Verilen bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulma. Ters fonksiyonlar - tanımı ve özellikleri. Kayıtla ilgili not
$X$ ve $Y$ kümeleri reel sayılar kümesine dahil edilsin. Tersinir fonksiyon kavramını tanıtalım.
Tanım 1
Bir $X$ kümesini bir $Y$ kümesine eşleyen $f:X\to Y$ işlevine, herhangi bir öğe için $x_1,x_2\in X$ olması durumunda, $x_1\ne x_2$ takip ettiği gerçeğinden dolayı tersinir denir. bu $f(x_1 )\ne f(x_2)$.
Artık ters fonksiyon kavramını tanıtabiliriz.
Tanım 2
$f:X\to Y$ fonksiyonunun, $X$ kümesini $Y$ kümesine eşlemesinin tersinir olmasına izin verin. Daha sonra $f^(-1):Y\to X$ işlevi, $Y$ kümesini $f^(-1)\left(y\right)=x$ koşuluyla tanımlanan $X$ kümesine eşler: $f( x)$'ın tersi denir.
Teoremi formüle edelim:
Teorem 1
$y=f(x)$ fonksiyonunun monoton olarak artan (azalan) ve belirli bir $X$ aralığında sürekli olarak tanımlandığını varsayalım. Daha sonra bu fonksiyonun değerlerinin karşılık gelen $Y$ aralığında, aynı zamanda monoton olarak artan (azalan) ve $Y$ aralığında sürekli olan ters bir fonksiyona sahiptir.
Şimdi doğrudan karşılıklı ters fonksiyonlar kavramını tanıtalım.
Tanım 3
Tanım 2 çerçevesinde $f(x)$ ve $f^(-1)\left(y\right)$ fonksiyonlarına karşılıklı ters fonksiyonlar adı verilir.
Karşılıklı ters fonksiyonların özellikleri
$y=f(x)$ ve $x=g(y)$ fonksiyonlarının karşılıklı olarak tersi olsun, o zaman
$y=f(g\left(y\right))$ ve $x=g(f(x))$
$y=f(x)$ fonksiyonunun tanım alanı, $\ x=g(y)$ fonksiyonunun değer alanına eşittir. Ve $x=g(y)$ fonksiyonunun tanım alanı, $\ y=f(x)$ fonksiyonunun değer alanına eşittir.
$y=f(x)$ ve $x=g(y)$ fonksiyonlarının grafikleri $y=x$ düz çizgisine göre simetriktir.
Fonksiyonlardan biri artarsa (azalırsa), diğer fonksiyon artar (azalır).
Ters Fonksiyonu Bulma
$y=f(x)$ denklemi $x$ değişkenine göre çözülür.
Elde edilen köklerden $X$ aralığına ait olanlar bulunur.
Bulunan $x$, $y$ sayısıyla eşleştirilir.
Örnek 1
$X=[-1,0]$ aralığında $y=x^2$ fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulun
Bu fonksiyon $X$ aralığında azalan ve sürekli olduğundan, o zaman $Y=$ aralığında da azalan ve bu aralıkta süreklidir (Teorem 1).
$x$'ı hesaplayalım:
\ \
Uygun $x$'ı seçin:
Cevap: ters fonksiyon $y=-\sqrt(x)$.
Ters fonksiyonları bulma problemleri
Bu bölümde bazı fonksiyonlar için ters fonksiyonları ele alacağız. temel işlevler. Sorunları yukarıda verilen şemaya göre çözeceğiz.
Örnek 2
$y=x+4$ fonksiyonu için ters fonksiyonu bulun
$y=x+4$ denkleminden $x$'ı bulalım:
Örnek 3
$y=x^3$ fonksiyonu için ters fonksiyonu bulun
Çözüm.
Fonksiyon tüm tanım bölgesi boyunca artan ve sürekli olduğundan, Teorem 1'e göre üzerinde ters sürekli ve artan bir fonksiyon vardır.
$y=x^3$ denkleminden $x$'ı bulalım:
$x$'ın uygun değerlerini bulma
Değer bizim durumumuza uygundur (çünkü tanımın alanı tüm sayılardır)
Değişkenleri yeniden tanımlayalım, ters fonksiyonun şu şekilde olduğunu elde edelim:
Örnek 4
$$ aralığında $y=cosx$ fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulun
Çözüm.
$X=\left$ kümesinde $y=cosx$ fonksiyonunu düşünün. $X$ kümesinde süreklidir ve azalmaktadır ve $X=\left$ kümesini $Y=[-1,1]$ kümesine eşler, dolayısıyla ters sürekli monoton fonksiyonun varlığına ilişkin teoreme göre, $y=cosx$ fonksiyonu $ Y$ kümesinde bir ters fonksiyon vardır, bu da $Y=[-1,1]$ kümesinde sürekli ve artandır ve $[-1,1]$ kümesini eşler $\left$ kümesine.
$y=cosx$ denkleminden $x$'yi bulalım:
$x$'ın uygun değerlerini bulma
Değişkenleri yeniden tanımlayalım, ters fonksiyonun şu şekilde olduğunu elde edelim:
Örnek 5
$y=tgx$ fonksiyonunun $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ aralığında ters fonksiyonunu bulun.
Çözüm.
$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ kümesindeki $y=tgx$ fonksiyonunu düşünün. $X$ kümesinde süreklidir ve artmaktadır ve $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ kümesini $Y kümesine eşler =R$, bu nedenle, ters sürekli monoton fonksiyonun varlığına ilişkin teoreme göre, $Y$ kümesindeki $y=tgx$ fonksiyonu, $Y$ kümesinde de sürekli ve artan bir ters fonksiyona sahiptir. $ ve $R$ kümesini $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ kümesine eşler
E(y) =
y(-x) = arccos(-x) = π - arccos x – fonksiyon ne çift ne de tektir.
arccos x = 0, x = 1'de
arccos x > 0, x є [-1;1)
$y=tgx$ denkleminden $x$'yi bulalım:
$x$'ın uygun değerlerini bulma
Değişkenleri yeniden tanımlayalım, ters fonksiyonun şu şekilde olduğunu elde edelim:
2.Ters fonksiyonlar teorisi
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Ters fonksiyonun tanımı
Tanım. Eğer bir f(x) fonksiyonu, X bölgesi ile Y bölgesi arasında bire bir yazışma tanımlıyorsa (başka bir deyişle, argümanın farklı değerleri fonksiyonun farklı değerlerine karşılık geliyorsa), o zaman f(x) fonksiyonunun sahip olduğu söyleniyor ters fonksiyon ya da ne işlevF(X) geri dönüşümlüdür.
Tanım. Ters fonksiyon her sayıyı söyleyen bir kuraldır enє sen numarayla eşleşiyor Xє X ve y=f(x). Ters etki alanı
bir fonksiyon bir Y kümesidir, değer aralığı X'tir.
Kök teoremi. F fonksiyonunun I aralığında artmasına (veya azalmasına) izin verin, a sayısı bu aralıkta f tarafından kabul edilen değerlerden herhangi biridir. O halde f(x)=a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.
Kanıt. Artan bir f fonksiyonunu ele alalım (azalan bir fonksiyon durumunda da mantık benzerdir). Koşul gereği I aralığında f(b)=a olacak şekilde bir b sayısı vardır. f(x)=a denkleminin tek kökü b'nin olduğunu gösterelim.
I aralığında başka bir sayı olduğunu varsayalım. c≠
b, öyle ki f(c)=a. Sonra veya ile
Ters fonksiyon teoremi. Bir f fonksiyonu I aralığında artarsa (veya azalırsa), o zaman tersinirdir. F değerleri aralığında tanımlanan f'nin ters fonksiyonu da artıyor (sırasıyla azalıyor).
Kanıt. Kesinlik sağlamak için f fonksiyonunun arttığını varsayalım. F fonksiyonunun tersinirliği kök teoreminin açık bir sonucudur. Bu nedenle geriye f'nin tersi olan g fonksiyonunun E(f) kümesinde arttığını kanıtlamak kalıyor.
x 1 ve x 2, E(f)'den keyfi değerler olsun, öyle ki x 2 > x 1 ve y 1 = g (x 1), y 2 = g olsun ( x 2 ). Ters fonksiyonun tanımı gereği, x 1 = f(y 1) ve x 2 = f(y 2).
F'nin artan bir fonksiyon olması koşulunu kullanarak, y 1≥ y 2 varsayımının f(y 1) > f(y 2), yani x 1 > x 2 sonucuna yol açtığını buluruz. Bu
x 2 > x 1 varsayımıyla çelişir. Dolayısıyla y 1 > y 2, yani x 2 > x 1 koşulundan g(x 2)> g(x 1) sonucu çıkar. Q.E.D.
Orijinal fonksiyon ve tersi karşılıklıdır tersi.
Karşılıklı ters fonksiyonların grafikleri
Teorem. Karşılıklı ters fonksiyonların grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir.
Kanıt. f fonksiyonunun grafiğinden bulabileceğimize dikkat edin. sayısal değer g fonksiyonu keyfi bir a noktasında f'nin tersidir. Bunu yapmak için, yatay eksende değil (genellikle yapıldığı gibi), dikey eksende koordinatlı bir nokta almanız gerekir. Ters fonksiyonun tanımından g(a) değerinin b'ye eşit olduğu sonucu çıkar.
g'nin grafiğini olağan koordinat sisteminde göstermek için, f'nin grafiğini y=x düz çizgisine göre görüntülemek gerekir.
y=f(x) fonksiyonu için ters fonksiyonu oluşturma algoritması, X
X.
1. y=f(x) fonksiyonunun X üzerinde tersinin alınabildiğinden emin olun.
2. y=f(x) denkleminden x'i y'ye kadar ifade edin, x є X'i hesaba katın .
Z. Ortaya çıkan eşitlikte x ve y'nin yerlerini değiştirin.
2.2.Ters trigonometrinin tanımı, özellikleri ve grafikleri
işlevler
arksinüs
Segmentte sinüs fonksiyonu artar 
ve -1'den 1'e kadar tüm değerleri alır. Bu nedenle, kök teoremine göre, herhangi bir sayı için öyle ki 
, aralıkta sin x = a denkleminin tek bir kökü vardır. Bu sayıya a sayısının ark sinüsü denir ve ark sin a ile gösterilir.
Tanım. Bir a sayısının ark sinüsü, sinüsü a'ya eşit olan bir segmentten gelen bir sayıdır.
Özellikler.
D(y) = [ -1;1 ]
E(y) = [-π/2;π/2]
y (-x) = arksin(-x) = - arksin x – tek işlev grafik O(0;0) noktasına göre simetriktir.
arcsin x = 0, x = 0'da.
x є'da arksin x > 0 (0;1]
ark sin x< 0 при х є [-1;0)
y = arcsin x herhangi bir x є için artar [-1;1]
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>ark sin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.
ark kosinüs
Kosinüs fonksiyonu parça üzerinde azalır ve -1'den 1'e kadar tüm değerleri alır. Dolayısıyla |a|1 olacak şekilde herhangi bir a sayısı için, parça üzerinde cosx=a denkleminde tek bir kök vardır. Bu b sayısına a sayısının arkkosinüsü denir ve arcos a ile gösterilir.
Tanım . -1 a 1 olan bir a sayısının ark kosinüsü, kosinüsü a'ya eşit olan segmentten gelen bir sayıdır.
Özellikler.
arkcos x< 0 – нет решений
y = arccos x herhangi bir x є için azalır [-1;1]
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arksin x 1 ≥ arksin x 2 – azalan.
arktanjant
Teğet fonksiyonu segmentte artar - 
Bu nedenle, kök teoremine göre, a'nın herhangi bir gerçek sayı olduğu tgx=a denkleminin - aralığında benzersiz bir x kökü vardır. Bu köke a sayısının arktanjantı denir ve arktga ile gösterilir.
Tanım. Sayının arktanjantı AR bu sayıya x denir , tanjantı a'ya eşit olan.
Özellikler.
E(y) = (-π/2;π/2)
y(-x) = y = arctg(-x) = - arctg x – fonksiyon tektir, grafik O(0;0) noktasına göre simetriktir.
arktg x = 0, x = 0'da
Fonksiyon herhangi bir x є R için artar
-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arktg x 1< arctg х 2
Arkotanjant
(0;) aralığındaki kotanjant fonksiyonu azalır ve tüm değerleri R'den alır. Bu nedenle, (0;) aralığındaki herhangi bir a sayısı için cotg x = a denkleminin benzersiz bir kökü vardır. Bu a sayısına a sayısının arkkotanjantı denir ve arkctg a ile gösterilir.
Tanım. Bir a sayısının yay kotanjantı, burada bir R, (0;) aralığındaki bir sayıdır. , kotanjantı a'ya eşit olan.
Özellikler.
E(y) = (0;π)
y(-x) = arcctg(-x) = π - arcctg x – fonksiyon ne çift ne de tektir.
yay x = 0– mevcut değil.
İşlev y = arkctg x herhangi biri için azalır x є R
-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arkctg x 1 > arkctg x 2
Fonksiyon herhangi bir x є R için süreklidir.
2.3 Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadelerin özdeş dönüşümleri
Örnek 1. İfadeyi basitleştirin:
A) 
Nerede 
Çözüm. Hadi koyalım 
. Daha sonra 
Ve 
Bulmak için 
, ilişkiyi kullanalım 
Aldık 
Ancak . Bu segmentte kosinüs yalnızca pozitif değerler alır. Böylece, 
yani nerede 
.
B) 
Çözüm.
Çözüm. Hadi koyalım 
. Daha sonra 
Ve 
Önce formülü kullandığımızı bulalım 
, Neresi 
Bu aralıkta kosinüs yalnızca pozitif değerler aldığından, o zaman 
.
Birbirini tersine çeviren karşılık gelen ifadeler. Bunun ne anlama geldiğini anlamak için düşünmeye değer somut örnek. Diyelim ki y = cos(x) elimizde. Eğer argümandan kosinüsü alırsanız y'nin değerini bulabilirsiniz. Açıkçası, bunun için X'e sahip olmanız gerekir. Peki ya oyun başlangıçta verilmişse? İşte meselenin can alıcı noktasına burası geliyor. Sorunu çözmek için ters işlevi kullanmanız gerekir. Bizim durumumuzda arkkosindir.
Tüm dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: x = arccos(y).
Yani, verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için, ondan bir argümanı basitçe ifade etmek yeterlidir. Ancak bu yalnızca ortaya çıkan sonucun tek bir anlamı varsa işe yarar (bununla ilgili daha sonra detaylı bilgi verilecektir).
Genel anlamda bu olgu şu şekilde yazılabilir: f(x) = y, g(y) = x.
Tanım
F, tanım kümesi X kümesi ve tanım kümesi Y kümesi olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, alanları zıt görevleri yerine getiren bir g varsa, o zaman f tersinirdir.
Üstelik bu durumda g benzersizdir, bu da bu özelliği karşılayan tam olarak tek bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir (ne daha fazla ne daha az). Daha sonra buna ters fonksiyon adı verilir ve yazılı olarak şu şekilde gösterilir: g(x) = f -1 (x).
Başka bir deyişle ikili bir ilişki olarak düşünülebilirler. Tersinirlik yalnızca kümenin bir elemanı diğerinden bir değere karşılık geldiğinde meydana gelir.
Ters fonksiyon her zaman mevcut değildir. Bunu yapmak için, her y є Y elemanı en fazla bir x є X'e karşılık gelmelidir. Bu durumda f'ye bire bir veya enjeksiyon denir. Eğer f -1 Y'ye aitse, bu kümenin her elemanı bir x ∈ X'e karşılık gelmelidir. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara surjeksiyonlar denir. Y'nin f'nin bir görüntüsü olması tanımı gereği geçerlidir, ancak durum her zaman böyle değildir. Ters olabilmesi için bir fonksiyonun hem enjeksiyon hem de surjeksiyon olması gerekir. Bu tür ifadelere bijeksiyon denir.
Örnek: kare ve kök fonksiyonları
Fonksiyon ) üzerinde tanımlanmıştır.
Yükleniyor...