Heron formülünü kullanarak üçgeni bulalım. Bir üçgenin alanı. Dörtgenlerin alanının hesaplanması
Bu formül, bir üçgenin alanını a, b ve c kenarlarına göre hesaplamanıza olanak sağlar:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),burada p üçgenin yarı çevresidir, yani. p = (a + b + c)/2.
Formül, adını antik Yunan matematikçi İskenderiyeli Heron'dan (yaklaşık 1. yüzyıl) almıştır. Heron, alanları da tam sayı olan kenarları tam sayı olan üçgenleri düşündü. Bu tür üçgenlere Heron üçgenleri denir. Örneğin bunlar kenarları 13, 14, 15 veya 51, 52, 53 olan üçgenlerdir.
Dörtgenler için Heron formülünün benzerleri var. A, b, c ve d kenarları boyunca bir dörtgen oluşturma probleminin benzersiz bir çözümü olmadığından, genel durumda bir dörtgenin alanını hesaplamak için sadece dörtgenin alanını bilmek yeterli değildir. kenarların uzunlukları. Ek parametreler girmeniz veya kısıtlamalar uygulamanız gerekir. Örneğin, yazılı bir dörtgenin alanı şu formülle bulunur: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Bir dörtgen aynı anda hem yazılı hem de çevrelenmişse alanı daha basit bir formül kullanarak: S=√(abcd).
İskenderiye Balıkçılı - Yunan matematikçi ve tamirci.
Otomatik kapıları, otomatik kukla tiyatrosunu, satış makinesini, hızlı ateş eden, kendi kendine yüklenen tatar yayını icat eden ilk kişi oydu. buhar türbini, otomatik süslemeler, yolların uzunluğunu ölçen bir cihaz (eski bir kilometre sayacı), vb. Programlanabilir cihazları (etrafına ip sarılmış pimli bir şaft) yaratan ilk kişi oydu.
Geometri, mekanik, hidrostatik ve optik okudu. Ana eserler: Metrik, Pnömatik, Otomatopoetik, Mekanik (eser tamamen Arapça çeviride korunmuştur), Catoptrics (ayna bilimi; yalnızca Latince çeviride korunmuştur) vb. 1814'te Heron'un "Diopter Üzerine" adlı makalesi bulundu. Aslında dikdörtgen koordinatların kullanımına dayalı olarak arazi etüdünün kurallarını belirler. Heron seleflerinin başarılarını kullandı: Öklid, Arşimet, Lampsacus Strato. Kitaplarının çoğu geri getirilemeyecek şekilde kayboldu (parşömenler İskenderiye Kütüphanesi'nde saklandı).
Heron, "Mekanik" adlı incelemesinde beş tür basit makine tanımladı: kaldıraç, kapı, kama, vida ve blok.
Heron, "Pnömatik" adlı incelemesinde çeşitli sifonları, akıllıca tasarlanmış kapları ve basınçlı hava veya buharla çalıştırılan otomatları anlattı. Bu, ilk buhar türbini olan bir aeolipildir - su buharı jetlerinin kuvvetiyle döndürülen bir top; kapıları açmak için bir makine, “kutsal” su satmak için bir makine, bir yangın pompası, bir su orgu, mekanik bir kukla tiyatrosu.
“Dioptri Hakkında” kitabı, jeodezik çalışmalar için kullanılan en basit cihaz olan diyoptriyi anlatır. Heron, incelemesinde dikdörtgen koordinatların kullanımına dayanarak arazi etüdü kurallarını ortaya koyuyor.
Catoptrics'te Heron, ışık ışınlarının düzlüğünü sonsuz yüksek bir yayılma hızıyla kanıtlıyor. Heron, silindirik aynalara özellikle dikkat ederek çeşitli ayna türlerini düşünüyor.
Heron'un "Metrics" adlı kitabı ve ondan çıkarılan "Geometri" ve "Stereometri", konuyla ilgili referans kitaplardır. uygulamalı matematik. Metrica'da yer alan bilgiler arasında:
Düzgün çokgenlerin alanları için formüller.
Düzenli çokyüzlülerin, piramidin, koninin, kesik koninin, torusun, küresel parçanın hacimleri.
Heron'un bir üçgenin alanını kenarlarının uzunluklarından hesaplamak için formülü (Arşimed tarafından keşfedildi).
Tüzük sayısal çözümİkinci dereceden denklemler.
Kare ve küp kökleri çıkarmak için algoritmalar.
Heron'un "Tanımlar" kitabı, büyük ölçüde Öklid'in "Elementler" tanımlarıyla örtüşen kapsamlı bir geometrik tanım koleksiyonudur.
Ders özeti
Ders: "Heron formülü ve bir üçgenin alanı için diğer formüller."
Ders türü : yeni bilgiyi keşfetme dersi.
Sınıf: 10.
Ders hedefleri: ders sırasında, üzerinde çalışılan bir üçgenin alanını hesaplamak için formüllerin bilinçli tekrarlanmasını sağlayın. okul müfredatı. Dikdörtgen koordinat sisteminde verilen bir üçgenin alan formülü olan Heron formülü II'yi bilmenin gerekliliğini gösterin. Sorunları çözerken bu formüllerin bilinçli olarak özümsenmesini ve uygulanmasını sağlayın.
Görevler:
Eğitici: gelişim mantıksal düşünme, bağımsız karar verme yeteneği öğrenme hedefleri; gelişim merakıöğrencilerin konuya bilişsel ilgisi; öğrencilerin yaratıcı düşünmesinin ve matematiksel konuşmasının gelişimi;
Eğitici: matematiğe olan ilgiyi beslemek; için koşullar yaratmakiletişim becerilerinin oluşumu ve güçlü iradeli nitelikler kişilik.
Eğitici: bilgiyi derinleştirmekbir reel sayının inci modülü; Tipik problemleri çözme becerisini öğretmek.
Evrensel öğrenme etkinlikleri:
Kişisel: bireye ve onun onuruna saygı; stabil bilişsel ilgi; Eşit ilişkiler ve karşılıklı saygı temelinde diyalog yürütme becerisi.
Düzenleyici: dersteki faaliyetler için hedefler belirleyin; hedefe ulaşmanın yollarını planlayın; Sorunlu bir durumda müzakerelere dayalı kararlar almak.
Bilişsel: V problemleri çözmek, görevleri gerçekleştirmek ve hesaplamalar yapmak için genel tekniklere hakim olmak; Gerçek sayı modülü özelliklerinin kullanımına dayalı görevleri gerçekleştirin.
İletişimsel: A kişinin faaliyetlerini planlamak ve düzenlemek için konuşmayı yeterince kullanması; kendi fikrinizi formüle edin.
Teknik destek : bilgisayar, projektör, interaktif beyaz tahta.
Ders yapısı
Motivasyon aşaması – 2 dk.
Ev ödevi – 1 dk.
Önerilen konuyla ilgili bilgilerin güncellenmesi ve ilk deneme eyleminin gerçekleştirilmesi aşaması - 10 dakika.
Zorlukların belirlenmesi: yeni malzemenin karmaşıklığı nedir, sorunu tam olarak yaratan şey nedir, çelişkileri araştırmak - 4 dk.
Bir projenin geliştirilmesi, mevcut zorlukların üstesinden gelmek için bir plan, birçok seçeneğin değerlendirilmesi, en uygun çözümün araştırılması - 2 dk.
Zorluğu çözmek için seçilen planın uygulanması - 5 dk.
Yeni bilginin birincil konsolidasyonu - 10 dk.
Bağımsız çalışma ve standarda göre kontrol - 5 dk.
Öğrenme aktiviteleri üzerine düşünmeyi, öz analizi ve hisler ve duygular üzerine düşünmeyi içeren yansıtma – 1 dk.
Dersin ilerleyişi.
Motivasyon aşaması.
Merhaba arkadaşlar, oturun. Bugün dersimiz şu planı takip edecek: ders sırasında çalışacağız yeni konu: « Heron formülü ve üçgenin alanı için diğer formüller "; Bildiğiniz formülleri tekrarlayalım; Sorunları çözerken bu formülleri nasıl uygulayacağımızı öğrenelim. Öyleyse işe koyulalım.
Önerilen konuya ilişkin bilgilerin güncellenmesi ve ilk deneme eyleminin gerçekleştirilmesi aşaması.
Slayt 1.
Dersin konusunu yazın. Doğrudan formüllere geçmeden önce, üçgenin alanını hesaplamak için hangi formülleri bildiğinizi hatırlayalım.
Slayt 2.
Bu formülleri yazın.
Bir üçgenin alanını hesaplamak için hangi formülleri biliyorsunuz?(öğrenciler öğrendikleri tüm formülleri hatırlar)
Slayt 3.
Dik üçgenin alanı. S=ab. Formülü yazın
Slayt 4.
Herhangi bir üçgenin alanı. S= A . A = , = Formülü yazın.
Slayt 5. İki tarafa dayalı bir üçgenin alanı ve aralarındaki açı.
S=½·ab·sinα. Formülü yazın.
Şimdi alanı bulmak için yeni formüller inceleyeceğiz.
6. slayt.
Yazılı dairenin yarıçapı cinsinden bir üçgenin alanı. S= Pr. Formülü yazın.
Slayt 7.
Çevrel dairenin R yarıçapı cinsinden bir üçgenin alanı.
Formülü yazın.
Slayt 8.
Heron'un formülü.
İspatlamaya başlamadan önce iki geometri teoremini hatırlayalım: sinüs teoremi ve kosinüs teoremi.
1., a=2R; b=2R; c=2R
2.çünküγ = .
Slayt 9-10
Heron formülünün kanıtı. Formülü yazın.
11. slayt.
Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı formülü, M.Ö. 3. yüzyılda Arşimet tarafından keşfedildi. Ancak ilgili çalışma günümüze ulaşmamıştır. Bu formül İskenderiyeli Heron'un (MS 1. yüzyıl) "Metrikleri"nde yer alır ve onun adını taşır. Heron, alanları da tam sayı olan kenarları tam sayı olan üçgenlerle ilgileniyordu. Bu tür üçgenlere Heron üçgenleri denir. En basit Heronian üçgeni Mısır üçgenidir.
Zorluğun belirlenmesi: Yeni malzemenin karmaşıklığı nedir, sorunu tam olarak yaratan şey nedir, çelişki arayışı.
12. slayt.
Verilen kenarlara sahip bir üçgenin alanını bulun: 4,6,8. Sorunu çözmek için yeterli bilgi var mı? Bu sorunu çözmek için hangi formülü kullanabilirsiniz?
Bir projenin geliştirilmesi, mevcut zorlukların çözümü için bir plan yapılması, birçok seçeneğin değerlendirilmesi, en uygun çözümün araştırılması.
Bu problem Heron formülü kullanılarak çözülebilir. Öncelikle üçgenin yarı çevresini bulmanız ve ardından elde edilen değerleri formülde yerine koymanız gerekir.
Zorluğu çözmek için seçilen planın uygulanması.
p bulma
P=(13+14+15)/2=21
P- A=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Cevap :84
Görev No.2
Üçgenin kenarlarını bulunABCeğer üçgenlerin alanıASG, BCO, ÖKO, burada O yazılı dairenin merkezidir, 17,65,80 dc'ye eşittir 2 .
Çözüm: 
S=17+65+80=162 – üçgenlerin alanlarını toplayın. Formüle göre
S ASG =1/2 AB* R, dolayısıyla 17=1/2AB* R; 65=1/2VS* R; 80=1/2 AC* R
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
P'yi bul
P= (34+130+160)/2=162/ R
(r-a)=162-34=128 (r- C)=162-160=2
(P- B)=162-130=32
Heron'un formülüne göreS= 128/ R*2/ R*32/ R*162/ R=256*5184/ R 4 =1152/ R 2
Çünkü S=162, dolayısıylaR = 1152/162=3128/18
Cevap: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Yeni bilginin birincil konsolidasyonu.
№10(1)
Verilen kenarlara sahip bir üçgenin alanını bulun:
№12
Bağımsız çalışma ve standarda göre test etme.
№10.(2)
Ev ödevi . S.83, Sayı. 10(3), Sayı 15
Yansıtma, öğrenme aktiviteleri üzerine düşünmeyi, öz analizi ve hisler ve duygular üzerine düşünmeyi içerir.
Bugün hangi formülleri tekrarladınız?
Bugün hangi formülleri öğrendiniz?
Taban ve yükseklik bilinerek bulunabilir. Diyagramın tüm basitliği, yüksekliğin a tabanını a 1 ve a 2 olmak üzere iki parçaya ve üçgenin kendisini alanı ve olan iki dik üçgene bölmesinde yatmaktadır. Daha sonra tüm üçgenin alanı belirtilen iki alanın toplamı olacaktır ve eğer yüksekliğin bir saniyesini braketten çıkarırsak, toplamda tabanı geri alacağız:
Hesaplamalar için daha zor bir yöntem, üç tarafı da bilmeniz gereken Heron formülüdür. Bu formül için öncelikle üçgenin yarı çevresini hesaplamanız gerekir: 
Heron formülünün kendisi, yarı çevrenin karekökünün her iki taraftaki farkla çarpılmasını ifade eder.
Herhangi bir üçgen için de geçerli olan aşağıdaki yöntem, üçgenin alanını iki kenardan ve aralarındaki açıyı bulmanızı sağlar. Bunun kanıtı yükseklik formülünden gelir - bilinen kenarlardan herhangi birinin yüksekliğini çizeriz ve α açısının sinüsü aracılığıyla h=a⋅sinα sonucunu elde ederiz. Alanı hesaplamak için yüksekliğin yarısını ikinci kenarla çarpın.
Diğer bir yol ise 2 açıyı ve aralarındaki kenarı bilerek üçgenin alanını bulmaktır. Bu formülün ispatı oldukça basittir ve diyagramdan açıkça görülmektedir.
Üçüncü açının tepe noktasından yüksekliği bilinen tarafa indiririz ve ortaya çıkan parçalara buna göre x adını veririz. İtibaren dik üçgenler ilk segment x'in çarpıma eşit olduğu açıktır
Teorem. Bir üçgenin alanı, kenarının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir:
Kanıt çok basit. Bu üçgen ABC(Şekil 1.15) hadi bunu bir paralelkenar haline getirelim ABDC. Üçgenler ABC Ve DCBÜç tarafı eşit olduğundan alanları da eşittir. Yani üçgenin alanı ABC paralelkenarın alanının yarısına eşit ABDC, yani
Ancak burada şu soru ortaya çıkıyor: Herhangi bir üçgen için taban ve yüksekliğin olası üç yarı çarpımı neden aynı? Ancak bunu ortak bir dar açıya sahip dikdörtgenlerin benzerliğinden kanıtlamak kolaydır. Bir üçgen düşünün ABC(Şekil 1.16):
Ve bu nedenle
Ancak, okul ders kitapları Bu böyle yapılmaz. Aksine üç yarı ürünün eşitliği, tüm bu yarı ürünlerin üçgenin alanını ifade etmesi esasına göre kurulur. Böylece tek bir işlevin varlığından dolaylı olarak yararlanılır. Ancak işte bir örnek göstermek için uygun ve öğretici bir fırsat geliyor matematiksel modelleme. Aslında alan kavramının arkasında fiziksel bir gerçeklik vardır ancak üç yarı çarpımın eşitliğinin doğrudan doğrulanması, bu kavramın matematik diline çevrilmesindeki kaliteyi göstermektedir.
Yukarıdaki üçgen alan teoremini kullanarak iki üçgenin alanlarını karşılaştırmak genellikle uygundur. Aşağıda teoremin bazı açık fakat önemli sonuçlarını sunuyoruz.
Sonuç 1. Bir üçgenin tepe noktası tabanına paralel bir doğru boyunca hareket ettirilirse alanı değişmez.
Şek. 1.17 üçgen ABC Ve ABD ortak bir zemine sahip olmak AB ve düz bir çizgi olduğundan bu tabana eşit yükseklikler indirildi A köşeleri içeren İLE Ve D tabana paralel AB ve dolayısıyla bu üçgenlerin alanları eşittir.
Sonuç 1 aşağıdaki gibi yeniden formüle edilebilir.
Sonuç 1?. Bir bölüm verilsin AB. Birçok puan Möyle ki üçgenin alanı AMV eşit verilen değer S, doğru parçasına paralel iki çizgi var AB ve ondan uzakta bulunanlar (Şekil 1.18)
Sonuç 2. Belirli bir açıya bitişik bir üçgenin kenarlarından biri artırılırsa k kez, o zaman alanı da artacaktır k bir kere.
Şek. 1.19 üçgenler ABC Ve ABD ortak bir yüksekliğe sahip olmak BH dolayısıyla alanlarının oranı bazların oranına eşittir
Sonuç 2'den önemli özel durumlar takip edilmektedir:
1. Medyan üçgeni iki küçük parçaya böler.
2. Kenarları arasına alınmış bir üçgenin açıortayı A Ve B, alanları şu şekilde ilişkili olan iki üçgene böler: A : B.
Sonuç 3. İki üçgenin ortak bir açısı varsa, alanları bu açıyı çevreleyen kenarların çarpımı ile orantılıdır.
Bu şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır (Şekil 1.19)
Özellikle aşağıdaki ifade geçerlidir:
İki üçgen benzerse ve bunlardan birinin kenarı eşitse k diğerinin karşılık gelen kenarlarından kat daha büyükse alanı k Saniyenin alanının 2 katı.
Heron'un üçgenin alanı formülünü aşağıdaki iki yolla türetiyoruz. İlkinde kosinüs teoremini kullanıyoruz:
burada a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır, r ise c kenarının karşısındaki açıdır.
(1.3)’ten buluyoruz.
Bunu fark etmek
üçgenin yarı çevresi nerede, anlıyoruz.
Yükleniyor...