Matematikte açık ders “Sıfır sayısını sıfırla çarpmak. Sıfır bölme. Sıfıra bölme. Eğlenceli matematik 0 kuralına göre toplama

Pek çok kişi çoğu zaman sıfıra bölmenin neden kullanılamayacağını merak ediyor? Bu yazımızda bu kuralın nereden geldiği ve sıfır ile hangi işlemlerin yapılabileceği hakkında çok detaylı konuşacağız.

Sıfır en ilginç sayılardan biri olarak adlandırılabilir. Bu sayının hiçbir anlamı yok Kelimenin tam anlamıyla boşluk anlamına gelir. Ancak herhangi bir sayının yanına sıfır konulursa bu sayının değeri birkaç kat daha büyük olacaktır.

Sayının kendisi çok gizemli. yine kullandım eski insanlar Maya. Mayalar için sıfır “başlangıç” anlamına geliyordu ve takvim günleri de sıfırdan başlıyordu.

Çok ilginç gerçek sıfır işareti ile belirsizlik işaretinin benzer olmasıdır. Mayalar bununla sıfırın belirsizlikle aynı işaret olduğunu göstermek istediler. Avrupa'da sıfır tanımı nispeten yakın zamanda ortaya çıktı.

Sıfırla ilgili yasağı da pek çok kişi biliyor. Herhangi biri bunu söyleyecektir Sıfıra bölemezsin. Okuldaki öğretmenler bunu söyler ve çocuklar da genellikle onların sözlerine inanırlar. Genellikle çocuklar ya bunu bilmekle ilgilenmezler ya da önemli bir yasağı duyup hemen "Neden sıfıra bölemiyorsun?" Ancak yaşınız ilerledikçe ilginiz uyanıyor ve bu yasağın nedenlerini daha fazla öğrenmek istiyorsunuz. Ancak makul kanıtlar var.

Sıfır ile yapılan işlemler

Öncelikle sıfır ile hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini belirlemeniz gerekir. Var çeşitli eylem türleri:

• Ek;
• Çarpma;
• Çıkarma;
• Bölme (sayıya göre sıfır);
• Üs alma.

Önemli! Toplama sırasında herhangi bir sayıya sıfır eklerseniz bu sayı aynı kalacak ve sayısal değeri değişmeyecektir. Herhangi bir sayıdan sıfırı çıkardığınızda da aynı şey olur.

Çarpma ve bölme işlemleri biraz farklıdır. Eğer herhangi bir sayıyı sıfırla çarpmak, o zaman çarpım da sıfır olacaktır.

Bir örneğe bakalım:

Ek olarak şunu yazalım:

Toplamda beş sıfır var, yani öyle görünüyor ki

Bir ile sıfırı çarpmayı deneyelim. Sonuç da sıfır olacaktır.

Sıfır, kendisine eşit olmayan herhangi bir sayıya da bölünebilir. Bu durumda sonuç, değeri de sıfır olacak olan olacaktır. Negatif sayılar için de aynı kural geçerlidir. Sıfır bölünürse negatif sayı, o zaman sıfır olacaktır.

Ayrıca herhangi bir sayı oluşturabilirsiniz sıfır dereceye kadar. Bu durumda sonuç 1 olacaktır. “Sıfır üzeri sıfır” ifadesinin kesinlikle anlamsız olduğunu unutmamak gerekir. Sıfırın herhangi bir kuvvetine ulaşmaya çalışırsanız sıfır elde edersiniz. Örnek:

Çarpma kuralını kullanırız ve 0 alırız.

Peki sıfıra bölmek mümkün mü?

Yani asıl soruya geliyoruz. Sıfıra bölmek mümkün mü? hiç mi? Ve sıfır içeren diğer tüm eylemlerin mevcut olduğu ve uygulandığı göz önüne alındığında, neden bir sayıyı sıfıra bölemiyoruz? Bu soruyu cevaplamak için yüksek matematiğe yönelmek gerekir.

Kavramın tanımıyla başlayalım, sıfır nedir? Okul öğretmenleri sıfırın hiçbir şey olmadığını söylüyor. Boşluk. Yani 0 tutamacınız olduğunu söylediğinizde, hiç tutamacınız olmadığı anlamına gelir.

Yüksek matematikte “sıfır” kavramı daha geniştir. Bu kesinlikle boşluk anlamına gelmez. Burada sıfıra belirsizlik denir çünkü biraz araştırma yaparsak, sıfırı sıfıra böldüğümüzde, sıfır olmayabilecek başka herhangi bir sayıyla sonuçlanabileceğimiz ortaya çıkar.

Bunların basit olduğunu biliyor muydunuz? aritmetik işlemler okulda okuduğunuz birbirinize o kadar eşit değil mi? En temel eylemler şunlardır: toplama ve çarpma.

Matematikçiler için “” ve “çıkarma” kavramları mevcut değildir. Diyelim ki beşten üçü çıkarırsanız geriye iki kalır. Çıkarma işlemi böyle görünür. Ancak matematikçiler bunu şu şekilde yazar:

Böylece bilinmeyen farkın, 5 elde etmek için 3'e eklenmesi gereken belirli bir sayı olduğu ortaya çıkıyor. Yani hiçbir şey çıkarmanıza gerek yok, sadece uygun sayıyı bulmanız gerekiyor. Bu kural toplama işlemi için geçerlidir.

ile işler biraz farklı çarpma ve bölme kuralları. Sıfırla çarpmanın sıfır sonuca yol açtığı bilinmektedir. Örneğin, eğer 3:0=x ise girişi tersine çevirirseniz 3*x=0 elde edersiniz. Ve 0 ile çarpılan bir sayı çarpımda sıfır verecektir. Sıfır ile çarpımda sıfırdan başka değer verecek bir sayının olmadığı ortaya çıktı. Bu, sıfıra bölmenin anlamsız olduğu, yani bizim kuralımıza uyduğu anlamına gelir.

Peki sıfırın kendisini kendisine bölmeye çalışırsanız ne olur? x'i bir şey olarak alalım belirsiz sayı. Ortaya çıkan denklem 0*x=0'dır. Çözülebilir.

X yerine sıfır almaya çalışırsak 0:0=0 elde ederiz. Mantıklı görünüyor mu? Ancak x yerine başka bir sayıyı (örneğin 1) almaya çalışırsak 0:0=1 sonucunu elde ederiz. Başka bir sayı alırsak da aynı durum olur ve bunu denklemin içine koy.

Bu durumda başka herhangi bir sayıyı faktör olarak alabileceğimiz ortaya çıkıyor. Sonuç sonsuz sayıda farklı sayı olacaktır. Bazen yüksek matematikte 0'a bölmek hala mantıklıdır, ancak genellikle belirli bir koşul ortaya çıkar, bu sayede yine de uygun bir sayı seçebiliriz. Bu eyleme "belirsizliğin açıklanması" denir. Sıradan aritmetikte, kümeden tek bir sayı seçemeyeceğimiz için sıfıra bölme yine anlamını yitirecektir.

Önemli! Sıfırı sıfıra bölemezsiniz.

Sıfır ve sonsuzluk

Sonsuzluk yüksek matematikte çok sık bulunabilir. Okul çocukları için sonsuzlukla ilgili matematiksel işlemlerin de olduğunu bilmek önemli olmadığından, öğretmenler sıfıra bölmenin neden imkansız olduğunu çocuklara düzgün bir şekilde açıklayamazlar.

Öğrenciler temel matematik sırlarını ancak enstitünün ilk yılında öğrenmeye başlarlar. Yüksek matematikçözümü olmayan çok sayıda sorun sunar. En ünlü problemler sonsuzlukla ilgili problemlerdir. Kullanılarak çözülebilirler matematiksel analiz.

Sonsuzluğa da uygulanabilir temel matematik işlemleri: toplama, sayıyla çarpma. Genellikle çıkarma ve bölme de kullanılır, ancak sonuçta bunlar yine de iki basit işleme indirgenir.

Ama ne olacak eğer denersen:

• Sonsuzluk sıfırla çarpılır. Teorik olarak herhangi bir sayıyı sıfırla çarpmaya çalışırsak sıfır elde ederiz. Ancak sonsuzluk belirsiz bir sayı kümesidir. Bu kümeden tek bir sayı seçemediğimiz için ∞*0 ifadesinin çözümü yoktur ve kesinlikle anlamsızdır.
• Sıfırın sonsuza bölümü. Yukarıdaki hikayenin aynısı burada da yaşanıyor. Tek bir sayı seçemiyoruz, bu da neye böleceğimizi bilmediğimiz anlamına geliyor. İfadenin hiçbir anlamı yok.

Önemli! Sonsuzluk belirsizlikten biraz farklıdır! Sonsuzluk belirsizlik türlerinden biridir.

Şimdi sonsuzluğu sıfıra bölmeyi deneyelim. Görünüşe göre belirsizlik olması gerekiyor. Ama bölmenin yerine çarpmayı koyarsak çok kesin bir cevap alırız.

Örneğin: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Bu şekilde çıkıyor matematiksel paradoks.

Neden sıfıra bölünemediğinin cevabı

Sıfıra bölmeye çalışan düşünce deneyi

Çözüm

Artık sıfırın, tek bir işlem dışında gerçekleştirilen hemen hemen tüm işlemlere tabi olduğunu biliyoruz. Sonuç belirsizlik diye sıfıra bölemezsiniz. Ayrıca sıfır ve sonsuzla işlem yapmayı da öğrendik. Bu tür eylemlerin sonucu belirsizlik olacaktır.

Sınıf: 3

Ders için sunum

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedef:

1. 0 ve 1 ile çarpma işleminin özel durumlarını tanıtın.
2. Çarpma ve değişmeli işlemlerin anlamını güçlendirin çarpma özelliği, bilgi işlem becerilerini uygulayın.
3. Dikkati, hafızayı, zihinsel işlemleri, konuşmayı, yaratıcılığı, matematiğe ilgiyi geliştirin.

Teçhizat: Slayt sunumu: Ek 1.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı.

Bugün bizim için alışılmadık bir gün. Derste konuklar mevcuttur. Başarılarınızla beni, dostlarınızı ve misafirlerinizi sevindirin. Defterlerinizi açın, numarayı yazın, harika iş. Kenar boşluğuna dersin başındaki ruh halinizi not edin. Slayt 2.

Tüm sınıf çarpım tablosunu kartlar üzerinde yüksek sesle tekrarlayarak sözlü olarak tekrarlar. (çocuklar yanlış cevapları alkışlarla işaretlerler).

Beden eğitimi dersi (“Beyin jimnastiği”, “Düşünme başlığı”, nefes alma).

2. Eğitim görevinin beyanı.

2.1. Dikkatin geliştirilmesine yönelik görevler.

Tahtada ve masada çocukların iki renkli sayılarla dolu bir resmi var:

– Yazılı sayıların ilginç yanı nedir? (Farklı renklerde yazın; tüm “kırmızı” sayılar çift, “mavi” sayılar ise tektir.)
– Hangi sayı tektir? (10 yuvarlaktır ve geri kalanı değildir; 10 iki basamaklıdır ve geri kalanı tek basamaklıdır; 5 iki kez tekrarlanır ve geri kalanı - birer birer.)
– 10 numarayı kapatacağım. Diğer numaraların arasında fazladan bir tane var mı? (3 – 10’a kadar bir çifti yok ama geri kalanında var.)
– Tüm “kırmızı” sayıların toplamını bulun ve kırmızı kareye yazın. (30.)
– Tüm “mavi” sayıların toplamını bulun ve bunu mavi kareye yazın. (23.)
– 30, 23'ten ne kadar fazladır? (7'de)
– 23, 30'dan ne kadar azdır? (Ayrıca saat 7'de.)
– Aramak için hangi eylemi kullandınız? (Çıkarma.) Slayt 3.

2.2. Hafıza ve konuşmanın geliştirilmesine yönelik görevler. Bilginin güncellenmesi.

a) – Adlandıracağım kelimeleri sırasıyla tekrarlayın: toplama, toplama, toplam, çıkarma, çıkarma, fark. (Çocuklar kelimelerin sırasını yeniden oluşturmaya çalışırlar.)
– Eylemlerin hangi bileşenleri adlandırıldı? (Toplama ve çıkarma.)
– Hala hangi eyleme aşinasınız? (Çarpma, bölme.)
– Çarpmanın bileşenlerini adlandırın. (Çarpan, çarpan, çarpım.)
– Birinci faktör ne anlama geliyor? (Toplamda eşit terimler.)
– İkinci faktör ne anlama geliyor? (Bu tür terimlerin sayısı.)

Çarpmanın tanımını yazınız.

a+ A+… + A= bir

b) – Notlara bakın. Hangi görevi yapacaksın?

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
bir + bir + bir

(Toplamı çarpımla değiştirin.)

Ne olacak? (İlk ifadede her biri 12'ye eşit olan 5 terim vardır, yani 12 5'e eşittir. Benzer şekilde - 33 4 ve 3)

c) – Ters işlemi adlandırın. (Çarpımı toplamla değiştirin.)

– Çarpımı ifadelerdeki toplamla değiştirin: 99 2. 8 4. B 3.(99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). Slayt 4.

d) Eşitlikler tahtaya yazılır:

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Resimler her eşitliğin yanına yerleştirilir.

– Orman okulunun hayvanları bir görevi tamamlıyorlardı. Doğru şekilde mi yaptılar?

Çocuklar fil, kaplan, tavşan ve sincabın hatalı olduğunu tespit eder ve hatalarının neler olduğunu açıklar. Slayt 5.

e) İfadeleri karşılaştırın:

8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
a 3... a 2 + a

(8 5 = 5 8, çünkü terimlerin yeniden düzenlenmesiyle toplam değişmez;
5 6 > 3 6, çünkü solda ve sağda 6 terim var, ancak solda daha fazla terim var;
34 9 > 31 2. solda daha fazla terim olduğundan ve terimlerin kendisi de daha büyük olduğundan;
a 3 = a 2 + a, çünkü solda ve sağda a'ya eşit 3 terim vardır.)

– İlk örnekte çarpma işleminin hangi özelliği kullanıldı? (Değişmeli.) Slayt 6.

2.3. Sorunun beyanı. Hedef belirleme.

Eşitlikler doğru mu? Neden? (Doğru, çünkü toplam 5 + 5 + 5 = 15. O zaman toplam bir 5 terim daha olur ve toplam 5 artar.)

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Bu deseni sağa doğru devam ettirin. (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
– Şimdi sola doğru devam edin. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
– 5 1 ifadesi ne anlama geliyor? 5 0 mı? (? Sorun!)

Tartışmanın özeti:

Ancak 5 1 ve 5 0 ifadeleri bir anlam ifade etmemektedir. Bu eşitliklerin doğru olduğunu kabul edebiliriz. Ancak bunu yapmak için çarpmanın değişme özelliğini ihlal edip etmeyeceğimizi kontrol etmemiz gerekiyor.

Yani dersimizin amacı eşitlikleri sayıp sayamayacağımızı belirleme 5 1 = 5 ve 5 0 = 0 doğru mu?

- Ders sorunu! Slayt 7.

3. Yeni bilgilerin çocuklar tarafından “keşfi”.

a) – Şu adımları izleyin: 1 7, 1 4, 1 5.

Çocuklar not defterlerinde ve tahtada yorum yaparak örnekleri çözerler:

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

– Bir sonuca varın: 1 a – ? (1 a = a.) Kart görüntülenir: 1 a = a

b) – 7 1, 4 1, 5 1 ifadeleri anlamlı mıdır? Neden? (Hayır, çünkü toplamın bir terimi olamaz.)

– Çarpmanın değişme özelliğinin ihlal edilmemesi için neye eşit olmaları gerekir? (7 1'in de 7'ye eşit olması gerekir, dolayısıyla 7 1 = 7.)

4 1 = 4 de benzer şekilde kabul edilir. 5 1 = 5.

– Sonuç: a 1 = ? (bir 1 = bir.)

Kart görüntülenir: a 1 = a. İlk kart ikincinin üzerine bindirilir: a 1 = 1 a = a.

– Sonuçlarımız sayı doğrusunda bulduklarımızla örtüşüyor mu? (Evet.)
– Bu eşitliği Rusçaya çevirin. (Bir sayıyı 1 ile veya 1 ile bir sayıyı çarptığınızda aynı sayıyı elde edersiniz.)
- Tebrikler! Yani şunu varsayacağız: a 1 = 1 a = a. Slayt 8.

2) 0 ile çarpma durumu da benzer şekilde incelenir. Sonuç:

– bir sayıyı 0 veya 0 ile bir sayıyla çarptığınızda sıfır elde edilir: a 0 = 0 a = 0. 9. slayt.
– Her iki eşitliği karşılaştırın: 0 ve 1 size neyi hatırlatıyor?

Çocuklar kendi versiyonlarını ifade ederler. Dikkatlerini resimlere çekebilirsiniz:

1 – “ayna”, 0 – “korkunç canavar” veya “görünmez şapka”.

Tebrikler! Yani 1 ile çarpmak aynı sayıyı verir (1 – “ayna”) ve 0 ile çarpıldığında 0 olur ( 0 – “görünmezlik sınırı”).

4. Beden eğitimi (gözler için – “daire”, “yukarı ve aşağı”, eller için – “kilitleme”, “yumruklar”).

5. Birincil konsolidasyon.

Tahtaya yazılan örnekler:

23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =

Çocuklar bunları bir defterde ve tahtada çözerler ve ortaya çıkan kuralları yüksek sesle söylerler, örneğin:

3 1 = 3, çünkü bir sayı 1 ile çarpıldığında aynı sayı elde edilir (1 bir “aynadır”) vb.

a) 145 x = 145; b) x 437 = 437.

– 145’i bilinmeyen bir sayıyla çarptığımızda 145 çıkıyor. Yani 1 ile çarpmışlar x = 1. vb.

a) 8 x = 0; b) x 1= 0.

– 8 bilinmeyen bir sayıyla çarpıldığında sonuç 0 çıkıyor. Yani 0 ile çarpıldığında x = 0 oluyor. Vb.

6. Bağımsız çalışma sınıfta bir test ile. 10. slayt.

Çocuklar yazılı örnekleri bağımsız olarak çözerler. Daha sonra bitmiş duruma göre

Örneği takip ederek cevaplarını yüksek sesle telaffuz ederek kontrol ederler, doğru çözülmüş örnekleri artı ile işaretlerler ve yapılan hataları düzeltirler. Hata yapanlara bir kart üzerinde benzer bir görev verilir ve sınıf tekrar problemlerini çözerken bireysel olarak üzerinde çalışırlar.

7. Tekrarlanan görevler. (Çiftler halinde çalışın). 11. slayt.

a) – Gelecekte sizi nelerin beklediğini bilmek ister misiniz? Kaydı deşifre ederek öğreneceksiniz:

G – 49:7 O – 9 8 N – 9 9 V – 45:5 bu – 6 6 D – 7 8 S – 24:3

-Peki bizi neler bekliyor? (Yılbaşı.)

b) - “Bir sayı düşündüm, ondan 7 çıkardım, 15 ekledim, sonra 4 ekledim ve 45 buldum. Hangi sayıyı düşündüm?”

Ters işlemler ters sırayla yapılmalıdır: 45 – 4 – 15 + 7 = 31.

8. Ders özeti.12. slayt.

Hangi yeni kuralları karşıladınız?
Neyi beğendin? Ne zordu?
Bu bilgi hayatta uygulanabilir mi?
Kenar boşluklarında dersin sonunda ruh halinizi ifade edebilirsiniz.
Öz değerlendirme tablosunu doldurun:

Daha fazlasını bilmek istiyorum
Tamam ama daha iyisini yapabilirim
Hala zorluklar yaşıyorum

Çalışmanız için teşekkürler, harika bir iş çıkardınız!

9. Ödev

s. 72–73 Kural, No. 6.

Sizce bu meblağlardan hangisi bir ürünle ikame edilebilir?

Şöyle düşünelim. İlk toplamda terimler aynı, beş rakamı dört kez tekrarlanıyor. Bu, toplama işlemini çarpma ile değiştirebileceğimiz anlamına gelir. Birinci faktör hangi terimin tekrarlandığını, ikinci faktör ise bu terimin kaç kez tekrarlandığını göstermektedir. Toplamı ürünle değiştiririz.

Çözümü yazalım.

İkinci toplamda ise şartlar farklı olduğundan bir ürünle değiştirilemez. Terimleri ekleyin ve 17 cevabını bulun.

Çözümü yazalım.

Bir ürün aynı terimlerin toplamı ile değiştirilebilir mi?

Çalışmalara bakalım.

Eylemleri gerçekleştirelim ve bir sonuç çıkaralım.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Şu sonuca varabiliriz: Birim terimlerin sayısı her zaman birimin çarpıldığı sayıya eşittir.

Araç, Bir sayısını herhangi bir sayıyla çarptığınızda aynı sayıyı elde edersiniz.

1 * bir = bir

Çalışmalara bakalım.

Bir toplamın bir terimi olamayacağından bu ürünler bir toplamla değiştirilemez.

İkinci sütundaki ürünler birinci sütundaki ürünlerden yalnızca faktörlerin sırasına göre farklılık göstermektedir.

Bu, çarpma işleminin değişme özelliğini ihlal etmemek için değerlerinin de sırasıyla birinci faktöre eşit olması gerektiği anlamına gelir.

Sonuç olarak şunu belirtelim: Herhangi bir sayıyı bir sayıyla çarptığınızda çarpılan sayıyı elde edersiniz.

Bu sonucu eşitlik olarak yazalım.

bir * 1= bir

Örnekleri çözün.

İpucu: Derste çıkardığımız sonuçları unutmayın.

Kendinizi test edin.

Şimdi faktörlerden birinin sıfır olduğu çarpımları inceleyelim.

Birinci faktörün sıfır olduğu ürünleri ele alalım.

Çarpımları aynı terimlerin toplamıyla değiştirelim. Eylemleri gerçekleştirelim ve bir sonuç çıkaralım.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Sıfır terimlerin sayısı her zaman sıfırın çarpıldığı sayıya eşittir.

Araç, Sıfırı bir sayıyla çarptığınızda sıfır elde edersiniz.

Bu sonucu eşitlik olarak yazalım.

0 * a = 0

İkinci faktörün sıfır olduğu ürünleri ele alalım.

Bir toplam sıfır terime sahip olamayacağından bu ürünler bir toplamla değiştirilemez.

Eserleri ve anlamlarını karşılaştıralım.

0*4=0

İkinci sütunun ürünleri, birinci sütunun ürünlerinden yalnızca faktörlerin sırasına göre farklılık gösterir.

Bu, çarpma işleminin değişme özelliğini ihlal etmemek için değerlerinin de sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir.

Sonuç olarak şunu belirtelim: Herhangi bir sayı sıfırla çarpıldığında sonuç sıfırdır.

Bu sonucu eşitlik olarak yazalım.

bir * 0 = 0

Ama sıfıra bölemezsiniz.

Örnekleri çözün.

İpucu: Derste çıkardığınız sonuçları unutmayın. İkinci sütunun değerlerini hesaplarken eylemlerin sırasını belirlerken dikkatli olun.

Kendinizi test edin.

Bugün sınıfta tanıştık özel durumlar 0 ve 1 ile çarpma, 0 ve 1 ile çarpma alıştırması.

Referanslar

1. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
2. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
3. Mİ. Moro. Matematik dersleri: Metodik önerileröğretmen için. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
5. "Rusya Okulu": Programlar ilkokul. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. Sİ. Volkova. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Ev ödevi

1. İfadelerin anlamlarını bulun.

2. İfadelerin anlamlarını bulun.

3. İfadelerin anlamlarını karşılaştırın.

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.

Evgeniy Shiryaev, öğretmen ve Politeknik Müzesi Matematik Laboratuvarı başkanı, AiF.ru'ya sıfıra bölme hakkında şunları söyledi:

1. Konunun yargı yetkisi

Katılıyorum, kuralı özellikle kışkırtıcı yapan şey yasak. Bu nasıl yapılamaz? Kim yasakladı? Peki ya sivil haklarımız?

Ne Rusya Federasyonu Anayasası, ne Ceza Kanunu, ne de okulunuzun tüzüğü bizi ilgilendiren fikri eyleme itiraz etmiyor. Bu, yasağın hiçbir yasal gücü olmadığı ve hiçbir şeyin sizi burada, AiF.ru sayfalarında bir şeyi sıfıra bölmeye çalışmaktan alıkoymadığı anlamına gelir. Örneğin bin.

2. Öğretildiği gibi bölelim

Unutmayın, bölmeyi ilk öğrendiğinizde, ilk örnekler çarpma işlemini kontrol ederek çözülüyordu: bölenle çarpılan sonucun, bölünebilen sayıyla aynı olması gerekiyordu. Eşleşmiyorsa karar vermediler.

Örnek 1. 1000: 0 =...

Bir an için yasak kuralı unutalım ve cevabı tahmin etmek için birkaç girişimde bulunalım.

Hatalı olanlar çekle kesilecektir. Aşağıdaki seçenekleri deneyin: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000 Her biri için kontrol aynı sonucu verecektir:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Sıfır çarpıldığında her şey kendine dönüşür ve asla bine dönüşmez. Sonucu formüle etmek kolaydır: hiçbir sayı testi geçemez. Yani sıfırdan farklı bir sayının sıfıra bölünmesi sonucu hiçbir sayı olamaz. Bu tür bir bölünme yasak değildir, ancak hiçbir sonucu da yoktur.

3. Nüans

Yasağı çürütmek için neredeyse bir fırsatı kaçırıyorduk. Evet, sıfır olmayan bir sayının 0'a bölünemeyeceğini kabul ediyoruz. Peki belki 0'ın kendisi bölebilir?

Örnek 2. 0: 0 = ...

Özel için önerileriniz nelerdir? 100 mü? Lütfen: 100'ün 0 böleni ile çarpımı bölen 0'a eşittir.

Daha fazla seçenek! 1? Çok uygun. Ve -23 ve 17, hepsi bu. Bu örnekte sonuç kontrolü herhangi bir sayı için pozitif olacaktır. Ve dürüst olmak gerekirse, bu örnekteki çözüme sayı değil, sayılar kümesi denmelidir. Herkes. Ve Alice'in Alice değil, Mary Ann olduğunu ve her ikisinin de bir tavşanın rüyası olduğunu kabul etmek çok uzun sürmez.

4. Peki ya yüksek matematik?

Sorun çözüldü, nüanslar dikkate alındı, noktalar yerleştirildi, her şey netleşti - sıfıra bölme örneğinin cevabı tek bir sayı olamaz. Bu tür sorunları çözmek umutsuz ve imkansızdır. Bunun anlamı... ilginç! İki tane al.

Örnek 3. 1000'i 0'a nasıl böleceğinizi bulun.

Ama hiçbir şekilde. Ancak 1000 diğer sayılara kolaylıkla bölünebilir. Elimizdeki görevi değiştirsek bile en azından elimizden geleni yapalım. Ve sonra görüyorsunuz, kendimizi kaptırıyoruz ve cevap kendiliğinden ortaya çıkacak. Bir dakikalığına sıfırı unutup yüze bölelim:

Yüz sıfırdan çok uzaktır. Böleni azaltarak bir adım atalım:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamikler açıktır: bölen sıfıra ne kadar yakınsa bölüm o kadar büyük olur. Eğilim, kesirlere geçerek ve payı azaltmaya devam ederek daha da gözlemlenebilir:

Geriye, bölümü istediğimiz kadar büyüterek sıfıra istediğimiz kadar yaklaşabileceğimizi belirtmek kalıyor.

Bu süreçte sıfır yoktur ve son bölüm yoktur. Sayıyı ilgilendiğimiz sayıya yakınsayan bir diziyle değiştirerek onlara doğru hareketi belirttik:

Bu, temettü için benzer bir değişiklik anlamına gelir:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Okların çift taraflı olması boşuna değil: bazı diziler sayılara yakınlaşabilir. Daha sonra diziyi sayısal limitiyle ilişkilendirebiliriz.

Bölümlerin sırasına bakalım:

Sınırsızca büyür, hiçbir sayı için çabalamaz ve hiçbirini aşmaz. Matematikçiler sayılara semboller ekler ∞ böyle bir dizinin yanına çift taraflı bir ok koyabilmek için:

Limiti olan dizilerin sayılarıyla karşılaştırma üçüncü örneğe bir çözüm önermemize olanak sağlar:

1000'e yakınsayan bir diziyi eleman bazında bir diziye bölerken pozitif sayılar 0'a yakınsayarak ∞'a yakınsayan bir dizi elde ederiz.

5. Ve işte iki sıfırlı nüans

Sıfıra yakınsayan iki pozitif sayı dizisinin bölünmesinin sonucu nedir? Eğer bunlar aynı ise birim de aynıdır. Bölünen dizi sıfıra daha hızlı yakınsarsa bölümdeki dizinin sıfır limiti vardır. Ve bölenin elemanları bölenin elemanlarından çok daha hızlı azaldığında, bölümün sırası büyük ölçüde artacaktır:

Belirsiz durum. İşte buna denir: tür belirsizliği 0/0 . Matematikçiler bu belirsizliğe uyan dizileri gördüklerinde, iki özdeş sayıyı birbirine bölmek için acele etmiyorlar, ancak dizilerden hangisinin sıfıra daha hızlı ve tam olarak nasıl gittiğini buluyorlar. Ve her örneğin kendine özel bir cevabı olacak!

6. Hayatta

Ohm kanunu bir devredeki akım, gerilim ve direnci ilişkilendirir. Genellikle bu biçimde yazılır:

Düzgün fiziksel anlayışı bir kenara bırakalım ve resmi olarak sağ tarafa iki sayının bölümü olarak bakalım. Elektrikle ilgili bir okul problemini çözdüğümüzü hayal edelim. Bu durum voltajı volt cinsinden ve direnci ohm cinsinden verir. Sorun belli, çözüm tek eylemde.

Şimdi süperiletkenliğin tanımına bakalım: Bu, bazı metallerin sıfır elektrik direncine sahip olma özelliğidir.

Peki, süperiletken devre problemini çözelim mi? Sadece ayarla R= 0 işe yaramayacaksa, fizik ilginç bir sorun ortaya çıkarır ve bunun arkasında açıkça bilimsel keşif. Ve bu durumda sıfıra bölmeyi başaranlar Nobel Ödülü. Her türlü yasağı aşabilmekte fayda var!

Eğer diğer aritmetiğin yasalarına güvenebilirsek, o zaman bu tek gerçek kanıtlanabilir.

Diyelim ki x * 0 = x" olan ve x" sıfır olmayan bir x sayısı var (basitlik açısından x" > 0 olduğunu varsayacağız)

O zaman bir yandan x * 0 = x", diğer yandan x * 0 = x * (1 - 1) = x - x

x - x = x", dolayısıyla x = x + x", yani x > x olduğu ortaya çıktı ve bu doğru olamaz.

Bu, varsayımımızın bir çelişkiye yol açtığı ve x * 0'ın sıfıra eşit olmayacağı bir x sayısının olmadığı anlamına gelir.

varsayım doğru olamaz çünkü bu sadece bir varsayımdır! hiç kimse basit bir dille açıklayamıyor veya zor buluyor! eğer 0 * x= 0 ise 0 *x=(0+0)*x=0*x + 0*x ve sonuç olarak sağdan sola 0=0*x'i azaltmışlar, bu matematiksel bir ispat gibi! ama bu sıfırla ilgili bu tür saçmalık son derece çelişkili ve bence 0 bir sayı değil, yalnızca soyut bir kavram olmalı! Öyle ki nesnelerin fiziksel varlığının mucizevi bir şekilde hiçlikle çarpıldığında hiçbir şey doğurmaması, beyinde yanma hissi yaratmaması!

P/s benim için, bir matematikçi için değil, sıradan bir ölümlü için, denklem akıl yürütmede birimleri nereden bulduğun tamamen açık değil (0, 1-1 ile aynı gibi)

Bir çeşit X varmış ve herhangi bir sayı olabilirmiş gibi mantık yürütme konusunda deli oluyorum

denklemde 0 var ve onunla çarpıldığında tüm sayısal değerleri sıfırlıyoruz

bu nedenle X sayısal değer ve 0, X numarası üzerinde gerçekleştirilen eylemlerin sayısıdır (ve eylemler de sayısal biçimde görüntülenir)

ÖRNEK elmalarda)):

Kolya'nın 5 elması vardı, bu elmaları alıp sermayesini artırmak için pazara gitti ama gün yağmurlu çıktı, ticaret yürümedi ve sakat eve hiçbir şey olmadan döndü. Matematik dilinde Kolya ve elmaların hikayesi şöyle görünür

5 elma * 0 satış = alınan 0 kar 5*0=0

Kolya pazara gitmeden önce ağaçtan 5 elma toplamış, yarın da toplamaya gitmiş ama kendince bir nedenden dolayı oraya varamamış...

Elma 5, ağaç 1, 5*1=5 (Kolya 1. günde 5 elma topladı)

Elma 0, ağaç 1, 0*1=0 (Aslında Kolya'nın ikinci günkü emeğinin sonucu)

Matematiğin belası “Varsayalım” kelimesidir

Cevap

Ama başka bir deyişle, 5 elma 0 elma = kaç elma, matematiğe göre sıfır olmalı, işte burada

Aslına bakılırsa herhangi bir sayı, yalnızca maddi nesnelerle ilişkilendirildiklerinde, örneğin 1 inek, 2 inek veya buna benzer bir şey olduğunda anlamlıdır ve nesneleri saymak için bir sayım ortaya çıktığında, öyle değil ve eğer bunu yapmazsam bir paradoks ortaya çıkar. bir ineği yok ve komşunun bir ineği var ve benim yokluğumu komşunun ineğiyle çarparsak, o zaman onun ineği ortadan kaybolacaktır; çarpma işlemi genellikle sayılması zor olan büyük miktarlardaki aynı nesnelerin eklenmesini kolaylaştırmak için icat edilmiştir. Toplama yöntemini kullanarak, örneğin para 10 jetonluk sütunlara katlandı ve ardından sütunların sayısı, sütundaki madeni paraların sayısıyla çarpıldı; bu, eklemekten çok daha kolaydı. ancak sütun sayısı sıfır jetonla çarpılırsa sonuç doğal olarak sıfır olacaktır, ancak sütunlar ve madeni paralar varsa, onları sıfırla nasıl çarparsanız çarpın, madeni paralar hiçbir yere gitmeyecektir çünkü onlar vardır ve bir madeni para olsa bile, sütun bir madeni paradan oluşuyor, dolayısıyla bunun etrafından dolaşmak mümkün değil, yani sıfırla çarpıldığında sıfır yalnızca belirli koşullar altında, yani maddi bir bileşenin yokluğunda elde edilir ve eğer 2 çorabım var, sıfırla ne kadar çarparsan çarp, bir yere gitmiyor.