Çizgilerin aynı düzlemde olup olmadığını kontrol edin. İki düz çizginin aynı düzleme ait olması koşulu. Noktadan çizgiye mesafe

Bu makale paralel çizgiler ve paralel çizgiler hakkındadır. Öncelikle düzlemde ve uzayda paralel doğruların tanımı verilmekte, notasyonlar verilmekte, paralel doğruların örnekleri ve grafik çizimleri verilmektedir. Daha sonra doğruların paralelliğinin işaretleri ve koşulları tartışılmaktadır. Sonuç olarak, bir düzlemde ve üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir çizginin belirli denklemleri ile verilen çizgilerin paralelliğini kanıtlamaya yönelik tipik problemlerin çözümleri gösterilmektedir.

Sayfada gezinme.

Paralel çizgiler - temel bilgiler.

Tanım.

Düzlemdeki iki doğruya denir paralel eğer onlar yoksa ortak noktalar.

Tanım.

Üç boyutlu uzayda iki doğruya ne denir paralel, eğer aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve ortak noktaları yoksa.

Uzayda paralel doğruların tanımındaki “aynı düzlemde yer alıyorlarsa” deyiminin çok önemli olduğunu unutmayın. Bu noktayı açıklığa kavuşturalım: Üç boyutlu uzayda ortak noktaları olmayan ve aynı düzlemde yer almayan iki doğru paralel değil kesişir.

Aşağıda paralel doğrulara bazı örnekler verilmiştir. Defter sayfasının karşıt kenarları paralel çizgiler üzerinde uzanır. Evin duvar düzleminin tavan ve zemin düzlemleriyle kesiştiği düz çizgiler paraleldir. Düz zemindeki demiryolu rayları da paralel hatlar olarak değerlendirilebilir.

Paralel çizgileri belirtmek için “” sembolünü kullanın. Yani a ve b doğruları paralelse kısaca a b yazabiliriz.

Lütfen dikkat: a ve b çizgileri paralelse, a çizgisinin b çizgisine paralel olduğunu ve ayrıca b çizgisinin a doğrusuna paralel olduğunu söyleyebiliriz.

Düzlemdeki paralel çizgilerin incelenmesinde önemli rol oynayan bir ifadeyi dile getirelim: Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel olan tek düz çizgi geçer. Bu ifade bir gerçek olarak kabul edilir (bilinen planimetri aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamaz) ve paralel doğrular aksiyomu olarak adlandırılır.

Uzaydaki durum için teorem geçerlidir: Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi geçer. Bu teorem, yukarıdaki paralel doğrular aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanabilir (bunun kanıtını, makalenin sonunda referanslar listesinde listelenen 10-11. sınıflar için geometri ders kitabında bulabilirsiniz).

Uzaydaki durum için teorem geçerlidir: Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi geçer. Bu teorem yukarıdaki paralel çizgi aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.

Çizgilerin paralelliği - paralelliğin işaretleri ve koşulları.

Çizgilerin paralelliğinin bir işareti doğruların paralel olması için yeterli bir koşuldur, yani yerine getirilmesi doğruların paralel olmasını garanti eden bir koşuldur. Yani bu şartın gerçekleşmesi doğruların paralel olduğunun ortaya çıkması için yeterlidir.

Düzlemde ve üç boyutlu uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşullar da vardır.

“Paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşul” ifadesinin anlamını açıklayalım.

Paralel doğruların yeterli koşulunu daha önce ele almıştık. Ve nedir? gerekli koşulçizgilerin paralelliği"? “Gerekli” isminden bu şartın sağlanmasının paralel doğrular için gerekli olduğu anlaşılmaktadır. Yani doğruların paralel olması için gerekli koşul sağlanmıyorsa çizgiler paralel değildir. Böylece, Paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşul paralel doğrular için yerine getirilmesi hem gerekli hem de yeterli olan bir durumdur. Yani bu bir yandan doğruların paralelliğinin işareti, diğer yandan paralel çizgilerin sahip olduğu bir özelliktir.

Doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulu formüle etmeden önce birkaç yardımcı tanımın hatırlanması tavsiye edilir.

Sekant çizgisiçakışmayan iki çizginin her birini kesen bir çizgidir.

İki düz çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde sekiz gelişmemiş çizgi oluşur. Doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulun formülasyonunda, sözde çapraz olarak uzanan, karşılık gelen Ve tek taraflı açılar. Bunları çizimde gösterelim.

Teorem.

Bir düzlemdeki iki çizgi bir enine çizgiyle kesişiyorsa, bunların paralel olması için kesişen açıların eşit olması veya karşılık gelen açıların eşit olması veya tek taraflı açıların toplamının 180 dereceye eşit olması gerekli ve yeterlidir. .

Düzlemdeki doğruların paralelliği için bu gerekli ve yeterli koşulu grafiksel olarak gösterelim.

Doğruların paralelliği için bu koşulların kanıtlarını 7-9. sınıf geometri ders kitaplarında bulabilirsiniz.

Bu koşulların üç boyutlu uzayda da kullanılabileceğini unutmayın; asıl önemli olan, iki düz çizginin ve kesenin aynı düzlemde olmasıdır.

Doğruların paralelliğini kanıtlamak için sıklıkla kullanılan birkaç teorem daha var.

Teorem.

Bir düzlemdeki iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler. Bu kriterin kanıtı paralel doğrular aksiyomundan kaynaklanmaktadır.

Üç boyutlu uzayda paralel doğrular için de benzer bir durum söz konusudur.

Teorem.

Uzaydaki iki çizgi üçüncü bir çizgiye paralelse paraleldirler. Bu kriterin ispatı 10.sınıf geometri derslerinde tartışılmaktadır.

Belirtilen teoremleri örnekleyelim.

Düzlemdeki doğruların paralelliğini kanıtlamamızı sağlayan başka bir teorem sunalım.

Teorem.

Bir düzlemdeki iki doğru üçüncü bir doğruya dikse paraleldirler.

Uzaydaki çizgiler için de benzer bir teorem vardır.

Teorem.

Üç boyutlu uzayda iki doğru aynı düzleme dikse paraleldirler.

Bu teoremlere karşılık gelen resimleri çizelim.

Yukarıda formüle edilen tüm teoremler, kriterler ve gerekli ve yeterli koşullar, geometri yöntemlerini kullanarak doğruların paralelliğini kanıtlamak için mükemmeldir. Yani, verilen iki doğrunun paralelliğini kanıtlamak için bunların üçüncü bir doğruya paralel olduğunu göstermeniz veya çapraz uzanma açılarının eşitliğini vb. göstermeniz gerekir. Geometri derslerinde buna benzer pek çok problem çözülmektedir. lise. Bununla birlikte, çoğu durumda, bir düzlemdeki veya üç boyutlu uzaydaki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için koordinat yöntemini kullanmanın uygun olduğu unutulmamalıdır. Dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilen doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulları formüle edelim.

Dikdörtgen koordinat sistemindeki doğruların paralelliği.

Makalenin bu paragrafında formüle edeceğiz paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşullar Bu düz çizgileri tanımlayan denklemlerin türüne bağlı olarak dikdörtgen bir koordinat sisteminde detaylı çözümler karakteristik görevler.

Oxy dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem üzerindeki iki doğrunun paralelliği koşuluyla başlayalım. Onun kanıtı, bir doğrunun yön vektörünün tanımına ve bir doğrunun düzlem üzerindeki normal vektörünün tanımına dayanmaktadır.

Teorem.

Bir düzlemde çakışmayan iki doğrunun paralel olması için, bu doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bu doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bir doğrunun yön vektörünün normale dik olması gerekli ve yeterlidir. ikinci satırın vektörü.

Açıkçası, bir düzlem üzerindeki iki doğrunun paralellik koşulu (doğruların yön vektörleri veya doğruların normal vektörleri) veya (bir doğrunun yön vektörü ve ikinci doğrunun normal vektörü)'ye indirgenir. Dolayısıyla, eğer ve a ve b doğrularının yön vektörleridir ve Ve sırasıyla a ve b doğrularının normal vektörleri ise, a ve b doğrularının paralelliği için gerekli ve yeterli koşul şu şekilde yazılacaktır: , veya , veya t'nin bir reel sayı olduğu yer. Buna karşılık, kılavuzların koordinatları ve (veya) a ve b çizgilerinin normal vektörleri, bilinen çizgi denklemleri kullanılarak bulunur.

Özellikle, düzlemdeki Oxy dikdörtgen koordinat sistemindeki düz bir çizgi, formun genel bir düz çizgi denklemini tanımlarsa ve düz çizgi b - ise bu doğruların normal vektörleri koordinatlara sahip olur ve sırasıyla a ve b doğrularının paralellik şartı şu şekilde yazılır.

a çizgisi, açısal katsayılı bir çizginin denklemine ve b - çizgisine karşılık geliyorsa, bu çizgilerin normal vektörleri koordinatlara sahiptir ve ve bu çizgilerin paralellik koşulu şu şekli alır: . Sonuç olarak, dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki çizgiler paralelse ve açısal katsayılı doğru denklemleriyle belirlenebiliyorsa, o zaman çizgilerin açısal katsayıları eşit olacaktır. Ve tam tersi: Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki çakışmayan çizgiler, eşit açısal katsayılara sahip bir çizginin denklemleriyle belirlenebiliyorsa, o zaman bu tür çizgiler paraleldir.

Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir a doğrusu ve bir b doğrusu, formun bir düzlemindeki bir doğrunun kanonik denklemleri tarafından belirleniyorsa Ve veya formun bir düzlemindeki düz bir çizginin parametrik denklemleri Ve buna göre bu doğruların yön vektörleri ve koordinatlarına sahiptir ve a ve b doğrularının paralellik şartı şu şekilde yazılır.

Birkaç örneğin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Çizgiler paralel mi? Ve ?

Çözüm.

Parçalar halinde bir doğrunun denklemini, bir doğrunun genel denklemi biçiminde yeniden yazalım: . Şimdi bunun doğrunun normal vektörü olduğunu görebiliyoruz. , a doğrunun normal vektörüdür. Bu vektörler doğrusal değildir, çünkü eşitliği sağlayan bir t gerçek sayısı yoktur ( ). Sonuç olarak bir düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmadığından verilen doğrular paralel değildir.

Cevap:

Hayır çizgiler paralel değil.

Örnek.

Doğrular düz ve paralel midir?

Çözüm.

Düz bir çizginin kanonik denklemini açısal katsayılı bir düz çizginin denklemine indirgeyelim: . Açıkçası, ve çizgilerinin denklemleri aynı değildir (bu durumda verilen çizgiler aynı olacaktır) ve çizgilerin açısal katsayıları eşittir, dolayısıyla orijinal çizgiler paraleldir.

Düz çizgiler aynı düzlemde yer alır. eğer 1) kesişirlerse 2) paraleldirler;

L 1: ve L 2: doğrularının aynı düzleme ait olması  böylece vektörlerin M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), Q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) ve Q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) aynı düzlemdeydi. Yani, üç vektörün eş düzlemli olması koşuluna göre, karışık çarpım M 1 M 2 ·S 1 ·S 2 =Δ==0 (8)

Çünkü iki doğrunun paralellik koşulu şu şekildedir: o zaman L 1 ve L 2  doğrularının kesişimi için, böylece (8) koşulunu karşılarlar ve oranlardan en az biri ihlal edilir.

Örnek. Çizgilerin göreceli konumlarını keşfedin:

Düz çizginin yön vektörü L 1 – Q 1 =(1;3;-2). L2 çizgisi, 2 a1 düzleminin kesişimi olarak tanımlanır: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Çünkü L 2 çizgisi her iki düzlemde de bulunuyorsa, o ve dolayısıyla yön vektörü normallere diktir N 1 Ve N 2 . Bu nedenle yön vektörü S 2 vektörlerin çapraz çarpımıdır N 1 Ve N 2 , yani Q 2 =N 1 X N 2 ==-Ben-3J+2k.

O. S 1 =-S 2 , Bu, çizgilerin paralel veya çakışık olduğu anlamına gelir.

Düz çizgilerin çakışıp çakışmadığını kontrol etmek için, M 0 (1;2;-1)L 1 noktasının koordinatlarını L 2 genel denklemlerine koyarız: 1-2+2+1=0 - yanlış eşitlikler, yani. M 0 L 2 noktası,

dolayısıyla çizgiler paraleldir.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

L: kanonik denklemiyle verilen M 1 noktasından (x 1; y 1; z 1) L düz çizgisine olan mesafe, vektör çarpımı kullanılarak hesaplanabilir.

Düz çizginin kanonik denkleminden M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L noktası ve düz çizginin yön vektörü çıkar. Q=(l;m;n)

Vektörleri kullanarak bir paralelkenar oluşturalım Q Ve M 0 M 1 . O zaman M1 noktasından L düz çizgisine olan mesafe bu paralelkenarın h yüksekliğine eşittir. Çünkü S=| Q X M 0 M 1 |=h| Q|, sonra

h= (9)

Uzayda iki düz çizgi arasındaki mesafe.

L 1: ve L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 ve L 2 – geçiş

d=

Düz bir çizginin ve bir düzlemin uzaydaki göreceli konumu.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin uzayda konumu için 3 durum mümkündür:

düz bir çizgi ve bir düzlem bir noktada kesişir;

düz çizgi ve düzlem paraleldir;

düz çizgi düzlemde yer alır.

Düz çizginin kanonik denklemiyle ve düzlemin genel denklemle verilebilmesine izin verin.

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Düz çizginin denklemleri M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L noktasını ve yön vektörünü verir Q=(l;m;n) ve düzlem denklemi normal bir vektördür N=(A;B;C).

1. Bir doğru ile bir düzlemin kesişimi.

Bir doğru ile bir düzlem kesişiyorsa doğrunun yön vektörü Qα düzlemine paralel değildir ve dolayısıyla düzlemin normal vektörüne dik değildir N. Onlar. onların nokta çarpımı NQ≠0 veya koordinatları aracılığıyla,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

M noktasının koordinatlarını belirleyelim - L düz çizgisi ile α düzleminin kesişme noktaları.

Doğrunun kanonik denkleminden parametrik denklemine geçelim: , tR

Bu bağıntıları düzlem denkleminde yerine koyalım

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – biliniyorsa t parametresini bulalım:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

Am+Bn+Cp≠0 ise denklemin M noktasının koordinatlarını belirleyen benzersiz bir çözümü vardır:

tM = -→ (11)

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı. Paralellik ve diklik koşulları.

L düz çizgisi arasındaki φ açısı :

kılavuz vektörü ile Q=(l;m;n) ve düzlem

: Normal vektörle Ах+Ву+Сz+D=0 N=(A;B;C) 0˚ (paralel bir doğru ve düzlem durumunda) ile 90˚ (dik bir doğru ve düzlem durumunda) arasında değişir. (Vektör arasındaki açı Q ve bunun α) düzlemine izdüşümü.

– vektörler arasındaki açı Q Ve N.

Çünkü L düz çizgisi ile  düzlemi arasındaki  açısı,  açısının tamamlayıcısıdır, bu durumda sin φ=sin(-)=cos =- (mutlak değer dikkate alınır çünkü φ açısı akuttur sin φ=sin( -) veya sin φ =sin(+) L düz çizgisinin yönüne bağlı olarak)

Bölüm IV. Uzayda düz çizgiler ve düzlemler. Çokyüzlüler

§ 46. Karşılıklı konum uzayda düz çizgiler

Uzayda iki farklı düz çizgi aynı düzlemde olabilir veya olmayabilir. İlgili örneklere bakalım.

A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde olmasın. Aralarından bir uçak çizelim R ve düzleme ait olmayan bir S noktası seçin R(Şek. 130).

O zaman AB ve BC düz çizgileri aynı düzlemde, yani düzlemde bulunur. R AS ve CB düz çizgileri aynı düzlemde yer almaz. Aslında, eğer aynı düzlemde yer alsalardı, o zaman A, B, C, S noktaları da bu düzlemde yer alırdı ki bu imkansızdır çünkü S, A, B, C noktalarından geçen düzlemde yer almaz.

Aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen iki farklı doğruya paralel denir. Çakışan çizgilere paralel çizgiler de denir. Düz ise 1 1 ve 1 2 paralel, sonra yaz 1 1 || 1 2 .

Böylece, 1 1 || 1 2 eğer öncelikle bir uçak varsa RÖyle ki
1 1 R Ve 1 2 R ve ikincisi, veya 1 1 1 2 = veya 1 1 = 1 2 .

Aynı düzlemde yer almayan iki düz çizgiye çarpık çizgiler denir. Açıkçası, kesişen çizgiler kesişmez ve paralel değildir.

Paralelliğin geçişliliği adı verilen paralel doğruların önemli bir özelliğini kanıtlayalım.

Teorem. İki doğru üçüncüye paralelse, birbirlerine paraleldirler.

İzin vermek 1 1 || 1 2 ve 1 2 || 1 3. Bunu kanıtlamak gerekli 1 1 || 1 3

Düz ise 1 1 , 1 2 , 1 3 aynı düzlemde yatıyorsa, bu ifade planimetride kanıtlanmıştır. Düz çizgiler olduğunu varsayacağız 1 1 , 1 2 , 1 3'ü aynı düzlemde yer almaz.

Düz çizgiler boyunca 1 1 ve 1 2 bir uçak çizin R 1 ve aracılığıyla 1 2 ve 1 3 - düzlem R 2 (Şek. 131).

Düz çizgiye dikkat edin 1 3 düzlemine ait olmayan en az bir M noktası içeriyor
R 1 .

Düz bir çizgi boyunca bir düzlem çizin ve M noktasını çizin R 3, düzlemle kesişen R 2 düz bir çizgi boyunca ben. Hadi bunu kanıtlayalım ben ile çakışıyor 1 3. Bunu “çelişkili olarak” kanıtlayacağız.

Düz bir çizgi olduğunu varsayalım 1 düz bir çizgiyle çakışmıyor 1 3. Daha sonra 1 bir çizgiyle kesişiyor 1 2 A noktasında. Bundan şu sonuç çıkıyor ki düzlem R A noktasından 3 geçiş R 1 ve düz 1 1 R 1 ve bu nedenle düzlemle çakışıyor R 1. Bu sonuç M noktasının olduğu gerçeğiyle çelişmektedir. R 3 uçağa ait değil R 1 .
Bu nedenle varsayımımız yanlıştır ve dolayısıyla 1 = 1 3 .

Böylece düz çizgilerin olduğu kanıtlandı. 1 1 ve 1 3'ü aynı düzlemde R 3. Düz çizgilerin olduğunu kanıtlayalım 1 1 ve 1 3 kesişmiyor.

Gerçekten eğer 1 1 ve 1 3, örneğin B noktasında kesişir, ardından düzlem R 2 düz bir çizgiden geçecek 1 2 ve B noktasından 1 1 ve bu nedenle çakışacaktır R 1, bu imkansızdır.

Görev. Kenarları eş yönlü olan açıların boyutlarının eşit olduğunu kanıtlayın.

MAN ve M 1 A 1 N 1 açılarının eş yönlü yanlara sahip olmasına izin verin: AM ışını A 1 M 1 ışınıyla birlikte yönlendirilir ve AN ışını A 1 N 1 ışınıyla birlikte yönlendirilir (Şekil 132).

AM ve A 1 M 1 ışınlarına AB ve A 1 B 1 uzunluklarını eşit uzunlukta yerleştireceğiz. Daha sonra

||

ve |BB 1 | = |AA 1 |

paralelkenarın karşıt kenarları gibi.

Benzer şekilde, AN ve A 1 N 1 ışınları üzerinde AC ve A 1 C 1 uzunluklarını eşit uzunlukta çizeceğiz. Daha sonra

||
ve |CC 1 | = |AA 1 | /\ Paralelliğin geçişliliğinden şu sonuç çıkar: || . Ve |BB 1 | = |CC 1 | ise BB 1 C 1 C bir paralelkenardır ve dolayısıyla |BC| = |B 1 C 1 |. /\ Buradan,

ABC A 1 B 1 C 1 ve .“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Uzaydaki iki çizgi için dört durum mümkündür:

Düz çizgiler çakışıyor;

Çizgiler paraleldir (fakat çakışmazlar);

Çizgiler kesişiyor;

Düz çizgiler kesişiyor, yani. ortak noktaları yoktur ve paralel değildirler.

Düz çizgileri tanımlamanın iki yolunu ele alalım: kanonik denklemler ve genel denklemler. L 1 ve L 2 doğrularının kanonik denklemlerle verilebilmesine izin verin:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m2 = (z - z2)/n2 (6,9)

Kanonik denklemlerinden her bir çizgi için, üzerindeki noktayı hemen belirleriz M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ∈ L 2 ve koordinatlar yön vektörlerinden L 1 için s 1 = (l 1; m 1; n 1), L 2 için s 2 = (l 2; m 2; n 2).

Çizgiler çakışıyorsa veya paralelse, yön vektörleri s 1 ve s 2 eşdoğrusaldır; bu, bu vektörlerin koordinatlarının oranlarının eşitliğine eşdeğerdir:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Çizgiler çakışırsa, M 1 M 2 vektörü yön vektörleriyle eşdoğrusaldır:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Bu çifte eşitlik aynı zamanda M2 noktasının L1 doğrusuna ait olduğu anlamına da gelir. Sonuç olarak doğruların çakışmasının koşulu (6.10) ve (6.11) eşitliklerinin aynı anda sağlanmasıdır.

Çizgiler kesişiyorsa veya kesişiyorsa, yön vektörleri doğrusal değildir, yani. (6.10) koşulu ihlal edilmiştir. Kesişen doğrular aynı düzlemdedir ve bu nedenle vektörler s 1 , s 2 ve M 1 M 2 eş düzlemliüçüncü dereceden determinant, koordinatlarından oluşur (bkz. 3.2):

Koşul (6.12), dört durumdan üçünde karşılanmıştır, çünkü Δ ≠ 0 için çizgiler aynı düzleme ait değildir ve bu nedenle kesişir.

Tüm koşulları bir araya getirelim:

Çizgilerin göreceli konumu sistemin (6.13) çözümlerinin sayısı ile karakterize edilir. Doğrular çakışıyorsa sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Eğer çizgiler kesişiyorsa bu sistemin kendine özgü bir çözümü vardır. Paralel veya çaprazlama durumunda doğrudan çözüm yoktur. Son iki durum doğruların yön vektörleri bulunarak ayrılabilir. Bunu yapmak için iki hesaplamak yeterlidir vektör çizimi n 1 × n 2 ve n 3 × n 4, burada n ben = (A ben; B ben; C ben), i = 1, 2, 3,4. Ortaya çıkan vektörler eşdoğrusal ise, verilen çizgiler paraleldir. Aksi takdirde melezleşirler.

Örnek 6.4.

L1 düz çizgisinin yön vektörü s1, bu düz çizginin kanonik denklemleri kullanılarak bulunur: s1 = (1; 3; -2). L2 düz çizgisinin yön vektörü s2 şu şekilde hesaplanır: vektör çarpımı kesişimi olan düzlemlerin normal vektörleri:

s 1 = -s 2 olduğuna göre çizgiler paraleldir veya çakışmaktadır. Bu çizgiler için bu durumlardan hangisinin gerçekleştiğini öğrenelim. Bunu yapmak için, M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 noktasının koordinatlarını L 2 düz çizgisinin genel denklemlerine koyarız. Bunlardan ilki için 1 = 0 elde ederiz. Sonuç olarak M 0 noktası L 2 doğrusuna ait değildir ve ele alınan doğrular paraleldir.

Düz çizgiler arasındaki açı. İki düz çizgi arasındaki açı şu şekilde bulunabilir: yön vektörleri dümdüz Düz çizgiler arasındaki dar açı açıya eşit yön vektörleri arasında (Şekil 6.5) veya yön vektörleri arasındaki açı genişse buna ektir. Dolayısıyla, L 1 ve L 2 çizgileri için yön vektörleri s x ve s 2 biliniyorsa, bu çizgiler arasındaki φ dar açısı skaler çarpım aracılığıyla belirlenir:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Örneğin, s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2 olsun. Hesaplamak için (2.9) ve (2.14) formüllerini kullanma vektör uzunluğu Ve nokta çarpım koordinatlarda şunu elde ederiz