Faktörlerin test toplamı ve çarpım permütasyonu. Rus matematiği, nazik bir çiftçi ve aptal müşteriler hakkında bir hikaye. Toplamı bulma problemleri

Matematikten, fizikten uzak insanların kafalarında bok fokurdamasını izlemek ne kadar da komik. doğa bilimleri genel olarak ve bunların ortaöğretim okullarında öğretilme yöntemleri hakkında.

Basit bir problemin çözümüne ilişkin öğretmenin “haksız” değerlendirmesiyle ilgili yaygın tartışmadan bahsediyorum:

İnsanlar böyle bir değerlendirme gördüklerinde, çoğunluğun sezgisel de olsa çarpma işleminin iletişimsel olduğunu hatırlaması nedeniyle genellikle kafalarında bilişsel bir uyumsuzluk ortaya çıkar. Faktörlerin yerlerinin yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez, yani. a*b = b*a.

Ancak burada, çocuğun çarpma işleminin özelliklerini bilmemesinin yanı sıra çarpma kavramıyla ilk kez karşılaştığında, tartışılan sorunun en temel olanlar kategorisine ait olduğunu anlamalısınız. aynı terimlerin eklenmesi.

Yani matematiksel açıdan bakıldığında sorunun çözümü şöyle görünmelidir:

2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l = 2l * 9 = 18l

Çarpma işleminin anlaşılmasında çarpanların sırası gerçekten önemlidir. Ve bu, modern Rus metodolojistlerin tuhaflığı değil. 130 yıl önce matematik ders kitaplarında aynen şunu yazmışlar: § 42. Çarpma nedir? Çarpma aynı terimlerin toplanmasıdır. Bu durumda toplama olarak tekrarlanan sayıya çarpan (çarpılır) adı verilir ve bu tür özdeş toplamların kaç tane alındığını gösteren sayıya da çarpan denir.(Kiselev, ilk baskı 1884).

Aynı şey geçen yüzyılın başında komünist ders kitaplarında da yazıldı (Devlet pedagoji enstitüsü onlara. Herzen, I.N. Kavun, N.S. Popova, "Aritmetik öğretme yöntemleri. İlkokul öğretmenleri ve pedagoji kolejleri öğrencileri için." RSFSR Halk Eğitim Komiserliği tarafından onaylanmıştır, 1934):

Öğrencinin önerdiği çözümün, öğretmen tarafından buna göre değerlendirilen çarpma işleminin özünü anlamadığını gösterdiği açıktır.

Öğrencinin çarpma işleminin iletişimsel doğasını tahmin eden (ya da hatta bilen) bir dahi olduğunu varsayalım, onun çözümü hâlâ yanlıştır. Mesele şu ki, eğer kararda şunu yazmış olsaydı:

o zaman cevap doğru olacaktır. Ancak bir boyut olarak litre, denklemin sol tarafında yoktur ve sağ tarafında birdenbire ortaya çıkar. Kayıt şu:

bu durumda sol tarafta (l) boyutunun olmamasına rağmen doğrudur çünkü problemin başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak bu boyut atlanmıştır; bu da cevabın boyutunun, her zaman önce gelen çarpanın boyutuyla aynı olacağı anlamına gelir.

Bu arada, boyutların yanlış anlaşılması yetişkin yaşamında üzücü sonuçlara yol açıyor. Kızgın yapıtı okuyun Biglebowsky Kendini beğenmiş bir gülümsemeyle, bir arabanın saatte 60 kilometre hızla 2 saatte kat ettiği mesafeyi hesaplayarak düpedüz saçmalık yazan: S = 60 km/saat * 2 saat = 120 km/saat. Daha sonra problemin fiziksel anlamını hatırlıyoruz ve “/h” çözümünün kuyruğunu atıyoruz..

Ve temel matematik ve fiziği anlamayan bu tür okuma yazma bilmeyen insanlar, çocuklara matematiğin temellerini öğretmeye yönelik bir buçuk yüzyıllık yöntemleri eleştirmenin mümkün ve kabul edilebilir olduğunu düşünüyor.

Üstelik onlar da (ve hepiniz de) kendi zamanlarında okulda çarpma işlemi eğitimi alıyordu. SSCB'de tüm okullar için bir ders kitabı vardı ve bu derste çarpma işlemini incelerken faktörlerin sırası önemliydi. Ve aynı şekilde, faktörlerin yeniden düzenlenmesine ilişkin notlar da düşürüldü, çünkü bu, öğrencinin çarpma işleminin özünü anlamadığını gösterdi ve fenomenin özünü anlamadan basit bir faktör seçimine işaret etti.

Başka bir şey de, daha sonra çarpma yasalarını inceledikten ve çarpma işleminin iletişimselliği hakkındaki bilgileri pekiştirdikten sonra, çarpanları doğru yazma becerisinin gereksiz hale gelmesi ve unutulmasıdır. Ancak doğru boyutu unutmamalıyız. Sonuçta, fizikle ilgili tüm ileri çalışmalar bunun üzerine inşa edilmiştir.

Genel olarak basit bir fikir aktarmak istedim. Bir kişi öğretmenin ona söylediklerini anlamıyorsa, o zaman kural olarak bu öğretmenin hatası değil, kişinin sorunudur.

Çocukların bu kuralla (yasa) nasıl tanıştırılacağı, çarpma eyleminin daha önce tanıtılan anlamıyla belirlenir. Çocuklar, kümelerin nesne modellerini kullanarak, elemanlarını farklı şekillerde gruplamanın sonuçlarını hesaplar ve gruplama yöntemleri değiştiğinde sonuçların değişmediğinden emin olurlar.

Bir resmin (setin) elemanlarının yatay olarak çiftler halinde sayılması, elemanların dikey olarak üçlü olarak sayılmasıyla örtüşür. Benzer durumların çeşitli varyantlarının dikkate alınması, öğretmene, faktörleri yeniden düzenlemenin ürünün değerini değiştirmediğine dair tümevarımsal bir genelleme (yani, genelleştirilmiş bir kuralda birkaç özel durumun genelleştirilmesi) yapması için temel sağlar.

Sayma yöntemi olarak kullanılan bu kurala dayanarak 2 ile çarpım tablosu derlenir.

Örneğin: 2 sayısı için çarpım tablosunu kullanarak 2 sayısı için çarpım tablosunu hesaplayın ve hatırlayın:

Aynı tekniğe dayanarak 3'lü bir çarpım tablosu derlenir:

İlk iki tablonun derlenmesi iki derse dağıtılmıştır, bu da dolayısıyla bunların ezberlenmesi için ayrılan süreyi artırır. Orijinal tabloyu bilen çocukların, faktörlerin yeniden düzenlenmesiyle elde edilen tabloların sonuçlarını ayrı ayrı ezberlememesi gerektiği varsayıldığından, son iki tablonun her biri bir derste derlenmiştir. Aslında birçok çocuk her tabloyu ayrı ayrı öğrenir, çünkü düşünme esnekliğinin yetersiz düzeydeki gelişimi, ezberlenen tablo diyagramının modelini ters sırayla kolayca yeniden oluşturmalarına izin vermez. 9 2 veya 8 3 formunun vakalarını hesaplarken, çocuklar tekrar sıralı toplama işlemine geri dönerler ve bu da doğal olarak bir sonuç elde etmek için zaman alır. Bu durum büyük olasılıkla, önemli sayıda çocuk için, birbirine bağlı çarpma durumlarının (faktörlerin yeniden düzenlenmesi kuralıyla birbirine bağlananlar) zaman içinde bu şekilde ayrılmasının, özellikle ara bağlantıya odaklanan bir ilişkisel zincirin oluşumuna izin vermemesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır. .

3. sınıfta 5 sayısı için çarpım tablosu derlenirken aynı terimlerin eklenmesiyle yalnızca ilk ürün elde edilir: 5 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Geri kalan durumlar öncekine beş eklenerek elde edilir. sonuç:

5 6 = 5 5+ 5 = 30 5 7 = 5 6+ 5 = 35 5 8 = 5 7 + 5 = 40 5 9 = 5 8 + 5 = 45

Bu tabloyla eş zamanlı olarak 5'in birbirine bağlı bir çarpım tablosu derlenir: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.

6 sayısının çarpım tablosu dört durumu içerir: 6 6; 6 7; 6 8; 6 9.

6 çarpım tablosu üç durumu içerir: 7 6; 8 6; 9 6.

Teorik yaklaşım Tablo çarpımını incelemek için böyle bir sistemin inşası, çocuğun tablo çarpım örneklerini bu yazışmada hatırlayacağını varsayar.

2 sayısı için hatırlanması en kolay çarpım tablosu en fazla vaka sayısını içerir ve 9 sayısı için hatırlanması en zor çarpım tablosu yalnızca bir durum içerir. Gerçekte, çarpım tablosunun her yeni "bölümünü" göz önünde bulundurarak, öğretmen genellikle her tablonun tüm hacmini (tüm durumlar) geri yükler. Öğretmen çocukların dikkatini bu derste yeni bir vakanın örneğin sadece 9 9,a 9 8, 9 7it vakası olduğuna çekse bile. öğeler önceki derslerde çalışıldı, çoğu çocuk önerilen cildin tamamını yeni öğrenme için materyal olarak algılıyor. Bu nedenle, aslında birçok çocuk için 9 sayısının çarpım tablosu en büyük ve en karmaşık tablodur (ve onunla ilgili tüm durumların listesini aklınızda tutarsanız gerçekten de durum budur).

Ezberleme gerektiren çok miktarda materyal, birbiriyle ilişkili vakaları ezberlerken ilişkisel bağlantılar kurmanın zorluğu, tüm çocukların program tarafından belirlenen süre içinde tüm tablo vakalarını ezbere sağlam bir şekilde ezberleme ihtiyacı - tüm bunlar konuyu gündeme getiriyor tablosal çarpımı incelemek ilkokul metodolojik olarak en karmaşık olanlardan biridir. Bu bakımdan çocuğun çarpım tablosunu nasıl ezberlediği ile ilgili konular önemlidir.

2. sınıfta matematikte gösteri dersi

Teknolojik harita matematik dersi

2. sınıfta “Faktörlerin permütasyonu” konusunda

Öğe: matematik Sınıf: 2-a

Ders konusu : Çarpanların yeniden düzenlenmesi.

Hedef: Öğrencilerin başarılı olmaları için koşullar yaratmak eğitim sonuçları:

- kişisel: 1) okula ve öğrenmeye karşı olumlu bir tutuma sahip olmak; bilişsel ihtiyaçları ve öğrenme güdülerini göstermek; Sınıfta düzenli ve disiplinli olun.

2) muhataplara dikkat ve sabır göstermek, kişinin faaliyetlerini kendi kendine değerlendirme yeteneği.

- meta-konu:

Bilişsel UUD:bana ait yeni bilgi, Farklı formlarda sunulan gerekli bilgileri, süreç bilgilerini (analiz, karşılaştırma) bulun.

Düzenleyici UUD:Öğretmenle birlikte bir eğitim problemini keşfeder ve formüle eder,işinizin amacını belirleyin, kendi sonucunuzu ve yoldaşlarınızın sonucunu değerlendirin, doğru tamamlanmış bir görevi yanlış olandan ayırın.

İletişim UUD'si:Dinleyin ve diyalog kurun,pozisyonunu savunmak, fikrini ifade etmek, grup tartışmasına katılmak,Çiftler halinde işbirliği yapın, sınıfın önünde konuşun,

- ders: “Çarpmanın değişme özelliğinin” ne olduğunu anlamak, onu uygulayabilmek, çarpma eyleminin anlamını pekiştirmek ve zihinsel hesaplamada hesaplama becerilerini geliştirmek.

Ders hedefleri:

belirli örnekler kullanarak öğrencilere çarpma işleminin değişme özelliğini tanıtmak;

bunu pratikte uygulama yeteneğini geliştirmek; çarpmanın anlamını pekiştirmek;

çalışılan modelin kullanımına dayalı matematiksel konuşmanın geliştirilmesi; hesaplama becerilerini, zihinsel karşılaştırma işlemlerini, sınıflandırmayı geliştirmek;

Eğitim yöntemleri ve formları : Açıklayıcı ve açıklayıcı; bireysel, ön, buhar odası.

Öğrencilerin eğitim faaliyetlerini organize etme teknikleri: röportajlar ve ikili çalışmalar yoluyla yeni bilgilerin araştırılması; bağımsız çalışma ihtiyacı olan öğrencilere pedagojik destek ile

Ders ilerlemesi:

(ders aşamaları

Öğretmen faaliyetleri

Etkinlik
öğrenciler

Planlanan sonuçlar

1.Öğrenme faaliyetleri için motivasyon .

Resepsiyon: öğrencilere iyi dileklerin ifade edilmesi

Zil hepimizi sınıfa çağırdı.

Matematik dersimiz var.

Düşünelim ve akıl yürütelim.

Dersimize başlamamızın zamanı geldi.

Yeni bir şey öğrenmek ister misiniz? (Evet)

Böylece herkes oturabilir!

Dersimize başlayalım.

Herkes dikkatli, aktif ve çalışkan olsun.

Defterlerinizi açın ve sayıyı ve sınıf çalışmasını yazın.

Birbirinize iyi dileklerinizi iletin.

İşin tarihini ve türünü yazın.

Organizasyon anı.

Okuldaki iletişim davranışı kuralları üzerinde ortaklaşa anlaşabilme ve bunlara uyabilme.

Bilginin güncellenmesi.

Sayısal ifadelere bakın

(Slayt)

2 + 2 + 2 + 2

5 + 5 + 55 + 5

6 + 6 + 6

Ekstra ifadeyi bulun.

Neden üçüncü ifadeyi seçtiniz?

Tüm ifadelerin ortak noktası nedir?

Aynı terimlerin toplamını değiştirmek için hangi eylem kullanılabilir?

Toplamları bir çarpım olarak sunup değerleri bulun.

Bir slayttan kontrol etme(slayt)

Eser nelerden oluşuyor?

Çarpma eyleminin sonucu ne olur?

Hangi eylemle çalışmaya devam edeceğiz?

Gereksiz bir ifade bulun.

- şartlar aynı değil

-çarpma

2*4=8

6*3=18

-Çarpanlardan.

-eserin anlamı

-Çarpma eylemiyle

(İletişimsel UUD)

Telaffuz edebilmek eylem sırası,

tahminini yap.(Düzenleyici UUD)

Düşüncelerinizi sözlü olarak formüle edebilme.(İletişimsel UUD)

Sorunun beyanı. Ders konusu.

Hedef belirleme

Masalarınızın üzerinde zarflar var (1 Numaralı Zarf)

Zarfın içeriğini analiz edin, zaten ne biliyorsunuz?

Nebilinmiyor ve sizin için yeni.

Öğrendiklerimizi, bildiğimizi, zarfa geri koyalım.

Ve sizin için yeni olanı önünüze bırakın.

Hangi konu üzerinde çalışacağız?

Bu, dersin konusunu kontrol etmemize nasıl yardımcı olacak?

Haklı olup olmadığımızı kontrol edip karşılaştıralım.

Dersimizin hedeflerini tanımlayalım.

- Neyi bilmemiz gerekecek?

- O zaman ne öğreneceğiz?

Dersin başında konuyla ilgili bilgimizi değerlendirmeye çalışalım. Daha sonra dersin sonundaki sonucu ders sonunda karşılaştırırız.

Görevi 1 numaralı zarfta tamamlayın

Slaytta kontrol edin

- ders kitabı içeriği

Faktörlerin permütasyonu nedir?

Çeşitli görevleri gerçekleştirirken kuralı uygulamayı öğrenin

Düşüncelerinizi sözlü olarak formüle edebilme.(İletişimsel UUD)

Bilgi sisteminizde gezinebilme: yeniyi bilinenden ayırt edebilme.(Bilişsel UUD)

Konuyla ilgili bilginin ilk değerlendirmesi

Dersin başında konuyla ilgili bilgimizi değerlendirmeye çalışalım. Daha sonra dersin sonundaki sonucu ders sonunda karşılaştırırız.

Bilgi dersin başında değerlendirilir.

(trafik ışıkları)

(Kişisel UUD)

Yeni bilginin keşfi.

Şimdi biraz askercilik oynayacağız. Çiftler halinde çalışacağız.

Masalarınızda zarfların içinde küçük askerler var. (2 numaralı zarf)

Tüm askerleri (çiftler halinde) 2'li bir sütuna yerleştirmeye çalışın

Ne yaptın7 Gemicileri örnek alarak tahtada kim gösteri yapabilir?

(Seçenek 2: Çocuklar bunu zor buluyorsa ders kitaplarını açın)

Masha ve Misha'nın askercilik oynayıp tartıştıkları resme bakın.

Misha kız kardeşine askerleri her birinde 5 asker bulunan 2 sıra halinde düzenlediğini söyler. Ancak Maşa, askerlerin 5 sıra halinde dizildiğine inanıyor. Her sırada 2 asker bulunmaktadır. Hangi çocuk haklı?

Bunu yaz toplam sayı bir eser şeklinde askerleriki şekilde.

- Ürünlerin değerlerinin eşit olacağını söylemek mümkün mü?

Eserlerin arasına hangi işareti koymalıyız? Neden?

5*2=2*5

Bu eşitliğin doğru olup olmadığını nasıl kontrol edebilirsiniz?

Seni ne şaşırttı?

Biz kaşifiz! Bu ifadenin diğer ifadeler için doğru olup olmadığını kontrol edelim mi?

Askerlerle çiftler halinde çalışmak

Görevi tamamlaman için sana zaman veriyorum.

Açıklama kurulda.

Çocuklar tahtada yeni materyalleri açıklıyor

Çocukların fikirlerini dinliyoruz ve cipsleri askerlerin durduğu şekilde düzenlemelerini öneriyoruz.

İki çocuk tahtaya iki seçenek yazıyor

Sözlü olarak kontrol ediyoruz ve tahtaya yazıyoruz: 5 2 Ve 2 5

-Evet, çünkü bu aynı sayıda asker.

- Çarpanlar aynıdır, yalnızca yer değiştirmişlerdir,

Çarpmayı aynı terimlerin toplamıyla değiştirin.

İki öğrenciyi tahtaya çağırıp birinden 5 2 çarpımının değerini hesaplamasını, diğerinden 2 5 (5 2 = 5 + 5 = 10, 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2) hesaplamasını isteyebilirsiniz. = 10).

Faktörler yer değiştiriyor ancak ürünlerin değeri aynı

Sınıftaki eylemlerin sırasını telaffuz edebilme.(Düzenleyici UUD)

Birincil konsolidasyon.

Bilginin uygulanması

Varsayımlarımıza (keşiflerimize) bir kez daha ikna olalım.

2 numaralı görevi tamamlayalım

3 yemek kaşığı. - 1 satır

4 st. - 2. sıra.

5 st - 3 sıra

Bu görevi tamamlamak için hangi kuralı kullandınız?

- Keşiflerimiz doğrulandı mı?

Ne gibi bir sonuç çıkarılabilir?

- Varsayımlarımızı ders kitabının 109. sayfasındaki kuralla karşılaştıralım.

Matematikte yeniden düzenleme faktörlerine ne ad verildiğini biliyor musunuz? Çarpmanın değişme özelliği veya değişmeli çarpma yasası.

Görev No. 3 (sözlü)

2 8 = 8 2

9 4 = 4 9

5 3 = 3 5

8 4 = 4 8

5 9 = 9 5

3 7 = 7 3

Tahtada birlikte 1 ve 2 sütun gerçekleştirin.

Komşunuzla not defterlerini değiştirin ve onun çalışmalarını değerlendirin (karşılıklı kontrol).

Faktörlerin yeniden düzenlenmesi kuralı

Şu sonuca varıyorlar: Faktörlerin yeniden düzenlenmesi ürünün değerini değiştirmez.

Kuralı okuyun

Düşüncelerinizi sözlü ve yazılı olarak ifade edebilme: başkalarının konuşmalarını dinleyin ve anlayın ( İletişimsel UUD), (Düzenleyici UUD)

Düşüncelerinizi sözlü olarak formüle edebilme. (İletişimsel UUD

Oto kontrol

Sonuçların değerlendirilmesi

onların eylemleri

Görev No. 4 (U-1, s. 109)

Edinilen bilgiyi kullanmak. Görevi kendiniz tamamlayın.

- Görevin metnini okuyalım. (İlk ürünün değerlerini bulun) Nasıl yapacağız?(

Tahtada bir örnek gösteriyoruz yazılı form sözlü yanıt.

Kendi kendine doğrulama(cevaplar slaytta)

Kim iki hata yaptı - 4

Kim 3 hata yaptı - 3

Bağımsız çalışma.

Düzenlenebilir çift ​​çalışma,

Çocuklarınız bu konuda zorlanıyorsa komşunuza sorun!

-Kullandığımız 5 4 ürünün değerini bulmak için

eşitlik 4 5 = 20.)

5 4 = 4 5 = 20.

Öğrenciler bağımsız olarak eserlerin kalan anlamlarını bulur ve notlar alırlar.

Tamamlanan görevi değerlendirin

Sınıfta eylemlerin sırasını telaffuz edebilme ve tahmininizi ifade edebilme. (Düzenleyici UUD)

Eylemlerinizi, varsayımlarınızı değerlendirebilme. (Düzenleyici UUD)

Etkinliğin yansıması. Ders özeti

Derste hangi görev verildi?

Hedefinize ulaşmayı başardınız mı?

Yeni çarpma özelliğini nerede kullanacağız?

Kimin sonuçları değişti? Cümleleri tamamlamak….

Ders için teşekkürler!

Trafik ışıklarını kullanarak değerlendirme.

Eğitim faaliyetlerinde başarı kriterine dayalı olarak kendini değerlendirme becerisi (Kişisel UUD)

Tanım. Çarpma, aynı terimlerin toplamını bulma eylemidir. Çarp sayı A sayı başına B toplamı bulmak anlamına gelir B terimlerin her biri a'ya eşittir.

Çarpan sayılara faktörler (veya faktörler) adı verilir ve çarpmanın sonucuna çarpım denir.

Şu tarihte: çarpma doğal sayılarçarpım her zaman pozitif bir sayıdır. Faktörlerden biri 0'a (sıfır) eşitse çarpım 0'a eşittir. Çarpım sıfıra eşitse faktörlerden en az biri 0'a eşittir.

İki faktörden biri 1'e (bir) eşitse, o zaman iş ikinci faktöre eşittir.

• Örneğin:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Çarpma yasaları

Kombinasyon yasası

Kural. İki faktörün çarpımını üçüncü bir faktörle çarpmak için, birinci faktörü ikinci ve üçüncü faktörlerin çarpımı ile çarpabilirsiniz.

• Örneğin:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

Seyahat hukuku

Kural. Faktörlerin yeniden düzenlenmesi ürünü değiştirmez.

• Örneğin:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• a * b * c = c * b * a

Dağıtım kanunu

Kural. Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için bu sayıyı her bir terimle çarpabilir ve elde edilen çarpımları ekleyebilirsiniz.

• Örneğin:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Dağıtım kanunu aynı zamanda çıkarma işlemi için de geçerlidir.

• Örneğin:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Çarpma yasaları, sayısal veya alfabetik ifadedeki herhangi bir sayıda faktöre uygulanır. Çarpmanın dağılım yasası, ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için kullanılır.

Kural. Bir toplamı (farkı) çarpıma dönüştürmek için terimlerin aynı faktörünü parantez dışına alıp, kalan faktörleri parantez içinde toplam (fark) olarak yazmak yeterlidir.