Çok değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevi ve diferansiyeli. Kısmi türevler Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevleri çözümlü örnekler

1°. Tek bağımsız değişken durumu. Eğer z=f(x,y), x ve y argümanlarının türevlenebilir bir fonksiyonu ise, bunlar da bağımsız değişkenin türevlenebilir işlevleridir T: , o zaman karmaşık fonksiyonun türevi formül kullanılarak hesaplanabilir

Örnek. Varsa, nerede olduğunu bulun.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

Örnek. Kısmi türevi ve toplam türevi bulun, eğer .

Çözüm. .

Formül (2)'ye dayanarak elde ederiz .

2°. Birkaç bağımsız değişkenin durumu.

İzin vermek z =F (X ;y) - iki değişkenli fonksiyon X Ve sen, bunların her biri bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur t : x =X(t), y =sen (T). Bu durumda fonksiyon z =F (X(T);sen (T )) bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonudur T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.

Teorem. Eğer z == F(X ; y) - bir noktada türevlenebilir M(x;y)D fonksiyon ve x =X(T) Ve en =sen (T) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T, o zaman karmaşık bir fonksiyonun türevi z (T) == F(X(T);sen (T )) formülle hesaplanır

Özel durum:z = F (X ; y), burada y = y(x), onlar. z = F (X ;sen (X )) - bir bağımsız değişkenin karmaşık fonksiyonu X. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü T oynar X. Formül (3)'e göre elimizde:

.

Son formülün adı toplam türev formülleri.

Genel durum:z = F (X ;y), Nerede x =X(sen;v),y =sen (sen;v). O halde z = F (X(sen;v);sen (sen;v)) - bağımsız değişkenlerin karmaşık fonksiyonu Ve Ve v. Kısmi türevleri formül (3) kullanılarak aşağıdaki şekilde bulunabilir. Sabitlendikten v, karşılık gelen kısmi türevleri yerine koyarız

Böylece karmaşık bir fonksiyonun (z) her bağımsız değişkene göre türevi (Ve Ve v) bu fonksiyonun (z) ara değişkenlerine göre kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (sen ve v).

Dikkate alınan tüm durumlarda formül geçerlidir

(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).

Örnek. Bul ve eğer z = F(x ,y ), burada x =uv , .

Çözüm. Formül (4) ve (5)'i uygulayarak şunu elde ederiz:

Örnek. Fonksiyonun denklemi sağladığını gösterin .

Çözüm. Fonksiyon, bir ara argüman yoluyla x ve y'ye bağlıdır, dolayısıyla

Kısmi türevleri denklemin sol tarafına koyarsak:

Yani z fonksiyonu bu denklemi karşılamaktadır.

Fonksiyonun belirli bir yönde ve gradyanındaki türevi

1°. Bir fonksiyonun belirli bir yönde türevi. Türev işlevler z= F(x,y) bu yönde isminde , nerede ve fonksiyonun değerleri ve noktalarıdır. Z fonksiyonu türevlenebilirse formül geçerlidir

yönler arasındaki açılar nerede ben ve alakalı koordinat eksenleri. Belirli bir yöndeki türev, bir fonksiyonun o yöndeki değişim oranını karakterize eder.

Örnek. z = 2x 2 - 3 2 fonksiyonunun P(1; 0) noktasında OX ekseniyle 120° açı yapacak yönde türevini bulun.

Çözüm. Bu fonksiyonun kısmi türevlerini ve P noktasındaki değerlerini bulalım.

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünün bir kanıtı verilmiştir. Karmaşık bir fonksiyonun bir veya iki değişkene bağlı olduğu durumlar ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. Rasgele sayıda değişken olması durumunda bir genelleme yapılır.

Ayrıca bakınız: Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü kullanma örnekleri

Temel formüller

Burada sonucu sunuyoruz aşağıdaki formüller karmaşık bir fonksiyonun türevi için.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.

Karmaşık bir fonksiyonun tek değişkenden türevi

X değişkenli bir fonksiyonun aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilmesine izin verin:
,
bazı işlevlerin olduğu yer. Fonksiyon x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir.
Fonksiyon değişkenin değerinde türevlenebilir.
(1) .

Daha sonra karmaşık (bileşik) fonksiyon x noktasında türevlenebilir ve türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
;
.

Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

Kanıt
;
.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım.

Burada ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var, ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var.
;
.

Ancak hesaplamaları karıştırmamak için bu fonksiyonların argümanlarını atlayacağız.
.
ve fonksiyonları sırasıyla x ve , noktalarında türevlenebilir olduğundan, bu noktalarda bu fonksiyonların aşağıdaki limitlere sahip türevleri vardır:
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.

u değişkeninin sabit bir değeri için, bir fonksiyonudur.
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.

Açıkça görülüyor ki

.

Daha sonra

Fonksiyon bir noktada türevlenebilir bir fonksiyon olduğundan o noktada süreklidir. Bu yüzden

Şimdi türevini buluyoruz.
,
Formül kanıtlanmıştır.
.
Sonuçlar

Bir x değişkeninin bir fonksiyonu, karmaşık bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyonu olarak temsil edilebiliyorsa
daha sonra türevi formülle belirlenir
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
.
Bu formülü kanıtlamak için, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türevi sırayla hesaplıyoruz.
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
.

Karmaşık işlevi düşünün

Şimdi karmaşık fonksiyonun birkaç değişkene bağlı olmasına izin verin. İlk önce şuna bakalım iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon durumunda.

X değişkenine bağlı bir fonksiyonun, iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
,
Nerede
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
- noktasında türevi alınabilen iki değişkenli bir fonksiyon.
(2) .

Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

Daha sonra karmaşık fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır ve aşağıdaki formülle belirlenen bir türevi vardır:
;
.
Fonksiyonlar ve fonksiyonları noktada türevli olduklarından bu noktanın belli bir komşuluğunda tanımlıdırlar, noktada süreklidirler ve bu noktada türevleri de vardır ve bunlar aşağıdaki limitlerdir:
;
.
Burada
;
.

Bu fonksiyonların bir noktada sürekliliği nedeniyle elimizde:
(3) .
Fonksiyonlar ve fonksiyonları noktada türevli olduklarından bu noktanın belli bir komşuluğunda tanımlıdırlar, noktada süreklidirler ve bu noktada türevleri de vardır ve bunlar aşağıdaki limitlerdir:

Fonksiyon bu noktada türevlenebilir olduğundan bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdır, bu noktada süreklidir ve artışı aşağıdaki biçimde yazılabilir:
;

- argümanları değerlerle artırıldığında bir fonksiyonun arttırılması ve;
- fonksiyonun değişkenlere göre kısmi türevleri ve .
;
.
ve'nin sabit değerleri için ve, ve değişkenlerinin fonksiyonlarıdır.
;
.

Sıfırlama eğilimindedirler ve:

. :
.
O zamandan beri ve o zaman



.

Daha sonra

Fonksiyon artışı:

(3)'ü yerine koyalım:

Karmaşık bir fonksiyonun çeşitli değişkenlerden türevi Yukarıdaki sonuç, karmaşık bir fonksiyonun değişken sayısının ikiden fazla olduğu duruma kolaylıkla genelleştirilebilir.Örneğin, eğer f ise
,
Nerede
üç değişkenli fonksiyon
, O
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
(4)
.
- , , noktasında üç değişkenin türevlenebilir fonksiyonu.
; ; ,
O zaman fonksiyonun türevlenebilirliğinin tanımından şunu elde ederiz:
;
;
.

Çünkü süreklilik nedeniyle
.

O (4)'ü bölerek ve limite geçerek şunu elde ederiz:.
Ve son olarak şunu düşünelim
,
Nerede
en genel durum
X değişkenli bir fonksiyonun, n değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
, , ... , .
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.

- bir noktada n değişkenin türevlenebilir fonksiyonu

Ayrıca bakınız:

§ 5. Karmaşık fonksiyonların kısmi türevleri. karmaşık fonksiyonların diferansiyelleri Ve 1. Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevleri. Argümanları eşit olan iki değişkenin bir fonksiyonu olsun., kendileri iki veya
,
.

Daha değişkenler. Örneğin, izin ver Daha sonra irade Ve karmaşık fonksiyon bağımsız değişkenler , değişkenler onun için olacak ara değişkenler.

Bu durumda bir fonksiyonun kısmi türevlerinin nasıl bulunacağı

ve elde edilen fonksiyonun kısmi türevlerini arayın. Ancak ifade çok karmaşık olabilir ve kısmi türevleri bulmak , o zaman çok çaba gerektirecektir.

Eğer işlevler
,
,
diferansiyellenebilirse, bulun ve aracılığıyla doğrudan ifadeye başvurmadan da mümkündür. Bu durumda formüller geçerli olacaktır.

(5.1)

Aslında argümanı verelim artış
, – inşaat. Daha sonra işlevler
Ve artışlar alacak

ve fonksiyon artırılacak

Nerede , – sonsuz küçük
,
. Son eşitliğin tüm terimlerini 'ye bölelim. Şunu elde ederiz:

Koşullara göre ve fonksiyonları türevlenebilir olduğundan süreklidirler. Bu nedenle eğer
, sonra ve . Bu, son eşitlikteki limite geçerek elde ettiğimiz anlamına gelir:

(çünkü , , için sonsuz küçüktür).

(5.1)'deki ikinci eşitlik de benzer şekilde kanıtlanır.

ÖRNEK. İzin vermek
, Nerede
,
. O zaman bağımsız değişkenlerin karmaşık bir fonksiyonudur ve . Kısmi türevlerini bulmak için formül (5.1) kullanıyoruz. Sahibiz

(5.1)’i değiştirerek şunu elde ederiz:

,

Formüller (5.1), doğal olarak daha fazla sayıda bağımsız ve ara argümana sahip bir fonksiyon durumuna genelleştirilir. Yani eğer

………………………

ve söz konusu fonksiyonların tümü diferansiyellenebilirdir, o zaman herhangi bir
eşitlik var

Fonksiyon argümanlarının yalnızca bir değişkenin fonksiyonları olması da mümkündür;

,
.

O zaman bu sadece bir değişkenin karmaşık bir fonksiyonu olacaktır ve türevi bulma sorusunu gündeme getirebiliriz . Eğer işlevler
,
türevlenebilirse formülle bulunabilir
(5.2)

ÖRNEK. İzin vermek
, Nerede
,
. Burada bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonu var. Formül (5.2)'yi kullanarak şunu elde ederiz:

.

Ve son olarak, bağımsız değişkenin rolünün , yani tarafından oynanması mümkündür. ,

Nerede
.

Daha sonra formül (5.2)'den şunu elde ederiz:

(5.3)

(Çünkü
). Türev , formül (5.3)'te sağda duran, fonksiyonun 'ye göre kısmi türevidir. Sabit bir değerle hesaplanır. Türev Formül (5.3)'ün sol tarafında denir fonksiyonun tam türevi . Hesaplarken, iki şekilde bağlı olduğu dikkate alınmıştır: doğrudan ve ikinci argüman aracılığıyla.

ÖRNEK. Bul ve işlev için
, Nerede
.

Sahibiz
.

Bulmak için formül (5.3) kullanıyoruz. Aldık

.

Bu paragrafın sonunda, (5.2) ve (5.3) formüllerinin çok sayıda ara argümana sahip fonksiyonlar durumuna genelleştirilmesinin kolay olduğunu not ediyoruz.

2. Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli.

Eğer şunu hatırlayalım

iki bağımsız değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonudur, o zaman tanım gereği

, (5.4)

veya başka bir biçimde
. (5.5)

Formül (5.5)'in avantajı, karmaşık bir fonksiyon olsa bile doğru kalmasıdır.

Gerçekten, nerede , olsun. , fonksiyonlarının türevlenebilir olduğunu varsayalım. O zaman karmaşık fonksiyon da türevlenebilir olacak ve formül (5.5)'e göre toplam diferansiyeli şuna eşit olacaktır:

.

Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevlerini hesaplamak için formül (5.1)'i uygulayarak şunu elde ederiz:

ve fonksiyonlarının tam diferansiyelleri parantez içinde olduğundan, sonunda şunu elde ederiz:

Dolayısıyla, hem ve'nin bağımsız değişken olması durumunda, hem de ve'nin bağımlı değişken olması durumunda, fonksiyonun diferansiyelinin (5.5) formunda yazılabileceğine inanıyoruz. Bu bağlamda, toplam diferansiyelin kaydedilmesinin bu şekline denir. değişmez . (5.4)'te önerilen diferansiyelin yazım şekli değişmez olmayacaktır; yalnızca ve'nin bağımsız değişken olduğu durumlarda kullanılabilir. Diferansiyelin yazılma şekli de değişmez olmayacaktır. -inci sipariş. Daha önce bir sıra diferansiyelinin olduğunu gösterdiğimizi hatırlayın. iki değişkenli fonksiyonlar formülle bulunabilir

. (4.12)

Ancak eğer bunlar bağımsız değişkenler değilse, o zaman formül (4.12)
gerçek olmaktan çıkıyor.

Açıkçası, bu bölümde iki değişkenli bir fonksiyon için yapılan tüm akıl yürütmeler, daha fazla sayıda argümana sahip bir fonksiyon durumunda tekrarlanabilir. Bu nedenle, bir fonksiyon için diferansiyel iki biçimde de yazılabilir:

ve ikinci gösterim biçimi değişmez olacaktır, yani. şu durumda bile adil
bağımsız değişkenler değil, ara argümanlardır.

§ 6. Örtülü işlevlerin farklılaşması

Bir veya daha fazla değişkenli bir fonksiyonu tanımlamanın yollarından bahsederken, bir fonksiyonun analitik tanımının açık veya örtülü olabileceğini belirtmiştik. İlk durumda, fonksiyonun değeri argümanların bilinen değerlerinden bulunur; ikincisinde fonksiyonun değeri ve argümanları bir denklemle ilişkilendirilir. Ancak denklemlerin ne zaman çözüleceğini belirtmedik.

Ve

Örtük olarak belirtilen işlevleri ve sırasıyla tanımlayın. Örtülü bir fonksiyonun varlığı için kullanımı kolay yeterli koşullar değişkenler (
) aşağıdaki teoremde yer almaktadır.

TEOREM6.1 . (örtük bir fonksiyonun varlığı) Fonksiyonun
ve kısmi türevleri
noktanın bazı komşuluklarında tanımlanmış ve süreklidir. Eğer
Ve
öyle bir mahalle var ki denklemin olduğu nokta

tanımlar sürekli fonksiyon Ve

1) Denklemi düşünün
. Teoremin koşulları, örneğin noktanın herhangi bir komşuluğunda sağlanır.
. Bu nedenle, noktanın bazı mahallelerinde
bu denklem iki değişkenin örtülü bir fonksiyonu olarak tanımlanır ve . Bu fonksiyonun açık bir ifadesi aşağıdaki denklemin çözülmesiyle kolayca elde edilebilir:

2) Denklemi düşünün
. İki değişkenli iki fonksiyonu tanımlar ve . Aslında teoremin koşulları, örneğin noktanın herhangi bir komşuluğunda karşılanır.

verilen denklemin değeri alan sürekli bir fonksiyonu tanımladığı
.

Öte yandan, teoremin koşulları noktanın herhangi bir komşuluğunda sağlanır.
. Sonuç olarak, noktanın belirli bir komşuluğunda denklem, o noktada değer alan sürekli bir fonksiyonu tanımlar.
.

Bir fonksiyon aynı anda iki değer alamayacağına göre iki farklı fonksiyondan bahsediyoruz demektir
ve buna göre. Açık ifadelerini bulalım. Bunu yapmak için orijinal denklemi çözelim. Aldık

3) Denklemi düşünün
. Teoremin koşullarının noktanın herhangi bir komşuluğunda sağlandığı açıktır.
. Sonuç olarak, noktanın böyle bir komşuluğu var
burada denklem değişkenin örtülü bir fonksiyonu olarak tanımlanır. Denklem 'e göre çözülemediğinden bu fonksiyon için açık bir ifade elde etmek imkansızdır.

4) Denklem
herhangi bir örtülü işlevi tanımlamaz, çünkü onu karşılayan hiçbir gerçek sayı çifti yoktur.

İşlev
denklem tarafından verilen
Teorem 6.1'e göre noktanın komşuluğundaki tüm argümanlara göre sürekli kısmi türevlere sahiptir. İşlevi açıkça belirtmeden bunları nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Fonksiyona izin ver
Teorem 6.1'in koşullarını karşılar. Daha sonra denklem
sürekli fonksiyon
. Karmaşık işlevi düşünün
, Nerede . Fonksiyon tek değişkenli karmaşık bir fonksiyondur ve eğer
Örneğin, eğer f ise

(6.1)

Öte yandan, formül (5.3)'e göre toplam türevi hesaplamak için
(6.2)

(6.1) ve (6.2)'den şunu elde ederiz: eğer , o zaman

(6.3)

Yorum.Şuna göre böl: mümkündür, çünkü Teorem 6.1'e göre
yakınlarda herhangi bir yerde.

ÖRNEK. Denklemin verdiği örtülü fonksiyonun türevini bulun ve değerini hesaplayın.
.

,
.

Kısmi türevleri formül (6.3)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

.

Daha sonra, orijinal denklemin yerine iki değer koyarız:
Ve
.

Sonuç olarak, noktanın komşuluğunda denklem iki fonksiyonu tanımlar:
Ve
, Nerede
,
. Türevleri eşit olacaktır

Ve
.

Şimdi denklemi kuralım
bir noktanın bazı mahallelerini tanımlar
işlev Hadi bulalım. Bunun aslında bir değişkenin sabit değerdeki fonksiyonu olarak kabul edilen bir fonksiyonun sıradan türevi olduğunu hatırlayalım. Bu nedenle, onu bir fonksiyon, bir argüman, bir sabit olarak kabul ederek onu bulmak için formül (6.3)'ü uygulayabiliriz. Aldık

. (6.4)

Benzer şekilde, bir fonksiyonu, bir argümanı, bir sabiti göz önünde bulundurarak formül (6.3)'ü kullanarak şunu buluruz:

. (6.5)

ÖRNEK. Denklemin verdiği fonksiyonun kısmi türevlerini bulun
.

,
,
.

(6.4) ve (6.5) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

,
.

Son olarak, denklemin genel durumunu düşünün.

Bir noktanın belirli bir komşuluğundaki değişkenlerin bir fonksiyonunu tanımlar. Örtülü olarak yürütülen muhakemenin tekrarlanması Verilen fonksiyon iki değişken elde ederiz

,
, …,
.

§ 7. Yönlü türev

1. Yönlü türev.

Bir etki alanında iki değişkenli bir fonksiyonun tanımlanmasına izin verin
uçak
, – bölgenin noktası, –herhangi bir yönün vektörü. Konumuzdan hareket edelim
vektör yönünde bir noktaya. Fonksiyon bir artış alacak

Fonksiyon artışını bölelim
ofset segmentinin uzunluğuna göre
. Ortaya çıkan oran
bölgedeki fonksiyonun ortalama değişim oranını verir
. O zaman bu oranın limiti
(varsa ve sonluysa) fonksiyonun o noktadaki değişim oranı olacaktır.
vektör yönünde. Onu aradılar bir fonksiyonun vektör yönündeki bir noktada türevi ve belirtmek
veya
.

Fonksiyonun değişim hızına ek olarak, vektör yönündeki bir noktada fonksiyondaki değişimin niteliğini de belirlemenize olanak tanır. (artan veya azalan):

Bu ifadeler, tek değişkenli bir fonksiyon için benzer ifadelerle aynı şekilde kanıtlanır.

Bir fonksiyonun kısmi türevlerinin yönlü türevin özel bir durumu olduğuna dikkat edin. Yani,
bu fonksiyonun vektör yönünde türevidir (eksen yönü
), fonksiyonun vektör yönünde türevidir (eksen yönü
).

Fonksiyonun bu noktada türevlenebilir olduğunu varsayalım. Daha sonra

Nerede – sonsuz küçük
.