Homojen matris. Homojen kabukların çözümü. Doğrusal denklem sistemlerini çözme

Doğrusal sistem isminde homojen , eğer tüm serbest terimleri 0'a eşitse.

Matris formunda homojen bir sistem yazılır:
.

Homojen sistem (2) her zaman tutarlıdır . Açıkçası, sayılar kümesi
,
, …,
sistemin tüm denklemlerini karşılar. Çözüm
isminde sıfır veya önemsiz karar. Bu nedenle homojen bir sistemin her zaman sıfır çözümü vardır.

Homojen sistemin (2) hangi koşullar altında sıfır olmayan (önemsiz olmayan) çözümleri olacaktır?

Teorem 1.3 Homojen sistem (2) sıfır olmayan çözümlere sahiptir ancak ve ancak rütbe R ana matrisi daha az sayı bilinmiyor N .

Sistem (2) – belirsiz
.

Sonuç 1. Denklem sayısı ise M homojen sistem daha az değişkene sahiptir
ise sistem belirsizdir ve sıfırdan farklı birçok çözümü vardır.

Sonuç 2. Kare homojen sistem
bu sistemin ana matrisi varsa sıfır olmayan çözümlere sahiptir dejenere, yani belirleyici
.

Aksi halde determinant
kare homojen bir sisteme sahiptir tek şey sıfır çözüm
.

Sistemin sıralaması (2) olsun
yani sistem (2)'nin önemsiz olmayan çözümleri vardır.

İzin vermek Ve - bu sistemin özel çözümleri, ör.
Ve
.

Homojen bir sistemin çözümlerinin özellikleri

Gerçekten mi, .

Gerçekten mi, .

1) ve 2) özelliklerini birleştirerek şunu söyleyebiliriz:

…,
- homojen bir sistemin (2) çözümleri, o zaman bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu da onun çözümüdür. Burada
- keyfi gerçek sayılar.

Bulunabilir
doğrusal bağımsız kısmi çözümler homojen sistem (2), yardımıyla bu sistemin başka herhangi bir özel çözümünü elde edebilirsiniz, yani. elde etmek genel çözüm sistemler (2).

Tanım 2.2 Bütünlük
doğrusal bağımsız kısmi çözümler

…,
Sistemin (2) her bir çözümü, bunların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilecek şekilde homojen sistem (2) olarak adlandırılır. temel çözüm sistemi homojen bir sistemin (FSR) (2).

İzin vermek

…,
temel bir çözüm sistemi ise, homojen sistemin (2) genel çözümü şu şekilde temsil edilebilir:

Nerede

.

Yorum. FSR'yi edinmek için özel çözümler bulmanız gerekir

…,
Bir serbest değişkene sırasıyla “1” değeri ve diğer tüm serbest değişkenlere “0” değeri verilir.

Aldık ,, …,-FSR.

Örnek. Homojen denklem sisteminin genel çözümünü ve temel çözüm sistemini bulun:

Çözüm. Daha önce sistemin son denklemini ilk sıraya koyarak sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve adım adım forma getirelim. Elemanter dönüşümler sonucunda denklemlerin sağ tarafları değişmediğinden sütun sıfır kalır.

yazılmamış olabilir.

̴
̴
̴

Sistem sıralaması nerede
- değişken sayısı. Sistem belirsizdir ve birçok çözümü vardır.

Değişkenler için temel minör
sıfır olmayan:
seçmek
temel değişkenler olarak geri kalanı
- serbest değişkenler (herhangi bir gerçek değeri alın).

Zincirdeki son matris, adım adım bir denklem sistemine karşılık gelir:

(3)

Temel değişkenleri ifade edelim
serbest değişkenler aracılığıyla
(Gauss yönteminin tersi).

İfade ettiğimiz son denklemden :
ve bunu ilk denklemde yerine koyalım. Alacağız. Parantezleri açıp benzerlerini verip ifade edelim. :
.

İnanmak
,
,
, Nerede
, hadi yazalım

- sistemin genel çözümü.

Temel bir çözüm sistemi bulalım

,,.

Bu durumda homojen sistemin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

Yorum. FSR, öncelikle sisteme genel bir çözüm bulmadan başka bir şekilde bulunabilirdi. Bunu yapmak için, ortaya çıkan adım sisteminin (3) üç kez çözülmesi gerekiyordu; :
; :
; :
.

İçin M Sistem doğrusal denklemler N C bilinmeyenler denir doğrusal homojen sistem

Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu denklemler. Böyle bir sistem şöyle görünür: Nerede (ve ben 1, 2, …, M ben = = 1, 2, …, N; J ) - verilen sayılar; x ben

– bilinmiyor. R Bir doğrusal homojen denklem sistemi her zaman tutarlıdır, çünkü R(A) = (). Her zaman en az sıfıra sahiptir (önemsiz

) çözüm (0; 0; …; 0).

Homojen sistemlerin hangi koşullar altında sıfırdan farklı çözümlere sahip olduğunu düşünelim. Teorem 1. R Bir doğrusal homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı çözümleri vardır ancak ve ancak ana matrisinin rütbesi şu şekildedir: N daha az bilinmeyen R < N.

□ , yani R ≤ N 1). Bir doğrusal homojen denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü olsun. Sıralama matrisin boyutunu aşamadığından, o zaman açıktır ki, R = N. İzin vermek . Daha sonra küçük boyutlardan biri n n sıfırdan farklı. Bu nedenle, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır: R < N.

. Bu, önemsiz çözümlerden başka çözümün olmadığı anlamına gelir. Yani, eğer önemsiz olmayan bir çözüm varsa, o zaman R < N 2). İzin vermek ■

. O halde homojen sistem tutarlı olduğundan belirsizdir. Bu, sonsuz sayıda çözüme sahip olduğu anlamına gelir; sıfır olmayan çözümlere sahiptir. N Homojen bir sistem düşünün N doğrusal denklemler c

(2)

bilinmiyor: Teorem 2. N Homojen bir sistem düşünün N Homojen sistem bilinmeyenler (2) ancak ve ancak determinantının sıfır olmayan çözümleri vardır: = 0.

□ Eğer sistem (2)'nin sıfırdan farklı bir çözümü varsa, o zaman = 0. Çünkü sistemin yalnızca tek bir sıfır çözümü olduğunda. = 0 ise sıralama R sistemin ana matrisi bilinmeyenlerin sayısından daha azdır, yani. R < N. Ve bu nedenle sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır, yani. sıfır olmayan çözümlere sahiptir. ■

(1) sisteminin çözümünü gösterelim. X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, xn = kn dize olarak .

Bir doğrusal homojen denklem sisteminin çözümleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Eğer çizgi sistem (1)'in bir çözümü ise doğru, sistem (1)'in bir çözümüdür.

2. Eğer çizgiler ve (1) sisteminin çözümleridir, o zaman herhangi bir değer için İle 1 ve İleŞekil 2'deki doğrusal kombinasyonlar aynı zamanda sistem (1)'in de bir çözümüdür.

Bu özelliklerin geçerliliği, bunların doğrudan sistem denklemlerine yerleştirilmesiyle doğrulanabilir.

Formüle edilen özelliklerden, bir doğrusal homojen denklemler sisteminin çözümlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonunun aynı zamanda bu sistemin de bir çözümü olduğu sonucu çıkar.

Doğrusal bağımsız çözümler sistemi e 1 , e 2 , …, e r isminde esas, eğer sistem (1)'in her çözümü bu çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu ise e 1 , e 2 , …, e r.

Teorem 3. Sıralama ise R için katsayı matrisleri sistem değişkenleri doğrusal homojen denklemler (1) değişken sayısından azdır N, o zaman sistem (1)'in herhangi bir temel çözüm sistemi aşağıdakilerden oluşur: hayır kararlar.

Bu yüzden genel çözüm doğrusal homojen denklemler sistemi (1) şu şekildedir:

Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu denklemler. Böyle bir sistem şöyle görünür: e 1 , e 2 , …, e r- Sistem (9)'a yönelik herhangi bir temel çözüm sistemi, İle 1 , İle 2 , …, p ile– keyfi sayılar, R = hayır.

Teorem 4. Sistemin genel çözümü M Homojen bir sistem düşünün N bilinmeyenler, karşılık gelen doğrusal homojen denklemler sisteminin (1) genel çözümünün ve bu sistemin (1) keyfi özel çözümünün toplamına eşittir.

Örnek. Sistemi çöz

Çözüm. Bu sistem için M = N= 3. Belirleyici

Teorem 2'ye göre sistemin yalnızca önemsiz bir çözümü vardır: X = sen = z = 0.

Örnek. 1) Sistemin genel ve özel çözümlerini bulun

2) Temel çözüm sistemini bulun.

Çözüm. 1) Bu sistem için M = N= 3. Belirleyici

Teorem 2'ye göre sistemin sıfır olmayan çözümleri vardır.

Sistemde tek bir bağımsız denklem olduğundan

X + sen – 4z = 0,

o zaman ondan ifade edeceğiz X =4z- sen. Sonsuz sayıda çözümü nereden buluruz: (4 z- sen, sen, z) – bu sistemin genel çözümüdür.

Şu tarihte: z= 1, sen= -1, belirli bir çözüm elde ederiz: (5, -1, 1). Koyarak z= 3, sen= 2, ikinci özel çözümü elde ederiz: (10, 2, 3), vb.

2) Genel çözümde (4 z- sen, sen, z) değişkenler sen Ve zücretsizdir ve değişken X- onlara bağlı. Temel çözüm sistemini bulmak için serbest değişkenlere değerler atayalım: önce sen = 1, z= 0 ise sen = 0, z= 1. Temel çözüm sistemini oluşturan kısmi çözümler (-1, 1, 0), (4, 0, 1) elde ederiz.

İllüstrasyonlar:

Pirinç. 1 Doğrusal denklem sistemlerinin sınıflandırılması

Pirinç. 2 Doğrusal denklem sistemlerinin incelenmesi

Sunumlar:

· Çözüm SLAE_matrix yöntemi

· SLAE_Cramer yönteminin çözümü

· Çözüm SLAE_Gauss yöntemi

· Çözüm paketleri matematik problemleri Matematik, MathCad: analitik arama ve sayısal çözüm doğrusal denklem sistemleri

Güvenlik soruları :

1. Doğrusal bir denklem tanımlayın

2. Ne tür bir sisteme benziyor? M ile doğrusal denklemler N bilinmiyor mu?

3. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümüne ne denir?

4. Hangi sistemlere eşdeğer denir?

5. Hangi sisteme uyumsuz denir?

6. Hangi sisteme eklem denir?

7. Hangi sisteme kesin denir?

8. Hangi sisteme belirsiz denir

9. Lineer denklem sistemlerinin temel dönüşümlerini listeleyin

10. Matrislerin temel dönüşümlerini listeleyin

11. Temel dönüşümlerin bir doğrusal denklem sistemine uygulanmasına ilişkin bir teorem formüle edin

12. Matris yöntemi kullanılarak hangi sistemler çözülebilir?

13. Cramer yöntemiyle hangi sistemler çözülebilir?

14. Gauss yöntemiyle hangi sistemler çözülebilir?

15. Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözerken ortaya çıkan 3 olası durumu listeleyin

16. Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için matris yöntemini tanımlayın

17. Cramer'in doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemini açıklayın

18. Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemini tanımlayın

19. Hangi sistemler kullanılarak çözülebilir? ters matris?

20. Cramer yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözerken ortaya çıkan 3 olası durumu listeleyin

Edebiyat:

1. İktisatçılar için yüksek matematik: Üniversiteler için ders kitabı / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Ed. N.Ş. Kremer. – M.: BİRLİK, 2005. – 471 s.

2. İktisatçılar için genel yüksek matematik dersi: Ders Kitabı. / Ed. V.I. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. İktisatçılar için yüksek matematik problemlerinin toplanması: öğretici/ Düzenleyen: V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Olasılık teorisi ve magmatik istatistiklerdeki problemlerin çözümü için kılavuz. - M.: Yüksek Lisans, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik. - M.: Yüksekokul, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Alıştırmalarda ve problemlerde daha yüksek matematik. Bölüm 1, 2. – M.: Onyx 21. yüzyıl: Barış ve Eğitim, 2005. – 304 s. Bölüm 1; – 416 s. Bölüm 2.

7. İktisatta Matematik: Ders Kitabı: 2 bölüm / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finans ve İstatistik, 2006.

8. Shipachev V.S. Yüksek matematik: Öğrenciler için ders kitabı. üniversiteler - M.: Yüksekokul, 2007. - 479 s.

İlgili bilgiler.

Homojen doğrusal sistemler cebirsel denklemler

Derslerin bir parçası olarak Gauss yöntemi Ve Ortak bir çözüme sahip uyumsuz sistemler/sistemler düşündük homojen olmayan doğrusal denklem sistemleri, Nerede ücretsiz üye(genellikle sağdadır) en az bir denklemlerden sıfırdan farklıydı.
Ve şimdi, güzel bir ısınmanın ardından matris sırası, tekniği geliştirmeye devam edeceğiz temel dönüşümler Açık homojen doğrusal denklem sistemi.
İlk paragraflara bakıldığında materyal sıkıcı ve vasat görünebilir ancak bu izlenim aldatıcıdır. Daha fazla gelişmenin yanı sıra teknikleri Pek çok yeni bilgi olacak, bu yüzden lütfen bu makaledeki örnekleri ihmal etmemeye çalışın.

Homojen doğrusal denklem sistemi nedir?

Cevap kendini gösteriyor. Bir doğrusal denklem sistemi eğer serbest terim varsa homojendir. herkes Sistemin denklemi sıfırdır. Örneğin:

Kesinlikle açıktır ki homojen bir sistem her zaman tutarlıdır yani her zaman bir çözümü vardır. Ve her şeyden önce gözünüze çarpan şey sözde (). Her zaman en az sıfıra sahiptir (çözüm . Sıfatın anlamını hiç anlamayanlar için önemsiz, gösterişsiz anlamına gelir. Elbette akademik olarak değil, ama anlaşılır bir şekilde =) ...Neden bu kadar lafı dolaştıralım ki, hadi bu sistemin başka çözümleri var mı öğrenelim:

Örnek 1

Çözüm: Homojen bir sistemi çözmek için şunu yazmak gerekir: sistem matrisi ve temel dönüşümlerin yardımıyla onu kademeli bir forma getirin. Lütfen burada dikey çubuğu ve serbest terimlerin sıfır sütununu yazmaya gerek olmadığını unutmayın - sonuçta sıfırlarla ne yaparsanız yapın, bunlar sıfır olarak kalacaktır:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -3 ile çarpılarak eklendi.

(2) Üçüncü satıra ikinci satır -1 ile çarpılarak eklendi.

Üçüncü satırı 3'e bölmek pek bir anlam ifade etmiyor.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir homojen sistem elde edilir Gauss yönteminin tersini kullanarak çözümün benzersiz olduğunu doğrulamak kolaydır.

Cevap:

Açık bir kriter formüle edelim: homojen bir doğrusal denklem sistemi vardır sadece önemsiz bir çözüm, Eğer sistem matris sıralaması(V bu durumda 3) değişken sayısına eşit (bu durumda – 3 adet).

Hadi ısınalım ve radyomuzu temel dönüşüm dalgasına göre ayarlayalım:

Örnek 2

Homojen bir doğrusal denklem sistemini çözün

Makaleden Bir matrisin rütbesi nasıl bulunur? Matris sayılarını aynı anda azaltmanın rasyonel tekniğini hatırlayalım. Aksi takdirde büyük ve sıklıkla ısıran balıkları kesmeniz gerekecektir. Dersin sonundaki görevin yaklaşık bir örneği.

Sıfırlar iyi ve kullanışlıdır, ancak pratikte durum sistem matrisinin satırları olduğunda çok daha yaygındır. doğrusal bağımlı. Ve sonra genel bir çözümün ortaya çıkması kaçınılmazdır:

Örnek 3

Homojen bir doğrusal denklem sistemini çözün

Çözüm: Sistemin matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim. İlk eylem, yalnızca tek bir değer elde etmeyi değil, aynı zamanda ilk sütundaki sayıları da azaltmayı amaçlamaktadır:

(1) Birinci satıra -1 ile çarpılarak üçüncü satır eklendi. Üçüncü satır ikinci satıra -2 ile çarpılarak eklendi. Sol üstte, daha sonraki dönüşümler için genellikle çok daha uygun olan "eksi" olan bir birimim var.

(2) İlk iki satır aynı, biri silinmiş. Dürüst olmak gerekirse, çözümü zorlamadım - bu şekilde çıktı. Dönüşümleri şablon şeklinde gerçekleştirirseniz, o zaman doğrusal bağımlılıkçizgiler biraz sonra ortaya çıkacaktı.

(3) İkinci satır üçüncü satıra 3 ile çarpılarak eklendi.

(4) İlk satırın işareti değiştirildi.

Temel dönüşümler sonucunda eşdeğer bir sistem elde edildi:

Algoritma tam olarak aynı şekilde çalışır heterojen sistemler. “Basamaklarda oturan” değişkenler ana değişkenlerdir, “adım” alamayan değişken ise serbesttir.

Temel değişkenleri serbest bir değişken aracılığıyla ifade edelim:

Cevap: genel çözüm:

Önemsiz çözüm dahildir genel formül ayrı ayrı yazmaya gerek yoktur.

Kontrol aynı zamanda olağan şemaya göre gerçekleştirilir: Ortaya çıkan genel çözüm, sistemdeki her denklemin sol tarafına yerleştirilmelidir ve tüm ikameler için yasal bir sıfır elde edilmelidir.

Bunu sessizce ve barışçıl bir şekilde bitirmek mümkün olabilir, ancak homojen bir denklem sisteminin çözümünün sıklıkla temsil edilmesi gerekir. vektör biçiminde kullanarak temel çözüm sistemi. Lütfen şimdilik bunu unutun analitik geometri Artık yazımda biraz açtığım genel cebirsel anlamda vektörlerden bahsedeceğiz. matris sırası. Terminolojiyi abartmaya gerek yok, her şey oldukça basit.

düşünelim homojen sistem n değişkenli m doğrusal denklem:

(15)

Bir homojen doğrusal denklem sistemi her zaman tutarlıdır çünkü her zaman sıfır (önemsiz) bir çözümü vardır (0,0,…,0).

Sistem (15) m=n ve ise, bu durumda sistemin yalnızca sıfır çözümü vardır, bu da Cramer teoremi ve formüllerinden kaynaklanır.

Teorem 1. Homojen sistem (15), ancak ve ancak matrisinin derecesi değişken sayısından azsa, yani; . R(A)< N.

Kanıt. Sistem (15) için önemsiz olmayan bir çözümün varlığı, sistem matrisinin sütunlarının doğrusal bağımlılığına eşdeğerdir (yani x 1, x 2,..., x n sayıları vardır, hepsi sıfıra eşit değildir, öyle ki eşitlikler (15) doğrudur).

Temel minör teoremine göre, bir matrisin sütunları doğrusal olarak bağımlıdır; bu matrisin tüm sütunları temel olmadığında, yani.  matrisin küçük bazının sırası r, sütunlarının n sayısından küçük olduğunda. Vesaire.

Sonuçlar. Bir kare homojen sistemin önemsiz olmayan çözümleri vardır  |A|=0 olduğunda.

Teorem 2. Eğer x (1), x (2),..., x (s) sütunları homojen bir AX = 0 sisteminin çözümleriyse, bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu da bu sistemin bir çözümüdür.

Kanıt. Herhangi bir çözüm kombinasyonunu düşünün:

O halde AX=A()===0. vesaire.

Sonuç 1. Eğer homojen bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü varsa, o zaman sonsuz sayıda çözümü vardır.

O. Ax = 0 sisteminin x (1), x (2),..., x (s) gibi çözümlerini bulmak gerekir, böylece bu sistemin diğer herhangi bir çözümü bunların doğrusal birleşimi biçiminde temsil edilir ve Üstelik benzersiz bir şekilde.

Tanım.Ах=0 sisteminin doğrusal bağımsız x (1), x (2),…, x (k) çözümlerinin k=n-r (n sistemdeki bilinmeyenlerin sayısı, r=rg A) sistemine denir temel çözüm sistemi bu sistem.

Teorem 3. n bilinmeyenli ve r=rg A'lı homojen bir sistem verilse, bu sistemin x (1), x (2),…, x (k) çözümlerinden oluşan bir kümesi vardır. Temel çözüm sistemi.

Kanıt. Genelliği kaybetmeden, A matrisinin küçük tabanının sol üst köşede bulunduğunu varsayabiliriz. Bu durumda, temel küçük teoremine göre, A matrisinin geri kalan satırları, temel satırların doğrusal kombinasyonlarıdır. Bu, x 1, x 2,…, xn değerlerinin ilk r denklemlerini karşılaması durumunda, yani. Temel minörün satırlarına karşılık gelen denklemler), o zaman diğer denklemleri de karşılarlar. Sonuç olarak (r+1)'inciden başlayarak tüm denklemleri atarsak sistemin çözüm kümesi değişmeyecektir. Sistemi alıyoruz:

Serbest bilinmeyenler x r +1 , x r +2 ,…, x n'yi sağa taşıyalım ve temel bilinmeyenler x 1 , x 2 ,…, x r'yi solda bırakalım:

(16)

Çünkü bu durumda tüm b i =0, o zaman formüller yerine

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), şunu elde ederiz:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Serbest bilinmeyenler x r +1 , x r +2 ,…, x n'yi keyfi değerlere ayarlarsak, o zaman temel bilinmeyenlere göre, benzersiz bir çözümü olan tekil olmayan bir matrise sahip bir kare SLAE elde ederiz. Dolayısıyla, homojen bir SLAE'nin herhangi bir çözümü, serbest bilinmeyenler x r +1, x r +2,…, x n'nin değerleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. Serbest bilinmeyenlerin aşağıdaki k=n-r değer serisini göz önünde bulundurun:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Seri numarası parantez içinde üst simge ile gösterilir ve değerler dizisi sütunlar halinde yazılır. Her seride i=j ise =1, ij ise =0 olur.

Serbest bilinmeyenlerin i'inci değer serisi, ,,...,temel bilinmeyenlerin değerlerine benzersiz bir şekilde karşılık gelir. Serbest ve temel bilinmeyenlerin değerleri birlikte sistemin çözümlerini verir (17).

e i =,i=1,2,…,k (18) sütunlarının olduğunu gösterelim.

temel bir çözüm sistemi oluşturur.

Çünkü Bu sütunlar yapısal olarak Ax=0 homojen sisteminin çözümleridir ve sayıları k'ye eşittir, o zaman geriye çözümlerin doğrusal bağımsızlığını kanıtlamak kalır (16). Çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu olsun e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k))), sıfır sütununa eşit:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+k X(k) = 0)

O halde bu eşitliğin sol tarafı r+1,r+2,…,n sayılarındaki bileşenleri sıfıra eşit olan bir sütundur. Ancak (r+1)'inci bileşen  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1'e eşittir. Benzer şekilde (r+2)'inci bileşen  2 ,…'ye, k'inci bileşen ise  k'ye eşittir. Bu nedenle  1 =  2 = …= k =0, çözümlerin doğrusal bağımsızlığı anlamına gelir e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Oluşturulan temel çözüm sistemine (18) denir normal. Formül (13) sayesinde aşağıdaki forma sahiptir:

(20)

Sonuç 2. İzin vermek e 1 , e 2 ,…, e k-homojen bir sistemin normal temel çözüm sistemi, o zaman tüm çözümlerin kümesi aşağıdaki formülle tanımlanabilir:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+сk e k (21)

burada с 1,с 2,…,с k – keyfi değerler alır.

Kanıt. Teorem 2'ye göre sütun (19), Ax=0 homojen sisteminin bir çözümüdür. Geriye bu sisteme herhangi bir çözümün (17) formunda temsil edilebileceğini kanıtlamak kalıyor. Sütunu düşünün X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Bu sütun r+1,...,n numaralı elemanlardaki y sütununa denk gelir ve (16)'nın çözümüdür. Bu nedenle sütunlar X Ve ençakışıyor çünkü (16) sisteminin çözümleri, serbest bilinmeyenleri x r +1 ,…,x n ve sütunlarının değer kümesi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. en Ve X bu setler aynıdır. Buradan, en=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, yani çözüm en sütunların doğrusal birleşimidir e 1 ,…,y n normal FSR. Vesaire.

Kanıtlanmış ifade yalnızca normal bir FSR için değil aynı zamanda homojen bir SLAE'nin keyfi FSR'si için de doğrudur.

X=C 1 X 1 + C 2 X 2 ++s N - R X N - R - genel çözüm doğrusal homojen denklem sistemleri

Burada X 1, X 2,…, X n - r – herhangi bir temel çözüm sistemi,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r keyfi sayılardır.

Örnek. (s. 78)

Homojen olmayan SLAE'nin çözümleri arasında bir bağlantı kuralım (1) ve karşılık gelen homojen SLAE (15)

Teorem 4. Homojen olmayan sistemin (1) ve karşılık gelen homojen sistemin (15) herhangi bir çözümünün toplamı, sistemin (1) bir çözümüdür.

Kanıt. Eğer c 1 ,…,c n, sistem (1)'in bir çözümüyse ve d 1 ,…,d n, sistem (15)'in bir çözümüyse, o zaman bilinmeyen c sayılarını herhangi bir (örneğin, i-th) denkleminde yerine koyarız. sistem (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n, şunu elde ederiz:

B i +0=b i h.t.d.

Teorem 5. İki farkı keyfi kararlar homojen olmayan sistem (1), homojen sisteme (15) bir çözümdür.

Kanıt. Eğer c 1 ,…,c n ve c 1 ,…,c n, sistem (1)'in çözümleri ise, o zaman bilinmeyen c sayılarını sistem (1)'in herhangi bir (örneğin, i-th) denkleminde yerine koyarız ) 1 -с 1 ,…,cn -сn , şunu elde ederiz:

B i -b i =0 puan.

Kanıtlanmış teoremlerden, n değişkenli m doğrusal homojen denklem sisteminin genel çözümünün, karşılık gelen homojen doğrusal denklemler sisteminin (15) genel çözümünün ve özel bir çözümünün keyfi bir sayısının toplamına eşit olduğu sonucu çıkar. bu sistem (15).

X neod. =X toplam bir +X sık birden fazla (22)

Homojen olmayan bir sistemin özel bir çözümü olarak, c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j formüllerinde elde edilen çözümün alınması doğaldır. (a in)) j=1,2,…,r ((13) tüm c r +1 ,…,c n sayılarını sıfıra eşitleyin, yani.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Bu özel çözümü genel çözüme eklemek X=C 1 X 1 + C 2 X 2 ++s N - R X N - R karşılık gelen homojen sistem, şunu elde ederiz:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S N - R X N - R (24)

İki değişkenli iki denklemden oluşan bir sistem düşünün:

burada katsayılardan en az biri bir ben 0.

Çözmek için, ilk denklemi 22 ile, ikincisini (-a 12) çarpıp ekleyerek x 2'yi ortadan kaldırırız: İlk denklemi (-a 21) ve ikinciyi 11 ile çarparak x 1'i ortadan kaldırırız. ve bunları ekliyorum: Parantez içindeki ifade determinanttır

Belirledikten sonra ,, o zaman sistem şu şekli alacaktır:, yani, eğer sistemin benzersiz bir çözümü varsa:,.

Eğer Δ=0 ve (veya) ise sistem tutarsızdır çünkü forma indirgenmişse Δ=Δ 1 = Δ 2 =0 ise sistem belirsizdir çünkü biçime indirgenmiş

Örnek 1. Sistem için genel bir çözüm ve bazı temel çözüm sistemi bulun

Çözüm hesap makinesi kullanarak bulun. Çözüm algoritması doğrusal homojen olmayan denklem sistemleriyle aynıdır.
Yalnızca satırlarla çalışarak matrisin rütbesini, temel minörünü buluruz; Bağımlı ve serbest bilinmeyenleri ilan edip genel bir çözüm buluyoruz.

Birinci ve ikinci satırlar orantılıdır, bunlardan birinin üzerini çizelim:

.
Bağımlı değişkenler – x 2, x 3, x 5, serbest – x 1, x 4. İlk denklem olan 10x 5 = 0'dan x 5 = 0'ı buluruz, o zaman
; .
Genel çözüm şudur:

(n-r) çözümlerden oluşan temel bir çözüm sistemi buluyoruz. Bizim durumumuzda n=5, r=3 dolayısıyla temel çözüm sistemi iki çözümden oluşur ve bu çözümlerin doğrusal olarak bağımsız olması gerekir. Satırların doğrusal bağımsız olması için satırların elemanlarından oluşan matrisin rütbesinin satır sayısına eşit yani 2 olması gerekli ve yeterlidir. Serbest bilinmeyenlerin x 1 ve İkinci dereceden determinantın satırlarından x 4 değerini sıfırdan farklı olarak hesaplayın ve x 2 , x 3 , x 5 . Sıfır olmayan en basit determinanttır.
Yani ilk çözüm: , ikinci - .
Bu iki karar temel bir karar sistemini oluşturur. Temel sistemin benzersiz olmadığını unutmayın (istediğiniz kadar sıfırdan farklı determinant oluşturabilirsiniz).

Örnek 2. Sistemin genel çözümünü ve temel çözüm sistemini bulun
Çözüm.



,
matrisin rütbesinin 3 olduğu ve bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu sonucu çıkar. Bu, sistemin serbest bilinmeyenlere sahip olmadığı ve bu nedenle benzersiz, önemsiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Egzersiz yapmak . Doğrusal denklem sistemini keşfedin ve çözün.
Örnek 4

Egzersiz yapmak . Her sistemin genel ve özel çözümlerini bulun.
Çözüm. Sistemin ana matrisini yazalım:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Matrisimizi üçgen forma indirgeyelim. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü bir matris satırını sıfırdan farklı bir sayıyla çarpıp sistem için başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayıyla çarpıp başka bir denklemle eklemek anlamına gelir ki bu da denklemin çözümünü değiştirmez. sistem.
2. satırı (-5) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2. satırı (6) ile çarpalım. 3. satırı (-1) ile çarpın. 3. satırı 2. satıra ekleyelim:
Matrisin rütbesini bulalım.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Vurgulanan küçük en yüksek derece(olası küçüklerden) ve sıfırdan farklı (ters köşegendeki elemanların çarpımına eşittir), dolayısıyla rang(A) = 2'dir.
Bu küçük temeldir. Bilinmeyenler x 1 , x 2 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyenler x 1 , x 2'nin bağımlı (temel) olduğu ve x 3 , x 4 , x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Solda sadece küçük tabanı bırakarak matrisi dönüştürelim.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Bilinmeyenleri eleme yöntemini kullanarak şunu buluruz: önemsiz olmayan çözüm:
Bağımlı değişkenler x 1 , x 2'yi serbest değişkenler x 3 , x 4 , x 5 aracılığıyla ifade eden ilişkileri elde ettik, yani şunu bulduk: genel çözüm:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
(n-r) çözümlerden oluşan temel bir çözüm sistemi buluyoruz.
Bizim durumumuzda n=5, r=2 olduğundan temel çözüm sistemi 3 çözümden oluşur ve bu çözümlerin doğrusal olarak bağımsız olması gerekir.
Satırların doğrusal bağımsız olabilmesi için satır elemanlarından oluşan matrisin rütbesinin satır sayısına eşit yani 3 olması gerekli ve yeterlidir.
Sıfırdan farklı 3. dereceden determinantın doğrularından serbest bilinmeyenler x 3 , x 4 , x 5 değerlerini verip x 1 , x 2 değerini hesaplamak yeterlidir.
Sıfır olmayan en basit determinant birim matristir.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Görev . Homojen bir doğrusal denklem sisteminin temel çözüm kümesini bulun.