Kompleksin trigonometrik formu. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu. Karmaşık bir sayıyı cebirsel formdan trigonometrik forma dönüştürme

3.1. Kutupsal koordinatlar

Genellikle uçakta kullanılır kutupsal koordinat sistemi . Bir O noktası verilirse tanımlanır. kutup ve kutuptan çıkan ışın (bizim için bu eksendir) Öküz) – kutup ekseni. M noktasının konumu iki sayıyla sabitlenir: yarıçap (veya yarıçap vektörü) ve kutup ekseni ile vektör arasındaki açı φ.φ açısına denir kutup açısı; radyan cinsinden ölçülür ve kutup ekseninden saat yönünün tersine sayılır.

Kutupsal koordinat sistemindeki bir noktanın konumu sıralı bir sayı çifti (r; φ) ile verilir. Kutupta r = 0, ve φ tanımlı değildir. Diğer tüm noktalar için r > 0, ve φ, 2π'nin katı olan bir terime kadar tanımlanır. Bu durumda, (r; φ) ve (r 1 ; φ 1) sayı çiftleri, eğer .

Dikdörtgen koordinat sistemi için xOy Bir noktanın Kartezyen koordinatları, kutupsal koordinatları cinsinden kolaylıkla aşağıdaki şekilde ifade edilir:

3.2. Karmaşık sayıların geometrik yorumu

Düzlemde Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini düşünün xOy.

Herhangi bir z=(a, b) karmaşık sayısı, koordinatları () olan düzlemdeki bir noktayla ilişkilidir. x, y), Nerede koordinat x = a, yani karmaşık sayının gerçek kısmı, y = bi koordinatı sanal kısmıdır.

Noktaları olan bir düzlem karmaşık sayılar– karmaşık düzlem.

Şekilde karmaşık sayı z = (a, b) noktaya karşılık gelir M(x, y).

Egzersiz yapmak.Çizim yapmak koordinat düzlemi karmaşık sayılar:

3.3. Karmaşık bir sayının trigonometrik formu

Düzlemdeki karmaşık bir sayı bir noktanın koordinatlarına sahiptir M(x;y). Bu durumda:

Karmaşık sayı yazma - karmaşık bir sayının trigonometrik formu.

r sayısına denir modül karmaşık sayı z ve belirlenir. Modül, negatif olmayan bir gerçek sayıdır. İçin .

Modül sıfıra eşit o zaman ve yalnızca ne zaman z = 0, yani a = b = 0.

φ sayısına denir argüman z ve belirlenmiş. Z argümanı, kutupsal koordinat sistemindeki kutup açısı gibi, yani 2π'nin katı olan bir terime kadar belirsiz bir şekilde tanımlanır.

Daha sonra şunu kabul ederiz: φ argümanın en küçük değeridir. Açıkça görülüyor ki

.

Konunun daha derinlemesine incelenmesiyle, φ* yardımcı argümanı tanıtılır, öyle ki

Örnek 1. Karmaşık bir sayının trigonometrik formunu bulun.

Çözüm. 1) modülü göz önünde bulundurun: ;

2) φ'yi aramak: ;

3) trigonometrik form:

Örnek 2. Karmaşık bir sayının cebirsel formunu bulun .

Burada değerleri değiştirmek yeterlidir trigonometrik fonksiyonlar ve ifadeyi dönüştürün:

Örnek 3. Karmaşık bir sayının modülünü ve bağımsız değişkenini bulun;

1) ;

2) ; φ – 4 çeyrekte:

3.4. Karmaşık sayılarla yapılan işlemler trigonometrik form

· Toplama ve çıkarma Cebirsel formdaki karmaşık sayılarla yapmak daha uygundur:

· Çarpma- basit yardımıyla trigonometrik dönüşümler bu gösterilebilir Çarpma sırasında sayıların modülleri çarpılır ve argümanlar eklenir: ;

Bu bölümde karmaşık bir sayının trigonometrik formu hakkında daha fazla konuşacağız. Gösterim formu pratik görevlerde çok daha az sıklıkla meydana gelir. Mümkünse indirip yazdırmanızı öneririm. trigonometrik tablolar, metodolojik materyali Matematiksel formüller ve tablolar sayfasında bulabilirsiniz. Masalar olmadan uzağa gidemezsiniz.

Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) trigonometrik biçimde yazılabilir:

Burası nerede karmaşık bir sayının modülü, A - karmaşık sayı argümanı.

Sayıyı karmaşık düzlemde gösterelim. Açıklamanın kesinliği ve basitliği için onu ilk koordinat çeyreğine yerleştireceğiz, yani. biz şuna inanıyoruz:

Karmaşık bir sayının modülü orijinden karmaşık düzlemdeki karşılık gelen noktaya olan mesafedir. Basitçe söylemek gerekirse, modül uzunlukturçizimde kırmızıyla gösterilen yarıçap vektörü.

Karmaşık bir sayının modülü genellikle şu şekilde gösterilir: veya

Pisagor teoremini kullanarak karmaşık bir sayının modülünü bulmak için bir formül türetmek kolaydır: . Bu formül doğrudur herhangi biri için"a" ve "olmak" anlamına gelir.

Not : Karmaşık bir sayının modülü kavramın bir genellemesidir gerçek sayının modülü, bir noktadan orijine olan mesafe olarak.

Karmaşık bir sayının argümanı isminde köşe arasında pozitif yarı eksen gerçek eksen ve orijinden karşılık gelen noktaya çizilen yarıçap vektörü. Argüman tekil: için tanımlanmadı.

Söz konusu prensip aslında kutup yarıçapının ve kutup açısının bir noktayı benzersiz şekilde tanımladığı kutup koordinatlarına benzer.

Karmaşık bir sayının argümanı standart olarak gösterilir: veya

Geometrik değerlendirmelerden argümanı bulmak için aşağıdaki formülü elde ederiz:

. Dikkat! Bu formül yalnızca sağ yarı düzlemde çalışır! Karmaşık sayı 1. veya 4. koordinat çeyreğinde yer almıyorsa formül biraz farklı olacaktır. Bu vakaları da analiz edeceğiz.

Ancak önce karmaşık sayıların koordinat eksenlerine yerleştirildiği en basit örneklere bakalım.

Örnek 7

Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde temsil edin: ,,,. Çizimi yapalım:

Aslında görev sözlüdür. Açıklık sağlamak için karmaşık bir sayının trigonometrik formunu yeniden yazacağım:

Kesin olarak hatırlayalım, modül – uzunluk(ki bu her zaman negatif olmayan), argüman - köşe

1) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım. Açıkça. Formülü kullanarak resmi hesaplama:. Açıktır ki (sayı doğrudan gerçek pozitif yarı eksen üzerinde yer almaktadır). Böylece trigonometrik formdaki sayı:.

Tersine kontrol eylemi gün gibi açıktır:

2) Sayıyı trigonometrik formda gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım. Açıkça. Formülü kullanarak resmi hesaplama:. Açıkçası (veya 90 derece). Çizimde köşe kırmızı renkle gösterilmiştir. Yani trigonometrik formdaki sayı: .

Kullanma , sayının cebirsel formunu geri almak kolaydır (aynı zamanda bir kontrol gerçekleştirirken):

3) Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü bulalım ve

argüman. Şurası açık ki. Formülü kullanarak resmi hesaplama:

Açıkçası (veya 180 derece). Çizimde köşe mavi renkle gösterilmiştir. Böylece trigonometrik formdaki sayı:.

Muayene:

4) Ve dördüncü ilginç durum.

Açıkça. Formülü kullanarak resmi hesaplama:. Argüman iki şekilde yazılabilir: Birinci yol: (270 derece) ve buna göre:

. Muayene: Ancak aşağıdaki kural daha standarttır: Açı 180 dereceden büyükse

, daha sonra bir eksi işaretiyle ve açının ters yönü (“kaydırma”) ile yazılır: (eksi 90 derece), çizimde açı yeşil renkle işaretlenmiştir. Bunu fark etmek kolaydır

bu da aynı açıdır.

Dikkat! Böylece giriş şu şekli alır:

Hiçbir durumda kosinüsün paritesini, sinüsün tuhaflığını kullanmamalı ve gösterimi daha da "basitleştirmemelisiniz":

Bu arada, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların görünümünü ve özelliklerini hatırlamakta fayda var; referans malzemeleri, temel temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri sayfasının son paragraflarında yer almaktadır. Ve karmaşık sayılar çok daha kolay öğrenilecek! En basit örneklerin tasarımında bunu şu şekilde yazmalısınız:: "modülün olduğu açık... argümanın olduğu açık..."

Daha yaygın vakaları ele almaya devam edelim. Modülde herhangi bir sorun yok; her zaman formülü kullanmalısınız. Ancak argümanı bulma formülleri farklı olacaktır; bu, sayının hangi koordinat çeyreğinde olduğuna bağlıdır. Bu durumda üç seçenek mümkündür (bunları yeniden yazmakta fayda vardır):

1) Eğer (1. ve 4. koordinat çeyrekleri veya sağ yarı düzlem), o zaman argüman formül kullanılarak bulunmalıdır.

2) Eğer (2. koordinat çeyreği), o zaman argüman aşağıdaki formül kullanılarak bulunmalıdır: .

3) Eğer (3. koordinat çeyreği), o zaman argüman aşağıdaki formül kullanılarak bulunmalıdır: .

Örnek 8

Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde temsil edin: ,,,.

Hazır formüller olduğu için çizimin tamamlanmasına gerek yoktur. Ancak bir nokta var: Sizden bir sayıyı trigonometrik formda temsil etmeniz istendiğinde, o zaman Yine de çizim yapmak daha iyi. Gerçek şu ki, çizimsiz bir çözüm öğretmenler tarafından sıklıkla reddediliyor; çizimin olmaması ciddi bir eksi ve başarısızlık nedenidir.

Tanıtımı karmaşık biçim sayılar ve birinci ve üçüncü sayılar bağımsız karar için olacaktır.

Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım.

(durum 2)'den beri, o zaman

– arktanjantın tuhaflığından yararlanmanız gereken yer burasıdır. Ne yazık ki tablo değeri içermiyor, bu nedenle bu gibi durumlarda argümanın hantal bir biçimde bırakılması gerekiyor: – trigonometrik biçimdeki sayılar.

Sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım.

O zamandan beri (durum 1), o zaman (eksi 60 derece).

Böylece:

– trigonometrik formda bir sayı.

Ancak burada, daha önce de belirtildiği gibi, dezavantajlar var dokunma.

Eğlenceli grafiksel doğrulama yöntemine ek olarak, Örnek 7'de zaten gerçekleştirilmiş olan bir analitik doğrulama da bulunmaktadır. trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosu, açının tam olarak tablo açısı (veya 300 derece) olduğunu hesaba katarak: – orijinal cebirsel formdaki sayılar.

Sayıları trigonometrik biçimde kendiniz sunun. Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Bölümün sonunda karmaşık sayının üstel formu hakkında kısaca bilgi verilecektir.

Herhangi bir karmaşık sayı (sıfır hariç) üstel biçimde yazılabilir:

Karmaşık bir sayının modülü nerede ve karmaşık sayının argümanı.

Karmaşık bir sayıyı üstel biçimde temsil etmek için ne yapmanız gerekir? Neredeyse aynı: bir çizim yapın, bir modül ve bir argüman bulun. Ve numarayı forma yazın.

Örneğin, önceki örnekteki sayı için modülü ve argümanı bulduk:,. Daha sonra bu sayı aşağıdaki gibi üstel biçimde yazılacaktır:.

Üstel formdaki sayı şöyle görünecektir:

Sayı - Bu yüzden:

Tek tavsiyem göstergeye dokunmayınÜslü sayılar için çarpanları yeniden düzenlemeye, parantez açmaya vb. gerek yoktur. Karmaşık bir sayı üstel biçimde yazılır kesinlikle forma göre.

Cebirsel formda yazılmış karmaşık sayılarla ilgili işlemler

Karmaşık sayının cebirsel formu z =(A,B).formun cebirsel ifadesi olarak adlandırılır

z = A + bi.

Karmaşık sayılarda aritmetik işlemler z 1 =a 1 + b 1 Ben Ve z 2 =a 2 + b 2 Ben Cebirsel formda yazılan işlemler aşağıdaki gibi gerçekleştirilir.

1. Karmaşık sayıların toplamı (farkı)

z 1 ±z 2 = (A 1 ± bir 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

onlar. toplama (çıkarma), benzer terimlerin azaltılmasıyla polinomların eklenmesi kuralına göre gerçekleştirilir.

2. Karmaşık sayıların çarpımı

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 - B 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + bir 2 ∙b 1)∙i,

onlar. çarpma işlemi, polinomların çarpılmasına ilişkin genel kurala göre gerçekleştirilir, şu husus dikkate alınır: Ben 2 = 1.

3. İki karmaşık sayının bölünmesi aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilir:

, (z 2 ≠ 0),

onlar. Bölme işlemi, bölünen ve bölenin, bölenin eşlenik sayısıyla çarpılmasıyla gerçekleştirilir.

Karmaşık sayıların üssü şu şekilde tanımlanır:

Bunu göstermek kolaydır

Örnekler.

1. Karmaşık sayıların toplamını bulun z 1 = 2 – Ben Ve z 2 = – 4 + 3Ben.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Ben) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Ben = –2+2Ben.

2. Karmaşık sayıların çarpımını bulun z 1 = 2 – 3Ben Ve z 2 = –4 + 5Ben.

= (2 – 3Ben) ∙ (–4 + 5Ben) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Ben)+ 2∙5Ben– 3ben∙ 5ben = 7+22Ben.

3. Bölümü bulun z bölümden z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – Ben.

z = .

4. Denklemi çözün: , X Ve sen Î R.

(2x+y) + (x+y)ben = 2 + 3Ben.

Karmaşık sayıların eşitliği nedeniyle elimizde:

Neresi x =–1 , sen= 4.

5. Hesaplayın: Ben 2 ,Ben 3 ,Ben 4 ,Ben 5 ,Ben 6 ,Ben -1 ,Ben -2 .

6. Eğer hesaplayın.

.

7. Bir sayının tersini hesaplayın z=3-Ben.

Trigonometrik formda karmaşık sayılar

Karmaşık düzlem Kartezyen koordinatlara sahip bir düzlem denir ( x, y), eğer koordinatları olan her nokta ( a, b) karmaşık bir sayıyla ilişkilidir z = a + bi. Bu durumda apsis ekseni denir. gerçek eksen ve koordinat ekseni hayali. O zaman her karmaşık sayı a+bi düzlemde geometrik olarak nokta olarak gösterilir bir (a, b) veya vektör.

Bu nedenle noktanın konumu A(ve dolayısıyla karmaşık bir sayı z) vektörün uzunluğuna göre belirtilebilir | | = R ve açı J, vektörün oluşturduğu | | gerçek eksenin pozitif yönü ile. Vektörün uzunluğu denir karmaşık bir sayının modülü ve | ile gösterilir z |=r ve açı J isminde karmaşık sayı argümanı ve belirlenmiş j = argz.

Şu açıktır ki | z| ³ 0 ve | z | = 0 Û z = 0.

Şek. 2 şu açıktır.

Karmaşık bir sayının argümanı belirsiz bir şekilde belirlenir, ancak 2 doğrulukla pk, kÎ Z.

Şek. 2 şu da açıktır ki eğer z=a+bi Ve j=argz, O

çünkü j =,günah j =, tg j = .

Eğer zÎR Ve z> 0, o zaman arg z = 0 +2pk;

Eğer z ОR Ve z< 0, o zaman arg z = p + 2pk;

Eğer z = 0,arg z tanımlanmadı.

Argümanın ana değeri 0 aralığında belirlenir £ argz£2 P,

veya -P£ arg z £ p.

Örnekler:

1. Karmaşık sayıların modülünü bulun z 1 = 4 – 3Ben Ve z 2 = –2–2Ben.

2. Karmaşık düzlemde koşullarla tanımlanan alanları tanımlayın:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+Ben) | £3; 4) £6 | z – Ben| £7.

Çözümler ve cevaplar:

1) | z| = 5 Û Û - yarıçapı 5 ve orijinde merkezi olan bir dairenin denklemi.

2) Merkezi orijinde olan, yarıçapı 6 olan bir daire.

3) Merkezi nokta olan 3 yarıçaplı daire z0 = 2 + Ben.

4) Merkezi bir noktada olan, yarıçapı 6 ve 7 olan dairelerle sınırlanmış bir halka z 0 = Ben.

3. Sayıların modülünü ve argümanını bulun: 1) ; 2).

1) ; A = 1, B = Þ ,

Ş j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2Ben; bir =–2, b =-2 Ş ,

.

İpucu: Ana argümanı belirlerken karmaşık düzlemi kullanın.

Böylece: z 1 = .

2) , R 2 = 1, j 2 = , .

3) , R 3 = 1, j3 = , .

4) , R 4 = 1, j4 = , .

KOMPLEKS NUMARALAR XI

§ 256. Karmaşık sayıların trigonometrik formu

Karmaşık bir sayı olsun a + bi karşılık gelen vektör O.A.> koordinatlarla ( a, b ) (bkz. Şekil 332).

Bu vektörün uzunluğunu şu şekilde gösterelim: R ve eksenle yaptığı açı X , başından sonuna kadar φ . Sinüs ve kosinüs tanımı gereği:

A / R =çünkü φ , B / R = günah φ .

Bu yüzden A = R çünkü φ , B = R günah φ . Ancak bu durumda karmaşık sayı a + bi şu şekilde yazılabilir:

a + bi = R çünkü φ + IR günah φ = R (çünkü φ + Ben günah φ ).

Bilindiği gibi herhangi bir vektörün uzunluğunun karesi toplamına eşit koordinatlarının kareleri. Bu yüzden R 2 = A 2 + B 2, nereden R = √a 2 + B 2

Bu yüzden, herhangi bir karmaşık sayı a + bi şeklinde temsil edilebilir :

a + bi = R (çünkü φ + Ben günah φ ), (1)

nerede = √a 2 + B 2 ve açı φ şu duruma göre belirlenir:

Karmaşık sayıların bu şekilde yazılmasına denir trigonometrik.

Sayı R formül (1)'de denir modül ve açı φ - argüman, karmaşık sayı a + bi .

Karmaşık bir sayı ise a + bi sıfıra eşit değilse modülü pozitiftir; eğer a + bi = 0 ise a = b = 0 ve sonra R = 0.

Herhangi bir karmaşık sayının modülü benzersiz bir şekilde belirlenir.

Karmaşık bir sayı ise a + bi sıfıra eşit değilse, argümanı formüller (2) ile belirlenir. kesinlikle 2'ye bölünebilen bir açıya kadar doğru π . Eğer a + bi = 0 ise a = b = 0. Bu durumda R = 0. Formül (1)'den bunu bir argüman olarak anlamak kolaydır. φ V bu durumda herhangi bir açıyı seçebilirsiniz: sonuçta, herhangi bir zamanda φ

0 (çünkü φ + Ben günah φ ) = 0.

Bu nedenle boş argüman tanımsızdır.

Karmaşık bir sayının modülü R bazen belirtilir | z | ve argüman arg'dir z . Karmaşık sayıları trigonometrik biçimde temsil etmeye ilişkin birkaç örneğe bakalım.

Örnek. 1. 1 + Ben .

Modülü bulalım R ve argüman φ bu numara.

R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Bu nedenle günah φ = 1 / √ 2, çünkü φ = 1 / √ 2, dolayısıyla φ = π / 4 + 2Nπ .

Böylece,

1 + Ben = √ 2 ,

Nerede N - herhangi bir tamsayı. Genellikle karmaşık bir sayının bağımsız değişkeninin sonsuz değer kümesinden 0 ile 2 arasında olanı seçin π . Bu durumda bu değer; π / 4. Bu yüzden

1 + Ben = √ 2 (çünkü π / 4 + Ben günah π / 4)

Örnek 2. Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın √ 3 - Ben . Sahibiz:

R = √ 3+1 = 2, çünkü φ = √ 3 / 2, günah φ = - 1 / 2

Bu nedenle 2'ye bölünebilen bir açıya kadar π , φ = 11 / 6 π ; buradan,

√ 3 - Ben = 2(çünkü 11/6 π + Ben günah 11 / 6 π ).

Örnek 3 Trigonometrik formda karmaşık bir sayı yazın Ben.

Karmaşık sayı Ben karşılık gelen vektör O.A.> , eksenin A noktasında bitiyor en ordinat 1 ile (Şekil 333). Böyle bir vektörün uzunluğu 1 olup, x ekseniyle yaptığı açı eşittir. π / 2. Bu yüzden

Ben =çünkü π / 2 + Ben günah π / 2 .

Örnek 4. 3 karmaşık sayısını trigonometrik formda yazın.

Karmaşık sayı 3 vektöre karşılık gelir O.A. > X apsis 3 (Şek. 334).

Böyle bir vektörün uzunluğu 3, x ekseniyle yaptığı açı ise 0'dır. Dolayısıyla

3 = 3 (çünkü 0 + Ben günah 0),

Örnek 5.-5 karmaşık sayısını trigonometrik formda yazın.

-5 karmaşık sayısı bir vektöre karşılık gelir O.A.> bir eksen noktasında sonlanıyor X apsisli -5 (Şek. 335). Böyle bir vektörün uzunluğu 5'tir ve x ekseniyle oluşturduğu açı eşittir π . Bu yüzden

5 = 5(çünkü π + Ben günah π ).

Egzersizler

2047. Bu karmaşık sayıları trigonometrik biçimde yazın, modüllerini ve argümanlarını tanımlayın:

1) 2 + 2√3 Ben , 4) 12Ben - 5; 7).3Ben ;

2) √3 + Ben ; 5) 25; 8) -2Ben ;

3) 6 - 6Ben ; 6) - 4; 9) 3Ben - 4.

2048. Düzlemde, modülleri r ve argümanları φ koşulları karşılayan karmaşık sayıları temsil eden bir dizi noktayı belirtin:

1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;

3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Sayılar aynı anda bir karmaşık sayının modülü olabilir mi? R Ve - R ?

2050. Karmaşık bir sayının argümanı aynı anda açılar olabilir mi? φ Ve - φ ?

Bu karmaşık sayıları, modüllerini ve argümanlarını tanımlayarak trigonometrik biçimde sunun:

2051*. 1 + çünkü α + Ben günah α . 2054*. 2(çünkü 20° - Ben günah 20°).

2052*. günah φ + Ben çünkü φ . 2055*. 3(- çünkü 15° - Ben günah 15°).