Matrisler, sınıflandırılması, matrisler üzerinde aritmetik işlemler. matrisler. Matrislerin temel tanımları ve türleri. Matrisler üzerindeki işlemler. Bir matrisin rankı kavramı. Matrisler üzerinde işlemler. Ters matris kavramı ve bulma Özel matris türleri

Matris, matematikte özel bir nesnedir. Belirli sayıda satır ve sütundan oluşan dikdörtgen veya kare bir tablo şeklinde tasvir edilmiştir. Matematikte, boyut veya içerik bakımından farklılık gösteren çok çeşitli matris türleri vardır. Satır ve sütunlarının sayılarına emir denir. Bu nesneler, matematikte lineer denklem sistemlerinin yazımını organize etmek ve sonuçlarını uygun bir şekilde aramak için kullanılır. Bir matris kullanan denklemler, Carl Gauss, Gabriel Cramer yöntemi, küçükler ve cebirsel toplamalar ve diğer birçok yol kullanılarak çözülür. Matrislerle çalışırken temel beceri, azaltmaktır. Ancak, önce matematikçiler tarafından hangi tür matrislerin ayırt edildiğini bulalım.

sıfır tipi

Bu tür bir matrisin tüm bileşenleri sıfırdır. Bu arada, satır ve sütunlarının sayısı kesinlikle farklıdır.

kare tipi

Bu tip matrisin sütun ve satır sayısı aynıdır. Diğer bir deyişle "kare" şeklinde bir masadır. Sütunlarının (veya satırlarının) sayısına sıra denir. Özel durumlar, ikinci mertebeden (matris 2x2), dördüncü mertebeden (4x4), onuncu mertebeden (10x10), on yedinci mertebeden (17x17) vb. bir matrisin varlığıdır.

Kolon vektörü

Bu, üç sayısal değer içeren yalnızca bir sütun içeren en basit matris türlerinden biridir. Doğrusal denklem sistemlerinde bir dizi serbest terimi (değişkenlerden bağımsız sayılar) temsil eder.

Bir öncekine benzer görünüm. Sırayla bir satırda düzenlenmiş üç sayısal öğeden oluşur.

çapraz tip

Matrisin köşegen biçimindeki sayısal değerler, yalnızca ana köşegenin bileşenlerini alır (yeşil renkle vurgulanır). Ana köşegen, sırasıyla sol üst köşedeki elemandan başlar ve sağ alt köşedeki elemanla biter. Geri kalan parçalar sıfırdır. Köşegen tipi, yalnızca bir düzenin kare matrisidir. Köşegen formdaki matrisler arasında, bir skaler seçilebilir. Tüm bileşenleri aynı değerleri alır.

Köşegen matrisin bir alt türü. Tüm sayısal değerleri birimdir. Tek tip matris tabloları kullanılarak, temel dönüşümleri gerçekleştirilir veya orijinaline ters olan bir matris bulunur.

kanonik tip

Matrisin kanonik formu ana formlardan biri olarak kabul edilir; çalışmak için genellikle ona döküm yapmak gerekir. Kanonik matristeki satır ve sütun sayısı farklıdır, mutlaka kare tipine ait değildir. Bir şekilde birim matrise benzer, ancak bu durumda ana köşegenin tüm bileşenleri bire eşit bir değer almaz. İki veya dört ana köşegen birim olabilir (hepsi matrisin uzunluğuna ve genişliğine bağlıdır). Veya hiç birim olmayabilir (o zaman sıfır kabul edilir). Kanonik türün geri kalan bileşenleri ile köşegen ve birim türlerinin öğeleri sıfıra eşittir.

üçgen tip

Determinantını ararken ve basit işlemler gerçekleştirirken kullanılan en önemli matris türlerinden biri. Üçgen tip, köşegen tipten gelir, dolayısıyla matris de karedir. Matrisin üçgen görünümü üst üçgen ve alt üçgen olarak ayrılmıştır.

Üst üçgen matriste (Şekil 1), yalnızca ana köşegenin üzerinde kalan elemanlar sıfıra eşit bir değer alır. Köşegenin bileşenleri ve matrisin altındaki kısım sayısal değerler içerir.

Alt üçgen matriste (Şekil 2) ise tam tersine matrisin alt kısmında yer alan elemanlar sıfıra eşittir.

Form, bir matrisin sırasını bulmak ve ayrıca bunlar üzerinde temel işlemler yapmak için gereklidir (üçgen tiple birlikte). Adım matrisi, sıfırların karakteristik "adımlarını" içerdiği için böyle adlandırılmıştır (şekilde gösterildiği gibi). Kademeli tipte, bir sıfır köşegeni oluşturulur (mutlaka ana köşegen değildir) ve bu köşegenin altındaki tüm öğelerin de sıfıra eşit değerleri vardır. Ön koşul şudur: adım matrisinde sıfır satırı varsa, bunun altındaki kalan satırlar da sayısal değerler içermez.

Bu nedenle, onlarla çalışmak için gereken en önemli matris türlerini ele aldık. Şimdi bir matrisi gerekli forma dönüştürme göreviyle ilgilenelim.

Üçgen forma indirgeme

Matris üçgen bir forma nasıl getirilir? Çoğu zaman, ödevlerde, determinant olarak adlandırılan determinantını bulmak için bir matrisi üçgen forma dönüştürmeniz gerekir. Bu prosedürü gerçekleştirirken, matrisin ana köşegenini "korumak" son derece önemlidir, çünkü üçgen matrisin determinantı tam olarak ana köşegen bileşenlerinin ürünüdür. Determinantı bulmak için alternatif yöntemleri de hatırlatayım. Kare tipi determinant, özel formüller kullanılarak bulunur. Örneğin, üçgen yöntemini kullanabilirsiniz. Diğer matrisler için satıra, sütuna veya bunların elemanlarına göre ayrıştırma yöntemi kullanılır. Ayrıca matrisin minör ve cebirsel tümleyen yöntemini de uygulayabilirsiniz.

Bazı görevlerin örneklerini kullanarak bir matrisi üçgen forma getirme sürecini ayrıntılı olarak inceleyelim.

1. Egzersiz

Sunulan matrisin determinantını üçgen forma getirme yöntemini kullanarak bulmak gerekir.

Bize verilen matris üçüncü dereceden bir kare matristir. Bu nedenle üçgen forma dönüştürmek için birinci sütunun iki bileşenini ve ikinci sütunun bir bileşenini yok etmemiz gerekiyor.

Üçgen forma getirmek için dönüşüme matrisin sol alt köşesinden - 6 sayısından başlıyoruz. Sıfıra çevirmek için ilk satırı üç ile çarpıyoruz ve son satırdan çıkarıyoruz.

Önemli! Üst satır değişmez, ancak orijinal matristeki ile aynı kalır. Orijinalin dört katı bir dizi yazmanıza gerek yoktur. Ancak bileşenleri sıfıra ayarlanması gereken satırların değerleri sürekli değişiyor.

Yalnızca son değer kalır - ikinci sütunun üçüncü satırının öğesi. Bu sayı (-1). Sıfıra çevirmek için ikinci satırı birinci satırdan çıkarın.

Hadi kontrol edelim:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Dolayısıyla, görevin cevabı: -22.

Görev 2

Matrisin determinantını üçgen forma getirerek bulmak gerekir.

Sunulan matris kare tipine aittir ve dördüncü dereceden bir matristir. Bu, birinci sütunun üç bileşenini, ikinci sütunun iki bileşenini ve üçüncünün bir bileşenini yok etmek gerektiği anlamına gelir.

Sol alt köşede bulunan elemandan - 4 numaradan - atmaya başlayalım. Bu sayıyı sıfıra çevirmemiz gerekiyor. Bunu yapmanın en kolay yolu, üst satırı dörtle çarpmak ve ardından onu dördüncü satırdan çıkarmaktır. Dönüşümün ilk aşamasının sonucunu yazalım.

Böylece, dördüncü satırın bileşeni sıfıra ayarlanır. Üçüncü satırın ilk elemanı olan 3 rakamına geçelim. Benzer bir işlem yapıyoruz. İlk satırı üçle çarpın, üçüncü satırdan çıkarın ve sonucu yazın.

Ana köşegenin dönüşüm gerektirmeyen bir elemanı olan 1 sayısı dışında, bu kare matrisin ilk sütununun tüm bileşenlerini sıfıra ayarlamayı başardık. Şimdi elde edilen sıfırları korumak önemlidir, bu nedenle dönüşümleri sütunlarla değil satırlarla gerçekleştireceğiz. Sunulan matrisin ikinci sütununa geçelim.

En alttan başlayalım - son satırın ikinci sütununun öğesinden. Bu sayı (-7). Bununla birlikte, bu durumda, üçüncü satırın ikinci sütununun öğesi olan (-1) sayısıyla başlamak daha uygundur. Sıfıra çevirmek için ikinci satırı üçüncü sıradan çıkarın. Sonra ikinci satırı yedi ile çarpar ve dördüncüden çıkarırız. İkinci sütunun dördüncü satırında yer alan eleman yerine sıfır aldık. Şimdi üçüncü sütuna geçelim.

Bu sütunda sadece bir sayıyı sıfıra çevirmemiz gerekiyor - 4. Bunu yapmak zor değil: sadece üçüncüyü son satıra ekleyin ve ihtiyacımız olan sıfırı görün.

Tüm dönüşümlerden sonra, önerilen matrisi üçgen bir forma getirdik. Şimdi, determinantını bulmak için, sadece ana köşegenin elde edilen elemanlarını çarpmanız gerekiyor. Biz: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Bu nedenle çözüm 160 sayısıdır.

Yani şimdi matrisi üçgen forma getirme sorusu işinizi zorlaştırmayacaktır.

Basamaklı forma indirgeme

Matrisler üzerindeki temel işlemler için basamaklı biçim, üçgen biçime göre daha az "talep edilir". En yaygın olarak bir matrisin sırasını (yani sıfır olmayan satırlarının sayısını) bulmak veya doğrusal olarak bağımlı ve bağımsız satırları belirlemek için kullanılır. Bununla birlikte, matrisin kademeli görünümü, yalnızca kare tipi için değil, diğer herkes için uygun olduğundan daha çok yönlüdür.

Bir matrisi kademeli bir forma indirgemek için önce onun determinantını bulmanız gerekir. Bunun için yukarıdaki yöntemler uygundur. Determinantı bulmanın amacı, bir basamak matrisine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini bulmaktır. Determinant sıfırdan büyük veya küçükse, göreve güvenle devam edebilirsiniz. Sıfıra eşitse, matrisi kademeli bir forma indirgemek işe yaramaz. Bu durumda, kayıtta veya matris dönüşümlerinde herhangi bir hata olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Böyle bir yanlışlık yoksa, görev çözülemez.

Çeşitli görevlerin örneklerini kullanarak matrisin kademeli bir forma nasıl getirileceğini düşünelim.

1. Egzersiz. Verilen matris tablosunun rankını bulunuz.

Önümüzde üçüncü dereceden (3x3) bir kare matris var. Rütbeyi bulmak için basamaklı forma indirgemek gerektiğini biliyoruz. Bu nedenle, önce matrisin determinantını bulmamız gerekir. Üçgen yöntemini kullanalım: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant = 12. Sıfırdan büyüktür, yani matris kademeli forma indirgenebilir. Onu dönüştürmeye başlayalım.

Üçüncü satırın sol sütununun elemanı - 2 sayısı ile başlayalım. En üstteki satırı iki ile çarpıyoruz ve üçüncüden çıkarıyoruz. Bu işlem sayesinde hem ihtiyacımız olan eleman hem de üçüncü satırın ikinci sütununun elemanı olan 4 sayısı sıfıra dönüştü.

İndirgeme sonucunda üçgen bir matris oluştuğunu görüyoruz. Bizim durumumuzda, kalan bileşenler sıfıra çevrilemeyeceği için dönüşüme devam edilemez.

Böylece, bu matriste (veya sıralamasında) sayısal değerler içeren satır sayısının 3 olduğu sonucuna varıyoruz. Görevin cevabı: 3.

Görev 2. Verilen matrisin doğrusal olarak bağımsız satır sayısını belirleyin.

Herhangi bir dönüşümle sıfıra dönüştürülemeyen bu tür dizileri bulmamız gerekiyor. Aslında, sıfır olmayan satırların sayısını veya temsil edilen matrisin sırasını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için basitleştirelim.

Kare tipine ait olmayan bir matris görüyoruz. 3x4 ölçüleri vardır. Dökümü sol alt köşedeki elemandan da başlatalım - sayı (-1).

Daha fazla dönüşüm mümkün değildir. Böylece, içindeki doğrusal olarak bağımsız çizgilerin sayısı ve görevin cevabının 3 olduğu sonucuna varıyoruz.

Artık matrisi kademeli bir forma getirmek sizin için imkansız bir iş değil.

Bu görevlerin örnekleri üzerinde, bir matrisin üçgen forma ve basamaklı forma indirgenmesini inceledik. Matris tablolarının istenen değerlerini geçersiz kılmak için bazı durumlarda hayal gücünü göstermek ve sütunlarını veya satırlarını doğru bir şekilde dönüştürmek gerekir. Matematikte ve matrislerle çalışmada iyi şanslar!

Matris kavramı / tanımı. matris türleri

Matris tanımı. Bir matris, belirli sayıda m satır ve belirli sayıda n sütun içeren dikdörtgen bir sayı tablosudur.

Bir matrisin temel kavramları: m ve n sayılarına matrisin mertebeleri denir. m=n ise matrise denir kare, ve m=n sayısı onun sırasıdır.

Gelecekte, matrisi yazmak için notasyon kullanılacaktır: Notasyon bazen literatürde bulunsa da: Bununla birlikte, matrisin kısa bir tanımı için, genellikle Latin alfabesinin bir büyük harfi (örneğin, A) veya ||aij|| sembolü ve bazen bir açıklama ile birlikte kullanılır: A=||aij|| =(aij) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

Bu matriste yer alan aij sayılarına elemanları denir. aij gösteriminde, birinci indeks i satır numarasıdır ve ikinci indeks j sütun numarasıdır.

örneğin, matris 2×3 bir matristir, elemanları a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, …

Böylece, bir matrisin tanımını tanıttık. Matris türlerini göz önünde bulundurun ve bunlara karşılık gelen tanımları verin.

matris türleri

Matris kavramını tanıtalım: kare, köşegen, birim ve sıfır.

Kare matrisin tanımı: Kare matris n'inci mertebe n × n matrisi olarak adlandırılır.

Kare matris durumunda ana ve ikincil köşegen kavramları tanıtılır. Matrisin ana köşegeni matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine giden köşegen denir. yan köşegen aynı matrisin sol alt köşesinden sağ üst köşesine giden köşegene denir. Köşegen matris kavramı: Diyagonal ana köşegen dışındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matristir. Kimlik matrisi kavramı: yalnız(E bazen I olarak gösterilir), ana köşegen üzerinde birler bulunan köşegen matris olarak adlandırılır. Sıfır matris kavramı: Hükümsüz tüm elemanları sıfıra eşit olan bir matristir. A ve B matrisleri, aynı boyuttalarsa (yani, aynı sayıda satıra ve aynı sayıda sütuna sahiplerse ve bunlara karşılık gelen elemanlar eşitse) eşit (A=B) olarak adlandırılır. Yani eğer a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22 ise A=B

Bu materyal siteden alınmıştır. yüksek matematik.ru

FEDERAL DEVLET BÜTÇELİ YÜKSEKÖĞRETİM EĞİTİM KURUMU

"ÖRENBURG DEVLET TARIM ÜNİVERSİTESİ"

Sandalye " Bilgisayar Bilimi ve Uygulamalı Matematik »

ÖĞRENCİLER İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR

DİSİPLİNE ÜSTÜN OLMAK İÇİN

Matematik

Eğitim yönü (uzmanlık): 040400Sosyal hizmet (lisans düzeyinde)

Eğitim programının profili Sosyal çalışma

Çalışma şekli: yazışma

Orenburg 2016

1. Ders notları……………………………………………………...

1.1 Ders #1……………………....................................

1.2 Ders #2…………………………………….

1.3 Ders #3………………………………………

1.4 Ders No. 4………………………………………………….

1.5 Ders No. 5……………………

1.6 Ders No. 6………………………………………..

1.7 Ders No.7 ……………………………………………………………………..….

1.8 Ders No. 8.……………………...…………………………….

9. Ders

2. Uygulamalı dersler yürütmek için yönergeler………

2.1 Pratik ders No. ПЗ -1………………….

2.2 Pratik ders No. ПЗ -2 ……………………

2.3 Pratik ders №ПЗ -3……………………...

2.4 Pratik ders No. ПЗ -4……………………...

2.5 Pratik ders No. ПЗ -5……………………..

2.6 Pratik ders №ПЗ -6 ………………………………………………….

2.7 Pratik ders No. ПЗ -7…………………………………………………….

2.8 Pratik ders No. ПЗ -8…………………………………………………...

2.9 Pratik ders No. ПЗ -9……………………………………………………...

2.10 Pratik ders No. ПЗ -10…………………..

2.11 Uygulamalı ders No. ПЗ -11……………………..

2.12 Uygulamalı ders No. ПЗ -12………………………………………………..

2.13 Pratik ders No. ПЗ -13………………………………………………….

2.14 Pratik ders No. ПЗ -14-15………………………………………………

2.15 Pratik ders No. ПЗ - 16………………

2.16Pratik ders No. ПЗ - 17………………

2.17Pratik ders No. ПЗ - 18 ………………

DERS NOTLARI

1.1 Ders 1(2 saat)

Ders: Matrisler ve determinantlar teorisinin unsurları. Doğrusal cebirin öğeleri. Analitik Geometrinin Unsurları

1.1.1 Ders soruları:

1.Matrisler, sınıflandırılması, matrisler üzerinde aritmetik işlemler.

2. 2. ve 3. dereceden determinantlar, hesaplama yöntemleri.

3. Doğrusal denklem sistemleri, çözüm yöntemleri.

4. Düzlemde doğru denklemi, düzlemde düz çizgi yerleştirme yolları.

1.1.2. Soruların özeti:

Matrisler, sınıflandırılması, matrisler üzerinde aritmetik işlemler.

Matris n satır ve m sütundan oluşan tabloya denir. Matris öğeleri sayılar veya diğer matematiksel nesneler olabilir.

bir= B= Ç=

içeren dikdörtgen tablo Tçizgiler P gerçek sayıların sütunlarına denir sayısal matris.

Ve m ´ n =
.

Matrisi oluşturan ij sayılarına matris denir. elementler, burada i=1,2,…m satır numarası, j=1,2,…n sütun numarasıdır.

Matrisler Latin alfabesinin büyük harfleri A, B, C ... ile, elemanlar küçük harflerle gösterilir.

Bir matrisin satır ve sütun sayısı, başka bir matrisin satır ve sütun sayısına eşitse, bunlara denir. tek boyutlu matrisler.

Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrise ne ad verilir? Kare matris. Boyutu n´n olan bir kare matrise matris denir n. sıra.

2 ´ 2 = - 2. dereceden kare matris

a 11 ana köşegenin 22 elemanı

a 12, ikincil köşegenin 21 elemanı

3 ´ 3 = 3. dereceden kare matris

a 11, a 22, a 33 ana köşegenin elemanları

a 13, a 22, a 31 ikincil çapraz elemanlar

Ana köşegenin üstündeki (altındaki) tüm elemanları sıfıra eşit olan bir kare matris denir üçgen matris.

Ana köşegenin elemanları hariç tüm elemanları sıfıra eşit olan bir kare matris denir Diyagonal matris.

B=

Sıfırdan farklı tüm elemanları birbirine eşit olan köşegen matrise denir. skaler matris.

Sıfır olmayan tüm elemanların 1'e eşit olduğu köşegen matrise denir kimlik matrisi.

e= 3. dereceden kimlik matrisi

Tüm elemanları sıfıra eşit olan bir matrise denir. sıfır matrisi (0).

bir= ; B=

Bir sayıdan oluşan 1´1 matrisi bu sayı ile tanımlanır, yani (5) 1 ´ 1, 5'tir.

tek boyutlu matrisler birbirine eşit, eğer bu matrislerin karşılık gelen tüm elemanları eşitse.

A -1 kare matrisi denir tersi A matrisine göre. ancak ve ancak A*A -1 =A -1 *A=E ise

Bu konuda, matris kavramının yanı sıra matris türlerini de ele alacağız. Bu konuda çok fazla terim olduğundan, materyalde gezinmeyi kolaylaştırmak için bir özet ekleyeceğim.

Bir matrisin tanımı ve elemanı. Gösterim.

Matris$m$ satır ve $n$ sütun içeren bir tablodur. Bir matrisin öğeleri, tamamen farklı nitelikteki nesneler olabilir: sayılar, değişkenler veya örneğin diğer matrisler. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ matrisinin 3 satırı ve 2 sütunu vardır; elemanları tam sayıdır. $\left(\begin(dizi) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(dizi) \right)$ matrisi 2 satır ve 4 sütun içerir.

Matris yazmanın farklı yolları: show\hide

Matris sadece yuvarlak parantez içinde değil, kare veya çift düz parantez içinde de yazılabilir. Aşağıda farklı gösterimde aynı matris var:

$$ \left(\begin(dizi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(dizi) \sağ);\;\; \left[ \begin(dizi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(dizi) \sağ]; \;\; \left \Vert \begin(dizi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(dizi) \right \Vert $$

$m\times n$ çarpımı denir matris boyutu. Örneğin, matris 5 satır ve 3 sütun içeriyorsa, $5\time 3$ matrisinden söz edilir. $\left(\begin(dizi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ matrisinin boyutu $3 \times 2$'dir.

Matrisler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir: $A$, $B$, $C$, vb. Örneğin, $B=\left(\begin(dizi) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Satır numaralandırma yukarıdan aşağıya doğru gider; sütunlar - soldan sağa. Örneğin, $B$ matrisinin ilk satırı 5 ve 3 öğelerini içerir ve ikinci sütun 3, -87, 0 öğelerini içerir.

Matrislerin elemanları genellikle küçük harflerle gösterilir. Örneğin, $A$ matrisinin elemanları $a_(ij)$ ile gösterilir. Çift dizin $ij$, matristeki öğenin konumu hakkında bilgi içerir. $i$ sayısı satır numarasıdır ve $j$ sayısı, kesişme noktasında $a_(ij)$ öğesinin bulunduğu sütunun numarasıdır. Örneğin, matrisin ikinci satırı ile beşinci sütununun kesiştiği noktada $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(dizi) \sağ)$ eleman $ a_(25)= $59:

Benzer şekilde, ilk satır ile ilk sütunun kesiştiği noktada $a_(11)=51$; üçüncü satır ile ikinci sütunun kesiştiği noktada - $a_(32)=-15$ öğesi vb. $a_(32)$ öğesinin "a üç iki" olarak okunduğunu ancak "a otuz iki" olarak okunmadığını unutmayın.

Boyutu $m\times n$'ye eşit olan $A$ matrisinin kısaltılmış gösterimi için $A_(m\times n)$ gösterimi kullanılır. Aşağıdaki gösterim sıklıkla kullanılır:

$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$

Burada $(a_(ij))$, $A$ matrisinin öğelerinin tanımını gösterir, yani $A$ matrisinin elemanlarının $a_(ij)$ olarak gösterildiğini söylüyor. Genişletilmiş biçimde, $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(dizi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(dizi) \right) $$

Başka bir terimi tanıtalım - eşit matrisler.

Aynı boyutta iki matris $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ olarak adlandırılır eşit karşılık gelen elemanları eşitse, yani Tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n)$ için $a_(ij)=b_(ij)$.

$i=\overline(1,m)$ girişi için açıklama: show\hide

"$i=\overline(1,m)$" girişi, $i$ parametresinin 1'den m'ye değiştiği anlamına gelir. Örneğin, $i=\overline(1,5)$ girişi, $i$ parametresinin 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini aldığını söylüyor.

Dolayısıyla, matrislerin eşitliği için iki koşul gereklidir: boyutların çakışması ve karşılık gelen elemanların eşitliği. Örneğin, $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ matrisi, matrise eşit değildir $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ çünkü $A$ matrisi $3\times 2$ ve $B$ matrisi 2$\çarpı 2$. Ayrıca $A$ matrisi $C=\left(\begin(dizi)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(dizi)\sağ) matrisine eşit değildir $ çünkü $a_( 21)\neq c_(21)$ (yani $0\neq 98$). Ancak $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ matrisi için, güvenle $A yazabiliriz =F$ çünkü $A$ ve $F$ matrislerinin hem boyutları hem de karşılık gelen öğeleri çakışıyor.

Örnek 1

Matrisin boyutunu belirleyin $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(dizi) \sağ)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ öğelerinin neye eşit olduğunu belirtin.

Bu matris 5 satır ve 3 sütun içerir, dolayısıyla boyutu $5\× 3$'dir. Bu matris için $A_(5\times 3)$ gösterimi de kullanılabilir.

$a_(12)$ öğesi birinci satır ile ikinci sütunun kesişim noktasındadır, yani $a_(12)=-2$. $a_(33)$ öğesi üçüncü satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasındadır, yani $a_(33)=23$. $a_(43)$ öğesi dördüncü satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasındadır, yani $a_(43)=-5$.

Cevap: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Boyutlarına bağlı olarak matris türleri. Ana ve yan köşegenler. Matris izi.

Bazı $A_(m\times n)$ matrisi verilsin. $m=1$ ise (matris bir satırdan oluşuyor), verilen matrise denir. matris satırı. $n=1$ ise (matris bir sütundan oluşur), o zaman böyle bir matris denir sütun matrisi. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ bir satır matrisidir ve $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(dizi) \sağ)$ - sütun matrisi.

$A_(m\times n)$ matrisi için $m\neq n$ koşulu doğruysa (yani, satır sayısı sütun sayısına eşit değildir), o zaman genellikle $A$ olduğu söylenir. bir dikdörtgen matristir. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ matrisinin boyutu $2\times 4'tür $, olanlar. 2 satır ve 4 sütun içerir. Satır sayısı sütun sayısına eşit olmadığı için bu matris dikdörtgendir.

$A_(m\times n)$ matrisi için $m=n$ koşulu doğruysa (yani, satır sayısı sütun sayısına eşittir), o zaman $A$'ın bir kare matris olduğu söylenir. $n$ sipariş edin. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ikinci dereceden bir kare matristir; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ 3. dereceden bir kare matristir. Genel olarak $A_(n\times n)$ kare matrisi şu şekilde yazılabilir:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(dizi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(dizi) \right) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ öğelerinin açık olduğu söyleniyor ana köşegen$A_(n\times n)$ matrisleri. Bu elemanlar denir ana çapraz elemanlar(veya sadece çapraz elemanlar). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ öğeleri açık yan (ikincil) köşegen; arandılar ikincil çapraz elemanlar. Örneğin $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end() matrisi için dizisi) \right)$ elimizde:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ öğeleri ana köşegen öğelerdir; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ öğeleri ikincil köşegen öğelerdir.

Ana köşegen elemanların toplamına denir ardından bir matris ve $\Tr A$ (veya $\Sp A$) ile gösterilir:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Örneğin $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- matrisi için 4 & -9 & 5 & 6 \end(dizi)\right)$ elimizde:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Köşegen elemanlar kavramı, kare olmayan matrisler için de kullanılır. Örneğin $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 matrisi için & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ana köşegen elemanlar $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ olacaktır.

Öğelerinin değerlerine bağlı olarak matris türleri.

$A_(m\times n)$ matrisinin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matrise denir hükümsüz ve genellikle $O$ harfi ile gösterilir. Örneğin, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sıfır matrislerdir.

$A$ matrisinin sıfır olmayan bazı satırlarını ele alalım, yani en az bir sıfır olmayan öğe içeren bir dize. lider eleman sıfır olmayan bir dizenin ilk (soldan sağa doğru sayarak) sıfır olmayan elemanı diyelim. Örneğin, aşağıdaki matrisi göz önünde bulundurun:

$$W=\left(\begin(dizi)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(dizi)\sağ)$ $

İkinci satırda, dördüncü öğe önde olacak, yani. $w_(24)=12$ ve üçüncü satırda başta gelen eleman ikinci eleman olacaktır, yani. $w_(32)=-9$.

$A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ matrisinin adı adım attı iki koşulu karşılıyorsa:

1. Varsa boş satırlar, boş olmayan tüm satırların altında bulunur.
2. Sıfır olmayan dizilerin önde gelen elemanlarının sayısı, kesinlikle artan bir dizi oluşturur, yani. $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$, $A$ matrisinin sıfır olmayan satırlarının önde gelen öğeleriyse, $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt(k_r)$.

Adım matrislerine örnekler:

$$ \left(\begin(dizi)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(dizi)\sağ);\; \left(\begin(dizi)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(dizi)\sağ). $$

Karşılaştırma için: matris $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$, bir adım matrisi değildir, çünkü bir adım matrisinin tanımındaki ikinci koşul ihlal edilmiştir. İkinci ve üçüncü satırlardaki öncü öğeler $q_(24)=7$ ve $q_(32)=10$ $k_2=4$ ve $k_3=2$ olarak numaralandırılmıştır. Bir adım matrisi için, bu durumda ihlal edilen $k_2\lt(k_3)$ koşulunun sağlanması gerekir. İkinci ve üçüncü satırları yer değiştirirsek basamaklı bir matris elde ettiğimize dikkat edin: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(dizi)\sağ)$.

Adım matrisi denir yamuk veya yamuk$a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ önde gelen öğeleri $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r koşullarını sağlıyorsa = r$, yani köşegen elemanlar öndedir. Genel olarak, bir yamuk matris aşağıdaki gibi yazılabilir:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(dizi) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(dizi)\sağ) $$

Yamuk matris örnekleri:

$$ \left(\begin(dizi)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(dizi)\right);\; \left(\begin(dizi)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(dizi)\sağ). $$

Kare matrisler için biraz daha tanım verelim. Ana köşegenin altında bulunan bir kare matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matris denir üst üçgen matris. Örneğin, $\left(\begin(dizi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - üst üçgen matris. Üst üçgen matrisinin tanımının, ana köşegenin üzerinde veya ana köşegen üzerinde bulunan elemanların değerleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin. Sıfır olabilirler veya olmayabilirler, önemli değil. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ aynı zamanda bir üst üçgen matrisidir.

Ana köşegenin üzerinde bulunan bir kare matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, böyle bir matrise denir. alt üçgen matris. Örneğin, $\left(\begin(dizi) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alt üçgen matris. Alt üçgen matris tanımının, ana köşegenin altındaki veya üzerindeki öğelerin değerleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin. Boş olabilirler veya olmayabilirler, önemli değil. Örneğin, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ ve $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ da alt üçgen matrislerdir.

Kare matris denir diyagonal bu matrisin ana köşegen üzerinde olmayan tüm elemanları sıfıra eşitse. Örnek: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(dizi)\sağ)$. Ana köşegendeki öğeler herhangi bir şey olabilir (sıfıra eşit veya değil) - bu zorunlu değildir.

Köşegen matris denir Bekar bu matrisin ana köşegende bulunan tüm elemanları 1'e eşitse. Örneğin, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4. dereceden birim matris; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$, ikinci dereceden birim matristir.

Matrisin elemanlarının sadece sayı olamayacağına dikkat edin. Kitaplığınızdaki kitapları tarif ettiğinizi hayal edin. Rafınız düzenli olsun ve tüm kitaplar kesin olarak tanımlanmış yerlerde dursun. Kitaplığınızın açıklamasını (raflara ve kitapların raftaki sırasına göre) içerecek tablo da bir matris olacaktır. Ancak böyle bir matris sayısal olmayacaktır. Başka bir örnek. Sayılar yerine, bazı bağımlılıklarla kendi aralarında birleşmiş farklı işlevler vardır. Ortaya çıkan tablo aynı zamanda matris olarak da adlandırılacaktır. Başka bir deyişle, Matrix, aşağıdakilerden oluşan herhangi bir dikdörtgen tablodur. homojen elementler. Burada ve aşağıda sayılardan oluşan matrislerden bahsedeceğiz.

Parantezler yerine, matrisler köşeli parantezler veya düz çift dikey çizgiler kullanılarak yazılır.

(2.1*)

Tanım 2. ifadede ise(1) m = n , sonra konuşurlar Kare matris, ve eğer , bir şey hakkında dikdörtgen.

m ve n değerlerine bağlı olarak, bazı özel matris türleri vardır:

en önemli özelliği kare matris onun belirleyici veya belirleyici, matris elemanlarından oluşur ve gösterilir

Açıkçası, D E = 1 ; .

Tanım 3. Eğer , sonra matris A isminde dejenere olmayan veya özel değil.

Tanım 4. Eğer deta = 0 , sonra matris A isminde dejenere veya özel.

Tanım 5. iki matris A Ve B isminde eşit ve yaz A=B aynı boyutlara sahiplerse ve karşılık gelen elemanları eşitse, yani.

Örneğin, ve matrisleri eşittir, çünkü boyut olarak eşittirler ve bir matrisin her elemanı, diğer matrisin karşılık gelen elemanına eşittir. Ancak her iki matrisin determinantları eşit olmasına ve matrislerin boyutlarının aynı olmasına rağmen matrisler eşit olarak adlandırılamaz, ancak aynı yerlerdeki tüm elemanlar eşit değildir. Matrisler farklıdır çünkü farklı boyutları vardır. İlk matris 2x3 ve ikinci 3x2'dir. Eleman sayısı aynı olmasına rağmen - 6 ve elemanların kendileri aynı 1, 2, 3, 4, 5, 6, ancak her matriste farklı yerlerdeler. Ancak Tanım 5'e göre ve matrisleri eşittir.

Tanım 6. Belirli sayıda matris sütununu düzeltirsek A ve aynı sayıda satır varsa, belirtilen sütunların ve satırların kesişimindeki öğeler bir kare matris oluşturur N- inci mertebe, belirleyicisi isminde küçük k- inci dereceden matris A.

Örnek. Matrisin ikinci mertebesinden üç minör yaz