Katı bir cismin eylemsizlik momenti. §13. Keyfi bir eksene göre eylemsizlik momentine ilişkin Steiner teoremi

Bir cismin (sistemin) belirli bir Oz eksenine (veya eksenel atalet momentine) göre atalet momenti, vücudun (sistemin) tüm noktalarının kütlelerinin çarpımlarının toplamından farklı olan skaler bir miktardır. bu eksene olan uzaklıklarının kareleri:

Tanımdan, bir cismin (veya sistemin) herhangi bir eksene göre atalet momentinin pozitif bir miktar olduğu ve sıfıra eşit olmadığı anlaşılmaktadır.

Gelecekte, eksenel atalet momentinin, bir cismin dönme hareketi sırasında kütlenin öteleme hareketi sırasında oynadığı rolün aynısını oynadığı, yani eksenel atalet momentinin, bir cismin dönme hareketi sırasındaki ataletinin bir ölçüsü olduğu gösterilecektir. hareket.

Formül (2)'ye göre, vücudun eylemsizlik momenti toplamına eşit tüm parçalarının aynı eksene göre atalet momentleri. Eksenden h kadar uzaklıkta bulunan bir malzeme noktası için, . SI'daki atalet momentinin ölçüm birimi 1 kg olacaktır (MKGSS sisteminde -).

Eksenel atalet momentlerini hesaplamak için, noktaların eksenlerden uzaklıkları bu noktaların koordinatları aracılığıyla ifade edilebilir (örneğin, Ox ekseninden uzaklığın karesi vb. olacaktır).

Daha sonra eksenlere göre eylemsizlik momentleri aşağıdaki formüllerle belirlenecektir:

Hesaplamalar sırasında genellikle dönme yarıçapı kavramı kullanılır. Bir cismin bir eksene göre atalet yarıçapı eşitlikle belirlenen doğrusal bir niceliktir

burada M vücut kütlesidir. Tanımdan atalet yarıçapının geometrik olarak tüm vücudun kütlesinin yoğunlaştırılması gereken noktanın ekseninden olan mesafeye eşit olduğu ve bu noktanın atalet momentinin atalet momentine eşit olduğu sonucu çıkmaktadır. tüm vücudun.

Atalet yarıçapını bildiğinizde, vücudun atalet momentini bulmak için formül (4)'ü kullanabilirsiniz veya bunun tersi de geçerlidir.

Formül (2) ve (3) her ikisi için de geçerlidir sağlam ve herhangi bir maddi nokta sistemi için. Katı bir cisim durumunda, onu temel parçalara ayırdığımızda, limitte eşitlik (2) toplamının bir integrale dönüşeceğini görüyoruz. Sonuç olarak yoğunluğun nerede olduğunu ve hacmin V olduğunu dikkate alarak şunu elde ederiz:

Buradaki integral, cismin tüm hacmi V'ye kadar uzanır ve yoğunluk ve mesafe h, cismin noktalarının koordinatlarına bağlıdır. Benzer şekilde katı cisimler için formül (3) şu şekli alır:

Homojen cisimlerin eylemsizlik momentlerini hesaplarken formül (5) ve (5)'in kullanılması uygundur. doğru biçim. Bu durumda yoğunluk sabit kalacak ve integral işaretinin dışına düşecektir.

Bazı homojen cisimlerin eylemsizlik momentlerini bulalım.

1. Uzunluğu l ve kütlesi M olan ince homojen bir çubuk. Çubuğa dik olan ve A ucundan geçen eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayalım (Şekil 275). AB boyunca ilerleyelim koordinat ekseni O zaman d uzunluğundaki herhangi bir temel parça için değer ve kütle ise çubuğun birim uzunluğunun kütlesidir. Sonuç olarak formül (5) şunu verir:

Burayı değeriyle değiştirirsek sonunda şunu buluruz:

2. Yarıçapı R ve kütlesi M olan ince, yuvarlak, homojen bir halka. Eksene göre eylemsizlik momentini bulalım. düzleme dik halka ve merkezinden geçen C (Şek. 276).

Halkanın tüm noktaları eksenden belli bir mesafede bulunduğundan formül (2) şunu verir:

Bu nedenle yüzük için

Açıktır ki, kütlesi M ve yarıçapı R olan ince silindirik bir kabuğun eksenine göre eylemsizlik momenti için aynı sonuç elde edilecektir.

3. Yarıçapı R ve kütlesi M olan yuvarlak homojen bir plaka veya silindir. Yuvarlak plakanın, plakaya dik olan ve merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayalım (bkz. Şekil 276). Bunu yapmak için yarıçapı ve genişliği olan bir temel halka seçiyoruz (Şekil 277, a). Bu halkanın alanı ve kütlesi ise plakanın birim alanı başına düşen kütledir. Daha sonra, formül (7)'ye göre, seçilen temel halka için ve tüm plaka için olacaktır.

Sağlam bir vücut olsun. Eksen adını vereceğimiz bazı düz çizgi OO'yu seçelim (Şekil 6.1) (OO düz çizgisi vücudun dışında olabilir). Vücudu kütlelerle birlikte temel bölümlere (maddi noktalara) ayıralım.
eksenden belli bir mesafede bulunur
sırasıyla.

Bir maddi noktanın bir eksene (OO) göre atalet momenti, bir maddi noktanın kütlesinin bu eksene olan uzaklığının karesiyle çarpımıdır:

. (6.1)

Bir cismin eksene (OO) göre atalet momenti (MI), vücudun temel bölümlerinin kütlelerinin çarpımlarının eksene olan mesafelerinin karesiyle toplamıdır:

. (6.2)

Gördüğünüz gibi, bir cismin atalet momenti ilave bir miktardır - tüm vücudun belirli bir eksene göre atalet momenti, tek tek parçalarının aynı eksene göre atalet momentlerinin toplamına eşittir.

Bu durumda

.

Atalet momenti kgm2 cinsinden ölçülür. Çünkü

, (6.3)

nerede  – maddenin yoğunluğu,
- hacim Ben- o zaman bölüm

,

veya sonsuz küçük elemanlara geçerek,

. (6.4)

Formül (6.4), vücudun kütle merkezinden geçen simetri eksenine göre düzenli şekilli homojen cisimlerin MI'sını hesaplamak için kullanılmaya uygundur. Örneğin, bir silindirin, generatrix'e paralel kütle merkezinden geçen bir eksene göre MI'sı için bu formül şunu verir:

,

Nerede T- ağırlık; R- silindirin yarıçapı.

Steiner teoremi, belirli eksenlere göre cisimlerin MI'sının hesaplanmasında büyük yardım sağlar: Cisimlerin MI'sı BEN herhangi bir eksene göre bu cismin MI'sının toplamına eşittir BEN C cismin kütle merkezinden geçen ve verilen eksene paralel bir eksene göre ve vücut kütlesinin mesafenin karesiyle çarpımı D belirtilen eksenler arasında:

. (6.5)

Eksen etrafındaki kuvvet momenti

Kuvvetin vücuda etki etmesine izin verin F. Basitlik açısından kuvvetin olduğunu varsayalım. F OO düz çizgisine dik bir düzlemde uzanır (Şekil 6.2, A), buna eksen adını vereceğiz (örneğin, bu gövdenin dönme eksenidir). Şek. 6.2, A A- kuvvetin uygulama noktası F,
- eksenin kuvvetin bulunduğu düzlemle kesişme noktası; R- noktanın konumunu tanımlayan yarıçap vektörü A noktaya göre HAKKINDA"; O"B = B - gücün omuzu. Eksene göre kuvvet kolu, eksenden kuvvet vektörünün üzerinde bulunduğu düz çizgiye olan en küçük mesafedir F(noktadan çizilen dikmenin uzunluğu bu satıra).

Eksene göre kuvvetin momenti eşitlikle tanımlanan bir vektör miktarıdır

. (6.6)

Bu vektörün modülü . Bu nedenle bazen bir kuvvetin bir eksene göre momentinin kuvvet ve kolunun çarpımı olduğunu söylerler.

Eğer güç F keyfi olarak yönlendirilirse iki bileşene ayrılabilir; Ve (Şekil 6.2, B), yani.
+, Nerede - OO eksenine paralel yönlendirilmiş bileşen ve eksene dik bir düzlemde yer alır. Bu durumda kuvvet momenti altında F OO eksenine göre vektörü anlayın

. (6.7)

(6.6) ve (6.7) ifadelerine göre, vektör M eksen boyunca yönlendirilmiştir (bkz. Şekil 6.2, A,B).

Bir cismin dönme eksenine göre momentumu

P Vücudun belirli bir OO ekseni etrafında açısal hızla dönmesine izin verin
. Bu bedeni zihinsel olarak kitlelerle birlikte temel bölümlere ayıralım.
eksenden sırasıyla mesafelerde bulunanlar
ve doğrusal hızlara sahip daireler halinde dönüyoruz
Değerinin eşit olduğu biliniyor
- bir dürtü var Ben-komplo. dürtü anı Ben-dönme eksenine göre kesite (malzeme noktası) vektör denir (daha kesin olarak sözde vektör)

, (6.8)

Nerede R Ben– konumu tanımlayan yarıçap vektörü Ben- eksene göre alan.

Tüm cismin dönme eksenine göre açısal momentumuna vektör denir.

(6.9)

kimin modülü
.

(6.8) ve (6.9) ifadelerine göre, vektörler
Ve dönme ekseni boyunca yönlendirilmiştir (Şekil 6.3). Bir cismin açısal momentumunun olduğunu göstermek kolaydır. L dönme eksenine ve eylemsizlik momentine göre BEN Bu cismin aynı eksene göreli konumu şu ilişkiyle ilişkilidir:

. (6.10)

ATALET MOMENTİ Bir cismin bir noktaya, eksene veya düzleme göre I'ine, m i cismin noktalarının kütlesinin çarpımlarının, noktaya, eksene veya düzleme olan uzaklıklarının karelerinin toplamı denir: r i:

Bir cismin bir eksene göre atalet momenti, o eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür.

Bir cismin eylemsizlik momenti aynı zamanda cismin kütlesi M ve dönme yarıçapı r cinsinden de ifade edilebilir:

EKSENLERE, DÜZLEMLERE VE KARTEZYEN KOORDİNATLARIN KÖKENİNE GÖRE ATALET MOMENTLERİ.

Orijine göre eylemsizlik momenti (kutupsal eylemsizlik momenti):

EKSENEL, DÜZLEM VE KUTUP ATALET MOMENTLERİ ARASINDAKİ İLİŞKİ:

Bazılarının eksenel atalet momentlerinin değerleri geometrik cisimler tabloda verilmektedir. 1.

Tablo 1. Bazı cisimlerin eylemsizlik momenti

EKSENLERİ DEĞİŞTİRİRKEN ATALET MOMENTİNDEKİ DEĞİŞİKLİK

Verilen u eksenine paralel u 1 eksenine göre atalet momenti I u 1 (Şekil 1):

burada ben u, vücudun u eksenine göre eylemsizlik momentidir; l(l 1) - u ekseninden (u 1 ekseninden) onlara paralel u c eksenine, vücudun kütle merkezinden geçen mesafe; a, u ve u1 eksenleri arasındaki mesafedir.

Şekil 1.

U ekseni merkezi ise (l=0), o zaman

yani herhangi bir paralel eksen grubu için merkezi eksene göre eylemsizlik momenti en küçüktür.

Kartezyen koordinatlar x, y, z'nin eksenleri ile α, β, γ açıları yapan u eksenine göre eylemsizlik momenti I u (Şekil 2):

Şekil 2.

X, y, z eksenleri ana ise

Ana atalet eksenleri x, y, z ile α, β, γ açıları yapan u eksenine göre atalet momenti:

EKSENLERİN PARALEL TRANSFERİ SIRASINDA MERKEZİFÜJ ATALET MOMENTLERİNDEKİ DEĞİŞİKLİK:

x, y eksenlerine paralel, merkezi x c, y c eksenlerine göre merkezkaç atalet momenti nerede; M - vücut ağırlığı; x с, y с - x, y eksen sistemindeki kütle merkezinin koordinatları.

EKSENLER x, y EKSENİ Z ETRAFINDA α AÇISIYLA x 1 y 1 KONUMUNA DÖNDÜĞÜNDE MERKEZFÜJ ATALET MOMENTİNDEKİ DEĞİŞİM(Şekil 3):

Şekil 3.

ATALETİN ANA EKSENLERİNİN KONUMUNUN BELİRLENMESİ. Vücudun malzeme simetri ekseni, gövdenin ana atalet eksenidir.

Eğer xOz düzlemi cismin maddi simetri düzlemi ise, o zaman y eksenlerinden herhangi biri cismin ana atalet eksenidir.

Ana eksenlerden z ana'nın konumu biliniyorsa, diğer iki eksen x ana ve y ana'nın konumu, x ve y eksenlerinin z ana ekseni etrafında φ açısı kadar döndürülmesiyle belirlenir (Şekil 3) :

ELİPSOİD VE ATALETLİ PARALELEPİPLİ. Atalet elipsoidi, simetri eksenleri vücudun ana merkezi eksenleriyle çakışan x ana, y ana, z ana ve yarı eksenler a x, a y, a z sırasıyla eşit olan bir elipsoiddir:

burada r уО z, r x Oz, r xOy, vücudun ana atalet düzlemlerine göre atalet yarıçaplarıdır.

Atalet paralel yüzlü, atalet elipsoidi etrafında tanımlanan ve onunla ortak simetri eksenlerine sahip olan bir paralel yüzlüdür (Şekil 4).

Şekil 4.

YOĞUN KÜTLELER İLE KATI BİR CİSİMİN İNDİRİLMESİ (HESAPLAMALARI BASİTLEŞTİRMEK İÇİN DEĞİŞTİRME). Eksenel, düzlemsel, merkezkaç ve kutupsal atalet momentlerini hesaplarken, M kütleli bir cisim, paralelyüzlü ataletin köşelerinde bulunan sekiz konsantre M/8 kütlesi kadar azaltılabilir. Herhangi bir eksene, düzleme, direğe göre atalet momentleri, aşağıdaki formüller kullanılarak paralel uçlu atalet x i, y i, z i (i=1, 2, ..., 8) köşelerinin koordinatlarından hesaplanır:

ATALET MOMENTLERİNİN DENEYSEL TAYİNİ

1. Dönel cisimlerin eylemsizlik momentlerinin kullanılarak belirlenmesi diferansiyel denklem dönme - formüllere bakın ("Sert bir cismin dönme hareketi").

İncelenen cisim, simetri eksenine denk gelen yatay x eksenine sabitlenir ve incelenen cismin üzerine sarılmış esnek bir ipliğe bağlanan bir P yükü kullanılarak onun etrafında dönmeye getirilir (Şekil 5), bu arada zaman Yükün h yüksekliğine indirilmesinin t değeri ölçülür. Vücudun x ekseni üzerindeki bağlantı noktalarındaki sürtünmenin etkisini ortadan kaldırmak için deney birkaç kez gerçekleştirilir. farklı anlamlar yük ağırlığı R.

Şekil 5.

P 1 ve P 2 yükleriyle yapılan iki deneyde

2. Deneysel belirleme Fiziksel bir sarkacın salınımlarını inceleyerek cisimlerin eylemsizlik momentleri (bkz. 2.8.3) .

İncelenen cisim yatay x eksenine (merkezi olmayan) sabitlenir ve bu eksen etrafındaki küçük salınımların periyodu T x eksenine göre atalet momenti formülle belirlenir.

burada P vücut ağırlığıdır; l 0 - dönme ekseninden vücudun C kütle merkezine olan mesafe.

TANIM

Dönen bir cismin eylemsizlik ölçüsü eylemsizlik momenti(J) etrafında dönmenin meydana geldiği eksene göre.

Bu, söz konusu cismin onlardan dönme eksenine kadar mesafelerin karelerine () bölünmesi gereken malzeme noktalarının () kütlelerinin çarpımına eşit olan skaler (genel olarak tensör) bir fiziksel niceliktir:

burada r, maddi bir noktanın uzaydaki konumunun bir fonksiyonudur; - vücut yoğunluğu; - bir gövde elemanının hacmi.

Homojen bir cisim için ifade (2) şu şekilde temsil edilebilir:

Uluslararası birim sisteminde atalet momenti şu şekilde ölçülür:

J miktarı, rijit bir cismin dönüşünün tanımlandığı temel yasalara dahildir.

Genel durumda, atalet momentinin büyüklüğü dönme ekseninin yönüne bağlıdır ve hareket sırasında vektör genellikle cisme göre yönünü değiştirdiğinden, atalet momenti zamanın bir fonksiyonu olarak düşünülmelidir. Bunun bir istisnası, sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin eylemsizlik momentidir. Bu durumda eylemsizlik momenti sabit kalır.

Steiner teoremi

Steiner teoremi, söz konusu cismin atalet momentinin bu cismin kütle merkezinden geçen eksene göre bilindiği ve bu eksenlerin eşit olduğu durumlarda, bir cismin isteğe bağlı bir dönme eksenine göre atalet momentini hesaplamayı mümkün kılar. paralel. Matematiksel formda Steiner teoremi şu şekilde temsil edilir:

vücudun kütle merkezinden geçen dönme eksenine göre vücudun atalet momenti nerede; m, söz konusu cismin kütlesidir; a eksenler arasındaki mesafedir. Eksenlerin paralel olması gerektiğini unutmayın. İfade (4)'ten şu sonuç çıkar:

Bir cismin eylemsizlik momentini hesaplamak için bazı ifadeler

Bir eksen etrafında dönerken maddi nokta eylemsizlik momenti şuna eşittir:

burada m noktanın kütlesidir; r, noktadan dönme eksenine olan mesafedir.

Kütlesi m ve uzunluğu l olan homojen ince bir çubuk için, kütle merkezinden geçen eksene göre J (eksen çubuğa diktir) şuna eşittir:

Merkezinden geçen, halka düzlemine dik bir eksen etrafında dönen bir kütleye sahip ince bir halka, bu durumda atalet momenti şu şekilde hesaplanır:

burada R, halkanın yarıçapıdır.

Yarıçapı R ve kütlesi m olan yuvarlak homojen bir diskin merkezinden geçen ve disk düzlemine dik eksene göre J değeri şuna eşittir:

Homojen bir top için

m topun kütlesidir; R topun yarıçapıdır. Top, merkezinden geçen bir eksen etrafında dönmektedir.

Dönme eksenleri dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin eksenleriyse, sürekli bir cisim için atalet momentleri şu şekilde hesaplanabilir:

Vücudun sonsuz küçük bir elemanının koordinatları nerede?

Problem çözme örnekleri

ÖRNEK 1

ÖRNEK 2

Yukarıda belirtildiği gibi, basit düzlem şekilleri üç şekil içerir: bir dikdörtgen, bir üçgen ve bir daire. Bu şekillerin ağırlık merkezlerinin konumu önceden bilindiğinden bu şekiller basit kabul edilir. Diğer tüm şekiller bu basit şekillerden oluşabilir ve karmaşık kabul edilir. Eksenel atalet momentlerini hesaplayalım basit rakamlar merkez eksenlerine göre.

1. Dikdörtgen. Boyutları olan dikdörtgen bir profilin kesitini ele alalım (Şekil 4.6). Birbirine sonsuz yakın iki kesiti olan bir kesit elemanı seçelim. merkezi eksenden
.

Dikdörtgen bir kesitin eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayalım:

. (4.10)

Dikdörtgensel bir kesitin eksene göre eylemsizlik momenti
benzerini bulacağız. Sonuç burada verilmemiştir.

. (4.11)

Ve
eksenler sıfıra eşittir
Ve
simetri eksenleridir ve dolayısıyla asal eksenlerdir.

2. İkizkenar üçgen. Boyutları olan üçgen bir profilin bir bölümünü ele alalım
(Şekil 4.7). Birbirine sonsuz yakın iki kesiti olan bir kesit elemanı seçelim. merkezi eksenden
. Üçgenin ağırlık merkezi uzaktadır
tabandan. Üçgenin ikizkenar olduğu varsayılır, böylece eksen
kesit simetri eksenidir.

Kesitin eksene göre eylemsizlik momentini hesaplayalım
:

. (4.12)

Boyut üçgenlerin benzerliğinden şunu belirleriz:

;
.

Neresi İfadeleri değiştirme

. (4.13)

(4.12)'de ve integral aldığımızda şunu elde ederiz:
Eksen etrafında bir ikizkenar üçgen için eylemsizlik momenti

(4.14)

benzer şekilde bulunur ve şuna eşittir:
Ve
Eksenlere göre merkezkaç atalet momenti
eksen sıfıra eşit olduğundan

3. kesitin simetri eksenidir. Daire . Çapı olan dairesel bir profilin kesitini düşünün (Şekil 4.8). Kesit öğesini belirli bir mesafede konumlanmış iki sonsuz yakın eşmerkezli daireyle vurgulayalım .

çemberin ağırlık merkezinden

. (4.15)

(4.5) ifadesini kullanarak çemberin kutupsal eylemsizlik momentini hesaplayalım:
Karşılıklı iki eksen (4.6) etrafındaki eksenel atalet momentlerinin toplamı için değişmezlik koşulunun kullanılması ve bir daire için simetri nedeniyle bu durumun dikkate alınması

. (4.16)

. (4.17)

benzer şekilde bulunur ve şuna eşittir: Ve eksenler sıfıra eşittir
Ve
eksenel atalet momentlerinin değerini belirleriz:

kesitin simetri eksenleridir.

4.4. Paralel eksenlere göre eylemsizlik momentleri arasındaki bağımlılıklar Karmaşık şekiller için atalet momentlerini hesaplarken bir kural hatırlanmalıdır: atalet momentlerinin değerleri toplanabilir,. Karmaşık şekiller için, çoğu zaman tek tek basit şekillerin ve tüm şeklin ağırlık merkezleri çakışmaz. Buna göre, bireysel basit şekillerin merkezi eksenleri ve şeklin tamamı çakışmıyor. Bu bağlamda, atalet momentlerini tek bir eksene, örneğin tüm şeklin merkezi eksenine getirmek için teknikler vardır. Bunun nedeni eylemsizlik eksenlerinin paralel ötelenmesi ve ek hesaplamalar olabilir.

Şekil 4.9'da gösterilen paralel atalet eksenlerine göre atalet momentlerinin belirlenmesini ele alalım.

Şekil 4.9'da eksenel ve merkezkaç atalet momentleri gösterilsin. keyfi olarak seçilen eksenlere göre rakamlar
Ve
noktada kökeni ile bilinen. Bir şeklin isteğe bağlı paralel eksenlere göre eksenel ve merkezkaç atalet momentlerini hesaplamak gerekir.
Ve
noktada kökeni ile . Akslar
Ve
mesafelerde gerçekleştirilen Ve sırasıyla eksenlerden
Ve
.

Eksenel atalet momentleri (4.4) ve merkezkaç atalet momenti (4.7) için ifadeleri kullanalım. Mevcut koordinatlar yerine bu ifadeleri yerine koyalım
Ve
sonsuz küçük koordinat alanına sahip eleman
Ve
V yeni sistem koordinatlar Şunu elde ederiz:

Elde edilen ifadeleri analiz ederek, paralel eksenlere göre atalet momentlerini hesaplarken, orijinal atalet eksenlerine göre hesaplanan atalet momentlerine çok daha büyük olabilecek ek terimler formundaki katkı maddelerinin eklenmesi gerektiği sonucuna varıyoruz. orijinal eksenlere göre atalet momentlerinin değerlerinden daha fazladır. Bu nedenle bu ek koşullar hiçbir durumda göz ardı edilmemelidir.

Ele alınan durum, keyfi eylemsizlik eksenlerinin başlangıç ​​eksenleri olarak alındığı eksenlerin paralel transferinin en genel durumudur. Çoğu hesaplamada atalet momentinin belirlenmesinde özel durumlar vardır.

İlk özel durum. Başlangıç ​​eksenleri, şeklin eylemsizlik merkezi eksenleridir. Daha sonra, alanın statik momentinin ana özelliğini kullanarak, şeklin statik alan momentini içeren denklemlerin terimlerini (4.18)–(4.20) denklemlerinden hariç tutmak mümkündür. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

İşte eksenler
Ve
-merkezi atalet eksenleri.

İkinci özel durum. Referans eksenleri ataletin ana eksenleridir. Daha sonra, ana atalet eksenlerine göre merkezkaç atalet momentinin sıfıra eşit olduğunu dikkate alarak şunu elde ederiz:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

İşte eksenler
Ve
ana eylemsizlik eksenleri.

Elde edilen ifadeleri kullanalım ve düzlemsel şekiller için eylemsizlik momentlerinin hesaplanmasına ilişkin birkaç örneği ele alalım.

Örnek 4.2.Şekil 2'de gösterilen şeklin eksenel atalet momentlerini belirleyin. 4.10, merkezi eksenlere göre Ve .

Önceki örnek 4.1'de, Şekil 4.10'da gösterilen şekil için C ağırlık merkezinin konumu belirlendi. Ağırlık merkezinin koordinatı eksenden çizildi. ve derlenmiş
. Mesafeleri hesaplayalım Ve eksenler arasında Ve ve eksenler Ve . Bu mesafeler sırasıyla
Ve
. Orijinal eksenlerden bu yana Ve Şeklin eksene göre eylemsizlik momentini belirlemek için dikdörtgen biçimindeki basit şekillerin merkezi eksenleridir. İlk özel durum için sonuçları, özellikle de formül (4.21)'i kullanalım.

Eksene göre eylemsizlik momenti basit şekillerin aynı eksene göre eylemsizlik momentlerini toplayarak elde ederiz, çünkü eksen basit şekiller ve şeklin tamamı için ortak merkezi eksendir.

cm4.

Eksenlere göre merkezkaç atalet momenti Ve Atalet ekseni sıfıra eşit olduğundan ana eksendir (şeklin simetri ekseni).

Örnek 4.3. Boyutu nedir? B(cm olarak) Şekil 2'de gösterilen şekil. 4.11, şeklin eksene göre eylemsizlik momenti ise 1000 cm'ye eşit mi 4?

Eksene göre eylemsizlik momentini ifade edelim. bilinmeyen bir bölüm boyutu aracılığıyla (4.21) formülünü kullanarak, eksenler arasındaki mesafeyi dikkate alarak Ve 7 cm'ye eşittir:

cm4.

(A) Kesit boyutu için (a) ifadesini çözme

, şunu elde ederiz:

santimetre.Örnek 4.4. Şekil 4.12'de gösterilen şekillerden hangisinin eksene göre eylemsizlik momenti daha büyüktür?
her iki rakam da aynı alana sahipse

cm2?

1. Şekillerin alanlarını büyüklüklerine göre ifade edip belirleyelim:

a) Yuvarlak bir kesit için kesit çapı:
, şunu elde ederiz:

cm2; Nerede

b) kare kenar boyutu:
, şunu elde ederiz:

;

cm4.

Nerede

cm4.

2. Dairesel bir kesit için eylemsizlik momentini hesaplayın:

3. Kare kesit için eylemsizlik momentini hesaplayın: Elde edilen sonuçları karşılaştırdığımızda kare kesitin aynı alana sahip dairesel kesite göre en yüksek atalet momentine sahip olacağı sonucuna varıyoruz.
Örnek 4.5.
, şunu elde ederiz:

Kesitin genişliğine göre dikdörtgen bir kesitin ağırlık merkezine göre kutupsal atalet momentini (cm4 cinsinden) belirleyin. cm, kesit yüksekliği 1. Kesitin yataya göre eylemsizlik momentini bulalım.

ve dikey
cm4.

merkezi atalet eksenleri:

cm4.

cm4; 2. Kesitin kutupsal atalet momentini, eksenel atalet momentlerinin toplamı olarak belirleriz: Örnek 4.6. Şekil 4.13'te gösterilen üçgen şeklin merkezi eksene göre eylemsizlik momentini belirleyin.

şeklin eksene göre eylemsizlik momenti ise 2400 cm'ye eşit 4. Ataletin ana eksenine göre üçgen kesitin atalet momenti
eksen etrafındaki eylemsizlik momentiyle karşılaştırıldığında daha az olacaktır
cm kesitin eksene göre atalet momenti aşağıdaki gibi buluyoruz.