Ters fonksiyon y 3x. Karşılıklı ters fonksiyonlar, temel tanımlar, özellikler, grafikler. Bir aralıkta ters fonksiyonun varlığı ve sürekliliğine ilişkin teoremin kanıtı

İşlev bir değişkenin diğerine bağımlılığıdır. Fonksiyonlar bir tablo yöntemi, bir sözlü yöntem, bir grafik yöntemi veya bir formül kullanılarak belirtilebilir.

Fonksiyonlar aşağıdaki türlere ayrılmıştır:

Doğrusal fonksiyon
İkinci dereceden fonksiyon
kübik fonksiyon
Trigonometrik fonksiyon
Güç fonksiyonu
Üstel fonksiyon
Logaritmik fonksiyon

İşlev Etki Alanı D(y) y = f(x) fonksiyon denkleminin sağ tarafındaki ifadenin anlamlı olduğu x argümanının (bağımsız değişken x) izin verilen tüm değerlerinin kümesidir. Başka bir deyişle bu, f(x) ifadesinin kabul edilebilir değerleri aralığıdır.

Tanım alanını y = f(x) fonksiyonunun grafiğinden bulmak için, OX ekseni boyunca soldan sağa doğru hareket ederek, fonksiyon grafiğinin bulunduğu x değerlerinin tüm aralıklarını yazmanız gerekir. var.

E(y) fonksiyonunun değerler kümesi, bağımlı değişken y'nin alabileceği tüm değerlerin kümesidir.

Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinden değer kümesini bulmak için, OY ekseni boyunca aşağıdan yukarıya doğru hareket ederek, y değerlerinin tüm aralıklarını yazmanız gerekir. fonksiyon grafiği mevcuttur.

Ters fonksiyon- x = f(y) ilişkisinden y'yi x'e kadar ifade edersek, verilen y = f(x) fonksiyonundan elde edilen y=g(x) fonksiyonu.

Belirli bir y = f(x) fonksiyonunun tersini bulmak için şunları yapmanız gerekir:

y = f(x) ilişkisinde x'i y ile, y'yi de x ile değiştirin: x = f(y).
Ortaya çıkan x=f(y) ifadesinde, y'yi x cinsinden ifade edin.

f(x) ve g(x) fonksiyonları karşılıklı olarak terstir. Buna bir örnekle bakalım

Ters fonksiyonları bulma örnekleri:

F ve g fonksiyonlarının tanım kümesi ve tanım kümesi yer değiştirir: f'nin alanı g'nin alanıdır ve f'nin alanı g'nin alanıdır.

Her fonksiyon için tersini belirtemezsiniz. Bir fonksiyonun tersinirliğinin koşulu monotonluğudur, yani fonksiyon yalnızca artmalı veya yalnızca azalmalıdır. Bir fonksiyon tüm tanım alanında monoton değil de belirli bir aralıkta monoton ise, o zaman ters fonksiyonunu sadece bu aralıkta tanımlamak mümkündür.

Karşılıklı ters fonksiyonların özellikleri Karşılıklı ters fonksiyonların bazı özelliklerine dikkat edelim. 1) Kimlikler.

İzin vermek F Ve G– karşılıklı olarak ters fonksiyonlar. Daha sonra: f(g(y)) = y Ve g(f(x)) = x. 2) Tanım alanı.

İzin vermek F Ve G– karşılıklı ters fonksiyonlar. İşlev Etki Alanı F fonksiyon aralığına uygundur G ve tam tersi, işlevin aralığı F fonksiyonun tanım alanıyla çakışır G. 3) Monoton.

Ters fonksiyonlardan biri artarsa diğeri de artar. Benzer bir ifade azalan fonksiyonlar için de geçerlidir. 4) Grafikler.

Aynı koordinat sisteminde oluşturulan karşılıklı ters fonksiyonların grafikleri düz bir çizgiye göre birbirine simetriktir y = x.

Fonksiyon grafiklerinin dönüşümleri bir fonksiyonun doğrusal dönüşümleridir y = f(X) veya argümanı X akla sen = af(kx + B) + M modül kullanarak dönüştürmenin yanı sıra.

Bir fonksiyonun grafiğinin nasıl çizileceğini bilmek y = f(x), Nerede

fonksiyonun grafiğini çizebilirsiniz y = af(kx + b) + m.

Notlar için sorular

Y = 0,5x - 4

Fonksiyonun etki alanını bulun:

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirleyin:

Kesirli rasyonel denklemi çözün:

Bu fonksiyonun tersini bulun:

6f(-1) +3f(5) ifadesinin değerini bulun, eğer

Sorunla zaten karşılaştık Verilen fonksiyon f ve argümanının verilen değeri, bu noktada fonksiyonun değerini hesaplamak gerekiyordu. Ancak bazen ters problemle yüzleşmeniz gerekir: bilinen bir f fonksiyonu ve onun belirli değeri y olduğunda, fonksiyonun belirli bir y değerini aldığı argümanın değerini bulmak.

Her değerini kendi tanım kümesindeki tek bir noktada alan fonksiyona tersinir fonksiyon denir. Örneğin, doğrusal bir fonksiyon şöyle olabilir: tersinir fonksiyon. A ikinci dereceden fonksiyon veya sinüs fonksiyonu tersinir fonksiyon olmayacaktır. Çünkü bir fonksiyon aynı değeri farklı argümanlarla alabilir.

Ters fonksiyon

F'nin keyfi bir tersinir fonksiyon olduğunu varsayalım. Kendi y0 değerlerinin tanım kümesindeki her sayı, x0 tanım kümesinden yalnızca bir sayıya karşılık gelir, öyle ki f(x0) = y0.

Şimdi her x0 değerini bir y0 değeriyle ilişkilendirirsek yeni bir fonksiyon elde ederiz. Örneğin, doğrusal fonksiyon f(x) = k * x + b, g(x) = (x - b)/k fonksiyonunun tersi olacaktır.

Eğer bazı işlevler G her noktada X Ters çevrilebilir fonksiyonun değer aralığı f, f(y) = x olacak şekilde bir değer alırsa, o zaman fonksiyon deriz G- f'nin ters bir fonksiyonu vardır.

Bize ters çevrilebilir bir f fonksiyonunun grafiği verilirse, o zaman ters fonksiyonun bir grafiğini oluşturmak için aşağıdaki ifadeyi kullanabiliriz: f fonksiyonunun grafiği ve onun ters fonksiyonu g, düzlüğe göre simetrik olacaktır. y = x denklemiyle belirtilen çizgi.

Eğer bir g fonksiyonu bir f fonksiyonunun tersi ise, o zaman g fonksiyonu tersinir bir fonksiyon olacaktır. Ve f fonksiyonu g fonksiyonunun tersi olacaktır. Genellikle iki fonksiyonun f ve g'nin karşılıklı olarak birbirinin tersi olduğu söylenir.

Aşağıdaki şekilde f ve g fonksiyonlarının karşılıklı olarak birbirine ters grafikleri gösterilmektedir.

Aşağıdaki teoremi türetelim: Eğer bir f fonksiyonu belirli bir A aralığında artarsa (veya azalırsa), o zaman tersinirdir. F fonksiyonunun değer aralığında tanımlanan ters g fonksiyonu aynı zamanda artan (veya buna uygun olarak azalan) bir fonksiyondur. Bu teorem denir ters fonksiyon teoremi.

Birbirini tersine çeviren karşılık gelen ifadeler. Bunun ne anlama geldiğini anlamak için düşünmeye değer somut örnek. Diyelim ki y = cos(x) elimizde. Eğer argümandan kosinüsü alırsanız y'nin değerini bulabilirsiniz. Açıkçası, bunun için X'e sahip olmanız gerekir. Peki ya oyun başlangıçta verilmişse? İşte meselenin can alıcı noktasına burası geliyor. Sorunu çözmek için ters işlevi kullanmanız gerekir. Bizim durumumuzda arkkosindir.

Tüm dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: x = arccos(y).

Yani, verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için, ondan bir argümanı basitçe ifade etmek yeterlidir. Ancak bu yalnızca ortaya çıkan sonucun tek bir anlamı varsa işe yarar (bununla ilgili daha sonra detaylı bilgi verilecektir).

Genel anlamda bu olgu şu şekilde yazılabilir: f(x) = y, g(y) = x.

Tanım

F, tanım kümesi X kümesi ve tanım kümesi Y kümesi olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, alanları zıt görevleri yerine getiren bir g varsa, o zaman f tersinirdir.

Üstelik bu durumda g benzersizdir, bu da bu özelliği karşılayan tam olarak tek bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir (ne daha fazla ne daha az). Daha sonra buna ters fonksiyon adı verilir ve yazılı olarak şu şekilde gösterilir: g(x) = f -1 (x).

Başka bir deyişle ikili bir ilişki olarak düşünülebilirler. Tersinirlik yalnızca kümenin bir elemanı diğerinden bir değere karşılık geldiğinde meydana gelir.

Ters fonksiyon her zaman mevcut değildir. Bunu yapmak için, her y є Y elemanı en fazla bir x є X'e karşılık gelmelidir. Bu durumda f'ye bire bir veya enjeksiyon denir. Eğer f -1 Y'ye aitse, bu kümenin her elemanı bir x ∈ X'e karşılık gelmelidir. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara surjeksiyonlar denir. Y'nin f'nin bir görüntüsü olması tanımı gereği geçerlidir, ancak durum her zaman böyle değildir. Ters olabilmesi için bir fonksiyonun hem enjeksiyon hem de surjeksiyon olması gerekir. Bu tür ifadelere bijeksiyon denir.

Örnek: kare ve kök fonksiyonları

Fonksiyon ) üzerinde tanımlanmıştır.