Vektörlerin nokta çarpımı. Vektörlerin nokta çarpımı Koordinat formundaki vektörler üzerinde işlemler

Bu test sınıflarda öğrencilerin bilgilerinin orta, genelleme veya son kontrolü için kullanılabilir. Testin doğru çalışması için güvenlik düzeyini düşük (hizmet-makro-güvenlik) olarak ayarlamanız gerekir.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Seçenek 1 Seçenek 2 PowerPoint'te testler oluşturmak için bir şablon MKOU "Pogorelskaya Ortaokulu" Koshcheev M.M. tarafından kullanıldı.

Test sonucu Doğru: 14 Hata: 0 İşaret: 5 Süre: 3 dk. 29 saniye. yine de düzelt

Seçenek 1 b) 360° a) 180° c) 246° d) 274° e) 454°

Seçenek 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 d) 1

Seçenek 1 e) 5 d) 0 a) 7

Seçenek 1 b) geniş e) kökenleri çakışmadığı için mevcut değildir c) 0° d) akut a) düz

Seçenek 1 b) 10,5 d) hiçbir koşulda a) -10,5

Seçenek 1 a) -10,5 b) 10,5 d) hiçbir koşulda

Seçenek 1 e) 0 b) belirlenmesi imkansız a) -6 d) 4 c) 6

Seçenek 1 b) 28 e) belirlenmesi imkansız a) 70 d) -45,5 c) 91

Seçenek 1 9. Bir üçgenin iki kenarı 16 ve 5'e eşittir ve aralarındaki açı 120°'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu belirtilen aralıklardan hangisine aittir? d) e) (19; 31] a) (0; 7 ] b) (7; 11] c) a) (0; 7 ] b) (7; 11] d)

Seçenek 1 13. ABC üçgeninin çevrelediği dairenin yarıçapı 0,5'tir. B açısının sinüsünün AC kenarının uzunluğuna oranını bulun. e) 1 c) 1,3 a) 0,5 d) 2

Seçenek 1 14. ABC üçgeninde BC ve AB kenarlarının uzunlukları sırasıyla 5 ve 7'ye eşittir ve

Seçenek 2 c) 360° a) 180° b) 246° d) 274° e) 454°

Seçenek 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4

Seçenek 2 a) 10 d) 17 e) 15

Seçenek 2 c) 0 °'ye eşit e) kökenleri çakışmadığı için mevcut değil c) geniş d) akut a) düz

Seçenek 2 b) 10,5 d) hiçbir koşulda a) -10,5

Seçenek 2 a) - 10,5 d) hiçbir koşulda c) 10,5

Seçenek 2 d) 0 b) belirlenmesi imkansız a) -6 d) 4 c) 6

Seçenek 2 a) 70 e) belirlenmesi imkansız b) 28 d) -45,5 c) 91

Seçenek 2 9. Üçgenin iki kenarı 12 ve 7'ye eşittir ve aralarındaki açı 60°'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu belirtilen aralıklardan hangisine aittir? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7 ] b) c) e) (19; 31] c)

Seçenek 2 13. ABC üçgeninin çevrelediği dairenin yarıçapı 2'ye eşittir. B açısının sinüsünün AC kenarının uzunluğuna oranını bulun. a) 0,25 c) 1,3 d) 1 d) 2

Seçenek 2 14. ABC üçgeninde AC ve AB kenarlarının uzunlukları sırasıyla 9 ve 7'ye eşittir ve

Testin Anahtarları: “Vektörlerin skaler çarpımı. Üçgen teoremleri". Seçenek 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Cevap. b c d b c a d b d a c c d d Seçenek 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Cevap. c d a c d b d a d ca a a g Edebiyat L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev L.S. ders kitabı için geometri 9. sınıf testleri. Atanasyan ve diğerleri M.: “Sınav” yayınevi, 2013 - 128 s.

Otomatik cevap kontrolüne sahip bu test, sınıflarda öğrenci bilgisinin orta düzey, genelleme veya son kontrolü için kullanılabilir. Testin doğru çalışması için güvenlik düzeyini düşük (hizmet-makro-güvenlik) olarak ayarlamanız gerekir.

İndirmek:

Ön izleme:

https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Seçenek 1 PowerPoint'te testler oluşturmak için bir şablon MKOU "Pogorelskaya Ortaokulu" Koshcheev M.M. tarafından kullanıldı.

Seçenek 1 b) küt a) keskin c) düz

Seçenek 1 c) sıfıra eşit a) sıfırdan büyük b) sıfırdan küçük

Seçenek 1 b) -½∙a² c) ½∙a²

Seçenek 1 4. D ABC – tetrahedron, AB=BC=AC=A D=BD=CD. O zaman bu doğru değil...

Seçenek 1 5. Hangi ifade doğrudur?

Seçenek 1 b) a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ c) a ₁ b ₂ b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b ₁ b ₂ a ₃ a) a ₁a₂a₃+ b ₁ b ₂ b ₃

Seçenek 1 b) - a² a) 0 c) a²

Seçenek 1 a) a b) o

seçenek 1

Seçenek 1 a) 7 c) -7 b) -9

Seçenek 1 b) -4 a) 4 c) 2

Seçenek 1 b) 120° a) 90° c) 60°

Seçenek 1 c) 0,7 a) -0,7 b) 1 13. Noktaların koordinatları verildiğinde: A(1; -1; -4) , B (-3; -1; 0) , C(-1; 2 ; 5) , D(2; -3; 1) . O zaman AB ve CD düz çizgileri arasındaki açının kosinüsü eşittir...

Seçenek 1 c) 4

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Seçenek 2 PowerPoint'te testler oluşturmak için bir şablon MKOU "Pogorelskaya Ortaokulu" Koshcheev M.M. tarafından kullanıldı.

Test sonucu Doğru: 14 Hata: 0 İşaret: 5 Süre: 1 dk. 40 saniye yine de düzelt

Seçenek 2 a) keskin b) geniş c) düz

Seçenek 2 a) sıfırdan büyük c) sıfıra eşit b) sıfırdan küçük

Seçenek 2 b) -½∙a² a) ½∙a²

Seçenek 2 4. ABCA ₁В₁С₁ – prizma,

Seçenek 2 5. Hangi ifade doğrudur?

Seçenek 2 a) m ₁ n ₁ + m ₂ n ₂ + m ₃ n ₃ c) m ₁ m ₂ m ₃ + n ₁ n ₂ n ₃ b) (n ₁- m ₁)² + (n ₂- m ₂ )² + (n ₃- m ₃)²

Seçenek 2 c) - a² a) 0 b) a²

Seçenek 2 a) o c) a²

seçenek 2

Seçenek 2 b) 3 c) -3 a) 19

Seçenek 2 a) - 0,5 b) -1 c) 0,5

Seçenek 2 b) 6 0° a) 90° c) 12 0°

Seçenek 2 a) 0,7 c) -0,7 b) 1 13. Noktaların koordinatları verildiğinde: C(3 ; - 2 ; 1) , D(- 1 ; 2 ; 1) , M(2 ; -3 ; 3 ) , N(-1; 1; -2) . O zaman CD ve MN doğruları arasındaki açının kosinüsü eşittir...

Seçenek 2 c) 4

Testin Anahtarları: Vektörlerin nokta çarpımı. Seçenek 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Cevap. b c b c a b b a c a b b c b Edebiyat G.I. Kovaleva, N.I. Mazurova Geometrisi 10-11. Sınıflar. Akım ve genel kontrol testleri. Yayınevi "Öğretmen", 2009. Seçenek 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Cevap. a a b b b a c a c b a b a b

Seçenek 1.

Seçenek 2.

e) Bu açı dar mı, dik mi yoksa geniş mi (cevabınızı gerekçelendirin)?

Seçenek 1.

1. Verilen noktalar A(1; 3), B(4; 7), C(-1; -1), D(7; 5), Q(x; 3)

a) AB ve CD vektörlerinin koordinatlarını bulun.

b) AB ve CD vektörlerinin uzunluklarını bulun.

c) AB ve CD vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

d) AB ve CD vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.

e) Bu açı dar mı, dik mi yoksa geniş mi (cevabınızı gerekçelendirin)?

f) CB ve DQ vektörleri hangi x değerinde diktir?

2. ABC ikizkenar üçgeninde B açısı dik açıdır, AC = 2√2, ВD üçgenin medyanıdır. BD AC, BD BC, BD BD vektörlerinin skaler çarpımlarını hesaplayın.

Seçenek 2.

1. Verilen noktalar M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y).

a) MR ve OK vektörlerinin koordinatlarını bulun.

b) MR ve OK vektörlerinin uzunluklarını bulun.

c) MR ve OK vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

d) MR ve OK vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.

e) Bu açı dar mı, dik mi yoksa geniş mi (cevabınızı gerekçelendirin)?

f) PK ve MR vektörleri y'nin hangi değerinde diktir?

2. MNR eşkenar üçgeninde NK açıortaydır, MN = 2. NK MR, NK NR, RM RM vektörlerinin skaler çarpımlarını hesaplayın.

Seçenek 1.

1. Verilen noktalar A(1; 3), B(4; 7), C(-1; -1), D(7; 5), Q(x; 3)

a) AB ve CD vektörlerinin koordinatlarını bulun.

b) AB ve CD vektörlerinin uzunluklarını bulun.

c) AB ve CD vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

d) AB ve CD vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.

e) Bu açı dar mı, dik mi yoksa geniş mi (cevabınızı gerekçelendirin)?

f) CB ve DQ vektörleri hangi x değerinde diktir?

2. ABC ikizkenar üçgeninde B açısı dik açıdır, AC = 2√2, ВD üçgenin medyanıdır. BD AC, BD BC, BD BD vektörlerinin skaler çarpımlarını hesaplayın.

Seçenek 2.

1. Verilen noktalar M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y).

a) MR ve OK vektörlerinin koordinatlarını bulun.

b) MR ve OK vektörlerinin uzunluklarını bulun.

c) MR ve OK vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

d) MR ve OK vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.

e) Bu açı dar mı, dik mi yoksa geniş mi (cevabınızı gerekçelendirin)?

f) PK ve MR vektörleri y'nin hangi değerinde diktir?

2. MNR eşkenar üçgeninde NK açıortaydır, MN = 2. NK MR, NK NR, RM RM vektörlerinin skaler çarpımlarını hesaplayın.

Bilgisayar becerilerinde daha iyi olmak ister misiniz?

Slideshare yayınlama hizmeti, Power Point sunumlarını, metin belgelerini, PDF dosyaları(50 MB) flash formatında. İÇİNDE Eğitim faaliyetleri bu hizmet hem öğrenci ve öğretmenlerden oluşan bir portföy oluşturmak hem de sunumların ve tasarım çalışmalarının tasarımının olağan gösterimi için kullanılabilir.

Yeni makaleleri okuyun

Öğretmenseniz elbette merak etmişsinizdir: Yaptığınız işin neşe ve tatmin getirmesi için hangi kitapları okumalısınız? Hiç şüphe yok ki artık internette bu konuyla ilgili zengin bilgiler bulabilirsiniz. Ancak bu çeşitliliği anlamak oldukça zordur. Ve hangi kitapların size gerçekten yardımcı olacağını bulmak çok zaman alacaktır. Bu yazıda her öğretmenin hangi kitapları okuması gerektiğini öğreneceksiniz.

Materyalin anlaşılırlığı çocukları motive eder ilkokul bir karara öğrenme görevi ve konuya olan ilgiyi sürdürüyor. Bu nedenle en çok biri etkili yöntemleröğrenme bilgi kartlarının kullanılmasıdır. Kartlar, kulüp faaliyetleri ve ders dışı faaliyetler de dahil olmak üzere herhangi bir konuyu öğretirken kullanılabilir. Örneğin, sebze ve meyvelerin bulunduğu aynı kartlar, matematik derslerinde saymayı öğretmek ve doğal dünya derslerinde yabani ve bahçe bitkileri konusunu çalışmak için uygundur.

Nokta ürün A  B sıfır olmayan iki vektör A Ve B bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit bir sayıdır. Bu vektörlerden en az biri sıfıra eşitse skaler çarpım sıfıra eşittir. Böylece, tanım gereği elimizde

burada  vektörler arasındaki açıdır A Ve B .

Vektörlerin nokta çarpımı A , B sembollerle de gösterilir ab .

Skaler çarpımın işareti  değeriyle belirlenir:

eğer 0    O A  B  0,

eğer    , o zaman A  B  0.

Nokta çarpımı yalnızca iki vektör için tanımlanır.

Koordinat formundaki vektörler üzerinde işlemler

Koordinat sistemini girin Ohoo vektörler verilmiştir A = (X 1 ; sen 1) = X 1 Ben + sen 1 J Ve B = (X 2 ; sen 2) = X 2 Ben + sen 2 J .

1. İki (veya daha fazla) vektörün toplamının her koordinatı, bileşen vektörlerinin karşılık gelen koordinatlarının toplamına eşittir; A + B = = (X 1 + X 2 ; sen 1 + sen 2).

2. İki vektörün farkının her koordinatı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının farkına eşittir, yani. A – B = (X 1 – X 2 ; sen 1 – sen 2).

3. Bir vektörün  sayısına göre çarpımının her koordinatı, bu vektörün karşılık gelen koordinatının  çarpımına eşittir, yani  A = ( X 1 ;  en 1).

4. İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir, yani. A  B = X 1  X 2 + + sen 1  sen 2 .

Sonuçlar. Vektör uzunluğu A = (X; sen) koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir, yani.

=
(5)

Örnek 4. Vektörler verilmiştir
B = 3Ben – J .

Gerekli:

1. Bul

2. Vektörlerin skaler çarpımını bulun İle , D .

3. Vektörün uzunluğunu bulun İle .

Çözüm

1. Özellik 3'ü kullanarak vektör 2'nin koordinatlarını buluruz A , –A , 3B , 2B : 2A = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –A = –(–2; 3) = (2; –3), 3B = 3(3; –1) = (9; –3), 2B = = 2(3; –1) = = (6; –2).

2, 1 özelliklerini kullanarak vektörlerin koordinatlarını buluruz İle , D : İle = 2A – 3B = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), D = –A + 2B = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Mülke göre 4 CD = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Özellik 4'ün sonucu olarak | İle | =
=
.

Test 3 . Vektör koordinatlarını belirleyin A + B , Eğer A = (–3; 4), B = = (5; –2):

Test 4. Vektör koordinatlarını belirleyin A – B , Eğer A = (2; –1), B = = (3; –4):

Test 5 . Vektör 3'ün koordinatlarını bulun A , Eğer A = (2; –1):

Test 6 . Nokta çarpımı bulun A , B vektörler A = (1; –4), B = (–2; 3):

Test 7 . Vektörün uzunluğunu bulun A = (–12; 5):

3)
;

Test görevlerinin yanıtları

1.3. Uzayda analitik geometrinin unsurları

Uzaydaki dikdörtgen bir koordinat sistemi, aynı noktada kesişen (başlangıç 0) ve bir yöne sahip, karşılıklı olarak dik üç koordinat ekseninden ve her eksen boyunca bir ölçek biriminden oluşur (Şekil 17).

Şekil 17

Nokta konumu M düzlemde üç sayıyla benzersiz bir şekilde belirlenir - koordinatları M(X T ; en T ; z T), Nerede X T– apsis, en T– koordinat, z T– başvurunuz.

Her biri noktaya olan mesafeyi verir M noktanın bu düzlemin hangi tarafında bulunduğunu dikkate alan bir işaret ile koordinat düzlemlerinden birine: üçüncü eksenin pozitif veya negatif yönü yönünde alınıp alınmadığı.

Üç koordinat düzlemi uzayı 8 parçaya (oktant) böler.

İki nokta arasındaki mesafe A(X A ; en A ; z A) Ve B(X İÇİNDE ; en İÇİNDE ; z İÇİNDE) formülle hesaplanır

Puanlar verilsin A(X 1 ; en 1 ; z 1) ve B(X 2 ; en 2 ; z 2). Daha sonra noktanın koordinatları İLE(X; en; z), segmenti bölme
ilişkili olarak aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

örnek 1 . Mesafeyi bul AB, Eğer A(3; 2; –10) ve İÇİNDE(–1; 4; –5).

Çözüm

Mesafe AB formülle hesaplanır

Koordinatları üç değişkenli bir denklemi sağlayan tüm noktaların kümesi belirli bir yüzey oluşturur.

Koordinatları iki denklemi karşılayan noktalar kümesi belirli bir çizgiyi (karşılık gelen iki yüzeyin kesişme çizgisi) oluşturur.

Birinci dereceden her denklem bir düzlemi temsil eder ve bunun tersine, her düzlem birinci dereceden denklemlerle temsil edilebilir.

Seçenekler A, B, C düzleme dik normal vektörün koordinatlarıdır, yani. N = (A; B; C).

Eksenlerde kesilmiş parçalar halindeki düzlemin denklemi: A– eksen boyunca ÖKÜZ, B– eksen boyunca OY, İle– eksen boyunca OZ:

İki uçak verilsin A 1 X + B 1 sen + C 1 z + D 1 = 0, A 2 X + B 2 sen + C 2 z + + D 2 = 0.

Paralel düzlemler için koşul:
.

Düzlemlerin dik olma koşulu:

Düzlemler arasındaki açı aşağıdaki formülle belirlenir:

Uçağın noktalardan geçmesine izin verin M 1 (X 1 ; sen 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; sen 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; sen 3 ; z 3).

O zaman denklemi şöyle görünür:

Noktadan uzaklık M 0 (X 0 ; sen 0 ; z 0) uçağa Balta + İle + Cz + D= 0 formülle bulunur

Test 1. Uçak
şu noktadan geçer:

1) A(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Test 2 . Düzlem denklemi OKSİ takip etme:

1) z = 0;

2) X = 0;

3) sen = 0.

Örnek 2 . Düzleme paralel bir düzlemin denklemini yazın OKSİ ve (2; –5; 3) noktasından geçiyoruz.

Çözüm

Düzlem düzleme paralel olduğundan OKSİ, denklemi şu şekildedir Cz + D= 0 (vektör  = (0; 0; İLE)  AHe).

Düzlem (2; –5; 3) noktasından geçtiğine göre, o zaman C  3 + D= 0 veya her neyse D = –3C.

Böylece, CZ – 3C= 0. Çünkü İLE≠ 0 ise z – 3 = 0.

Cevap: z – 3 = 0.

Test 3 . Orijinden geçen ve (3; –1; –4) vektörüne dik olan düzlemin denklemi şu şekildedir:

Test 4 . Eksen boyunca kesilen parçanın boyutu OY uçak
eşittir:

Örnek 3 . Düzlemin denklemini yazın:

1. Paralel düzlem
ve noktadan geçerken A(2; 0; –1).

2. Düzleme dik
ve noktadan geçerken B(0; 2; 0).

Çözüm

Formdaki düzlem denklemlerini arayacağız A 1 X + B 1 sen + C 1 z + D 1 = 0.

1. Düzlemler paralel olduğundan
Buradan A= 3T,B= –T,C= 2T, Nerede TR. İzin vermek T= 1. O zaman A = 3, B = –1, C= 2. Dolayısıyla denklem şu şekli alır:
Nokta koordinatları A düzleme ait, denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştürün. Bu nedenle, 32 – 10 + 2(–1) + D= 0. Başlangıç D= 4.

Cevap:

2. Düzlemler dik olduğundan 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Üç değişken ama bir denklem olduğundan, iki değişken aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi değerler alır. İzin vermek A = 1, B= 3. Sonra C= 0. Denklem şöyle olur:
D= –6.