Z ve x=2'de maksimum değerler 1'e eşittir N, N Z.

Y=cos x fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 9.

tg x fonksiyonunun özellikleri

Bir fonksiyonun tanım kümesi x=/2+ hariç tüm gerçek sayılar kümesidir N, N Z.

Fonksiyon tg x - tek: tg (-x)=- tg x.

tg x fonksiyonu periyodiktir. Fonksiyonun en küçük pozitif periyodu:

tg (x+)= tg x.

Fonksiyonun sıfırları: tg x=0 at x= n, n Z.

İmza tutarlılığı aralıkları:

tan x>0 x'te ( N; (/2)+N), N Z,

tg x<0 при x ((-/2)+N; N), N Z.

tg x fonksiyonu süreklidir ve tanım alanındaki argümanın herhangi bir değeri için türevlenebilir:

(tg x) =1/cos2 x.

tg x fonksiyonu her aralıkta artar

((-/2)+n; (/2)+n), nZ,

y=tg x fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 10. tg x fonksiyonunun grafiği denir tanjantoid.

сtg x fonksiyonunun özellikleri.

N, N Z.

Aralık tüm gerçek sayıların kümesidir.

Fonksiyon сtg x - tek: сtg (-х)=- сtg x.

сtg x fonksiyonu periyodiktir. Fonksiyonun en küçük pozitif periyodu:

ctg (x+) = ctg x.

Fonksiyonun sıfırları: ctg x=0 at x=(/2)+ n, n Z.

İmza tutarlılığı aralıkları:

karyola x>0 x'te ( N; (/2)+N), N Z,

ctg x<0 при x ((/2)+N; (N+1)), N Z.

Ctg x fonksiyonu süreklidir ve tanım alanındaki argümanın herhangi bir değeri için türevlenebilir:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

ctg x fonksiyonu her aralıkta azalır ( N;(N+1)), N Z.

y=сtg x fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. on bir.

sec x fonksiyonunun özellikleri.

Bir fonksiyonun tanım kümesi, formdaki sayılar dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.

x=(/2)+ N, N Z.

Kapsam:

Fonksiyon sn x - çift: sn (-x)= sn x.

sec x fonksiyonu periyodiktir. Fonksiyonun en küçük pozitif periyodu 2'dir:

saniye (x+2)= saniye x.

sec x fonksiyonu argümanın herhangi bir değeri için sıfıra gitmez.

İmza tutarlılığı aralıkları:

sn x>0 at x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

saniye x<0 при x ((/2)+2N; (3/2)+2N), N Z.

sec x fonksiyonu süreklidir ve fonksiyonun tanım kümesindeki argümanın herhangi bir değeri için türevlenebilir:

(sn x) = sin x/cos2 x.

sec x fonksiyonu aralıklarla artar

(2N;(/2)+ 2N), ((/2)+ 2N; + 2N],N Z,

ve arada azalır

[+ 2N; (3/2)+ 2N), ((3/2)+ 2N; 2(N+1)], N Z.

y=snx fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 12.

cosec x fonksiyonunun özellikleri

Bir fonksiyonun tanım kümesi, x= biçimindeki sayılar dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir. N, N Z.

Kapsam:

Fonksiyon kosec x - tek: kosec (-x)= -cosec x.

cosec x fonksiyonu periyodiktir. Fonksiyonun en küçük pozitif periyodu 2'dir:

kosec (x+2)= kosec x.

cosec x fonksiyonu argümanın herhangi bir değeri için sıfıra gitmez.

İmza tutarlılığı aralıkları:

x'te kosec x>0 (2 N; +2N), N Z,

kosec x<0 при x (+2N; 2(N+1)), N Z.

cosec x fonksiyonu süreklidir ve fonksiyonun tanım kümesindeki argümanın herhangi bir değeri için türevlenebilir:

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

cosec x fonksiyonu aralıklarla artar

[(/2)+ 2N;+ 2N), (+ 2N; (3/2)+ 2N],N Z,

ve arada azalır

(2N; (/2)+ 2N], ((3/2)+ 2N; 2+2N), N Z.

Y=cosec x fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 13.

a,b,c'nin bazı gerçek sayılar olduğu, a'nın sıfır olmadığı ve x,y'nin değişken olduğu y =a*x^2+b*x+c formundaki bir fonksiyona ikinci dereceden fonksiyon denir. İkinci dereceden y =a*x^2+b*x+c fonksiyonunun grafiği matematikte adı verilen bir doğrudur. parabol. Bir parabolün genel görünümü aşağıdaki şekilde sunulmuştur.

Bir fonksiyonun katsayısı a>0 ise, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve eğer ikinci dereceden fonksiyonun grafiği simetri eksenine göre simetrikse, şunu belirtmek gerekir. Parabolün simetri ekseni Oy eksenine paralel x=(-b)/(2*a) noktasından çizilen düz çizgidir.

Parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Aşağıdaki şekil keyfi ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini göstermektedir. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin çizilmesi. Şekilde parabolün tepe noktası ve simetri ekseni de işaretlenmiştir.

A katsayısının değerine bağlı olarak parabolün tepesi ikinci dereceden fonksiyonun minimum veya maksimum değeri olacaktır. a>0 olduğunda tepe noktası ikinci dereceden fonksiyonun minimum değeridir ve maksimum değeri yoktur. a olduğunda simetri ekseni parabolün tepe noktasından geçer. İkinci dereceden bir fonksiyonun tanım alanı, R gerçek sayılar kümesinin tamamıdır.

İkinci dereceden y =a*x^2+b*x+c fonksiyonu her zaman y=a*(x+k)^2+p biçimine dönüştürülebilir; burada k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Bunu yapmak için tam bir kare seçmeniz gerekir.

Koordinatları (-k;p) olan noktanın parabolün tepe noktası olacağını lütfen unutmayın. İkinci dereceden y=a*(x+k)^2+p fonksiyonunun grafiği, paralel çeviri kullanılarak y=a*x^2 fonksiyonunun grafiğinden elde edilebilir.

Çalışmalarınızda yardıma mı ihtiyacınız var?